Chuyên đề tìm GTLN, GTNN qua phép biến đổi đại số

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

CHUYÊN ĐỀ 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN
DỰA TRÊN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
A. GIỚI THIỆU:
Dạng toán tìm GTLN, GTNN là một trong những dạng toán được xem là khó
và phức tạp, ta thường gặp trong các đề thi HSG toán 9.
Thế nhưng SGK cũng như chương trình toán phổ thông hiện hành lại không
đề cập tới dạng toán này, cũng như không giúp các em HS được tiếp cận và học được
cách giải các dạng toán này. Do đó người thầy cần phải vạch ra các hướng giải cho
các em, từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao.
Hôm nay trong buổi báo các tham luận, xin giới thiệu chủ đề “Một số phương
pháp tìm GTLN, GTNN dựa trên các phép biến đổi đại số”
Nội dung bài báo cáo cũng sưu tầm rất nhiều sách, nhiều tài liệu trên mạng và
chọn lọc sắp xếp lại theo các dạng cho khoa học và gần gũi với dạng đề thi toán
Violympic. Sưu tầm cách giải hay để có được nội dung như bài báo báo hôm nay.
Dạng tìm GTLN, GTNN tạm gọi là cực trị, thường gặp ở 2 dạng, một dạng
thông thường đơn giản là dùng phương pháp biến đổi đại số, một dạng cao hơn đó là
dùng bất đẳng thức côsi. Phần này do đơn vị THCS BL đảm trách.
Trong đề tài này chỉ giới hạn ở một số bài qua phép biến đổi đại số từ cơ bản
đến nâng cao. Phần lớn các em chưa tiếp cận với dạng toán này vì SGK phổ thông
hiện hành không có bài nào đề cập đến chủ đề này, nhưng dạng toán này lại gặp rất
nhiều trong các đề thi HSG toán. Do đó khi dạy cho các em cũng phải bắt đầu từ các
bài cơ bản đến nâng cao.
Trong chuyên đề này được sắp xếp các dạng bài từ dễ đến khó, không đưa vào
các dạng bài tìm GTLN, GTNN theo bđt côsi (BĐT Côsi viết riêng ở chuyên đề 2)

B. NỘI DUNG:
MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN
QUA PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

1


A = ax2 + bx + c

I. Dạng 1 : Biểu thức dạng
A. Lí thuyết:
Cách giải 1: (Biến đổi):

Nếu a > 0 , ta biến đổi A về dạng A = [f(x)]2 + k ≥ k
Khi đó MinA = k , và x = -b/2a
Nếu a < 0 , ta biến đổi A về dạng A = k - [f(x)]2 ≤ k
Khi đó MaxA = k , và x = -b/2a
B. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = -x2 + 3x – 5
A = -x2 + 3x – 5 = -(x2 – 3x + 5)

Giải:

2
2
2
 2

 2
3 3 3
3 3 9 
= −  x − 2.x. +  ÷ −  ÷ + 5 = −  x − 2.x. +  ÷ − + 5
2 2 2
2  2  4 




2
2

3  11 
3  11
11

= −  x − ÷ +  = −  x − ÷ − ≤ −
2
4 
2
4
4



Vậy Max A = −

11
3
khi x =
4
2

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B =

3 x 2 − 6 x + 28

KQ MinB = 5

Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức C =

− x2 + x +

3
4

2

C=

3
1

−x + x + = 1 −  x − ÷ ≤ 1 = 1
4
2

2

Vậy MaxC = 1 khi x =

1
2

Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức D = 4x – x2
Cách 1: Biến đổi 4x – x2 = – (x2 – 4x) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2 ≤ 4
MaxD = 4 khi x = 2

2


II. Dạng 2

A = g(f(x))

trong đó f(x) ≥ 0

A. Lí thuyết
Thông thường ta xác định một phần nào đó trong biểu thức là dương hoặc âm,
sau đó ta lần lượt nhân, chia, cộng, trừ với các số có liên quan đến biểu thức đó cho
đến khi biểu thức đúng với biểu thức đã cho.
B. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 10 − 4 x − 2
Giải
Ta có x − 2 ≥ 0
⇒−4 x −2 ≤ 0
⇒10 − 4 x − 2 ≤ 10

Vậy MaxA = 10 khi x = 2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 5 − 3(2 x − 1) 2
Giải
Ta có (2 x − 1) 2 ≥ 0
=> −3(2 x − 1) 2 ≤ 0
=> 5 − 3(2 x − 1) 2 ≤ 5
Vậy MaxB = 5 khi x =

