SKKN Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán véctơ và sử dụng phương pháp véctơ để giải toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 10 KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
VÉCTƠ VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN"
Phần I: MỞ ĐẦU
I- Lý do lựa chọn đề tài.
I.1. Tính lịch sử.
“Cùng với KHCN, giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Chủ trương đó đã thể hiện rõ
quan điểm, đường lối của Đảng và nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng của giáo dục
đối với sự phát triển của đất nước, bởi lẽ giáo dục đóng vai trò quyết định trong việc đào
tạo lực lượng sản xuất, đem đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây
dựng CNXH.
Ngành Giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thông bao
gồm: Đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi mới chương trình sách giáo khoa,
đổi mới công tác quản lý chỉ đạo, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới cách kiểm tra
đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện. Năm học này, Bộ Giáo
dục và đào tạo đưa ra khẩu hiệu “Xây dựng trường học thân thiện và học sinh tích cực”
cũng chính là nhằm hướng học sinh đến sự phát triển toàn diện.
Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường phổ thông, môn Toán
đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển một cách
tốt nhất tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế
phát triển của đất nước ta hiện nay. Học tốt môn toán sẽ giúp học sinh học tốt nhiều môn
học khác. Xưa nay đây là môn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến,
việc học toán đối với nhiều học sinh luôn là một điều khó khăn. Trong các phân môn của
toán học phổ thông thì Hình học luôn được coi là môn học khó khăn hơn cả.
Tất cả những đánh giá trên có thể xuất phát từ những lý do khách quan và chủ quan
như: Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn ôm đồm kiến thức
trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn v.v Học toán
đồng nghĩa với giải toán. Muốn làm được bài tập, ngoài việc phải có vốn kiến thức từ các
công thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý còn cần có một phương pháp suy
luận đúng đắn.

I.2. Tính cấp thiết.
Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp và kinh nghiệp dạy Hình học của bản thân, tôi
nhận thấy chất lượng dạy và học hình học nói chung chưa cao: hầu hết học sinh đều ngại,
sợ học Hình học, không biết cách giải một bài toán Hình học. Mà việc giải một bài tập
Hình học không chỉ dựa vào việc có nắm được các kiến thức cơ bản hay không mà còn
dựa rất nhiều vào việc nhận ra được mối liên quan giữa các kiến thức đó và vận dụng
chúng như thế nào vào bài toán.
I.3. Thực trạng.
Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì:
- Đa số học sinh nắm vững và vận dụng tốt các kiến thức hình học cơ bản vào việc
giải các bài tập. Tuy nhiên, còn có một vài lớp và một số học sinh rải rác ở các lớp vẫn
không thể nắm vững và vận dụng được các kiến thức cơ bản của hình học vào việc giải
các bài tập.
- Nhiều học sinh không nắm được các kiến thức đã học, học trước quên sau. Kỹ
năng vận dụng kiến thức cơ bản vào các hoạt động giải toán còn yếu.
Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ là rất mới mẻ đối với học sinh lớp 10. Qua
khảo sát kiến thức và kĩ năng của một số học sinh lớp 10 trường THPT Bỉm Sơn – Thanh
Hóa, năm học 2011 – 2012 sau khi các em đã được học các kiến thức về vec-tơ tôi nhận
thấy các em còn bỡ ngỡ và gặp nhiều lúng túng. Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến
thức về vec-tơ ở 2 lớp 10C4 và 10C7 có các bài toán như sau:
Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' có chung đỉnh A. Chứng minh
rằng:
a/
′ ′ ′
= +CC BB DD
uuur uuur uuur
.
b/ Hai tam giác BC'D và B'CD' có cùng trọng tâm.
Đề 2: Cho tam giác OAB. Đặt
= =OA a, OB b

uur uur
r
r
và gọi C, D, E là các điểm sao cho
= = =
1 1
AC 2AB, OD OB,OE OA
2 3
uuur uur uuur uur uuur uur
.
a/ Hãy biểu thị các vec-tơ
OC, CD, DE
uuur uuur uuur
qua các vec-tơ
a, b
r
r
.
b/ Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng.
Qua khảo sát 98 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau:
Số bài
Không làm
được câu nào
Làm được
cả 2 câu
Chỉ làm
được câu a
Chỉ làm
được câu b
Đề 1 42 25 (59,52%) 9 (21,43%) 7 (16,67%) 1 (2,38%)

