giáo án tự chọn toán 9

Buổi 26
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
I. Kiến thức cần nhớ
Xét hệ phương trình
Hệ phương trình trên:
- Có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng (1) cắt đường thẳng (2)
hay
- Vô nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) song song với đường thẳng (2)
hay
- Vô số nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) trùng với đường thẳng (2)
hay
Tổng quát hơn, trong trường hợp các hệ số a, a’, b, b’ có thể bằng 0, ta có
a) ab’ – a’b 0: hệ có nghiệm duy nhất
b) ab’ – a’b 0: hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
II. Bài tập
Bài 1: Vẽ hai đường thẳng (d1): x + y = 2 và (d2): 2x + 3y = 0. Hỏi đường thẳng
(d3): 3x + 2y = 10 có đi qua giao điểm của (d1) và (d2) không ?
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 3: Tìm giá trị của a và b:
a) Để hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (1; - 5)
b) Để hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (3; - 1)
Bài 4: Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng (d1): và
(d2): cắt nhau tại điểm M(2; - 5)
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)

Bài 6: Giải hệ phương trình sau:
III. Hướng dẫn
Bài 1: Đường thẳng (d3): 3x + 2y = 10 có đi qua giao điểm của (d1) và (d2).
Bài 2:
a) (x; y) = (2; - 1)
b) ) = (1; 3)
c) (x; y) = (6; 1)
1


d) (x; y) = )
Bài 3:
a) a = 1; b = 17
b) a = 2; b = - 5
Bài 4: a = 8; b = - 1
Bài 5:
a)(x; y) =
b)
Bài 6:
(I) hoặc (II)
Giải (I) ta được nghiệm (x; y) = (1; - 3)
Giải (II) ta được nghiệm (x; y) = (3; 1)

Buổi 27
GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
I. Kiến thức cần nhớ
*/ Góc ở tâm. Số đo cung
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
- Số đo của cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ.

- Số đo của nửa đường tròn bằng 1800.
- Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
+ Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn
-Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđ AB = sđ AC+ sđ CB
*/ Liên hệ giữa cung và dây
- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
- Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một nhưng các góc xen giữa
không bằng nhau thì cạnh thứ ba không bằng nhau và cạnh nào đối diện với góc lớn hơn là cạnh
lớn hơn.
2


- Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một nhưng cạnh thứ ba không
bằng nhau thì góc xen giữa hai cạnh đó cũng không bằng nhau và góc nào đối diện với cạnh lớn
hơn là góc lớn hơn.
II. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác OAO’ vuông cân ở A. Vẽ hai đường tròn bán kính OA và O’A cắt nhau tại
điểm thứ hai I (Khác điểm A).
a) Tứ giác OAO’I là hình gì ? Vì sao ?
b) Tính số đo cung nhỏ AI và cung lớn AI của mỗi đường tròn.
c) Có nhận xét gì về các cung nhỏ AI và cung lớn AI của mỗi đường tròn trên ?
Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D. Vẽ đường tròn
tâm O ngoại tiếp tam giác BCD.
a) So sánh số đo các cung DB, BC và DC

b) Kẻ OI, OH, OK lần lượt vuông góc với DC, DB, BC. So sánh các đoạn OI, OH, OK.
Bài 3: Cho tam giác ABC, AB < AC. Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt ở E
và D. Chứng minh BD < CE.
Bài 4: Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD vuông góc với nhau. Gọi M là trung điểm của
BC. Chứng minh rằng OM = AD.
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 10cm. Một đường thẳng song song với AB
và cách AB 3cm, cắt nửa đường tròn tại C và D (C thuộc AD ).
a) Tứ giác ACDB là hình gì ?
b) Tính độ dài AC, CD, DB.
Bài 6: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD song song với AB (C thuộc cung AD ).
Qua M là điểm chính giữa cung CD kẻ các dây ME, MF sao cho ME // AC, MF // BD. Chứng
minh rằng
a) Tam giác MEF cân.
b) Tam giác MEF và hình thang ABCD có diện tích bằng nhau.
III. Hướng dẫn
Bài 1:
A
a) Tứ giác OAO’I là hình vuông
b) Tứ giác OAO’I là hình vuông
O
O'
=>
Trong đường tròn(O) có góc ở tâm
Số đo cung nhỏ AI = sđ
I
0
0
0
Số đo cung lớn AI = 360 – 90 = 270
Trong đường tròn(O’) có góc ở tâm

