Bộ tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 môn toán

ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN
ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH
Trong nhiều bài toán về chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương
trình, hệ phương trình, tìm giới hạn của dãy số …chúng ta có thể giải được một cách
“đẹp đẻ” bằng phương pháp lượng giác. Sau đây là một số cách đặt và bài toán minh
họa.
I. Một số cách đặt để đưa bài toán về dạng lượng giác
1. Các biểu thức thường gặp
 x  a cos t  0  t   

2
2
a  x đặt 

 
 x  a sin t    t  
2
 2
a

3 

x2  a2 đặt x 
0t    t  

cos t 
2
2 


a2  x2 đặt x  a tan t    t  

2
 2


 x  tan t  
 x  tan t  
x y
x y


đặt 
đặt 
  t , u   ;
  t , u  


2
2
1  xy
1  xy
 y  tan u  2
 y  tan u  2
2. Nếu biến x của bài toán thỏa x  1
 x  cos t

Đặt 
 x  sin t


0  t   


 
  t  
2
 2

3. Nếu các biến x, y của bài toán thỏa a2x2 + b2 y 2 = c2 a,b,c > 0
c

 x  a sin t
Đặt 
 0  t  2 
 y  c cost

b
4. Nếu các biến x, y, z của bài toán thỏa x + y + z = xyz hoặc xy + yz + zx = 1
 x  tan t


Đặt  y  tan u    t , u, v  
2
 z  tan v  2

II. Một số bài toán minh họa
1. Phương trình, hệ phương trình
1
Bài 1: Giải phương trình 4 x3  3x   0 .
2
1
Lời giải: Đặt f  x   4 x3  3x  . Ta có

2
f  1  1,5, f  0,5  0,5, f  0  0,5, f 1  0,5 . Do đó phương trình có 3
nghiệm thuộc khoảng  1;1 và ta biết cos3 =4cos3  3cos , do đó đặt
1

x  cos t  0  t    khi đó phương trình có dạng cos3t =  t    k 2 với
2
9

5
7

5
7
0  t    t1  ; t2 
;t 
 x1  cos ; x2  cos
; x3  cos
9
9 3 9
9
9
9
Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT

1



5

7
vậy phương trình có 3 nghiệm x1  cos ; x2  cos
.
; x3  cos
9
9
9


Đặt 2t   2  1

 
x

Bài 2: Giải phương trình 3  2 2 
Lời giải:

4t 2  3 

x



2 1  3 1 .
x

t  0 khi đó phương trình có dạng

1
1

 0  4t 3  3t   0
2t
2

*

1

Đặt t  cos u  0  u    khi đó phương trình có dạng cos3u   u    k 2 
2
9

5
7
phương trình * có 3 nghiệm t1  cos ; t2  cos
.
; t  cos
9
9 3
9
Vậy Phương trình 1 có nghiệm

5 
7 


x1  log 2 1  cos  ; x2  log 2 1  cos  ; x3  log 2 1  cos 
9
9 
9 




1
Bài 3: Giải phương trình 16 x5  20 x3  5x   0 .
2
1
Lời giải: Đặt f  x   16 x5  20 x3  5x  . Ta có
2
f  1  1,5; f  0,9  0,1321; f  0  0,5;
. Do đó phương trình có
f  0,2  0,3451; f  0,5  0; f  0,6   0,575; f 1  0,5.
5 nghiệm thuộc khoảng  1;1 và ta biết cos5 =16cos5  20cos3  5cos , do đó
1
 k 2
đặt x  cos t  0  t    khi đó phương trình có dạng cos5t =  t   
với
2
15
5

5
7
11
13
0  t    t1  ; t2 
;t 
;t 
;t 
15

15 3 15 4 15 5 15

 1
7
11
13
. Vậy phương
 x1  cos ; x2  cos  ; x3  cos ; x4  cos
; x5  cos
15
3 2
15
15
15

 1
7
11
13
; x5  cos
trình có 5 nghiệm x1  cos ; x2  cos  ; x3  cos ; x4  cos
.
15
3 2
15
15
15
Bài 4: Giải phương trình 8x4  8x3  4x2  3x 1  0 .
Lời giải: Đặt f  x   8x4  8x3  4x2  3x  1 . Ta có
f  1  10; f  0,4  0,123; f  0  1;

