chuyen de ve bien doi dong nhat

Chuyên đề: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I-MỤC TIÊU:
HS:-Nắm vũng các phép biến đổi đông nhất phân thức đại số
-rút gọn phân thức
-cộng trừ nhân chia phân thức
-Rèn luyện kỷ năng chứng minh tính giá trò biểu thức nhanh hợp lý theo mỗi bài toán
II-THỜI LƯNG:7t lý thuyết,ôn luyện &1tKT
Tiết 1,2,3.
Phần I:
ĐỊNH NGHĨA ,TÍNH CHẤT CƠ BẢN ,RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
Ví dụ 1:Cho phân thức
M =
( )
( ) ( )
( ) ( )
cabcabcba
caacabcbacba
++−++
+++++++
2
2
222
Hãy rút gọn phân thức M
HD:Chú ý rằng ;(a+b+c)
2
= a
2
+b
2
+c
2

+2(ab+ac+bc) Do đó ta đặt a
2
+b
2
+c
2
=x;ab+ac+bc = y
Khi đó ;(a+b+c)
2
= x + 2y.Ta có M =
=+==
−+
++
yx
yyx
yyxx

2
)2(
2
a
2
+b
2
+c
2
+ab+ac+bc
(ĐK:a
2
+b

2
+c
2

0≠
)
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số
13
2
24
3
++
+
nn
nn
là phân số tối giản.
HD:Để C/m:Phân số tối giản ta C/mTử và mẫu chỉ có ước chung lớn nhất là 1
Gọi d là Ước chung của n
3
+2n và n
4
+3n
2
+1.Ta có n
3
+2n
dnnnd  )2(
3
+⇒

=>
)1(2
24
dnn +
n
4
+3n
2
+1-(n
4
+2n
2
)= n
2
+1
)2(12)1(
2422
dnnnd  ++=+⇒
Từ (1) và (2)=>(n
4
+3n
2
+1)- (n
4
+2n
2
)
11 =⇒⇒ ddd 
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng : 1+x+x

2
+x
3
+…+x
31
= (1+x)(1+x
2
)(1+x
4
)(1+x
8
)(1+x
16
) (1)
HD:Gọi vế trái là A và vế phải là B
Ta có (1-x).A = 1-x
32
=> (1-x).B = (1-x).(1+x)(1+x
2
)…(1+x
16
)=1-x
32
Nếu x
1≠
thì A và B đều viết được dưới dạng phân thức
x
x
−
−

1
1
32
,do đó A = B
Nếu x = 1thì cả hai vế của (1) đều bằng 32,do đó A= B .Trong cả hai trường hợp ,đẳng
thức (1)đều đúng
Luyện tập:
Bài 1:Cho a>b>0 thỏa mãn 3a
2
+3b
2
= 10ab .Tính giá trò của biểu thức P =
ba
ba
+
−

HD:Tính P
2
=…=
4
1
mà P>0 =>P =
2
1
(Vì a>b>0)
Bài 2:Cho x>y>0 và 2x
2
+2y
2

= 5xy .Tính giá trò của biểu thức E =
yx
yx
−
+
1
HD:Như bài 1
Bài 3:Cho a,b,c đôi một khác nhau,thõa mãn ab+ac+bc =1.Tính giá trò của biểu thức:
a) A =
( )( )
222
222
11)1(
)()()(
cba
accbba
+++
+++
;b) B =
( )( )( )
( ) ( ) ( )
222
222
121212
accbba
baccabbca
−−−
−+−+−+
HD:a)Ta có 1+a
2

= ab+ac +bc +a
2
=…=(a+b)(a+c)
Tương tự 1+b
2
=…=(b+a)(c+b);1+c
2
= =(c+a)(c+b)
Thay vào biểu thức A=
( ) ( )
( )
1
))()()()((
)(
2
22
=
++++++
+++
cbcacbabcaba
cbcaba

b)Ta có a
2
+2bc-1 = a
2
+2bc-ba-ca-bc = …=(a-b)(a-c)
Tương tự : b
2
+2ca-1=…= (b-a)(b-c) ;c

2
+2ab-1= (c-a)(c-b)
Thay vào và rút gọn ta có B =….=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
−−−
−−−
222
222
accbba
accbba
-1
Bài 3:Rút gọn các phân thức.
222
333
23
23
222
333
2322
222
)()()(
3
);
933193
451272
)
)()()(
3

