giáo án phụ đạo toán lớp 11

Đề cương phụ đạo toán 11
TUẦN 1 (2 tiết):
CHỦ ĐỀ 1: ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
1. Cung đối nhau : α và -α
2. Cung bù nhau : α và π-α

(tổng bằng 0)
( tổng bằng π )

π
π
− α ( tổng bằng )
2
2
π
π
4. Cung hơn kém
: α và + α
2
2
3. Cung phụ nhau : α và

5. Cung hơn kém π : α và π + α

(Vd:
(Vd:
(Vd:
(Vd:

(Vd:

π
π
& − ,…)
6
6
π 5π
& ,…)
6
6
π π
& ,…)
6 3
π 2π
&
,…)
6
3
π 7π
&
,…)
6
6

Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
α

0 (00)

sin α

0

cos α

1

tan α

0

cot α

π
300 )
(
6
1
2
3
2
1
3
3

π
450 )
(
4

2
2
2
2

π
600 )
(
3
3
2
1
2

1

3

1

1
3

II. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản
2. Công thức cộng
3. Công thức nhân đôi:
4. Công thức hạ bậc:
5. Công thức biến đổi tích thành tổng:
6. Công thức biến đổi tổng thành tích:

7. Các công thức thường dùng khác
π
π
cos α + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + );
4
4

π
900 )
(
2

1
0

0

2π
3π
5π
1200 )
1350 )
1500 ) π ( 1800 )
(
(
(
3
4
6
1

3
2
0
2
2
2
1
2
3
−
-1
−
−
2
2
2
1
−
-1
0
− 3
3
1
−
-1
− 3
3

π
π

cos α − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − )
4
4

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Đổi từ độ sang radian và ngược lại: 2700; 5400 ; 7500 ;4050 ; 11400;
Bài 2: Tính α , biết:

π 9π 15π −5π 45π
; ;
;
;
.
8 4 8
3
7

_________________________________________________________________________________________
Trang 1


Đề cương phụ đạo toán 11
a) cos α =0
b) sin α =0
c) sin α . cos α =0
d) sin α =1
e) cos α =1
f) cos α =-1
Bài 3: Không dùng bảng số và máy tính ,hãy xác định dấu của sin α và cos α :
a) α = 1350 ;

b) α = 2100
c) α = 3340 ;
e) α = 12800 ;
f) α = -2350 ;
g) α = 18760 ;
Bài 4: Không dùng bảng số và máy tính:
0
a) sin135 ;
b) cos 2150 ;
c) tan750 ;
d) cot 7500 ;
e) cos 2250 ;
f) tan(-3300) ;
5π
11π
−19π
g) sin
;
h) cos
;
i) cot
;
6
3
4
Bài 5: Tính các giá trị lượng giác của góc α biết:
4
15
π
π

a) cos α =
và 0 ≤ α ≤ ;
b) tan α = −
và < α < π ;
13
7
2
2
2
3π
3π
c) sin α = − và π < α <
;
d) cot α = -3 và π < α < ;
5
2
2
Bài 6: Tính các giá trị lượng giác của góc α biết:
3
π
3π
a)sin α = và
b) tg α = 3 và π < x <
;
5
2
2
3
π

π
c) cos α = 0, 6v à 0 < α < ;
d) cot α = v à 0 < α < ;
7
2
2
7
π
3
π
e) cos 2α = v à 0 < α <
f) sin α − cos α = v à 0< α < ;
8
2
4
2
π
π
g) cos α = 2sin αv à 0 < α < ;
h) cot α = 4 tan αv à < α < π;
2
2
Bài 7: Tính:
31π
11π
7π
0
);
a) cos(−
b) sin

;
c) tan
;
d) cot(−1380 )
6
4
12
π
Bài 8: Cho 0 < α < . Xác định dấu của các giá trị lượng giác
2
3π
a) sin ( α - π )
b) cos ( - α )
2
π
c)tan ( α + π )
d) cot ( α - )
2
Bài 9: Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
1
2
2
3
a) sin α =
và cos α =
b) tan α = và cot α =
3
3
3
3

c) sin α =0,8 và cos α =0,2
Bài 10: Chứng minh các đẳng thức:
cos(a − b) cot a.cot b + 1
=
a)
;
b) sin(a + b).sin( a − b) = sin 2 a − sin 2 b
cos( a + b) cot a.cot b − 1
1 + tan 4 α
sin 3 α + cos3 α
2
= tan α
= 1 − sin α cos α
c)
d)
tan 2 α + cot 2 α
sin α + cos α
_________________________________________________________________________________________
Trang 2


Đề cương phụ đạo toán 11
tan α − tan β
sin 2 α − cos 2 α tan α − 1
= tan α tan β;
=
f)
cot β − cot α
1 + 2sin α cos α tan α + 1
Bài 11: Rút gọn các biểu thức sau:

sin 2 α + 2 cos 2 α − 1
sin 2 α − tan 2 α
;
;
a) A =
b) B =
cot 2 α
cos 2 α − cot 2 α
sin 2α + sin α
3 − 4 cos 2α + cos 4α
;
;
c) C =
d) D =
1 + cos 2α + cos α
3 + 4 cos 2α + cos 4α
Bài 12: Không dùng bảng số và máy tính . chứng minh rằng:
1
− 4sin 700 = 2 ;
a)
b) cos140 + cos1340 + cos1060 = 0;
0
sin10
cos 800 + cos 200
0
0
0
0
sin
20

+
2sin
40
−
sin100
=
sin
40
;
= 3;
c)
d)
cos 350 cos150 − sin 350 sin150
e)

TUẦN 2, 3 (2 Tiết):
CHỦ ĐỀ 2: PHÉP TỊNH TIẾN
_________________________________________________________________________________________
Trang 3


Đề cương phụ đạo toán 11
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
uuuuur r
Định nghĩa: Tvr ( M ) = M ' ⇔ MM ' = v ;

T0r là phép đồng nhất

r
Tvr ( M ) = M ' uuuuuur uuuu

⇒
M
'
N
'
=
MN
⇒ M ' N ' = MN

Tvr ( N ) = N ' 
2/ Tvr : d → d '/ / d ∨ d ' ≡ d
AB → A ' B ' = AB
∆ABC → ∆A ' B ' C ' = ∆ABC
C ( I , R ) → C ' ( I ', R )
r
Biểu thức tọa độ: v = ( a, b ) ; M ( x, y ) ; M ' ( x ', y ' )
Tính chất: 1/

x' = x + a
M ' = Tvr ( M ) ⇔ 
y' = y + b
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
uuur
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vecto BC .
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. E, F, G, H, I, J theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG. Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.
Bài 3: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến Tvr ở các trường hợp sau:
r
r
r

r
a) vr = (1; 1) b) rv = (2; 1)
c) v = (–2; 1)
d) v = (3; –2)
e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2)
Bài 4: Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho A = Tvr ( B) trong các trường hợp sau:
r
r
r
r
a) v = ( 2; −3) b) v = (2; 1)
c) v = (–2; 1)
d) v = (3; –2)
r
r
e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2)
r
/
Bài 5: Tìm toạ độ vectơ v sao cho Tvr ( M ) = M trong các trường hợp sau:
a) M(−10; 1), M’(3; 8)
b) M(−5; 2), M′(4; −3)
c) M(–1; 2), M′(4; 5)
d) M(0; 0), M′(–3; 4)
c) M(5; –2), M′(2; 6)
f) M(2; 3), M′(4; –5)
Bài 6: Trong mpOxy, cho đường thẳng
r (d): 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng (d’)
là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau:
r
r

r
r
a) v = ( 4; −3) b) v = (2; 1)
c) v = (–2; 1)
d) v = (3; –2)
Bài 7: Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):

( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) = 4 . Tìm phương trình của
2

r
đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau:
r
r
r
r
a) v = ( 4; −3) b) v = (2; 1)
c) v = (–2; 1)
d) v = (3; –2)
r
Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho v = ( 1; 2 ) , điểm M(2;-1), đường thẳng d: 3x –2y + 6 = 0 và
đường tròn (C): x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 4 = 0 .
a) Hãy xác định ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến Tvr .
b) Hãy xác định ảnh của d qua phép tịnh tiến Tvr .
c) Hãy xác định ảnh của (C) qua phép tịnh tiến Tvr .

_________________________________________________________________________________________
Trang 4


Đề cương phụ đạo toán 11
r

Bài 9: Trong mp tọa độ Oxy cho điểm A(1;2),B(-2; 3) và v (0;5).
r
a) Tìm tọa độ ảnh A’của A qua phép tịnh tiến theo v .
uuur
b) Tìm ảnh của đường thẳng (d): 2x + y -1 = 0 qua phép tịnh tiến theo AB .
Bài 10: Trong mp tọa độ Oxy cho điểm M(1;-2), và đường
thẳng (d): 2x – y + 1 = 0.
r
a) Tìm ảnh của M và (d) qua phép tịnh tiến theo v = (2; −3) .
r
b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho M là ảnh của điểm C qua phép tịnh tiến theo v = (2; −3) .
r
Bài 11: Trong mp Oxy cho v = (−2;1) và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Viết phương trình
r
ảnh (C’) của (C) qua phép tịnh tiến theo. v = (−2;1) .
Bài 12: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-3; 3) và đường thẳng (d): x – y +r3 = 0.
a) Tìm tọa độ điểm A1 sao cho A là ảnh của A1 qua phép tịnh tiến theo v = (2; −3) .
r
b) Tìm ảnh (d1) của (d) qua phép tịnh tiến theo v = (2; −3) . .
r
c) Cho đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 1. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo u = (2; −1)
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(2;-3), bán kính R=5.
Viết

phường trình đường tròn ảnh (I’,R’) của đường tròn (I,R) qua phép tịnh tiến theo vec tơ
r
v = (−1; 2) .

TUẦN 3, 4 (3 tiết):
CHỦ ĐỀ 3: CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
_________________________________________________________________________________________
Trang 5


Đề cương phụ đạo toán 11
1. Các hàm số y = sinx và y = cosx.
Hàm số y = sinx
▪ Tập xác định là R ;
▪ Tập giá trị là [-1;1] ;
▪ Hàm số lẻ ;
▪ Tuần hoàn với chu kỳ 2 π ;

Hàm số y = cosx
▪ Tập xác định là R ;
▪ Tập giá trị là [-1;1] ;
▪ Hàm số lẻ chẵn;
▪ Tuần hoàn với chu kỳ 2 π ;

2. Các hàm số y = tanx và y = cotx.
Hàm số y = tanx
π
▪ Tập xác định là R\{ + k π / k ∈ Z }

Hàm số y = cotx
▪ Tập xác định là R \{k π / k ∈ Z };
▪ Tập giá trị là R ;
▪ Hàm số lẻ chẵn;
▪ Tuần hoàn với chu kỳ 2 π ;

2

▪ Tập giá trị là R ;
▪ Hàm số lẻ ;
▪ Tuần hoàn với chu kỳ π ;
Chú ý: Để gọn ,ta quy ước không bắt buộc viết k ∈ Z
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
A
Chú ý 1)
có nghĩa khi B ≠ 0 (A có nghĩa); A có nghĩa khi A ≥ 0
B
2) −1 ≤ s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1
π
π
3) sin x = 0 ⇔ x = k π ; s inx = 1 ⇔ x = + k 2π ; s inx = -1 ⇔ x = − + k 2π
2
2
π
4) cosx = 0 ⇔ x = + k π ; cosx = 1 ⇔ x = k 2π ; cosx = -1 ⇔ x = π + k 2π
2
π
5) Hàm số y = tanx xác định khi x ≠ + k π

2
Hàm số y = cotx xác định khi x ≠ k π
Bài tập. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1) y = sin2x ;
4) y = cos
7) y =

2x
;
x −1

2
;
5cos x

10) y = tan2x ;
13) y = cot(x -

π
);
2

5
2) y = cos ;
x
1
5) y = sin 2
;
x −1
1

8) y =
;
1 + sin x
x
11) y = cot ;
2
π
14) y = tan(2x - );
4

3) y = sin x ;
6) y = cos

1
;
1 − cos x
π
12) y = tan(x + );
4
π
15) y = cot(5x + );
3
9) y =

1
16) y =

π ;
sin( x + )
2

17) y = cos x + 1 ;

1+ x
;
1− x

18) y =

cot x
;
cos x − 1

_________________________________________________________________________________________
Trang 6


Đề cương phụ đạo toán 11
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số lượng giác
Chú ý: −1 ≤ s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1 ; 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ; 0 ≤ cos2 x ≤ 1; A2 + B ≥ B
Bài tập. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau
1) y = 1+2cosx ;
4) y = 4 cos x + 3 ;

2) y = 3sinx + 5;

3) y =

5) y = 1 − 2sin x ;

1 + 4 cos 2 x
7) y =
;
8) y =1 + 4sin 2 x cos 2 x ;
2
10)y = 29 + 9cosx;
11) y = sin 2 x − 3cos 2 x ;
12) y = 12 + 10sinx trên đoạn [0; π] ;

1
;
2 + sin x
1 + 3sin x
6) y =
;
2
1
x
9) y = 3 − sin
2
2

Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
B1. Tìm tập xác định D
B2. Với x ∈ D thì − x ∈ D và
-Nếu f(-x)=. . . . =. . . =f(x): KL: hàm số chẵn
-Nếu f(-x)=. . . = - f(x): KL: hàm số lẻ.
Chú ý:
* sin(-X) = -sinX (còn dấu -)
* cos(-X) = cosX (mất dấu -)