. Do đó phương trình có 4 nghiệm thuộc
f  0,6  0,575; f 1  0.
khoảng  1;1 . Ta viết laị phương trình dưới dạng 2  2 x2 1 1  4 x3  3x
2

t  k 2

Do đó đặt x  cos t  0  t    khi đó phương trình có dạng cos4t =cos3t  

2
4
6
;t 
;t 
7 3 7 4 7
2
4
6
 x1  1; x2  cos
; x3  cos ; x4  cos .
7
7
7



t

k 2
7

với 0  t    t1  0; t2 

2
4
6
; x3  cos ; x4  cos
Vậy phương trình có 5 nghiệm x1  1; x2  cos
.
7
7
7

Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT

2


Bài 5: (Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Bến Tre năm học 2013-2014).

 x  y(4  y)

Cho hệ phương trình  y  z(4  z) 1 . Gọi  x; y; z  là nghiệm của hệ phương trình
 z  x(4  x)

(1). Tìm tất cả các giá trị của tổng T  x  y  z .
Lời giải: Cộng các vế của hệ ta được x  y  z  4  x  y  z    x2  y 2  z 2 

 3T  x2  y2  z 2  T  0  trong 3 số x hoặc y hoặc z có ít nhất một số không âm
giả sử x  0  y  4  y   0  0  y  4 . Với

0  y  4  0  z  4  z   4  0  z  4 và 0  z  4  0  x  4  x   4  0  x  4
Đặt x  4sin 2 




0 




   (4) . Từ (3), (2), (1)
2



z  4sin2  4  4sin2  =16sin2  cos2  4sin2 2



x  4sin 2 4  4  4sin 2 4  =16sin 2 4 cos2 4  4sin 2 8

y  4sin 2 2 4  4sin 2 2 =16sin 2 2 cos2 2  4sin 2 4
(5)

Từ (4) và (5) suy ra

4sin 2 8  4sin 2   cos16  cos2



 



 k
7
 k
9

k Z 

Với   k vì 0      k  0; 1; 2; 3 .
7
2

Với k  0  x  4sin2 0  0; y  4sin 2  2.0   0; z  4sin 2  4.0   0  T  0
Với

k  1; 2; 3  ta

được cùng một giá trị



 T  4  sin 2   sin 2 2  sin 2 3 
7
7
7 




 2 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 
7
7
7 



 6  2  cos 2  cos 4  cos 6 
7
7
7 

A= cos 2  cos 4  cos 6
7
7
7
 2sin  A  2sin  cos 2  2sin  cos 4  2sin  cos 6
7
7
7
7
7
7
7
 sin 3  sin   sin 5  sin 3  sin 7  sin 5   sin 
7
7

7
7
7
7
7
 A=- 1  T  7
2
Với   k vì 0      k  0; 1; 2; 3; 4 .Với k  0 
2
9

Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT

3


x  4sin2 0  0; y  4sin2  2.0   0; z  4sin2  4.0   0  T  0
Với k  1; 2; 4  ta được cùng một giá trị


 T  4  sin 2   sin 2 2  sin 2 4 
9
9
9





 2 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 8   6  2  cos 2  cos 4  cos 8

9
9
9 
9
9
9


A= cos 2  cos 4  cos 8
9
9
9
 2sin  A  2sin  cos 2  2sin  cos 4  2sin  cos 8
9
9
9
9
9
9
9
3


5

3

9

7


 sin  sin  sin  sin  sin  sin
9
9
9
9
9
9

5

7


2

  sin  sin  sin
  sin  2cos sin   A=0  S=6
9
9
9
9
3
9


Với k  3  S  4  sin 2 3  sin 2 6  sin2 12   9
9
9
9



Vậy T có thể nhận một trong 4 giá trị 0; 6; 7; 9





3
3
Bài 6: Giải phương trình 1  1  x2  1  x   1  x    2  1  x2 .





Lời giải: Đặt x  cos t  0  t    khi đó phương trình có dạng
3
3
1  sin t  1  cost   1  cost    2  sin t





t
t 2
t
t
  cos  sin   23 cos6  23 sin 6




  2  sin t
2 

2 
2
t
t
3 t
3 t 
 2 2  cos  sin 
 cos  sin   2  sin t
2
2 
2
2

t
t
t
t
t
t
 2 2  cos 2  sin 2 
cos 2  cos sin  sin 2   2  sin t

2
2 

2
2
2
2

1
1




 2 2cost 1  sin t   2  sin t  2 2cost - 1 1  sin t   0
2
2




1

 2cost - 1  0  cost =
2

 1
1  sin t  0 VN 
2

2



Vậy phương trình có nghiệm x 



1
.
2

2. Chứng minh các hệ thức
a b b c c a a b b c c a
Bài 1: Chứng minh rằng
. Với ab, bc, ca



.
.
1  ab 1  bc 1  ca 1  ab 1  bc 1  ca
đều khác -1.

Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT

4


Lời giải: Đặt a  tan ;b  tan  ; c  tan  khi đó
a  b tan   tan 
b  c tan   tan 


 tan     ;

 tan      ;
1  ab 1  tan  tan 
1  bc 1  tan  tan 
c  a tan   tan 

 tan     
1  ca 1  tan  tan 
a b b c c a


 tan      tan       tan     . Ta có
1  ab 1  bc 1  ca
sin  A + B sin C
tan A + tan B + tan C 

cosA + cosB cosC
sin  A + B cosC + sin Csin  A + B 

cosAcosBcosC
sin  A + B + C  -cos  A + B sin C + cosAcosBsin C

cosAcosBcosC
sin  A + B + C  +sin Asin Bsin C sin  A + B + C 


 tan A tan Btan C
cosAcosBcosC
cosAcosBcosC

sin  A + B + C
 tan A + tan B + tanC 
 tan A tan BtanC
cosAcosBcosC
a b b c c a



 tan      tan       tan    
1  ab 1  bc 1  ca
sin            

 tan  tan  tan 
cos cos cos
sin 0

 tan  tan  tan 
cos cos cos
a b b c c a
(đpcm)

.
.
1  ab 1  bc 1  ca
3a  a 2 3b  b2 3c  c2 3a  a 2 3b  b2 3c  c 2
Bài 2: Chứng minh rằng
. Với




.
.
1  3a2 1  3b2 1  3c2 1  3a 2 1  3b2 1  3c2
1
.
a  b  c  abc và a, b, c đều có giá trị tuyệt đối khác
3
Lời giải: Đặt a  tan ;b  tan  ; c  tan  khi đó
sin  +  +  
tan  + tan  + tan  
 tan  tan  tan 
cos cos cos
Do đó tan + tan  + tan   tan  tan  tan  khi  +  +  = k  k  Z 

3a  a 2 3tan   tan 2 
3b  b2 3tan   tan 2 


tan3

;

 tan3 ;
1  3a 2
1  3tan 2 
1  3b2
1  3tan 2 
3c  c 2 3tan   tan 2 

 tan3

1  3c 2
1  3tan 2 
 +  +  = k  k  Z   3 +3 +3 = 3k
Vậy tan3 + tan3 + tan3 = tan3 tan3 tan3
3a  a 2 3b  b2 3c  c 2 3a  a 2 3b  b2 3c  c 2
(đpcm)




.
.
1  3a2 1  3b2 1  3c2 1  3a 2 1  3b2 1  3c2

Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT

5


Bài 3: Cho ab  bc  ca  1  a, b, c  0 . Chứng minh rằng
1
1
1
2



2
2
2

bc 1  a  ca 1  b  ab 1  c  abc 1  a 2 1  b2 1  c2
Lời giải: Đặt a  tan  ; b  tan  ; c  tan 
ta có tan tan  + tan  tan  + tan  tan  1
 tan  tan  + tan  tan   1  tan  tan 
tan   tan 
 tan   tan  + tan   
tan    

 tan  

Ta có



 0   ,  ,    khi đó theo giả thiết
2


 cot           

1

tan    


2


1
1



 co t  co t  cos 2
2
 bc 1  a 2
tan  tan  1  tan 


1
1

 co t  co t  cos 2 

2
2
tan  tan  1  tan 
 ca 1  b

1
1

2
 ab 1  c 2  tan  tan  1  tan 2   co t  co t  cos 


























Do đó VT  cot  cot  cos2  cot  cot  cos2   cot  cot  cos2
 co t  co t  cos 2  co t  co t  cos 2   co t  co t  cos 2

 co t  co t  co t   tan  cos 2  tan  cos 2   tan  cos 2 

1
 co t  co t  co t  sin 2  sin 2  sin 2 
2
1
 co t  co t  co t  4cos cos cos  2  2  2   
2

2
 2cot  cot  cot  cos cos cos 
(đpcm)
2
abc 1  a 1  b2 1  c2
3.Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
n
n
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có 1  a   1  a   2n .
Với a  1 .
Lời giải: Đặt a  cost khi đó
n
n
n
n
1  a   1  a   1  cost   1  cost 
t
t
t
t


 2n  cos2n  sin 2n   2n  cos2  sin 2   2n


2

2



2

2

t
t
t
cos2  1  cos2n  cos2
Vì

2

2

2

t
t
t
sin 2  1  sin 2n  sin 2
2

2

2

Bài 2: Cho a  b  2a  4b  4  0 . Chứng minh rằng
a2  b2  2 3ab  2 1  2 3 ab  4  2 3 b  3  4 3  2
2

