Chương IV bất đẳng thức và bất phương trình

Chương IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Bất đẳng thức.
a) Tính chất:
a > b và b > c  a  c
a > b  ac bc
a > b và c > d  a  c  b  d
a + c > b  a bc
ac  bc khi c  0
a>b 
ac  bc khi c  0
a > b  0 và c  d  0  ac  bd
a > b  0 và n  N *  a n  b n
ab0 a  b
ab3 a 3 b
| x | 0 , | x | x , | x |  x
(a > 0)
| x | a   a  x  a
| x | a  x   a hoăo x  a
|a||b||ab||a||b|
b) Bất đẳng thức Cô-si.
ab
ab
 ab ;
 ab  a  b (a, b  0)
*
2
2
abc 3
abc 3
 abc ;

 abc  a  b  c (a, b, c  0)
*
3
3
BÀI TẬP.
1.V ới x, y, z tùy ý . Chứng minh rằng:
a). x4 + y4  x 3 y  y 3 x
b) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z.
2. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau :
Vôùi  a, b, c  R :
a/ a2 + b2 + c2 + 3  2(a + b + c)

b/ a2 + b2 + a2b2 + 1  4ab

2

a2  b2
a b
 
2
 2 

c/ 

d/ a3 + b3  a2b + ab2

e/ a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d + e)
g/ (a + b + c)2  3(a2 + b2 + c2 )

f/ a2 + b2 + c2  ab + bc + ca

h/ a2 + b2 + 1  ab + a + b

3. Vôùi a, b, c > 0 :
ab bc ca
a2 b2 c2 a c b
a/


 abc
b/ 2  2  2   
c
a
b
c b a
b
c
a
a
b
c
1 1 1
c/ 

  
d / (a  b)(b  c )(c  a )  8abc
bc ca ab a b c
e / (a  2)(b  2)( a  b)  16ab
a
b
1 1

4
abcd 4

 a b
 abcd
f/
g/  
h/
a b ab
4
b
a


1
 2a
m/. (a + b)(b + c)(c + a)  8abc
b
2
1 1 1
9
n/ a  b  2 2(a  b) ab
p/   
a b c abc
4
9
4.. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 
với 0 < x < 1.
x 1 x
5.. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhầt của hàm số sau trên TXĐ của hàm số y = x  1  5  x

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
2. Bất phương trình.
a) Bất phương trình tương đương.
* Hai bất phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Nếu f1(x) < g1(x) tương đương với f2(x) < g2(x) thì ta viết: f1 ( x)  g1 ( x)  f 2 ( x)  g 2 ( x)
* Bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với bất phương trình
- f(x) + h(x) < g(x) + h(x).
- f(x).h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) > 0 x  D
- f(x).h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) < 0 x  D
f(x) < g(x)  [ f ( x)]3  [ g ( x)]3

k/.



1 1 1 1
16
   
a b c d abc d

l/. a 2 b 



f(x) < g(x)  [ f ( x)] 2  [ g ( x )] 2 với f(x) > 0, g(x) > 0
b) Bất phương trình bậc nhất và bậc hai.
* ax + b < 0
(1)
b
i) Nếu a > 0 thì (1)  x  

a
b
ii) Nếu a < 0 thì (1)  x  
a
iii) Nếu a = 0 thì (1)  0 x  b
. b  0 bất phương trình vô nghiệm.
. b < 0 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
* Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b ( a  0) . Ta có :
x 
f(x) = ax + b

trái dấu với a



x0
0

cùng dấu với a

* Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) . Ta có:
Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x  R .
b
Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x  
2a
Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x  ( x1 , x2 )
(tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngòai đọan [x1 , x2 ] (tức là x < x1 hoặc x > x2)
* Để tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn âm hoặc luôn dương ta áp dụng:
a  0
x  R, ax 2  bx  c  0  

  0
a  0
x  R, ax 2  bx  c  0  
  0
* Để giải bất phương trình bậc hai ta áp dụng định lý về dấu tam thức bậc hai


B. BÀI TẬP
1. Giải bất phương trình :

3 x  1 3( x  2)
5  3x

1 
4
8
2
3x  1 x  2 1  2 x
c/


2
3
4

4 x  1 x  1 4  5x


18
12

9
x  3 1  2x x  1
d/


4
5
3

a/

b/3

2. Giải hệ bất phương trình :

15 x  8

8 x  5  2
a/
2(2 x  3)  5 x  3

4
 2 x  3 3x  1
 4  5
d /
3 x  5  8  x

2
3

5

6 x  7  4 x  7
b/
 8 x  3  2 x  25
 2
 4x  5
 7  x  3
e/
 3x  8  2 x  5
 4

3 x  5  0

c / 2 x  3  0
x  1  0


3. Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m :
a/ m(x – m)  x – 1
b/ mx + 6 > 2x + 3m
c/ (m + 1)x + m < 3x + 4
4. Xét dấu biểu thức sau :
a/ f(x) = 2x – 5; f(x) = -11 – 4x;
b/ f(x) = (2x + 1)(x – 5)