Bài tập. Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau:
1) y = f ( x) = sin x − 2015 tan x ;
3) f ( x) = x 3 cos 3 x.tan x ;

2) y = 20sin 3 x + 10 tan x
4) y = 2sin3 x cos 5 x

TUẦN 4, 5 (4 tiết):
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình cơ bản
Dạng 1: sinx = a (1)
_________________________________________________________________________________________
Trang 7


Đề cương phụ đạo toán 11
+ a > 1, phương trình (1) vô nghiệm
 x = arcsin a + k 2π
;k ∈¢
+ a ≤ 1, Công thức nghiệm phương trình (1) 
 x = π − arcsin a + k 2π
 x = α + k 2π
; k ∈¢
Đặc biệt: sin x = sin α ⇔ 
 x = π − α + k 2π
 x = α + k 3600
;k ∈¢
Chú ý: Nếu số đo của cung α tính bằng độ thì: 
0

0
x
=
180
−
α
+
k
360

Dạng 2: cosx = a. Cách giải tương tự dạng 1.
Đặc biệt: cos x = cos α ⇔ x = ±α + k 2π; k ∈ ¢
Dạng 3: tanx = a.
Đặc biệt: tan x = tan α ⇔ x = α + k π; k ∈ ¢
Dạng 4: cotx = a.
Đặc biệt: cot x = cot α ⇔ x = α + k π; k ∈ ¢
2/Phương trình đặc biệt: Cần chú ý một số dạng như: sinx = ±1, sinx = 0, cosx = ±1…
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1
1) sin x = ;
2
π
4) sin x = sin
12
0
2
7) sin( x − 60 ) = −
;
2

3
10) sin(2 x − 300 ) =
;
2
Bài 2: Giải các phương trình sau:
π
1) cos x = cos
4
3
4) cos x =
4
3
7) cos 4 x = − ;
2
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1) tan 2 x = 3 ;
4) tan(3x − 300 ) = −1 ;
1
;
3
Bài 4: Giải các phương trình sau:
7) cot ( 2 x − 10

0

)=

2) sin 3 x =

3π

;
4

5) sin 2 x = − sin 360
 2x π 
8) sin  − ÷ = 0 ;
 3 3

5
;
2
1
6) sin 3 x =
2
3
9) sin2x = ;
4
3) sin x =

11) ( 3 + 2sin x)(5 − sin x) = 0 .
2
2
π
2

5) cos  3 x − ÷ =
;
6 2

1

8) cos ( 2 x + 400 ) = ;
2
2) cos ( x + 450 ) =

2
;
2
2
6) cos ( x − 2 ) = ;
3
3) cos4 x = −

9) (1 + 2 cos x)(4 − cos 2 x) = 0 ;

2π
π
3

;
3) tan  4 x − ÷ =
;
3
6 3

x π
π
5) tan( − ) = tan ;
6) cot ( 3 x − 1) = − 3 ;
2 4
8

x
8) (cot − 1)(tan 2 x + 1) = 0 ;
3
2) tan 2 x = tan

_________________________________________________________________________________________
Trang 8


Đề cương phụ đạo toán 11
π
1
)=;
3
2
π
3) 2 3 cos( x + ) − 3 = 0 ;
3
 5π

5) 7 tan  − 2 x ÷− 21 = 0 ;
 6

7) cos3x – sin2x =0;

π
2) 4sin(2 x − ) + 2 3 = 0 ;
6

1) cos(2x +

4) 2sin(3x)- 3 = 0 ;
0

6) tan( x − 300 ) cos(2 x − 150 ) = 0 ;
8) sin 3 x + sin 5 x = 0 ;

Bài 5: Giải các phương trình sau:
1) sin( x + 200 ) = 1 ;
2
;
2
π
1
7) sin(2 x − ) = − ;
3
2
Bài 6: Giải các phương trình sau:
3π
1) cos(3x − ) = −1 ;
4
3
4) cos(4 x + 1) = − ;
2
Bài 7: Giải các phương trình sau:
π
1) tan x = tan ;
3
π
4) tan(2 x + ) = 0 ;

3
0

4) sin(2 x − 35 ) =

3) sin(2 x − 3) =

2) sin 3 x = −1 ;
 3x π 
5) sin  − ÷ = 0 ;
 4 6

4
;
3

1
6) sin 2 x = ;
3

8) ( 3 + 2sin x)(1 − cos x) = 0 ;
2) cos ( 2 x − 250 ) = −

2
2

3π 

5) cos  2 x + ÷ = 0 ;
4 



;

3) cos 4 x =

2
;
3

6) (1 − cos 2 x)(5 − cos 3 x) = 0 ;

1
0
;
3) tan ( 4 x − 20 ) = 3
3
π
2π
π
3

5) tan(2 x + ) = tan
;
6) tan  3 x − ÷ = −
;
3
3
6
3


3π
x π
7) tan(3 x + 150 ) = −1 ;
8) tan( − ) = − 3 ;
9) cot 3 x = cot
7
2 4
1
π 1

0
10) cot 4 x = −3 ;
11) cot  2 x − ÷ =
;
12) cot ( 3x − 20 ) =
;
6
3
3

13) tan(2 x + 600 ) cot( x + 750 ) = 0 ;
Bài 8: Giải các phương trình sau:
3π
π
1) cos(2 x − ) = sin( x + ) ;
2) sin 2 x cot x = 0 ;
4
4
3) 4sin 2 x = 1 ;

4) sin x cot 2 x = cos 3 x ;
5) sin 6 x = sin 4 x + sin 2 x ;
6) tan x tan 2 x = −1 ;
2) tan 4 x = −

_________________________________________________________________________________________
Trang 9


Đề cương phụ đạo toán 11

CHỦ ĐỀ 5: PHÉP QUAY
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 IM ' = IM

• Q(I,α): M a M′ ⇔ (IM ; IM ') = α

• Q(I,α)(M) = M′, Q(I,α)(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN

α
· , d ') = 
(
d
• Q(I,α)(d) = d′. Khi đó:

π − α


neu 0 < α ≤
neu

π
2

π
≤α<π
2

_________________________________________________________________________________________
Trang 10


Đề cương phụ đạo toán 11
x ' = −y

• Q(O,900): M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó:  y ' = x


x ' = y

Q(O,–900): M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó:  y ' = − x

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho ABC là tam giác đều (các đỉnh được ghi theo chiều dương). Hãy xác định phép quay biến
C thành A.
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác ABO qua phép quay tâm O góc 1200
Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB , N là trung điểm của OA . Tìm ảnh
của tam giác AMN
a) Qua phép quay tâm O góc 900.
b) Qua phép quay tâm O góc 1800.

Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF , O là tâm đối xứng của nó ,I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200.
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 600.
Bài 5: Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm O góc α với:
3π
a) α = 900
b) α = –900
c) α = 1800
d) α = −
2

Bài 6: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 900:
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0
c) 2x + y – 4 = 0
d) y = 2
e) x = –1
0
Bài 7: Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc 90 :
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9
b) x2 + (y – 2)2 = 4
c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A(-5; 1); đường thẳng (d): 2x – 3y + 6 = 0. Tìm ảnh
của A và đường thẳng (d) qua phép biến hình sau:
a) Phép quay tâm O, góc quay 900
π
b) Phép quay tâm O, góc quay −
2

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho N(0; -1); đường thẳng d: x – 3y + 2 = 0, đường tròn
2

2
(C): ( x − 1) + ( x + 3) = 5 . Tìm ảnh của N, (d) và đường tròn (C) qua phép biến hình sau:
a) Phép quay tâm O, góc quay 900
π
b) Phép quay tâm O, góc quay −
2

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 và đường thẳng
d: 3x – 2y + 6 = 0.
a/ Viết phương trình ảnh của (C) qua phép quay tâm O góc -900.
b/ Tìm (d’) là ảnh của (d) qua phép quay tâm O góc -900.
Bài 11: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm B(-1;3) và đường thẳng (d): 3x – 2y + 6 = 0.
a/Tìm ảnh B’ của B và ảnh (d’) của (d) qua phép quay tâm O góc 900.
b/ Vẽ (d) và (d’) trên cùng một hệ trục tọa độ.

_________________________________________________________________________________________
Trang 11


Đề cương phụ đạo toán 11
TUẦN 6+7+8 (8 tiết):
CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at + b = 0
t trong đó a,b là các hằng số ( a ≠ 0 ) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Dạng phương trình
Phương pháp giải
a sin x + b = 0; a cos x + b = 0
Biến đổi và đưa về dạng phương trình lượng

a tan x + b = 0; a cot x + b = 0
giác cơ bản
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1
2

2) cos2 x + = 0 ;

1) 2sin x − 1 = 0 ;

3) 3 tan x − 1 = 0 ;

4) 3 cot x + 1 = 0 .

Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) sin( x + 200 ) − 1 = 0 ;
2) 2sin 3 x = 2 ;
π
4) 2 sin( x − ) − 1 = 0
5) 4sin 2 x − 1 = 0 ;

3) 3sin(2 x − 3) − 5 = 0 ;
π
1
6) sin(2 x − ) = − ;

3

7) sin(2 x + 500 ) + 1 = 0 ;

0

10) 2 sin(2 x − 35 ) − 1 = 0 ;

 3x π 
− ÷− 3 = 0 ;12) ( 3 − 2sin x)(1 + 2 cos 3 x) = 0 .
 4 6

11) 2sin 

4

4) 3 − 2 cos 4 x = 0 ;
2 cos(3x −

2
4
9) sin(2 x − 3) = ;
3

8) 2sin 3 x − 1 = 0 ;

Bài 3: Giải các phương trình sau:
3π
1) cos(3 x − ) + 1 = 0 ;
2)

7)

3

3π
) +1 = 0 ;
2

Bài 4: Giải các phương trình sau:

2 cos ( 2 x − 250 ) + 1 = 0

;

x π
5) 2 cos  + ÷ = −1 ;
2 4




0
8) 2 cos ( 2 x − 35 ) + 2 = 0 ;

3) 6 cos 4 x − 4 = 0 ;
6) 3 − 2 cos 2 x = 0 ;
9) (1 − 2 cos 2 x)(5 − 3cos 3 x) = 0 ;

1) 3tanx = 2 ;

π

2) tan  x − ÷+ 3 = 0 ;

6

3) 3 tan 3 x − 3 = 0 ;

π
4) 2 cot( x + ) + 3 = 0 ;

5) 1 − 3 cot 2 x = 0 ;

π
6) 3cot( x + ) + 3 = 0 ;

5
7) ( 3 tan 2 x − 1)(2 cot 3 x − 5) = 0 ;





4

Bài 5: Giải các phương trình sau:
π
π
 5π

1) 4 sin( 2 x − ) + 2 3 = 0 ; 2) 2 3 cos( x + ) − 3 = 0 ; 3) 7 tan  − 2 x ÷− 21 = 0 ;
6

4) 8cos x − 2sin 2 x = 0 ;

7) cos 2 x − sin x − 1 = 0 ;

3

5 ) sin 5 x + sin 3 x = sin 4 x ;
8) tan 2 x − 2 tan x = 0 ;

 6

6) 2 cos x − sin 2 x = 0 ;
9) 8sin x cos x cos 2 x = −1

_________________________________________________________________________________________
Trang 12


Đề cương phụ đạo toán 11
10) cos 3 x − cos 4 x + cos 5 x = 0 ;

11) sin 7 x − sin 3 x = cos 5 x ;

12) cos 2 x − sin 2 x = sin 3 x + cos 4 x

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at 2 + bt + c = 0 , trong đó a, b, c là các hằng số ( a ≠ 0 ) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Dạng phương trình
Phương pháp giải
2

a sin X + b sinX + c = 0
Đặt ẩn phụ: t = sinX (t = cosX; t = tanX; t = cotX)
a cos 2 X + b cosX + c = 0
a tan 2 X + b tanX + c = 0
a cot 2 X + b cotX + c = 0

Ta được phương trình: at 2 + bt + c = 0 (1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý: Nếu t = sinX, t = cosX thì điều kiện −1 ≤ t ≤ 1

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 4sin 2 x − 5sin x + 1 = 0 ;
3) cos22x – 3cos2x + 2 = 0
2sin 2 x − (2 + 3) sin x + 3 = 0 ;
7) −6 cos 2 2 x + 5cos 2 x + 4 = 0 ;
9) 3cot 2 2 x + 2 cot 2 x − 1 = 0 ;
11) 3 tan 2 x − 4 3 tan x + 3 = 0 ;
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 2 cos 2 2 x + 3sin 2 x = 2 ;
3) 2 − cos 2 x = sin 4 x ;
5) 4 cos 2 x + 3sin x cos x − sin 2 x = 3 ;
7) 3sin 22 x + 7 cos 2 x − 3 = 0
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1) 6cos2x + 7sinx – 7 = 0
x
3) 5 − 4sin 2 x − 8cos 2 = −4
2
5) 2cos2x+cosx-1= 0
7) 2 cos 2 x + 2 cos x − 2 = 0 ;

2) cos2x+cosx-2=0;
4) sin23x-2sin3x-3=0

5)

x
x
6) 2 sin 2 + 3sin + 1 = 0 ;
2
2

x
x
− 5 tan = −1 ;
2
2
2
10) 3 cot x − 4 cot x + 3 = 0 ;
12) 2sin 2 4 x + sin 4 x − 3 = 0
8) 4 tan 2

x
;
2
4) 3 tan x = 3 cot x − 3 − 3 .
6) 2sin 2 − sin x cos x − cos 2 x = 1 .
8) 7 tan x − 4 cot x = 12
2) cos 2 x + 2 cos x = sin 2