2









Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT

6


Lời giải:
2
2
Ta có a2  b2  2a  4b  4  0   a 1  b 1  1 .
a  1  sin t  a  1  sin t
Đặt 
khi đó

b  2  cost  b  2  cost









a2  b2  2 3ab  2 1  2 3 ab  4  2 3 b  3  4 3  2sin  2t 



2
6 
1  x4
Bài 3: Tìm gía trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
.
2
2
1

x
 


1  x4
1  2x 
Lời giải: Ta viết laị hàm số dưới dạng y 
1 
2
4
2  1  x2 
1 2x  x
2


1  2tan t 
1
 
Đặt x  tan t    t   khi đó hàm số có dạng y  1  
 1  sin 2 2t
2 
2
2  1  tan t 
2
 2
Vậy ymax  1 khi sin2t =0,  - < 2t <    t  0  x  tan0  0
1


ymin  khi sin2t = 1,  - < 2t <    2t    x   tan  1 .
2
2
4
4. Tính giới hạn và tìm số hạng tổng quát của dãy số
u  2 1
Bài 1: Cho dãy số un  thỏa u1  2, un1  n
, n  1,2,3,... Tính u2013 .
1  2 un  1
2

Lời giải: Đặt u1  2  tan  , 0   


2





và chú ý rằng

2 1  tan


8

. Khi đó



tan      tan

8
8  tan    2  




8  tan   , u 
u2 
3




.



8
8





1  tan  tan
1  tan     tan
8
8
8


Bằng qui nạp ta chứng minh được un  tan    n  1  , n  1.
8


1
1
Vậy u2013  tan   2012    cot   

8
tan 

2

tan   tan



Bài 2: Cho dãy số un  thỏa u0  2, un1  2  un , n  N Tính limun .







Lời giải: Ta có u0  2  2cos , u1  2  u0  2 1  cos   2cos 3
4
4
2

Bằng qui nạp ta chứng minh được un  2cos
Vậy lim un  lim  2cos



2

n 2



2n  2

, n  1 .


  2cos0  2 .


III. Bài tập tự giải
1. Chứng minh rằng nếu a2  b2  c2  d 2  1 thì ac  bd  1 .
2. Giải phương trình 4 x3  3x 

3
0.
2

2
1
3. Giải phương trình 32 x  x2 1 2 x2 1  1  , trên khoảng  0;1 .
x

Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT

7


4. Cho 0  ai  1, i  1,2,..., n n  N * . Chứng minh rằng
1 a12 1 a22 ...1 an2   1 a12 1 a22 ...1 an2   2n .
5. Cho a, b, c  0 và thỏa mãn ab  bc  ca 1 . Tính giá trị của biểu thức

1  b 1  c   b 1  c 1  a   c 1  a 1  b  .
2

M a

1  a2

2

2

2

1  b2

Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT

2

2

1  c2

8


ĐƠN VỊ ĐỒN THỊ ĐIỂM

CHỦ ĐỀ: CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP
HỆ THỐNG CÂU HỎI
CÂU HỎI NHẬN BIẾT
1. Hãy nêu định nghĩa giao của hai tập hợp A và B.

Sau đó hãy viết cơng thức A  B =?
2. Hãy nêu định nghĩa hợp của hai tập hợp A và B.
Sau đó hãy viết cơng thức A  B =?
3. Hãy nêu định nghĩa hiệu của hai tập hợp A và B.
Sau đó hãy viết cơng thức A\ B =?
CÂU HỎI THƠNG HIỂU
4. Trong các khẳng đònh sau , khẳng đònh nào đúng:
a. x  A  x  A  B
b. x  B  x  A  B
c. x  A  B  x  A \ B
d. x  A  B  x  A  B
B  2, 4, 6
C  1, 3, 5 .
5. Cho các tập hợp: A  1, 2, 3, 4
Xác đònh các tập hợp sau:
a) A  B, A  B
b) A  C, A  C
c) B  C, B  C

B  2, 4, 6,8
6. Cho A  1, 2, 3, 4, 5
Xác đònh các tập hợp: A\B, B\A.
7. Cho tập hợp A, hãy xác đònh A  A, A  A, A   , A   , C AA , C A
CÂU HỎI VẬN DỤNG THẤP
8. Cho

và
Xác định các tập hợp:
9. Cho các tập hợp
Chứng minh rằng:

.
,

và

.

.
.
10, Xác định các tập hợp

rồi biểu diễn trên trục số trong các

trường hợp sau:

11, Cho các tập hợp

và

a) Tìm m sao cho:
chỉ có một phần tử duy nhất.
Tìm a, b sao cho A = C.