Đề 2 46 27 (58,70%) 11 (23,91%) 6 (13,04%) 2 (4,35%)
Qua bài làm của học sinh và qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy bộc lộ những
nhược điểm chính ở học sinh như sau:
- Không nắm vững kiến thức vec-tơ, không hiểu rõ và cũng không phân biệt chính
xác các kí hiệu: AB,
AB, | AB|, AB
uuur uuur
.
- Không nắm vững các quy tắc cộng, trừ các vec-tơ, nhân một số với một vec-tơ,
tích vô hướng của hai vec-tơ. Khi tính toán một số em tuỳ tiện bỏ kí hiệu vec-tơ, kĩ năng
vận dụng kiến thức vec-tơ để giải toán còn yếu, nhất là các bài toán mà trong đó chưa viết
rõ các quan hệ vec-tơ.
- Thậm chí, với bài toán “Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi
M, N là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho 2 dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
Chứng minh:
=AI.AM AI.AB
uur uuur uur uur
.”, có học sinh đã làm như sau:
AI.AM AI.AB AM AB= ⇔ =
uur uuur uur uuur uuur uuur

(chia cả hai vế cho
AI
uur
) rồi suy ra đẳng thức không xảy ra. Điều đó chứng tỏ học sinh
chưa hiểu rõ khái niệm về tích vô hướng của các vec-tơ.
Trong rất nhiều nguyên nhân dẫn đến kết việc học sinh không tiếp thu tốt các kiến
thức về vec-tơ, có một nguyên nhân là học sinh ít được thực hành các bài toán cơ bản về
các khái niệm về vec-tơ. Có một lý do ở đây là thời lượng quy định cho mỗi bài học
không đủ cho giáo viên và học sinh làm được việc này. Đặc biệt là đối với các học sinh

không thực sự khá về môn Toán.
Chính vì những lý do trên, nhằm giúp các em lĩnh hội tốt hơn về kiến thức vec-tơ,
có kĩ năng giải bài tập về vec-tơ cũng như sử dụng vec-tơ như một công cụ tốt để giải
toán tôi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề: “Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ
năng giải toán vec-tơ và sử dụng phương pháp vec-tơ để giải toán.”
II. Mục đích nghiên cứu.
Không có phương pháp tốt, không thể có kết quả cao. Biết vận dụng các kiến thức
cơ bản một cách phù hợp sẽ có được cách giải bài tập tốt hơn. Đặc biệt ở lớp 10, học sinh
lần đầu tiên được va chạm với các kiến thức về vec-tơ, vì vậy mục đích đặt ra là thông
qua việc dạy cho học sinh các vận dụng các kiến thức cơ bản về vec-tơ để giúp học sinh
thấy được:
- Các ký hiệu, bản chất các ký hiệu về vec-tơ.
- Mối quan hệ giữa vec-tơ với các kiến thức khác trong hình học.
- Chuyển đổi giữa các bài toán hình học thông thường với một bài toán vec-tơ.
- Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải một bài toán hình học nhờ phương pháp
vec-tơ.
Từ đó giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại và sợ học hình học, đặc biệt là các bài toán về
vec-tơ.
III. Thời gian, địa điểm nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu, áp dụng thực hiện trong năm học
2011 – 2012, tại hai lớp 10C4 và 10C7, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa. Đây là hai
lớp có điểm đầu vào bình quân thấp nhất khối 10.
Nội dung sáng kiến được trình bày cho học sinh trong một số giờ học tự chọn của
bộ môn Toán và một số buổi học bồi dưỡng (ngoài giờ học chính khóa).
Phần II: NỘI DUNG
I- Một số kiến thức cơ bản cần chú ý.
I.1. Các định nghĩa về vec-tơ, các kí hiệu thường dùng.
Cho 2 điểm A, B thì:
- Ký hiệu AB chỉ độ dài đoạn thẳng AB. Như vậy ký hiệu AB và BA là như nhau.
- Ký hiệu