( x)( x  3) 2
5 x  10
2 x 2  3x
f/ f(x) =

1 x

c/ f(x) = (3x - 1)(2 - x)(5 + x);
e/ f(x) =

d/ f(x) =

3
2

;
4  x 3x  1

5. Giải bất phương trình :

a/

3x  4
 1;
x2

b/

2x  5
 1;
2x

6.Giải phương trình chứa trò tuyệt dối :
a/ x  1  2 x  4  3 ;

c/

2
5

;
x  1 2x 1

d/

4
3

3x  1 2 x  1

b/ 7  2 x  5  3 x  x  2

7. Xét dấu biểu thức sau :

a / f ( x )  2 x 2  5 x  7;



b / f ( x)   x 2  2 x  1;



(2 x  3) 4 x  x 2
;
x 2  6x  9

3x  7
f / f ( x)  2
 5;
x  x2

d / f ( x) 

c / f ( x )  x 2  4 x  5;

x3  x 2  6x
;
9  x2
 2 x 2  3x  1 x 3  1
g / f ( x) 
x2  x  6

e / f ( x) 







8. Giải các bất phương trình sau :

a / (1  x 2 )( x 2  5 x  6)  0;
d / 3(1  x ) 

g/

7  8x
;
1 x

x 2  4x  3
 1  x;
3  2x

b/

4x  1
 x  2;
4(2  x)

e / ( x 2  16 x  21) 2  36 x 2 ;

h/

x3  x  x2 1
 0;
x8

c/

4 x
1

;
x  5 1 x

f/

x 2  2x  3
1

;
2
x  4x  3 1 x

i / (2 x  7)(3 x 2  5 x  2)  0


9. Giải các hệ sau :

2 x 2  12 x  18  0
a/ 2
;
3 x  20 x  7  0

 x 3  11x 2  10 x  0
b/ 3
;
 x  12 x 2  32 x  0

6  x  x 2  0
c/ 2
;
 x  4 x  0

(2 x  1)( x 2  9)  0
d / 2
;
 x  x  20

6 x 2  5 x  56  0

e / 1
1
1 ;

 
 x 8  x x 1

( x 2  8 x ) 2  ( x  10) 2
f / 2
 x  4 x  3  0

10.Đònh m để x  R, ta có :
a/ x2 – (3m – 2)x + 2m2 – 5m – 2 > 0
b/ (m + 1)x2 – 8x + m + 1  0
2
c/ (m – 2)x + 2(2m – 3)x + 5m – 6  0
d/ m(m + 2)x2 + 2mx + 3 < 0
11. Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm :
a/ 3x2 + 2(2m – 1)x + m + 4  0
b/ (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 > 0
12. Giải bất phương trình :

a / x 2  1  2 x  0;

b / 2x  5  7  4 x ;

d / 4  x  3x 2  6 x  2 x  6;

e/

c / 5  4 x  2 x  1;

x 2  4x
1
x 2  3x  2

13. Giải bất phương trình :

c / 1  13  3x 2  2 x;

a / x  18  2  x;

b / x  24  5 x ;

d / 5  x 2  x  2;

e / x 2  3x  2  2 x  4

f /  2  3x  x 2  x  1

14. Giải bất phương trình:
a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 3)  15

b/ (x + 4)(x + 1) - 3 x 2  5 x  2  6

c/ x 2  4 x  6 

d/ ( x  3) x 2  4  x 2  9

2 x 2  8 x  12


Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC
1. Định nghĩa 1
Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu ab > 0. Khi đó ta cũng kí hiệu ba > b  a-b > 0
(ba<0)
a  b  a-b  0
(ba≤0)
2. Định nghĩa 2:
Các mệnh đề "a > b"; "a  b"; "a < b" ; "a  b" được gọi là các bất đẳng thức.
+ a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức;
+ a>b và c>d (hoặc a+ a>b và c+ Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d". Nếu
"a>b  c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b"
"a>b  c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b"
3. Các tính chất

a, b, c, d  R ta có :
1) a > b  a+c > b+c

(cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số)
a > b+ c  ac > b (chuyển vế)
 ac  bc neáu c  0
3) a > b  
(nhân hai vế cùng 1 số)
 ac  bc neáu c  0
a  b
4) 
 ac  bd
c  d

a  b  0
5) 
 ac  bd
c  d  0
6) Với n nguyên dương:

a > b  a2n+1 > b2n+1
a > b>0  a2n > b2n

7) Nếu b>0 thì
a>b  a  b ;
a>b  3 a  3 b
a  b
8) 
(bắc cầu)
ac
b  c
1 1
 a  b neáu ab  0

9) a > b  
 1  1 neáu ab  0
 a b
10) a > b > 0  an > bn
( n N  )
11) a > b > 0  n a  n b ( n N  )
Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều


PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp chung:

Một số hằng đảng thức:
(ab)2= a2  2ab +b2
(ab)3= a3  3a2b+3ab2  b3
a3b3= (ab)(a2 +ab +b2)

(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
a2 b2 = (ab)(a+b)
a3b3= (a+b)(a2 ab +b2)

Ví dụ: Chứng minh rằng
a) Nếu a,b  0 thì a+b  2 ab
b) Chứng minh a2+b2-ab  0. Khi nào thì đẳng thức xảy ra.
Giải
a) Cách 1: ta có a+b  2 ab  a+b- 2 ab  0
 ( a  b )2  0 đúng với mọi a,b  0. Dấu '=' xảy ra khi a = b
Cách 2: ta đã biết
( a  b )2  0 a, b  0
 a+b- 2 ab  0  a+b  2 ab  đpcm.

