Dạy học số tự nhiên trong môn toán ở tiểu học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

PHẠM THỊ VÂN

DẠY HỌC SỐ TỰ NHIÊN
TRONG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khoá luận, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân
em, em còn nhận được sự động viên, hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn
Năng Tâm và những ý kiến đóng góp của thầy cô trong tổ phương pháp.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến các thầy cô giáo
trong khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy, cô giáo trong tổ phương pháp dạy
học Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Năng
Tâm - giảng viên khoa Giáo dục Tiểu học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này.
Do điều kiện thời gian, năng lực còn hạn chế nên khoá luận còn có
những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô và các bạn để khoá luận của em được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Phạm Thị Vân


LỜI CAM ĐOAN
Hoàn thành đề tài: “Dạy học số tự nhiên trong môn Toán ở Tiểu học” là
quá trình tự tìm hiểu, tự nghiên cứu dưới sự giúp đỡ của giáo viên hướng dẫn
và tham khảo tài liệu có liên quan.
Em xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của riêng em, đề tài không
trùng với đề tài của tác giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Phạm Thị Vân


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2
3. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 3
4. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 3
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 3
6. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 3
7. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN ..................................................................... 4
1.1. Lí luận dạy học ........................................................................................... 4
1.1.1. Sự phát triển tư duy toán học của học sinh tiểu học ............................... 4
1.1.2. Tư duy về số học của học sinh Tiểu học ................................................ 7

1.2. Thực trạng dạy và học nội dung số học trong môn Toán ở Tiểu học hiện
nay ..................................................................................................................... 8
1.2.1. Về chương trình môn Toán ở Tiểu học ................................................... 8
1.2.2. Về dạy học nội dung số tự nhiên trong môn Toán ở Tiểu học ............... 9
CHƢƠNG 2: DẠY HỌC SỐ TỰ NHIÊN ................................................... 11
2.1. Xây dựng tập số tự nhiên ......................................................................... 11
2.1.1. Xây dựng tập số tự nhiên ở Đại học ..................................................... 11
2.1.1.1. Quan hệ đẳng lực ............................................................................... 11
2.1.1.2. Tập số tự nhiên ................................................................................... 11
2.1.2. Hình thành số tự nhiên ở Tiểu học ........................................................ 12
2.1.3. Dạy hình thành khái niệm số tự nhiên ở Tiểu học ................................ 13
2.1.3.1. Dạy phép đếm cho học sinh ............................................................... 13
2.1.3.2. Trình tự sắp xếp nội dung dạy học các số ở Toán Tiểu học .............. 14


2.1.3.3. Hình thành số tự nhiên qua các vòng số ............................................ 15
2.1.3.4. Nhận xét ............................................................................................. 20
2.1.4. Ghi số và cấu tạo thập phân của số tự nhiên ......................................... 21
2.1.4.1. Cách ghi số tự nhiên theo cơ số g (ở Đại học) .................................. 21
2.1.4.2. Cách ghi số của số tự nhiên ở Tiểu học ............................................. 21
2.1.4.3. Dạy học cấu tạo thập phân của số tự nhiên ở Tiểu học ..................... 22
2.1.4.4. Nhận xét ............................................................................................. 24
2.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên ................................................... 25
2.2.1. Quan hệ thứ tựu trên tập hợp số tự nhiên ở Đại học ............................. 25
2.2.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 25
2.2.1.2. Định lý ................................................................................................ 25
2.2.1.3. Số tự nhiên liền sau ............................................................................ 25
2.2.1.4. So sánh hai số tự nhiên....................................................................... 26
2.2.2. Dạy học quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên ở Tiểu học ................ 26
2.2.2.1. Dạy học thứ tự số tự nhiên ................................................................. 27

2.2.2.2. Dạy học so sánh hai số tự nhiên ......................................................... 27
2.2.3. Nhận xét ................................................................................................ 32
2.3. Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên .................................................... 32
2.3.1. Phép cộng và tính chất của phép toán cộng trên tập hợp số tự nhiên ... 32
2.3.1.1. Phép cộng và tính chất của phép toán cộng trên tập hợp số tự nhiên ở
Đại học ............................................................................................................ 32
2.3.1.2. Dạy học tính chất của phép toán cộng trên tập hợp số tự nhiên ở Tiểu
học ................................................................................................................... 37
2.3.1.3. Nhận xét ............................................................................................. 40
2.3.2. Phép trừ trên tập hợp số tự nhiên .......................................................... 40
2.3.2.1. Phép trừ trên tập hợp số tự nhiên ở Đại học. ..................................... 40
2.3.2.2. Phép trừ trên tập hợp số tự nhiên ở Tiểu học ..................................... 41