AB
uuur
chỉ vec-tơ AB. Như vậy ký hiệu
AB
uuur
và
BA
uuur
, nói chung, là hai vec-tơ
khác nhau.
- Ký hiệu
| AB|
uuur
chỉ độ dài của vec-tơ
AB
uuur
. Như vậy
| AB| AB=
uuur
và, do đó,
| AB| | BA |=
uuur uuur
.
- Ký hiệu
AB
chỉ độ dài đại số của vec-tơ AB.
I.2. Các phép toán về vec-tơ.
I.2.1. Phép cộng các vec-tơ.
- Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C thì:
AB BC AC+ =

uuur uur uuur
.
- Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là một hình bình hành thì:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
- Tính chất trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
+
IA IB 0+ =
uur uur r
.
+
MA MB 2MI+ =
uuur uuur uur
, với điểm M bất kỳ.
I.2.2. Phép trừ các vec-tơ.
Với ba điểm O, A, B thì:
OA OB BA− =
uuur uuur uuur
.
I.2.3. Phép nhân vec-tơ với một số.
- Cho vec-tơ
u
r
và số k ∈ Ρ. Vec-tơ
ku
r
được xác định bởi:
+
ku

r
cùng hướng với vec-tơ
u
r
nếu k ≥ 0 và ngược hướng với vec-tơ
u
r
nếu k
< 0.
+
| ku | | k |.| u |
=
r r
.
- Cho
b 0
≠
r
r
và
a
r
cùng phương với
b
r
. Khi đó, tồn tại duy nhất một số thực k sao
cho:
a kb
=
r

r
.
- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
AB
uuur
và
AC
uuur
là các vec-tơ
cùng phương.
I.2.4. Tích vô hướng của hai vec-tơ.
- Cho trước hai vec-tơ
a, b
r
r
. Từ một điểm O cố định, dựng các vec-tơ
OA a, OB b
= =
uuur uuur
r
r
. Khi đó góc
·
AOB
là góc giữa hai vec-tơ
a, b
r
r
. Ký hiệu:
·

(a, b)
r
r
hoặc
(a, b)
r
r
.
- Tích vô hướng của hai vec-tơ:
a.b | a |.| b |.cos(a, b)
=
r r r
r r r
.
-
a b a.b 0
⊥ ⇔ =
r r
r r
.
-
2 2
a.a a | a |
= =
r r r r
.
I.3. Tọa độ của vec-tơ và của điểm trong mặt phẳng.
Xét hệ tọa độ Oxy.
-
u(x;y) u (x;y) u xi yj

⇔ = ⇔ = +
r r
r r r
.
- M(x; y) ⇔
OM (x;y) OM xi yj
= ⇔ = +
uuur uuur
r r
.
- Với
u(x;y), v(x ;y )
′ ′
r r
, k ∈ Ρ:
+
x x
u v
y y
′
=

= ⇔

′
=

r r
+
u v (x x ;y y )

′ ′
± = ± ±
r r
.
+
ku (kx;ky)
=
r
.
+
u.v xx yy
′ ′
= +
r r
.
+
2 2
| u | x y
= +
r
.
+
2 2 2 2
u.v xx yy
cos(u,v)
| u |.| v |
x y . x y
′ ′
+
= =

′ ′
+ +
r r
r r
r r
.
I.4. Học sinh cần được rèn luyện kĩ năng tổng hợp nhiều vec-tơ thành một vec-tơ và
ngược lại, cần biết phân tích một vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác (thường là phân tích một
vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc nhưng không cùng phương hoặc phân tích thành
hiệu hai vec-tơ khác chung gốc). Ở mỗi bài tập nên phân tích có những cách giải khác
nhau giúp học sinh có những cách nhìn linh hoạt hơn về vec-tơ.
I.5. Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn
ngữ vec-tơ và ngược lại. Ví dụ:
TT Kiến thức hình học tổng
hợp
Vec-tơ
1 M là trung điểm của đoạn
1)
MA MB 0+ =
uuur uuur
r
thẳng AB
2)
AM MB=
uuur uuur
3)
OA OB 2OM+ =
uuur uuur uuur
, với mọi điểm
O

