PHUONG PHAP TOA DO TRONG KHONG GIAN cực hay

1 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)
Hệ gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy , z ' Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng với các vectơ đơn vị trên

rr r

mỗi trục lần lượt là i, j , k .
•
•

O: gốc tọa độ
x ' Ox : trục hoành

y ' Oy : trục tung
z ' Oz : trục cao

•
•

2. Tọa độ của vectơ trong không gian

r

r

r

r

r

2.1. Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y. j + z.k
Với định nghĩa trên, ta có:

r
i = ( 1;0;0 )

r
0 = (0;0;0)

r
j = ( 0;1;0 )

r
k = ( 0;0;1)

2.2. Các công thức về tọa độ của vectơ trong không gian

r
r
Cho a = ( x1; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) và số thực k
a)

r r
a ± b = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z 2 ) ;
r

r
b) ka = ( kx1; ky1; kz1 ) ;
r

r

r

 x1 = x2
r r

c) a = b ⇔  y1 = y2 ;
z = z
 1 2

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ a = ( −1;2; −5 ) , b = 2i − 3 j .

r

a) Tìm tọa độ b .

r

uur

r

b) Tìm tọa độ u = 3a − 4b .

r

r

r

r

c) Tìm tọa độ v thỏa 3v − 2a = b .

 x1 = tx2
r r
x1 y1 z1
r r r r

=
= (với Đk: x2 y2 z2 ≠ 0
d) a cp b ( b ≠ 0 ) ⇔ ∃t ∈ ¡ : a = tb ⇔ ∃t ∈ ¡ :  y1 = ty2 ⇔
x
y
z2
2
2
 z = tz
2
 1
)
e) Tích vô hướng của hai vectơ:

rr

r r

r r

( );

Định nghĩa: a.b = a b cos a, b
Hệ quả:

rr

Biểu thức tọa độ: a.b = x x + y y + z z
1 2
1 2
1 2

r
a = x12 + y12 + z12

1


2 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
r r
r r r
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
cos a, b =
a, b ≠ 0
x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22
r r
a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0

( )

(

f) Tích có hướng của hai vectơ

)

r r

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ a, b là một vectơ có tọa độ xác
định như sau:

r r
r r x
 a, b  = a ∧ b =  2
 
 y2
Tính chất:

x3 x3
;
y3 y3

x1 x1
;
y1 y1

x2 
÷
y2 

r r
r
r r
r
 a, b  ⊥ a và  a, b  ⊥ b
 
 
r r
r r
 a , b  = −  b, a 
 
 
r r
r r
r r
 a, b  = a b .sin a, b
 
r r
r
r
r


⇔
a
,
b
=
0

và
cùng
phương
a b
 
r
r r
r rr


⇔
a
,
b
a, b, c đồng phẳng
  .c = 0

( )

Ứng dụng:

r uuur
1 uuu
 AB, AC 

2
uuu
r uuur uuur
Thể tích khối hộp: VABCD . A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  . AA '
r uuur uuur

1 uuu
Thể tích khối tứ diện: VABCD =  AB, AC  . AD

6
Diện tích tam giác: S ∆ABC =

3. Tọa độ của điểm trong không gian

uuuu
r

3.1. Định nghĩa: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z )
Với định nghĩa trên, ta có:

O ( 0;0;0 )
M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 )

M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 )

M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 )

M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z )

M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z )

M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z )

3.2. Các công thức về tọa độ của điểm trong không gian
Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC )

2


3 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
uuu
r
AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
AB =

( xB − x A )

2

+ ( yB − y A ) + ( z B − z A )
2

2

 x A + xB y A + y B z A + z B 
;
;
÷Tọa độ trọng tam G của tam giác
2
2
2 


Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M 

 x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC 

;
;
÷
3
3
3



ABC: G 

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm S ( −2;1; −1) và tam giác ABC với

A ( 1;1;1) , B ( 2;3;4 ) , C ( 6;5;2 ) .

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b) Tìm toạ độ điểm E thuộc mặt phẳng Oxy sao cho A, B, E thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng SABC là một tứ diện.
d) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S của tứ diện SABC.
BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm

A ( 1; −2;4 ) , B ( −3;2;0 ) , C ( 3; −1;0 )
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
a) Tìm tọa độ các véc tơ: AB; BA; AC ; CA; BC ; CB .
r

uuu
r r
uuu
r uuur
b) Tìm tọa độ u = 2. AB ; v = 2. AB + AC ; điểm E thỏa
uuu
r

uuur

uuur

uuur

EA = 2.EC − 3.BE + 4.AB

c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi của tam
giác ABC.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ trung điểm I của AB. Tính độ dài đường trung tuyến CI của
tam giác ABC.
f) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
h) Tìm điểm H thuộc Ox để tam giác ACH vuông tại C.
Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm

A ( 1;2;1) , B ( 5;3;4 ) , C ( 8; −3;2 ) .
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
d) Xác định toạ độ chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.

Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm
A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2),D(6;2;0).

3


4 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY
a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A của tam giác
ABC.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện
ABCD.
d) Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
e) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 4: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh D
thuộc trục Oy và ba đỉnh A ( 2;1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3 ) .Biết rằng tứ diện
có thể tích bằng 5 đơn vị thể tích. Tìm toạ độ đỉnh D.
Bài 5: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '
với A ( 2;0;2 ) , B ( 4;2;4 ) , C ( 2; −2;2 ) , D ' ( 8;10; −10 ) .Tìm toạ độ các đỉnh còn
lại của hình hộp.

Bài tập trắc nghiệm
r
r
r
a
=
2;
−
5;3

,
b
=
0;2;
−
1
,
c
= ( 1; 7;2 ) . Tọa độ của vecto
(
)
(
)
Câu 1:Trong không gian Oxyz cho ba vecto
u
r r
r r
d = a − 4b − 2c là:
A. ( 0; −27;3)
B. ( 1;2; −7 )
C. ( 0;27;3 )
D. ( 0; −27; −3)

Câu 2:Trong không gian Oxyz cho tam gíac ABC biết A ( 3; −2;5 ) , B ( −2;1; −3 ) , C ( 5;1;1) Tìm tọa độ trọng
tâm G của tam giác ABC
A. G ( 2; 0;1)

B. G ( 2;1; −1)

C. G ( −2; 0;1)

D. G ( 2; 0; −1)

Câu 3:Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A ( −2;2;1) , B ( 1; 0;2 ) , C ( −1;2;3 ) . Diện tích tam giác
ABC bằng
5
2
Câu 4:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A ( 1;1;1) , B ( 2;3; 4 ) , C ( 6;2;5 ) , D ( 7; 7;5 ) diện tích tứ giác
A.

