HỆ MỜ MẠNG NƠ RON VÀ ỨNG DỤNG Bùi Công Cường

Chủ biên: Bùi Công Cờng

Nguyễn Doãn Phớc

Hệ mờ, mạng nơron
v ứng dụng
(Tuyển tập các bi giảng)

in lần Thứ hai, có sửa đổi v bổ sung

Nh xuất bản Khoa học v Kỹ thuật

2006


Chịu trách nhiệm xuất bản:
Biên tập:
Trình bày và chế bản:
Vẽ bìa:

2

PGS. TS. Tô Đăng Hải
Nguyễn Đăng
Hơng Lan


Lời nói đầu
Từ 20 năm nay, Lý thuyết tập mờ v Mạng nơ-ron nhân tạo đã phát triển rất nhanh
v đa dạng. Công nghệ mờ v công nghệ mạng nơ-ron đã cung cấp những công nghệ mới
cho các ngnh công nghiệp lm ra nhiều sản phẩm thông minh, đáp ứng nhu cầu thị

tròng cần có những bộ điều khiển linh hoạt hơn, những thiết bị "biết" lm việc với
những bi toán khó, phải xử lý nhiều loại thông tin mập mờ, cha đầy đủ v thiếu chính
xác. Hai công nghệ hiện đại ny l hai trụ cột chính để tạo nên công nghệ tích hợp mới,
công nghệ tính toán mềm (soft computing).
Để đáp ứng nhu cầu mang công nghệ mới vo nớc ta v trực tiếp cung cấp cho sinh
viên v các cán bộ kỹ thuật trẻ những kiến thức cơ bản nhất về lĩnh vực ny, Trờng Thu
về "Hệ mờ v ứng dụng" lần thứ nhất đã tổ chức tại H nội, tháng 8/2000. Từ những bi
giảng đã trình by tại Trờng Thu, chúng tôi chọn lọc, nâng cấp v bổ sung thnh
những chơng khá hon chỉnh của cuốn sách ny.
Cuốn sách bắt đầu với hai chơng tổng quan do Bùi Công Cờng v Nguyễn Cát Hồ
viết. Nếu chơng đầu tập trung vo những kiến thức cơ bản của hai trụ cột chính: Hệ mờ
v Mạng nơ-ron nhân tạo, thì trong chơng hai sau những phần về toán học mờ, quy
hoạch mờ, tác giả đã tập trung trình by khá hệ thống những vấn đề rất cơ bản thuộc
một tên gọi chung "Công nghệ tính toán mềm".
Tiếp theo l những chơng chuyên sâu hơn, nh Logic mờ v các ứng dụng đa dạng,
Điều khiển mờ v mạng nơ-ron của Nguyễn Doãn Phớc v Phan Xuân Minh. Lý thuyết
khả năng một hớng hiện đại nằm giữa Lý thuyết tập mờ v Lý thuyết xác suất do Đỗ
Văn Thnh trình by.
Tiếp theo l bi giảng của tập thể Nguyễn Thanh Thuỷ, Nguyễn Hữu Đức v Trần
Ngọc H một bi giảng rất hay về tích hợp các kỹ thuật tính toán mềm v mạng nơ-ron
trong xử lý dữ liệu v bi giảng về một lớp toán tử gộp mới toán tử trung bình trọng số
có sắp xếp. Chắc chắn các dạng suy rộng của nó chứa đựng nhiều khả năng phát triển v
ứng dụng.
Ba chơng cuối của cuốn sách tập trung vo lĩnh vực hiện đại: Mạng nơ-ron nhân
tạo v ứng dụng. Nếu nh bi giảng của Vũ Nh Lân tập trung vo hai bi toán chính,
khó v rất hay của Điều khiển học kỹ thuật: Nhận dạng mô hình v điều khiển các hệ
thống phi tuyến, thì bi giảng của Đặng Quang á lại tập trung trong một số lớp thuật
toán giải các bi toán tối u rời rạc.
Cuối cùng cần nhắc tới bi giảng có liên quan tới dự báo. Trong khuôn khổ của
"Công nghệ tính toán mềm", kết hợp Giải thuật di truyền v mạng nơ-ron để dự báo đó l

một hớng hiện đại v đầy triển vọng vấn đề ny đợc đề cập đến trong bi giảng của
Nguyễn Thanh Thuỷ v Nguyễn Thị Diệu Th.

3


Sẽ l thiếu sót nếu không kể đến một đặc thù của cuốn sách. Sau rất nhiều chơng có
phần ti liệu dẫn khá phong phú, đủ kiến thức để các bạn đọc có thể đi sâu tiếp. Hơn
nữa theo chỗ chúng tôi biết thì các ti liệu dẫn ny hiện có trong tay các tác giả.
Không còn nghi ngờ gì nữa, hơn mời bi giảng trên đã tạo một bó hoa khá hon
chỉnh, đa sắc, nhiều thông tin, đa tới cho bạn đọc những kiến thức rất cơ bản đồng thời
gợi mở cho các bạn sinh viên trẻ nhiều hớng nghiên cứu triển vọng v đầy hấp dẫn.
Cuốn sách sẽ không thể ra mắt bạn đọc nếu không có sự hợp tác nhiệt tình của các
tác giả, nếu không có sự đỡ đầu chủ yếu của Viện Toán học đơn vị đóng góp chính tổ
chức Trờng Thu về "Hệ mờ v ứng dụng", nếu không có sự giúp đỡ v góp ý quý báu
của Ban Biên tập Nh Xuất bản Khoa học v Kỹ thuật. Với tất cả các cá nhân v đơn vị
trên chúng tôi xin chân thnh cám ơn.
Do nhiều hạn chế, đặc biệt hạn chế về thời gian, cuốn sách không tránh khỏi những
khiếm khuyết. Chúng tôi hoan nghênh v chân thnh lắng nghe mọi góp ý.

H Nội, ngy 6 . 3 . 2 0 0 6

4


Mục lục
Lời nói đầu
1

Kiến thức cơ sở của hệ mờ

Bùi Công Cờng

9

1

Tập mờ, Logic mờ và Hệ mờ................................................................................................... 9
1.1
Tập mờ ........................................................................................................................ 9
1.2
Logic mờ.................................................................................................................... 14
1.3
Quan hệ mờ .............................................................................................................. 30
1.4
Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ................................................................................. 32
1.5
Ví dụ bằng số ............................................................................................................ 36
1.6
Sự phát triển của công nghệ mờ ............................................................................... 38
2
Mạng nơron nhân tạo và hệ mờ............................................................................................ 40
2.1
Mạng nơron nhân tạo ................................................................................................ 40
2.2
Một số mạng nơron cơ bản ....................................................................................... 45
2.3
Kết hợp mạng nơron với hệ mờ ................................................................................. 48
Tài liệu trích dẫn.............................................................................................................................. 50
2

Lý thuyết tập mờ v công nghệ tính toán mềm
Nguyễn Cát Hồ
1

2

3

4

5

6
3

51

Lý thuyết tập mờ là cơ sở phơng pháp luận cho việc giải các bài toán ....................... 53
1.1
Tập mờ và ngữ nghĩa khái niệm mờ .......................................................................... 53
1.2
Đại số các tập mờ ..................................................................................................... 54
1.3
Quan hệ mờ .............................................................................................................. 55
Toán học mờ......................................................................................................................... 59
2.1
Topo mờ .................................................................................................................... 59
2.2
Giải tích mờ ............................................................................................................... 61
2.3