3b 2
1
3
b
 0 a, b  R
b) Ta có:
a2+b2-ab = a 2  b 2  b 2  ab = (a- ) 2 +
4
4
4
2
b

 a  2  0
 a  0  đpcm
dấu '=' xảy ra  
 
2
b  0
 3b  0
 4

4. Bất đẳng thức Côsi
a/ Định lý: Nếu a  0, b  0 thì

ab

2

ab hay a+b  2 ab

Dấu '=' xảy ra  a=b
b/ Các hệ quả:
b.1. Nế a  0,b  0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max  a = b
b.2. Nếu a  0,b  0 có a.b = const thì a + b là min  a = b
a  a 2  ...  a n n
b.3. Nếu a1, a2, a3,…..,an  0 thì: 1
 a1 .a 2. a3 ...a n
n
1
b.4. a   2 , a > 0
a


* Ý nghĩa hình học:
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
c. Ví dụ:
a b
Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng   2
b a
Giải
a b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ,  0 ,ta có:
b a
a b
a b
a b
  2 .  2    2 => đpcm.
b a

b a
b a
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì
(a+b)(ab+1)  4ab
Giải
Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có:
a+b  2 ab (1)
Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có:
ab + 1  2 ab (2)
Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1)  4ab => đpcm
5. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối
 x neáu x  0
Định nghĩa: |x| = 
;
- x neáu x  0
a, b  R ta có

a  b  a  b , dấu '=' xảy ra  a.b  0
a  b  a  b , dấu '=' xảy ra khi a.b  0
a  b  a  b  a.b  0
a  b  a  b  a.b  0
Ví dụ: chứng minh rằng | x-y | + | y-z |  | x- z|
Giải
Ta có |x-y|+|y-z|  |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm
6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)
 ab  cd  (a 2  c 2 )(b 2  d 2 )
Chứng minh:
Ta có (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)
 a2b2+c2d2+2abcd  a2b2+a2d2+b2c2+c2d2

 a2d2+b2c2-2abcd  0
 (ad-bc)2  0 đúng a, b, c, d  R => đpcm
Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh rằng
 2  x y 2
Giải
Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có:
(1.x+1.y)2  (12+12)(x2+y2)
 (x+y)2  2   2  x  y  2
=> đpcm.


Ví dụ 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y2 

4
5

Giải
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1/ Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng: 2 xyz  x 2  y 2 z 2
HD: Đưa về hằng đẳng thức
1
 a  1  a  1 , a  1
2/ Chứng minh rằng:
a
Giải
2

2
 1 

 a 1  a 1  
  a 1  a 1
a
 a
1
1
1
  (a  1)  (a  1)  2 a 2  1  2 a 2  1  2a  . Vì 2a   0 nên
a
a
a

1





2

1
1

 4(a 2  1)   2a    2  0 ñuùng
a
a

1
 a  1  a  1 , a  1  đpcm
Vậy

a
1
1
3/ Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 
với 0x 1 x
1
1
Vì >0,
>0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được:
x
1 x

y=

1
1
1 1
1
2 .
2
+
x 1 x
x 1 x
x(1  x )

x  (1  x )
1
1
 x (1  x ) 


2
x  (1  x )
x (1  x )
2
1
1
1 1
1
1
vậy y= +
2 .
2
2
4
x 1 x
x 1 x
x  (1  x )
x (1  x )
2
1
1
1
1
1
 
 y= +
 4. Dấu "=" xảy ra   x 1  x  x 
x 1 x
2

x  (0;1)

1
1
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= +
bằng 4 khi x =
x 1 x
2
mà


BÀI TẬP
1/ Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
a) x 4  y 4  x3 y  xy3
Giải
4
3
4
3
3
( a)  x  x y  y  y x  0  x ( x  y )  y3 ( y  x)  0

 x 3 ( x  y )  y3 ( x  y )  0  ( x  y )( x3  y3 )  0
2

y  3 y2 
 ( x  y ) ( x  xy  y )  0  ( x  y )  x   
  0 ñúng
2

4 

Vậy x 4  y 4  x3 y  xy3  đpcm
b) x 2  4y 2  3 z 2  14  2 x  12 y  6 z
Giải
2
2
(b)  x  2 x  1  4y  2.2 y.3  9  3 z 2  2. 3.z. 3  3  1  0
2