12, Cho tập hợp

;

và

;

;
.

Xác định các tập hợp A và B.
CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO
13. Trong một lớp học ngoại ngữ, tập A gồm các học viên nữ có 4 phần tử, tập hợp B gồm các học viên từ 20
tuổi trở lên có 5 phần tử. Trong đó có 3 học viên nữ từ 20 tuổi trở lên. Tìm số phần tử của tập A  B ?
14. Trên một bãi đổ xe có 42 xe gồm taxi và xe buýt. Có 14 xe màu vàng và 37 xe buýt hoặc xe không có màu
vàng. Hỏi trên bãi xe có bao nhiêu xe buýt màu vàng?
15. Một lớp học có 40 học sinh, có 15 học sinh khá môn Toán, 16 học sinh khá môn Văn và 17 học sinh khá
môn Tiếng Anh.Có 5 học sinh khá cả 2 môn Toán và Văn, 8 học sinh khá cả hai môn Toán và Tiếng Anh, 6
học sinh khá cả 2 môn Văn và Tiếng Anh, 2 học sinh khá cả 2 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ học khá
môn Toán, chỉ học khá môn Văn, chỉ học khá môn Tiếng Anh, không học khá môn nào?
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
1, 2, 3 : Như sgk
4) Câu đúng: b và d
5)
a) A  B = {2; 4}, A  B = {1; 2; 3; 4; 5; 6;8}
b) A  C = {1; 3; 5}, A  C = {1; 2;3; 4; 5}
c) B  C =  , B  C = {1; 2; 3; 4; 5; 6;8}
6) A\B = {1; 3; 5} và B\A = {6; 8}
7) A  A  A , A   , A   , C AA   , CA  A
8) .

;

;

9)

.
Vậy

.
.

Vậy
10)

.


11)

a)

.
12)
;
.
13.
Số phần tử của tập A  B là : n( A  B ) = n(A)+n(B)-n( A  B )=4+5-3=6 phần tử.
14)
Gọi
A: tập hợp các xe màu vàng.  n A  42  14  28

 

B: tập hợp xe buyt.
Do đó:

A  B : tập hợp xe buýt màu vàng.





A  B : tập hợp xe buyt hoặc xe không có màu vàng  n A  B  37

Ta có:





n A  B  n( A)  n( B)  n( A  B)
 37

 28  n( B)   n( B)  n( B  A) 

 n( B  A)  37  28  9
Vậy có 9 xe buýt màu vàng.
15) Gọi
A: các học sinh khá toán
B: các học sinh khá văn
C: các học sinh khá tiếng anh
Do đó:

n  A  15, n  B   16, n  C   17
n( A  B)  5, n( A  C )  8, n( B  C )  6, n( A  B  C )  2
Ta có: n  A  B   n( A)  n( B)  n( A  B)  26 tương tự: n  A  C   24, n  B  C   27

 n  A  B  C   31
Xét trong D = A  B  C :
A  B : các học sinh chỉ khá môn tiếng anh.
n( A  B)  n( D)  n( A  B)  5
Tương tự: có 7 hs chỉ khá môn văn, có 4 hs chỉ khá môn toán.
Có 40 – 31=9 hs không giỏi khá môn nào.


Sở GD-ĐT Bến Tre
Đơn vị: Trường THPT Lê Hoài Đôn

BẢN MÔ TẢ KIẾN THỨC
CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ (Lớp 10CB)
Nội dung

1.
Hàm
số.
TXĐ
của
hàm
số

I. Ôn
tập về
hàm

số
2.
Cách
cho
hàm
số

Nhận biết
MT. Nêu được khái niệm hàm
số, tập xác định của hàm số
VD.
Nêu một ví dụ thực tế về hàm
số.

Thông hiểu
MT. Biết bản chất 1-1 của
hàm số. Nhận biết tập xác
định và tập giá trị
VD. Sự tương ứng giữa các
số thứ tự từ 1 đến 34 với tên
các học sinh của lớp 10 có
34 học sinh

MT. Nhận biết các cách cho MT. Hiểu các đại lượng biến
hàm số
số và giá trị hàm số theo các
VD. Nêu các cách cho hàm số cách cho hàm số.
VD.
- Dựa vào bảng (biểu đồ),
cho biết đâu là biến số, đâu

là giá trị hàm số?
- Cho 1 ví dụ về hàm số cho
bằng công thức

Vận dụng thấp
MT. Biết tìm tập xác định
của một số hàm số quen
thuộc
VD. Tìm TXĐ của các hàm

