Tổng hợp bài tập Nguyên hàm Tích phân và Ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (752.93 KB, 17 trang )
Tổng hợp bài tập
Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
Phương pháp đổi biến tính tích phân
Câu 1. Tính các tích phân sau
1
1)
ln 2
5
(3x 2)
7)
0
ln 2
5
3 6
x (1 x ) dx
8)
0
1
x
xe dx
2
9)
0
e x 1dx
3
10)
2 x2
3
0
x 1
dx
x 1
1
11)
dx
1 x3
0
1
x2
) dx
2 x3
1
2 x
x e dx
1
5)
(
0
1
4)
0
1
3)
ex 1
0
1
2)
dx
x 2 dx
2x 1
0
2
6)
x4 x 1
0 x 4 1 dx
Câu 2. Tính các tích phân sau
1
2
2
1)
5)
2
x dx
1 x2
0
x 2 dx
0 (1 x 2 )3
1
1
2)
x
dx
2
3
1
2
3)
3dx
(1 x 2 )5
4
x
3
1
dx
2
2
x
7
dx
8)
3
x
4 3x 2 dx
0
4 x2
7)
0
4)
6)
x 2 dx
x2 9
dx
(1 3x
0
(2 x 2 )3
2
9)
x
0
1
2 2
)
dx
x2 1
2
10)
1
dx
11)
x x2 1
2
x 2 dx
x2 4
0
3
Câu 3. Tính các tích phân sau
1)
9)
x ln 4 x dx
cos x
3
sin x dx
sn xtgx dx
xdx
3
0
4
12)
2 ln x
1 x dx
tg
3
xdx
4
(1 ln x) 2
1 x
e
x
0
e
x
3
e
e2
cos
0
sin x
dx
3
1 cos x
dx
4
11)
7)
5
2
0
6)
cos
0
3
5)
ln 2 x
2
10)
4)
1
0
3)
1 ln x
dx
x
8)
2
2)
e 3
etgx
0 cos2 x dx
4
13)
dx
4
x
tg
0
dx
1 ln x
Câu 4. Tính các tích phân sau
1)
sin
2
2 x cos xdx
3
5)
0
0
3
6)
cos x sin x
2 sin 2 x dx ;
0
4)
0
dx
cos x.
tgx
1 cos 2 x
3
7)
2
6 cos x 2
4
4
3)
2 sin 2 x 3 sin x
sin 3 x
0 sin x cos x dx;
2
2)
dx
sin 5 x cos 3 x
4
sin 2 x sin x
1 3 cos x
dx ;
2
8)
0
2
dx
cos x 2 sin x 3
dx
tg x
0 cos 2 x dx
9)
1 cos
14)
0
3
2
4
sin x
0 sin 3 x cos 3 x dx
10)
Ln(1 tgx )dx
15)
0
x sin x
0 1 cos 2 x dx
11)
x sin x sin 2 x
0 4 cos 2 x dx.
12)
x sin x cos
13)
x sin x
dx
2
x
2
3
6
2008
cos x sin x
dx
2 sin 2 x
16)
17)
sin 2 x 2 sin x
dx
xdx .