2.3.2.3. Dạy học phép trừ trong môn Toán ở Tiểu học ................................... 42
2.3.2.4. Nhận xét ............................................................................................. 44
2.3.3. Phép nhân trên tập số tự nhiên .............................................................. 45
2.3.3.1. Phép nhân trên tập hợp số tự nhiên ở Đại học .................................. 45
2.3.3.2. Phép nhân trên tập số tự nhiên ở Tiểu học ......................................... 46
2.3.3.3. Nhận xét ............................................................................................. 52
2.3.4. Phép chia trên tập hợp số tự nhiên ........................................................ 52
2.3.4.1. Phép chia trên tập hợp số tự nhiên ở Đại học .................................... 52
2.3.4.2. Phép chia trên tập hợp số tự nhiên ở Tiểu học ................................... 53
2.3.4.3. Dạy học phép chia trong môn Toán Tiểu học .................................... 54
2.3.5. Nhận xét ................................................................................................ 59
KẾT LUẬN .................................................................................................... 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cấp học Tiểu học là cấp học nền tảng của hệ thống giáo dục quốc dân.
Chất lượng giáo dục phụ thuộc rất nhiều vào kết quả đào tạo ở Tiểu học. Mỗi
môn học ở Tiểu học đều góp phần vào sự hình thành, phát triển nhân cách của
con người lao động mới.
Các môn học ở Tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán chiếm vị
trí vô cùng quan trọng. Các kiến thức, kĩ năng môn Toán ở Tiểu học có nhiều
ứng dụng trong đời sống, rất cần thiết cho người lao động; là cơ sở để học tập
các môn học khác ở Tiểu học và để học tiếp môn Toán ở các cấp học tiếp theo.
Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán ở tiểu học là rất to lớn, nó
có nhiều khả năng để phát triển tư duy lôgic, bồi dưỡng và phát triển những
thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức thế giới hiện thực như: trừu tượng hoá,
khái quát hoá, phân tích và tổng hợp, so sánh, dự đoán, chứng minh và bác
bỏ. Nó có vai trò quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy
luận, giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, toàn diện, chính xác; có tác dụng
trong việc phát triển trí thông minh, tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong
việc hoàn thành và rèn luyện trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người, góp
phần giáo dục ý chí và những đức tính tốt như: cần cù, nhẫn nại, có ý thức
vượt qua khó khăn…
Học sinh Tiểu học được làm quen với Toán học ngay từ những ngày
đầu đến trường. Vì vậy, việc xây dựng nội dung chương trình môn Toán ở
Tiểu học phù hợp với nhận thức và đặc điểm tâm - sinh lý của các em. Nội
dung Toán học bao gồm 5 chủ đề kiến thức lớn:
- Những kiến thức về số học:
- Các yếu tố Đại số

1

- Các yếu tố hình học
- Phép đo đại lượng
- Giải toán có lời văn
Chúng ta xác định trọng tâm đồng thời là hạt nhân của nội dung môn
Toán ở Tiểu học là các kiến thức và kĩ năng cơ bản về số học; Tập hợp số tự
nhiên, số thập phân, phân số.
Số tự nhiên là một thành tựu toán học lâu đời nhất của loài người. Ngày
nay, số tự nhiên được sử dụng ở mọi lúc, mọi nơi của đời sống xã hội; trong
giao dịch, mua bán, thư tín, điện thoại,… khó có thể hình dung một xã hội
không có số tự nhiên. Số tự nhiên ra đời do nhu cầu nhận biết về số lượng của
sự vật. Nhu cầu đó xuất hiện ngay cả trong một xã hội đơn sơ nhất, khi xã hội
càng phát triển nhu cầu đó càng tăng. (Xem [4],tr1)
Trong chương trình môn Toán ở Tiểu học, việc hình thành khái niệm số
tự nhiên được đưa vào từ lớp 1. Các số tự nhiên được trình bày theo từng số,
bắt đầu từ số 1, theo thứ tự phép đếm. Mô hình này có thể được coi là mô
hình dựa trên khái niệm “số đứng liền sau”. Các số xây dựng theo quan điểm
bản số được xếp thứ tự ngay. Như vậy, việc hình thành khái niệm số tự nhiên
cần được nêu cả hai mặt bản số và tự số của nó.
Vấn đề đặt ra là cần tìm phương pháp hợp lí và có hiệu quả cao nhất
trong dạy học để giúp học sinh lĩnh hội được tri thức, đưa học sinh vào hoạt
động học tập có chủ đích được tổ chức vừa sức với các em.
Để đáp ứng yêu cầu và nhiệm vụ trên, để góp phần nâng cao chất
lượng, hiệu quả của việc dạy và học Toán ở Tiểu học, em chọn đề tài “Dạy
học số tự nhiên trong môn Toán ở Tiểu học”.
2. Đối tƣợng nghiên cứu
Kiến thức về số tự nhiên, các phép toán trên tập số tự nhiên.
Dạy học số tự nhiên trong môn Toán ở Tiểu học.