Vận dụng cao
Quan sát bảng thống kê
về thu nhập bình quân đầu
người (SGK trang 32) cho
biết:
2x  3
a/. Với mỗi x = {1995,
số: a) y 
1996, …, 2004} có tìm
x2
được giá trị y tương ứng
b) y  3  x
duy nhất không?
b/. Nêu tập các giá trị x?
(Tập xác định) Nêu tập
các giá trị y? (Tập giá trị)
MT. Xác định được giá trị Quan sát biểu đồ mô tả số
hàm số khi biết biến số
công trình khoa học kĩ
VD.

thuật đăng kí dự giải
1/. Cho hàm số
thưởng Sáng tạo khoa học
2
công nghệ Việt Nam và số
y  f ( x)  x  1 .
công trình đoạt giải hàng
Tính f(0), f(-4). f ( 2 )…
năm (SGK trang 33) .
2/. Cho hàm số:
a/. Xác định giá trị số
 x 2  1 khi x  1
công trình khoa học kĩ
f ( x)  
x

1
khi
x

1
thuật đăng kí dự giải

thưởng Sáng tạo khoa học
+ Tìm TXĐ của hàm số.
công nghệ Việt Nam vào
+ Tính f(-1), f(0), f(1), f(2)
các năm 1995, 1996, 1997
…
b/. Xác định giá trị số

công trình đoạt giải vào
các năm 1995, 1996, 1997


…

3. Đồ
thị
của
hàm
số

MT. Nhận biết được khái
niệm đồ thị của hàm số
VD.
+ Hàm số bậc nhất y=ax+b có
đồ thị là 1 đường thẳng.
+ Hàm số bậc hai y  ax 2 có
đồ thị là 1 đường Parabol.
+ Đường phân giác thứ nhất
là đồ thị hàm số y=x.

MT. Hiểu cách biểu diễn
điểm trên đồ thị biểu diễn
các cặp giá trị (x;f(x)) của
hàm số.
VD. y=x. Gồm những điểm
(0;0), (1;1), (2;2) ...

MT. Dựa vào đồ thị hàm số

xác định được f(xi) khi biết
xi và ngược lại
VD. Cho đồ thị hàm số
y  x 2 là (P) như hình vẽ

y
4

2

O

II. Sự
biến
thiên
của
hàm
số

MT. Nhớ khái niệm hàm số
đồng biến, nghịch biến.
VD. Nêu được định nghĩa
hàm số đồng biến, nghịch
biến trên 1 khoảng (a, b)
1. Ôn
tập

2.
Bảng
biến

MT. Hiểu mối liên hệ giữa x
và y đối với hàm số đồng
biến, nghịch biến.
VD:
+ Hàm số đồng biến: x tăng
 y tăng
+ Hàm số nghịch biến: x
tăng  y giảm

MT. Nhận biết được bảng MT.. Hiểu được mối liên
biến thiên biểu thị tính đồng quan giữa bảng biến thiên và
biến, nghịch biến của hàm số tính đồng biến, nghịch biến

x

a/.Xác định f(1), f(-2)
b/.Tìm x biết f(x)=0,
f(x)=1?
MT. Xác định được mối liên
hệ giữa tính tăng (giảm) của
hàm số và đồ thị
VD:
+ Hàm số đồng biến trên
khoảng (a, b): đồ thị đi lên
(Từ trái qua phải) trên
khoảng (a, b)
+ Hàm số nghịch biến trên
khoảng (a, b): đồ thị đi
xuống (Từ trái qua phải) trên

khoảng (a, b)
MT. Biết lập bảng biến thiên
của hàm số khi biết đồ thị
của nó.


thiên

VD.
Quan sát đồ thị y  x 2 và
bảng biến thiên sau, nêu các
khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.
x

của hàm số
VD: Lập bảng biến thiên của
VD:
hàm số y = 3x2 -2x – 1 có
+ Các khoảng đồng biến: đồ thị như hình vẽ.
mũi tên đi lên
+ Các khoảng nghịch biến:
mũi tên đi xuống.

