Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán véctơ và sử dụng phương pháp véctơ để giải toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 10 KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
VÉCTƠ VÀ SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP VÉCTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN"


Phần I:

MỞ ĐẦU

I- Lý do lựa chọn đề tài.
I.1. Tính lịch sử.
“Cùng với KHCN, giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Chủ trương đó đã thể hiện rõ
quan điểm, đường lối của Đảng và nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng của giáo dục
đối với sự phát triển của đất nước, bởi lẽ giáo dục đóng vai trò quyết định trong việc đào
tạo lực lượng sản xuất, đem đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây
dựng CNXH.
Ngành Giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thông bao
gồm: Đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi mới chương trình sách giáo khoa,
đổi mới công tác quản lý chỉ đạo, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới cách kiểm tra
đánh giá v.v... nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện. Năm học này, Bộ Giáo
dục và đào tạo đưa ra khẩu hiệu “Xây dựng trường học thân thiện và học sinh tích cực”
cũng chính là nhằm hướng học sinh đến sự phát triển toàn diện.
Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường phổ thông, môn Toán
đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển một cách
tốt nhất tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế
phát triển của đất nước ta hiện nay. Học tốt môn toán sẽ giúp học sinh học tốt nhiều môn
học khác. Xưa nay đây là môn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến,
việc học toán đối với nhiều học sinh luôn là một điều khó khăn. Trong các phân môn của
toán học phổ thông thì Hình học luôn được coi là môn học khó khăn hơn cả.

Tất cả những đánh giá trên có thể xuất phát từ những lý do khách quan và chủ quan
như: Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn ôm đồm kiến thức
trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn v.v... Học toán
đồng nghĩa với giải toán. Muốn làm được bài tập, ngoài việc phải có vốn kiến thức từ các
công thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý ... còn cần có một phương pháp suy
luận đúng đắn.
I.2. Tính cấp thiết.
Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp và kinh nghiệp dạy Hình học của bản thân, tôi
nhận thấy chất lượng dạy và học hình học nói chung chưa cao: hầu hết học sinh đều ngại,


sợ học Hình học, không biết cách giải một bài toán Hình học. Mà việc giải một bài tập
Hình học không chỉ dựa vào việc có nắm được các kiến thức cơ bản hay không mà còn
dựa rất nhiều vào việc nhận ra được mối liên quan giữa các kiến thức đó và vận dụng
chúng như thế nào vào bài toán.
I.3. Thực trạng.
Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì:
- Đa số học sinh nắm vững và vận dụng tốt các kiến thức hình học cơ bản vào việc
giải các bài tập. Tuy nhiên, còn có một vài lớp và một số học sinh rải rác ở các lớp vẫn
không thể nắm vững và vận dụng được các kiến thức cơ bản của hình học vào việc giải
các bài tập.
- Nhiều học sinh không nắm được các kiến thức đã học, học trước quên sau. Kỹ
năng vận dụng kiến thức cơ bản vào các hoạt động giải toán còn yếu.
Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ là rất mới mẻ đối với học sinh lớp 10. Qua
khảo sát kiến thức và kĩ năng của một số học sinh lớp 10 trường THPT Bỉm Sơn – Thanh
Hóa, năm học 2011 – 2012 sau khi các em đã được học các kiến thức về vec-tơ tôi nhận
thấy các em còn bỡ ngỡ và gặp nhiều lúng túng. Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến
thức về vec-tơ ở 2 lớp 10C4 và 10C7 có các bài toán như sau:
Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' có chung đỉnh A. Chứng minh
rằng:

uuur

uuur

uuur

a/ CC  BB  DD .
b/ Hai tam giác BC'D và B'CD' có cùng trọng tâm.
uur r uur r
Đề 2: Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b và gọi C, D, E là các điểm sao cho
uuur
uur uuur 1 uur uuur 1 uur
AC  2 AB, OD  OB, OE  OA .
2
3
uuur uuur uuur
r r
a/ Hãy biểu thị các vec-tơ OC, CD, DE qua các vec-tơ a , b .

b/ Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng.
Qua khảo sát 98 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau:

Số bài

Không
làm Làm được Chỉ
làm Chỉ
làm
được câu nào cả 2 câu
được câu a được câu b

Đề 1 42

25 (59,52%)

9 (21,43%)

7 (16,67%)

1 (2,38%)

Đề 2 46

27 (58,70%)

11 (23,91%) 6 (13,04%)

2 (4,35%)

Qua bài làm của học sinh và qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy bộc lộ những
nhược điểm chính ở học sinh như sau:
- Không nắm vững kiến thức vec-tơ, không hiểu rõ và cũng không phân biệt chính
uuur uuur
xác các kí hiệu: AB, AB, | AB |, AB .
- Không nắm vững các quy tắc cộng, trừ các vec-tơ, nhân một số với một vec-tơ,
tích vô hướng của hai vec-tơ. Khi tính toán một số em tuỳ tiện bỏ kí hiệu vec-tơ, kĩ năng
vận dụng kiến thức vec-tơ để giải toán còn yếu, nhất là các bài toán mà trong đó chưa viết
rõ các quan hệ vec-tơ.
- Thậm chí, với bài toán “Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi

M, N là hai điểm
trên nửa đường tròn đó sao cho 2 dây cunguurAM
và BN cắt nhau
tại I.
uur uuur uur uur
uuur uur uuur
uuur uuur
Chứng minh: AI .AM  AI .AB .”, có học sinh đã làm như sau: AI.AM  AI.AB  AM  AB
uur
(chia cả hai vế cho AI ) rồi suy ra đẳng thức không xảy ra. Điều đó chứng tỏ học sinh
chưa hiểu rõ khái niệm về tích vô hướng của các vec-tơ.
Trong rất nhiều nguyên nhân dẫn đến kết việc học sinh không tiếp thu tốt các kiến
thức về vec-tơ, có một nguyên nhân là học sinh ít được thực hành các bài toán cơ bản về
các khái niệm về vec-tơ. Có một lý do ở đây là thời lượng quy định cho mỗi bài học
không đủ cho giáo viên và học sinh làm được việc này. Đặc biệt là đối với các học sinh
không thực sự khá về môn Toán.
Chính vì những lý do trên, nhằm giúp các em lĩnh hội tốt hơn về kiến thức vec-tơ,
có kĩ năng giải bài tập về vec-tơ cũng như sử dụng vec-tơ như một công cụ tốt để giải
toán tôi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề: “Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ
năng giải toán vec-tơ và sử dụng phương pháp vec-tơ để giải toán.”
II. Mục đích nghiên cứu.
Không có phương pháp tốt, không thể có kết quả cao. Biết vận dụng các kiến thức
cơ bản một cách phù hợp sẽ có được cách giải bài tập tốt hơn. Đặc biệt ở lớp 10, học sinh
lần đầu tiên được va chạm với các kiến thức về vec-tơ, vì vậy mục đích đặt ra là thông
qua việc dạy cho học sinh các vận dụng các kiến thức cơ bản về vec-tơ để giúp học sinh
thấy được:


- Các ký hiệu, bản chất các ký hiệu về vec-tơ.
- Mối quan hệ giữa vec-tơ với các kiến thức khác trong hình học.

- Chuyển đổi giữa các bài toán hình học thông thường với một bài toán vec-tơ.
- Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải một bài toán hình học nhờ phương pháp
vec-tơ.
Từ đó giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại và sợ học hình học, đặc biệt là các bài toán về
vec-tơ.
III. Thời gian, địa điểm nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu, áp dụng thực hiện trong năm học
2011 – 2012, tại hai lớp 10C4 và 10C7, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa. Đây là hai
lớp có điểm đầu vào bình quân thấp nhất khối 10.
Nội dung sáng kiến được trình bày cho học sinh trong một số giờ học tự chọn của
bộ môn Toán và một số buổi học bồi dưỡng (ngoài giờ học chính khóa).


NỘI DUNG

Phần II:
I- Một số kiến thức cơ bản cần chú ý.

I.1. Các định nghĩa về vec-tơ, các kí hiệu thường dùng.
Cho 2 điểm A, B thì:
- Ký hiệu AB chỉ độ dài đoạn thẳng AB. Như vậy ký hiệu AB và BA là như nhau.
uuur
uuur
uuur
- Ký hiệu AB chỉ vec-tơ AB. Như vậy ký hiệu AB và BA , nói chung, là hai vec-tơ

khác nhau.
uuur
uuur
uuur

- Ký hiệu | AB | chỉ độ dài của vec-tơ AB . Như vậy | AB |  AB và, do đó,
uuur
uuur
| AB |  | BA | .

- Ký hiệu AB chỉ độ dài đại số của vec-tơ AB.
I.2. Các phép toán về vec-tơ.
I.2.1. Phép cộng các vec-tơ.
uuur

uur

uuur

- Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C thì: AB  BC  AC .
uuur uuur uuur
- Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là một hình bình hành thì: AB  AD  AC .

- Tính chất trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
uur

uur

r

+ IA  IB  0 .
uuur uuur
uur
+ MA  MB  2MI , với điểm M bất kỳ.

I.2.2. Phép trừ các vec-tơ.
uuur

uuur

uuur

Với ba điểm O, A, B thì: OA  OB  BA .
I.2.3. Phép nhân vec-tơ với một số.
r

r

- Cho vec-tơ u và số k  . Vec-tơ ku được xác định bởi:
r

r

r

+ ku cùng hướng với vec-tơ u nếu k  0 và ngược hướng với vec-tơ u nếu k
< 0.
r
r
+ | ku |  | k |.| u | .
r r
r
r
- Cho
b  0 và a cùng phương với b . Khi đó, tồn tại duy nhất một số thực k sao

r
r
cho: a  kb .


uuur
uuur
- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC là các vec-tơ
cùng phương.

I.2.4. Tích vô hướng của hai vec-tơ.
r r

- Cho trước hai vec-tơ a, b . Từ một điểm O cố định, dựng các vec-tơ
uuur r uuur r
r r
·r r
·
là góc giữa hai vec-tơ a, b . Ký hiệu: (a, b) hoặc
OA  a, OB  b . Khi đó góc AOB
r r
(a, b) .
rr
r r
r r
a.b

|
a
|

.|
b
|
.cos(a,
b) .
- Tích vô hướng của hai vec-tơ:
r r
rr
- a  b  a.b  0 .
rr r
r
- a.a  a 2  | a |2 .