Bài toán tối u hóa mờ .............................................................................................. 64
Hệ chuyên gia mờ và hệ trợ giúp quyết định mờ .................................................................. 68
3.1
Bài toán lấy quyết định và vấn đề lập luận................................................................ 68
3.2
Phơng pháp lập luận xấp xỉ dựa trên tập mờ........................................................... 69
3.3
Đại số gia tử và lập luận xấp xỉ ................................................................................. 72
3.4
Hệ trợ giúp quyết định mờ ......................................................................................... 77
Điều khiển mờ....................................................................................................................... 81
4.1
Quá trình điều khiển với yếu tố mờ, không chắc chắn .............................................. 81
4.2
Phơng pháp điều khiển mờ ..................................................................................... 82
Tính toán mờ và tri thức ........................................................................................................ 85
5.1
Khai phá dữ liệu ........................................................................................................ 85
5.2
Bài toán kết bó mờ .................................................................................................... 88
Danh mục các tài liệu dẫn .................................................................................................... 89

Logic mờ v các ứng dụng đa dạng của nó
Bùi Công Cờng

93

1

Kiến thức cơ bản về logic mờ................................................................................................ 94

1.1
ôn nhanh về logic mệnh đề cổ điển.......................................................................... 94
1.3
Quan hệ mờ ............................................................................................................ 102
1.4
Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ............................................................................... 104
2
Các ứng dụng đa dạng ....................................................................................................... 108
2.1
Sự phát triển của công nghệ mờ ............................................................................. 108
2.2
Điều khiển mờ ......................................................................................................... 109
2.3
Các hệ chuyên gia mờ ............................................................................................ 113
2.4
Nhận dạng mờ......................................................................................................... 115
2.5
Hệ hỗ trợ quyết định và bài toán lấy quyết định ...................................................... 117
Tài liệu trích dẫn............................................................................................................................ 117

5


4

Nhập môn điều khiển mờ
Nguyễn Doãn Phớc, Phan Xuân Minh

119

1
2

Nguyên lý làm việc ............................................................................................................. 120
Lý thuyết tập mờ trong điều khiển ...................................................................................... 123
2.1
Định nghĩa tập mờ................................................................................................... 123
2.2
Phép suy diễn mờ ................................................................................................... 125
2.3
Phép hợp mờ........................................................................................................... 129
2.4
Giải mờ.................................................................................................................... 132
3
Bộ điều khiển mờ................................................................................................................ 136
3.1
Cấu trúc bộ điều khiển mờ ...................................................................................... 136
3.2
Thiết kế bộ điều khiển mờ....................................................................................... 140
3.3
Cấu trúc bộ điều khiển mờ thông minh ................................................................... 144
Tài liệu tham khảo ........................................................................................................................ 147
5

Điều khiển ớc lợng v mô hình trên cơ sở điều khiển mờ
Phan Xuân Minh, Nguyễn Doãn Phớc

149

1

Điều khiển Mamdani........................................................................................................... 149
2
Điều khiển mờ trợt (sliding mode FC) ............................................................................... 150
3
Điều khiển tra bảng ............................................................................................................ 153
4
Mô hình TS trên cơ sở điều khiển mờ................................................................................. 155
5
Mô hình trên cơ sở điều khiển mờ với phơng pháp tuyến tính hóa của Lyapunov............ 157
Tài liệu tham khảo ........................................................................................................................ 159
6

Nhập môn mạng nơ-ron
Nguyễn Doãn Phớc, Phan Xuân Minh

160

1

Mô hình mạng nơ-ron nhân tạo .......................................................................................... 160
1.1
Cấu trúc một nơ-ron nhân tạo ................................................................................. 160
1.2
Các cấu trúc cơ bản của mạng nơ-ron nhân tạo..................................................... 163
2
Huấn luyện mạng ............................................................................................................... 165
2.1
Nguyên tắc huấn luyện mạng ................................................................................. 165
2.2
Huấn luyện mạng truyền thẳng một lớp .................................................................. 167

2.3
Huấn luyện mạng MLP truyền thẳng ...................................................................... 169
Tài liệu tham khảo ........................................................................................................................ 173
7

Lý thuyết khả năng và một số vấn đề mở
Đỗ Văn Thnh

174

1
2

Một số khái niệm ban đầu .................................................................................................. 174
Ngôn ngữ PL1..................................................................................................................... 176
2.1
Vấn đề suy diễn trong lý thuyết khả năng............................................................... 177
2.2
Mâu thuẫn từng phần và suy diễn trong các CSTT mâu thuẫn từng phần ............. 178
2.3
Hệ thống hình thức và suy diễn tự động.................................................................. 179
3
Ngôn ngữ PL2 và một số vấn đề mở .................................................................................. 182
3.1
Ngôn ngữ PL2 ......................................................................................................... 182
3.2
Ngôn ngữ PL1 ......................................................................................................... 182
3.3
Mối liên hệ giữa các logic........................................................................................ 182
Tài liệu tham khảo ........................................................................................................................ 182

8

Một cách tiếp cận nghiên cứu phát hiện tri thức trong các cơ sở dữ liệu

183

Đỗ Văn Thnh, Phạm Thọ Hon
1
2

Đặt vấn đề .......................................................................................................................... 183
Hình thành các mẫu luật trong lý thuyết khả năng từ cơ sở dữ liệu cho trớc .................... 184
2.1
Xuất xứ của vấn đề ................................................................................................. 184
2.2
Đề nghị hình thành mẫu luật trong lý thuyết khả năng............................................ 185
2.3
Cách giải quyết và một số kết quả ban đầu............................................................ 186
3
Lý thuyết khả năng mở rộng với định giá là giá trị ngôn ngữ .............................................. 186
3.1
Những vấn đề mở trong lý thuyết khả năng ............................................................ 186
3.2
Ngôn ngữ PL1 với định giá là giá trị ngôn ngữ ........................................................ 188
Tài liệu tham khảo ........................................................................................................................ 189

6


9

Tích hợp các kỹ thuật tính toán mềm và mạng nơron trong xử lý dữ liệu
Nguyễn Thanh Thuỷ, Nguyễn Hữu Đức, Trần Ngọc H

192

1
2
3

Xử lý dữ liệu trong các ứng dụng tin học............................................................................. 192
Tiếp cận mạng nơron trong xử lý dữ liệu............................................................................. 193
Mạng nơron nhiều lớp truyền thẳng và giải thuật học BP................................................... 195
3.1
Kiến trúc .................................................................................................................. 195
3.2
Giải thuật học lan truyến ngợc lỗi.......................................................................... 195
3.3
Gọi lại và dự báo ..................................................................................................... 196
4
Quan điểm toán học về quá trình học của mạng nơron...................................................... 196
4.1
Học tham số ............................................................................................................ 196
4.2
Học tham số bằng giải thuật lan truyền ngợc lỗi ................................................... 197
5
Tích hợp giải thuật di truyền với quá trình học của mạng nơron nhiều lớp truyền thẳng .... 198
6
Cải thiện giải thuật di truyền bằng mô phỏng quá trình tôi thép ......................................... 200
7

Kết luận............................................................................................................................... 201
Tài liệu tham khảo......................................................................................................................... 201