1
2

1

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( x − 6) 2 + 3
Giải

Ta có

⇒ ( x − 6) 2 + 3 ≥ 3

( x − 6) 2 ≥ 0
1

1

=> ( x − 6)2 + 3 ≤ 3
Vậy MaxC =

1
khi đó x = 6
3
3

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = ( x + 2)2 + 4
Giải

Ta có

( x + 2) 2 ≥ 0
3

=> ( x + 2) 2 + 4 ≥ 4
3

=> ( x + 2)2 + 4 ≤ 4
Vậy Max D =

3
khi x = −2
4

3


Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 )
E = ( x − 1) ( x + 6 ) ( x + 2 ) ( x + 3)

Giải:

E = ( x2 + 5x − 6) ( x2 + 5x + 6 )
E = ( x 2 + 5 x ) − 36 ≥ −36
2

Vậy

MinE = -36 khi x = 0 hoặc x = -5

III. Dạng 3 Dạng phân thức

A
B

A. Lí thuyết
Cách giải: Biến đổi phân thức về các dạng sao cho có chứa bình phương của
biểu thức chứa x. Khi đó biểu thức chứa x là không âm.
B. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
A=

có

x 2 +8
x2 + 2

x 2 +8 x 2 + 2 + 6 x 2 + 2
6
6
=
= 2
+ 2
= 1+ 2
2
2
x +2
x +2
x +2 x +2
x +2
2
2
x ≥ 0 => x + 2 ≥ 2
6

6
6
=> 2
≤
<=> 1 + 2
≤ 3 +1 = 4
x +2 2
x +2

Vậy MaxA = 4 khi x = 0

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
Giải:

x 2 + 15 x + 16
3x

với x > 0

Ta biến đổi theo 2 hướng:
1) Hằng đẳng thức bình phương một tổng:
x 2 + 8 x + 16 + 7 x ( x + 4 ) + 7 x ( x + 4 )
7
C=
=
=
+
3x
3x
3x

3
2

Biểu thức (x + 4)2 nhỏ nhất khi x = -4 < 0

2

(loại)

2) Hằng đẳng thức bình phương một hiệu:
x 2 − 8 x + 16 + 23x ( x − 4 ) + 23 x ( x − 4 )
23 23
(do 3x > 0)
C=
=
=
+
≥
3x
3x
3x
3
3
23
Vậy MinC =
khi x = 4
3
2

2

4


3x 2 + 6 x + 10
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = 2
x + 2x + 3
Giải: (Chia đa thức tử cho đa thức mẫu) ta được:
3x 2 + 6 x + 10
1
1
D= 2
=3+ 2
= 3+
2
x + 2x + 3
x + 2x + 3
( x + 1) + 2
Xét tiếp (x + 1)2 ≥ 0 => (x + 1)2 + 2 ≥ 2

=>

với x > 0

1
1
≤
2
(x + 1) + 2 2

1
1
7
≤
+
3
=
(x + 1) 2 + 2 2
2
7
Vậy MaxD =
khi đó x = -1
2
=> 3 +

IV. Dạng 4 : Dạng tổng nhiều giá trị tuyệt đối:
A. Lý thuyết:
Dùng các tính chất:
(1)

x + y ≥ x + y để tìm GTNN
Dấu bằng xảy ra khi x.y ≥ 0

(2) Nếu có P = x − a + x − b
Thì MinP = b – a

(a < b)

khi a ≤ x ≤ b

(3) Nếu có Q = ax − b + ax − c
Thì MinQ = c – b

khi

b
c
≤x≤
a
a

(4) Nếu có R = ax + b + ax + c
Thì MinR = c – b

(b < c)

(b < c)

b
c
khi − ≤ x ≤ −
a
a

B. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A = 2 x − 5 + 2 x − 1
Giải: A = 2 x − 5 + 2 x − 1 = 2 x − 5 + 1 − 2 x ≥ 2 x − 5 + 1 − 2 x = −4 = 4
Vậy MinA = 4
5

Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức B = x − 1 + x − 2 + x − 3
Giải: Ta có x − 1 + x − 3 = x − 1 + 3 − x ≥ x − 1 + 3 − x = 2
Dấu “=” xảy ra khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0
x−2 ≥0
Suy ra