2 G là trọng tâm ΔABC
1)
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur
r
2)
OA OB OC 3OG+ + =
uuur uuur uuur uuur
, với ∀O
3
AM là trung tuyến của
ΔABC
AB AC 2AM+ =
uuur uuur uuur
4 Ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB kAC=
uuur uuur
(k ≠ 0)
5 AB // CD
AB kCD ( k 0)
AB mAC ( m )

= ∃ ≠


≠ ∀ ∈


uuur uuur
uuur uuur

¡
6
AB ⊥ CD
AB.CD 0=
uuur uuur
7 ABCD là hình bình hành
AB DC=
uuur uuur
(A ∉ DC)
I- Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về vec-tơ.
I.1. Các bài toán xác định vec-tơ.
1. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm vec-tơ cùng hướng, vec-tơ bằng nhau.
Một trong những nguyên nhân khiến học sinh không giải được các bài toán về vec-
tơ là không hiểu rõ khái niệm vec-tơ, không biết cách xác định một vec-tơ, không hiểu rõ
hai vec-tơ bằng nhau, nhầm lần vec-tơ bằng nhau với đoạn thẳng bàng nhau
Để giải quyết được điều này, tác giả đã cho học sinh làm lại và phân tích kỹ lời giải
của học sinh qua hoạt động số 2 (§1, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao): Cho trước
vec-tơ
a
r
và điểm O cố định. Xác định điểm A sao cho
OA a=
uur
r
. Có bao nhiêu điểm A
như vậy.
Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ sao cho
AO a=
uuur
r

):
Và yêu cầu một học sinh xác định xem điểm A có thỏa mãn bài toán không. Sau đó
phân tích cho học sinh thấy rõ rằng: Trong hình vẽ trên, vec-tơ
OA
uuur
và vec-tơ
a
r
có độ dài
bằng nhau. Tuy nhiên, vec-tơ
OA
uuur
có hướng từ phải sang trái trong khi vec-tơ
a
r
có
hướng từ trái sang phải. Do đó hai vec-tơ nay không bằng nhau nên điểm A như trên
không thỏa mãn bài toán.
Sau đó, tác giả yêu cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn bài toán: Đa số học sinh
đã xác định được điểm A như hình vẽ sau:
Qua đó, tác giả nhấn mạnh cho học sinh rằng: nếu vec-tơ
a
r
được xác định bởi điểm
đầu là M và điểm cuổi là N thì
OA a=
uuur
r
khi và chỉ khi tứ giác MNAO là hình bình hành
(cần chú ý chặt chẽ đến thứ tự các đỉnh của hình bình hành). Hơn nữa qua việc xác định

như thế, học sinh nhận ra ngay luôn có một và chỉ một điểm A thỏa mãn bài toán.
Ngoài ra, tác giả cũng đã đưa ra các tình huống sau để giúp học sinh rèn luyện và
hiểu rõ hơn các khái niệm về vec-tơ:
- Điểm O trùng với điểm M thì A là điểm nào? (A
≡
N)
- Điểm O trùng với điểm N thì A là điểm nào? (A đối xứng với M qua N hay N là
trung điểm của MA)
- Xác định vị trí điểm O để điểm A trùng với điểm M? (O đối xứng với N qua M
hay M là trung điểm của ON)
2. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm tổng, hiệu hai vec-tơ.
Việc xác định tổng, hiệu của các vec-tơ đối với nhiều học sinh cũng là một vấn đề
khó khăn. Qua giảng dạy về vec-tơ, tác giả nhận thấy học sinh hầu như vẫn không phân
biệt rõ dựng tổng của các vec-tơ với tổng hai cạnh của một tam giác.
Để giúp học sinh nắm vững hươn khái niệm tổng hai vec-tơ và một số tiếp xúc của
chúng, đặc biệt là quy tắc ba điểm và cách dựng vec-tơ tổng của hai vec-tơ, tác giả cho
học sinh làm lại nội dung của hoạt động 4 (§2, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao).
Trước hết, tác giả vẽ lên bảng hình vẽ như sau:
Yêu cầu học sinh:
- Xác định các điểm A, B, C sao cho:
OA a, AB b, BC c
= = =
uuur uuur uur
r
r r
.
- Dựng các vec-tơ
a b, b c
+ +
r r

