Đề kiểm tra năng lực giáo viên gia sư Toán

Đề kiểm tra năng lực số 1
Bài 1. (1,0 điểm)







1) Làm tính chia: 2 x3  5x 2  2 x  3 : 2 x 2  x  1









2) Tìm a sao cho đa thức x 4  x3  6 x 2  x  a chia hết cho đa thức x 2  x  5 .
Bài 2. (1,0 điểm)

Cho a là một nghiệm của phương trình 4 x 2  2 x  2  0 . Tính giá trị của biểu thức
P

a 1
a  a 1  a2
4

Bài 3. (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB  c, BC  a, CA  b AD là phân giác trong góc
A. Khẳng định AD 

2
bc là đúng hay sai?
bc

Bài 4. (1,0 điểm)

Cho hàm số y  2 x 2  4 x  6
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Dựa vào đồ thị, hãy cho biết tập hợp các giá trị của x sao cho y  0 .
Bài 5. (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm BC. Chứng minh rằng:
MH .MA 

1
BC 2
4

Bài 6. (1,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác ABE, ACF vuông
cân tại A. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh CE vuông BF và EF  2. AI .
Bài 7. (1,0 điểm)

Giải phương trình tan x  1  cos 2 x 

cos 2 x 1

 sin 2 x
1  cot x 2


Bài 8. (1,0 điểm)

Cho hàm số y   x3  3x 2  3mx  1 , với m là tham số thực. Tìm m để hàm số nghịch
biến trên 0; .
Bài 9. (1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a, AD  a 3 . Hai mặt bên
(SAB), (SAD) cùng vuông góc mặt đáy. Mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 600 .
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2) Gọi B’, C’, D’ là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng A,
B’, C’, D’ cùng thuộc một mặt phẳng và tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Bài 10. Giải hệ phương trình

 x 2  y 2  xy  2  3x

4
3
2
 x 
x x
4  3x
4  6x
1
   2     
2
y

y4
 y  y
 y 

Hết