);
)()()(
)
xzzyyx
xyzzyx
Dd
xxx
xxx
Cc
xzzyyx
xyzzyx
Bb
bcbacab
bacacbcba
Aa
−+−+−
−++
=
−+−
+−−
=
−++++
++−
=
+−−
−+−+−
=
HD:
)(
2

1
13
52
)13()3(
)52()3(
;)(
2
1
;
))()((
))()((
2
2
zyxD
x
x
xx
xx
CzyxB
cb
ca
cbcbba
cacbba
A
++=
−
+
=
−−
+−

=+−=
+
−
=
+−−
−−−
=

Bài 4:Chứng minh rằng phân số
12
12
2
−
+
n
n
Tối giản với mọi n là số tự nhiên
HD:Gọi d là UCLN(2n+1,2n
2
-1)=>2n+1

d và 2n
2
-1

d => n(2n+1)-(2n
2
-1)

d => n +1


d
=>2n +2

d => (2n +2) – (2n +1)

d => 1

d => d =1.
Bài 5:Chứng minh rằng phân số :
1
1
24
5
++
++
nn
nn
không tôi giản với mọi n là số nguyên
dương
HD:Tử và mẫu có chứa nhân tử chung là n
2
+n+1>1
Bài 6:Rút gọn biểu thức:A =
222
222
)()()( yxxzzy
zyx
−+−+−
++

Cho biết :x+y+z = 0
HD:(x+y+z) = 0 => (x+y+z)
2
= 0 =>x
2
+y
2
+z
2
= -2xy-2xz-2yz .
Thay vào mẫu thức ta có A =
3
1
Bài 7:Rút gọn biểu thức P =
)423) (411)(47)(43(
)421) (49)(45)(41(
4444
4444
++++
++++
HD:n
4
+4 =(n
2
+2)
2
-4n
2
= (n
2

+2+2n)(n
2
+2-2n)=[n(n+2)+2][n(n-2)+2] Do đó P = …=
577
1
2
PHẦN II
CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
Tiết 4,5,6,7
Ví dụ 1:Rút gọn biểu thức :A =
842
1
8
1
4
1
2
1
1
1
1
xxx
xx
+
+
+
+
+
+
+

+
−
Giải:Do đặc điểm của bài toán không quy đồng mẫu thức mà ta cộng lần lượt tùng phân
thức
A =
168448422
1
16

1
8
1
4
1
4
1
8
1
4
1
2
1
2
xxxxxxxx −
==
+
+
+
+
−

=
+
+
+
+
+
+
−
Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức B =
[ ]
2222
)1(
12

)4.3(
7
)3.2(
5
)2.1(
3
+
+
++++
nn
n
Giải:Đương nhiên ta không thể nào QĐMT mà ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu
hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp.
Ta có :
[ ]
2222

22
2
)1(
11
)1(
)1(
)1(
12
+
−=
+
−+
=
+
+
nnnn
nn
nn
n
=> B = …=1-
22
)1(
)2(
)1(
1
+
+
=
+ n
nn

n
Ví dụ 3:Cho A =
( )
)
11
(
)(
2
);
11
(
)(
2
);
11
(
1
225334443
yxyx
C
yxyx
B
yx
yx
−
+
=−
+
=−
+

Thực hiện phép tính A+B+C
Giải:Rút gọn biểu thức A = …=
244
22
)(
))((
yxyx
xyxy
+
−+
;Tính B+C =…=
332
)(
)(2
yxyx
xy
+
−
Tính A+B+C = …=
44
yx
xy −
Ví dụ 5:Cho a,b,c thỏa mãn ĐK:abc =2005.Tính giá trò biểu thức
P =
1200520052005
2005
++
+
++
+

++ cac
c
bbc
b
aab
a
Giải:Ta không thể QĐMT .Thay 2005 =abc
=>P =
1
1.
.
==
++
+
++
+
++ cac
c
abcbbc
b
abcaabcab
aabc
Luyện tập
Bài 1:Rút gọn các biểu thức:
;
))((
1
))((
1
)

cbabbcabaa
Aa
−−
+
−−
=
))((
1
))((
1
))((
1
)
bcacccbabbcabaa
Bb
−−
+
−−
+
−−
=
HD:A =
abcbcacc
ABb
cbcabaab
bac 1

))((
1
);