10

Suy rộng toán tử OWA của Yager và ứng dụng vào xử lý thông tin trong các hệ tri thức 202
Bùi Công Cờng
Phần 1: Toán tử trung bình trọng số có sắp xếp .......................................................................... 202
1
Định nghĩa và một số tính chất ........................................................................................... 202
2
Đối ngẫu của toán tử OWA ................................................................................................. 205
3
Ngữ nghĩa kết hợp với toán tử OWA ................................................................................... 207
4
Cách xác định trọng số ................................................................................................... 210
5
Các hàm định lợng và độ đo tính tuyển orness................................................................. 211
Phần 2: Toán tử tích hợp ngôn ngữ .............................................................................................. 212
1
Cần một suy rộng lên miền giá trị ngôn ngữ ....................................................................... 212
2
Một suy rộng: toán tử tích hợp ngôn ngữ LOWA................................................................. 215
Phần 3: Một só ứng dụng ............................................................................................................. 217
1
Hai thuật toán cụm.............................................................................................................. 217
2
Độ nhất trí và độ trội địa phơng......................................................................................... 219
3
Hai quy trình lựa chọn trong bài toán lấy quyết định tập thể............................................... 220

Tài liệu dẫn ................................................................................................................................... 222

11

Giải pháp dự đoán thông minh trong hệ hỗ trợ quyết định

224

Nguyễn Thanh Thủy, Nguyễn Thị Diệu Th
1
Đặt vấn đề .......................................................................................................................... 224
2
Giải pháp thông minh xây dựng công cụ dự đoán hỗ trợ việc ra quyết định....................... 225
3
Kết quả thử nghiệm............................................................................................................. 228
4
Kết luận............................................................................................................................... 229
Tài liệu tham khảo......................................................................................................................... 230
12

ứng dụng mạng nơron trong tính toán

231

Đặng Quang á
1
2

Mở đầu................................................................................................................................ 231
ứng dụng mạng nơron giải các bài toán tối u tổ hợp ........................................................ 231

2.1
Mô hình mạng nơron nhân tạo ................................................................................ 231
2.2
ánh xạ các bài toán tối u tổ hợp lên mạng nơron .................................................. 232
2.3
Tìm trạng thái ổn định của mạng............................................................................. 237
3
ứng dụng mạng nơron giải hệ phơng trình tuyến tính....................................................... 238
3.1
Mạng nơron với cơ chế phản hồi ............................................................................. 238
3.2
Nhắc qua về một số phơng pháp lặp giải hệ phơng trình đại số tuyến tính......... 239
3.3
Các thuật toán nơron............................................................................................... 240
Tài liệu tham khảo......................................................................................................................... 243

7


13

Một số vấn đề nhận dạng mô hình và điều khiển sử dụng mạng nơron
Vũ Nh Lân
1

2

3

244

Nhận dạng phi tuyến mô hình hệ động lực......................................................................... 244
1.1
Nhận dạng thông số hệ thống (off line)................................................................... 244
1.2
Nhận dạng thông số hệ thống (on line)................................................................... 248
1.3
Kết luận................................................................................................................... 251
Nhận dạng mô hình và điều khiển sử dụng mạng nơron.................................................... 252
2.1
Mở đầu .................................................................................................................... 252
2.2
Nhận dạng thông số sử dụng mạng nơron.............................................................. 252
2.3
Điều khiển sử dụng mạng nơron ............................................................................. 254
2.4
Kết luận................................................................................................................... 257
Nhận dạng mô hình và điều khiển sử dụng mạng nơron đối xứng xuyên tâm cơ sở .......... 257
3.1
Hàm đối xứng xuyên tâm cơ sở và ứng dụng trong nhận dạng............................... 257
3.2
Nhận dạng mô hình................................................................................................. 260
3.3
Ví dụ nhận dạng hệ động học phi tuyến sử dụng mạng RBF ................................. 262
3.4
Ví dụ về điều khiển thích nghi sử dụng mạng RBF ................................................. 264
3.5

Mạng nơron nhiều lớp và một số thuật học trong nhận dạng ........................... 268

4
Tổng kết.............................................................................................................................. 274
Tài liệu tham khảo ........................................................................................................................ 275

8


1

Kiến thức cơ sở của hệ mờ
Bùi Công Cờng
Viện Toán học H nội

1 Tập mờ, logic mờ và hệ mờ
1.1

Tập mờ

Trong phần 1 của chơng này chúng ta bắt đầu tìm hiểu những khái niệm cơ bản nhất:
định nghĩa tập mờ của L.Zadeh (1965), các phép toán đại số, nguyên lý suy rộng, số mờ và
sau đó là khái niệm biến ngôn ngữ, các phép toán bớc đầu của logic mờ, suy diễn mờ và
hệ mờ trên cơ sở các luật mờ. Một số dạng phát triển ứng dụng quan trọng cũng sẽ đợc
lớt nhanh để tạo điều kiện cho các bạn mới học lần đầu có cái nhìn tổng quan về hệ mờ và
ứng dụng.
1.1.1 Định nghĩa tập mờ

Xét tập X . Ta sẽ gọi X là không gian nền. Chẵng hạn:
X = tập sinh viên Đại học Bách khoa Hà Nội khoá 41.
A1 = tập sinh viên Khoa Công nghệ thông tin khoá 41.

Khi đó A1 là một tập con rõ của X. Gọi:
A2 = tập sinh viên giỏi Tin , khoá 41 của Khoa Cơ khí.

Khi đó A2 là một tập mờ trên X.
Một minh hoạ khác về tập mờ là vết vân tay của tội phạm để lại trên hiện trờng.
Đinh nghĩa 1.1 (xem[1]): A

là tập mờ trên không gian nền X nếu A đợc xác định bởi hàm

A : X [0,1] ,
A là hàm thuộc (membership function) còn A(x) là độ thuộc của x vào tập mờ A.
Ví dụ 1.1

X

A(x1)=1
x

Hình 1 : Ví dụ về tập mờ

x

A(x2)=0.7

9


Nhiều tài liệu vẫn quen ký hiệu A ( x ) . Tuy nhiên, để gọn đôi khi cần ta sẽ ký hiệu
A ( x ) thay cho A ( x ) .

Chúng ta cũng sẽ kí hiệu
A = {( A(x) / x ): x X }.
Ví dụ 1.2: A0
Ví dụ 1.3: A

= một vài (quả cam) = { (0/0) , (0/1) , (0.6/2) , (1/3) , (1/4) , (0.8/5) , (0.2/6) }.

= "số thực gần 10" có hàm thuộc A ( x ) =

1
1 + ( x 10)2

.

Ta sẽ kí hiệu
F ( X ) = { A tập mờ trên X }
Định nghĩa 1.2:

Giá của tập mờ A , S ( A ) là tập các điểm x nào có A ( x ) > 0 .

Với mỗi 0 1

tập mức A cho bởi:

A = { x X : A ( x ) } .

Để ý A là tập con rõ của X.
Mệnh đề 1.1:

Cho A là tập mờ. Khi đó:

A ( x ) = sup min( , A ( x )),
0 1

1
0

với A ( x ) =

nếu

x Aa

nếu

x A

(ở đây sup- là cận trên đúng của một tập trên đờng thẳng số thực. Bạn nào cha quen có
thể thay bằng max, hoặc hỏi thêm thầy dạy Toán).
Chứng minh: Cho 0 < 1 cố định. Với x có A ( x ) = 0 . Do x A , nên A ( x ) = 0 .

Vậy:

sup min( , A ( x )) = 0 = A ( x ) .

0 1

Với x có A ( x ) = ' > 0 . Ta xét 3 trờng hợp:
Nếu < ' , A ( x ) = 1 , nên min( , A ( x )) = < ' .
Nếu = ' , A ( x ) = 1 , nên min( , A ( x )) = = ' .
Nếu > ' , A ( x ) = 0 , nên min( , A ( x )) = 0' .