0
Câu 5. Tính các tích phân sau
1)
1 cos 2 x
dx
ex 1
5)
2)
x4
2 x 1dx
6)
1
3
3)
7)
2x
dx
2
0
1 x 2 1
4)
Câu 6. Tính các tích phân sau
e
1)
2
x.ln xdx
7)
1
2)
x
1
3
1
ln xdx
8)
ln x
dx
x2
1
9)
ln x
1 x5 dx
2
x 1 dx
e
10)
x ln(3 x ) dx
x ln x
2
dx
1
2
2
1
11)
2
6)
x ln x
0
3
5)
dx
2
1
2
4)
ln x 1
( x 2)
0
2
3)
ln 1 x dx
(2 x 1) ln x dx
x 1
1
2
1
3
ln x
2
dx
5
12)
x
2
e2
ln( x 1) dx
15)
2
13)
ln
x dx
1
4
1
ln x
dx
x
3
16)
x ln xdx
x2 1
1
e
14)
ln
3
1
xdx
17)
1
ln(
x 2 a 2 x)dx
1
Câu 7. Tính các tích phân sau
1)
5 x
x e dx
5)
x.e
x
dx
x
dx
2
6)
0
(x
2
1)e x dx
1
1
3)
( x 1) e
0
1
2)
1
2
e
2x
xdx
1
7)
0
1 x
2
e2 x dx
0
1
4)
xe
3x
dx
1
8)
0
xe x dx
ex 1
0
Câu 8. Tính các tích phân sau
2
1)
7)
x cos x dx
cos x dx
9)
sin
10)
x sin
0
x
2
cos x dx
0
xdx
xdx
2
x sin x dx
6
2
11)
0
2
x
2
x cos
2
2
xdx
12)
0
xdx
2
x
sn
4
x
xdx
cos
0
2
6)
e
x sin 3x dx
8)
0
5)
x
2
2
4)
sin x dx
3)
x
0
0
2)
e
2
1 sin xdx
13)
0
4
x cos x
dx
2
x
sin
2
2
xdx
0 1 sin 2 x
14)
cos x ln 1 cos x dx
19)
0
e
e
20)
0
ln sin x
cos 2 x dx
3
16)
x sin x
1 cos
cos(ln x)dx
15)
2
dx
x
x 2 sin 2 x
0 cos 4 x dx
4
21)
6
Câu 9. Tính các tích phân sau
0
cos 3 x
0 cos 4 x 3 cos 2 x 3 dx
e2
2
( x sin 2 x).e
1)
2
x
6)
dx
1 x 2 ln x
e 1 cos x dx
2)
2
1 sin x
1 cos x e
7)
x
dx.
0
2
3)
0
x sin 3x
dx
1 cos x
1
(2 x
8)
4)
0
2
x cos x tgx
dx
1 cos 2 x
ln x
2
1 x 1 ln x ln
2 cos
9)
2
dx
0
e2
x dx
1
ln
10)
2
e
x
x
x cos x .e sin x dx
2
1
dx
ln x
Câu 10. Tính các tích phân sau
2
1
x2 1
6) 4 dx.
1 x 1
2x 3
1) 2
dx
0 x 4x 4
1
x 1
2) 2
dx
0 x 2x 5
7)
x
x
(1 ln x)dx
1
x3
3) 2
dx
0 x 4x 5
8)
x2 1
dx.
4) 4
x 3x 2 1
9)
1
x ln(1 x
3
)dx
01
2
x sin x cos 2 xdx
0
1
5)
x 1
4
e
5)
2
0
4
x 1)e x
2
1 x4
0 1 x 6 dx
Câu 11. Tính các tích phân sau
5
e2 x 4
0 e x 2 dx
1
1)
17)
e
2)
3)
4)
5)
ln x
1 x dx
18)
19)
20)
21)
x 4 xdx
4
1
x
ln 3
dx
2
e
x
22)
1 x dx
x
1 x2
3
7
3
2
dx
x3dx
0
3
x
dx
x 1
7
0
7)
0
cos x
dx
1 4sin x
3
4
1
x4 2
x3 x dx
5
6)
sin xdx
5 cos x
0
x x 2dx
x 1
dx
3x 1
3
0
0
1
1
8)
23)
2
x
0 x 1 dx
0
1
9)
x
xdx
2x 1
1 xdx
x x 1 x dx
24)
25)
x
26)
x
27)
28)
x
3
x
0
1
10)
x3
0 x 1 dx