1≤x≤3

( x − 2 nhỏ nhất khi x = 2)

x −1 + x − 2 + x − 3 ≥ 2

Vậy MinB = 2 khi x = 2
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức C = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4
Giải:

Ta có

x −1 + x − 4 = x −1 + 4 − x ≥ x −1+ 4 − x = 3

Dấu “=” xảy ra khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0



1≤x≤4

x − 2 + x − 3 = x − 2 + 3− x ≥ x − 2 + 3− x =1

Dấu “=” xảy ra khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0



2≤x≤3

x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4 ≥ 3 + 1 = 4 khi 2 ≤ x ≤ 3
Vậy MinC = 4 khi 2 ≤ x ≤ 3
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức D =
Giải: D =

25 x 2 − 20 x + 4 + 25 x 2 =

25 x 2 − 20 x + 4 + 25 x 2

( 5x − 2)

2

+

( 5x )

2

= 5x − 2 + 5x = 2 − 5x + 5x ≥ 2 − 5x + 5x = 2
Vậy MinD = 2
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức E = 2 x − 5 + 2 x − 7
Theo (3) ta có MinE = 7 – 5 = 2 khi

5
7
≤x≤
2
2

Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức F = 3x + 5 + 3x + 7
7
5
Theo (4) ta có MinF = 7 – 5 = 2 khi − ≤ x ≤ −
2
2
6


Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức G = 1 − 6 x + 9 x 2 + 9 x 2 − 12 x + 4
Giải: G =

( 3x − 1)

2

+

( 3x − 2 )

2

= 3x − 1 + 3x − 2

= 3x − 1 + 2 − 3x ≥ 3x − 1 + 2 − 3x = 1
Vậy MinG = 1
Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức H = x − 1 + x − 2 + ... + x − 2014
Giải: Ta có
H = ( x − 1 + x − 2014 ) + ( x − 2 + x − 2013 ) + ... + ( x − 1007 + x − 1008 )
H = ( x − 1 + 2014 − x ) + ( x − 2 + 2013 − x ) + ... + ( x − 1007 + 1008 − x )
MinH = 2013 + 2011 + … + 1 = 10072
2

 k +1
HĐT 1 + 3 + 5 + … + k = 
÷
 2 

V. Dạng 5: Dạng hiệu hai giá trị tuyệt đối:
A. Lí thuyết:
Dùng các tính chất:
x − y ≤ x − y để tìm GTLN
Dấu bằng xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0
B. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức A = 3x + 5 − 3x + 7
Giải: Ta có A = 3x + 5 − 3x + 7 ≤ ( 3 x + 5 ) − ( 3 x + 7 ) = 2
Vậy MaxA = 2
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 5 x + 7 − 5 x − 2
Giải: Ta có B = 5 x + 7 − 5 x − 2 ≤ ( 5 x + 7 ) − ( 5 x − 2 ) = 9
Vậy MaxB = 9
7


2

2
Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức C = 4 x − 1975 − −4 x + 2025

2
2
Giải: Ta có C = 4 x − 1975 − −4 x + 2025
2
2
2
2
C = 4 x − 1975 − 4 x − 2025 ≤ ( 4 x − 1975 ) − ( 4 x − 2025 ) = 50

Vậy MaxC = 50
Bài 4: Tìm GTLN của các biểu thức (Giải tương tự)
a) D =

( 19 x + 5)

2

−

( 19 x − 8)

2

5
5
b) E = 19 x + 1890 − 19 x + 2014

VI. Dạng 6: Dạng tổng hai căn thức:

A+ B

A. Lí thuyết:
Để tìm GTNN ta dùng bất đẳng thức

A + B ≥ A + B (A ≥ 0 ; B ≥ 0)

Dấu “=” xảy ra khi A = 0 hoặc B = 0
Để tìm GTLN ta dùng bất đẳng thức Côsi:
Với A ≥ 0 ; B ≥ 0 thì A + B ≥ 2 A.B

hay 2 A.B ≤ A + B

dấu “=” xảy ra khi A = B
Phương pháp tìm GTLN của biểu thức dạng

A + B , ta bình phương biểu thức đó,

sau đó áp dụng BĐT Côsi 2 A.B ≤ A + B
Chú ý:
- Nếu a.b = k (không đổi) thì Min(a+b) = 2 k
- Nếu a + b = k (không đổi) thì Max(a.b) =

k2
4

B. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x − 3 + 5 − x

Giải:

ĐKXĐ 3 ≤ x ≤ 5
8

 a=b
 a=b


Ta có A = x − 3 + 5 − x ≥

( x − 3) + ( 5 − x )