2

3. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu trên cơ sở nội dung số học ở Đại học và vận dụng trong
dạy học số học trong môn Toán ở Tiểu học.
4. Mục đích nghiên cứu
Nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy học môn Toán nói
chung và dạy học số tự nhiên và các phép toán trên tập hợp số tự nhiên ở Tiểu
học nói riêng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
Phương pháp thực nghiệm.
Phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phân tích một số nội dung kiến thức có liên quan ở Đại học về số tự
nhiên, các phép toán trên tập số tự nhiên.
Phân tích các kiến thức và phương pháp dạy học về số tự nhiên, các
phép toán trên tập số tự nhiên.
Từ hai nội dung phân tích, rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa hai kiến
thức trên, ứng dụng của kiến thức Đại số ở Đại học vào xây dựng chương
trình và dạy học về số tự nhiên, các phép toán trên tập số tự nhiên như thế
nào, đưa ra cách dạy mang lại hiệu quả cao nhất.
7. Cấu trúc khóa luận
Mở đầu
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận
Chƣơng 2: Dạy học số tự nhiên
Kết luận
Tài liệu tham khảo

3

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Lí luận dạy học
1.1.1. Sự phát triển tƣ duy toán học của học sinh tiểu học
Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản
chất, những mối liên hệ có tính quy luật giữa các sự vật, hiện tượng trong thế
giới khách quan mà trước đó ta chưa biết hoặc biết chưa đầy đủ. Tư duy của
con người mang bản chất xã hội, nó chịu sự chi phối của bản chất nhu cầu xã
hội. Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, tiến hành các
thao tác trí tuệ và để biểu đạt các kết quả tư duy.
Ở học sinh có 3 loại tư duy: trực quan hành động, trực quan hình ảnh,
tư duy trừu tượng. Để tiếp thu khái niệm, học sinh phải tiến hành các thao tác
tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá.
- Phân tích: là dùng trí óc phân tích đối tượng nhận thức thành các bộ
phận, những thuộc tính riêng biệt trong đối tượng từ đó nhân thức đối tượng
sâu sắc hơn.
- Tổng hợp: là dùng trí óc kết hợp các thành phần đã được tách ra qua
phân tích và khôi phục lại cái toàn thể dựa trên những liên hệ thuộc về bản
chất đã được khám phá nhờ phân tích.
Hai thao tác phân tích và tổng hợp là trái ngược nhau nhưng chúng
thống nhất trong một quá trình. Phân tích là cơ sở của tổng hợp, tổng hợp
được tiến hành trên cơ sở phân tích.
- So sánh: Là dùng trí óc để xác định sự giống nhau, khác nhau giữa
các sự vật, hiện tượng. Muốn so sánh các sự vật, hiện tượng học sinh phải
phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, từ đó đối chiếu từng thuộc
tính, từng dấu hiệu một. Sau đó tổng hợp và đưa ra kết luận.

4

- Trừu tượng hoá: Thao tác trí óc mà chủ thể bỏ qua những dấu hiệu
không bản chất của sự vật, hiện tượng, tách ra những dấu hiệu bản chất để trở
thành đối tượng của tư duy.
Tư duy của học sinh tiểu học chia làm 2 giai đoạn:
+ Giai đoạn đầu tiểu học (lớp 1, 2, 3)
Tư duy của học sinh ở giai đoạn này chủ yếu là tư duy cụ thể (tư duy
trực quan qua hình ảnh và trực quan hành động). Học sinh tiếp thu tri thức các
môn học bằng cách tiến hành các cách thao tác tư duy với các đối tượng cụ
thể hoặc là hình ảnh trực quan.
Ví dụ: Khi học phép tính học sinh phải sử dụng que tính để tính toán.
- Phân tích và tổng hợp phát triển không đồng đều khi các em học các
môn:
Ví dụ: Khi học sinh làm bài tập toán, các em bị lôi cuốn vào các từ
“thêm vào”, “bớt đi” hoặc “kém”, tách khỏi điều kiện chung của bài tập từ đó
dẫn đến kết quả sai lầm.
Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau thành tổng thể bằng tính
nghịch giúp học sinh tiếp thu được nguyên lí bảo toàn. Từ đó, trong tư duy
của học sinh có một bước tiến quan trọng đó là phân biệt được định tính và
định lượng. Đó cũng là điều kiện ban đầu để hoàn thành khái niệm số ở học
sinh đầu tiểu học và học sinh nhận thức được tính quy luật.
Ví dụ: Nếu a > b thì b < a
Sau đó, nếu a > b, b > c thì a > c
- Từ đó nhận thức được quan hệ thứ tự bằng quan hệ “>”, “<” đưa đến
khả năng phân biệt hệ thống này với hệ thống kia. Thao tác tư duy với các
đối tượng cụ thể hoặc là hình ảnh trực quan.
- Ví dụ: Khi học phép tính học sinh phải sử dụng que tính để tính toán.
Phân tích và tổng hợp phát triển không đồng đều khi các em học các môn:

5

Ví dụ: Khi học sinh làm bài tập toán, các em bị lôi cuốn vào các từ
“thêm vào”, “bớt đi” hoặc “kém”, tách khỏi điều kiện chung của bài tập từ đó
dẫn đến kết quả sai lầm.
Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau thành tổng thể bằng tính
nghịch giúp học sinh tiếp thu được nguyên lí bảo toàn. Từ đó, trong tư duy
của học sinh có một bước tiến quan trọng đó là phân biệt được định tính và
định lượng. Đó cũng là điều kiện ban đầu để hoàn thành khái niệm số ở học
sinh đầu tiểu học và học sinh nhận thức được tính quy luật.
Ví dụ: Nếu a > b thì b < a
Sau đó, nếu a > b, b > c thì a > c
Từ đó nhận thức được quan hệ thứ tự bằng quan hệ “>”, “<” đưa đến
khả năng phân biệt hệ thống này với hệ thống kia. Ví dụ: Học sinh biết phép
trừ là phép toán ngược của phép toán cộng, phép chia là phép toán ngược của
phép toán nhân.
Học sinh biết sắp xếp thứ tự các số theo chiều tăng hoặc giảm dần.
Suy luận của các em còn mang tính chủ quan và gắn liền với kinh
nghiệm thực tế, khó chấp nhận giả thuyết không thực.
Ví dụ: Học sinh khó chấp nhận giả định một con gà có 3 chân thì hai
con gà có 6 chân.
- Khái quát hoá còn mang tính trực tiếp dựa vào thuộc tính bề ngoài của
đối tượng.
* Giai đoạn cuối Tiểu học (lớp 4, 5)
- Giai đoạn này, tư duy trừu tượng chiếm ưu thế hơn. Học sinh tiếp thu
tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác tư duy với các kí hiệu.
Ví dụ: Học sinh tóm tắt các bài toán có lời văn bằng sơ đồ đoạn thẳng,
biểu đồ Ven, biểu đồ hình chữ nhật…
- Học sinh xác lập được mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả tốt
hơn là xác lập mối quan hệ từ kết quả đến nguyên nhân. Bởi vì khi suy luận từ

6


nguyên nhân đến kết quả, mối quan hệ trực tiếp được xác lập. Ngược lại, khi
suy luận từ kết quả ra nguyên nhân, mối liên hệ trực tiếp không được xác lập
do một kết quả có thể có nhiều nguyên nhân.
Ví dụ: Học sinh biết a  0 = 0 nhưng rất khó khăn khi giải
a  b = 0 để có a = 0 hoặc b = 0.
1.1.2. Tƣ duy về số học của học sinh Tiểu học (Xem [4], tr76)
Trong lĩnh vực tư duy về số học, các nhà nghiên cứu đã nêu lên bốn
trình độ phát triển sau đây:
- Trình độ thứ nhất: Ở trình độ này, khái niệm số gắn liền với tập hợp
các đồ vật cụ thể. Học sinh thao tác và tính toán trên các tập hợp đó.
- Trình độ thứ hai: Ở trình độ này, học sinh có thể nhận thức được việc
xây dựng bằng suy diễn toàn bộ đại số học trên một mô hình cụ thể đó là các
chữ - kí hiệu của đối tượng tính toán được sử dụng như là những số hoặc
những biểu thức số trên một tập hợp đã cho (số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ,
số thực) còn các phép tính thì vẫn có những ý nghĩa thông thường.
- Trình độ thứ ba: ở trình độ này, học sinh đã có sự tiến bộ trong nhận thức
về khái niệm số. Học sinh đã có thể bước đầu làm quen với tư duy trừu tượng.
- Trình độ thứ tư: Ở trình độ này, con người đã có thể nhận thức được
đại số học xây dựng như là một hệ thống suy diễn trừu tượng, đã có thể từ
những mô hình cụ thể quen thuộc chuyển sang các mô hình khác của lí thuyết
trừu tượng này; đã có thể nhận thức được sự tồn tại của các đại số khác nhau
có những phép toán xác định với những tính chất xác định.

7


1.2. Thực trạng dạy và học nội dung số học trong môn Toán ở Tiểu học

hiện nay
1.2.1. Về chƣơng trình môn Toán ở Tiểu học
Năm 2000, Bộ Giáo dục và Đào tạo đưa ra chương trình Sách giáo
khoa Tiểu học mới. Bộ sách này được coi là hiện hành đổi mới cả về nội
dung, phương pháp và hình thức tổ chức dạy học.
Nội dung môn Toán được xây dựng căn cứ vào sự phát triển tâm - sinh
lí của học sinh Tiểu học từng giai đoạn.
* Giai đoạn đầu (lớp 1, 2, 3): Chủ yếu gồm các nội dung gần gũi với
cuộc sống của trẻ, dựa trên kinh nghiệm đời sống của trẻ, dựa trên kinh
nghiệm đời sống của trẻ, chuẩn bị những đồ dùng trực quan, cụ thể để giúp
học sinh nhận thức kiến thức và kĩ năng cơ bản.
* Giai đoạn cuối (lớp 4, 5): Chủ yếu gồm các nội dung có tính khái
quát, hệ thống cao hơn (so với trước) nhưng vẫn dựa vào các hoạt động đo,
tính, trên cơ sở đó bước đầu tập khái quát, tập suy luận.
Ví dụ: Giai đoạn đầu, học sinh chỉ làm việc với một bộ phận của dãy số
tự nhiên, nhận biết một số đặc điểm của dãy qua các ví dụ cụ thể (chưa nêu
thành câu kết luận khái quát), còn ở giai đoạn cuối, mỗi học sinh phải xem
xét, hệ thống hoá và khái quát hoá các đặc điểm của dãy số tự nhiên.
Do đặc điểm môn Toán và đặc điểm nhận thức cua học sinh Tiểu học,
các kiến thức và kĩ năng của môn Toán được hình thành chủ yếu bằng các
hoạt động thực hành đếm, đo, quan sát, làm tính, giải toán… Thông qua thực
hành, học sinh có thể bước đầu hình thành các khái niệm toán, quy tắc tính,
đồng thời có thể củng cố tri thức, rèn kĩ năng, phát triển tư duy, phát triển trí
thông minh.
Cấu trúc nội dung môn Toán là cấu trúc theo kiểu đông tâm hợp lí.
Trọng tâm là nội dung Số học (số tự nhiên, số thập phân, phân số) còn các nội

