Bài soạn Chủ đề 1, Biến đổi biểu thức chứa căn thức

Đại số 9
Đại số 9
Các chủ đề Toán về căn thức
Các chủ đề Toán về căn thức
Chủ đề 1:
BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1)
2
A A=
2)
A
xác định khi và chỉ khi
0A ≥
3)
( )
. . 0, 0A B A B A B= ≥ ≥
4)
( )
0, 0
A A
A B
B
B
= ≥ ≥
5)
( )
2
0A B A B B= ≥
6)
( )

( )
2
2
0, 0

0, 0
A B
A B
A B
A B
A B

≥ ≥

=

< ≥
−


7)
( )
1
0, 0
A
AB AB B
B B
= ≥ ≠
8)
( )

0
A A B
B
B
B
= >
9)
0
0
0
A
A B
B

=

+ = ⇔

=


10)
0 0A hay B
A B
A B
≥ ≥

= ⇔

=


11)
( )
( )
0, 0,
M A B
M
A B A B
A B
A B
±
= ≥ ≥ ≠
−
±
12) Công thức căn phức tạp:
( )
2 2
2
0, 0,
2 2
A A B A A B
A B A B A B
+ − − −
± = ± > > >
13) Biến đổi căn bậc lẻ:
k N∈
2 1
2 1
2 1 2 1 2 1
.

k
k
k k k
A A
AB A B
+
+
+ + +
=
=
( )
2 1
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
0
. .
k
k
k
k k
k
A A
B
B
B
A B A B
+
+

+
+ +
+
= ≠
=
14) Biến đổi căn bậc chẵn:
k N∈
( )
2
2
2
2 2
. 0
k
k
k
k k
A A
AB A B AB
=
= ≥
( )
( )
2
2
2
2 2
2
0, 0
. . 0

k
k
k
k k
k
A
A
AB B
B
B
A B A B B
= ≥ ≠
= ≥
15) Giả sử
, 0a b ≥
. Với mọi
; 2n N n∈ ≥
, ta có:
.
n n
n n
n n
n n
a b a b a b
a b a b a b
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
< ⇔ < ⇔ <
16) Một số hằng đẳng thức cần nhớ thêm:
( )
2

2 2 2
2 2 2a b c a b c ab bc ac± + = + + ± + ±
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1
2
a b c ab bc ca a b b c c a
 
+ + + + + = + + + + +
 
17) Một số dạng bình phương đặc biệt thường gặp:
( )
2
4 2 3 3 1 2 3± = ± → +
( )
2
6 2 5 5 1 3 5± = ± → +
( )
2
7 4 3 2 3± = ±
Trường THCS Long Hòa
Trường THCS Long Hòa
Trang
Trang
1
1
Đại số 9
Đại số 9
Các chủ đề Toán về căn thức

Các chủ đề Toán về căn thức
( )
2
9 2 20 5 4± = ±
( )
2
8 2 15 3 5± = ±
Chú ý: Khi rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:
• Trước tiên cần tìm điều kiện xác định đối với căn thức cũng như đối với phân
thức.
• Kết quả rút gọn để ở dạng nào là tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán.
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức P
Phương pháp giải: Một số phương pháp sau có thể tham khảo để giải toán:
 Dùng các phép biến đổi căn thức thông thường như trong SGK.
 Tính
2
P
rồi từ sự âm, dương của P mà suy ra P.
 Nhân thêm một lượng nào đó như tính
2, 3,...P P
rồi suy ra P.
 Đặt ẩn phụ.
 Sử dụng các hằng đẳng thức, bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
4 7 4 7M = + − −
Cách 1: Dùng phép biến đổi thông thường:
Ta có:
8 2 7 8 2 7 7 1 7 1 2
4 7 4 7 2

2 2 2
2 2
M
+ − + −
= + − − = − = − = =
Cách 2: Tính
2M M⇒
Ta có
( )
2 8 2 7 8 2 7 7 1 7 1 2M = + − − = + − − =
Suy ra:
2
2
2
M = =
Cách 3: Trong bài có
( )
2
2 2
4 7;4 7;4 7 9 3+ − − = =
nên ta có thể tính
2
M
Dễ thấy M > 0
Ta có:
(
)
( ) ( )
2
2

4 7 4 7 8 2 4 7 4 7 8 2 9 2M = + − − = − + − = − =
Suy ra
2M =
Cách 4: Trong bài có
2
4 7 9 0− = >
nên ta có thể dùng công thức căn phức tạp.
Ta có:
4 7 4 7
4 16 7 4 16 7 4 16 7 4 16 7

2 2 2 2
1
2 2
2
M = + − −
   
+ − − − + − − −
 ÷  ÷
= + − −
 ÷  ÷
   
= =
Trường THCS Long Hòa
Trường THCS Long Hòa
Trang
Trang
2
2
Đại số 9

Đại số 9
Các chủ đề Toán về căn thức
Các chủ đề Toán về căn thức
Ví dụ 2: Tính
30 20
22 12
2 2
2 2
N
−
=
−
Ta dùng phép biến đổi thông thường.
Ta có:
( )
( )
20 10
30 20
8 4
22 12
12 10
2 2 1
2 2
2 2 16
2 2
2 2 1
N
−
−
= = = = =