0

C

1 B
0

y

-1
A

0

I

III.
Tính
chẵn
lẻ của
hàm
số

1.
Hàm
số
chẳn,
hàm
số lẻ
2. Đồ
thị
của
hàm
số
chẵn,
hàm

số lẻ

MT. Nhận biết được định
nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ.
VD. Phát biểu định nghĩa
hàm số chẵn, hàm số lẻ

MT. Nhận biết được tính đối
xứng của đồ thị hàm số chẵn,
hàm số lẻ
VD.
Nêu được: hàm số chẳn có đồ
thị đối xứng qua Ox. Hàm số
lẻ đồ thị đối xứng qua O

MT. Hiểu được hàm số chẳn
có những cặp điểm đối xứng
qua Ox. Hàm số lẻ có những
cặp điểm đối xứng qua O
VD
hàm số chẳn: f(-x)=f(x)
hàm số lẻ: f(-x)= -f(x)

MT. Thực hiện được các
bước xét tính chẵn, lẻ của
hàm số.
VD: Xét tính chẵn, lẻ của
các hàm số sau:

MT. Hiểu được cách biểu

diễn những cặp diểm
(x; f(x)) và (-x; f(-x)) của
các hàm số chẵn, lẻ
VD:
+ M(x; f(x)) và M’(-x; f(x))
đối xứng nhau qua trục Ox.
+ M(x; f(x)) và M’(-x; -f(x))
đối xứng nhau qua trục O

MT. Nêu được tính đối xứng
của đồ thị hàm số khi biết
tính chẵn, lẻ của nó.
VD Nêu tính đối xứng của
đồ thị các hàm số :

a/. y = x4  3x2  1
1
b/. y =
| x  1|  | x  1|

a/. y = x4  3x2  1
1
b/. y =
| x  1|  | x  1|


Trường THPT Lê Hoàng Chiếu
Tổ Toán

15 CÂU HỎI BÀI TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

 5 câu ở mức độ nhận biết
Câu 1: Chọn câu đúng trong bốn câu sau:
r r r r
r r
a. a.b  a . b .sin  a, b 
r r

r

r r

r r

r r

r r

b. a.b  a  b .cos  a, b 
r

r r

c. a.b  a . b .cos  a, b 
r r

d. a.b  a . b .cot  a, b 
r r

HD Giải : Chọn câu c
r

r
Câu 2: Nêu các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ a vàr b ? r
Câu 3: Viết biểu thức tọa độ của tích vô hướngrcủa hai
r vectơ a và b ?
Câu 4: Viết công thức tính góc giữa hai vectơ a và b ?
Câu 5: Viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A  xA ; y A  và B  xB ; yB 
HD Giải : Công thức trong sgk

 6 câu ở mức độ thông hiểu
r

Câu 1: Cho a  5, b  6,  a, b   300 . Tính tích vô hướng a.b ?
r r
1
HD Giải : a .b  5.6.  15
2
uuur uuur
Câu 2: Cho ABC vuông cân tại đỉnh A, AB = AC = 5. Tính tích vô hướng CA.CB ?
uuur uuur
2
 25
HD Giải : CA.CB  CA.CB.cos 450  5.5 2.
2
uuur uuur
Câu 3: Cho ABC đều cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB. AC ?
uuur uuur
a2
0
HD Giải : AB. AC  a.a.cos60 
2

r
r
Câu 4: Cho a   3; 2  và b   6;1
rr
a) Tính a.b
r
r
b) Tính số đo góc giữa a và b
HDur Giải
:
ur
a) a.b  3.6  2.1  20
r

ur ur

b) cos  a.b   ur ur 
ur ur

a.b
a.b

Suy ra  a.b   240
ur ur

rr

r r

20

3 2
2

2

6 1
2

2



20
481


Câu 5: Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-2; 6), C(9;8).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tính số đo góc B của tam giác ABC.
HDuuur
Giải :
uuuur
a) AB   3; 4  ; AC  8;6 
uuur uuuur
 AB.AC  3.8  4.6  0

Suy ra tam giác ABC vuông tại A
b) Ta có: cosB=cos  BA.BC  
uuur uuuur

uuur

uuur uuuur

BA.BC
BA.B C

BA   3; 4   BA  32  (4)2  5

uuuur

BC  11;2   BC  112  22  5 5

Do đó: cosB 

3.11  4.2
5

5
5.5 5

Suy ra B  630
Câu 6 : Cho tam giác ABC với A(4;2), B(-2;0), C(3;-5)
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
b) Tính chu vi tam giác ABC
HD Giải
uuur
a) AB   6; 2  AB  (6)2  (2)2  2 10
uuuur

AC   1; 7   AC  (1)2  (7)2  5 2

uuuur

BC   5; 5  BC  52  (5)2  5 2

Suy ra AC = BC. Vậy tam giác ABC cân tại C
b) Chu vi tam giác ABC
CVABC  AB  AC  BC  2 10  10 2

 3 câu ở mức độ vận dụng thấp
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Câu 1. Cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D. Chứng minh rằng DA.BC  DB.CA  DC.AB  0
HD Giải :
Ta có :











uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
VT  DA.BC  DB.CA  DC. AB  DA. BA  AC  DB.CA  DC. AB  AB DC  DA  AC DA  DB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur r

 AB. AC  AC.BA  AC AB  BA  AC.0  0  VP .