2

2

2

 ( x  1) 2  (2 y  3) 2  ( 3.z  3)2  1  0 ñuùng

Vậy x 2  4y 2  3 z 2  14  2 x  12 y  6 z  đpcm
a
b

 a b
c)*
b
a
Giải
3

(c ) 

a a b b
b a



a 

 a  b
b 

3

b a



 ( a 

b )( a 

a b  b) 

b a( a 

b)

 ( a 

b )( a 

a b  b) 

b a( a 

b)  0

 ( a 

b )( a 

a b b

 ( a 

b )( a  2 a b  b )  0  ( a 

a 

b

b a)  0
b )( a 

b )2  0

 đpcm
1 1
4
d)  

a b ab
Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b:
a  b  2 ab

(1)

1 1
1 1
1
, :
 2
(2)
a b
a b
ab
1 1
1 1
4
Lấy (1) nhân (2) ta được: (a  b)(  )  4   
. đpcm
a b
a b ab
abcd 4
 abcd (bđt Cô-si cho 4 số)
e)*
4
Giải
a  b  2 ab 
4

  a  b  c  d  2( ab  cd )  2.2 ab cd  4 abcd
c  d  2 cd 
abcd 4

 abcd
4
1 1 1 1
16
f)    
a b c d abcd
Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương


Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a, b, c, d ta được:
a  b  c  d  4 4 abcd (1)
1 1 1 1
Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương , , , ta được;
a b c d
1 1 1 1
1
    44
(2)
a b c d
abcd
1 1 1 1
Nhân (1) với (2) ta được: ( a  b  c  d )(    )  16
a b c d
1 1 1 1
16

Vậy    
a b c d abc d
1
g) a 2b   2a
b
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b
h) ( a  b)(b  c )(c  a )  8abc
Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a.
i)



a b



2

 2 2(a  b) ab

Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho ( a  b) và 2 ab
1 1 1
9
j)   
a b c abc
Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta được:
a  b  c  3 3 abcd (1)
1 1 1
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương , , ta được;

a b c
1 1 1
1
   33
(2)
a b c
abc
1 1 1
Nhân (1) với (2) ta được: ( a  b  c )(   )  9
a b c
1 1 1
9
Vậy   
a b c abc
2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau
x4
2
a) Với x>3. Chứng minh
x3
HD: x  4  2 x  3 Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3
x 2 y2

 1 . Chứng minh |x.y|≤3
b) Với
4
9
x 2 y2
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho
,
4 9

c)* Với a, b, c0 và a+b+c=1. Chứng minh: b+c  16abc
HD: b+c  2 bc
 (b+c)2  4bc
(1)
a+(b+c)  2 a (b  c )  1 4a(b+c)
lấy (1)x(2) ta được đpcm

(2)


d) Cho a, b, c, d  0. Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1)  32abcd
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1
a
b
c
e) Cho a,b,c >0. CMR : (1  )(1  )(1  )  8
b
c
a
a
b
c
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1, ; 1, ; 1,
b
c
a
f) Với a,b,c,d không âm. CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)  16abcd.
HD:
b
g) Cho a,b,c > 0. CMR : ca   2 ab

c
HD:
1 1 1
h) Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)(   )  9
a b c
HD:
1 1
k) Cho a,b > 0. CMR : (a+b)(  )  4
a b
HD:
a  bc 4
 ab
l) Cho a,b,c > 0. CMR :
2c 2
a  bc 4
a
 2 ab  2  bc2  2 ab
HD:
2
c
c
1
1
1
m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. CMR : (1  )(1  )(1  )  64
a
b
c
HD:
a

n) Cho a > 1 . CMR : a  1 
2
HD: bình phươn 2 vế
1 1 1
1
1
1


o) Cho a,b,c >0 . CMR :   
a b c
ab
bc
ac
3/ Chứng minh bất đẳng thức
1 1

b a
b) a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca, a,b,c  . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra?

a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì

c) a 2  b2  ab  0, a, b  . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.?
d) (a+b+c)2  3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c  .
e) a2b+ab2  a3+b3 , với a, b dương. Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ?
4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với  3  x  5 . Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?
5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau
3
1
a) f(x)= x  vôùi x  0

b) f(x)= x 
với x > 1
x
x 1
2*/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=

4
9

với 0x 1 x

Giải


y

4
9
4( x  1  x) 9( x  1  x)



x 1 x
x
1 x

4(1  x) 9 x
4(1  x ) 9 x


 13  2
.
 25
x
1 x
x
1 x
 y  25 ,x  (0;1)
 49

9x
 4(1  x )

6
5

Đẳng thức xảy ra   x
x
1 x
2
 x  (0;1)
3*/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x3  x4 với 0≤ x ≤ 4
Giải

x  x
 x  12  3x

y  27  
 x3
2 x  12  2 x

0  x  4


BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
I. CMR
1. a2 – 3a + 3 > 0 , aR
2. a2 + b2  2ab , a, bR a2 +3a +3 > 0 aR
3. a2 + b2 + 4  ab + 2(a +b) , a, bR
4. a2+ b2 + c2 + d2 + e2  a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR
a2
1
a2
b2

