Phân dạng và bài tập bất đẳng thức, GTLN GTNN Trần Quốc Nghĩa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.71 MB, 58 trang )

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

1

Phần 1
BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Phần 1. BẤT ĐẲNG THỨC. GTLT - GTNN ............................................. 1
Chủ đề 1. BẤT ĐẲNG THỨC ..................................................................... 2
Dạng 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất ................ 5
Dạng 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) .............. 10
Dạng 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz ................ 17
Dạng 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S.................................... 19
Dạng 5. Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ ................................ 21
Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối ........................................... 23
Dạng 7. Sử dụng phương pháp làm trội .............................................. 25
Dạng 8. Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT .................................... 28
Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức ......................................... 30
Chủ đề 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ..................... 35
Dạng 1. Dùng tam thức bậc hai............................................................. 35
Dạng 2. Dùng BĐT Cauchy ................................................................... 37
Dạng 3. Dùng BĐT C.B.S ....................................................................... 41
Dạng 4. Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối ..................................... 43
Dạng 5. Dùng tọa độ vectơ .................................................................... 44
Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN ......................................... 45
BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 1 ................................................................. 49
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 1 ......................................................... 55

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

Chủ đề 1

2

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
Tóm tắt lí thuyết

1. Tính chất:
Điều kiện

Nội dung

Cộng hai vế với số bất kì

a
(1)

Bắc cầu

a < b và b < c  a < c

(2)

c>0

a < b  ac < bc

(3a)

c<0

a < b  ac > bc

(3b)

Nhân hai vế

Cộng vế theo vế các BĐT
cùng chiều
Nhân 2 vế BĐT khi biết nó
dương: a > 0, c > 0
Nâng lên lũy
thừa với n 



a  b
 ac bd
c  d
0  a  b
  ac  bd
0  c  d

(4)
(5)

Mũ lẻ

a  b  a 2n1  b2n1

(6a)

Mũ chẵn

0  a  b  a 2 n  b2 n

(6b)

a0

ab a  b

(7a)

a bất kỳ

ab 3 a  3 b

(7b)

Lấy căn hai vế

Nghịch
đảo

a, b cùng dấu
a, b khác dấu

1 1

a b
1 1
ab 
a b
ab

(8a)
(8b)

 Lưu ý:
 Không có qui tắc chia hai về bất đẳng thức cùng chiều.
 Ta chỉ nhân hai vế bất đẳng thức khi biết chúng dương.
 Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi.
2. Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác:

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

3

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta có:
 a b  c  a b
 a, b, c  0




bc  a  bc

ca b  ca

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
  x  x  x , với mọi số thực x


x  0; x  x; x   x , với mọi số thực x



x  a  a  x  a với a  0
x  a  x  a hoặc x  a với a  0



 Định lí:  a, b ta có:

a  b  ab  a  b

.

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
(Bất đẳng thức Cô-si hay AM-GM)
 Định lí: Với hai số không âm a, b ta có:
ab
ab
 ab hay a  b  2 ab hay 
  ab
2

 2 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
2

 Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì
tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Tức là với hai số dương a, b có a + b = S không đổi thì:

S2
S2
2 ab  S  ab 
 (ab) Max 
, đạt được khi a = b
4
4
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi
thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
 Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì
tổng của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Tức là với hai số dương a, b có a. b = P không đổi thì:
a  b  2 P  (a  b) M in  2 P , đạt được khi a = b

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện
tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

4

 Mở rộng:
① Với các số a, b, c không âm, ta có:
abc 3
abc
 abc hay a  b  c  3 3 abc hay 
  abc
3
3


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
3

② Với n số a1, a2, a3, …, an không âm, ta có:

a1  a2  a3  ...  an n
 a1a2 a3 ...an
n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = … = an.
5. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (chứng minh trước khi dùng)
 Dạng tổng quát:
Cho 2n số thực tùy ý a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn,khi đó:
 Dạng 1:

(a1b1  a2b2  ...  anbn )2  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 )
Dấu “=” xảy ra 

a1 a2
a


 ...  n .
b1 b2
bn

 Dạng 2:

a1b1  a2b2  ...  anbn  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 )
Dấu “=” xảy ra 

a1 a2
a
  ...  n .
b1 b2
bn

 Dạng 3:

a1b1  a2b2  ...  anbn  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 )
Dấu “=” xảy ra 

a1 a2
a

 ...  n  0 .
b1 b2
bn

 Hệ quả:
 Nếu a1x1  a2 x2  ...  an xn  c là hằng số thì:
x

x x
c2
min( x  x  ...  x )  2
 1  2  ...  n
2
2
a1  a2  ...  an
a1 a2
an
2
1

2
2

2
n

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

5

 Nếu x12  x12  ...  xn2  c 2 là hằng số thì:
max(a1 x1  a2 x2  ...  an xn )  c a12  a22  ...  an2



x
x1 x2

  ...  n  0
a1 a2
an

max(a1 x1  a2 x2  ...  an xn )   c a12  a22  ...  an2


x
x1 x2
  ...  n  0
a1 a2
an

 Trường hợp đặc biệt:
Cho a, b, x, y là những số thực, ta có:
 Dạng 1: (ax  by)2  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) .
Dấu “=”

a b
 .
x y

 Dạng 2: ax  by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) .
a b
Dấu “=”  .
x y
 Dạng 3: ax  by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) .
Dấu “=”

a b

  0.
x y

Phương pháp giải toán

Dạng 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để chứng minh A  B bằng định nghĩa, ta lựa chọn theo các hướng sau:
Hướng 1. Chứng minh A – B  0
Hướng 2. Thực hiện các phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức
ban đầu về một bất đẳng thức đúng.

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

6

Hướng 3. Xuất phát từ một bất đẳng thức đúng.
Hướng 4. Biến đổi vế trái hoặc vế phải thành vế còn lại.
Chú ý: Với các hướng 1 và hướng 2 công việc thường là biến đổi A – B
thành tổng các đại lượng không âm. Và với các bất đẳng thức A – B  0
chúng ta cần chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào ?
B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.1

Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
① a 2  b2  2ab
③ a2  b2  c2  ab  bc  ca

② a2  b2  1  ab  a  b
a ac
a
④ Nếu  1 thì 
b bc
b

⑤ a3  b3  a 2b  b2 a  ab(a  b)
⑥

a 2  x2  b2  y 2  (a  b)2  ( x  y)2

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

7

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.1

Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
① a 2  b2  c2  3  2(a  b  c)

② a 2  b2  c2  2(ab  bc  ca)

a2
 b2  c 2  ab  ac  2bc
4
④ a4  b4  c2  1  2a(a 2b  a  c  1)
③

⑤ a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a 2 )  6abc
⑥ a2  b2  c2  d 2  e2  a(b  c  d  e)
1 1 1
1
1
1


⑦   
, với a, b, c  0
a b c
ab
bc
ca
⑧ a  b  c  ab  bc  ca , với a, b, c  0
1.2

Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

8

a 3  b3  a  b 
①

 , với a, b  0
2
 2 
3

② a4  b4  a3b  ab3
③ a 4  3  4a2
④ a3  b3  c3  abc , với a,b,c  0

a 6 b6
a2  3
,
với
a,
b

0
⑥

2
b2 a 2
a2  2
1
1
2

⑦
, với a, b  1


2
2
1  a 1  b 1  ab
⑧ (a5  b5 )(a  b)  (a 4  b4 )(a 2  b2 ) , với ab  0
⑤ a 4  b4 

1.3

Cho a, b, c, d , e . Chứng minh a 2  b2  2ab (1). Áp dụng bất
đẳng thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau:
① (a 2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc
② (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d 2  4)  256abcd
③ a4  b4  c4  d 4  4abcd

1.4

Cho a, b, c  . Chứng minh a 2  b2  c 2  ab  bc  ca (2). Áp
dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh các bất đẳng thức sau:
① (a  b  c)  3(a 2  b2  c 2 )

② a 4  b4  c4  abc(a  b  c)

③ (a  b  c)  3(ab  bc  ca)

a 2  b2  c 2  a  b  c 


④

3
3



2

⑤

2

abc
ab  bc  ca

, với a, b, c  0
3
3

⑥ a4  b4  c4  abc , với a  b  c  1
1.5

a ac
a
 1 thì 
(3).
b bc
b
Áp dụng bất đẳng thức (3) để chứng minh các bất đẳng thức sau:

Cho a, b, c, d  0 . Chứng minh rằng: nếu

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

9

a
b
c


2
ab bc ca
a
b
c
d
② 1



2
a bc bcd cd a d a b
ab
bc
cd
d a
③ 2




2
abc bcd cd a d a b

①

1.6

Cho a, b, c  . Chứng minh a3  b3  a 2b  b2 a  ab(a  b) (4).
Áp dụng bất đẳng thức (4) để chứng minh các bất đẳng thức sau:
①
②
③
④
⑤