8

dung khác được sắp xếp gắn bó với hạt nhân số học, tạo sự gắn bó, liên kết
chặt chẽ với nhau. Các kiến thức và kĩ năng số học được sắp xếp và phát triển
dần theo các vòng số. Nhờ sự sắp xếp theo kiểu đồng tâm hợp lí mà các nội
dung của môn Toán được củng cố thường xuyên và phát triển dần từ đơn giản
đến phức tạp, từ dễ đến khó. Trong sách giáo khoa các lớp đều có phần ôn
tập, bổ sung ở đầu năm học và ôn tập, hệ thống hoá cuối năm học. Trong quá
trình dạy học toán, ngoài các tiết dạy học các kiến thức mới và luyện tập để
ôn tập, củng cố kiến thức và kĩ năng trong từng giai đoạn học tập.
1.2.2. Về dạy học nội dung số tự nhiên trong môn Toán ở Tiểu học
Trong thời gian thực tập tại Trường Tiểu học Định Trung, Vĩnh Yên Vĩnh Phúc, qua tiếp xúc với học sinh và trao đổi với giáo viên, em đã rút ra một
số khó khăn khi học sinh học phần số tự nhiên. Mong rằng những thực tế này
giúp chúng ta lưu tâm hơn khi giảng dạy nội dung kiến thức này cho học sinh.
+ Về cách viết số có hai chữ số: Chẳng hạn, để viết số “năm mươi hai”
thì chữ số 5 viết trước, sau đó viết chữ số 2 vào bên phải chữ số 5. Nhưng học
sinh hay mắc sai lầm như viết thành 502.
+ Về cách đọc số có hai chữ số: Bắt đầu từ số 20, đọc các số cần có sự
chuyển đổi về âm tiết (chuyển từ “mười” thành “mươi”). Ví dụ: số 13 đọc là
“mười ba”, số 32 đọc là “ba mươi hai” nhưng nhiều học sinh đọc thành “hai
ba”, “hai mười ba”. Hoặc học sinh nói ngọng như số 45 đọc là “ bốn mươi
năm”, số 15 đọc là “mười năm”.
+ Về thực hiện phép cộng, phép trừ (có nhớ), đa số học sinh đều quên
không thực hiện “nhớ” (do tính hay quên và mau quên của học sinh giai đoạn
đầu Tiểu học), dẫn đến kết quả thực hiện phép tính bị sai. Ở phép cộng, học
sinh quên không “nhớ” vào hàng trước, ở phép trừ, các em quên không “nhớ”
vào hàng trước.

9


+ Về học bảng nhân, chia do phép chia là phép toán ngược của phép

nhân, khi học thuộc các bảng chia mất rất nhiều thời gian, hay nhầm lẫn, gây
khó khăn khi thực hiện phép tính chia hoặc giải các bài toán có lời văn.
+ Về thực hiện phép chia một số có nhiều chữ số cho một số bất kì, học
sinh hay gặp một số lúng túng, nhầm lẫn.
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính chia 4235 : 6
4235 6

Nhiều học sinh khi hạ 3 ở số bị chia xuống,

003

thấy không chia hết cho 6 liền hạ cả 5 xuống

705

và cho ra kết quả sai thương là 75.

35
5

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính chia 1560 : 2
1560 2

Học sinh dễ nhầm lẫn khi thục hiện phép chia

016

phần cuối cùng, thấy 0 ở cuối sô bị chia không

000

780

chia hết cho 2 nên bỏ qua, chỉ cho kết quả
thương là 78, đó là kết quả sai.

+ Về học dấu hiệu chia hết cho 9 và 3, học sinh được học dấu hiệu chia
hết cho 9 rồi mới học dấu hiệu chia hết cho 3 vì một số chia hết chp 3 thì cũng
chia hết cho 9, các số chia hết cho 9 trở thành một bộ phận của các số chia hết
cho 3. Vì vậy, khi một số chia hết cho 3, học sinh có thể suy ra số đó cũng
chia hết cho 9. Tuy nhiên, một số học sinh nhầm lẫn khi thấy một số chia hết
cho 3 thì cho rằng nó cũng chia hết cho 9 là sai.
+ Về thực hiện tính giá trị biểu thức có chứa nhiều dấu phép tính.
Ví dụ: 128 + 21  3 = 128 + 105 = 233
Nhưng nhiều học sinh viết thành:
128 + 21  3 = 21  3 = 128 + 105 = 233 là sai. Nguyên nhân do học
sinh được học thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức có chứa nhiều
dấu phép tính là “nhân chia trước, cộng trừ sau”, khi thực hiện tính giá trị biểu

10


thức, học sinh chỉ chú tâm vào thực hiện phép tính (21  3) mà quên việc giữ
nguyên thành phần tử ta chưa thao tác tới.