−
−
Ví dụ 3: Cho
=
14 2 43 14 2 43
10 chæ s¯ 9 10 chæ s¯ 0
99......9400......09N
. Tính
N
Ta dùng phép biến đổi thông thường kết hợp với hằng đẳng thức để giải bài toán
này. Ta có:

( ) ( )
   
= = +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
= − + +
= − +
=
14 2 43 14 2 43 142 43 14 2 43
10 chæ s¯ 9 10 chæ s¯ 0 10 chæ s¯ 9 11 chæ s¯ 0
2 2
2
99......9400......09 99......94 100.....0 9
99....97 3 99....97 3 9
99....97 3 9
99....97
N x

Suy ra
99999999997N
=
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức
2 1 2 1= + − − − −A x x x x
Đối với bài toán này trước tiên ta nên tìm điều kiện xác định của biểu thức
Điều kiện xác định của A là:
2 1 0
1
2
2 1
x
x
x x
− ≥


⇔ ≥

≥ −


Cách 1: Ta tính
2A
Ta có:

( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 1 2 2 2 1

2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1
2 1 1 2 1 1
2 1 1 2 1 1
A x x x x
x x x x
x x
x x
= + − − − −
= − + − + − − − − +
= − + − − −
= − + − − −
Nếu
1x
≥
thì
( )
2 2 1 1 2 1 1 2A x x= − + − − − =
. Do đó
2A =
Nếu
1
1
2
x≤ <
thì
( )
2 2 1 1 1 2 1 2 2 1A x x x= − + − − − = −
. Do đó
2 2 1
4 2

2
x
A x
−
= = −
Cách 2: Tính
2
A
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 1 2 2 1
A x x x x x x x x
x x x x x
= + − + − − − + − − −
= − − + = − −
Trường THCS Long Hòa
Trường THCS Long Hòa
Trang
Trang
3
3
Đại số 9
Đại số 9
Các chủ đề Toán về căn thức
Các chủ đề Toán về căn thức
Nếu
1x

≥
thì
( )
2 0A A= ≥
Nếu
1
1
2
x≤ <
thì
2
4 2A x= −
, do đó
4 2A x= −
Cách 3: Đặt ẩn phụ:
Đặt
2 1 0x y− = ≥
, ta có
2
2 1x y− =
. Ta có:
2 2
2 2 2 1 2 2 2 1
2 2
1 2 1 2

2 2
1
1

2 2
x x x x
A
y y y y
y
y
+ − − −
= − =
+ + + −
= −
−
+
= −
Với
1y ≥
(tức là
1x ≥
) thì
( )
1
1 1 2
2
A y y= + − + =
Với
0 1y≤ <
(tức là
1
1
2
x≤ <

) thì
( )
1
1 1 2 4 2
2
A y y y x= + + − = = −
Cách 4: Dùng công thức căn phức tạp (vì
2
2 1 0x x− + ≥
)
Ta có:
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 2
1
2
2
x x x x x x x x x x x x
A
x x
   
+ − + − − + + − + − − +
 ÷  ÷
= + − −
 ÷  ÷
   
− −
=
Nếu
1x ≥

thì
2A =
Nếu
1
1
2
x≤ <
thì
2 1
2 4 2
2
x
A x
−
= = −
.
Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức
3 3
7 5 2 7 5 2A = + + −
Cách 1: Ta có:
( )
3
3 3
3
7 5 2 1 3 2 6 2 2 1 2 1 2+ = + + + = + = +
( )
3
3 3
3
7 5 2 1 3 2 6 2 2 1 2 1 2− = − + − = − = −

Vậy A = 2
Cách 2: Tính
3
A
Ta có:
( ) ( )
(
)
3 33
3
7 5 2 7 5 2 3 7 5 2 7 5 2 7 5 2 7 5 2 14 3A A= + + − + + − + + − = −
Ta có phương trình:
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 2
2
3 14 0 8 3 6 0 2 2 4 3 3 0
2 2 4 0 2
A A A A A A A A
A A A A
+ − = ⇔ − + − = ⇔ − + + + − =
⇔ − + + = ⇔ =
Trường THCS Long Hòa
Trường THCS Long Hòa
Trang
Trang
4

4
Đại số 9
Đại số 9
Các chủ đề Toán về căn thức
Các chủ đề Toán về căn thức
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau rồi tính:
1/
4 2 3 9 2 20+ + −
2/
7 4 3 7 4 3+ + −
3/
2 3 2 3
2 3 2 3
+ −
+
− +
4/
1 1 1 1
3 3
2 3 2 3
+ + −
5/
2 3 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3
+ −
+
+ + − −
6/
6 2 2. 3 4 2 3A = + − +