I.3. Tọa độ của vec-tơ và của điểm trong mặt phẳng.
Xét hệ tọa độ Oxy.
r

r

r

r

r

- u(x; y)  u  (x; y)  u  x i  yj .
uuur
uuur
r
r

- M(x; y)  OM  (x; y)  OM  x i  yj .
r
r
- Với u(x; y), v(x; y) , k  :
r

r

 x  x
 y  y

+ uv

r r
+ u  v  (x  x;y  y) .
r
+ ku  (kx;ky) .
rr
+ u.v  xx  yy .
r

+ | u |  x 2  y2 .
rr
u.v
r r
+ cos(u, v)  r r 
| u | .| v |

xx   yy
x  y . x   y

2

2

2

2

.

I.4. Học sinh cần được rèn luyện kĩ năng tổng hợp nhiều vec-tơ thành một vec-tơ và
ngược lại, cần biết phân tích một vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác (thường là phân tích một
vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc nhưng không cùng phương hoặc phân tích thành


hiệu hai vec-tơ khác chung gốc). Ở mỗi bài tập nên phân tích có những cách giải khác
nhau giúp học sinh có những cách nhìn linh hoạt hơn về vec-tơ.
I.5. Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn
ngữ vec-tơ và ngược lại. Ví dụ:
TT Kiến thức hình học tổng Vec-tơ
hợp
uuur

uuur

uuur

uuur

r

1) MA  MB  0
1

M là trung điểm của đoạn 2) AM  MB
uuur uuur
uuur
thẳng AB
3) OA  OB  2OM , với mọi điểm
O
uuur uuur uuur r
1) GA  GB  GC  0
uuur uuur uuur
uuur
2) OA  OB  OC  3OG , với O

2

G là trọng tâm ΔABC

3

uuur
AM là trung tuyến của uuur uuur
AB

AC

2AM
ΔABC

4

Ba điểm A, B, C thẳng hàng

5

AB // CD

6

AB  CD

7

ABCD là hình bình hành

uuur
uuur
AB  kAC (k  0)
uuur
uuur
AB  kCD (k  0)
uuur
 uuur
AB  mAC (m  ¡ )
uuur uuur
AB.CD  0
uuur uuur
AB  DC (A  DC)

I- Hƣớng dẫn học sinh giải các bài toán về vec-tơ.
I.1. Các bài toán xác định vec-tơ.
1. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm vec-tơ cùng hướng, vec-tơ bằng nhau.


Một trong những nguyên nhân khiến học sinh không giải được các bài toán về vectơ là không hiểu rõ khái niệm vec-tơ, không biết cách xác định một vec-tơ, không hiểu rõ
hai vec-tơ bằng nhau, nhầm lần vec-tơ bằng nhau với đoạn thẳng bàng nhau ...
Để giải quyết được điều này, tác giả đã cho học sinh làm lại và phân tích kỹ lời giải
của học sinh qua hoạt động số 2 (§1, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao): Cho trước
uur r
r
vec-tơ a và điểm O cố định. Xác định điểm A sao cho OA  a . Có bao nhiêu điểm A
như vậy.
uuur

r

Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ sao cho AO  a ):
A

O

a

Hình 1

Và yêu cầu một học sinh xác định xem điểm A có thỏa mãn
bài toán không. Sau đó
uuur

r
OA và vec-tơ a có độ dài
phân tích cho học sinh thấy rõ rằng:
Trong
hình
vẽ
trên,
vec-tơ
uuur
r
bằng nhau. Tuy nhiên, vec-tơ OA có hướng từ phải sang trái trong khi vec-tơ a có
hướng từ trái sang phải. Do đó hai vec-tơ nay không bằng nhau nên điểm A như trên
không thỏa mãn bài toán.
Sau đó, tác giả yêu cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn bài toán: Đa số học sinh
đã xác định được điểm A như hình vẽ sau:
O

A

a
M

N

Hình 2

r
a được xác định bởi điểm
Qua đó, tác giả nhấn mạnh uuu
cho

học
sinh
rằng:
nếu
vec-tơ
r r
đầu là M và điểm cuổi là N thì OA  a khi và chỉ khi tứ giác MNAO là hình bình hành