Vậy:

10

sup min( , A ( x )) = ' = A ( x ) .

0 1


1.1.2 Các phép toán đại số trên tập mờ

Cho A, B là hai tập mờ trên không gian nền X, có các hàm thuộc A , B .

Định nghĩa 1.3:

Khi đó phép hợp A B, phép giao A B và phần bù A C là các tập mờ trên X với
các hàm thuộc cho bởi:
A B ( x ) = max { A ( x ) , B ( x ) } ,

xX

A B ( x ) = min { A ( x ) , B ( x ) } ,

xX

Ac (x) = 1 A(x) ,
Định nghĩa 1.4:

xX.

Cho A, B F ( X ) . Ta nói:

A B , nếu A ( x ) B ( x ) với mọi x X .
A B , nếu A ( x ) B ( x ) với mọi x X .

Do đó
A = B , nếu A ( x ) = B ( x ) với mọi x X .

Dễ dàng kiểm tra mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2:

Cho A, B F ( X ) . Khi đó

( A B) = A B và

( A B) = A B .

Ta sẽ coi là tập mờ với ( x ) = 0 với mọi x , X là tập mờ với X ( x ) = 1 , với mọi x .
Với các tập mờ nhiều tính chất của tập rõ còn đúng. Mệnh đề sau sẽ minh họa điều đó.
Mệnh đề 1.3:

Cho A , B , C F ( X ) . Ta có các tính chất:

a)
b)

Giao hoán: A B = B A , A B = B A
Kết hợp: A ( B C ) = A ( B C )
A(BC) = A(BC)

c)
d)

Luỹ đẳng: A A = A , A A = A
Phân phối: A ( B C ) = (A B ) ( A C )
A ( B C ) = (A B ) ( A C )

e)
f)
g)

A = và A X = X
Đồng nhất: A = A và A X = A
Hấp thu
A ( A B ) = A và A ( A B ) = A

h)

Luật De Morgan ( A B ) C = A C B C và

i)

Cuộn:

j)

Dạng tơng đơng: ( AC B) ( A BC ) = ( AC BC ) ( A B)

k)

Hiệu đối xứng: ( AC B) ( A BC ) = ( AC BC ) ( A B)

(AB)C = AC BC

(AC)C = A

Chứng minh. Ta sẽ chỉ chứng minh một vài đẳng thức để minh hoạ. Ví dụ ta sẽ chứng minh

đẳng thức:
11


A ( B C ) = ( A B) ( A C )

Đặt
D1 = A ( B C ),

D2 = ( A B ) ( A C ).

Lấy x tuỳ ý, cố định. Ta sẽ chỉ rõ rằng D1 ( x ) = D2 ( x ). Kí hiệu
a = A ( x ), b = B ( x ), c = C ( x ).

Do cố định x, nh vậy ứng với vectơ ( a, b, c) ta chỉ cần xét 6 trờng hợp sau:
(BC)(x)

D1(x)

(AB)(x)

(AC)(x)

D2(x)

abc
acb

c
b

a
a

a
a

a
a

a
a

bca

c

c

b

c

c

bac

c

a

b

a

a

cab
cba

b
b

a
b

a
b

c
c

a
b

Ví dụ ta sẽ chứng minh một mệnh đề về tính chất De Morgan
( A B)C = ( AC BC ) .

Cố định x, ta chỉ cần tính 2 trờng hợp:
a b , khi đó ( A B ) C ( x ) = 1 min( a , b ) = 1 a , còn
( A C B C ) ( x ) = max( 1 a , 1 b ) = 1 a .

Với b a , cũng có kết quả tơng tự.
1.1.3 Nguyên lý suy rộng của Zadeh

Để trực tiếp suy rộng hàm nhiều biến, nh vậy cũng sẽ cung cấp cơ sở chặt chẽ đầu
tiên cho định nghĩa các hệ thống có nhiều biến vào một biến ra (Multi InputSingle Output ,
MISO system), nguyên lý suy rộng sau đây của Zadeh là rất quan trọng.
x1 là A1

f
Hình 2: Hệ thống nhiều đầu vào, một đầu ra

Định nghĩa 1.5:

xn là An

Cho Ai là tập mờ với hàm thuộc Ai trên không gian nền Xi , (i=1,2, , n).

Khi ấy tích trực tiếp

12

y là B

A = A1 ì A2 ì

ì An là tập mờ trên không gian nền:

X = X1 ì X2 ì

ì Xn với hàm thuộc:


A ( x ) = min { A1 ( x1 ) , A2 ( x2 ) , , An ( x n ) },

trong đó x = (x1 , x2 ,

, xn).

Bây giờ chúng ta xét hệ thống nh trên hình 2.
Nguyên lý suy rộng của Zadeh (Zadeh' extention principle): Giả sử mỗi biến vào xi lấy giá

trị là Ai (i= 1,2,

, n) với Ai là tập mờ trên không gian nền Xi với hàm thuộc Ai ( xi ) .

Hàm f : X Y chuyển các giá trị đầu vào Ai thành giá trị đầu ra B. Khi đó B sẽ là tập mờ
trên Y với hàm thuộc B ( x ) đợc tính theo công thức sau:
sup {min( ( x ), ... , ( x ) : x f 1 ( y )} nếu f 1 ( y )
A1 1
An n

B(x) =
nếu f 1 ( y) =

0

ở đây
f

1

, xn) X : f(x) = y}

(y) = { x =( x1 , x2 ,

1.1.4 Số mờ

Chúng ta sẽ dùng các số mờ theo định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.6:

Tập mờ M trên đờng thẳng số thực R1 là một số mờ, nếu

a)

M chuẩn hóa, tức là có điểm x sao cho M ( x ) = 1 ,

b)

ứng với mỗi R1, tập mức { x: M ( x ) } là đoạn đóng trên R1.

c)

M ( x ) là hàm liên tục.

Ngời ta thờng dùng các số mờ dạng tam giác, hình thang và dạng hàm Gauss.
Số mờ tam giác đợc xác định bởi 3 tham số. Khi đó hàm thuộc của số mờ tam giác
M ( a , b , c ) cho bởi:

0

z
a
/ba



M ( z) =
1
z b/ c b


0

nếu
za
nếu a z b
nếu
z=b
nếu b z c
nếu
c z

Còn số mờ hình thang M ( a , b , c , d ) đợc xác định bởi 4 tham số có hàm thuộc dạng sau:

0

z
a
/ba



M ( z) =
1
z c/ d c


0

nếu
za
nếu a z b
nếu b z c
nếu c z d
nếu
dz

13


Còn hàm thuộc của số mờ dạng hàm Gauss (dạng hình chuông) cho bởi:

( z a )2

M ( z) = e 2

0


nếu

z a da

nếu

z a da

d a là số dơng đợc chọn thích hợp.
Định lý 1.1 (Doubois, Prade 1980):

Nếu M , N là 2 số mờ thì phép cộng suy rộng M N có

hàm thuộc cho bởi
M N ( z ) = max(min( M ( x ), N ( y )) : x + y = z ) , với mọi z,

cũng là số mờ.
Khi M , N là 2 số mờ hình thang M ( am , bm , cm , dm ) , N ( an , bn , cn , dn ) thì:
M N ( am + an , bm + bn , cm + cn , dm + dn ) .
Định nghĩa tập mờ đối: Nếu A là tập mờ trên

R1 với hàm thuộc A ( z ) thì tập đối A

cũng là tập mờ trên R1 có hàm thuộc cho bởi A ( z ) = A ( z ) .
Nhận xét nếu M là số mờ thì M cũng là số mờ. Hơn nữa M là số mờ hình thang thì
M cũng là số mờ hình thang.
Định nghĩa phép trừ suy rộng: Cho M , N là 2 số mờ thì ta có thể định nghĩa
MN=M(N).