2) 4sin22x+8cos2x-8=0
4) 6-4cos2x-9sinx=0
6) cos 2 x + sin x + 1 = 0
8) 4sin 2 x − 2( 3 + 1) sin x + 3 = 0 ;

_________________________________________________________________________________________
Trang 13


Đề cương phụ đạo toán 11
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Dạng phương trình
a sin x + bcosx = c (1)
( a;b ≠ 0)
Chú ý:
-Phương trình có nghiệm ⇔ a 2 + b 2 ≥ c 2
-Trong trường hợp phương trình cho dưới
dạng: acosx + b sin x = c (1) ,
-Ngoài ra ta còn có thể đặt.
a
b
= cos α ;
= sin α với
2
2
2
a +b
a + b2
cách đặt như trên, phương trình được đưa về

dạng
c
(2) ⇔ sinx.cosα + cos x.sinα =
a2 + b 2
c
⇔ sin(x+α) =
(3)
a2 + b 2
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1/ 2 sin x − cos x = 2
3 / sin 7 x + 3 cos 7 x = 2
5 / 5cos 2 x − 12sin 2 x = 13
7/

3 cos5x – sin5x - 2 = 0
x
x
9/ 2sin − 2 cos − 2 = 0
2
2
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 3cos 2 x − 3 sin 2 x = −3

Phương pháp giải
Chia hai vế của phương trình cho a 2 + b 2 thì pt
a
b
c
(1) ⇔

sin x +
cosx =
(2)
a 2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
a
b
= sin α vaø
= cosα với
Đặt 2
a + b2
a2 + b 2
α ∈ [ 0; 2π ) thì: (2)
c
⇔ cosx.cosα + sinx.sinα =
a2 + b 2
c
⇔ cos(x-α) =
(3)
2
a + b2
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.

2 / cos x + 3 sin x = 2
4 / 3 cos x + sin x = 2
6 / 2sin x − 5cos x = 4
8/ cos3x – sin3x = 1
10/ 3sin 3 x − 4 cos 3 x − 5 = 0
2)

3 sin ( x − 300 ) + cos ( x − 300 ) = 1
2 cos(− x) + 2 sin ( π + x ) = 3

3) 3sin2x + 4 cos2x = 5

4)

5) sinx + cosx =

6) sin 2 x + 2 3 cos 2 x = 0

2

7) sin 4 x = 3 ( cos 4 x − 1)
9) sin 2 x + sin 2 x =

1
2

8) tan150. cosx + sinx -1 = 0
10)

CHỦ ĐỀ 7: PHÉP DỜI HÌNH - PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
_________________________________________________________________________________________
Trang 14


Đề cương phụ đạo toán 11
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì
• Các phép tịnh tiến,đối xứng trục, đối xứng tâm,và phép quay đều là phép dời hình
• Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình
2. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia
3. Phép vị tự
uuur
uuu
r
• V(I,k): M a M′ ⇔ IM ' = k .IM
(k ≠ 0)
uuuuuu
r
uuuu
r
• V(I,k)(M) = M′, V(I,k)(N) = N′ ⇒ M ' N ' = k .MN
 x ' = kx + (1 − k )a

• Cho I(a; b). V(I,k): M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó:  y ' = ky + (1 − k )b

4. Phép đồng dạng
• Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và
ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN.
• Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1
• Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|
• Thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ
số pk.
Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến ∆ABC thành ∆A′B′C′ thì nó cũng biến trọng tâm,
trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ∆ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm,
tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ∆A′B′C′.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. E, F, G, H, I, J theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG. Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.
Bài 2: Cho hai hình vuông bằng nhau. Chứng minh rằng có một phép dời hình biến hình vuông này
thành hình vuông kia.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy . Tìm ảnh của điểm A ( −3; 2 ) ,B(0;5),C(1;-2) , đường thẳng d: 2x3y+4=0 qua các phép
dời hình có được bằng việc thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90 0, và
r
phép tịnh tiến theo v = (3; −1)
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy. Tìm ảnh của điểm M(2;3) ,N(-1;4),P(1;1) và đường thẳng d: 2 x + y –
4 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 4 = 0 . qua các phép dời hình có được bằng việc thực hiện
liên tiếp
r

a) Phép quay tâm O góc 900, và phép tịnh tiến theo v = (5; −2)
r

b) Phép quay tâm O góc -900, và phép tịnh tiến theo v = (4; −3)
r

Bài 5: Trong hệ trục Oxy, cho điểm M(-4;1) , v ( 2; −2 ) ,đường thẳng d: 5x + y – 3 = 0. Đường tròn
(C): ( x − 3)2 + ( y + 2)2 = 9 .
a) Tìm ảnh của M qua phép dời hình có được rbằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: phép
quay tâm O, góc quay 900. và phép tịnh tiến theo vecto v ( 2; −2 ) .
b) Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được
bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: phép
r
0
quay tâm O, góc quay -90 . và phép tịnh tiến theo v = (−2;7)
_________________________________________________________________________________________
Trang 15

Đề cương phụ đạo toán 11
Bài 6: Cho tam giác ABC . Gọi M và N tương ứng là trung điểm của AB và AC. Tìm một phép vị tự
biến tam giác ABC thành tam giác AMN.
Bài 7: Cho tam giác ABC . Gọi M , N và P tương ứng là trung điểm của AB , AC và BC . Tìm một
phép vị tự biến tam giác MNP thành tam giác ABC.
uuur
uuur
Bài 8: Cho hình thang ABCD có đáy CD = 3AB . Hãy xác định các phép vị tự biến AB thành DC ;
uuur
uuur
biến AB thành CD
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD tâm 0. Tìm ảnh của tam giác ABO qua phép vị tự tâm O, tỉ số −

1
2

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD. BD cắt CE và À
lần lượt tại K và H. Xác định phép vị tự biến D thành B.
Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho I(1;2), điểm M(-2;3), đường thẳng d: 3x – y + 9 = 0 và đường
tròn (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9
a) Hãy xác định ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm I, tỉ số 2.
b) Hãy xác định ảnh của d qua phép vị tự vị tự tâm I, tỉ số 2.
c) Hãy xác định ảnh của (C) qua phép vị tự vị tự tâm I, tỉ số 2.
Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy . Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép
các phép vị tự sau:
a) phép vị tự tâm O, tỉ số 2.
b) phép vị tự tâm O, tỉ số -2.
c) phép vị tự tâm I(1 ;2), tỉ số -2.