CHƢƠNG 2: DẠY HỌC SỐ TỰ NHIÊN

2.1. Xây dựng tập số tự nhiên
Ở các cấp học trên, người ta đưa ra khái niệm “số tự nhiên” dưới dạng
định nghĩa lôgic chính xác. Xây dựng tập số tự nhiên dựa vào khái niệm cơ

bản là khái niệm “bản số” (lực lượng). Cách xây dựng này gần giống với sự ra
đời, hình thành một cách tự nhiên của nó.
2.1.1. Xây dựng tập số tự nhiên ở Đại học
2.1.1.1. Quan hệ đẳng lực
Định nghĩa 1: Tập hợp A tương đương (hay đẳng lực) với tập hợp B và
viết A ~ B, nếu có một song ánh f từ A lên B.
Quan hệ ~ trên là quan hệ đẳng lực.
Quan hệ đẳng lực có các tính chất của một quan hệ tương đương (Xem
chứng minh [8]-tr5, tr6), vì vậy khi A đẳng lực với B ta cũng nói A tương
đương với B.
2.1.1.2. Tập số tự nhiên
Định nghĩa 2:

11


Tập hợp không đẳng lực với một bộ phận thực sự nào đó gọi là tập hợp
hữu hạn.
Tập hợp không hữu hạn gọi là tập hợp vô hạn. Nói cách khác, tập hợp
vô hạn là tập hợp đẳng lực với bộ phận thực sự của nó.
Ví dụ: Tập hợp {a,b} là tập hợp hữu hạn vì có 2 tập con thực sự {a} và
{b} nhưng không thể thiết lập được song ánh từ chúng vào tập hợp đã cho.
Định nghĩa 3:
Ta gọi bản số (lực lượng) của một tập hợp hữu hạn bất kì là một số tự
nhiên.
Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là

(Natural).

Mỗi tập hợp A đều có một bản số, kí hiệu là card A hay A , sao cho:

card A = card B khi và chỉ khi A ~ B
Vậy a 

khi và chỉ khi tồn tại A, hữu hạn sao cho a = card A.

Ví dụ:  là một tập hợp hữu hạn
Vậy card  
Card {x} 

. Kí hiệu 0 = card 
. Kí hiệu 1 = card {x}

2.1.2. Hình thành số tự nhiên ở Tiểu học
Số là khái niệm trừu tượng đầu tiên mà trẻ em được gặp trong học toán.
Cơ sở để trẻ em nhận thức được khái niệm số là cách đếm. Ngay từ trước khi
học lớp 1, đa số trẻ đã biết đọc các số “1, 2, 3, 4…” có khi đến 20, thậm chí
nhiều em đếm được đến 100. Tuy nhiên, như vậy chưa có nghĩa là trẻ đã có
được những hiểu biết chính xác về số.
Trong chương trình Tiểu học, khái niệm số được xây dựng theo tinh
thần của lý thuyết tập hợp thông qua các hình ảnh trực quan chứ chưa dùng
ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp. Việc hình thành khái niệm số tự nhiêm được
đưa vào từ lớp 1. Các số tự nhiên được trình bày theo từng số bắt đầu từ số 1

12


và thứ tự phép đếm. Mô hình toán học này cũng có thể được coi là mô hình
dựa trên khái niệm “số đứng liền sau”, các số xây dựng theo quan niệm bản số
được sắp xếp thứ tự. Cách trình bày như vậy đã giải quyết được đồng thời vấn
đề hình thành, tên gọi, thứ tự và kí hiệu số.

2.1.3. Dạy hình thành khái niệm số tự nhiên ở Tiểu học
Đối với học sinh tiểu học, việc hình thành khái niệm số tự nhiên phải
vận dụng đồng thời cả hai mặt (bản số và số tự số) của nó. Mặt trên thể hiện ở
chỗ dùng phép tương ứng 1-1, làm cho các em thấy được đó là dấu hiệu
chung của các tập hợp tương đương (có cùng số phần tử). Mặt dưới ở chỗ sử
dụng phép đếm mà học sinh lớp 1 đã biết từ trước.
2.1.3.1. Dạy phép đếm cho học sinh
Khi dạy học đếm các số, giáo viên cần lưu ý hình thành cho học sinh
một số điểm quan trọng. (Xem [1],tr 53).
Về kiến thức: Phép đếm là sự thiết lập tương ứng 1- 1 giữa đối tượng
cần đếm với một bộ phận đầu tiên của tập hợp số tự nhiên khác 0
(

\{  }). (

là tập hợp số tự nhiên)

Về thực hành đếm: Trong thực tiễn, học sinh chỉ tay vào từng phần tử
của nhóm đối tượng cần đếm theo thứ tự chỉ tay mà đọc tên các số, bắt đầu từ
“một”, “hai”, “ba”, “bốn”. Số đọc đến cuối cùng trong phép đếm là số lượng
của nhóm đối tượng đã cho.
Quy tắc đếm là: Không đếm sót (đối tượng nào cũng được đếm), không
đếm thừa, không đếm lặp lại (không chỉ tay vào một đối tượng hai lần).
Ngoài việc đếm số lượng một nhóm đối tượng như đã nêu trên, học
sinh nhớ lại thứ tự các số trong dãy số và đọc lại tên các số trong dãy số theo
thứ tự liên tiếp. Với nhiệm vụ này, học sinh làm được nhiều dạng bài tập khác
nhau như:

13

+ Đếm tiếp, bắt đầu từ một số nào đó, chẳng hạn đếm tiếp “hai mươi
ba”: 23, 24, 25,…
+ Đếm từng chục: 10, 20, 30,…
Ngoài ra, còn các bài tập yêu cầu học sinh đọc ngược lại thứ tự của dãy số,
chẳng hạn, đọc ngược các số bắt đầu từ “bảy mươi tư”: 74, 73, 72, 71, 70, 69,…
Việc dạy phép đếm cho học sinh nhằm giúp học sinh xác định được số
lượng của một nhóm đối tượng cho trước, tạo ra (vẽ, tô màu) một nhóm đối
tượng có số lượng cho trước, là thao tác cơ bản để học sinh tiếp thu khái niệm
số tự nhiên, các phép toán trên tập hợp số tự nhiên. Đồng thời củng cố cho
học sinh về dãy số tự nhiên, về thứ tự các số trong dãy số.
2.1.3.2. Trình tự sắp xếp nội dung dạy học các số ở Toán Tiểu học
Nội dung dạy học các số ở Toán Tiểu học được sắp xếp theo trình tự
phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh (đi từ các số trực giác đến các số
có một chữ số, các số có hai, ba chữ số và các số có nhiều chữ số hơn…). Cụ
thể, nội dung này được sắp xếp theo các vòng số:
Vòng 10
Vòng 20
Vòng 100, 1000, lớp triệu.
Ở Tiểu học, khi xây dựng khái niệm ban đầu về số được tiến hành
đồng thời với việc giới thiệu các số đến 10. Mà tập hợp tương đương với
các số này đều là các tập hợp có ít phần tử nên khi giới thiệu cho học sinh
biểu tượng về các tập hợp ứng với các số đang học, giáo viên có thể sử
dụng sơ đồ Ven. Chẳng hạn, khi cho số tự nhiên a, ta có thể minh hoạ các
tập hợp có phần tử là các đồ vật quen thuộc A sao cho lực lượng A bằng a
(card A = a).
Muốn vậy, khi dạy một số bất kì, giáo viên tiến hành lần lượt các bước sau:

14

Bước 1: Hình thành về các biểu tượng tập hợp tương ứng với các số
đang học thông qua các đồ vật cụ thể (thông dụng nhất là que tính trong bộ đồ
dùng học toán) hoặc bằng sơ dồ Ven.
Bước 2: Giới thiệu số và chữ số, tập đọc, tập viết số vừa hình thành.
Bước 3: Tập đếm các mẫu vật của tập hợp.
Bước 4: So sánh số vừa hình thành với các số đã học.
Bước 5: Phân tích số để nắm vững cấu tạo số.
2.1.3.3. Hình thành số tự nhiên qua các vòng số
2.1.3.3.1. Dạy học các số tự nhiên trong vòng 10
Trong vòng 10, việc đếm thêm một là hoạt động chủ yếu để giới thiệu
số lần mới (lần lượt từ bé đến lớn, theo ý nghĩa “số liền sau”, ngoại trừ số 0).
Các số đến 10 được tiến hành từ lớp 1, việc giới thiệu số trong vòng 10
đồng thời với việc xây dựng khái niệm ban đầu về số ở Tiểu học. Do đó cần
giúp học sinh đạt được các yêu cầu sau:
+ Biết xác định đúng số lượng các phần tử của một tập hợp. Biết làm
đúng các dạng bài tập như: “Trong lọ hoa có mấy bông hoa”; “Hãy lấy ra 5
que tính”;…
+ Nắm được nguyên tắc đếm: Đếm hết các phần tử, không đếm bỏ sót,
không đếm lặp (đếm mỗi phần tử 2, 3 lần…) và tên số cuối cùng cho ta kết
quả của phép đếm.
+ Biết cách ghi số bằng chữ số, nhận biết được 10 kí hiệu (chữ số) để
ghi số.
+ Nắm được quan hệ thứ tự giữa các số và vị trí của mỗi số trong dãy
số, so sánh số, điền số còn thiếu vào dãy số.
+ Nắm vững cách lập số (tạo được một tập hợp tương ứng với các số
đang học), cấu tạo số.

15

Muốn đạt được các yêu cầu trên, việc hình thành các số được tiến hành
theo các bước sau:
Bước 1: Hình thành biểu tượng vế các tập hợp tương ứng với số đang
học thông qua những tập hợp đồ vật cụ thể (bông hoa, que tính,…) và hình
tượng trưng (chấm tròn hay dấy nhân).
Cụ thể: (Xem [1], tr46).
Khi hình thành các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5 cho học sinh: Do đặc điểm
của học sinh lớp 1 có thể nhận biết các số 1, 2, 3, 4, 5 một cách trực giác. Các
số 1, 2, 3, 4, 5 được hình thành theo quan điểm bản số: Học sinh quan sát các
đối tượng khác nhau, nhận xét rằng các nhóm đều có cùng số phần tử. Giáo
viên giới thiệu số và chữ số biểu thị số đó.
Ví dụ: Khi hình thành số 3, giáo viên thực hiện như sau:
Giáo viên cho học sinh quan sát các nhóm đồ vật khác nhau nhưng có
cùng số phần tử bằng cách gắn lên bảng 3 ngôi sao, 3 hình vuông và nói “Có
3 ngôi sao”, “Có 3 hình vuông”