=> số đo cung nhỏ AI = sđ
Số đo cung lớn AI = 3600 – 900 = 2700
3


c) Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau vì có bán kính bằng nhau. Do đó
- Cung nhỏ AI của đường tròn (O) = cung nhỏ AI của đường tròn (O’)
- Cung lớn AI của đường tròn (O) = cung lớn AI của đường tròn (O’)
A
Bài 2:
_
a) Tam giác cân ABC cân ở A nên
_
B
=> nên trong tam giác BCD có BD < CD và
H
K
I
C
DB
DC
BC
DC
BC < CD do đó
<
và
<
D
b) Do BD < CD nên OI < OH, BC < CD nên OI < OI. Do đó
O

- Nếu DB = BC thì OH = OK > OI
- Nếu DB < BC thì OH < OK > OI
- Nếu DB > BC thì OK < OH > OI
A
Bài 3:
F
Gọi I là điểm đối xứng với B qua AC, F là điểm đối
D
E
xứng với C qua AB, ta có ,
Vì AB < AC nên > do đó >
Tam giác BCF và tam giác CBI có BF = BC = CI
B
O
và > nên CF > BI => CE > BD

Bài 4:
Kẻ đường kính CE
OM là đường trung bình của tam giác BCE => OM = BE
Ta có
=> AB // DE (cùng vuông góc với CD) => AD = BE
=> AD = BE do đó OM = AD.
Bài 5:
a) ACDB là hình thang cân
b) Kẻ CH AB. Đặt AH = x thì HB = AB – AH = 10 – x
ACB vuông tại C => CH2 = AH.HB
Do đó 32 = x.(10 – x) <=> x = 1 hoặc x = 9
Do AH < HB nên AH = 1cm
(cm) => BD = (cm)
CD = AB – 2AH = 8(cm)

Bài 6:
a) ME // AC => MC = AE
MF // DB => MD = FB
MC = MD

AE = BF
AC = BD

ME = MF

I

C

C
M
A

B
O

D

E

C

D

A

H

O

B

M
C
I
A

D

B

O

4

H
F

E
N


Ta có
nên
Mặt khác CD // AB =>

=>
=> ME = MF => Tam giác MEF cân tại M.
b) Kẻ đường kính MN cắt CD, FE tại I và H
=> MN CD, MN EF
BF
Ta có sđ MD + sđ DB = => sđ
sđ+ =DB=> DO OF
=> (1)
Và (2)
Từ (1) và (2) => => OID = FHO => FH = OI; ID = OH (3)
Mà SABDC = (OB + DI).OI
SMEF = (MO + OH).FH
Mà từ (3) ta có: FH = OI; ID = OH và OB = OM = bán kính
=> SABDC = SMEF

Buổi 28
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
I. Bài tập
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau theo 2 cách:
Cách 1: đưa hệ phương trình về dạng

Cách 2: đặt ẩn phụ (chẳng hạn: 3x – 2 = a, 3y + 2 = b)
a)
b)
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bài 5: Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình
cũng là nghiệm của phương trình 3mx - 5y = 2m + 1

5


Bài 6: Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương
trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Giải
các hệ phương trình sau:
a)
b)
II.Hướng dẫn
Bài 1:
a)
b)
c) (x; y) =
d) (x; y) =
Bài 2:
a) (x; y) =
b) Hệ phương trình vô nghiệm

c) Hệ phương trình vô nghiệm
d) (s; t) = (3; 2)
Bài 3:
a) (x; y) =
b) (x; y) =
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a) (x; y) =
b) (x; y) =
c) (x; y) =
d) (x; y) =
e) (x; y) =
f) (x; y) =
Bài 5: Giải hệ ta được
Thay giá trị của x, y vào phương trình 3mx - 5y = 2m + 1 tìm được m = 1.
Bài 6:
Chọn hai trong ba phương trình của hệ để lập thành một hệ có nghiệm duy nhất. Giải hệ này ta
tìm được nghiệm (x0; y0)
- Nếu (x0; y0) cũng là nghiệm của phương trình còn lại thì đó cũng là nghiệm của hệ phương
trình đã cho.
- Nếu (x0; y0) không phải là nghiệm của phương trình còn lại thì hệ phương trình đã cho vô
nghiện.
a) (x; y) = (3; 5)
b) Vô nghiệm.