3
11)
x
3
2
0
x
dx
2x 1
12)
13)
dx
e x 4e x
14)
e x e x 2dx
1
x2
x x 3 dx
29)
15)
16)
x4 2 x2 x 2
x2 x 1 dx
dx
2x 9
xdx
1 x2
2
2x 3
dx
3x 5
2x
1 x
2
dx
0
2
1
x
1
e x 2 dx
xdx
2
2
30)
dx
x(1 x )
4
1
1
2
31)
6
x4
0 x 2 1 dx
ln 2
32)
0
1 ex
dx
1 ex
34)
x 2 3x 2
0 x 3 dx
35)
ln x. 3 1 ln 2 x
dx
1
x
13)
1
2
33)
e
2
3
x x 1dx
0
Câu 12. Tính các tích phân sau
1
1)
x 2 1dx
0
ln 3
1
2)
e
dx
ex
x
7
15)
dx
3
x 9
1 e2 x
x
17)
x 6 x5 x 4 2
x6 1 dx
18)
1 x2
1 1 x 4 dx
19)
x2 1
1 x 4 1 dx
20)
21)
1 sin
x4
1 x2 dx
1 x 2 dx
9 x 2 dx
x 2 3dx
1
x 2 dx
0 9 x 2
x 2 dx
0 4 x 2
2
2
10)
1 x2
0
11)
12)
x
3
22)
2
2
1 x
2
0
1
2
x2
cos x
1
1
9)
(a 0)
2
1
2
3
8)
2
2
3
7)
dx
a2
16)
dx
1
6)
4 x2
dx
x
2
1 e
0
5)
ex 1
0
x 2
1
dx
2
4
4)
14)
2x
0
3)
a 2 x 2 dx
23)
dx
1
x
2
x
e x dx
2
2
1
dx
x5
1
24)
0
1 x dx
2
7
dx
dx
x2 4
dx
1 x2
3
1
2
25)
1 x x
2
1 x2
0
dx
1 x
dx
1 x
1
28)
5
26)
x2 1
x 4 3x 2 1 dx.
27)
4
x 2 9dx
0
3
Câu 13. Tính các tích phân sau
2
2
1)
| x 1| dx
9)
2
| x
2
1
1| dx
10)
3
dx
x x 1
2
dx
x 1 x 1
0
2
3)
x
2
x dx
11)
0
3
4)
I x 3x 2 dx .
2
12)
x2 x2
1
3
13)
J 1 cos 2 x dx .
0
7)
x
dx
x 1
1
1
3
6)
1
2
0
5)
1 sin xdx
0
3
2)
14)
x3
0x
x 1
2
1
dx
2x 1 2x 1
tgx
1 cos 2xdx
0
8)
cos x
sin xdx
0
1
15)
1
5
3
x 1 x dx
6
16)
0
x 1 x
19
0
Câu 14. Tính các tích phân sau
1)
cos 3xdx
4
3
4)
4x
2 10 sin x dx
2
2)
3
5)
2
e
dx
x
sin
2
3)
cos x
.sin xdx
sin
0
0
8
2
dx
3x dx
dx
0
sin 3 x
0 cos2 x
3
21)
sin 3 x
0 cos4 xdx
22)
2
6)
7)
4
2
cos 4x dx
20)
3
3
sin x dx
0
2
8)
sin
5
x dx
0
2
2
9)
cos
5
23)
x dx
2
24)
2
sin
2
x cos3 xdx
0
cos3 x
0 cos x 1 dx
2
25)
2
cos x cos 4 xdx
0
sin x sin 2 x cos5xdx
2
12)
13)
sin 3x sin 4 x
tgx cot g 2 x dx
26)
2
27)
cos 2 x sin
x cos x dx
2
4
2
28)
3
cos
6
29)
3
30)
cos
3
x sin 3 x dx
2
4
x cos
4
sin
6
x cos x dx
6
31)
19)
0
2
sin x cos3 x
0 1 cos2 x dx
0
sin
cos x dx
1 2sin x
2
18)
0
x cos3xdx
17)
2 cos x
3 2sin x dx
0
dx
2 2
sin x.cos x
6
16)
sin x
1 3cos xdx
0
4
0
15)
cos x
1 sin x dx
0
14)
cos x
1 cos x dx
0
2
11)
dx
1 cos x
0
0
10)
sin x
dx ( const )
cos 2 x
cos xdx
1 cos 2 x
1 sin x .cos x.dx
3
2
32)
0
0