= 2

Dấu “=” xảy ra khi x = 3 hoặc x = 5
Vậy MinA =

2 khi x = 3 hoặc x = 5

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + 12 + x − 4
Giải: ĐK x ≥ 4 Thay x = 4 vào biểu thức A = 4 + 0 = 4
Vậy MinA = 4
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x − 12 + x − 4
Giải: ĐK x ≥ 12 Thay x = 12 vào biểu thức B = 0 + 8 = 8
Vậy MinB =

8

Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức B = 20 x − 414 + 2014 − 20 x

Bài 5: Cho x + y = 15. Tìm GTNN của biểu thức C = x − 4 + y − 3

VII. Dạng 7: Dạng hiệu hai căn thức:

A− B

A. Lí thuyết:
Dùng bất đẳng thức

a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥ 0) để tìm GTLN

Dấu “=” xảy ra khi b = 0 hoặc a = b
B. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức A = x + 1 − x − 8
Giải:

Ta có A = x + 1 − x − 8 ≤

( x + 1) − ( x − 8)

= 9 =3

Dấu “=” xảy ra khi x – 8 = 0  x = 8
Vậy MaxA = 3 khi x = 8
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 12 x + 1012 − 12 x − 1013
Giải: Ta có
9


( 12 x + 1012 ) − ( 12 x − 1013)

B = 12 x + 1012 − 12 x − 1013 ≤

= 2025 = 45

Vậy MaxB = 45

VIII. Dạng 8 : Dạng hai biến
a. Dạng hai biến đơn giản
Cách giải: Biến đổi biểu thức đã cho về dạng tổng bình phương của các đa thức.
2
2
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y − 2 x + 6 y + 11
Giải : A = x 2 + y 2 − 2 x + 6 y + 11 = x 2 − 2 x + 1 + y 2 + 6 y + 9 + 1

= ( x − 1) + ( y + 3) + 1 ≥ 1
2

Vậy MinA = 1

2

khi x = 1 và y = -3

2
2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x + y − 2 x − 4 y + 7
Giải tương tự, kết quả MinB = 2 khi x = 1 và y = 2
2
2

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 5 − x + 2 x − 4 y − 4 y
2
2
2
2
Giải: C = 5 − x + 2 x − 4 y − 4 y = 5 − ( x − 2 x + 4 y + 4 y )

C = 7 − ( x 2 − 2 x + 1 + 4 y 2 + 4 y + 1) = 7 − ( x − 1) − ( 2 y + 1) ≤ 7
1
Vậy MaxC = 7 khi x = 1 và y = −
2
2

2

2
2
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = x + 5 y − 2 xy + 4 y + 3

Giải:

D = x 2 + 5 y 2 − 2 xy + 4 y + 3
D = x 2 − 2 xy + y 2 + 4 y 2 + 4 y + 1 + 2
D = ( x − y ) + ( 2 y + 1) + 2 ≥ 2
2

2

Vậy MinD = 2 khi x = y = −

1
2

2
2
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = ( x − 2 x ) ( x − 2 x + 2 )

Giải: Đặt t = x2 – 2x
Ta có E = t(t + 2) = t2 + 2t = t2 + 2t +1 – 1 = (t + 1)2 – 1 ≥ -1
MinE = -1 khi t = -1  x2 – 2x = -1  (x – 1)2 = 0  x = 1
Vậy MinE = -1 khi x = 1
2
2
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = x + 5 y − 4 xy + 10 x − 22 y + 28

10


2
2
Giải: F = x + 5 y − 4 xy + 10 x − 22 y + 28

F = x 2 − 4 xy + 4 y 2 + y 2 − 2 y + 1 + 10 x − 20 y + 27
F = ( x − 2 y ) + ( y − 1) + 10 ( x − 2 y ) + 27
2

2

F = ( x − 2 y ) + 2.5 ( x − 2 y ) + 25 + ( y − 1) + 2
2

2

F = ( x − 2 y + 5 ) + ( y − 1) + 2 ≥ 2
2

2

MinF = 2 khi y = 1 và x – 2.1 + 5 = 0
Hay MinF = 2 khi x = -3 và y = 1

b. Dạng hai biến phức tạp
A. Lí thuyết:
Qui ước các hệ số trong biểu thức như sau
f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + g
Tính Δ = b2 – 4ac
a) Nếu Δ > 0 thì biểu thức không có GTLN cũng không có GTNN
b) Nếu ∆ < 0 :
ae 2 − bde + cd 2
∆
2cd − be
2ae − bd
; y0 =
Và x0 =
∆
∆
2
ae − bde + cd 2
+ Nếu a, c < 0 : maxf(x, y ) = g +
∆