1.2

Logic mờ

Bất kỳ một ngời nào có ít nhiều tri thức đều hiểu rằng ngay trong những suy luận đời
thờng cũng nh trong các suy luận khoa học chặt chẽ, logic toán học đã đóng vai trò rất
quan trọng.
Nhng đáng tiếc, chiếc áo logic toán học cổ điển đã quá chật hẹp đối với những ai
mong muốn tìm kiếm những cơ sở vững chắc cho những suy luận phù hợp hơn với những
bài toán nẩy sinh từ nghiên cứu và thiết kế những hệ thống phức tạp, đặc biệt là những cố
gắng đa những suy luận giống nh cách con ngời vẫn thờng sử dụng vào các lĩnh vực trí
tuệ nhân tạo (chẳng hạn, trong các hệ chuyên gia, các hệ hỗ trợ quyết định, các bộ phần
mềm lớn, v.v...) hay vào trong công việc thiết kế và điều khiển, vận hành các hệ thống lớn,
phức tạp sao cho kịp thời và hiệu quả.
Trong sự phát triển đa dạng của các hệ mờ, dựa trên cách tiếp cận mới của lý thuyết tập
mờ , logic mờ giữ một vai trò rất cơ bản. Trong chơng này chúng tôi sẽ hiểu logic mờ theo
nghĩa đủ hẹp - đó là phần trực tiếp suy rộng logic mệnh đề cổ điển thông qua việc trình
bày một số công cụ chủ chốt của logic mờ: các liên kết logic cơ bản.

14


1.2.1 Ôn nhanh về logic mệnh đề cổ điển

Ta sẽ kí hiệu P là tập hợp các mệnh đề và P, P1 , Q, Q1 ,

là những mệnh đề .Với mỗi

mệnh PP, ta gán một trị v(P) là giá trị chân lý (truth value) của mệnh đề. Logic cổ điển
đề nghị v(P) = 1 nếu P là đúng (Ttrue) , v(P)= 0 nếu P là sai (Ffalse).
Trên P chúng ta xác định trớc tiên ba phép toán cơ bản và rất trực quan:
Phép tuyển:

P OR Q, kí hiệu P Q, đó là mệnh đề "hoặc P hoặc Q",

Phép hội:

P AND Q, kí hiệu P Q, đó là mệnh đề "vừa P vừa Q",

Phép phủ định: NOT P, kí hiệu ơ P , đó là mệnh đề "không P".
Dựa vào 3 phép toán logic cơ bản này ngời ta đã định nghĩa nhiều phép toán khác,
nhng đối với chúng ta quan trọng nhất là phép kéo theo (implication), kí hiệu là P Q.
Khi sử dụng các liên kết logic: phép tuyển, phép hội, phép phủ định, phép
kéo theo và phép tơng đơng (),giá trị chân lý của mệnh đề hệ quả đợc xác định
phụ thuộc vào giá trị chân lý của các mệnh đề gốc P , Q cho trong bảng sau:

Định nghĩa 2.1:

Bảng 1

P

Q

ơP









1
1
0
0

1
0
1
0

0
0
1
1

1
1
1
0

1
0
0
0

1
0
1
1

1
0
0
1

Sử dụng những định nghĩa trên, trong logic cổ điển,các luật suy diễn quan trọng sau đây
giữ vai trò rất quyết định trong các lập luận truyền thống. Đó là các luật:
modus ponens: ( P ( P Q ) ) Q
modus tollens: ( ( P Q ) ơ Q ) ơ P
syllogism:

((P Q) (Q R)) (P R)

contraposition: ( P Q ) ( ơ Q ơ P )
Mệnh đề 2.1:

Luật modus ponen luôn đúng trong logic cổ điển

Chứng minh: Ta chỉ cần tính giá trị chân lý của ( P ( P Q ) ) Q . Thật vậy:

Mệnh đề 2.2:

P

Q

PQ

P(PQ)

(P(PQ))Q

1
1
0
0

1
0
1
0

1
0
1
1

1
0
0

0

1
1
1
1

Luật modus tollens ( ( P Q ) ơ Q ) ơ P luôn đúng trong logic cổ điển.

Chứng minh: Ta chỉ cần tính giá trị chân lý của ( ( P Q ) ơ Q ) ơ P . Thật vậy:

15


P

Q

1
1
0
0

1
0
1
0

ơP ơQ
0

0
1
1

PQ

0
1
0
1

(PQ)ơQ ((PQ)ơQ)ơP

1
0
1
1

0
0
0
1

1
1
1
1

Ta hãy lấy luật modus ponens làm ví dụ. Luật này có thể giải thích nh sau: Nếu mệnh
đề P là đúng và nếu định lý "P kéo theo Q" đúng, thì mệnh đề Q cũng đúng.

Tơng tự ngời đọc có thể lý giải cho các luật khác.
1.2.2 Mấy phép toán cơ bản của logic mờ

Năm 1973 L.Zadeh ([2]) đã chính thức định nghĩa và làm việc với các liên kết logic
mờ cơ bản, đồng thời với việc đa ra khái niệm biến ngôn ngữ đã bớc đầu ứng dụng vào
suy diễn mờ. Đây là bớc khởi đầu rất quan trọng tính toán các suy diễn dùng logic mờ
trong các hệ mờ.
Thật tự nhiên để có thể tiến hành mô hình hoá các hệ thống có nhiều thông tin bất
định và nhiều tri thức còn mập mờ và tìm cách biểu diễn các quy luật vận hành trong các hệ
thống này, chúng ta cần suy rộng các phép liên kết logic cơ bản (logic connectives) với các
mệnh đề có giá trị chân lý v ( P ) nhận trong đoạn [ 0 , 1 ] , (thay cho quy định v ( P ) chỉ nhận
giá trị 1 hoặc 0 nh trớc đây).
Chúng ta sẽ đa vào các phép toán cơ bản của logic mờ qua con đờng tiên đề hoá.
Cho các mệnh đề P , Q , P 1 . . . , giá trị chân lý v ( P ) , v ( Q ) , v ( P 1 ) . . . sẽ nhận trong đoạn
[0,1].
Phần tiếp theo của phần 1.2.2 sẽ trình bày bốn phép liên kết cơ bản nhất.
1.2.2.1 Phép phủ định

Bây giờ chúng ta cho dạng toán học của phép toán này.
Hàm n : [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] không tăng thoả mãn các điều kiện n ( 0 ) = 1 ,
n ( 1 ) = 0 , gọi là hm phủ định (negation hay là phép phủ định).

Định nghĩa 2.2:

Chúng ta có thể xét thêm vài tiên đề khác.
Định nghĩa 2.3:

a)
b)

Hàm phủ định n là chặt nếu nó là hàm liên tục và giảm chặt.
Hàm phủ định n là mạnh nếu nó là chặt và thoả mãn n ( n ( x ) ) = x , x [ 0 , 1 ] .

