Đề thi chọn học sinh chuyên

đề thi tuyển vao thpt chuyên toán
Năm học: 2007 2008
( Vòng 2 )
Thời gian làm bài: 150 phút.
------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: ( 4 Điểm )
1. Chứng minh rằng: số
3236322x
0
+++=
là một nghiệm của phơng
trình x
4
16x
2
+ 32 = 0.
2. Giải phơng trình:
x
3xx
3x
3xx
3x
2
2
2
2
=


+
++

+
Bài 2: ( 4 Điểm )
1. Cho x, y, z > 0 và
3zyx
222
++
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
zx1
1
yz1
1
xy1
1
P
+
+
+
+
+
=
2. Tìm đa thức f(x) và g(x) với các hệ số nguyên sao cho:
( )
( )
2
72g
72f
=
+
+
.

Bài 3: ( 4 Điểm )
1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
2
+ xy + y
2
= x
2
y
2
.
2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2n

thì tổng
2
2
n
1n
...
16
15
9
8
4
3
S

++++=

không thể là số nguyên.

Bài 4: ( 5 Điểm )
Cho hình vuông ABCD , M là điểm thay đổi trên cạnh BC ( M khác B ) và N là điểm
thay đổi trên cạnh CD ( N khác D ) sao cho
.DA

NBA

MNA

M
+=
1. BD cắt AN và AM thứ tự tại P và Q. Chứng minh 5 điểm P, Q, M, C, N cùng
nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi M, N
thay đổi.
3. Đặt S
APQ
= S
1
; S
PQMN
= S
2
chứng minh
2
1
S
S
không đổi khi M, N thay đổi.
Bài 5: ( 2 Điểm )

Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dơng a
1
, a
2
, ., a
n+2
. thoả mãn điều
kiện
n3a...aa1
2n21
<<<
+
Chứng minh rằng: Luôn tồn tại hai số a
i
, a
j
( )
2nji1
+<
sao cho n < a
i
a
j
< 2n.