2cd − be
2ae − bd
; y0 =
Và x0 =
∆
∆
c) Nếu ∆ = 0:
d2
− NÕu b ≠ 0 , 2ae = bd vµ a > 0 : minf(x, y ) = g −
4a
2ax o + d
vµ x o tuú ý ; y o = −
b
d2
− NÕu b ≠ 0 , 2ae = bd vµ a < 0 : maxf(x, y ) = g −
4a
2ax o + d
vµ x o tuú ý ; y o = −
b
e2
− NÕu a = b = 0 , 2cd = be vµ c > 0 : minf(x, y ) = g −
4c2
e
− NÕu a = b = 0 , 2cd = be vµ ce < 0 : maxf(x, y ) = g −
vµ x o tuú ý ; y o = −
4c
2c
11
e
vµ x o tuú ý ; y o = −

2c
+ Nếu a, c > 0 :

minf(x, y ) = g +


d2
− NÕu b = c = 0 , 2cd = be vµ a > 0 : minf(x, y ) = g −
4a
d
vµ y o tuú ý ; x o = −
2a
d2
− NÕu b = c = 0 , 2cd = be vµ a < 0 : maxf(x, y ) = g −
4a
d
vµ y o tuú ý ; x o = −
2a
B. Các ví dụ
1) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
A = 2x2 - 3xy + y2 + 5x - 7y +1
Giải
Ta có
a = 2 ; b = -3 ; c = 1 ; d = 5 ; e = -7 ; g = 1.
∆ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4.2.1 = 1 > 0
Vậy A không có GTLN cũng không có GTNN
2) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
B = x2 - 2xy + 3y2 - 4x + 8y – 7
Giải
Ta có

a = 1 ; b = -2 ; c = 3 ; d = -4 ; e = 8 ; g = -7.
∆ = b2 - 4ac = (-2)2 + 4.1.3 = -8 < 0.
Vì ∆ < 0 và a,c > 0
ae 2 − bde + cd 2
minf(x, y ) = g +
∆
2
1.8 − (−2).( −4).8 + 3.( −4) 2
= −7 +
= −13
−8
2cd − be 2.3.(−4) − (−2).8
=
=1
∆
−8
2ae − bd 2.1.8 − (−2).( −4)
y0 =
=
= −1
∆
−8
x0 =

minf(x,y)= - 13 ; x = 1 và y = -1
3) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
C = -4x2 +12x - 9y2 - 4x + 6y + 8
Giải
Ta có
a = - 4 ; b = 12 ; c = -9 ; d = -4 ; e = 6 ; g = 8.

12


∆ = b2 - 4ac = (12)2 + 4.(-4).(-9) = 144-144 = 0.
Vì ∆ = 0 và a,c < 0 ; 2ac = bd = -48 nên:

d2
( −4) 2
max f ( x, y ) = g −
=8−
8 − ( −1) = 9
4a
4.( −4)
xo tùy ý

2axo + d
2.(−4).xo + (−4) 2 xo + 1
=−
=
b
12
3
2 x + 1 2.1 + 1
=
=1
Chọn x o = 1 ⇒ y o = o
3
3
yo = −

C. LỜI KẾT
Trên đây là một số dạng bài toán tìm GTLN, GTNN ở mức độ cơ bản dùng để
giúp các em buổi đầu thực hành làm quen với dạng toán này. Trong tài liệu này chỉ
giới thiệu đến một số dạng bài tập tìm GTLN, GTNN qua phép biến đổi đại số, không
sử dụng đến BĐT Côsi nên có phần đơn giản hóa các dạng bài tập. Tuy nhiên tài liệu
cũng thể hiện được cụ thể hóa các dạng bài tập và được sắp xếp theo từng phần có
cách giải gần như giống nhau. Do thời gian có hạn nên không thể nghiên cứu đào sâu
các dạng nâng cao hơn nữa. Tài liệu soạn chưa thật kỹ lắm nên chắc có nhiều thiếu
sót, mong các đồng nghiệp vui lòng góp ý để các bài viết sau được hay hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Cái dầu, ngày 15/10/2016
GV soạn

Trương Hùng Phương

13