3 5
2

B. 3 5

ABCD bằng
A. 2 82

B.

C. 4 5

D.

C. 9 15
D. 3 83
Câu 5:Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 2; −3; 4 ) , B ( 1; y; −1) , C ( x; 4;3 ) Để ba điểm A, B, C thẳng
82

hàng thì giá trò của 5x+y bằng :

A. 36
B. 40

C. 42
D. 41
Câu 6:Trong không gian Oxyz cho A ( 2; −1;6 ) , B ( −3; −1; −4 ) , C ( 5; −1; 0 ) Bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác ABC bằng
A. 5

D. 2 5
Câu 7:Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A ( 2; −1;1) , B ( 5;5; 4 ) , C ( 3;2; −1) , D ( 4;1;3 ) . Tính thể
tích tứ diện ABCD
A. 3

B.

C. 4 2

3

B. 2

C. 5
D. 6
Câu 8:Trong không gian Oxyz cho A ( 4; 0; 0 ) , B(0;2; 0), C ( 0; 0; 4 ) . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là
hình bình hành

4

5 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CỰC HAY
A. D ( 4; −2;4 )

B. D ( 2; −2; 4 )

C. D ( −4;2; 4 )

D. D ( 4;2;2 )

Câu 9:Trong không gian Oxyz cho điểm M(2;-5;7) . Tìm điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Oxy)
A. ( 2; −5; −7 )
B. ( 2;5; 7 )
C. ( −2; −5; 7 )
D. ( −2;5; 7 )

Câu 10:Trong không gian Oxyz cho tứ diện A ( 2; −1;6 ) , B ( −3; −1; −4 ) , C (5; −1; 0), D(1;2;1) Độ dài đường cao
AH của tứ diện ABCD là
A. 5

B. 6

C. 7

D. 9

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

r

r

- Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(α)

nếu giá của

r
n vng góc với ( α ) .
r r
r
- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , khơng cùng phương và có giá song song hoặc nằm
trên mặt phẳng

r r

( α ) ( a, b được gọi là vecto chỉ phương vtcp)

thì ta có thể chọn ra một vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng

(α)

r

r r

là n =  a, b  .

2. Phương trình tổng qt của mặt phẳng
- Phương trình tổng qt của mặt phẳng là phương trình có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0 , với A2 + B 2 + C 2 ≠ 0

r

Trong đó, n = ( A; B; C ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Mặt phẳng

(α)

r

đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp

tuyến có phương trình là: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng qt:
Xét mặt phẳng

(α)

có phương trình tổng qt: Ax + By + Cz + D = 0 , với A2 + B 2 + C 2 ≠ 0

5


6 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
Các hệ số

Phương trình (α)

Ax + By + Cz = 0

D=0
A=0
B=0
C=0
A=B=0
A=C=0
B=C=0

By + Cz + D = 0

Ax + Cz + D = 0
Ax + By + D = 0

Cz + D = 0
By + D = 0

Ax + D = 0

Tính chất mặt phẳng (α)
(α) đi qua gốc toạ độ O
(α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox
(α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy
(α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz
(α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy)
(α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz)

(α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz)

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ tại các điểm ( a; 0; 0 ) ,( 0;b; 0 ) ,C ( 0; 0;c )

(abc ≠ 0) ) là:

x y z
+ + =1
a b c

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng

(α)

và

( β ) : (α)

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

(β)

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
ur
uu
r
Hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) lần lượt có vectơ pháp tuyến là n1 = ( A1 ;B1 ;C1 ) , n2 = ( A2 ;B2 ;C3 ) .
ur
uu

r
• ( α ) và ( β ) cắt nhau ⇔ n1 và n2 không cùng phương

⇔ A1 : B1 :C1 ≠ A 2 : B 2 :C 2
(nếu A2 B2C2 ≠ 0 )
ur
uu
r
n1 = k n2
A
B
C
D
( k ∈ ¡ ) ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1 (nếu A2 B2C2 D2 ≠ 0 )
• ( α ) // ( β ) ⇔ 
A2 B2 C 2 D2
 D1 ≠ kD2
•

(α)

⊥

(β)

⇔ A1A 2 + B1B 2 + C 1C 2 = 0

ur
uu
r

n1 = kn2
A
B
C
D
( k ∈ ¡ ) ⇔ 1 = 1 = 1 = 1 (nếu A2 B2C2 D2 ≠ 0 )
• (α) ≡ ( β ) ⇔ 
A2 B2 C 2 D2
 D1 = kD2
5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng

(α)

và

Gọi ϕ là góc giữa

(α)

và

cosϕ =

( β ) : ( α ) : A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0
( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
( β ) . Ta có:
A1A 2 + B1B 2 + C 1C 2

A12 + B12 + C 12 . A 22 + B 22 + C 22

6


7 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
6.Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng

d ( M 0 ,(α ) ) =

( α ) : Ax + By + Cz + D = 0

A x 0 + By 0 + Cz 0 + D
A 2 + B 2 +C 2
BÀI TẬP

Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳngPhương

pháp:

Tuỳ theo

điều kiện

của

từng bài

toán, ta có

thể chọn một trong số

các cách sau:
Cách 1: Xác định toạ độ một điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

mà mặt phẳng đi qua và toạ độ

r

của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n = ( A; B; C )
Khi đó, phương trình mặt phẳng cần tìm là:

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
r r

r
n ⊥ a
Chú ý: Nếu n là một một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) và  r r
n ⊥ b
r r

r

trong đó hai vectơ a, b khác , không cùng phương với nhau thì ta có thể
0

r

r r

chọn n =  a, b  .
Cách 2: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0 , với A2 + B 2 + C 2 ≠ 0
Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số A, B, C, D thoả điều kiện.
Cách 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

x y z
+ + = 1 (abc ≠ 0)
a b c
Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số a, b, c thoả điều kiện.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (ABC) với A(5; 1; 3), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4).
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7),
B(4; 1; 3).
Ví

dụ

3: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2;

–1;

2) và song song với mặt

phẳng (Q): 2 x − y + 3z + 4 = 0 .