Buổi 29 + 30
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Bài tập
Dạng chuyển động
6

Bài 1:Một ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3
km/h thì ca nô đến nơi sớm hơn 2 giờ. Nếu vận tốc ca nô giảm 3km/h thì ca nô đến nơi chậm 3
giờ. Tính chiều dài khúc sông AB.
Bài 2: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km. Một lần
khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km. Tính vận tốc riêng
của ca nô và vận tốc của dòng nước (biết vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước
trong cả hai lần là như nhau)
Bài 3: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km, một đoạn xuống dốc dài 5km. Một
người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc và vận tốc
xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
Bài 4: Một ca nô xuôi khúc sông dài 40km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rưỡi. Biết thời gian
ca nô xuôi 5km bằng thời gian ca nô ngược 4km. Tính vận tốc của dòng nước.
Dạng toán phần trăm
Bài 1: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10, với tỉ lệ trúng
tuyển 84%. Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90%. Tính xem mỗi trường có bao
nhiêu học sinh lớp 9 dự thi.
Bài 2: Hai tổ sản xuất phải làm được 900 sản phẩm trong một thời gian quy định. Do tổ một
làm vượt mức kế hoạch 20%, tổ hai làm vượt mức kế hoạch 30% nên hai tổ làm được 1130 sản
phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm theo kế hoạch.
Dạng toán về công việc, về vòi nước (chung – riêng)
Bài 1: Hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong việc. Nếu người thứ nhất làm
một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được
công việc. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc.
Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu
mở một mình vòi 1 trong 15 phút khoá lại rồi mở tiếp vòi 2 trong 20 phút thì cả hai vòi chảy
được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Bài 3: Hai tổ cùng làm chung một công việc thì trong 12 giờ thì xong. Nhưng hai tổ cùng làm
trong 4 giờ thì tổ (I) đi làm việc khác, tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi
tổ làm riêng trong bao lâu thì xong công việc ?

Bài 4: Hai vòi nước chảy vào một bể không có nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ rồi
khoá lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào bể 8 giờ nữa thì đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy
vào bể trong 1 giờ rồi mở thêm vòi thứ hai chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì được bể. Tính thời
gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Dạng toán về diện tích
Bài 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 3m. Nếu tăng chiều dài
thêm 2m và giảm chiều rộng 1m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng
ban đầu của mảnh đất.
7


Bài 2: Một miếng đất hình chữ nhật. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và chiều dài thêm 2m thì
diện tích tăng thêm 60m2, nếu giảm chiều rộng đi 3m và chiều dài đi 5m thì diện tích giảm đi
85m2. Tính kích thước miếng đất.
II. Hướng dẫn
Dạng chuyển động
Bài 1:Gọi vận tốc dự định của ca nô là x km/h, thời gia dự định đi khúc song AB là y giờ, thì
khúc sông AB dài xy km (x > 3, y > 2)
Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được x = 15, y = 12 (tmđk) => Khúc sông AB dài 15.12 = 180km.
Bài 2:
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là x km/h và y km/h (x > y > 0)
Vận tốc khi ca nô xuôi dòng là x + y km/h, vận tốc khi ca nô ngược dòng là x - y km/h.
Theo đầu bài ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta có x = 24, y = 3 (tmđk x > y > 0)
Bài 3: Gọi vận tốc lên dốc và xuống dốc theo thứ tự là x và y km/h (x > 0, y > 0)
Theo đầu bài ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta có x = 12, y = 15 (tmđk x > y > 0)
Bài 4: Gọi thời gian ca nô xuôi dòng 1km là x giờ, thời gian ca nô ngược dòng 1km là y giờ
(x > 0, y > 0)

Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta có x = , y = (tmđk x > y > 0)
Vậy vận tốc ca nô xuôi dòng là 20km/h, ngược dòng là 16km/h. Vận tốc dòng nước là
(20 – 16) : 2 = 2km/h
Dạng toán phần trăm
Bài 1: Gọi số học sinh của trường A và trường B dự thi theo thứ tự là x và y
Số học sinh của cả hai trường là 210. = 250
Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta có x = 150, y = 100 (tmđk)
Bài 2: Gọi số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 phải làm theo kế hoạch lần lượt là x và y
(x, y; x, y < 900)
Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta có x = 400; y = 500 (tmđk)
8


Dạng toán về công việc, về vòi nước (chung – riêng)
Bài 1: Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ (x > 16)
thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ (y > 16)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 24; y = 48 (tmđk)
Bài 2: Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ (x > )
thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 9 giờ (y > ). Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 3,75 = 3 giờ 45 phút, y = 2,5 = 2 giờ 30 phút
Bài 3: Gọi thời gian tổ (I) làm một mình hoàn thành công việc là x giờ (x > 12)
thời gian tổ (II) làm một mình hoàn thành công việc là y giờ (y > 12)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 60; y = 15 (tmđk)
Bài 4: Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ (x > )
thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 9 giờ (y > 0 ). Ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta được x = 9; y = 12
Dạng toán về diện tích
Bài 1: Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh đất ban đầu lần lượt là x và y (m) (x > 0, y > 1)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 8, y = 5
Bài 2: Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh đất ban đầu lần lượt là x và y (m) (x > 5, y > 3)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 20, y = 8

Buổi 31+ 32
GÓC NỘI TIẾP. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
I. Kiến thức cần nhớ:
*/ Góc nội tiếp
- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn
đó.
- Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.
9


- Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
- Trong một đường tròn:
+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
+ Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một
cung
*/ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là tiếp
tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn đó.
Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.