(cần chú ý chặt chẽ đến thứ tự các đỉnh của hình bình hành). Hơn nữa qua việc xác định
như thế, học sinh nhận ra ngay luôn có một và chỉ một điểm A thỏa mãn bài toán.
Ngoài ra, tác giả cũng đã đưa ra các tình huống sau để giúp học sinh rèn luyện và
hiểu rõ hơn các khái niệm về vec-tơ:
- Điểm O trùng với điểm M thì A là điểm nào? (A  N)
- Điểm O trùng với điểm N thì A là điểm nào? (A đối xứng với M qua N hay N là
trung điểm của MA)
- Xác định vị trí điểm O để điểm A trùng với điểm M? (O đối xứng với N qua M
hay M là trung điểm của ON)
2. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm tổng, hiệu hai vec-tơ.
Việc xác định tổng, hiệu của các vec-tơ đối với nhiều học sinh cũng là một vấn đề
khó khăn. Qua giảng dạy về vec-tơ, tác giả nhận thấy học sinh hầu như vẫn không phân
biệt rõ dựng tổng của các vec-tơ với tổng hai cạnh của một tam giác.
Để giúp học sinh nắm vững hươn khái niệm tổng hai vec-tơ và một số tiếp xúc của
chúng, đặc biệt là quy tắc ba điểm và cách dựng vec-tơ tổng của hai vec-tơ, tác giả cho
học sinh làm lại nội dung của hoạt động 4 (§2, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao).
Trước hết, tác giả vẽ lên bảng hình vẽ như sau:
b
a

c

O

Hình 3

Yêu cầu học sinh:
uuur r uuur r uur r
- Xác định các điểm A, B, C sao cho: OA  a, AB  b, BC  c .
r r r r
- Dựng các vec-tơ a  b, b  c .

Sau khi học sinh thực hiện yêu cầu và giáo viên chỉnh sửa những sai sót, được hình
vẽ như sau:


b
A

a

B

a+b

c

b+c
a+b+c

O

Hình 4

C

Sau khi học sinh đã nắm được các khái niệm về vec-tơ một cách tương đối chắc
chắn, tác giả tiến hành cho học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vec-tơ vào
giải toán thông qua một số ví dụ, bài toán cụ thể. Hơn nữa, với mỗi ví dụ, bài toán, tác giả
luôn cố gắng hướng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau, qua đó vận dụng được
nhiều kiến thức cơ bản và hiểu rõ thêm về bản chất của loại kiến thức mình áp dụng.
* Trước hết, tác giả cho học sinh thực hành việc xác định tổng của các vec-tơ thông qua
một bài toán cụ thể, qua đó củng cố thêm về khái niệm tổng của các vec-tơ, các quy tắc
thường dùng của tổng các vec-tơ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên
cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho luôn có: BD =
r uuur uuur uuur uuur
DE = EC. Hãy dựng vec-tơ u  AB  AC  AD  AE .
Giải:
Cách 1: Gợi ý học sinh:
- Trong phép dựng tổng của hai vec-tơ, với hai vec-tơ có chung gốc thì nên xem xét
đến quy tắc nào? (Quy tắc hình bình hành)
- Vận dụng quy tắc đó vào trong bài toán này cụ thể ra sao? (Nhóm mỗi 2 vec-tơ
xác định bởi hai cạnh của hình bình hành lại với nhau)
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải như sau:


K

I

B

D
O
E

Hình 5

C

A

Dựng hình bình hành ABIC thì ADIE cũng là hình bình hành.
Từ quy tắc hình bình hành, ta có ngay:
uuur uuur uur uuur uuur uur
uur
r
AB  AC  AI, AD  AE  AI  u  2AI .
uur uuur
r
Từ đó: Dựng K đối xứng với A qua I thì: u  2AI  AK .

Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác được không?
r

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

 AD  AE  AB  AE  AC  AD . Từ đó, dựng
Học sinh đã biến đổi: u  AB  AC uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
các hình bình hành ABME và ACND thì: AB  AE  AM , AC  AD  AN .
r

uuur

uuur

Như vậy: u  AM  AN .
r

uuur

Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì: u  AK .
K

M
B
D

N
E

A

C

Hình 6


Cách 3: Gợi ý học sinh:
- Hãy phân tích đề bài theo một hướng khác: Với các giả thiết của đề bài, nhận xét
gì về các điểm D, E trên cạnh BC? (D là trung điểm của BE và E là trung điểm của CD)
- Với nhận xét đó, nhớ lại và xác định xem có thể vận dụng kiến thức nào để xác
định tổng của hai vec-tơ? (tính chất trung điểm)
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải như sau:
K

M
B
D
N
E

Hình 7

C

A

r

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

Biến đổi: u  AB  AC  AD  AE  AB  AE  AC  AD .
Do D là trung điểm của AE và E là trung điểm của CD nên ta có:

uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur
AB  AE  2AD, AC  AD  2AE .

Từ đó, dựng M đối xứng với A qua D và N đối xứng với A qua E thì:

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

AB  AE  AM, AC  AD  AN .
r uuur uuur
Như vậy: u  AM  AN .

r

uuur

Từ đó, dựng hình bình hành AMKN ta có: u  AK .
* Một trong các loại toán mà học sinh khá lúng túng là bài toán biểu diễn một vec-tơ qua
các vec-tơ không cùng phương.
Với loại toán này, nhiều học sinh lúng túng khi không thể áp dụng một quy tắc rất
cơ bản của phép cộng và phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, B bất kỳ, ta luôn có:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AO  OB  AB, OA  OB  BA . Cả hai quy tắc đó, mấu chốt vẫn là quy tắc ba điểm của
phép cộng các vec-tơ. Chính vì điều này, kết hợp với đối tượng học sinh yếu nên trước
khi cho học sinh làm các bài toán cụ thể, tác giả đã cho học sinh thực hành khá nhiều việc


lấy tổng, hiệu của hai vec-tơ, phân tích một vec-tơ thành tổng, hiệu của hai vec-tơ ... đại
loại như:
uuur uuur uuur uur uuur uuur uur uur uur uuur uur
AO  OB  AB; MI  KM  KM  MI  KI; EF  EO  OF
uuur uuur uuur uuur uur uur
AM  AN  NM; CD  ID  IC ...
uur 1 uuur uuur uuur uuur
uur uuur
uur uuur
AI  AM  AN ; EM  EN  2EI; KM  2KI  KN ... (Với I là trung điểm của đoạn
2





thẳng MN).