7

8 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với
(Q): 2 x − y + z − 7 = 0
BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A và vuông góc với BC
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AC.
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng (α ) trong mỗi trường hợp sau:
a) (α ) đi qua điểm M ( 3;3;3) và song song với mặt phẳng

( β ) : 2x − 3y + z − 6 = 0 .
b) (α ) đi qua hai điểm A ( 2; −1;4 ) , B ( 3;2; −1) và vuông góc với mặt phẳng

( β ) : x + y + 2z − 3 = 0 .
c) (α ) đi qua M ( 2; −1;1) và vuông góc với mặt phẳng Oxz và mặt phẳng

( β ) : x + y + 2z − 3 = 0 .
d) (α ) đi qua M ( 1; −1;1) và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

( β ) : x − 3 y + 2 z − 1 = 0 và ( γ ) : 2 x + y − 3z + 1 = 0 .
e) (α ) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

( β ) : 3x − 2 y + z − 3 = 0 và

( γ ) : x − 2 z = 0 và vuông góc với mặt phẳng ( Q ) : x − 2 y + z + 5 = 0 .
f) (α ) đi qua điểm M ( 1; −1;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,
C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC.
g) (α ) đi qua điểm M ( 1;4;2 ) và chắn trên các tia Ox, Oy, Oz những đoạn

thẳng bằng nhau.
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm M ( 1;2;3) và cắt các tia Ox,
Oy, Oz lần lượt tại A, B, C với

OA = a, OB = b, OC = c sao cho:

a) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.

Dạng 2. –Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳngCÁC VÍ DỤ
Ví dụ: Xác định các giá trị của m, n để cặp mặt phẳng sau song song nhau:
(P): 2 x + my + 3z − 5 = 0 và (Q): nx − 8 y − 6 z + 2 = 0

8


9 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
BÀI TẬP
Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng

(α)

và

(β)

trong mỗi trường hợp

sau :
a)

( α ) : x − 2 y + z + 3 = 0 và ( β ) : 2 x − y + 4 z − 2 = 0 .

b)

( α ) : x + y + z + 1 = 0 và ( β ) : 2 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 .

c)

( α ) : 3x − 2 y − 3z + 5 = 0 và ( β ) : 9 x − 6 y + 9 z − 5 = 0 .

d)

( α ) : x − y + 2 z − 4 = 0 và ( β ) : 10 x − 10 y + 20 z − 40 = 0 .
( α ) : 3x + 7 y − 9 z + 14 = 0

Bài 2: Cho ba mặt phẳng

( β ) : 4 ( m + 1) x + ( 9m + 10 ) y − 6 ( m + 4 ) z − 4 = 0
( γ ) : ( n − 1) x − 5 y + 6 ( n + 3) + 2 = 0
a) Tìm m để

(α)

vuông góc

(β) .

b) Tìm m để

(α)

song song

(β) .

(α)

(β) .

c) Tìm m và n để

trùng

Bài 3: Tìm góc tạo bởi các cặp mặt phẳng sau:
a) (α ) : x + y – 5z + 1 = 0 và ( β ) : 5x + y – 3z = 0
b) (α ) : 2x – 2y + z + 3 = 0 và ( β ) : z + 2 = 0
c) (α ) : x – 2z + 1 = 0 và ( β ) : y = 0
Bài 4 : Cho mặt phẳng

( α ) : 2x − y + z + 1 = 0 .

a) Viết phương trình mặt phẳng
b) Tính góc tạo bởi

(β)

và

(β)

đi qua gốc toạ độ và song song

(α) .

( β ') : x + y + 2 z − 10 = 0 .
Dạng 3. –Khoảng cách-

Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho tứ diện với các đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0;6), D(2; 4; 6). Tính
đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện.
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ diện ABCD biết toạ độ các đỉnh A ( −1; −2;4 ) , B ( −4; −2;0 ) , C ( 3; −2;1) và D ( 1;1;1) .
a) Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ A.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều điểm D và mặt phẳng (ABC).
Bài 2: Cho hai mặt phẳng

( α ) : 2 x − 2 y + z − 3 = 0 và ( β ) : x + 2 y − 2 z + 12 = 0 .

Tìm trên Oz điểm cách đều

(α)

và

(β) .
9


10 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

( α ) : x + y − z + 5 = 0 và

( β) :x + y − z +5=0.
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng ( α ) : 4 x − 4 y + 7 z − 3 = 0 , biết rằng
khoảng cách từ điểm M ( 4;1; −2 ) đến mặt phẳng

(α)

bằng 4.

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua hai điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) và khoảng cách từ gốc

toạ độ O đến (P) bằng

6
.
7

Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng

( α ) : 2 x − 3 y + 4 z − 1 = 0 và ( β ) : 4 x − 6 y + 8 z + 19 = 0 .
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng

(α)

đối xứng với mặt phẳng

( β ) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0 qua điểm M ( −2; −4;3) .
TRẮC NGHIÊM
Câu 11:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P):

x –3y + 2 z –5 = 0 .Viết phương trình mặt phẳng (Q)đi qua hai điểm A,Bvà vuông góc với mặt phẳng (P).
A. (Q) : 2 y + 3z − 11 = 0
B. (Q) : y + 3z − 11 = 0
C. (Q) : 2 y + 3z + 11 = 0 D. (Q) : y + 3z + 11 = 0
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
 x = −1 + t

A(2;1;3), B(1; −2;1) và song song với đường thẳng d :  y = 2t

 z = −3 − 2t
A. 2 x + y + 3z + 19 = 0
B. 10 x − 4 y + z − 19 = 0 C. 2 x + y + 3z − 19 = 0
D. 10 x − 4 y + z + 19 = 0
Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
d1;

x −1 y +1 z − 2
x − 4 y −1 z − 3
=
=
=
=
, d2 :
. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d 1 và d2 .
2
3
1
6
9
3

A. x + y − 5z + 10 = 0
B. x − y − 5z − 10 = 0
C. x + y – 5z +10 = 0
D. 0 = 0
Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;-3;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song
r
với giá của véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 đồng thời cách điểm I một
đoạn bằng 4 .
A. (P):
B. (P):
C. (P):
D. (P):

2 x − y + 2z + 3 = 0 hoặc
2 x − y + 2 z − 3 = 0 hoặc
2 x − y + 2z + 3 = 0 hoặc
2 x − y + 2 z − 3 = 0 hoặc

(P): 2 x − y + 2z − 21 = 0 .
(P): 2 x − y + 2z − 21 = 0 .
(P): 2 x − y + 2 z + 21 = 0 .
(P): 2 x − y + 2 z + 21 = 0 .