d) phép vị tự tâm I(1 ;2), tỉ số 3.
Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy . Tìm ảnh của các đường thẳng sau:
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0
c) 2x + y – 4 = 0
d) y = 2
e) x = –1
qua phép các phép vị tự:
a) phép vị tự tâm O, tỉ số 2.
b) phép vị tự tâm O, tỉ số -2.
c) phép vị tự tâm I(1 ;2), tỉ số -2.
d) phép vị tự tâm I(-1 ;2), tỉ số 3.
Bài 14: Tìm ảnh của các đường tròn sau:
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9
b) x2 + (y – 2)2 = 4
c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0
d) x2 + y2 -6x + 4y -12 = 0
qua phép các phép vị tự:
a) phép vị tự tâm O, tỉ số 2.
b) phép vị tự tâm O, tỉ số -2.
c) phép vị tự tâm I(1 ;2), tỉ số -2.
d) phép vị tự tâm I(1 ;2), tỉ số 3.
Bài 15: Cho điểm M ( 1;3) , đường thẳng d: x – 3y + 4 = 0 và đường tròn (C):
x 2 + y 2 + 2 x + 4 y − 20 = 0

a) Tìm ảnh của M, đường thẳng d và đường tròn C qua phép vị tự tâm O, tỉ số -2.
b) Tìm ảnh của M, đường thẳng d và đường tròn C qua phép vị tự tâm I (2 ;-5) tỉ số 2
r

Bài 16: Trong hệ trục Oxy, cho điểm M(1;2) , v ( 2; −1) ,đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Đường tròn
(C): ( x − 3) + ( y + 1) = 9

2

2

a) Tìm ảnh của M qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: Tịnh
r
tiến theo vectơ v và phép vị tự V( O;3) .
b) Tìm ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: Tịnh
r
tiến theo vectơ v và phép vị tự V( O;3) .
c) Tìm ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: Tịnh
r
tiến theo vectơ v và phép vị tự V( O;3) .
_________________________________________________________________________________________
Trang 16


Đề cương phụ đạo toán 11
Bài 17: Tìm ảnh của lần lượt điểm A ( −3; 2 ) , đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 4 = 0 và đường thẳng
d: 2x - 3y + 4 = 0 qua các phép biến hình sau:
a. Vị tự tâm I (2;-1), tỉ số k=2
b. Phép đồngr dạng có được bằng việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số k=2 và phép tịnh
tiến theo v = (3; −1)
r

Bài 18: Trong hệ trục Oxy, cho điểm M(2;3) , v ( 2; −1) , đường thẳng d: 2 x + y – 4 = 0. Đường tròn
(C): ( x − 3) + ( y + 2 ) = 9
2

2

a) Tìm ảnh của M qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: phép
quay tâm O, góc quay 900. và phép vị tự V( O;2 ) .
b) Tìm ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: phép
quay tâm O, góc quay 900. và phép vị tự V( O;2 ) .
c) Tìm ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép:
phép quay tâm O, góc quay 900. và phép vị tự V( O;2) .
Bài 19: Cho điểm A thuộc đường tròn C đường kính BC như hình 4. 4. Dựng về phía ngoài của tam
giác ABC tam giác ABD vuông cân ở D. Gọi I là trung điểm của DB, tìm tập hợp các điểm I khi A
chạy trên nửa đường tròn
* Để có thể dùng phép biến hình giải các bài toán tìm tập hợp điểm ta xem tập hợp điểm đó là ảnh
của một hình đã biết qua một phép biến hình xác định.

_________________________________________________________________________________________
Trang 17


Đề cương phụ đạo toán 11
TUẦN 10 (2tiết):
CHỦ ĐỀ 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG
MẶT PHẲNG
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(5; –3). Tìm ảnh của điểm M qua phép biến
hình sau:
r
a/ Phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; −1)
b/Phép quay tâm O, góc quay 900
π
c/ Phép quay tâm O, góc quay −
d/Phép vị tự tâm O, tỉ số -3
2

e/ Phép vị tự tâm I(-3;1), tỉ số ½
r
f/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; −3) và Phép quay tâm
O, góc quay -900
g/Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp Phép quay tâm O, góc quay 90 0 và phép tịnh tiến theo
r
u = (−2; −1)

h/ Phép đồng dạng bằng cách t. hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;0), tỉ số 2 và phép quay tâm O
gócquay 900
Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): 2x – 3y + 6 = 0. Viết phương trình
đường thẳng (d’) là ảnh của đường
thẳng (d) qua phép biến hình sau:
r
a/ Phép tịnh tiến theo vectơ u = (−3;1)
b/ Phép quay tâm O, góc quay 900
π
c/ Phép quay tâm O, góc quay −
d/ Phép vị tự tâm O, tỉ số -1/2
2

e/ Phép vị tự tâm I(-2;-1), tỉ số 3
r
f/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; −3) và Phép quay tâm
O, góc quay -900
g/
Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp Phép quay tâm O, góc quay 900 và phép ttiến theo
r
u = (2; −3)

h/ Phép đồng dạng bằng cách t. hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(0;3), tỉ số -2 và phép quay tâm O góc
quay 900
2
2
Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( x + 3) = 5 . Viết phương
trình đường tròn (C’) là ảnhrcủa đường tròn (C) qua phép biến hình sau:
a/Phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; −3)
b/Phép quay tâm O, góc quay 900
π
c/ Phép quay tâm O, góc quay −
d/Phép vị tự tâm O, tỉ số -3
2

e/ Phép vị tự tâm I(-3;1), tỉ số ½
r
f/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; −3) và Phép quay tâm
O, góc quay -900
g/Phép
dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp Phép quay tâm O, góc quay 90 0 và phép ttiến theo
r
u = (−2; −1)

h/ Phép đồng dạng bằng cách t. hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;0), tỉ số 2 và phép quay tâm O
gócquay 900
Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y – 2 = 0. Viết
phương trình đường tròn (C’)
là ảnh của đường tròn (C) qua phép biến hình sau:
r
a/Phép tịnh tiến theo vectơ u = (0; −3)

b/Phép quay tâm O, góc quay 900
_________________________________________________________________________________________
Trang 18