,

a

R

 1 , a, bR
5.
.
Suy
ra
a4 1 2
a 4  1 b4  1
2

a2  b2  c 2

 a bc 
6. 
, a, b, cR
 
3
3


7. a3 + b3  ab(a+b) , a, b  0
8. a3b + ab3  a4 + b4 , a, bR
9. a4 + 16  2a3 + 8a , aR
10. (a  b)(c  d )  ac  bd , a, b, c, d > 0
a
b

 a  b , a, b > 0
11.
b
a
3
a  b , a, bR
12. a 2  ab  b 2 
2
1
 a  1  a  1 , a  1
13.
a
a 2 b2 c2
   a  b  c , a, b, c > 0
14.

b c a
15. a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , aR

 x 5 ( x3  1)  x( x  1)  1  0 neáu x  1
16. x – x + x – x + 1 > 0 , xR. Hd: BĐT   8
2
3
 x  x (1  x )  (1  x) neáu x < 1
II.CMR
1. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR:
a
a ac
a
a ac


i. Nếu  1 thì
ii. Nếu  1 thì
b
b bc
b
b bc
a
b
c


2
b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: 1 
ab bc ca

2. Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:
a. a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca)
b. abc  (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0
1
3. Cho a + b = 1. CMR: a2 + b2 
2
1
4. Cho x + y + z = 1. CMR: x 2  y 2  z 2 
3
5. CMR: a. x  2  x  5  7 , xR
8

5

2

b. x  1  y  2  x  y  3  6 , x, yR
III.CMR
abcd 4
 abcd . (a, b , c, d  0)
1.
4
abc 3
2.
 abc . (a, b , c  0)
3


1 1 1
9

  
(a, b , c > 0)
a b c abc
a
b
c 1 1 1
 
  
4.
(a, b , c > 0)
bc ca ab a b c
ab bc ca
 
 abc
5.
(a, b , c > 0)
c
a b
1 1
6. x 2  y 2    2( x  y ) (x , y > 0)
x y
7. (a + b)(b+c)(c+a)  8abc (a, b , c  0)
 a  b   c 
8.  1  1   1    8 (a, b , c > 0)
 b  c   a 
9. (a + 2)(b + 8) (a + b)  32ab (a, b  0)
10. (1 –a)(1 – b)(1 – c)  8abc với a + b + c = 1 và a, b, c  0
 1  1 
11.  1   1    9 với x+y =1 và x , y > 0.
y

 x 
12. (a + 2) (b + 8)  36 với ab = 4 và a, b > 0
13. a b  1  b a  1  ab a, b  1

3.

14.

4a  1  4b  1  4c  1  5 với a + b + c = 1 và a, b, c  -

1
4

IV.CMR:
1. (ab +by)2  (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR. Dấu bằng xảy ra khi nào?
2. 2 x  3 y  13 với x2 + y2 = 1
3. 3 x  2 y  2 với 9x2 + 4y2 = 1
4. 2 x  3 y  35 với 2x2 + 3y2 = 7
1
biết 4x + 6y = 1. Dấu bằng xảy ra khi nào?
8
9
6. 4 x 2  3 y 2  biết 4x - 3y = 3. Dấu bằng xảy ra khi nào?
7
V.Tìm GTLN của hàm số sau:
1. y = (x + 5)(7 – x) với -5  x  7
(maxy = 36 khi x = 1)
3
10
2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với  x 

2
3
x4
1
3. y =
với x  4
(maxy = khi x = 8)
2x
8

5. 4 x 2  9 y 2 

4. y = x + 8  x 2
VI.Tìm GTNN của hàm số sau:
x5
8

1. y =
với x > -5
2
x5
9
2. y = x 
với x > 2
x2
9
3. y = x 2  2 với x  0
x
4
x 1

4. y =
với x  0
x2

(maxy = 4 khi x =  2)
(miny = 4 khi x = -1)
(miny = 8 khi x = 5)
(miny = 6 khi x =  3 )
(miny = 2 khi x = 1)


(4  x)(1  x )
với x > 0
x
6. y = x  2  x  4

5. y =

(miny = 9 khi x = 2)

(miny = 2 khi 2 < x < 4)
VII. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = xy + yz + zx biết x2 + y2 + z2 = 1


BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau
1/ Cho a,b,c,d > 0
a
a+c
a) nếu a < b thì

<
b
b+c
a
a+c
b) nếu a > b thì
>
b
b+c
a
b
c
c) 1 <
+
+
<2
a+b b+c c+a
a+b
b+c
c+d
d+a
d) 2 <
+
+
+
<3
a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b
a
c
a

a+c
c
2/ Cho
<
và b,d > 0, Chứng minh rằng <
<
b
d
b b+d
d
3/ Chứng minh rằng  a , b ,c
a) a2 – ab + b2 ≥ ab
b) a2 + 9 ≥ 6a
c) a2 + 1 > a
d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0
2
2 2
e) 2abc  a + b c
f) (a + b)2 ≥ 4ab
g) a2 + ab + b2 ≥ 0
h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3
2
2
2 2
i) 4ab(a – b)  (a – b )
j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0
a
b
k)
+