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng d1 :

x y +1 z
=
=
1 −2 −3

x y −1 z − 4
. Chứng minh rằng điểm M , d1, d2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình
=
=
1
2
5
mặt phẳng đó.
và d2 :

10


11 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
A. x + 2 y − z + 2 = 0 B. x + y − 2 z + 2 = 0 C. 2 x + y − z + 2 = 0 D. x + y − z + 2 = 0
Câu 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt
phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 .
A. x − y = 0 , 5 x − 8y + 3z = 0
C. y − z = 0 , 5 x − 8y + 3z = 0

B. x − z = 0 , 5 x − 8y + 3z = 0
D. z = 0 , 5 x − 8y + 3z = 0

Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

r

r

- Vectơ u khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng

∆ nếu giá của

r
u song song với ∆ hoặc chứa trong ∆ .
r r
r
- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , không cùng phương và cùng có giá vuông góc với

r
r r

∆ thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u =  a, b  .
2. Phương trình của đường thẳng.
a)Phương trình tham số của đường thẳng:

r

- Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) , có phương trình
tham số là :

 x = x 0 + a1t

y = y 0 + a2 t
z = z + a t
0
3


(t ∈ R ), (a12 + a22 + a32 ≠ 0)

- Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị x, y, z tương ứng là tọa độ của một điểm M thuộc đường
thẳng.
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:

x − x0 y − y 0 z − z0
=
=
(a1.a2 .a3 ≠ 0)
a1
a2
a3
Chú ý: Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β):

r

(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 có một vectơ pháp tuyến n = ( A ; B ;C )
1
1
1
1

r

(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 có một vectơ pháp tuyến n 2 = ( A 2 ; B 2 ;C 2 )
- Điểm M (x ; y ; z) ∈ ∆ ⇔ Tọa độ M thỏa hệ phương trình :

11


12 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
 A 1x + B 1 y + C 1z + D 1 = 0

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

( 1 ) ( A1 : B1 :C 1 ≠ A 2 : B 2 :C 2 )

- Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên ∆.
- Khi đó ∆ có một vectơ chỉ phương là:

 B C 1 C 1 A1 A1 B1 
r r r
a = [ n1 , n 2 ] =  1
;
;
÷
B
C
C
A
A2 B2 
2
2
2
 2
3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng:

r
a.
r
∆2 đi qua B và có vectơ chỉ phương b .
∆1 đi qua A và có vectơ chỉ phương

Ta có các trường hợp sau:

r r uuur
a
∆1 và ∆2 cùng nằm trong một mp ⇔ [ , b ]. A B = 0
r uuur
 ar , b  . A B = 0


∆1 và ∆2 cắt nhau
⇔ r r
r
 a , b  ≠ 0
uuur r
 ar , A B  ≠ 0


∆1 và ∆2 song song với nhau ⇔  r r
r
 a , b  = 0
uuur r
 ar , A B  = 0



∆1 và ∆2 trùng nhau
⇔ r r
r


a
,
b
=
0
 

uuur
r
r
∆1 và ∆2 chéo nhau
⇔ [ a , b ]. A B ≠ 0
 x = x 1 + a1t 1
x = x 2 + b1t 2


Nếu ∆1 :  y = y 1 + a2t 1 và ∆2 :  y = y 2 + b2t 2 thì số giao điểm của hai đường
z = z + a t
z = z + b t
1
3 1
2
3 2



 x 1 + a1t 1 = x 2 + b1t 2

thẳng trên là số nghiệm của hệ :  y 1 + a2t 1 = y 2 + b2t 2
z + a t = z + b t
2
3 2
 1 31
•
•
•

Hệ vô nghiệm
⇔ ∆1 và ∆2 song song với nhau hoặc chéo nhau.
Hệ có một nghiệm ⇔ ∆1 và ∆2 cắt nhau
Hệ có vô số nghiệm ⇔ ∆1 và ∆2 trùng nhau

12


13 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
∆1
∆2

r
b

r
a

r
A a

B

A

∆1

r
b
B

∆2

( ∆1 ≡ ∆2 )

( ∆1 // ∆2 )

∆1
r
a
r
b
B

A

∆2

A

∆1
∆2

( ∆1 cheùo ∆2 )

r
a

r
b

B

( ∆1 caét ∆2 )

4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

 x = x 1 + a1t 1
x = x 2 + b1t 2


b) Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = y 1 + a2t 1 và ∆2 :  y = y 2 + b2t 2 có vectơ chỉ phương lần lượt là :
z = z + a t
z = z + b t
1
3 1
2
3 2



r
r
a = ( a1 ;a2 ;a3 ) và b = ( b1 ;b2 ;b3 )

r r
a
.b
ab +a b +ab
r r
cos ( ∆1 ; ∆2 ) = cos a ;b = r r = 2 1 2 1 22 2 2 3 32
a .b
a1 + a2 + a3 . b1 + b2 + b32

(

Chú ý: 0

0

)

≤ ( ∆1 ; ∆2 ) ≤ 90 0

x

c) Cho đường thẳng ∆ :  y

z

= x 0 + at
r
= y 0 + bt có vectơ chỉ phương u = ( a;b ;c ) và mặt phẳng (α): Ax + By +
= z 0 + ct

r

Cz + D = 0 có vtpt n = ( A ; B ;C ) .
Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) được tính bằng công thức:

rr
u .n
A a + Bb + Cc
r r
sin ( ∆;( α )) = cos ( u ; n ) = r r =
u .n
a2 + b 2 + c 2 . A 2 + B 2 + C 2

5. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau.
a) Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương
đó :

r
a và điểm M. Khi

uuuuur
 MM 0 ,ar 



d ( M ;∆ ) =
r
a

b) Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau .

13


14 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
r
∆1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a = ( a1 ;a2 ;a3 )
r
∆2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương b = ( b1 ;b2 ;b3 )
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 được tính bằng công
thức sau:

r r uuuuuur
a , b  .M 1M 2


d ( ∆1 ; ∆2 ) =
r r
a , b 


BÀI TẬP
Dạng 1. –Viết phương trình đường thẳngPhương pháp:
Cách 1: Xác định toạ độ một điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mà đường thẳng đi qua và toạ độ

r

của một vectơ chỉ phương của đường thẳng n = ( a1; a2 ; a3 )
Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là:

x = x 0 + a1t

 y = y 0 + a2t
z = z + a t
0
3

Cách 2: Xác định hai mặt phẳng

(α)

và

(β)

(t ∈ R )

có giao tuyến là đưởng thẳng cần

tìm, viết phương trình giao tuyến đó (xem lại mục 2b phần lý thuyết)
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(2;3;–1), B(1; 2; 4).
Ví dụ 2: Viết PTTS của đường thẳng ∆ đi qua điểm

A(−2;4;3) và vuông góc với

mặt phẳng ( P):2 x − 3 y + 6 z + 19 = 0 .

BÀI TẬP

Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
r
a) Qua M(1 ; 2; 3) và có vectơ chỉ phương a = (1 ; – 4 ; – 5).
b) Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0).
c) Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – x + 5 = 0.

14


15 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
 x = 1 + 2t

d) Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d:  y = −3 + 3t .
 z = 4t

x = 2 + t

Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d: y = −3 + 2t lần lượt
z = 1 + 3t

trên các mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz).

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d là giao tuyến
của mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – 7 =0 và (β): x + 3y – 2z + 3 = 0.

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1;
1; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α).

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với các mp (α): 6x + 2y + 2x +
3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0.

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d:

x +1 y −1 x − 2
=
=
và mp (P): x – y – z – 1 = 0. Tìm
2
1
3

phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với
d.

Bài 7: Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–1; 2; 0) và C(2; –3; 2).
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng d:
x = −3 + 2t

y = 1 − t . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
z = −1 + 4t

Dạng 2. –Vị trí tương đối.

x = 7 + t


x −3 y −1 x −1
Ví dụ: Cho hai đường thẳng ∆ :  y = 3 + 2t và ∆ :
=
=
1
1 −7
2
3
z = 9 − t

a) Chứng minh ∆1 và ∆2 chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆2.
BÀI TẬP

Bài 1: Xét vị trí tương đối của các của các cặp đường thẳng sau:
x = 1 + t

d:  y = 2 + t

z = 3 − t

và

 x = 1 + 2t '

d′:  y = −1 + 2t '

 z = 2 − 2t '

15


16 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
x = 1 − t

d:  y = 2 + 2t
z = 3t

x = 3 − t

d:  y = 4 + t

 z = 5 − 2t

và

 x =1+ t'

d′:  y = 3- 2t'

 z =1

và

 x = 2 − 3t '

d′:  y = 5 + 3t '

 z = 3 − 6t '

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng d m là giao tuyến của 2
mặt phẳng (α), (β) với:
(α): (2m + 1)x + (1–m)y + m – 1 = 0
(β): mx + (2m+1)z + 4m + 2 = 0
Định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P).

Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
d1:

x +1 y −1 z − 3
x y −1 z + 3
và d2: =
=
=
=
3
2
−2
1
1
2

a) Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng.
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 và d2.

Bài 4: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
x = 5 + 2 t

d1: y = 1 − t và d2:

z = 5 − t


x = 3 + 2t '

y = −3 − t '
z = 1 − t '


a) Chứng minh d1 và d2 song song với nhau.
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 và d2.

Bài 5: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
d1:

x y −1 z + 3
x + 1 = y −1 = z − 3
=
và d2: =
3
2
−2
1 1
2

c) Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng.
d) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d1 và d2.

Bài 6: Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d1, d2:
d1:

x = y − 3 = z +1
x − 4 = y = z−3
và d2:
−1
2
3
1
1
2

a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆ ⊂ (P) đồng thời cắt cả d1 và d2.
Bài 7: Cho điểm A(1; 1; 1) và hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:

16


17 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
 x = −1

x −1 = y + 2 = z
d1:
và d2:  y = −1 + t
3
1
1

z = t

Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2.
Dạng 3: Khoảng cách và góc
Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

r

Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương a và đi qua điểm A. Muốn tính khoảng cách từ
điểm M đến đường thẳng ∆, ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:
Cách 1:
Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng ∆.

d( M ; ∆ ) = MH
Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

uuuur
 A M ,ar 


d ( M ;∆ ) =
r
a

Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Phương pháp:
Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P). Ta có:

d ( ∆;( P )) = d ( M ;( P ))
Trong đó M là điểm bất kỳ trên đường thẳng ∆ (chọn M từ phương trình cuả ∆)
Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp:

Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2.

r

∆1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a = ( a1 ;a2 ;a3 )

r

∆2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương b = ( b1 ;b2 ;b3 )
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2, ta có thể sử dụng
một trong các cách sau:
Cách 1:
- Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và song song ∆2.
- Lấy một điểm A tuỳ ý trên ∆2.