))()((
==
−−
+=
−−−
−−
Bài 2:Rút gọn biểu thức A =
))()((
)()()(222
222
accbba
accbba
accbba −−−
−+−+−
+
−
+
−
+
−
HD:Đặt a-b =x;b-c =y ; c-a = z =>x+y+z = 0 Ta có A =
0
222
222
==
++
+++
xyz
zyx
zyx

3
Bài 3:Cho
0=
−+
−
−+
−
−+
ac
bca
bc
acb
ab
cba
.Chúng minh rằng trong ba phân thức ở vế
trái có ít nhất một phân thức bằng 0
HD:Biến đổi vế trái ta được một phân thức có tử thức (a+b-c)(a-b-c) = 0 =>a-b+c =0 hoặc
a+c-b = 0.
Bài 4:Cho a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau .Chứng minh rằng biểu thức:
A =
))(())(())((
333
bcac
c
cbab
b
caba
a
−−
+

−−
+
−−
.Có giá trò nguyên
HD:A =
cba
cbcaba
bacacbcba
++==
−−−
−+−+−

))()((
)()()(
333
(Phân tích tử thành nhân tử)
Bài 5:Rút gọn biểu thức ;
( )
( )
122
12

16
5
.
14
3
.
12
1

);
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1)
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
−+
+
−−−
=







−






−






−






−=
n
n
Bb
n
Aa
1
1

13
13
.
12
12
)
3
3
3
3
3
3
+
−
+
−
+
−
=
n
n
Cc
HD:A=
n
nn
nn
n
n
n

n
nn
2
1
2
1
.
1
4.3.2
)1 (5.4.3
.
4.3.2
)1 (4.3.2.1)1)(1(

4
5.3
.
3
4.2
.
2
3.1
2222
+
=
+
=
+−
=
+−

B=
32
1
+n
;
)1(3
)1(2

3
1
.
)1(
2.1
)1 (13.7.3
)1)(1 (21.13.7
.
)1(
2.1
)1) (133)(122(
)1) (133)(1.22(
.
)1 (5.4.3
)1 (3.2.1
)1)(1(
)1)(1(

)11.22)(12(
)11.22)(12(
22
2

22
222
222
2
2
22
22
+
++
==
++
+
=
+−
+++−
+
=
+−+−+−
++++++
+
−
=
+−+
++−
+−+
++−
nn
nnnn
nn
nn

nnnn
nn
nn
nn
n
n
nnn
nnn
Bài 6:Rút gọn các biểu thức:
)53)(23(
1

11.8
1
8.5
1
5.2
1
);
)1(
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
)
++

++++=
−
++++=
nn
Bb
nn
Aa
)1()1(
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
)
+−
++++=
nnn
Cc
HD:
)53(2
1
53
1
2
1
53
1

23
1
3
1
)53)(23(
1
)
1
1
1
)1(
1
)
+
+
=






+
−=







+
−
+
=
++
−
−
=
−
n
n
nnnnn
b
nnnn
a
3
1
B quảKết
1)4n(n
2)1)(n-(n
:quảKết
+
+






+

−
−
=
+− )1(
1
)1(
1
2
1
)1()1(
1
)
nnnnnnn
c
Bài 7:
a)Tìm các số m,n để :
x
n
x
m
xx
+
−
=
− 1)1(
1
. HD:m=1;n=-1
4
b)Rút gọn biểu thức:M=
3011

1
209
1
127
1
65
1
2222
+−
+
+−
+
+−
+
+− aaaaaaaa
HD:Tách mỗi phân thức:
2
1
3
1
)3)(2(
1
−
−
−
=
−− aaaa
Tương tự
Bài 8:Cho x+y+z=a và
azyx

1111
=++
Hãy chứng minh:tồn tại một trong ba số có một số
bằng a
HD:theo bài toán ta có :
zyxzyx ++
=++
1111
<=>…<=> (x+y)(x+z)(y+z) = 0
Bài 9:Cho a+b+c =0
)0;0;0( ≠≠≠ cba
Rút gọn biểu thức :
A=
222
2
222
2
222
2
bac
c
acb
b
cba
a
−−
+
−−
+
−−

HD:Ta có a+b+c = 0 =>a
3
+b
3
+c
3
=3abc và a
3
+b
3
+c
3
-3abc = (a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc)
Từ a+b+c =0 =>b+c=-a =>a
2
-b
2
-c
2
=2bc.Tương tự cho các trường hợp cò lại
b
2
-c
2