*/ Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một
cung thì bằng nhau.
II. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại F, cắt đường
tròn tại E. Chứng minh:
a) Tam giác BEC cân.
b)
c) AB.AC = AE.AF
d) AF2 = AB.AC – BF.CF
Bài 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm).
Gọi M là trung điểm AC. Đoạn thẳng MB cắt đường tròn tại K (khác B). Tia AK cắt đường tròn
tại D (khác K). Chứng minh rằng BD // AC.
Bài 3: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường
tròn ( C (O), D (O’)).
a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì có số đo không đổi.
b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với
nhau một góc có số đo không đổi khi cắt tuyến CAD quay xung quanh điểm A.
Bài 4: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát
tuyến MAB của đường tròn đó.
a) Chứng minh rằng ta luôn có MT2 = MA.MB và tích này không phụ thuộc vào vị trí của cát
tuyến MAB.
b) Khi cát tuyến MAB đi qua tâm O, tính bán kính của đường tròn nếu MT = 20cm,MB = 50cm
Bài 5: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với
đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại D.
⊥
Đường tròn (D; DB) cắt AB, AC lần lượt tại Q, P. Chứng minh AO PQ
10

Bài 7: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c nội tiếp đường tròn (O; R).
abc
S ABC =
4R
Chứng minh:
Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M bất kì trong tam giác, các tia
AM, BM, CM cắt đường tròn tại I, K, H. Chứng minh:
S IHK MI .MK .MH
=
S ABC MA.MB.MC
III. Hướng dẫn
A
Bài 1:
BE =
CE
a) =>
=> BE
= CE
) )
Do đó tại E.
O
b) Ta có: ,
F
B
=>
E
S
c) Ta có và nên AEB
ACF (g.g)
=> hay AB.AC = AE.AF (1)

d) Ta có: và => AFC
BFE (g.g)
S
=> hay BF.CF = AF.EF (2)
Từ (1) và (2) ta có: AB.AC – BF.CF = AE.AF - AE.EF = AF.( AE – EF) = AF2
Bài 2:
S
Ta có : => MCA MBC (g.g)
=> => (vì MA = MC)
Mà chung nên MAK MBA
(c.g.c)
S

B

¼
AnB

;

A

¼
µ = sd AmB
D
2

¼
AmB

D

O

K

Mặt khác => = => BD // AC.
Bài 3:
a) Trong tam giác CBD có

¼
µ = sd AnB
C
2

C

/

/

M

C

M

C
A

µ,D
µ
C

O

Vì
và
cố định nên
có giá trị không đổi
=> có giá trị không đổi, không phụ thuộc vào
vị trí của cát tuyến CAD khi cát tuyến đó quay xung
quanh điểm A.
11

m

n
B

O'

D


b) Gọi M là giao điểm của hai tiếp tuyến tại C và D của
(O) và (O’). Ta có:
= (1) (củng chắn cung nhỏ CA của (O))
= (2) (củng chắn cung nhỏ DA của (O’))
Từ (1) và (2) => + = + = (không đổi)

=> không đổi (tổng các góc trong một tam giác)
Bài 4:
S

a) MT

B

MT MB
=
MA MT

MA =>
=> MT = MA.MB
Vì cát tuyến MAB kẻ tuỳ ý nên ta luôn có MT2 = MA.MB
không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến MAB
M

A

2

O

T

b) Gọi bán kính của (O) là R
Theo phần a ta có:
MT2 = MA.MB = (MB – 2R).MB => R = 21cm

R
O

A

M

Bài 5:
Ta có

T

A

D
S

MAC

MDA =>

MA MC
=
MD MA

S

MBC

S

MDB =>

I
O

=> MA2 = MC.MD và

MA AC
=
MD AD

B

MB BC
=
MD BD

MC MC.MD MA2 MA MB AC BC
=
=
=
×
=
×
MD
MD 2
MD 2 MD MD AD BD

Ta cóS

IAC IDB (g.g) =>

B

(1)