1.7

a 3  b3 b3  c 3 c 3  a 3


 2(a  b  c)
ab
bc
ca
1
1
1

1
, a, b, c  0
 3 3
 3

3
3
3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
1
1
1
 3 3
 3
 1 , với abc  1
3
3
a  b  1 b  c  1 c  a3  1
1
1
1


 1 , với a, b, c  0 và abc  1
a  b 1 b  c 1 c  a 1
3

4  a3  b3   3 4  b3  c3   3 4  c3  a3   2(a  b  c) ,

a, b, c  0

Cho a, b, x, y 
xki):

. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min-côp-

a 2  x 2  b2  y 2  (a  b)2  ( x  y)2 (5). Áp dụng (5):

① Cho a, b  0 thỏa a  b  1. Chứng minh: 1  a 2  1  b2  5
② Tìm GTNN của P  a 2 

1
1
 b 2  2 , với a, b  0
2
b
a

③ Cho x, y, z  0 thỏa x  y  z  1 .
Chứng minh:

x2 

1
1
1
 y 2  2  z 2  2  82
2
x
y
z

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

10

Dạng 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM)


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Các dạng của bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):


 x  y  2 xy ①
 Với x, y  0 thì 
. Dấu “=” xảy ra khi x  y .
2
2

 x  y  2 xy ②
 Với x, y 

 x  y 2
 xy ③

thì  2 
.Dấu “=” xảy ra khi x  y .

2
( x  y )  4 xy ④

 x  y  z  3 3 xyz ⑤

 Với x, y, z  0 thì  x  y  z 3
. Dấu “=” khi x  y  z

xyz
⑥


3



B. BÀI TẬP MẪU
Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và
ngược lại:
VD 1.2 Cho a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:

① (a  b)2  4ab
1 1
4
③  
a b ab

② 2(a 2  b2 )  (a  b)2
1 1 1
9
④   
a b c abc

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

11

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

Loại 2: Tách cặp nghịch đảo
VD 1.3 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a b

  2  a, b  0 
b a
x
2
③ 
 3  x  2 
2 x2

①

x 18
  6  x  0 
2 x
1 10
④ a 
 a  3
a 3

②

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

1 1 1
9
    9 hay   
(2)
x y z x yz
x y z

 x  y  z

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z
VD 1.4 Cho a, b  0 . Chứng minh

1 1
4
(1). Áp dụng bất đẳng
 
a b ab

thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 1 1
1
1 
 1


①    2
  a, b, c  0 
a b c
 a b bc ca 
1

1
1
1
1
1




 2


②

ab bc ca
 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 
 a, b, c  0
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và
ngược lại:
1.8

Cho a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
① a 2  b2  2ab
1 1 1
③ ( a  b  c)      9
a b c

② (a  b)(1  ab)  4ab
1 1

④ ( a  b)     4
a b

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

 a  b  c 
⑤ 1  1  1    8
 b  c  a 

⑥

⑦ (1  a  b)(a  b  ab)  9ab ⑧
⑨ 3a3  7b3  9ab2
⑪
1.9



a b



2

14

1 1 1 1
16
   

a b c d a bcd



a b



8

 64ab(a  b)2

⑩ (a  b)(b  c)(c  a)  8abc

a4
 2, a  3
a3

⑫

 2 2(a  b) ab

Cho a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
① a  b  c  ab  bc  ca
② ab  bc  ca  abc
③



a b c

ab bc ac
 
 abc
c
a b

⑤ ab 

a b
  a  b 1
b a



④

a b
c 1 1 1
 
  
bc ca ab a b c

⑥

a 3 b3 c 3
   ab  bc  ca
b c a

1.10 Cho a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a 3 b3 c 3
   abc
b2 c 2 a 2

①

a 2 b2 c 2
   abc
b c a

③

a 3 b3 c 3 a 2 b 2 c 2
a 3 b3 c 3





 
 abc
④
b2 c 2 a 2 b c a
bc ca ab

⑤

a 3 b3 c 3
   ab  bc  ca

b c a

②

⑥

a 5 b5 c 5
 3  3  a 2  b2  c 2
3
b c a

Loại 2: Tách cặp nghịch đảo
1.11 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
① a
③

1 9

a2 4

x 8
6
x 1

 a  2 

 x  1

a2  2

 2  a  
a2  1
1
 3  a  b  0 
④ a
a ( a  b)

②

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

15

Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):
1.12 Cho a, b  0 . Chứng minh