-a
2
=2ac; c
2
-a
2
-b
2
= 2ab
Thay vào biểu thức:A =
2
3

2222
333222
==
++
=++
abc
cba
ab
c
ac
b
bc
a
Bài 10:Cho
22
0
111

b
ca
a
bc
cba
++==++
2
c
ab
P:thức biểutrò giá Tính
HD:Vận dụng công thức x+y+z = 0 => x
3
+y
3
+z
3
= 3xyz Áp dụng giải :
3
3111
33322333
==++=++==++
a
abc
b
abc
c
abc
b
ca
a

bc
abc
cba
2
c
ab
P đó Do
Bài 11:Cho a
3
+b
3
+c
3
=3abc.Tính giá trò của biểu thức A=






+






+







+
a
c
c
b
b
a
111
HD:Từ a
3
+b
3
+c
3
=3abc <=>(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc)=0<=> …<=>



=−−−++
=++

0
0
222
cbacabcba
cba
Nếu a+b+c =0 thì A = …= -1
Nếu a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc =0 <=> (a-b)
2
+(a-c)
2
+(b-c)
2
= 0 <=> a=b=c Khi đó A = 8
Bài 12:Cho a+b+c = 0
Tính giá trò của biểu thức :A =






−
+
−

+
−






−
+
−
+
−
ac
b
cb
a
ba
c
b
ac
a
cb
c
ba
.
HD:Gọi M =







−
+
−
+
−
b
ac
a
cb
c
ba
,ta có
abc
c
ab
c
ab
bacba
ba
c
ab
aacbcb
ba
c
b
ac
a

cb
ba
c
ba
c
M
32
22
2
1
2
1
))((
.1
.11.
+=+=
−−−
−
+=
=
−+−
−
+=






−

+
−
−
+=
−
Tương tự cho các trường hợp còn lại:
A =
9
)(2
3
333
=
++
+=
−
+
−
+
− abc
cba
ac
b
M
cb
a
M
ba
c
M
(Vì a

3
+b
3
+c
3
=3abc)
5
Bài 13:Cho a+b+c =0,x+y+z=0,
0=++
z
c
y
b
x
a
Chứng minh ax
2
+by
2
+cz
2
=0
HD:Từ x+y+z =0 => x
2
= (y+z)
2
Tương tự cho các trường hợp còn lại
Do đó ax
2
+by

2
+cz
2
=a(y+z)
2
+b(x+z)
2
+c(x+y)
2
=a(y
2
+2yz+z
2
)+b(x
2
+2xz+z
2
)+c(x
2
+2xy+y
2
)=
Khai triển ta có =x
2
(b+c)+y
2
(a+c)+z
2
(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)(1)
Thay b+c =-a; .a+b =-c; a+c = -b và ayz+bxz+cxy = 0( vì

0=++
z
c
y
b
x
a
)vào (1)Ta có
ax
2
+by
2
+cz
2
=-ax
2
-by
2
-cz
2
=>…=> ax
2
+by
2
+cz
2
=0
Bài 14:Cho
0
)()()(

222
=
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
ba
c
ca
b
cb
ba
c
ac
b
cb
a a
: rằng minh 0Chúng
HD:Từ
0=
−
+
−

+
− ba
c
ac
b
cb
a
=>
))((
22
abca
ccabab
ab
c
ca
b
cb
a
−−
−+−
=
−
+
−
=
−
Nhân hai vế cho
))()((
)(
1

22
2
accbba
ccabab
cb
a
cb −−−
−+−
=
−
⇒
−
(1)
Tương tự cho các trường hợp còn lại:
)3(
))()((
)(
)2(;
))()((
)(
22
2
22
2
cbbaac
bcbcaa
ba
c
caaccb
ababcc

ca
b
−−−
−+−
=
−
−−−
−+−
=
−
Cộng (1),(2)và (3)Ta có
0
)()()(
222
=
−
+
−
+
− ba
c
ca
b
cb
a
Bài 15:
0;1
22
=
+

+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cbba
c
ac
b
cb
a
2
a
minh Chứng
HD:Nhân hai vế của
1=
+
+
+
+
+ ba
c

ac
b
cb
a
Cho a+b+c ta có :
cbac
ba
c
b
ac
b
a
cb
a
cba
ba
abcc
ac
acbb
cb
cbaa
++=+
+
++
+
++
+
⇒
++=
+

++
+
+
++
+
+
++
222
222
)()()(
=>Điều phải chứng minh.
********************************************
6