AC IC
=
BD IB

12

C
M


IBC

IDA (g.g) =>

BC IB
=
AD ID

IC IC IB AC BC
=
× =
×
ID IB ID BD AD

Suy ra
Từ (1) và (2) =>

(2)

Bài 6:
Gọi E và I lần lượt là giao điểm của AO với PQ và (O).
Ta có =>
Mà nên =
Do + nên = 900
⊥
Vậy AO QP

Bài 7:
Kẻ đường kính AD và đường cao AH.
Ta có và
=> AHB S ACD(g.g) =>
=> AH =
1
abc
S ABC = BC. AH =
2
4R
Do đó

=>
Ta có:
MHK
MIK

MIH

S MBC(g.g)

B

P
C

Q
I

D

O
B

C

H
D

A
K
H
M

O
C

B

(1)

=>
MBA(g.g) =>
S MCA(g.g) =>
S

O
E

A

Bài 8:
Áp dụng kết quả bài 7 ta có
HI .IK .KH
AB.BC. AC
S IHK =
; S ABC =
4R
4R
S IHK
HI .IK .KH
=
S ABC AB.BC. AC

A

I

(2)
(3)
(4)
13


Từ (1), (2), (3), (4) => đpcm
Buổi 33
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN.
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
I. Kiến thức cần nhớ:
Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Số đo góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
II. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ dây DM song song với dây BC sao cho
DM cắt đoạn AC ở F và O, M nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC. Gọi E là giao điểm
của đường thẳng BC và AM.
a) Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác AEC, tam giác ABE đồng dạng với tam
giác ADC.
b) Chứng minh tam giác AFD đồng dạng với tam giác AMB.
Bài 2: Cho tam giác ABC (AC < AB) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Đường phân giác
trong và ngoài của góc A cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại D, E và AD = AE.
Hãy tính AB2 + AC2 theo bán kính R của đường tròn tâm O.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm
⊥
chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MP NQ
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Lấy M thuộc tia đối của tia BC.
Gọi I là giao điểm của MA với đường tròn, K là giao điểm của CI với AB. Chứng minh rằng
AC2 = AI.AM

Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B sao cho . Lấy điểm M thuộc đường tròn
(O). Kẻ MA, MB cắt đường tròn (O’) tại C và D (A nằm giữa M và C; B nằm giữa M và D).
Chứng minh rằng khi M di động thì độ dài CD không đổi.
III. Hướng dẫn:
Bài 1:
A
»BD = CM
¼ ⇒ BAD
·
·
= CAM
D
F
M
a) Do DM // BC nên
»S
¼
»
»
»
·AEB = sd AB − sdCM = sd AB − sd BD = sd AD
O
2
2
2
B

»
·ABD = sd AD
S 2

Mà
=> ABD

=>
AEC (g.g)
14
S

C

E


»
·ACD = sd AD ⇒ ·ACD = ·AEB
2

Ta có
Mà
=> ABE

b) Ta có

ADC (g.g)
»
¼
»
»
»

·AFD = sd AD + sdCM = sd AD + sd BD = sd AB
2
2
2

»
·AMB = sd AB
2

Mà
=>
Lại có => AFD AMB(g.g)
Bài 2:
Gọi AD cắt đường tròn tại M. Kẻ đường kính BF.
Ta có ADE vuông cân tại A nên
¼ + sd »AC
sd BM
= 450
2
=>
¼ + sd »AC = 900
sd BM
=>
¼ + sd »AF = 900
sdCM
=>
¼ = MC
¼ ⇒ »AF = »AC
BM
Mà

=> AF = AC
2
2
2
Do đó AB + AC = AB + AF2 = BF2 = 4R2
Bài 3:
gọi I là giao điểm của MP và NQ.
Ta có
1
·
¼ + sd NP
»
MIQ
= sd MQ
2
1 1
» + sdCD
»
= × sd »AB + sd »AD + sd BC
2 2
1
= ×3600 = 900
4
⇒ MP ⊥ NQ

(

F

O

A
D
E

M

B

)

(

B

C

M

)

N

A

C
P

A

Q

Bài 4:

I
S

I

O

K

15
M

B

D

O

C


»
º
»
º
»

·AMC = sd AC − sd BI = sd AB − sd BI = sd AI
2
2
2
»
·ACI = sd AI ⇒ AMC
·
= ·ACI
2

Lại có
Mà chung nên AMC
ACI (g.g)
AM AC
=
AC
AI
=>
=> AC2 = AI.AM

Bài 5:
Ta có không đổi =>

C

A

» − sd »AB
sdCD
·

CMD
=
2

M
O

Xét đường tròn (O’) có
»
»AB
CD
Mà không đổi,
không đổi nên sđ
=> độ dài CD không đổi.