≥ a+ b
l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b)
b
a
a2
1
a + b 2 a2 + b2
m)

n) (
) 
1 + a4 2
2
2
2
2
2
2
a +b +c
a+b+c 2
a
o)
≥(
)
p)
+ b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc
3
3
4
q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)

r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)
s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac
3
t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2
4
2
u) a + b + 2a + 2b2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
4/ Cho a ,b  [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b|  |1 + ab|
x
y
a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì
≥
1+x 1+y
|a – b|
|a|
|b|
b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có
≤
+
1 + |a – b| 1 + |a| 1 + |b|
5/ Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b
6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x5 + x – x + 1 > 0
7/ Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca  1
1 1
1
1 1
8/ Cho 0 < a  b  c . Chứng minh rằng : b( + ) + (a + c)  ( + )(a + c)
a c
b

a c
c+a
c+b
9/ Cho a > b > 0 và c ≥ ab . Chứng minh rằng
≥ 2
c2 + a2
c + b2
a3 + b3 + c3 – 3abc
10/ Cho a + b + c  0. Chứng minh rằng :
≥0
a+b+c
11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :
1
1
1
1
+
+

a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc


12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :
a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2
b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2
1
1
2
13/
a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng :

2+
2 ≥
1+a 1+b
1 + ab
1
1
1
3
b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng :
3+
3 +
3 ≥
1+a 1+b 1+c
1 + abc
c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng :
1
1
2
+
≥
1 + 4x 1 + 4y 1 + 2x+y
14/  a,b,c,d chứng minh rằng
a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2
a
b
c
d
b) 1 <
+
+

+
< 2
a+b+c a+b+d b+c+d a+c+d
15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a b c a c b
a)
+ + – – –
<1
b c a c b a
b)
abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
c)
a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3
*d)
a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
*e)
(a + b + c)2  9bc với a  b  c
*f)
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc
16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3
17/ Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng :
a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc
b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab
c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
18*/ Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a  b  c
Chứng minh rằng :
(a + b + c)2  9bc
aA + bB + cC 
19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng :
≥

a+b+c
3
20*/ Cho a ,b ,c  [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)  4
1
1
1
1
21/ Chứng minh rằng :
+
+
+ …+
<1 nN
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
1
2
3
n–1
22/ Chứng minh rằng :
+
+
+ …+
< 1 nNn≥2
2! 3! 4!
n!
23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :
1
3 a+b+c 
abc
24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

a) a2 + b2 + c2 ≥ 3
b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3

Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)
1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :
a b
a) + ≥ 2 a , b > 0
b a
2a2 + 1
c)
≥1
4a2 + 1
e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b

b) a2b +

1
≥ 2a
b

b>0

d) a3 + b3 ≥ ab(a + b)
f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab


g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2
i)

1 1

4
+ ≥
a b
a+b

j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2
a6 + b9
≥ 3a2b3 – 16
4
a2 b2 c2
a c b
m) 2 + 2 + 2 ≥ + +
b c a
c b a
k)

a2
1

a +1
2
1 1 1
2
2
2
j) + + ≥
+
+
a b c a+b b+c c+a
a2 + 2

h)
≥2
a2 + 1
a2 + 6
l) 2
≥4
a +2
h)

4

1 2

2/ Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2 2 + + 1 ≥ 16
a a

3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng:
1
a) a2b + ≥ 2a
b
1
1 1 1
b) a + b + c ≤ ( a2b + b2c + c2a + + + )
2
a b c
2
a +b
4/ Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a <
< ab <
1 1

2
+
a b
5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a b – 1 + b a – 1  ab
6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :
c
a) ab + ≥ 2 ac (b  0)
b
b) a + b + c ≥ ab + bc + ca
c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc
d) ( a + b )2 ≥ 2 2(a + b) ab
e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
1
f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2
3
g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc
h) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b
i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc )3
7/ Chứng minh rằng x (0; /2) ta có:
1
1
cosx + sinx + tgx + cotgx +
+
>6
sinx cosx
8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ abc
9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :
a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
bc ac ab

b) + +
≥a+b+c
a
b
c
a b a c c b
c)( + )( + )( + ) ≥ 8
b a c a b c
a
b
c
d) (1 + )(1+ )(1+ ) ≥ 8
b
c
a
1 1 1
e) (a + b + c)( + + ) ≥ 9
a b c


1
1
1
9
f) (a + b + c)(
+
+
)≥
a+b b+c c+a
2

a+b b+c c+a
g)
+
+
≥6
c
a
b
a
b
c
3
h)
+
+
≥
b+ c c + a a + b 2
i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2
j) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac
a+b+c+6
k)
≥ a + b+1 + c+2
2
10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng :
1
1
a) (ab + cd)( +
)≥4
ac bd
2