Ta hãy cho vài ví dụ và tính chất.
Hàm phủ định thờng dùng n ( x ) = 1 x (Zadeh [2] ).
Hàm n ( x ) = 1 x 2
Họ phủ định (Sugeno) N ( x ) = ( 1 x ) / ( 1 + x ) , với > 1 .
16


Rõ ràng ( 1 x ) là phủ định mạnh, còn ( 1 x 2 ) là một phủ định chặt, nhng không
mạnh. Còn với họ Sugeno ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.3:

Với mỗi > 1 , N ( x ) là hàm phủ định mạnh.

Chứng minh: Thật vậy, do 1 + > 0 với x 1 < x 2 , x 1 + x 1 < x 2 + x 2 điều này tơng đơng

với N ( x 1 ) > N ( x 2 ) .
Hơn nữa N ( N ( x ) ) = ( ( 1 + x ) ( 1 x ) / ( 1 + x ) + ( 1 x ) ) = x , với mỗi 0 x 1 .
Để thuận lợi chúng ta cần thêm hai định nghĩa sau.
Một cách định nghĩa phần bù của một tập mờ: Cho là không gian nền, một tập mờ
A trên tơng ứng với hàm thuộc A : [ 0 , 1 ] .
Định nghĩa 2.6:

Cho n là hàm phủ định, phần bù A C của tập mờ A là một tập mờ với hàm

thuộc cho bởi A C ( a ) = n ( A ( a ) ) , với mỗi a .
Rõ ràng định nghĩa phần bù cho trong phần 1.1. là trờng hợp riêng khi n ( x ) là hàm
phủ định thờng dùng.

1.2.2.2 Phép hội

Phép hội (vẫn quen gọi là phép AND conjunction) là một trong mấy phép toán logic
cơ bản nhất. Thông thờng ngời ta xét các tiên đề sau:
tđ1.

v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2)

tđ2.

Nếu v(P1) = 1 thì v(P1 AND P2) = v(P2), với mọi mệnh đề P2

tđ3.

Giao hoán: v(P1 AND P2) = v(P2 AND P1)

tđ4.

Nếu v(P1) v(P2), thì v(P1 AND P3) v(P2 AND P3), với mọi mệnh đề P3

tđ5.

Kết hợp: v(P1 AND (P2 AND P3)) = v((P1 AND P2) AND P3)

Khi diễn đạt phép hội mờ nh một hàm số T : [ 0 , 1 ] 2 [ 0 , 1 ] , chúng ta cần tới định
nghĩa sau :
Hàm T : [0,1]2 [0,1] là một tchuẩn (chuẩn tam giác hay tnorm) nếu
thoả mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 2.7:

a)
b)
c)
d)

T(1, x)= x , với mọi 0 x 1,
T có tính giao hoán, tức là T ( x , y ) = T ( y , x ) , với mọi 0 x , y 1 ,
T không giảm theo nghĩa T(x , y ) T(u , v ), với mọi x u , y v ,
T có tính kết hợp: T ( x , T ( y , z ) ) = T ( T ( x , y ) , z ) với mọi 0 x , y , z 1.

Từ những tiên đề trên chúng ta suy ra ngay T(0 , x ). Hơn nữa tiên đề d) đảm bảo tính
thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến.

17


Ví dụ 2.1:

1) Min (Zadeh):

T1(x , y ) = min (x , y )

2)

T2(x , y ) =

3) tchuẩn dạng tích:

T3(x , y ) = x y ,

4)

T4(x , y ) =

5) tchuẩn Lukasiewicz:

TL(x , y ) = max { x + y 1 , 0 } ,

6) tchuẩn yếu nhất (drastic product):

min( x, y ) nếu max( x, y) = 1
Z(x , y ) =
0 nếu max( x, y ) < 1

xy
x + y xy
xy
2 ( x + y xy )

Bây giờ chúng ta xét vài tính chất của tchuẩn:
Mệnh đề 2.4:

Với mỗi t-chuẩn T thì:

T 5 ( x , y ) T ( x , y ) T 1 ( x , y ) = min( x , y )

với mọi 0 x , y 1

Chứng minh: Thật vậy.

Nếu max( x , y ) = 1 .
Khi x = 1 , T ( 1 , y ) = y = min( x , y ) hay T 5 ( x , y ) = T ( x , y ) = T 1 ( x , y ) . Tơng tự nếu y = 1 .
Nếu max( x , y ) < 1 , T 5 ( x , y ) = 0 < T ( x , y ) .
Giả sử y=min( x , y ) , khi đó T ( x , y ) T ( 1 , y ) = y = T 1 ( x , y ) . Tơng tự nếu x=min( x , y ) .
Định nghĩa 2.8:

a)
b)

Một t-chuẩn T gọi là liên tục nếu T là hàm liên tục trên [ 0 , 1 ] 2
Hàm T gọi là Archimed nếu T ( x , x ) < x với mọi 0 < x < 1

c)

Hàm T gọi là chặt nếu T tăng chặt trên ( 0 , 1 ) 2

Sau đây là đồ thị của một số hàm t-chuẩn:
T L ( x , y ) = max( 0 , x + y 1 ) .

1
0.75
0.5
0.25
0
0

1
0.8
0.6

0.4

0.2
0.4

0.2

0.6
0.8
1

18

0


T4(x,y) =

xy
2 ( x + y xy )

1
0.75
Z
0.5
0.25
0
0

1

0.8
0.6
0.4 Y

0.2
0.4
X

0.2

0.6
0.8
1

0

T3(x,y) = xy

1
0.75
0.5
0.25
0
0

1
0.8
0.6
0.4

0.2
0.4

0.2

0.6
0.8
1

0

Không khó khăn kiểm tra các t-chuẩn T 1 ( x , y ) , T 2 ( x , y ) , T 3 ( x , y ) , T 4 ( x , y ) , t-chuẩn
Lukasiewicz là liên tục và T 2 ( x , y ) , T 3 ( x , y ) , T 4 ( x , y ) là Archimed. Thật vậy:
1) T 4 ( x ,y ) =

xy
a2
là Archimed vì T 2 ( a ,a ) =
và do:
2 ( x + y xy )
2 (2 (2a a2 ))

a22a+2 = (a1)2+1 >1

a2
< a2 a
2 (2a a2)

Vậy T 2 ( a , a ) < a với mọi a ( 0 , 1 ) .
2) T 3 ( x , y ) = x y là chặt vì 0 x 1 < x 2 , 0 y 1 < y 2 , ta có x 1 y 1 < x 2 y 2 .

3) T 5 ( x , y ) = min( x , y ) là một hàm liên tục trên [ 0 , 1 ] 2 , nên t-chuẩn T là liên tục. Hơn thế
nữa, ta luôn có T 5 ( x , x ) = min( x , x ) = x .
Hm sinh của lớp toán tử t-chuẩn: Cho f là một đẳng cấu bảo toàn thứ tự từ
[ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] , ta có định lí sau:

19


Định lý 2.1:

Cho T là một t-chuẩn, ta xác định T f : [ 0 , 1 ] ì [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] bằng định nghĩa:

Tf(x,y) = f

1

( T ( f ( x ) , f ( y ) ) ) , với mọi 0 x , y 1 .

Khi đó T f là một t-chuẩn. Nếu T là Archimed thì T f là Archimed.
Chứng minh:

1) Chứng minh T f ( 1 , x ) = x , với x [ 0 , 1 ] . Ta có:
Tf(1,x)=f

1

(T(f(1),f(x)))=f

1

(T(1,f(x)))=f

1

(f(x))=x,

với x [ 0 , 1 ] , vì f đẳng cấu bảo toàn thứ tự.
2) Kiểm tra tính giao hoán.
Tf(x,y)=f

1

(T(f(x),f(y)))=f

1

( T ( f ( y ) , f ( x ) ) ) = T f ( y , x ) , do T có tính giao hoán.