r r
.
Sau khi học sinh thực hiện yêu cầu và giáo viên chỉnh sửa những sai sót, được hình
vẽ như sau:
Sau khi học sinh đã nắm được các khái niệm về vec-tơ một cách tương đối chắc
chắn, tác giả tiến hành cho học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vec-tơ vào
giải toán thông qua một số ví dụ, bài toán cụ thể. Hơn nữa, với mỗi ví dụ, bài toán, tác giả
luôn cố gắng hướng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau, qua đó vận dụng được
nhiều kiến thức cơ bản và hiểu rõ thêm về bản chất của loại kiến thức mình áp dụng.
* Trước hết, tác giả cho học sinh thực hành việc xác định tổng của các vec-tơ thông qua
một bài toán cụ thể, qua đó củng cố thêm về khái niệm tổng của các vec-tơ, các quy tắc
thường dùng của tổng các vec-tơ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho luôn có: BD =
DE = EC. Hãy dựng vec-tơ
u AB AC AD AE= + + +
uuur uuur uuur uuur
r
.
Giải:
Cách 1: Gợi ý học sinh:
- Trong phép dựng tổng của hai vec-tơ, với hai vec-tơ có chung gốc thì nên xem xét
đến quy tắc nào? (Quy tắc hình bình hành)
- Vận dụng quy tắc đó vào trong bài toán này cụ thể ra sao? (Nhóm mỗi 2 vec-tơ
xác định bởi hai cạnh của hình bình hành lại với nhau)
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải như sau:
Dựng hình bình hành ABIC thì ADIE cũng là hình bình hành.
Từ quy tắc hình bình hành, ta có ngay:
AB AC AI, AD AE AI u 2AI+ = + = ⇒ =
uuur uuur uur uuur uuur uur uur
r

.
Từ đó: Dựng K đối xứng với A qua I thì:
u 2AI AK= =
uur uuur
r
.
Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác được không?
Học sinh đã biến đổi:
u AB AC AD AE AB AE AC AD= + + + = + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
. Từ đó, dựng
các hình bình hành ABME và ACND thì:
AB AE AM+ =
uuur uuur uuur
,
AC AD AN+ =
uuur uuur uuur
.
Như vậy:
u AM AN= +
uuur uuur
r
.
Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì:
u AK=
uuur
r
.
Cách 3: Gợi ý học sinh:

- Hãy phân tích đề bài theo một hướng khác: Với các giả thiết của đề bài, nhận xét
gì về các điểm D, E trên cạnh BC? (D là trung điểm của BE và E là trung điểm của CD)
- Với nhận xét đó, nhớ lại và xác định xem có thể vận dụng kiến thức nào để xác
định tổng của hai vec-tơ? (tính chất trung điểm)
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải như sau:
Biến đổi:
u AB AC AD AE AB AE AC AD= + + + = + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
.
Do D là trung điểm của AE và E là trung điểm của CD nên ta có:
AB AE 2AD, AC AD 2AE+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Từ đó, dựng M đối xứng với A qua D và N đối xứng với A qua E thì:
AB AE AM, AC AD AN+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Như vậy:
u AM AN= +
uuur uuur
r
.
Từ đó, dựng hình bình hành AMKN ta có:
u AK=
uuur
r
.
* Một trong các loại toán mà học sinh khá lúng túng là bài toán biểu diễn một vec-tơ qua
các vec-tơ không cùng phương.