O'

B
D

Buổi 34
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
I. Bài tập:
Bài 1: Cho hệ phương trình (I)
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất ? Vô nghiệm ? Hệ có thể có vô
số nghiệm được không ?
Bài 2: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình với a = 2.
b) Tìm các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 3: Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình với m = - 2.
b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x và y đều là số nguyên.
Bài 4: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình với m = 3.
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x > và y < 0.
16


Bài 5: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y với m là tham số:
1) Giải hệ phương trình với m = 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét hai đường thẳng có phương trình (1) và (2).
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (1) đi qua điểm cố định B và đường
thẳng (2) đi qua điểm cố định C.
b) Tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thoả mãn điều kiện góc BAC vuông. Tính diện
tích tam giác ABC ứng với giá trị đó của m.
II. Hướng dẫn:
Bài 1:
1
1

( d1 )
y = x −
2
2
⇔
 y = − mx + 2 ( d 2 )

Xét
1
⇔m≠−
2

Để hpt có nghiệm duy nhất thì (d1) cắt (d2)
1
⇔m=−
2
Để hpt có nghiệm duy nhất thì (d1) // (d2)
Vì (d1) và (d2) có tung độ gốc khác nhau nên(d1) và (d2) không thể trùng nhau hay hpt không thể
có vô số nghiệm.
Bài 2:
4
1
( x; y ) =  2 ; − ÷
14 
 7
a) Với a = 2, giải hệ được nghiệm
a≠0
b) Với
, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì
a ≠ 0
a a

2
≠
⇔ 4a ≠ a ⇔ a ( 4a − 1) ≠ 0 ⇒ 
1
1 4a
a
≠

4

a ≠ 0; a ≠

1
4

Vậy
thì hpt có nghiệm duy nhất.
Bài 3:
a) HS tự giải
b) Cộng từng vế các phương trình (1) và (2) ta được (m + 1)x = 2m + 1

17


x=

2m + 1
m
; y=
m +1
m +1

=> Với m -1 =>
=> m
Bài 4:
a) HS tự giải
8
9
− < m < ⇒ m ∈ { −2; − 1; 0;1; 2}
3

4
b) m Z,
Bài 5:


3
1
; − − 3÷
1 −
2
2


1) Với m = - giải được kết quả
2) a) Giả sử B(x1; y1) là điểm cố định mà đường thẳng (1) luôn đi qua.
Ta có mx1 – y1 = 0 với mọi m => x1 = 0, y1 = - 2
Tương tự với đường thẳng (2) ta có C(- 1; 2)
Vậy đường thẳng có phương trình (1) luôn đi qua điểm cố định B(0; -2) và đường thẳng có
phương trình (2) luôn đi qua điểm cố định C(- 1; 2)
b) Hệ số góc của hai đường thẳng đã cho là k1 = m, k2 = m – 2
ta có góc BAC vuông nên m(m – 2) = - 1 => m = 1
1
3
 ; − ÷
2
2
khi đó đường thẳng (d1): y = x – 2, (d2): y = - x + 1 cắt nhau tại A
1
15
S ABC = AB. AC =

2
4
Vậy
(đvdt)

Buổi 35 + 36
TỨ GIÁC NỘI TIẾP
I. Kiến thức cần nhớ:
- Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ
giác nội tiếp).
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc thì nội tiếp
được đường tròn.
18


- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) thì nội tiếp được đường
tròn. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
II. Bài tập
Bài 1: Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba
đường tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB,
DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M và N. Chứng minh ba điểm M, A, N
thẳng hàng.
Bài 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC = BE.ED. Chứng minh bốn
điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB’ và CC’. Chứng minh:
a) Tứ giác BCB’C’ là tứ giác nội tiếp.
b) OA vuông góc với B’C’.
Bài 4: (định lí Ptôlêmê)

Trong một tứ giác nội tiếp thì tích hai đường chéo bằng tổng của tích các cặp đối diện.
Bài 5: Cho đường tròn (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn (O). Gọi A là hình chiếu
của O trên xy. Qua A vẽ một cát tuyến không đi qua O cắt đường tròn tại B và C. Tiếp tuyến tại
B và C cắt xy lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác OCNA, OBAM là các tứ giác nội tiếp.
b) AM = AN.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O. Qua O kẻ OE,
OF, OG, OH lần lượt vuông góc với AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là tứ giác
nội tiếp.
Bài 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và điểm M trên cung CD. Gọi E, F, G, H lần
lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh:
a) Tam giác MEF đồng dạng tam giác MHG.
b) ME.MG = MF.MH.
III. Hướng dẫn
Bài 1
Nối PA, PB, PC, AM, AN ta có các tứ giác nội tiếp
AMBP, BDCP và APCN.
·
·
MAP
= PBD