(

)

- Ta có: d ( ∆1 ; ∆ 2 ) = d A; ( α ) .
Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

17


18 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
r r uuuuuur
a , b  .M 1M 0



d ( ∆1 ; ∆2 ) =
r r
a , b 


BÀI TẬP
Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm M ( 1; −1;1) đến đường thẳng

∆:

x −2 y z −1
= =
1
2
1

 x = −1 + t

b) Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng ∆ :  y = 2 − 2t
z = 2t

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( −3; −2;6 ) ,B ( −2;4;4 ) . Hãy tính độ dài đường cao OH
của tam giác OAB.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 :

x +1 y −1 z + 2
=
=
và
−3

2
−2

x = −1 + 3t

d 2 :  y = 2 + 2t .
z = 1

a) Chứng minh d 1 ,d 2 chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d 1 ,d 2 .
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 6 x − y + 4 z − 5 = 0 đường
thẳng d :

x − 2 y −7 z + 1
=
=
.
−3
−2
4

a) Chứng minh rằng đường thẳng
b) Tính khoảng cách giữa

d song song với mặt phẳng ( P ) .

d và ( P ) .

Bài 5: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau chéo nhau và tính khoảng cách giữa
chúng.

∆1 :

x − 2 y +1 z − 3
=
=
1
3
−2

∆2 :

x y−2 z
=
=
3
9
−6

x = 1 + 2t
x = 2 − 5t '


Bài 6: Tìm góc tạo bởi cặp đường thẳng ∆1 :  y = 3t
và ∆ 2 :  y = 1 + t '
z = −2 + t
z = 5


18

19 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
x + 2 y −1 z − 3
=
=
Bài 7: Tìm góc tạo bởi đường thẳng ∆ :
và mặt phẳng
4
1
−2
( α ) : x + y – z + 2 = 0.
Bài 8 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

d:

x −3 y +2 z +1
và mặt phẳng ( P ) : x + y + z + 2 = 0 .
=
=
2
1
2

a) Tìm giao điểm M của d và (P).
b) Viết phương trình đường thẳng

∆ chứa trong mặt phẳng (P) sao cho ∆

vuông góc với d và khoảng cách từ M đến

∆ bằng 42 .

Dạng 4: Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Phương pháp:

ur

Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là u 1 = ( a1 ;b1 ;c 1 ) và

uu
r
u 2 = ( a2 ;b2 ;c 2 ) . Để viết phương trình đường vuông góc chung ∆ của ∆1 và ∆2, ta có thể sử dụng một
trong các cách sau:
Cách 1:
-

Chuyển phương trình của ∆1 và ∆2 về dạng tham số

-

MN là đường vuông góc chung của ∆1 và ∆2 khi thoả mãn

 x = x 1 + a1t 1
x = x 2 + a2t 2


∆1 :  y = y 1 + b1t 1 và ∆2 :  y = y 2 + b2t 2
z = z + c t
z = z + c t

1
1 1
2
2 2


- Trên ∆1 lấy một điểm bất kỳ là M ( x1 + a1t1 ; y1 + b1t1 ; z1 + c1t1 ) .
- Trên ∆2 lấy một điểm bất kỳ là N ( x2 + a2t2 ; y2 + b2t 2 ; z2 + c2t2 ) .
uuuu
r ur
 MN .u1 = 0
 MN ⊥ ∆1
⇔  uuuu
r uu
r

MN
⊥
∆

2
 MN .u2 = 0

Giải hệ phương trình trên ta tìm được t1 ,t2 , từ đó tìm được toạ độ M và N.
-

Viết phương trình đường vuông góc chung

Cách 2:

∆ của ∆1 và ∆2 qua M và N.

r ur uu
r
∆ của ∆1 và ∆2 có một vectơ chỉ phương u = u1 ,u2  .

-

Đường vuông góc chung

-

Chọn điểm A thuộc ∆1. Lập phương trình mặt phẳng

-

Xác định toạ độ điểm M là giao điểm của

-

Viết phương trình đường vuông góc chung

( α ) chứa ∆ và ∆1
r
r ur
( ( α ) qua A và có một vectơ pháp tuyến n = u,u1  ).
(α)

và ∆2.

r ur uu
r
∆ của ∆1 và ∆2 qua M và nhận u = u1 ,u2  làm vectơ

chỉ phương.

19


20 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau
 x = 1+ t
x −1 y z
d :
= = , d :  y = 2 + t . Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng.
1 −1 1 4 2 
 z = 1 + 2t
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hai đường thẳng d1, d2:
d1:

x y − 3 z +1
x − 4 = y = z−3
=
=
và d2:
1
1
2
−1

2
3

a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Bài 2: Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:
 x = −1

x −1 y + 2 z
=
= và d2: y = −1 + t
d1:
3
1
1

z = t

a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, Cho hai đường thẳng
d1, d2 có phương trình:

x = 2
 x = − 7 + 4t '


d1: y = − t và d2:  y = 1 + t '

z = 1 + t

z = t '

a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau đồng thời vuông góc với nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Dạng 5: Hình chiếu – Điểm đối xứng.
Bài toán 1: Hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng.
Phương

pháp:

Muốn

tìm

hình

chiếu

H

của

điểm

M

lên

mặt

phẳng

(α) ,

ta

làm

như sau:
- Viết phương trình đường thẳng

∆ qua M và vuông góc với ( α ) .

- Ta có H = ∆ ∩ ( α ) . Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng

(α)

∆ và của

ta sẽ tìm được toạ độ điểm H.

Bài toán 2: Điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng.
Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng

( α ) , ta

làm như sau:

20

21 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
- Tìm hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng
- M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng

(α) .

(α)

khi H là trung điểm MM’, từ đó tìm được toạ độ của

M’.
Bài toán 3: Hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng.

∆ , ta làm

Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng
như sau:
- Viết phương trình mặt phẳng

(α)

qua M và vuông góc với

∆.

- Ta có H = ∆ ∩ ( α ) . Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng

(α)

∆ và của

ta sẽ tìm được toạ độ điểm H.

Bài toan 4: Điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng.
Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng

∆ , ta

làm như sau:
- Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng
- M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng

∆.

∆ khi H là trung điểm MM’, từ đó tìm được toạ độ của

M’.
Ví dụ: Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (P): x + y + z − 1 = 0 .
a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
b) Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P).
c) Tính khoảng cách từ M đến (P).
BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian Oxyz,có mặt phẳng

( α ) : 6 x + 3y

+ 2z − 6 = 0 .

a)Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(2;3;5)trên mặt phẳng ( α ) .

b)Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng
Bài

2:

Trong

không

gian

Oxyz

,cho

đường

toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A(2;1;-1)trên đường thẳng

(α) .
thẳng

∆:

x + 3 y −1 z −6
=
=
.Tìm
−3
1

1

∆.