9
dx
1 sin 2 x
33)
2
2
sin 3x
0 cos x 1 dx
38)
4
35)
sin 3 x
0 cos2 x dx
39)
1 cos 2xdx
0
dx
sin 2 x 2sin x
3
40)
cos x sin x
dx
3 sin 2 x
4
2
36)
1 sin 2 x cos 2 x
dx
sin x cos x
6
34)
sin 2 x dx
0 (1 cos2 )2
2
37)
cos 2 x
cos x sin x dx
0
Câu 15. Tính các tích phân sau
1 sin x
sin 2 x dx
1)
8)
6
4
sin
3tg 2 x 2
sin 2 x dx
3
3
2)
3 2 c otg 2 x
cos2 x dx
3
3
4
2
x tgx dx
9)
0
6
4
3)
tg x.dx
2 3
2
10)
0
4)
cot g
5)
tg
2
3
xdx
xdx
11)
cos x 2sin x
0 4 cos x 3sin x dx
dx
0 cos4 x
12)
cos 2 xdx
sin x 3 cos x
4
4
6)
4
7)
sin 3 x sin x
cot gxdx
sin 3 x
1 tgx
dx
cos 2 x
4
Câu 16. Tính các tích phân sau
10
/ 2
2
sin x sin 2 x cos 5 x
dx
ex 1
1)
ln 2
1
2)
3)
2 x3x
9 x 4 x dx
cos x sin x
4
0
2
x4
1 2x dx
1
cos 4 x
6)
7)
0
/ 4
8)
dx
e 5
ln 1 tgx dx
0
sin 6 x cos6 x
dx
6x 1
/ 4
/ 2
5)
3
dx
x
/ 4
4)
4
/ 2
I
9)
x 2 sin x
/ 2
1 2
x
dx
sin xdx
sin x cos x
Câu 17. Tính các tích phân sau
4
1)
3
x 2 6 x 9 dx
4)
2
3
3
2)
2
| x2-4 | dx
5)
4
3
4
3)
x 2 x 2 dx
x
2
x dx
0
cos 2 x 1 dx
4
y x 2 2 x (1)
(2 )
Câu 18. Tính diện tích S hình phẳng (H) giới hạn bỡi y x 2
x 0
(3)
y 4 x 3.2 x
Câu 19. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bỡi :
y 2 0
(4)
(5)
Câu 20. Cho miÒn (A) giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè (P) y=-x2-1, tiÕp tuyÕn (d) víi (P) t¹i ®iÓm M(1;y0) thuéc (P) vµ trôc tung:
1) TÝnh diÖn tÝch cña miÒn (A).
2) TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay sinh ra khi quay (A) quanh trôc Ox, trôc Oy
Câu 21. MiÒn (B) giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cña hµm sè y
x 1
vµ hai trôc täa ®é.
x 1
1) TÝnh diÖn tÝch cña miÒn (B).
2) TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay sinh ra khi quay (B) quanh trôc Ox, trôc Oy
11
Cõu 22. Miền (D) giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y
x 1
và hai tiệm cận của (C) và hai
x 1
đ-ờng thẳng x=3, x=-3.
1) Tính diện tích của miền (D).
2) Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay (D) quanh trục Ox, trục Oy
Cõu 23. Miền (E) giới hạn bởi
y=ex ; y=lnx , x=1 , x=e .
1) Tính diện tích của miền (E).
2) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (E) quanh trục Ox.
thi ca mt s trng H
b
1)
x ln
2
xdx
4)
1
ln 2
2
x cos xdx
5)
2
e2x
dx
e 1
x
dx
3)
0
0
2/ 3 x
6)
sin xdx
0
/ 2
2)
cos x
x2 1
Cho hàm số: f(x) sin x.sin2x.cos5x
a) Tìm họ nguyên hàm của g(x).
b) Tính tích phân: I
2
f(x)
dx
x
e
1
2
0
/ 4
8)
0
1
9)
/3
x2 1
dx
x 1
1
7)
/3
cos x 2sin x
dx
4cos x 3sin x
12)
dx
sin x sin(x / 6)
/6
2
3dx
13)
ln(x 1)
x2
1
0
10)
tg 2 x cot g 2 x 2dx
/6
1 x3
1
11)
3
dx
x 4 4x 2 3
14)
0
0
12
dx
x 5. 1 x 2 dx
15)
1/ 9
0
/ 2
x
3x
5
sin 2 (2x 1)
x cos x
/ 2 4 sin
2
19)
0
sin x cos3 x
1 cos x
2
/ 4 cos
0x
2
27)
dx
2
I
/ 2
28)
/3
0
cos 2 x cos 2 2xdx
29)
/ 2
x
2
30)
sin x cos 2xdx
38)
x sin x
cos 2 x
dx
1
5
34)
40)
dx
dx
x
sin 4x
dx
sin 6 x cos6 x
5
e
41)
(1 x 3 )6 dx
ln x
2
1/ 2 (1 x)
/ 4
42)
dx
cos 2 x cos 4xdx
0
1
4sin x
(sin x cos x)
3
43)
dx
(1 x x
2 2
) dx
0
1
2
dx
0
1 xdx
/ 2
/ 4
x 2 2x 9
0
x 2 (1 x)
0
x 3x 10
31)
dx
x 2 2x 9
/ 4
1
39)
x 2x 2 10x 1
0
0
4
cos2x
1 2
2
I ln(x 1 x 2 ) dx
2
1
dx
1 sin xdx
0
2
37)
x 1
2
1 3
0
33)
x
sin x cosx 2 3
0
0
J
dx
0
x sin x cos xdx
24)
6
x3
25)
0
23)
sin 2 x
/ 4
22)
5cosx 4sin x
dx
(cosx sin x)3
/3
17)
dx
/ 2
0
1
x x 1
16)
x
x2 1
2
/2
1
dx
5
4x 1
dx
2
20)
21)
2
4
44)
sin x cos xdx
x(1 x)
0
0
13
19
dx
/2
cos6 x
sin 4 x dx
/ 4
45)
/ 2
46)
3sin x 4cos x
2
0
2
1
dx
55)
x 2x xdx
3
2
56)
x lg
0
1/ 2
sin x.cosx
dx
sin 2x cos2x
/ 2
sin x cos x
a 2 cos2 x b2 sin 2 x
0
57)
2/2
0
dx ; a,b 0 58)
/ 2
cos x ln(x 1 x 2 )dx
/ 2
/ 4
59)
x2
1 x2
0
51)
1
60)
x(2cos 2 x 1)dx
/ 4
54)
0
1
63)
4sin 3 x
1 cos 4 x
/ 2
62)
4sin 3 x
dx
1 cos x
/3
dx
sin 3 x sin x
sin 3 x
cot gxdx
dx
2 cos 2 x
1/ 3
dx
11 x
/ 2
64)
0
0
0
xdx
/ 4
x 4 x 2 1 dx
xdx
0
x
/ 2
2
(x 1)2
61)
1
53)
xtg
0
dx
0
52)
xdx
dx
1 cos x
1
50)
2
1
/ 4
49)
(1 x 2 )3 dx
0
0
48)
10
3
47)
3sin x 4cos x
65)
1 x2
0