2
2
2
b) a + b + c + d ≥ (a + b)(c + d)
1
1
8
c)
+
≥
ab cd (a + b)(c + d)
d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2
e) (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c) ≥ 6 4 abcd
1 1 1
9
f) + +
≥
a b c
a+b+c
1 1 1 1
16
g) + + + ≥
a b c d a+b+c+d
a6 + b9
h)
≥ 3a2b3 – 16
4
1 1 1 a c b
i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c + 6
a b c c b a

a
b
11/ Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n  N
b
a
12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :
1
1
a) ab 
b)a2 + b2 ≥
4
2
1
1
b) c)a4 + b4 ≥
d)a3 + b3 ≥
8
4
2
2
a +b
13/*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng :
≥2 2
a–b
1
(a + b)(1 – ab) 1
14/*. Chứng minh rằng – 

2
(1 + a2)(1 + b2) 2

b+c
4
15/ a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì :
≥
bc
b+c
b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng
a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc
1
1
16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: (1 + )(1+ ) ≥ 9
a
b
17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
1
1
1
a) (1 + )(1+ )(1+ ) ≥ 64
a
b
c
8
b) (a + b)(b + c)(c + a)abc 
729
1
1
1
1
18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn
+

+
+
≥3
1+a 1+b 1+c 1+d


1
81
19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
abc
c) (p – a)(p – b)(p – c) 
8
1
1
1
1 1 1
d)
+
+
≥ 2( + + )
p–a p–b p–c
a b c
e) p < p – a + p – b + p – c < 3p
20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1.
Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8
21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh rằng
– 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 3
23/ .Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an. Chứng minh rằng

a1 a2
an
a) + + … +
≥n
a2 a3
a1
1 1
1
b) (a1 + a2 + … + an)( + + …+ ) ≥ n2
a1 a2
an
c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an = 1
24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an  [0;1] ,chứng minh rằng :
(1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ an2)
1
25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a +
≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu =
b(a – b)
26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng :
Chứng minh rằng abcd 

3
5
a) 2 a + 3 b ≥ 5 ab
b) 55 a  12 12 b  17 17 ab
a6 + b9
c)
≥ 3a2b3 – 16
4
27/ Chứng minh rằng 1.3.5….(2n – 1) < nn

28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :
a + b + c ≥ m  n  k a m b n c k  m n  k a n b k c m  m  n  k a k b m c n
29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2 ,….,bn. Chứng minh rằng :
n

n
b1.b2....bn  (a1 + b1)(a2 + b2)….(an + bn)
4
(a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3)
1
30/ Chứng minh rằng :
≤
a+b+c+d
4
 a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3
31/*.  n  N chứng minh rằng :
a1.a2....an +

n

1 1 1 1
a) 1. 2 . 3. 4….. n <
2 3 4 n

 2 


 n  1

n ( n 1)

2

n ( n 1)

 2n  1  2
b) 1.22.33.44…nn < 

 3 
1
1
32/*.Cho m,n  N ;m > n . Chứng minh rằng :
( 1 + )m > ( 1 + )n
m
n
33/*.Cho x1,x2,…xn > 0 và x1 + x2 + ….+ xn = 1 Chứng minh rằng
1
1
1
(1 + )(1+ )…(1+ ) ≥ (n + 1)n
x1
x2
xn
34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22
Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2


35/*.Cho 3 số a ,b ,c  (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai:
a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4
(3)
36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

2 a
2 b
2 c
1 1 1
3
2 + 3
2 + 3
2  2 + 2 + 2
a +b
b +c
c +a
a b c
81
37/** Cho x ,y ,z  [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z) 
8
(ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)
38/*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng :
a + b
a) log2a + log2 b  2 log2

 2 
9
logba logcb logac
b) 2
+
+
≥

a + b b + c c + a  a + b + c
39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng :

a
b
c
3
a)
+
+
≥
b+c c+a a+b 2
a2
b2
c2
a+b+c
b)
+
+
≥
b+c c+a a+b
2
a+b b+c c+a
c)
+
+
≥6
c
a
b
a3 b3 c3
d)
+ +

≥ ab + bc + ca
b c a
e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc
bc ac ab
f) + +
≥a+b+c
a
b
c
a2
b2
c2
a+b+c
ab
bc
ca
g)
+
+
≥
≥
+
+
b+c c+a a+b
2
a+b b+c c+a
40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng :
a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc
1 1 2
a+b c+b

41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : + = . Chứng minh rằng :
+
≥4
a c b
2a – b 2c – b
42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :
1 1 1
1
1
1
a) + + ≥ 9 b) 2
+
+
≥9
a b c
a + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab
43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c  k. Chứng minh rằng :
1
1
1
3
(1 + )(1 + )(1 + ) ≥ (1 + )3
a
b
c
k
a2 b2 c2 a b c
44/ Cho ba số a ,b ,c  0. Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 ≥ + +
b c a
b c a

45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng :
a–b b–c c–a
1
a) ha + hb + hc ≥ 9r
b)
+
+
<
a+b b+c c+a
8
Dùng tam thức bậc hai
1/  x , y  R Chứng minh rằng :
a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0
a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z
b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0
c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0
d) x2 y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3


e) (x + y)2 – xy + 1 ≥ 3 (x + y)
2
2
x y 
x y
f) 3 2 + 2 – 8 +  + 10 ≥ 0
y x 
y x
g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z)
2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng :
(a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)