·
·
PAN
= PCD

Suy ra

(cùng bù với

(cùng bù với

·
MBP

·
PCN

)

B

M

D

P

)

·
·
·
·
MAP
+ PAN
= PBD
+ PCD
= 1800

A

C

19
N


Do đó ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2
Từ giả thiết AE.EC = BE.ED =>
Ta có

·AEB = DEC
·

AE EB
=
(1)
ED EC

D

A

(2 góc Sđối đỉnh) (2)

Từ (1) và (2) => AEB

DEC =>

E

·
·
BAE
= CDE

·
·
BAE
= CDE

C

B

Đoạn BC cố định,
, A và D ở trong cùng
một nửa mặt phẳng có bờ BC nên bốn điểm A, B, C, D
cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 3:
a) BB’

⊥
⊥

AC =>

· ' C = 900
BB

A

· ' C = 900
BC

x

CC’ AB=>
· ' C = BC
· ' C = 900
BB
=>
=> hgai điểm B’, C’ nằm trên
đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCB’C’ là
tứ giác nội tiếp.
⊥
b) Kẻ tiếp tuyến Ax => Ax OA
Tứ giác BCB’C’ nội tiếp đường tròn đường kính BC
·AC ' B ' = BCA
·
· 'E
BC
=>
(cùng bù với
)
·ACB = BAx
·

Mặt khác
·AC ' B ' = BAx
·
⊥
=>
=> Ax // B’C’ => Ax OA
.
Bài 4: (định lí Ptôlêmê)
xét tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Qua B vẽ tia BK (K AC)
·ABK = CBD
·
S
sao cho
20

B'
C'

O

B

C
D

B

A

C

K
O

D


VABK

VDBC

(g.g)
ta có
=> AB.CD = BD.AK (1)
VABK S VDBC
Do
nên =>
·ABD = KBC
·
VBAD
Lại có
=>

S

VBKC

(c.g.c)

=> => BD.KC = AD.BC (2)

Từ (1) và (2) => AB.CD + BC.AD = BD. = BD.AC (đpcm)
Bài 5:
⊥
⊥
a) Ta có OC CN, OB BM (t/c tiếp tuyến),
C
1
⊥
O
OA xy (gt)
=>
1
+ Tứ giác OCNA có +
B
Vậy tứ giác OCNA nội tiếp đường tròn.
1
x
N
A
+ Trên nửa mặt phẳng bờ OM có 2 điểm
A và B cùng nhìn đoạn OM dưới một góc
bằng => 4 điểm O, B, A, M cùng thuộc một đường tròn
Vậy tứ giác OBAM nội tiếp đường tròn.
b) Theo phần a ta có:
tứ giác OCNA nội tiếp đường tròn => (2 góc nt cùng chắn cung AO)
tứ giác OBAM nội tiếp đường tròn => (cùng bù với )
VOBC
mặt khác
cân tại O =>
=> = => OMN cân tại O => ON = OM

E
Bài 6:
A
Các tứ giác AEOH, BEOF, CFOG, DGOH là các tứ giác
nội tiếp vì có tổng các góc đối diện bằng 1800.
H
Do đó
·
·
·
·
·
·
·
·
OAH
= OEH
, OEF
= OBF
, OGF
= OCF
, OGH
= ODA

(

) (

B
F

C

O
G
D

)

·
·
·
·
·
·
HEF
+ HGF
= OAD
+ ODA
+ OBC
+ OCB
= 900 + 900 =A1800
Suy ra
Vậy tứ giác EFGH là tứ giác nội tiếp.
Bài 7:

y

M

E

B

O
G

21

D
H

M

C
F


·
HMG
= ·ADC
·
EMF
= ·ADC

(Cùng bù với
(Cùng bù với

·
HDG
·ABC

)

)

·
·
HMG
= EMF

=>
Mặt khác các tứ giác MHDG, và MEBF là các tứ giác nội tiếp
·
·
·
·
MHG
= MDG
; MEF
= MBF
Nên
·
·
·
·
MDG
= MBF
HMG
= MEF
Mà

suy ra
S
MH MG
=
ME MF
Do đó MHG MEF (g.g), ta có
Hay ME.MG = MF.MH.