1 1
4
(1). Áp dụng bất đẳng
 
a b ab

thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c  0 :
①

1 1 1
1
1 
 1

   2



a b c
 ab bc ca 

②

1
1
1
1
1
1




 2



ab bc ca
 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 

③

1 1 1
1

1
1


 1 với    4
2a  b  c a  2b  c a  b  2c
a b c

④

ab
bc
ca
a bc



ab bc ca
2

1.13 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng:

1
1
1
1 1 1


 2   

p a p b p c
a b c

1.14 Cho a, b, c  0 . Chứng minh

1 1 1
9
(2). Áp dụng
  
a b c a bc

bất đẳng thức (2) để chứng minh các bất đẳng thức sau:
①

2
2
2
9



 a, b, c  0 
a b bc c a a bc

1
1  3
 1


②  a 2  b2  c 2  

  (a  b  c)  a, b, c  0 
 ab bc ca  2
x
y
z
3


  x  y  z  0; x  y  z  1
③
x 1 y 1 z 1 4
1
1
1
 2
 2
 9  a, b, c  0 
a  2bc b  2ac c  2ab
1
1
1 1
    30  a, b, c  0 
⑤ 2
2
2
a  b  c ab bc ca

④

2

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy:
1.15 Cho x  2014 . Chứng minh bất đẳng thức sau:
x  2013
x  2014
1
1



x2
x
2 2015 2 2014


a  x  2013  0
HD: Đặt 

b  x  2014  0
1.16 Cho x, y, z  0 . Chứng minh bất đẳng thức sau:

x
y
z
3




2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 4
a  2 x  y  z  0

HD: Đặt b  x  2 y  z  0
c  x  y  2 z  0


16

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

17

Dạng 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Thực chất bất đẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất
đẳng thức Bunhiacôpski mà ở đây dễ dàng hình dung, tạm gọi là bất
đẳng thức cộng mẫu số.
1. Cho a, b  và x, y  0 . Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho bộ hai

 a b 
số: 
;
,
 x y 








x , y ta được:

Bunhiacôpski 

 a 2 b2 
a
b
a 2 b 2 (a  b) 2

x

y

.
x

.
y

 







 x

y
x
y
x y
y
 x


(1)
2. Cho a, b, c  và x, y, z  0 . Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho bộ

 a b c 
ba số: 
;
,
,
 x y z 







x , y , z ta được:

Bunhiacôpski 

 a 2 b2 c 2 
a
b
c
. x
. y
. z
     x  y  z   

y z 
y
z
 x
 x


a 2 b 2 c 2 (a  b  c) 2
(2)

  
x
y z
x yz

B. BÀI TẬP MẪU
a2
b2
c2

abc



VD 1.6 Chứng minh:
, với a, b, c  0
bc ca a b
2
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

18

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.17 Chứng minh:
a
b
c
①


 1 , với a, b, c  0
b  2c c  2a a  2b
a
b
c
3
②


 , với a, b, c  0
bc ca a b 2

a3
b3
c3
a 2  b2  c 2
, với a, b, c 



bc c a a b
2

a
b
c
9



④
, với a, b, c  0
2
2
2
(b  c) (c  a) (a  c)
4(a  b  c)
③

⑤

a2
b2
c2


 1 , với a, b, c  0 và a  b  c  3 .
a  2b2 b  2c 2 c  2a 2

1.18 Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
①

a2

b2
c2


 abc
bc a c  a b a bc

②

a3
b3
c3


 a 2  b2  c 2
bc a c  a b a b c

1.19 Với a, b, c  0 và a  b  c  3 . Chứng minh rằng:
a
b
c


1
a  2bc b  2ac c  2ab
a
b
c



1
②
2a  bc 2b  ac 2c  ab

①

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

19

Dạng 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho a, b, c, x, y, z 

Cho a, b, x, y 

① (ax  by)  (a  b )( x  y ) ❶
(ax  by  cz)2  (a2  b2  c2 )( x2  y 2  z 2 )
a b

a b c
Dấu “=”xảy ra khi x y
 
Dấu “=”xảy ra khi x y z
2

②

2

2

2

2

ax  by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) ❷
ax  by  cz  (a 2  b2  c2 )( x2  y 2  z 2 )

a b

x
y
Dấu “=”xảy ra khi

③

a b c
 
Dấu “=”xảy ra khi x y z

ax  by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) ❸

ax  by  cz  (a 2  b2  c2 )( x 2  y 2  z 2 )
a b
 0
a b c

Dấu “=” xảy ra khi x y
  0
x
y z
Dấu “=” xảy ra khi

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.7 Chứng minh rằng nếu x  y  1 thì 3x  4 y  5
2