Bài3:Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho đường thẳng d :

x −1 y −2 z
=
= . Gọi K là điểm
2
−1
3

đối xứng của điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d .Xác định toạ độ điểm K.

21


22 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
Bài4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng

( α ) : 2 x + y + z − 8 = 0 và đường thẳng d :

x − 2 y +1 z −1
=
=
.
3
3
5

a)Tìm giao điểm A của d và ( α ) .
b)Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên ( α ) .
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 2x +y +
z + 1 = 0, ( β): x +y + z + 2 = 0 và mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình hình chiếu
vuông góc của đường thẳng

∆' trên mặt phẳng (P).

x = 1 + t

Bài 6: Trong không gian Oxyz,cho điểmM(2;1;4) và đường thẳng ∆ :  y = 2 + t . Tìm toạ độ điểm H thuộc
z = 1 + 2t

đường thẳng

∆ sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất.

Phần 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN
1. Phương trình của mặt cầu:
a) Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:

(S ) :x

2

+ y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 , trong đó a ,b ,c ,d thoả điều

kiện a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 .
Khi đó, mặt cầu ( S

b) Mặt cầu ( S

)

)

có tâm I ( a ;b ;c ) và có bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .

có tâm I ( a ;b ;c ) và bán kính R có phương trình chính tắc:

( S ) : ( x − a)

2

+ ( y −b) + ( z −c) = R 2
2

2

2. Vị trí tương đối của mặt phẳng ( α ) và mặt cầu (S):
 d ( I ; (α ) ) > R ⇔ (α ) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
 d ( I ; (α ) ) = R ⇔ (α ) tiếp xúc mặt cầu (S).
 d ( I ; (α ) ) < R ⇔ (α ) cắt mặt cầu (S) tạo ra giao tuyến là một đường tròn (C) có
tâm I’ là hình chiếu vuông góc của I lên ( α ) và bán kính r =
3. Vị trí tương đối của đường thẳng

(

)

R 2 − d 2 .(với d = d I ; ( α ) )

∆ và mặt cầu (S):

 d ( I ; ∆ ) > R ⇔ ∆ và mặt cầu (S) không có điểm chung.
 d ( I ; ∆ ) = R ⇔ ∆ tiếp xúc mặt cầu (S).

22


23 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
 d ( I ; ∆ ) < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thoả

AB = 2 R 2 − d 2 . (với d = d ( I ; ∆ ) )
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:

x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 2 y + 6z + 5 = 0
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A (5; –2; 1) và có tâm C (3; –3; 1).
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 3)2 + ( y + 2)2 + (z − 1)2 = 100
và mặt phẳng (P): 2x − 2 y − z + 9 = 0 .
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
b) Hãy xác định toạ độ tâm và bán kính của (C).
BÀI TẬP
Bài 1 : Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau:
a) ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 3) 2 = 9 ;

b) x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 1 = 0

c) x + y + z + 3x − 4 y + 6 z − 2 = 0 ;

d) 7 x + 7 y + 7 z − 3 x + 2 y + 5 z − 1 = 0

2

2

2

2

Bài 2: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu ( S

)

2

2

trong mỗi trường

hợp sau:
a) Mặt cầu ( S

)

có tâm I(3;-3;1) và đi qua B(5;-2;1)

b) Mặt cầu ( S

)

có có đường kính AB với A(3;1;5), B(5;-7;1)

c) Mặt cầu ( S

)

có tâm I(3;-2;1) và tiếp xúc với mp ( α ) : 4x – 3y – 8 = 0.

d) Mặt cầu ( S

)

qua 4 điểm O, A, B, C với A(2 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;4)

e) Mặt cầu ( S

)

qua 4 điểm A, B, C, D với A(2 ;1 ;1), B(3 ;-1 ;2),

C(1 ;-1 ;2) , D(-2 ;3 ;1).
Bài 3 : Trong không gian Oxyz, lập phương trình tiếp diện của mặt cầu
(S) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 2 y + 4 z + 5 = 0 tại M(4 ;3 ;0).
Bài 4 : Trong không gian Oxyz, lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S)

x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 1 = 0 biết tiếp diện đó song song với mặt phẳng
( α ) : x - 2y + z +3=0.
Bài 5 : Tìm tâm và bán kính của các đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng

(α)

và mặt cầu (S) trong các trường hợp sau đây:
a)

( α ) : x + 2y

b)

( α ) : 2x + 2y

- 2z + 1 = 0 và (S) : x + y + z − 6 x + 2 y − 2 z + 1 = 0
2

2

2

+ z – 5 = 0 và (S) : x + y + z − 12 x + 4 y − 6 z − 24 = 0
2

2

2

23


24 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
Bài 6 : Xét vị trí tương đối của mp( α ) và mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :

a) ( α ) : 3x + 4y – 1 =0 và (S) : x + y + z − 4 x + 2 y − 6 z +
2

2

2

69
=0
5

b) ( α ) : x – y + 2z + 4 = 0 và (S) : x + y + z − 3z − 5 = 0 .
2

2

2

Bài 7: Trong không gian Oxyz cho I(2;3; -2) và đường thẳng d :

x + 15 y + 13 z − 1
. Viết phương
=
=
2
1
2

trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho d cắt (S) tại hai điểm A, B thoả AB = 10.

x −1 y − 3 z
=
= và điểm M(0; –2;0).
1
1
4
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d giữa
đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4.
Câu 17:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:

A. 4 x − 8y + z − 16 = 0 , 2 x + 2 y − z + 4 = 0

B. 4 x − 8y + z − 16 = 0 , 2 x + 2 y − z + 4 = 0

C. 4 x − 8y + z − 16 = 0 , 2 x + 2 y − z + 4 = 0

D. 4 x − 8y + z − 16 = 0 , 2 x + 2 y − z + 4 = 0

x = t

Câu 18:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = −1 + 2t và điểm A(−1;2;3) .Viết
 z = 1
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểmAđến mặt phẳng (P) bằng 3.
A. 2 x − y − 2z + 1 = 0 B. 2 x − y − 2 z + 1 = 0 C. 2 x − y − 2z + 1 = 0 D. 2 x − y − 2 z + 1 = 0
Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(−1;1;0), B(0; 0; −2), I (1;1;1) . Viết phương trình
mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 .
A. x − y + z + 2 = 0 ’ 7 x + 5y + z + 2 = 0