Tiếp đó thay bằng 3 chấm tròn

để làm cho học sinh bỏ qua

các tính chất khác của đồ vật (không chú ý đó là đồ vật gì) mà chỉ chú ý, phát
hiện ra các nhóm có đặc điểm chung là đều có số lượng bằng 3.
Khi hình thành các số 6, 7, 8, 9: Trên cơ sở đã học các số 1, 2, 3, 4, 5;
các số tiếp theo được hình thành theo cách đếm thêm một. Từ việc hình thành
biểu tượng về tập hợp tương ứng với số đã được học trước đó.
Ví dụ: Khi dạy số 9, giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động và phát
hiện: Có 8 em bé, thêm 1 em bé nữa được chín em bé (đang chơi); Có 8 hình
tròn, thêm một hình tròn là chín hình tròn… Từ đó, học sinh thấy được tính
chất chung đang xét là “có 8 vật thêm 1 vật nữa được chín vật”.

16


Bước 2: Giới thiệu số và chữ số, tập đọc, tập viết.
+ Sau khi được quan sát các nhóm đồ vật khác nhau nhưng có cùng số
phần tử, học sinh sẽ phát hiện ra các nhóm có đặc điểm chung là đều có số
lượng phần tử bằng nhau, giáo viên sẽ giới thiệu số và chữ số ghi lại số lượng
các nhóm đồ vật đó.
Chẳng hạn: Khi học sinh phát hiện ra các nhóm đồ vật khác nhau nhưng
có cùng số lượng là bốn phần tử, giáo viên giới thiệu: Ta dùng số bốn để chỉ số
lượng của mỗi nhóm đồ vật trên. Số bốn viết bằng số 4, học sinh tập đọc số 4.
Giáo viên cho học sinh tập viết chữ số ngay ngắn, rõ ràng đúng kích thước.
Bước 3: Tập đếm (dựa vào các hình vẽ ở sách giáo khoa).
+ Cho học sinh tập đếm xuôi, đếm ngược nhiều lần. Ban đầu đếm các
vật cụ thể, sau đó đếm bằng hư số.
Chẳng hạn: Khi học số 4, cho học sinh đếm: 1 que tính, 2 que tính, 3
que tính, 4 que tính; 4 que tính, 3 que tính, 2 que tính, 1 que tính. Sau đó đếm:
1, 2, 3, 4; 4, 3, 2, 1;…
Bước 4: Dạy học sinh so sánh hai số.
Ban đầu, so sánh trực tiếp số lượng phần tử của hai tập hợp bàng cách
sắp xếp tương ứng.
Ví dụ: Số hình vuông nhiều hơn số hình tam giác

4 hình vuông
3 tam giác

Ta có: 4 lớn hơn 3.
Viết 4 > 3.

17


Qua việc so sánh này, học sinh dần nắm được vị trí của mỗi số trong
dãy số và quan hệ thứ tự của chúng.
Bước 5: Dạy cấu tạo số: Cho học sinh phân tích số đang học để nắm
được cấu tạo số.
Ví dụ: Khi học số 5, thông qua quan sát các hình ảnh trực quan, học sinh
hiểu được: 5 gồm 4 và 1; 5 gồm 3 và 2. Hoặc thông qua việc tách một nhóm đồ
vật thành hai phần (theo nhiều cách), học sinh sẽ nắm được cấu tạo số.
* Chú ý về việc hình thành số 0 cho học sinh:
Trong chương trình cải cách giáo dục, số 0 được hình thành sau khi học
sinh đã học phép cộng và phép trừ. Nhưng trong chương trình mới, số 0 được
giới thiệu trước khi học các phép cộng, trừ.
Xuất phát từ bể cá có 3 con cá, ta vớt từng con, số lượng cá giảm dần:
+ Vớt đi một con, còn lại 2 con cá.
+ Vớt đi một con nữa, còn lại 1 con cá.
+ Vớt đi một con nữa, còn lại 0 con cá.
Khi đó ta nói bể còn: “không” con cá (số lượng cá ở bể là 0).
Như vậy xét về bản chất toán học, số 0 được hình thành như “bản số”
của tập rỗng.
2.1.3.3.2. Dạy hình thành các số trong vòng 20
* Dạy hình thành số 10, một chục: (Xem [1], tr47)
Số 10 được hình thành như sau: Có 9 chấm tròn, thêm 1 chấm tròn
được “mười” chấm tròn. Như vậy, hình thành số 10 tương tự cách hình thành
số sáu, bảy, tám, chín.
Số 10 là số có hai chữ số học sinh được làm quen đầu tiên. Việc viết số
10 bằng 2 chữ số 1 và 0 là áp đặt, không giải thích ngay từ đầu.
Tiếp theo, học sinh làm quen với thuật ngữ “một chục”, hiểu rằng, khi
gộp 10 que tính sẽ được một chục, trong đầu học sinh sẽ xuất hiện một “đơn

18