Đề cương phụ đạo toán 11
c/ Phép quay tâm O, góc quay −

π
2

d/Phép vị tự tâm O, tỉ số -2

e/ Phép vị tự tâm I(-3;1), tỉ số 2
r
f/ Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; −3) và Phép quay tâm
O, góc quay -900
g/Phép
dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp Phép quay tâm O, góc quay 90 0 và phép ttiến theo
r
u = (−2; −1)

h/ Phép đồng dạng bằng cách t. hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;0), tỉ số 2 và phép quay tâm O
gócquay 900
Bài 5 Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi M1;M2;M3;M4;N1;N2;N3;N4 lần lượt là trung điểm AB;
BC; CD;DA;OA;OB;OC;OD.
Tìm
ảnh của tam giác AM 1N1 qua phép biến hình sau:
uuuu
r uuur uuur

a/ Phép tịnh tiến theo vectơ AM ; AN ; AO
π
b/ Phép quay tâm N1, góc quay − ; 900;1800
2

c/ Phép quay tâm O, góc quay 900 ; -900;1800
d/ Phép vị tự tâm A, tỉ số 2
0
e/ Phép dờiuuhình
uu
r bằng cách thực hiện liên tiếp phép Phép quay tâm O, góc quay 90 và Phép tịnh tiến
theo vectơ AM
f/ Phép đồng dạng bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm A, tỉ số 2 và phép quay tâm O góc
quay -900
Bài 6 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Gọi M1;M2;M3;M4;M5;M6 lần lượt là trung điểm
AB;BC;CD;DE;EF;FA
a/ Tìm ảnh của tam giác AM1F qua Q(O ,120 )
0

uur ;V
( o ; −1)
b/ Tìm ảnh của tam giác AOF qua Q(O ,120 ) ; Q( E ,60 ) ; TuFO
c/ Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép
uuur dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc
0
quay -60 Phép tịnh tiến theo vectơ AO
Bài 7: Cho hcn ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của
AD,BC. Chứng minh rằng hai hình thang AEIB và CFID bằng nhau.
Bài 8: Cho hcn ABCD. Gọi O là tâm của nó; E,F,G,H,I,J lll trung điểm của các cạnh
AB,BC,CD,DA,AH,OG. Chứng minh rằng: hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.

Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD ;AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H,K,L,J là trung điểm các cạnh
AD;BC;KC;IC . CMR hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau .
0

0

r

Bài 10: Cho điểm M ( 1;3) , v ( −1;2 ) và đường thẳng d: x – 3y + 4 = 0.
r

a) Tìm ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vec tơ v : Tvr .
b) Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay – 900.
c) Tìm ảnh của M qua phép vị tự tâm O, tỉ số -2.
r

Bài 11: Cho điểm M ( 2;1) , v ( 3;2 ) và đường tròn (C): x 2 + y 2 + 2 x + 4 y − 20 = 0
r

a) Tìm ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vec tơ v : Tvr .
b) Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 900.
c) Tìm ảnh của M qua phép vị tự tâm O, tỉ số 2.
_________________________________________________________________________________________
Trang 19


Đề cương phụ đạo toán 11
r

d) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ v : Tvr .

r

Bài 12: Trong hệ trục Oxy, cho điểm M(1;2) , v ( 2; −1) , đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Đường tròn
(C): ( x − 3) + ( y + 1) = 9
2

2

a) Tìm ảnh của M qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: Tịnh
r
tiến theo vectơ v và phép vị tự V( O;3) .
b) Tìm ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: Tịnh
r
tiến theo vectơ v và phép vị tự V( O;3) .

Bài 13: Tìm ảnh của điểm A ( −3; 2 ) , đường thẳng d: 2x-3y+4=0 và đường tròn
(C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 4 = 0 qua các phép biến hình sau:
r
a. Tịnh tiến theo v( −2;3)
b. Phép đồngr dạng có được bằng việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số k=2 và phép tịnh
tiến theo v = (3; −1)
r

Bài 14: Trong hệ trục Oxy, cho điểm M(2;3) , vectơ v ( 2; −1) , đường thẳng d: 2 x + y – 4 = 0 và
đường tròn (C): ( x − 3) + ( y + 2 ) = 9
2

2

a) Tìm ảnh của M qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: phép

quay tâm O, góc quay 900. và phép vị tự V( O;2 ) .
b) Tìm ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép: phép
quay tâm O, góc quay 900. và phép vị tự V( O;2 ) .

TUẦN 10+11 (2tiết):
CHỦ ĐỀ 9: QUY TẮC ĐẾM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
_________________________________________________________________________________________
Trang 20


Đề cương phụ đạo toán 11
1. Quy tắc cộng.
Một công việc được hoàn thành bởi 2 phương án. Nếu phương án 1 có m cách làm, phương
án 2 có n cách làm thì công việc đó có: (m+n) cách làm.
2. Quy tắc nhân:
Một công việc được hoàn thành bởi 2 công đoạn (bước). Nếu công đoạn 1 có m cách làm,
công đoạn 2 có n cách làm thì công việc đó có: (m. n) cách làm.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B
để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Từ thành phố HCM đi Cần Thơ có hai công ty xe khách A và B. A có 5 xe khác nhau, B có 6
xe khác nhau. Anh Giao đi bằng xe công ty này và về bằng xe của công ty kia. Hỏi có mấy cách để
Anh Giao đi như vậy ?
Bài 2: Cô Huỳnh Nhi có 5 bộ đồ, 4 đôi giầy, 3 cái bóp và 2 cái mũ, tất cả đều khác kiểu. Hỏi cô ấy
có mấy cách chọn lựa để đi ra phố ?
Bài 3: Có 4 con đường nối trường với nhà, 3 con đường nối trường với chợ. Bạn Thùy muốn đi từ
nhà đến trường rồi đến chợ, xong trở về trường rồi về nhà. Có bao nhiêu lối đi và về nếu bạn này
muốn lượt đi và lượt về theo các đường khác nhau ?
Bài 4: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Lấy ra 3 chữ số khác nhau để lập thành một số M. Hỏi:

a. có bao nhiêu số có thể tạo được ?
b. có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ?
c. có bao nhiêu số chẵn?
Bài 5: Từ các số 0, 1, 2, 4, 5, 6. Hãy tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau ?
Bài 6: Tìm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau ?
Bài 7: Tổ 3 có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 1 học sinh để làm tổ
trưởng?
Bài 8: Trong một lớp có 18 bạn nam,12 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a. Một bạn làm lớp trưởng ?
b. Hai bạn,trong đó có một bạn nam và một nữ ?
Bài 9: Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau,8 quyển tiếng Anh khác nhau và 6 quyển
tiếng Pháp khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a. Một quyển sách?
b. Ba quyển sách tiếng khác nhau?
c. Hai quyển sách tiếng khác nhau?
a

_________________________________________________________________________________________
Trang 21


Đề cương phụ đạo toán 11
TUẦN 11+12(3 tiết):
CHỦ ĐỀ 10: HOÁN VỊ -CHỈNH HỢP –TỔ HỢP
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hoán vị.
Từ tập có n phần tử, mỗi cách lấy n phần tử xếp vào n vị trí là 1 hoán vị của phần tử.
Pn = n!= n.( n − 1)( n − 2 )....2.1

Với quy ước 0! = 1

2. Chỉnh hợp.
Từ tập có n phần tử, mỗi cách lấy k phần tử và xếp vào k vị trí là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Ank =

n!
( n − k )!

3. Tổ hợp.
Từ tập có n phần tử, mỗi cách lấy k phần tử và không sắp xếp là 1 tổ hợp chập k của n phần tử.
C nk =

n!
k!( n − k )!