Với loại toán này, nhiều học sinh lúng túng khi không thể áp dụng một quy tắc rất
cơ bản của phép cộng và phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, B bất kỳ, ta luôn có:
AO OB AB, OA OB BA+ = − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
. Cả hai quy tắc đó, mấu chốt vẫn là quy tắc ba điểm của
phép cộng các vec-tơ. Chính vì điều này, kết hợp với đối tượng học sinh yếu nên trước
khi cho học sinh làm các bài toán cụ thể, tác giả đã cho học sinh thực hành khá nhiều việc
lấy tổng, hiệu của hai vec-tơ, phân tích một vec-tơ thành tổng, hiệu của hai vec-tơ đại
loại như:
AO OB AB; MI KM KM MI KI; EF EO OF
AM AN NM; CD ID IC
+ = + = + = = +
− = = −
uuur uuur uuur uur uuur uuur uur uur uur uuur uur
uuur uuur uuur uuur uur uur
( )
1
AI AM AN ; EM EN 2EI; KM 2KI KN
2
= + + = = −
uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur
(Với I là trung điểm của đoạn
thẳng MN).
Ngoài ra, cũng cần hướng dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơ cùng phương,
cùng hướng trong bài toán để sử dụng vào việc biểu diễn.
Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hành qua một bài
toán khá đơn giản sau đây.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E là trung điểm của BC. Đặt
AB a, AO b
= =

uuur uuur
r
r
. Hãy biểu diễn vec-tơ
AE
uuur
theo các vec-tơ
a
r
và
b
r
.
Giải:
Cách 1: Gợi ý học sinh:
- Trong bài toán này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ
AB, AO
uuur uuur
.
- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn
AE
uuur
qua tổng hoặc hiệu
của các vec-tơ cùng phương với các vec-tơ
AB, AO
uuur uuur
(hoặc là chính các vec-tơ đó).
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
1 1 1
AE AO OE AO AB b a a b

2 2 2
= + = + = + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
r r
r r
Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải trên đã vận dụng quy tắc ba điểm trong bước
biến đổi đầu tiên. Hãy xem xét các giả thiết của bài toán để có thể biến đổi cách khác.
Chú ý đến các yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
( ) ( )
1 1 1 1
AE AB AC AB 2AO (a 2b) a b
2 2 2 2
= + = + = + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
r r
r r
.
Tiếp theo, cho học sinh thực hành việc biểu diễn vec-tơ qua các vec-tơ không cùng
phương bằng ví dụ:
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm là H. Đặt
HA a,HB b,HC c
= = =
uuur uuur uuur
r
r r
. Chứng minh rằng:
1
HO (a b c)
2

= + +
uuur
r
r r
.
Giải :
Cách 1: Gợi ý học sinh:
- Trong bài toán này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
. Nếu chưa
có thì cố gắng để tạo ra. Có thể thông qua các vec-tơ, điểm đã có hoặc các điểm đặc biệt
liên quan đến giả thiết. (Lựa chọn các trung điểm của các cạnh)
- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn
HO
uuur
qua tổng hoặc hiệu
của các vec-tơ, trong đó có vec-tơ cùng phương với
HA
uuur
hoặc
HB
uuur
hoặc
HC
uuur
. (Biểu diễn
được
′ ′
= +HO HA A O

uuur uuur uuur
)
- Bước tiếp theo, làm tương tự để biểu diễn vec-tơ trong tổng (hoặc hiệu đó) chưa
cùng phương với
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
theo
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
hoặc các vec-tơ cùng phương với
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
.
- Chú ý đến tính chất: Nếu
b 0
≠
r
r
và
a
r
cùng phương với
b
r
thì luôn tồn tại duy nhất
số k ∈ Ρ để
a kb
=
r
r

. Hơn nữa, với ba vec-tơ
a, b, c
r
r r
không cùng phương cho trước thì mỗi
vec-tơ
u
r
đều biểu diễn được duy nhất qua các vec-tơ
a, b, c
r
r r
đó.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Gọi A' là trung điểm của BC thì:
HO HA A O
′ ′
= +
uuur uuur uuur
Mặt khác: theo tính chất trung điểm:
( )
1 1
HA HB HC (b c)
2 2
′
= + = +
uuur uuur uuur
r
r
.