B. x + y + z + 2 = 0 ’ 7 x + y + 5z + 2 = 0

C. x − y + z + 2 = 0 ’ 7 x + y + 5z + 2 = 0

D. x + y + z + 2 = 0 ’ 7 x + y + 5z + 2 = 0

Câu 20: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; −1;2) , B(1;3;0) , C(−3; 4;1) ,
D(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ
D đến (P).
A. x + 2 y + 4z − 7 = 0 x + y + 2 z − 4 = 0
B. x + 2 y + 4z − 7 = 0 x + y + 2 z − 4 = 0
C. x + 2 y + 4 z − 7 = 0 x + y + 2 z − 4 = 0
D. x + 2 y + 4 z − 7 = 0 x + y + 2 z − 4 = 0
Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;2;1), B(−2;1;3), C (2; −1;1), D(0;3;1) . Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
A.
B.
C.
D.

( P ) : 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0
( P ) : 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0
( P ) : 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0
( P ) : 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0

hoặc
hoặc
hoặc
hoặc

( P ) : 2 x + 3y − 5 = 0
( P ) : 2 x + 3z − 5 = 0

( P ) : 2 y + 3z − 5 = 0
( P ) : 2 x + 3z + 5 = 0

Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0; −1;2) , C(1;1;1) . Viết phương
trình mặt phẳng (P ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến (P ) bằng khoảng cách từ C
đến ( P ) .
A. ( P ) : 3y − z = 0 ( P ) : 2 x − y = 0
B. ( P ) : 3 x − z = 0 ( P ) : 2 x − z = 0
C. ( P ) : 3 x − z = 0 ( P ) : 2 x − y = 0
D. ( P ) : 3 x − y = 0 ( P ) : 2 x − y = 0
Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm Với A(1;2;0), B(0; 4;0), C(0; 0;3) . Viết

24


25 |BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CỰC HAY
phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến (P ) bằng khoảng cách
từ C đến ( P ) .
A. ĐS:
B. ĐS:
C. ĐS:
D. ĐS:

−6 x + 3y + 4 z = 0
−6 x + 3y + 4 z = 0
−6 x + 3y + 4 z = 0
−6 x + 3y + 4 z = 0

hoặc
hoặc

hoặc
hoặc

x − 3y + 4 z = 0 .
6 x − 3y + z = 0 .
6 x − 3y + 4 z = 0 .
3x − 3y + 2 z = 0 .

Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; −1) , B(1;1;2) , C(−1;2; −2) và mặt
phẳng (P): x − 2 y + 2 z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt
đường thẳng BC tại I sao cho IB = 2 IC .
A. 2 x − y − 2 z − 3 = 0 2 x + 3y + 2z − 3 = 0
B. 2 x − y − 2z − 3 = 0 2 x + 3y + 2 z − 3 = 0
C. 2 x − y − 2 z − 3 = 0 2 x + 3y + 2 z − 3 = 0
D. 2 x − y − 2 z − 3 = 0 2 x + 3y + 2 z − 3 = 0
Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có phương trình

x −2 y −2 z−3
x − 1 y − 2 z − 1 .Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng
=
=
d2 :
=
=
2
1
3
2
−1
4

d1, d2 .

d1 :

A. 14 x − 4 y − 8z + 3 = 0
B. x − 4 y − 8z + 3 = 0 C. 7 x + 2 y − 4 z + 3 = 0
D. 7 x − 2 y − 4 z + 3 = 0
Câu 26: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có phương trình
x = 1+ t

x − 2 y −1 z + 1
d1 :  y = 2 − t , d2 :
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1 và d2 , sao cho
1
−2
2
 z = 1
khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P).
A. ( P ) : 2 x + 2 y + z − 17 = 0 ( P ) : 2 x + 2 y + z –3 = 0
17
B. ( P ) : 2 x + 2 y + z − = 0 ( P ) : 2 x + 2 y + z –3 = 0
3
C. ( P ) : x + y + 2 z − 17 = 0 ( P ) : 2 x + 2 y + z –3 = 0
( P ) : 2 x + 2 y + z –3 = 0
D. (P ) : x + y + z − 17 = 0
Câu 27: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;3;1) và vuông góc với
đường thẳng đi qua hai điểm A(3;1;-2), B(4;-3;1)
A. x − 4 y + 3 z + 11 = 0

B. x − 4 y + 3z − 11 = 0 C. x + 4 y + 3z + 11 = 0
D. x − 4 y − 3z − 11 = 0
Câu 28: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (−2;3;1) và song song với
mặt phẳng (Q): 4 x − 2 y + 3 z − 5 = 0
A. 4x-2y − 3z − 11 = 0
B. 4x-2y + 3 z + 11 = 0 C. 4x+2y + 3 z + 11 = 0 D. - 4x+2y − 3z + 11 = 0
Câu 29: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (−2;3;1) và vuông góc với
x +1 y − 3 z + 4
đường thẳng : d :
=
=
−2
1
3
2
x
−
y
−
3
z
−
10
=
0
2
x
−
3y − z + 2 = 0
A.

B.
C. −2 x + y + 3 z − 10 = 0
D. 2 x + y + 3 z + 10 = 0
Câu 30: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;3;1) và vuông góc với hai
mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0
A. x + 3y + z − 23 = 0 B. x + 5y + 7z+23 = 0
C. x − 5y − 7z − 23 = 0 D. x + 5y + 7z − 23 = 0
Câu 31: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(2;0; −1), B(1; −2;3), C (0;1; 2)
A. 2 x + y + z − 3 = 0 B. 2x − z + 15 = 0
C. 2x − z − 3 = 0
D. 2x − z − 5 = 0
Câu 32: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(2;0; −1); B (1; −2;3)
và vuông góc với mặt phẳng (Q): x − y + z + 1 = 0

25