Ngoài ra, cũng cần hướng dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơ cùng phương,
cùng hướng trong bài toán để sử dụng vào việc biểu diễn.
Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hành qua một bài
toán khá đơn giản sau đây.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E là trung điểm của BC. Đặt
uuur r uuur r
uuur
r
r
AB  a, AO  b . Hãy biểu diễn vec-tơ AE theo các vec-tơ a và b .
Giải:
A

D
O

B

C

E

Hình 8

Cách 1: Gợi ý học sinh:
uuur uuur
- Trong bài toán này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ AB, AO .
uuur
- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn AE qua tổng hoặc hiệu
uuur uuur
của các vec-tơ cùng phương với các vec-tơ AB, AO (hoặc là chính các vec-tơ đó).

Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
uuur uuur uuur uuur 1 uuur r 1 r 1 r r
AE  AO  OE  AO  AB  b  a  a  b
2
2
2


Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải trên đã vận dụng quy tắc ba điểm trong bước
biến đổi đầu tiên. Hãy xem xét các giả thiết của bài toán để có thể biến đổi cách khác.
Chú ý đến các yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng ...
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:



 



uuur 1 uuur uuur
uuur

r
1 uuur
1 r
1r r
AE  AB  AC  AB  2AO  (a  2b)  a  b .
2
2
2
2

Tiếp theo, cho học sinh thực hành việc biểu diễn vec-tơ qua các vec-tơ không cùng
phương bằng ví dụ:
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm là H. Đặt
uuur 1 r r r
uuur r uuur r uuur r
HA  a, HB  b, HC  c . Chứng minh rằng: HO  (a  b  c) .
2
Giải:
Cách 1: Gợi ý học sinh:
uuur uuur uuur

- Trong bài toán này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ HA, HB, HC . Nếu chưa
có thì cố gắng để tạo ra. Có thể thông qua các vec-tơ, điểm đã có hoặc các điểm đặc biệt
liên quan đến giả thiết. (Lựa chọn các trung điểm của các cạnh)
uuur

- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để
biểu diễnuuuHO
qua uuu
tổng

hoặc hiệu
r
uuur
r
của các
vec-tơ, trong đó có vec-tơ cùng phương với HA hoặc HB hoặc HC . (Biểu diễn
uuur uuur uuur
được HO  HA  AO )
- Bước tiếp theo, làm tương tự để biểu diễn vec-tơ trong tổng (hoặc hiệu đó) chưa
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
cùng phương với HA, HB, HC theo HA, HB, HC hoặc các vec-tơ cùng phương với
uuur uuur uuur
HA, HB, HC .

r r
r
r
- Chú ý đến tính chất: Nếu b  0 và a cùng phương với b thì luôn tồn tại duy nhất
r
r r r
r
số k   để a  kb . Hơn nữa, với ba vec-tơ a, b, c không cùng phương cho trước thì mỗi
r r r
r
vec-tơ u đều biểu diễn được duy nhất qua các vec-tơ a, b, c đó.

Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:

A
B1
B'

C'
C1

O
H

B

A1

A'

C

Hình 9

uuur

uuur

uuur

Gọi A' là trung điểm của BC thì: HO  HA  AO
uuur

Mặt khác: theo tính chất trung điểm: HA 

uuur





1 uuur uuur
1 r r
HB  HC  (b  c) .
2
2

r

Hơn nữa OA' // AH nên AO  ma . Do đó, ta có:
uuur uuur uuur 1 r r
r
r 1r 1r
HO  HA  AO  (b  c)  ma  ma  b  c
2
2
2

(1)

Tương tự: Gọi B', C' lần lượt là trung điểm của AC, AB thì:
uuur uuur uuur 1 r
r 1r
HO  HB  BO  a  nb  c
2

2
uuur uuur uuur 1 r 1 r
r
HO  HC  CO  a  b  pc
2
2

1
Từ (1), (2), (3) suy ra: m  n  p  .
2

(2)
(3)
uuur 1 r r r
Vậy HO  (a  b  c) .
2

Cách 2: Gợi ý học sinh:
- Vì đường tròn có tính đối xứng nên nếu xét điểm O ở vai trò trung điểm thì có thể
có cách suy nghĩ khác không?
- Muốn thế, hãy tìm cách tạo ra O là trung điểm của một đoạn thẳng có gắn với các
uuur uuur uuur
vec-tơ HA, HB, HC .
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:


A
B1
C1 H

B

D

O

C

A1

Hình 10

·
·
 BCD
 90o  CD // AH
Kẻ đường kính BD của đường tròn. Khi đó, ta có: BAD
và AD // HC.
uuur

uuur

uuur

Do đó tứ giác AHCD là hình bình hành. Vậy HA  HC  HD .
uuur uuur
uuur
Mặt khác: HB  HD  2HO .
uuur 1 r r r
uuur uuur uuur

uuur
Suy ra: HA  HB  HC  2HO hay HO  (a  b  c) .
2

I.2. Các bài về độ dài của vec-tơ.
Vấn đề tiếp theo mà học sinh khá lúng túng trong giải toán về vec-tơ là không phân
biệt rõuuu
ràng
khái niệm vec-tơ với độ dài của vec-tơ. Chính vì thế, nhiều học sinh vẫn cho
r uur uuur
rằng AB  BC  AC (với ABC là một tam giác). Để khắc phục điều đó, trước hết, tác giả
củng cố lại cho học sinh rằng độ dài của một vec-tơ là độ dài của đoạn thẳng xác định
vec-tơ đó (khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối của vec-tơ) và cho học sinh thực hành
bằng các ví dụ rất đơn giản như sau:
uuur

uuur r

- Cho hai điểm phân biệt A và B. Hãy xác định độ dài các vec-tơ: AB , BA, 0 .
uur

uur

(Phải phân tích để học sinh hiểu rõ rằng AB  BA  AB )
uuur

- Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Hãy xác định độ dài các vec-tơ: AB ,
uuur uur r uur uuur
AC, BC, u  BC  AB . (Phải phân tích, nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ rằng
uuur uur uur uuur uuur

uuur
r
BC  AB  AB  BC  AC nên | u |  AC  AC . Hơn nữa, cần phân tích qua nhiều trường

hợp bằng các hình vẽ khác nhau: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng bất kỳ; tạo thành
tam giác cân, tam giác đều; thẳng hàng bất kỳ, thẳng hàng cách đều nhau ...)


Tiếp theo, khi học sinh đã nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả củng cố lại
cho học sinh rằng hai vec-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và cùng độ
dài, hai vec-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài. Đồng thời cho học
sinh thực hành qua ví dụ sau:
Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đặt
uuur r uuur r uuur r uuur r
AB  a, BD  b,DC  c,CA  d . Chứng minh rằng:
r r
r
r
r r
r r
r
r
|a  d||b d|| c d|  |a ||b| | c| |d|.
Giải: Gợi ý học sinh:
- Từ giả thiết và quy tắc ba điểm của phép cộng, hãy đánh giá một trong ba độ dài ở
vế trái. (Với hướng dẫn này, đa số học sinh đã đánh giá cả ba độ dài và đưa đến một kết
quả không như mong muốn, giáo viên phải hướng dẫn thêm)
r r r r
- Hãy xem xét đến sự đặc biệt của các vec-tơ xác định nên a, b, c, d để đánh giá
tổng của hai độ dài còn lại. Chú ý đến tính chất các cạnh của một tam giác.

Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
B
C

O
A

Hình 11

D

uuur uuur uuur uuur r
r r
r r r r r
r r
Ta có: AB  BD  DC  CA  0  a  b  c  d  0  b  d và a  c là các vec-tơ
r r
r r
r
r
đối nhau  | b  d |  | a  c |  | a |  | c |
(1)
uuur uuur uur uuur uuur uuur
Mặt khác: CA  AB  CB, DC  CA  DA
uur
uuur
r r
r r
 | a  d |  | c  d |  | CB |  | DA |  CB  DA  BC  AD .

Lại có: BC + AD < (OB + OC) + (OA + OD) = BD + AC
r
r
r r
r r
 |a d||c d|  |b||d|
(2)
r r
r
r
r r
r r
r
r
Từ (1) và (2) ta có: | a  d |  | b  d |  | c  d |  | a |  | b |  | c |  | d | .


* Với kiến thức về độ dìa vec-tơ, có thể hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải các bài
toán khác. Sau khi cho học sinh rèn luyện thêm các bài tập để khắc sâu khía niệm vec-tơ,
tác giả đã cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài vec-tơ vào bài toán sau và học sinh đã
thực hiện hiệu quả.
Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng:
1. Nếu AD2 + BC2 =AB2 + DC2 thì hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
uuur uuur uuur uuur
2. Nếu MA  MC  MB  MD (với điểm M bất kỳ) thì tứ giác ABCD là hình bình

hành.
Giải: Gợi ý học sinh:
- Dựa vào tính chất “Bình phương vô hướng của vec-tơ bằng bình phương độ dài
của nó” hãy biến đổi tổng các bình phương trong giả thiết thành hiệu của bình phương

các vec-tơ để có thể tạo ra các vec-tơ xác định bởi AC và BD.
r r
rr
- Lưu ý rằng: a  b  a.b  0 .
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
uur 2

uuur 2

uuur 2

uuur 2

1. Từ giả thiết suy ra: BC2 – BA2 = DC2 – DA2  BC  BA  DC  DA
uur

uuur

uur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

  BC  BA  BC  BA    DC  DA  DC  DA 
uuur uur

uuur

uuur uuur

uuur uur

uuur

uuur

uuur

uuur uur

uuur

uuur

uuur

uuur

 AC  BC  BA   AC  DC  DA 
 AC  BC  BA  DC  DA   0
 AC  BC  CD  BA  AD   0
uuur uuur

uuur uuur

 AC.2BD  0  AC.BD  0  AC  BD.
uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