Hơn nữa OA' // AH nên
A O ma
′
=
uuur
r
. Do đó, ta có:
1 1 1
HO HA A O (b c) ma ma b c
2 2 2
′ ′
= + = + + = + +
uuur uuur uuur
r r
r r r r
(1)
Tương tự: Gọi B', C' lần lượt là trung điểm của AC, AB thì:
1 1
HO HB B O a nb c
2 2
′ ′
= + = + +
uuur uuur uuur
r
r r
(2)
1 1
HO HC C O a b pc
2 2
′ ′

= + = + +
uuur uuur uuur
r
r r
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
1
m n p
2
= = =
. Vậy
1
HO (a b c)
2
= + +
uuur
r
r r
.
Cách 2: Gợi ý học sinh:
- Vì đường tròn có tính đối xứng nên nếu xét điểm O ở vai trò trung điểm thì có thể
có cách suy nghĩ khác không?
- Muốn thế, hãy tìm cách tạo ra O là trung điểm của một đoạn thẳng có gắn với các
vec-tơ
HA, HB, HC
uuur uuur uuur
.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Kẻ đường kính BD của đường tròn. Khi đó, ta có:
·

·
o
BAD BCD 90
= =
⇒ CD // AH
và AD // HC.
Do đó tứ giác AHCD là hình bình hành. Vậy
HA HC HD
+ =
uuur uuur uuur
.
Mặt khác:
HB HD 2HO
+ =
uuur uuur uuur
.
Suy ra:
HA HB HC 2HO
+ + =
uuur uuur uuur uuur
hay
1
HO (a b c)
2
= + +
uuur
r
r r
.
I.2. Các bài về độ dài của vec-tơ.

Vấn đề tiếp theo mà học sinh khá lúng túng trong giải toán về vec-tơ là không phân
biệt rõ ràng khái niệm vec-tơ với độ dài của vec-tơ. Chính vì thế, nhiều học sinh vẫn cho
rằng
AB BC AC
+ >
uuur uur uuur
(với ABC là một tam giác). Để khắc phục điều đó, trước hết, tác giả
củng cố lại cho học sinh rằng độ dài của một vec-tơ là độ dài của đoạn thẳng xác định
vec-tơ đó (khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối của vec-tơ) và cho học sinh thực hành
bằng các ví dụ rất đơn giản như sau:
- Cho hai điểm phân biệt A và B. Hãy xác định độ dài các vec-tơ:
AB
uuur
,
BA, 0
uuur
r
.
(Phải phân tích để học sinh hiểu rõ rằng
= =
AB BA AB
uur uur
)
- Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Hãy xác định độ dài các vec-tơ:
AB
uuur
,
AC, BC, u BC AB
= +
uuur uur uur uuur

r
. (Phải phân tích, nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ rằng
BC AB AB BC AC
+ = + =
uuur uur uur uuur uuur
nên
|u | AC AC= =
uuur
r
. Hơn nữa, cần phân tích qua nhiều trường
hợp bằng các hình vẽ khác nhau: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng bất kỳ; tạo thành
tam giác cân, tam giác đều; thẳng hàng bất kỳ, thẳng hàng cách đều nhau )
Tiếp theo, khi học sinh đã nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả củng cố lại
cho học sinh rằng hai vec-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và cùng độ
dài, hai vec-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài. Đồng thời cho học
sinh thực hành qua ví dụ sau:
Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đặt
AB a,BD b,DC c,CA d
= = = =
uuur uuur uuur uuur
r r
r r
. Chứng minh rằng:
| a d | | b d | | c d | | a | | b | | c | | d |
+ + + + + < + + +
r r r r r r
r r r r
.
Giải: Gợi ý học sinh:
- Từ giả thiết và quy tắc ba điểm của phép cộng, hãy đánh giá một trong ba độ dài ở

vế trái. (Với hướng dẫn này, đa số học sinh đã đánh giá cả ba độ dài và đưa đến một kết
quả không như mong muốn, giáo viên phải hướng dẫn thêm)
- Hãy xem xét đến sự đặc biệt của các vec-tơ xác định nên
a, b, c, d
r r
r r
để đánh giá
tổng của hai độ dài còn lại. Chú ý đến tính chất các cạnh của một tam giác.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Ta có:
AB BD DC CA 0 a b c d 0 b d
+ + + = ⇔ + + + = ⇒ +
uuur uuur uuur uuur
r r r r
r r
r r
và
a c
+
r r
là các vec-tơ
đối nhau ⇒
| b d | | a c | | a | | c |
+ = + ≤ +
r r
r r r r
(1)
Mặt khác:
CA AB CB, DC CA DA
+ = + =