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
HOÁN VỊ
Phương pháp giải:
•
Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1. 2. 3…n
Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
1. Trong phòng học có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh
gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chổ ngồi trong các trường hợp sau:
a. Tất cả học sinh ngồi tùy ý?
ĐS: 10!
b. Tất cả học sinh nam ngồi vào cùng một bàn, nữ ngồi một bàn ?
ĐS: 28800
2. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách môn Toán, 4 cuốn
sách môn Văn và 6 cuốn Sách môn Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các cuốn sách lên
một kệ sách dài, nếu mọi cuốn sách cùng môn được xếp gần nhau ?
ĐS: 207360

3. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số
đó
a. Có bao nhiêu số lẻ ?
ĐS: 72
b. Có bao nhiêu số chẳn ?
ĐS: 48
4. Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Hỏi có bao nhiêu số:
a. Có thể tạo được ?
ĐS: 24
b. Bắt đầu bằng chữ số 3 ?
ĐS: 6
_________________________________________________________________________________________
Trang 22


Đề cương phụ đạo toán 11
c. Không bắt đầu bằng chữ số 4 ?
ĐS: 18
5. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4. Hãy tìm tất cả các số lẻ có 5 chữ số khác nhau ? ĐS: 36
CHỈNH HỢP
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
n!
A kn = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) =
( n − k) !
1. Với các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau ?
ĐS: 120
2. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số tạo thành từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 4
chữ số khác nhau. Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5 ?
ĐS: 360 / 60
3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 ?

ĐS: 3024
4. Với 5 nghệ sĩ có 2 nam và 3 nữ, tham gia một buổi biểu diễn, với mỗi người là một tiết mục. Hỏi:
a.Có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình ?
ĐS: 120
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình mà tiết mục đầu và cuối đều do nữ nghệ sĩ biểu diễn ?
ĐS: 36
5. Phải bầu 1 lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ trong một lớp gồm 30 học sinh. Hỏi có bao
nhiêu cách bầu ?
ĐS: 24360
6. Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu
được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu nếu:
a. Cả năm lá cờ đều được dùng?
b. Ít nhất một lá cờ được dùng?

TỔ HỢP
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:

Ckn =

n!
k!( n − k ) !

( 0 ≤ k ≤ n)

1. Một lớp học có 40 học sinh với 20 nam và 20 nữ. GVCN muốn chia lớp thành 4 tổ: 1, 2, 3, 4.
Mỗi tổ có 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ ?

(

5 5 5

ĐS: C 520C15
C10C 5

)

2

2. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. GVCN muốn chọn 4 em vào ban trật tự. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn như thế, nếu:
a.Số nam hoặc nữ tùy ý ?
ĐS: 91390
b. Phải có 1 nam và 3 nữ ?
ĐS: 12650
c.Phải có 2 nam và 2 nữ ?
ĐS: 31500
d. Phải có ít nhất 1 nam ?
ĐS: 90025
3. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 bi vàng. Người ta lấy 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn trong số viên bi lấy ra không có đủ cả 3 màu ? ĐS: 1665 – 720
4. Giả sử X là một tập hợp gồm 6 điểm của mặt phẳng. Trong đó không có điểm nào thẳng hàng:
a.Hỏi có bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc X ?
ĐS: 15
b. Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh thuộc X ?
ĐS: 20
5. Một tổ gồm 8 nam 2 nữ. Cần lấy nhóm 5 người trong đó có 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
ĐS: 840
_________________________________________________________________________________________
Trang 23

Đề cương phụ đạo toán 11
6. Một bộ đề thi gồm 15 câu hỏi. Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu. Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể
xảy ra ?
ĐS: 1365
7. Một người muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bó hoa cắm vào một bình bông. Bó hoa thứ nhất có 10
bông hồng, bó hoa thứ hai có 6 bông thược dược, có hoa thứ ba có 4 bông cúc:
a.Hỏi người ấy có thể chọn bao nhiêu bông hoa tùy ý ?
ĐS: 38760
b. Nếu người ấy muốn chọn đúng 2 bông hồng, 2 thược dược và 2 cúc thì có bao nhiêu cách
chọn ?
ĐS: 4050
8. Một người muốn chọn 7 bông hoa từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ(các
bông hoa đôi một khác nhau) để làm một bó hoa:
a. Hỏi người ấy có thể chọn một bó hoa chỉ có đúng 1 bông hồng đỏ ?
ĐS: 1848
b. Hỏi người ấy có thể chọn một bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông
hồng đỏ?
ĐS: 150
TUẦN 12+13(3 tiết):
CHỦ ĐỀ 11: NHỊ THỨC NIU-TƠN(trình độ 1)
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Công thức khai triển:
2
( a + b ) = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n − 2b 2 + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnn b n
n

=

∑C
k =0

k
n

an −k bk

2. Tính chất:
• Số các số hạng trong khai triển là: n+1 số hạng.
k n−k k
• Số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1): Tk +1 = Cn a b
• Đặc biệt:
Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn −1 + Cnn = 2n
Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + ... + Cnn = 0
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:
a. ( x − a )5
b. ( x + 2)6
c. (a + 3b) 7
12

d. ( x − 2 y )6

10

1 
1 


e.  x − 2 ÷
f.  x + 4 ÷ ;

x 
x 


Bài 2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:
10
12
5
1
1 

 2 2

a.  x + ÷
b.  x + 4 ÷
c.  x 3 − 2 
x 
x
x 



10
1

4
Bài 3: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  x + ÷
x

12

1 

Bài 4: Tìm hệ số của x6 trong khai triển  −2x + 2 ÷
x 

5
 x 4
Bài 5: Tìm số hạng thứ 3 trong khai triển của biểu thức  − ÷
2 x

6

1

d.  x 2 − ÷
x


_________________________________________________________________________________________
Trang 24


Đề cương phụ đạo toán 11
Bài 6: Tìm hệ số của x12 y13 trong khai triển: (2 x + 3 y ) 25 .
1 12
)
x
Bài 8: Biết hệ số của x 2 trong khai triển của (1 + 3 x) n là 90. Hãy tìm n.
Bài 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x 2 +

10

2

Bài 9: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của  2x 3 + 2 ÷
x 

10
1 

Bài 10: Cho biểu thức :  x3 − 2 ÷
x 

20
a) Tìm hệ số của x trong khai triển bt trên
b) Tìm hệ số không phụ thuộc vào x của khai triển
c) Tìm hệ số thứ 8 của khai triển.
12
1

Bài 11. Trong khai triển  x + ÷ hãy tìm số hạng tự do.
x

Bài 12:
a.
Khai triển (x - 2y)5
b.

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x +
15

1 8
)
x3
8

2 
2

Bài 13: Tìm hệ số của x trong nhị thức sau:  x 2 + ÷ ,  x3 + ÷
x 
x

3

_________________________________________________________________________________________
Trang 25