2. Ta có: MA  MC  MB  MD  MA  MB  MD  MC  BA  CD . Vậy ABCD là hình
bình hành.
II- Vận dụng các kiến thức về vec-tơ để giải các bài toán.
Đối với các em học sinh khá giỏi có thể hướng dẫn các em khai thác sâu hơn kiến
thức vec-tơ, coi đó là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán khác. Chẳng hạn: Chứng

minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, nhận dạng tam giác … Điều này sẽ giúp các em học
sinh học tập hứng thú hơn.
Các kiến thức cơ bản mà các em cần nắm vững để vận dụng có thể kể đến gồm:
rr
r r
r r
- Tích vô hướng của hai vec-tơ: a.b  | a | .| b | .cos(a;b) ta suy ra được các điều sau: +
rr
r r
a.b  | a | .| b |
(I)
rr
r r
+ | a.b |  | a | .| b |
(II)
r
rr
r r
r r
r
Từ (I) ta có: 2a.b  2 | a | .| b |  (a  b) 2  (| a |  | b |) 2
r
r r
r
|
a

b
|


|
a
|

|
b
|

(III)
r
r
Dấu bằng ở (I) và (III) xảy ra  a  kb với k > 0.
r
r
Dấu bằng ở (II) xảy ra  a  kb với k  0.
- Học sinh lớp 10 đã quen công thức tính diện tích tam giác sau:
1
1
1
S  absin C  bcsin A  acsin B
2
2
2
uuur r uuur r
Nếu đặt AB  b, AC  c ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:
1r r
S  b.c.tan A .
2
1 r r


2
 | b | .| c | .sin A 
rr
r r
2
  2S
Thật vậy: b.c  | b | .| c | .cos A  
sin A
tan A
cos A
1r r
 S  b.c.tan A
2

r
r
- Trong hệ trục tọa độ Oxy, nếu u  (x; y), v  (x; y) thì:
rr
+ u.v  xx  yy .
r

+ | u |  x 2  y2 .
Có thể hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức trên để làm các bài tập sau:


Ví dụ 6: Cho a, b, c, d là các số thực bất kỳ, chứng minh rằng:
(ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2).
Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy ra khi nào.
Giải: Gợi ý học sinh:

- Hãy xem xét (ac + bd)2, (a2 + b2), (c2 + d2) có liên quan gì đến các khái niệm của
vec-tơ không? (Có vẻ như biểu thức tọa độ của tích vô hướng và độ dài của vec-tơ)
- Từ nhận xét đó, hãy tạo ra các điều kiện để sử dụng được kết quả đã nhận xét.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
r
r
r
r
Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (a;b), v  (c;d) . Khi đó: | u |  a 2  b 2 , | v |  c 2  d 2 .
rr
rr
Hơn nữa: u.v  ac  bd  | u.v |  | ac  bd | .
rr

r

r

Từ đó, theo (II) ta có: | u.v |  | u | .| v |  | ac  bd |  a 2  b 2 . c 2  d 2
Bình phương 2 vế ta có: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2).
r
r
Dấu bằng xảy ra khi u  kv hay ad = bc.
Ví dụ 7: Giải phương trình: x 1  x  3  x  2 1  x 2

(*)

Giải: Gợi ý học sinh:
- Nếu xem xét vế trái của phương trình là biểu thức tọa độ của tích vô hướng của
hai vec-tơ thì đó là các vec-tơ vó tọa độ như thế nào?

- Với nhận xét đó thì vế phải có thể biểu diễn qua các vec-tơ đó không?
- Từ các nhận xét đó, hãy tạo ra các điều kiện để sử dụng được kết quả đã nhận xét.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Tập xác định: D = [–1; 3].
Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (x;1), v   1  x; 3  x  thì: | u |  1  x 2 , | v |  2
rr
và u.v  x 1  x  3  x .
rr
r r
Khi đó: (*)  u.v  | u | .| v | .
r

r
r
Điều này xảy ra khi u  kv với k > 0 

r

r

1 x
3 x

với x > 0.
x
1

r

x  1

 1 + x = x2(3 – x)  (x – 1)(x2 – 2x – 1) = 0  

x  1  2

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x = 1 và x  1  2 .

Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y  x  4 1 

x
.
2

Giải: Gợi ý học sinh:
- Trước hết, hãy biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số. (Mong muốn phải đưa
được về dạng: y  x  2 2. 2  x )
- Với hàm số như thế, có thể đưa về biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ nào?
- Từ các nhận xét đó, hãy tạo ra các điều kiện để sử dụng được kết quả đã nhận xét.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Tập xác định của hàm số: D = [0; 2].
Ta có: y  x  2 2. 2  x .
r
r
Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (1;2 2), v   x; 2  x 
rr
rr
 u.v  x  2 2. 2  x  y  u.v
r
r

Mặt khác: | u |  3, | v |  2 .
r
r
Áp dụng (I) ta có: y  3 2 . Dấu bằng xảy ra khi u  kv với k > 0

2
1  k x
 2 2. x  2  x  x   D

9

2 2  k 2  x

2
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 3 2 tại x  .
9

Ví dụ 8: Với a, b là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y  x 2  2ax  2a 2  x 2  2bx  2b 2


Giải: Gợi ý học sinh:
- Trước hết, hãy biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số. (Mong muốn phải đưa
được về dạng: y  ( a  x )2  a 2  ( x  b )2  b 2 )
- Với hàm số như thế, có thể thấy được chúng liên quan đến khái niệm nào của vectơ?
- Từ các nhận xét đó, hãy tạo ra các điều kiện để sử dụng được kết quả đã nhận xét.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Ta có: y  (a  x)2  a 2  (x  b) 2  b 2 .
Tập xác định của hàm số:
r

r
r
r
Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (a  x;a), v  (x  b;b) . Khi đó: y  | u |  | v | .
r r
r
u  v  (a  b;a  b), | u |  (a  x) 2  a 2 ,
Mặt
khác,
ta
có:
r
r r
| v |  (x  b) 2  b 2 , | u  v |  2(a 2  b 2 ) .
r
r
r r
r r
Hơn nữa theo (III): | u |  | v |  | u  v |  y  | u  v |  2(a 2  b 2 ) .
r
r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u  kv với k > 0

a
2ab
 a  x  (x  b)  x 
.
b
ab

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất là

2(a 2  b2 ) , đạt được tại x 

2ab
.
ab


Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
Trong năm học 2011-2012, tác giả được giao giảng dạy Toán ở các lớp 10C4, 10C7
là các lớp có chất lượng đầu vào (điểm thi tuyển sinh vào lớp 10, môn Toán) là thấp so
với mặt bằng chung của nhà trường. Sau khi học xong phần vec-tơ thì kết quả của học
sinh ở hai lớp đã được nêu trong phần đầu của bản Sáng kiến kinh nghiệm này.
Tác giả đã sử dụng nội dung Sáng kiến để dạy cho lớp 10C4, còn lớp 10C7 vẫn dạy
theo giáo án trước đây. Sau khi thực hiện xong nội dung giáo án, tác gải đã khảo sát lại
chất lượng của hai lớp với thời lượng 60 phút bằng đề kiểm tra sau:
Câu 1 : Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có AA', BB', CC' đôi một song song và
bằng nhau. Gọi I, K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác đó và O là trung điểm của IK.
uur

uur

uuur

uuur

uuur

uuur

r

1/ Chứng minh rằng : OA  OB  OC  OA  OB  OC   0 .
uuur

uur

2/ Gọi M là trung điểm của A'B' và G là điểm thỏa mãn : CG  3GI . Chứng minh
rằng ba điểm O, M, G thẳng hàng.
r r

Câu 2 : Cho a , b là hai vec-tơ không cùng phương. Chứng minh rằng các vec-tơ
r
r
r
r
r r r
x  a  b và y  2a  3b không cùng phương. Khi đó, hãy phân tích vec-tơ a theo hai
r r
vec-tơ x, y .
Câu 3 : Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có :
x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2

Kết quả thu được như sau :

Không
làm
đúng
câu

nào

Điểm
Làm đúng Làm đúng Chỉ
là
cao
cả 3 câu
được 2 câu đúng 1 câu
nhất

10C4 45

0

22 (48,89%)

14
(31,11%)

9
(20,00%)

9,25

10C7 44

0

19 (43,18%)

17
(38,64%)

8
(18,18%)

9,0

Lớp

Số
bài


Phần IV: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Trên đây là một số kinh nghiệm và suy nghĩ của cá nhân tôi trong quá trình giảng
dạy và công tác trong năm học vừa qua. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy với
những kinh nghiệm trên, học sinh đã bước đầu thành thạo trong giải toán vec-tơ và sử
dụng vec-tơ là một công cụ hữu hiệu để giải toán đồng thời phát huy tính tích cực, sáng
tạo trong học tập của học sinh. Thông qua một số bài toán tôi muốn hình thành cho học
sinh tư đuy lôgic, quá trình tập dượt sáng tạo toán học. Điều đó góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học.
Tuy nhiên, những ý kiến này chưa hẳn đã là phù hợp với tất cả mọi đối tượng học
sinh, đặc biệt là các học sinh khá giỏi. Việc áp dụng nội dung sán kiến này vào giảng dạy
cần được bố trí hợp lý về mặt thời gian. Nếu trường nào không bố trí giờ học tự chọn thì
khá khó khăn về mặt thời gian để có thể áp dụng được. Hơn nữa, rất cần đến sự kiên trì
của giáo viên vì đối tượng học sinh áp dụng trong sáng kiến này là những học sinh có tố
chất, tư duy toán học chưa thật tốt, ngại học toán, đặc biệt là hình học.
Với những kết quả đã thu được, tôi mạnh dạn nêu lên nội dung sáng kiến của mình
và mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để nội dung được hoàn thiện hơn

trong những lần chỉnh sửa sau.