Đề thi học sinh giỏi (Hà Nội)

Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội năm 2008
Bài 1. (4đ)
a) Tìm số nguyên tố p thỏa m n: p + 4; p + 8 cũng là số nguyên tốã
b) Tìm số hữu tỉ a thỏa m n aã
2
+ 5a là số tự nhiên và là số chính phơng
Bài 2. (4đ)
Cho x 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
7521
2
++=
xxxA
Bài 3. (4đ)
Cho phơng trình
3
32
8348)2(22 +=++ xmxmx
a) Giải phơng trình với m = 1
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm?
Bài 4. (4đ)
Cho đa giác đều 91 đỉnh. Mỗi đỉnh của đa giác đợc tô bởi 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ.
Chứng minh luôn tìm đợc 3 đỉnh trong 91 đỉnh của đa giác thỏa m n:ã
3 đỉnh này cùng màu, là ba đỉnh của một tam giác cân có ít nhất 1 góc nhỏ hơn 60
o
.
Bài 5. (4đ)
Cho (O;R) dây BC cố định (BC <2R) A di chuyển trên cung lớn BC (A khác B và C). M
là trung điểm đoạn AC. H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Tìm vị trí của A để
CH có độ dài lớn nhất.