3/ Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1
4/ Cho ax + by ≥ xy , x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4
1
5
2
5*/ Cho – 1  x 
và – < y < ,chứng minh rằng : x2 + 3xy + 1 > 0
2
6
3
a2
6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc +
3
a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 x
a2
b) Chứng minh rằng:
+ b2 + c2 > ab + bc + ca
3
7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x  y . Chứng minh rằng x3 – 3x  y3 – 3y + 4
.Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
4
a) y = x2 + 2
x
1
b) y = x + 2 +
với x > – 2
x+2
1
c) y = x +
với x > 1

x–1
x
1
d) y = +
với x > – 2
3 x+2
x2 + x + 1
e) y =
với x > 0
x
4
9
f) y = +
với x  (0;1)
x 1–x
8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
y = x(2 – x)
0 x  2
3
5
y = (2x – 3)(5 – 2x)
 x 
2
2
2
y = (3x – 2)(1 – x)
 x  1
3
1
4

y = (2x – 1)(4 – 3x)
 x 
2
3
3
4
y = 4x – x với x  [0;4]
11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường
thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có
độ dài nhỏ nhất
12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4
A=
abc
13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 1 + 5 – x


§2 Bất phương trình bậc nhất
I. Khái niệm bất phương trình một ẩn
1. Định nghĩa
Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định Df,Dg. Đặt Df  Dg=D, mệnh đề chứa biến x D dạng
f(x)>g(x) gọi là bất phương trình một ẩn.
Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x  5x+3
2. Tập hợp nghiệm
Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị x0  D : f ( x 0 )  g ( x 0 )
3. Điều kiện của bất phương trình
Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa
Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 3  x  x  1  x 2 là
3x0 và x+10
4. Bất phương trình chứa tham số

Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn.
Ví dụ: mx+2>5 (tham số m)
5. Hệ bất phương trình một ẩn
Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm đó.
3  x  0
Ví dụ: Giải hệ 
x  1  0
III. Bất phương trình tương đương
1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2. Định lý
2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ):
Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D. Nếu h(x) xác định trên D thì:
f(x) > g(x)  f(x) + h(x) > g(x) + h(x)
* Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được
một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D
+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi x  D thì bất phương trình:
f(x) > g(x) f(x).h(x) > g(x).h(x)
+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi x  D thì bất phương trình:
f(x) > g(x)f(x).h(x) < g(x).h(x)
2.3. Định lí 3 (bình phương): Nếu f(x)  0, g(x) 0 thì
f(x) > g(x)  f2(x) > g2(x)
* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau
+ Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình.
+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc
biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương.
+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu.
+ Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) <g(x)  f(x) > g(x). Khi đó ta có thể bình phương 2 vế.
* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

a) 2x+3 > x+7
 x > 4 => tập nghiệm là T=(4;   )
b) 2x-10  3x-2
 -x  8  x  8 => T=(  ;8]
* Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a) ( x  2)(2 x  1)  2  x 2  ( x  1)( x  3)
Đáp án: x≤1


b)

x2  x  1 x2  x
 2
x2  2
x 1

Đáp án: x<1

c) x 2  2 x  2  x 2  2 x  3
* Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
5x  2 3  x
x 43 3 x
1  
a)
4
4
6
1
1
b)

x 1
17
1
 x
c) x 2 
4
2

Đáp án: x> ¼
Đáp án: 1/3Đáp án: 1Đáp án: x<4

Chú ý: Các dạng cơ bản của bất phương trình căn thức:
A  0
A B 
A  B
A  0

A  B  B  0

2
A  B
 A  0

B  0
A  B  
B  0

  A  B 2

3

;

;

;

A  0
A B 
A  B
A  0

A  B  B  0

2
A  B
 A  0

B  0
A  B  
B  0

  A  B 2

A3 B  AB

IV. Bất phương trình ax+b > 0
Từ bất phương trình ax+b > 0  ax > -b (1)
Biện luận:

+ Nếu a = 0 => (1)  0x > -b
. nếu b > 0 => bpt VSN
. nếu b < 0 => bpt VN
. nếu b = 0 => bpt VN
b
+ Nếu a > 0 => bpt có nghiệm x > 
a
b
+ Nếu a < 0 => bpt có nghiệm x < 
a
Ví dụ : giải và biện luận bất phương trình
(m-1)x -2+3m > 0 (1)
Giải
(1) (m-1)x > 2-3m (2)
. Nếu m-1= 0  m=1
(2) 0x > -1 => bpt VSN
. Nếu m-1> 0  m > 1 => bpt có nghiệm
. Nếu m-1 < 0  m < 1 => bpt có nghiệm
Kết luận:
. m =1 bpt VN

2  3m
m 1
2  3m
x<
m 1

x>

2  3m
m 1
2  3m
. m < 1 bpt có nghiệm x <
m 1

. m > 1 bpt có nghiệm x >