3) Tính đơn điệu không giảm
Với x 1 x 2 và y 1 y 2 do f là đẳng cấu bảo toàn thứ tự nên f 1 cũng là đẳng cấu bảo
toàn thứ tự và f ( x 1 ) f ( x 2 ) , f ( y 1 ) f ( y 2 ) . Lại do T là t-chuẩn nên:
T(f(x1,f(y1))T(f(x2),f(y2)) f

1

(T(f(x1),f(y1))) f

1

(T(f(x2),f(y2))).

4) Tính kết hợp: Ta phải chứng minh T f ( x , T f ( y , z ) ) = T f ( T f ( x , y ) , z ) . Ta có vế trái:
Tf(x,f

1

(T(f(y),f(z))) = f
= f

1
1

(T(f(x), f(f

1

(T(f(y),f(z)))))

(T(T(f(x),f(y)),f(z))).

Vế phải là:
Tf(f

1

(T(f(x),f(y))),z)

= f
= f

1
1

(T(f(f

1

(T(f(x),f(y)))),f(z)))

(T(T(f(x,f(y)),f(z))).

Ta thấy vế trái bằng vế phải.
5) Kiểm tra T là Archimed thì T f là Archimed. Theo giả thiết:
T là Archimed T ( a , a ) < a với mọi a [ 0 , 1 ]

Ta có:
Tf(a,a) = f

vì

1

(T(f(a),f(a))) = f

(c)
1

(f(a)) = a,

T(f(a),f(a)) = c < f(a)

Ví dụ 2.2:

Xét T ( x , y ) = x y . Khi đó ta có nhiều cách tạo ra T f

Cách 1: Chọn f ( x ) = x ta có f
Tf(x,y) = f

1

Tf(x,y) = f

1

1

(x)=x ; T(x,y)=xy=f(x)f(y)=f

(f(x)f(y)) = xy

Cách 2: Chọn f ( x ) = x n f

20

1

1

(x)=

n

x , khi đó:

(f(x)f(y)) = f

1

(xn,yn) = xy

1

( f ( x ) f ( y ) ) . Vậy:


Ví dụ 2.3:

Xét T ( x , y ) =

xy
x
. Ta chọn f ( x ) =
a + (1 a)( x + y xy )
x + a(1 x )

Với a > 0 ta thấy f ( x ) liên tục và f ( 0 ) = 0 / a = 0 ; f ( 1 ) = 1 . Vậy f ( x ) là đẳng cấu bảo toàn thứ
tự . Ta có f 1 ( x ) =
Tf(x,y) = f

Nếu x = 1 / 2 thì f

1

ax
. Theo định lý trên ta có:
ax x + 1
1

(T(f(x),f(y))) = f

1

(f(x)f(y)).

1
a( )
1
1
2
(1/2)= f ( ) =
. Ta thấy T ( x , y ) phụ thuộc vào a>0.
=
1 1
1
2
a( ) + 1 1 +
2 2
a

Xét một số trờng hợp đặc biệt:
a)

a=1 f(x)=x Tf(x,y)=xy

b)

a=1/2 f(x)=

2 xy
x
2x

f 1(x)=
. Vậy T f ( x , y ) =
.
1 + ( x + y xy )
2 x
1+ x

c)

a=2 f(x)=

xy
x
Tf(x,y)=
=T2(x,y)
2 ( x + y xy )
2 x

Định nghĩa tổng quát phép giao của 2 tập mờ: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian
nền X với hàm thuộc tơng ứng là A ( x ) , B ( x ) . Cho T là một t-chuẩn.

ứng với t-chuẩn T, tập giao của hai tập mờ A , B là một tập mờ ( A T B ) trên
X với hàm thuộc cho bởi:
Định nghĩa 2.9:

(ATB)(x) = T(A(x),B(x)), xX

Việc lựa chọn phép giao tơng ứng với t-chuẩn T nào tuỳ thuộc vào bài toán đợc quan tâm.
Ví dụ 2.4:

Cho U là không gian nền: U = [ 0 , 1 2 0 ] - thời gian sống.

A = {Những ngời ở tuổi trung niên} ; B = {Những ngời ở tuổi thanh niên}

Khi đó giao của hai tập mờ A và B , khi sử dụng T ( x , y ) = min( x , y ) và T ( x , y ) = x y
chũng sẽ đợc biểu diễn trên hình vẽ nh sau:

Dạng tích T ( x , y ) = x y

Dạng T ( x , y ) = min( x , y )

21


1.2.2.3 Phép tuyển

Giống nh phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR (disjunction) thông thờng cần

thoả mãn các tiên đề sau:
Hàm S : [ 0 , 1 ] 2 [ 0 , 1 ] gọi là phép tuyển (OR suy rộng) hay là tđối
chuẩn (tconorm) nếu thoả mãn các tiên đề sau:
S(0, x ) = x với mọi x [ 0 , 1 ]
S có tính giao hoán:
S(x, y ) = S(y, x ) với mọi 0 x, y ) 1 ,
S không giảm:
S(x, y ) S(u, v ) với mọi 0 x u 1 và 0 y v 1
S có tính kết hợp:
S ( x , S ( y , z ) ) = S ( S ( x , y ) , z ) với mọi 0 x , y , z 1

Định nghĩa 2.10:

a)
b)
c)
d)

Từ định nghĩa ta thấy: S ( 0 , 1 ) S ( x , 1 ) 1 S ( x , 1 ) 1 S ( x , 1 ) = 1 .
Ví dụ 2.5:

S 0 ( x , y ) = max( x , y )
S1(x,y) = x+yxy
S 2 ( x , y ) = min( 1 , x + y )
max( x, y) khi x + y = 1
S 3 ( x , y ) = max1 ( x , y ) =
1 khi x + y 1
max( x, y ) khi min( x, y ) = 0
S4(x,y) =
1 khi min( x, y) 0

Các hàm này đều là các t-đối chuẩn. Sau đây là đồ thị của một số hàm t-đối chuẩn:

1
0.75
0.5
0.25
0
0

1

1
0.8
0.6

0.75

0.4

0.2

1

0.5
0.25
0
0

0.8

0.6
0.4

0.2

0.4

0.4

0.2

0.6

0.2

0.6

0.8

0.8

1

0

S 0 ( x , y ) = max( x , y )

10

S1(x,y) = x+yxy

1
0.75
Z
0.5
0.25
0
0

1
0.8
0.6
0.4 Y

0.2
0.4

S 2 ( x , y ) = min( 1 , x + y )

X

0.2

0.6
0.8
1

22

0

Tiếp tục ta sẽ xem xét một số tính chất của t-đối chuẩn
Định lý 2.2:

Với S là một t-đối chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x , y

[0,1]:

a)

S0(x,y) S(x,y) S4(x,y).

b)

S0 S1 S2 S4

Chứng minh:

a) Khi x = 1 , ta có

S ( 1 , y ) = 1 , S 0 ( 1 , y ) = max( 1 , y ) = 1 = S 4 ( x , y ) . Khi y = 1 , tơng tự

S 0 ( x , 1 ) = S ( x , 1 ) = S 4 ( x , y ) . Khi x = 0 , tơng tự ta cũng có S 0 ( 0 , y ) = S ( 0 , y ) = S 4 ( 0 , y ) .