cos x ln(1 cos x)dx
b
0
66)
0
14
dx
(2x 2 1) x 2 1
a x2
a x
2
2
dx
a
67)
2
2
2
x x a dx
,a 0
68)
0
0
2
69)
1
2
(x ln x) dx
73)
1
71)
1 sin 2x
2
1
74)
75)
dx
01 x
ln(1 x)dx
1
x 4 sin x
1
x2 1
/ 2
3dx
76)
3
0
1
1
2
x .sin xdx
79)
x
3
dx
dx
2 sin x cos x
1 x 2 dx
0
0
a
78)
e dx
1
cos x
0
77)
2 2x
2
3
ln 2 ln 2 x
dx
x
1
/ 4
72)
(1 x)
0
e
70)
x sin xdx
2 cos2 x
x
a 2 x 2 dx
2
(a 0)
0
/ 2
80)
(sin10 x sin10 x cos 4 x sin 4 x)dx
0
2
81)
1 x
2
82)
/ 2
xdx
2
x sin
3
83)
0
dx
sin x cos x
xdx
0
2
1
84)
dx
1 x
0
1
85)
86)
1
1
88)
x2 1
ln x
x2
7
(x 2 x)dx
0
2
87)
dx
2 x 1
2
x
x 2
(e sin x e x )dx
1
3
dx
89)
t 2 2t 1 dt
0
15
t3
2
90)
91)
92)
1
2
x dx
2
/2
1 3ln x.ln x
dx
x
e
ln x
3
x
1 x 1 dx
1
93)
0
/2
94)
0
sin 2x sin x
dx
1 3cosx
sin 2x.cosx
dx
1 cosx
1
95)
x 2 e
2x
dx
0
x5 2x3
3
96)
x 1
2
0
x4
2
97)
x5 1
0
/ 2
98)
0
1
99)
/8
2
106)
(x 3)3
1
/ 2
xdx
(x 1)3
107)
a
x 1
x 4 1 dx
108)
e
2a
2x
2
sin xdx
109)
/ 2
0
2
104)
a
0
103)
dx
dx
sin 2 x cos 2 x
dx
x 1 x 1
4sin 3 xdx
1 cos x
x 2 a 2 dx
0
0
102)
0
1 2
1
0
101)
105)
(3x 1)dx
0
100)
3 / 8
sin x cos x 1
dx
sin x 2cos x 3
dx
cos xdx
2 cos 2x
1 sin xdx
0
Một số đề thi ĐH dự bị
16
x 2 a 2 dx ,(a>0)
3
110)
1
/ 4
dx
x x3
0
ln 8
111)
e 1.e dx
x
124)
2x
ln 3
ln5
e2x
ln 2
e 1
x
1
2
112)
123)
1 2sin 2 x
dx
1 sin 2x
125)
x.sin xdx
dx
2
3 x
x e dx
0
0
x2 1
x ln xdx
1
e
1
113)
126)
x 1 xdx
0
e
114)
127)
2
ln x
dx
ln x 1
x
1
/2
(2x 1)cos
2
e
e
0
xe
x
0
118)
2x
129)
/ 4
1
3
6
131)
132)
1 cos x.sin x.cos xdx
5
121)
0
dx
x
cos2 x 4sin 2 x
dx
2x 1
4x 1
2
134)
x 2 ln xdx
1
xdx
1 cos2x
1
122)
sin 2x
2
x x 4
/ 4
ln xdx
6
2
5
2
/2
133)
120)
x
1
0
2 3
3
cosx dx
e
x 1 dx
3
sin x
0
dx
3
tgx e
0
/2
130)
x
1
119)
x4 x2 1
x2 4 dx
0
2
x3
x2 1 dx
0
ln 2
sin 2 xtgxdx
0
xdx
1
117)
128)
0
116)
3 x 1dx
0
/2
115)
x2
7
3
ln5
135)
1 x 2 dx
dx
dx
x
e
2e
3
ln3
10
136)
0
dx
x 1
x2
5
17
x
dx