Buổi 37
MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình
a)
b)
c)
d)
Bài 2: Giải các hệ phương trình (đối xứng loại 1)
a)
b)
c)
d)
Bài 3: Giải các hệ phương trình(hệ phương trình đối xứng loại 2)
a)
b)
c)
d)
Bài 4: Giải hệ phương trình:
Bài 5: Giải hệ phương trình:
II. Hướng dẫn:
Bài 1

a)
Từ pt (1) ta có: y = 2x – 1, thay vào (2) ta được
22


−

2
11

x=
Với x = 1 => y = 1
2
15
−
−
11
11
Với x =
=> y =
b)
Từ pt (1) ta có: y = 3 – x, thay vào (2) ta được
=> x = 1 hoặc x = 2
Với x = 1 => y = 2
Với x = 2 => y = 1
c)
hoặc

Làm tương tự phần a, b. Hệ phương trình có tập nghiệm
d)

S = { ( 0;1) ; ( 1;0 ) }
Hệ phương trình có tập nghiệm
Bài 2: Giải các hệ phương trình
a)

Giải hệ phương trình ta có tập nghiệm
b)
Từ phương trình (1) =>

Hệ phương trình có tập nghiệm
c)

 1 1   2 1  
S =  ; − ÷;  ; ÷
 2 2   7 7  

S = { ( 1;2 ) ; ( 2;1) ; ( −1; −2 ) ; ( −2; −1) }

 9 9 

S =  3 ; 3 ÷; ( 2;1) 
 2 2 


Đặt a = x + y; b = xy (. Ta có hệ
Giải hệ phương trình ta được a = - 5 hoặc a = 3
Với a = - 5 => b = 10, không thoả mãn điều kiện
Với a = 3 => b = 2. Khi đó
23

Hệ phương trình có tập nghiệm

S = { ( 1;2 ) ; ( 2;1) }

d)
Từ phương trình (1) ta có (x – 1)(2x + y) = 0 => x = 0 hoặc y = - 2x
S = { ( 1;2 ) ; ( 1; −2 ) ; ( −1;2 ) }
Lần lượt thay vào (2) ta có tập nghiệm
Bài 3: Giải các hệ phương trình
a)
Trừ từng vế phương trình (1) cho phương trình (2) => (x – y)(x + y + 1) = 0
=> x = y hoặc x = - y – 1

 5 − 1 − 5 − 1   − 5 − 1 5 − 1  
S = ( −1; −1) ; ( 2;2 ) ; 
;
;
÷; 
÷
2
2
2
2  



Hệ phương trình có tập nghiệm
b)
Trừ từng vế phương trình (1) cho phương trình (2) => (x – y)(x2 + xy + y2 + 5) = 0 (3)

2

y  3 y2

+5>0
x+ ÷ +
2
4


Mà x2 + xy + y2 + 5 =
⇔ x− y=0⇔ x= y
Nên (3)

S=

Hệ phương trình có tập nghiệm
c)

{ ( 0;0) ;(

với mọi x, y

)(

11; 11 ; − 11; − 11

)}
x = y
x + y = 4

( x − y ) ( x + y − 4) = 0 ⇔ 
Trừ từng vế phương trình (1) cho phương trình (2) =>
S = { ( 0;0 ) ; ( 2;2 ) }
Hệ phương trình có tập nghiệm
d)

x + y = 0
x − y + 2 = 0

( x + y ) ( x − y + 2) = 0 ⇔ 
Trừ từng vế phương trình (1) cho phương trình (2) =>
Với x + y = 0 => hoặc
Với x – y + 2 = 0 => hoặc
Bài 4: Giải hệ phương trình:
24


(*)
Nhân vế với vế của ba phương trình ta được
1) = 8. Kết hợp với (*) =>
2) = - 8. Kết hợp với (*) =>
Bài 5: Giải hệ phương trình:
Đk . Ta có các vé đều không âm, bình phương các vế ta được
Trừ từng vế:
= <=> = <=> x = y
Thay vào một trong hai phương trình trên ta có
<=> = 23 – x <=> x = 11
Vậy hpt có nghiệm là x = y = 11

Buổi 38
HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0)
I. Kiến thức cần nhớ:
Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc R
Tính chất biến thiên
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
Đồ thị của hàm số là đường parabol với đặc điểm:
Đỉnh O(0; 0)
Trục đối xứng Oy
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, nhận gốc toạ độ làm điểm thấp nhất.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, nhận gốc toạ độ làm điểm cao nhất.
II. Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là parabol(P) và hàm số y = x + 2 có đồ thị là đường thẳng d.
a) Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P). Tính diện tích tam giác AOB.
1 2
x
2
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) =
a) Vẽ đồ thị của hàm số
25