Khi y = 0 , ta cũng có S 0 ( x , 0 ) = S ( x , 0 ) = S 4 ( x , 0 ) .
Xét 0 < x , y < 1 : Ta có min( x , y ) 0 , suy ra S 4 ( x , y ) = 1
Nếu x > y , suy ra S 0 ( ( x , y ) ) = x < S 4 ( x , y ) = 1 . Thấy x = S ( 0 , x ) S ( y , x ) (tính không
giảm ). Vì vậy S 0 ( x , y ) < S ( x , y ) < S 4 ( x , y ) .
Nếu y > x : S 0 ( ( x , y ) ) = y < S 4 ( x , y ) = 1 . Ta thấy y = S ( 0 , y ) < S ( x , y ) . Do đó cũng có

S0(x,y)
Vậy x , y [ 0 , 1 ] thì S 0 ( x , y ) < S ( x , y ) < S 4 ( x , y ) .
b) Phần a) ta đã chứng minh đợc rằng: S 0 ( x , y ) < S ( x , y ) < S 4 ( x , y ) . Giờ đây ta phải
chứmg minh: S 0 S 1 S 2 S 4 và S 0 S 2 S 3 S 4
Chứng minh S 0 S 1 : Xét x y suy ra
S 0 ( x , y ) = max( x , y ) = x , và S 1 ( x , y ) = x + y x y = x + ( 1 x ) y

Thấy 0 x , y 1 1 x 0 ( 1 x ) y 0 x + ( 1 x ) y x
Vậy S 0 ( x , y ) S 1 ( x , y )
Tơng tự, với y x S 0 ( x , y ) S 1 ( x , y ) . Vậy x , y [ 0 , 1 ] luôn có S 0 ( x , y ) S 1 ( x , y ) .
Chứng minh S 1 S 2 : Xét x + y 1 , Khi đó S 2 ( x , y ) = x + y . Thấy 0 x , y 1 , suy ra
1x1 (1x)y y x+(1x)y x+y

Vậy S 1 ( x , y ) S 2 ( x , y ) .
Xét x + y > 1 , khi đó S 2 ( x , y ) = 1 . Do
x,y[0,1] (1x)(1y)0 x+y1 xy x+yxy1.

Vậy S 1 ( x , y ) S 2 ( x , y ) . Do đó x , y [ 0 , 1 ] luôn có S 1 ( x , y ) S 2 ( x , y ) .
Chứng minh S 2 S 4 : Xét x = 0 x + y 1 , do đó S 3 ( x , y ) = max( x , y ) , lại do x = 0 ,
suy ra
min( x , y ) = 0 S 4 ( x , y ) = max( x , y ) = S 3 ( x , y ) .

23


Tơng tự xét y = 0 , ta cũng lại có kết quả nh trên. Xét tiếp với x 0 , y 0 . Khi đó:
S4(x,y)=1.

Khi x + y < 1 S 3 ( x , y ) = max( x , y ) 1 = S 4 ( x , y )

Khi x + y > 1 S 3 ( x , y ) = 1 = S 4 ( x , y )
Vậy x , y [ 0 , 1 ] luôn có S 2 ( x , y ) S 4 ( x , y ) .
Từ các kết quả trên ta đợc: S 0 ( x , y ) S 1 ( x , y ) S 2 ( x , y ) S 4 ( x , y )
Từ đó ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.5:

Nếu S là t-đối chuẩn thì:

max( x , y ) S ( x , y ) Z ' ( x , y ) với mọi 0 x , y 1 .
Định nghĩa 2.11:

Cho S là t-đối chuẩn. Khi ấy:

S gọi là liên tục nếu S là hàm liên tục trên [ 0 , 1 ] 2 .

a)
b)

Hàm S gọi là Archimed nếu S ( x , x ) > x với mọi 0 < x < 1 .

c)

S gọi là chặt nếu S tăng chặt trên ( 0 , 1 ) 2 .

Ví dụ 2.6: S 1 ( x , y ) = x + y x y ,

là chặt vì: Giả sử x 1 < x 2 , ta có

S1(x1,y)=x1+yx1y

Mặt khác do S có tính chất giao hoán nên ta có S 1 ( x 1 , y 1 ) < S 1 ( x 2 , y 2 ) , 0 < x 1 < x 2 < 1 , và
0S 0 ( x , y ) = max( x , y ) là một hàm liên tục trên [ 0 , 1 ] 2 , nên t-đối chuẩn S là liên tục.

Hơn thế nữa, ta luôn có S 0 ( x , y ) = max( x , y ) = x .
S 2 ( x , y ) = min{ 1 , x + y } là Archimed vì S 2 ( x , x ) min{ 1 , x + x } = min{ 1 , 2 x } > x .
Hm sinh của lớp toán tử t-đối chuẩn: Cho f là một đẳng cấu bảo toàn thứ tự từ
[ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] , ta có định lí sau:
Định lý 2.3:

Cho S là một t-đối chuẩn, ta xác định:

Sf : [0,1]ì[0,1] [0,1]
Sf(x,y) = f

1

(S(f(x), f(y))).

Khi đó S f là một t-đối chuẩn. Nếu S là Archimed thì S f là Archimed.
Chứng minh: Dành cho bạn đọc nh một bài tập.
Ví dụ 2.7:

Xét S ( x , y ) = x + y x y . Khi đó ta có nhiều cách tạo ra S f , ta có thể chọn:

f ( x ) = x , khi đó

24

f

1

(x)=x, S(x,y)=x+yxy=f(x)+f(y)f(x)f(y)



Sf(x,y)= f

Vậy

Sf(x,y)= f

1

(f(x)+f(y)f(x)f(y)) = x+yxy

1

(f(x)+f(y)f(x)f(y)).

Định nghĩa tổng quát phép hợp của 2 tập mờ.
Định nghĩa 2.12:

Cho A và B là 2 tập mờ trên không gian nền X , với hàm thuộc A ( x ) , B ( x )

tơng ứng. Cho S là một t-đối chuẩn. Phép hợp ( A S B ) là một tập mờ trên X với hàm
thuộc cho bởi biểu thức:
(ASB)(x) = S(A(x),B(x)),

xX.

Việc lựa chọn phép hợp, tơng ứng với t-đối chuẩn S nào tuỳ thuộc vào bài toán ta quan
tâm.
Ví dụ 2.8:

Cho U là không gian nền: U = [0,120] là thời gian sống.

A ={Những ngời ở tuổi trung niên}; B ={Những ngời ở tuổi thanh niên}.

Khi đó hợp của hai tập mờ A , B với T ( x , y ) = max( x , y ) và T ( x , y ) = max( 1 , x + y ) .
Chúng biểu diễn trên hình vẽ nh sau:

Dạng max

Dạng Lukasewicz

Bộ ba De Morgan:

Trong lý thuyết tập hợp luật De Morgan nổi tiếng sau đây đã đợc sử dụng nhiều nơi:
Cho A , B là hai tập con của X , khi đó

và

(AB)

C

= AC BC

( A B )

C

= AC BC

Có nhiều dạng suy rộng hai đẳng thức này. Sau đây một dạng suy rộng cho logic mờ.
Cho T là tchuẩn, S là tđối chuẩn, n là phép phủ định mạnh. Chúng ta nói
bộ ba ( T , S , n ) là một bộ ba De Morgan nếu thỏa mãn một trong 2 đẳng thức sau:

Định nghĩa 2.13:

S ( x , y ) = n ( T ( n ( x ) , n ( y ) ) ) hay
T(x,y) = n(S(n(x),n(y)))

25