2

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

20

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.20 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
① Nếu x2  y 2  1 thì 3x  4 y  5
② Nếu x2  2 y 2  8 thì 2 x  3 y  2 17
③ Nếu x 2  4 y 2  1 thì x  y 

5
2

④ Nếu 36 x 2  16 y 2  9 thì y  2 x 

5
4

1.21 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
① Nếu x [1; 3] thì A  6 x 1  8 3  x  10 2
② Nếu x [1; 5] thì B  3 x  1  4 5  x  10
③ Nếu x [  2; 1] thì C  1  x  2  x  6
④ Nếu x [4; 13] thì D  2 x  4  13  x  3 5
1.22 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
① Nếu x2  y 2  1 thì x  2 y  5
② Nếu 3x  4 y  1 thì x 2  y 2 

1
25

③ Nếu 4 x  3 y  15 thì x2  y 2  9

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

21

Dạng 5. Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. a  ( x; y)  a  x 2  y 2
2. AB 

 xB  xA    yB  yA 
2

2

3. AB  BC  AC , dấu “=” xảy ra khi B nằm giữa A và C.
4. u  v  u  v  u  v , dấu “=” xảy ra khi u , v cùng hướng
5. u  v  w  u  v  w , dấu “=” xảy ra khi u , v , w cùng hướng
6. u.v  u . v

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.8 CMR:

(a  c)2  b2  (a  c)2  b2  2 a 2  b2 , với a, b, c 

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.23 Chứng minh bất đẳng thức sau:
①

a 2  4b2  6a  9  a 2  4b2  2a  12b  10  5 ,với a, b, c 

②

a 2  ab  b2  a 2  ac  c 2  b2  cb  c 2 , với a, b, c 

③

(a  b)2  c 2  (a  b)2  c 2  2 a 2  c 2 , với a, b, c 

④ 1  x2  x  1  x2  x  1  1 , với x 
⑤

c(a  c)  c(b  c)  ab , với a  c  0, b  c

22

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

23

Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.  x  x  x , với mọi số thực x
2. x  0; x  x; x   x , với mọi số thực x
3. x  a  a  x  a với a  0
4. x  a  x  a hoặc x  a với a  0

a  b  ab  a  b
5. Định lí: a, b ta có:

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.9 Với các số a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:

① ab  a  b

② a b  a  b

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

24

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1.24 Với các số a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:
① abc  a  b  c
③

a b
1 a  b



a
1 a



b
1 b

② a b  b c  a c
④

ab
1 a  b



ab
1 a  b

1.25 Chứng minh rằng:
① a  2 a  b với a  2 b

② Nếu x  y  0 thì

x

y

x 1 y 1

1.26 Chứng minh rằng: x  x  0 với mọi x  R.
Áp dụng: Chứng minh rằng
x 

x  x 2  x  1 xác định với mọi

.

1.27 Chứng minh rằng:
① Nếu a  1 , b  1  10 , a  c  10 thì ab  c  20 .
② Nếu a  1 , b  1 thì a  b  1  ab .

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

25

Dạng 7. Sử dụng phương pháp làm trội


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Phương pháp:
Để chứng minh A  B , ta làm trội A thành C ( A  C ), trong đó C là
dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn, sau đó chứng minh
C  B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B).
 Phương

pháp
chung
để
tính
tổng
hữu
hạn
Sn  a1  a2  a3  an là cố gắng biểu diễn mỗi nhân tử ak của
S n dưới dạng hiệu 2 số hạng liên tiếp nhau ak  mk – mk 1 . Khi
đó:
Sn   m1 – m2    m2 – m3    mn – mn1   m1 – mn1
 Phương pháp chung để tính tích hữu hạn Pn  a1.a2 .a3. an là cố
gắng biểu diễn mỗi nhân tử ak của Pn dưới dạng thương 2 số
m
hạng liên tiếp nhau ak  k . Khi đó:
mk 1
m
m m
m
Pn  1  2   n  1
m2 m3
mn1 mn1

2. Ví dụ:
① CMR:

Ta có :

1
1

1



1.2 2.3 3.4
1 1 1
 
1.2 1 2
1
1 1
 
2.3 2 3

1
 1 với n  *
n(n  1)
Giải




1
1
1
 
n(n  1) n n  1

(1)

Phân dạng và bài tập bất đẳng thức, GTLN GTNN Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về