30 bài tập tự luận thể tích khối đa diện

30 bài tập tự luận Thể tích khối đa diện
Tóm tắt kiến thức cơ bản
(Kiến thức chỉ tập trung vào các khối: Chóp tam giác, chóp tứ giác, lăng trụ và khối hộp)

1)

Xác định đường cao
a) Chóp đều
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (đáy là tam giác đều hoặc hình vuông)

b) Chóp có một mặt bên vuông góc đáy
Đường cao của mặt bên (kẻ từ đỉnh chóp) là đường cao của chóp
(Thông thường tam giác vuông góc đáy là tam giác cân hoặc đều)

c) Hai mặt bên cùng vuông góc đáy
Giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy

d) Lăng trụ đứng, hình hộp đứng
Đường cao chính là cạnh bên

e) Các trường hợp khác


Tứ diện, chóp tứ giác tổng quát



Lăng trụ, hình hộp xiên

Tùy dữ liệu đề bài để dựng hoặc tính được đường cao. Thông thường, ta chỉ xét 1 đỉnh thuộc 1
đáy (với lăng trụ, khối hộp) và tìm cách dựng đường cao từ đỉnh đó đến mặt còn lại.

2)

Góc
a) Góc giữa đường với mặt
 Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng
 Góc giữa đường với một mặt là góc giữa đường đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng

b) Góc giữa hai mặt phẳng
 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng
 Góc giữa hai mặt phẳng là góc tạo bởi hai đường thẳng thuộc hai mặt, cùng vuông góc giao
tuyến.

3)

Thể tích khối đa diện

1
Vchop  .h.Sđay ,
3

Vlangtru ,hop  Sđay .h

 Đáy thường là các tam giác, tứ giác đặc biệt
1


 S 

1

1
a.h  ab. sin C;
2
2

 Sh.vuong  a 2 ;

S đeu 

a2 3
4

Sh.chunhat  ab

1
 S h.thoi  . AC .BD hoặc chia thành 2 tam giác bằng nhau để tính
2
 Sh.binhhanh  a.h hoặc chia thành 2 tam giác bằng nhau để tính
 S h.thang 

1
a  b.h hoặc chia thành 2 tam giác để tính (có nhiều cách chia thành 2 tam
2

giác)

 Đường cao
 Xác định đường cao (phần trên)
 Tính đường cao: Tận dụng các tam giác vuông do đường cao tạo ra và kiến thức về góc;
các định lý thường dùng như Pytago, Ta-let, hệ thức lượng

  đeu  h 

a 3
2

Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông
góc với đáy, SA = AB = a, góc SDA  30 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
0

Bài 2. Một khối trụ có bán kính r và chiều cao h  3r . Tính diện tích xung quanh và thể tích của
khối trụ.
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông
góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một
góc bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ này .
Bài 4. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh
AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD xung quanh trục MN ta được hình trụ tròn xoay . Hãy
tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.
Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC  450 .
1) Tính thể tích hình chóp.
2) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a. Tính thể tích của
hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.

2


Bài 7. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy AB = a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 60o .
Tính thể tích khối chóp theo a.
Bài 8. Cho hình nón có bán kính đáy là R,đỉnh S .Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là 60 0.

1) Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau.
2) Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối nón.
Bài 9. Một hình trụ có diện tích xung quanh là S,diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu bán kính
bằng a. Hãy tính
1) Thể tích của khối trụ
2) Diện tích thiết diện qua trục hình trụ
Bài 10. Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a ,
SAO  30

, SAB  60 . Tính độ dài đường sinh theo a .

Bài 11. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, đường tròn đáy có tâm O,độ dài đường sinh l  a ,
góc hợp bởi đường sinh và mặt phẳng chứa đường tròn đáy là


. Tính diện tích xung quanh
4

và diện tích toàn phần của hình nón theo a .
Bài 12. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể
tích của hình chóp.
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a

2 , góc giữa mặt bên và đáy bằng 60 0.

Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. Tính thể tích khối chóp G.ABCD theo a.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông với đáy, góc giữa SC và
(SAB) bằng 450. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.Tính thể tích khối chóp G.ABCD
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a, SB vuông góc với đáy và
SB =

a 2 , góc giữa (SBC) và đáy bằng 300.

1) Tính thể tích khối chóp.
2) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 16. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Bài 17. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S và góc SAC =
600 ,  SAC    ABC  . Tính thể tích của khối chóp theo a.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi M,N lần
lượt là trung điểm của BC và CD, góc giữa (SMN) và (ABCD) bằng 30 0.Tính thể tích khối
chóp S.ABCD

3


Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a. AD = 2a. Cạnh SA vuông góc
với đáy, góc giữa SB và mặt đáy là 450.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 20. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Biết cạnh bên hợp với đáy một góc
600. Gọi M là trung điểm SA.Tính thể tích của khối chóp M.ABC.
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 22. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 , mặt bên
SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a biết SA
vuông góc với đáy và SC hợp với (SAB) một góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 24. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC). Biết AD hợp với (BCD) một góc 60 0. Tính thể tích tứ

diện ABCD.
Bài 25. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 9m3. Trên AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B’, C’, D’
sao cho AB = 2AB’ ; 2AC = 3AD’ ; AD = 3A’D’. Tính thể tích tứ diện AB’C’D’ .
Bài 26. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Lấy các điểm B’, C’ trên AB và AC sao cho AB =

a
; A’C =
2

2a
. Tính thể tích tứ diện AB’C’D.
3
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = AC = a, AD
= 2a, SA vuông góc với đáy và (SCD) hợp với đáy một góc 60 0. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SA =
2a. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 29. Cho hình chóp đều S.ACBD có cạnh đáy bằng 2a, góc hợp giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng

600 . Tính thể tích của hình chóp.
Bài 30. Cho hình chóp S.ACB có đáy ABC là tam giác vuông cân ( BA  BC ) , cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và có độ dài bằng a 3 , cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính diện
tích toàn phần của hình chóp.

4