7/
5 3 29 12 5B = − − −
8/
( ) ( )
3 5. 10 2 3 5C = − − +
9/
7 3 7 3
7 2
D
− − +
=
−
10/
16 6 7−
11/
12 5 29 12 5 29− + +
12/
2010 2 2009 2009− −
13/
76 42 3 76 42 3− + +
14/
4 7 4 7 2− − + +
15/
4 3 2 2 56 2 81+ − +
16/
10 24 40 60+ + +
17/
9 24 32 48+ − −
18/
2 2 5 13 48+ − +

19/
8 8 20 40+ + +
20/
4 8. 2 2 2 . 2 2 2+ + + − +
21/
5 3 29 12 5− − −
22/
9 1
2 : 2
2 2
 
+ −
 ÷
 ÷
 
23/
( )
15 4 12
6 11
6 1 6 2 3 6
 
+ − +
 ÷
+ − −
 
24/
2
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
 

+ −
−
 ÷
 ÷
+ + − −
 
25/
10 8 6
7
5 5 1 7 1
− − +
+ +
26/
8 2 15 5+ −
27/
10 2 21 3− +
28/
5 24 2+ −
29/
8 28 1− +
30/
14 6 5 5+ −
31/
12 140 5− +
32/
4 8 15
3 5 1 5 5
− +
+ +
33/

11 4 6 3− +
34/
5 2 6 8 2 15
7 2 10
+ + −
+
35/
( )
28 2 14 7 7 7 8− + +
36/
( ) ( )
8 3 2 10 2 3 0,4− + −
37/
( )
15 50 5 200 3 450 : 10+ −
38/
3 3
3 3
4 2 2
4 2 1
+ +
+ +
39/
3
3 3 10 6 3+ + +
40/
1 5 1 5
2 3 5 2 3 5
+ −
+

+ + − −
41/
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
M
+ −
= +
+ + − −
Bài 2: Tính
A
biết:
a/
13 2 42A = −
b/
46 6 5A = +
c/
12 3 15A = −
Trường THCS Long Hòa
Trường THCS Long Hòa
Trang
Trang
5
5
Đại số 9
Đại số 9
Các chủ đề Toán về căn thức
Các chủ đề Toán về căn thức
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau và tính giá trị các biểu thức đó (nếu được)
1/
( ) ( ) ( )

2 2
, a b b a a b− + − ≤
2/
( )
2
1 1
, 0 1
1
1
a a a
a a
a
a
  
− −
+ ≤ ≠
 ÷ ÷
 ÷ ÷
−
−
  
3/
1 1 1
:
1 2 1
a
a a a a a
+
 
+

 ÷
− − − +
 
4/
1 5 2
2 6 3
x
x x x x
−
− −
+ − − −
5/
2 1 2 1x x x x+ − + − −
6/
( ) ( )
3 3
2
2
1 1 1 1
2 1
x x x
x
 
+ − + − −
 
 
+ −
7/
3 4 1 8 6 1x x x x+ − − + + + −
8/

2
3 4 4x x x− + − +
9/
( )
2
4 7 16 56 49, 3x x x x+ − + + =
10/
2
3 5
15 8 15 16,
5 3
a a a
 
− + = +
 ÷
 ÷
 
11/
2
5 7
35 10 35. 25,
7 5
a a a
 
− + = +
 ÷
 ÷
 
12/
( )

3 2
3
3 27 , 3
3
x x
x x
x
+
− + =
+
13/
( )
(
)
2 2
2
12 12
15 33 2 4 48,
9 121
10 6 4 15
x x
M x
x
+ +
= − + +
= − +
14/
1 2 1 2 3
,
4

1 2 1 1 1 2
x x
x
x x
 
+ −
+ =
 ÷
 ÷
+ + − −
 
15/
2
2
4 9 12 4,
7
A x x x x
 
= − − + =
 ÷
 
16/
2
: 1 ,
1
1 1
2
2 3
x y x y
x y xy

B
xy
xy xy
x
 
+ −
 
+ +
= + +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 
 
 
=
 ÷
+
 
17/
( )
1 1 2
: ,
1
1 1
3 2
a
M

a
a a a a
a
 
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
= +
18/
2 2 4 2 2 4A x x x x= + − + − −
19/
( )
1
1 1
a
B a a a a
a
−
= − + − +
20/
2
2
3 2 9
2 6 9

x x
C
x x
+ + −
=
− + −
21/
( )
2 2
2 2
5 6 9
3 2 9
x x x x
D
x x x x
+ + + −
=
− + + −
22/
1 1
2 1
x
P
x x
− −
=
− −
23/
( )
2 2 2 2

, 0
2
x x y x x y
Q x y
x y
+ − − − −
= > >
−
24/
2 1 2 1
2 1
2 1 2 1
x x x x
A x
x x x x
+ − + − −
= × −
+ − + − −
Bài 4: Cho biểu thức
5 6 9A x x x
2
= + + +
a/ Rút gọn biểu thức A;
b/ Tìm giá trị của
x
để
9A
= −
Bài 5: Cho biểu thức
2

1 1 1
2
1 1 2
x x x
B
x x x
  
− +
= − −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  
a/ Rút gọn biểu thức B;
Trường THCS Long Hòa
Trường THCS Long Hòa
Trang
Trang
6
6