uuur uuur uur uuur uuur uuur
⇒
| a d | | c d | | CB | | DA | CB DA BC AD
+ + + = + = + = +
uur uuur
r r
r r
.
Lại có: BC + AD < (OB + OC) + (OA + OD) = BD + AC
⇒
| a d | | c d | | b | | d |
+ + + < +
r r r r
r r
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
| a d | | b d | | c d | | a | | b | | c | | d |
+ + + + + < + + +
r r r r r r
r r r r
.
* Với kiến thức về độ dìa vec-tơ, có thể hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải các bài
toán khác. Sau khi cho học sinh rèn luyện thêm các bài tập để khắc sâu khía niệm vec-tơ,
tác giả đã cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài vec-tơ vào bài toán sau và học sinh đã
thực hiện hiệu quả.
Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng:
1. Nếu AD
2
+ BC
2

=AB
2
+ DC
2
thì hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
2. Nếu
MA MC MB MD
+ = +
uuur uuur uuur uuur
(với điểm M bất kỳ) thì tứ giác ABCD là hình bình
hành.
Giải: Gợi ý học sinh:
- Dựa vào tính chất “Bình phương vô hướng của vec-tơ bằng bình phương độ dài
của nó” hãy biến đổi tổng các bình phương trong giả thiết thành hiệu của bình phương
các vec-tơ để có thể tạo ra các vec-tơ xác định bởi AC và BD.
- Lưu ý rằng:
a b a.b 0
⊥ ⇔ =
r r
r r
.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
1. Từ giả thiết suy ra: BC
2
– BA
2
= DC
2
– DA
2

⇔
2 2 2 2
BC BA DC DA
− = −
uur uuur uuur uuur
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
BC BA BC BA DC DA DC DA
− + = − +
uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur
⇔
( ) ( )
AC BC BA AC DC DA
+ = +
uuur uur uuur uuur uuur uuur
⇔
( )
AC BC BA DC DA 0+ − − =
uuur uur uuur uuur uuur
⇔
( )
AC BC CD BA AD 0+ + + =
uuur uur uuur uuur uuur
⇔
AC.2BD 0 AC.BD 0= ⇔ =
uuur uuur uuur uuur
⇔ AC ⊥ BD.
2. Ta có:
MA MC MB MD MA MB MD MC BA CD
+ = + ⇔ − = − ⇔ =

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
. Vậy ABCD là hình
bình hành.
II- Vận dụng các kiến thức về vec-tơ để giải các bài toán.
Đối với các em học sinh khá giỏi có thể hướng dẫn các em khai thác sâu hơn kiến
thức vec-tơ, coi đó là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán khác. Chẳng hạn: Chứng
minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, nhận dạng tam giác … Điều này sẽ giúp các em học
sinh học tập hứng thú hơn.
Các kiến thức cơ bản mà các em cần nắm vững để vận dụng có thể kể đến gồm:
- Tích vô hướng của hai vec-tơ:
a.b | a |.| b |.cos(a;b)
=
r r r
r r r
ta suy ra được các điều sau: +
a.b | a |.| b |
≤
r r
r r
(I)
+
| a.b | | a |.| b |
≤
r r
r r
(II)
Từ (I) ta có:
2 2
2a.b 2 | a |.| b | (a b) (| a | | b |)

≤ ⇔ + ≤ +
r r r r
r r r r
⇔
| a b| | a | | b|
+ ≤ +
r r
r r
(III)
Dấu bằng ở (I) và (III) xảy ra ⇔
a kb
=
r
r
với k > 0.
Dấu bằng ở (II) xảy ra ⇔
a kb
=
r
r
với k ≠ 0.
- Học sinh lớp 10 đã quen công thức tính diện tích tam giác sau:
1 1 1
S absinC bcsin A acsinB
2 2 2
= = =

Nếu đặt
AB b, AC c= =
uuur uuur

r
r
ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:
1
S b.c.tan A
2
=
r
r
.
Thật vậy:
1
2 | b |.| c |.sinA
2S
2
b.c | b |.| c |.cosA
sin A
tan A
cosA
 
 ÷
 
= = =
r
r
r r
r r