Câu 2. Trong mp Oxy, cho A  2; 3 , B  4;1 . Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao cho
ABC cân tại C.
HD Giải :
Gọi C  xC ; yC  , do C trên trục Oy nên xC  0 .




ABC cân tại C nên ta có CA=CB

 CA2  CB 2  4   3  yC   16  1  yC   8 yC  4  yC 
2

2

1
 1
 C  0; 
2
 2

Ta thấy C không là trung điểm AB, Vậy C  0;  thỏa đề bài.
 2
Câu 3. Trong mpOxy, cho tam giác ABC với A  3;1 , B  0;2 , C  2; 4  . Chứng minh tam

giác vuông và tính các góc còn lại trong tam giác.
HD Giải
:
uuur
uuur
uuur
Ta có: AB   3;1 , AC   5; 5 , BC   2; 6  .
uuur uuur
Ta thấy AB.BC  3.  2  1.  6  0 suy ra tam giác ABC vuông tại B.
1

Mặt khác : cos  AB, AC  
uuur uuur

3(5)  1.(5) 1
µ  270

µ
A  630  C
10. 50
5

 1 câu ở mức độ vận dụng cao
Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a; AD  a 2 . Gọi M là trung điểm AD. CMR: BM  AC .

HD Giải :







uuuur uuur
uuur uuuur uuur uuur
uuur 2 uuuur uuur
BM . AC  BA  AM . AB  BC   BA  AM .BC  0  BM  AC


KIỂM TRA 45 PHÚT
CHƯƠNG II – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
I-Ma trận mục tiêu giáo dục và mức độ nhận thức theo chuẩn kiến thức kỹ năng
Chủ đề hoặc mạch kiến thức kỹ năng

PPCT

1.Giá trị lượng giác 1 góc từ 00  1800
2.Tích vô hướng của hai vectơ
3.Hệ thức lượng trong tam giác
4.Ôn tập
Cộng

3
3
3
3
12

Tầm
QT

25
25
25
25

Điểm
MT
75
75
75
50
275

Trọng
số
3
3
3
2

Điểm 10
2.7
2,7
2,7
1,9
10

II-Ma trận cho đề kiểm tra
Chủ đề
mạch kiến

thức
1
2
3
4
Cộng

Mức độ nhận thức và hình thức tự luận
Tổng điểm
Mức 1
Mức 2
Mức 3
Mức 4
(Nhận biết)
(Thông hiểu) (Vận dụng thấp) (Vận dụng cao)
Câu 1a (1đ)
Câu 1b (1đ)
Câu 1c (0,5đ)
2,5
Câu 2a (1đ)
Câu 2b (1đ)
3
Câu 2c (1đ)
Câu 3a (1đ)
2,5
Câu 3b (1,5đ)
Câu 4a (1,0đ)
Câu 4b (1đ)
2
1

2

6

1

10

III-Mô tả chi tiết
Câu 1
a) Tính góc giữa hai vectơ dựa vào tính chất hình cho trước
b) Cho giá trị lượng giác của một góc. Tính các giá trị lượng giác còn lại
c) CM một đẳng thức dựa vào tính chất Giá trị lượng giác của một góc
Câu 2 :Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A,B,C không thẳng hàng đã biết tọa độ.
a) Tính tích vô hướng của hai vec tơ
b)Tìm góc giữa hai vectơ
c)Vận dụng tìm một điểm thỏa yêu cầu đề bài
Câu 3 :Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A,B,C không thẳng hàng đã biết tọa độ.
a) Vận dụng tích vô hướng của hai vectơ để chứng minh tam giác vuông
b) Vận dụng độ dài của vectơ để tính chu vi, diện tích tam giác
Câu 4 :
a) Cho tam giác ABC, biết 1 góc nào đó và 2 cạnh tạo thành góc đó. Vận dụng
nhiều công thức để tìm một số yếu tố trong tam giác


b) Cho tam giác biết độ dài 3 cạnh. Chứng minh 1 hệ thức liên quan giữa góc và
cạnh.
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
MÔN : HÌNH HỌC 10 CƠ BẢN

CHƯƠNG II : TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNH
Câu 1: (2.5đ)
uuur uuur
uuur uuur
;
AC , BD
a) Cho hình vuông ABCD. Tính AC , BA









2
3

b) Cho biết cos    . Tính sin  , tan  ?
c) CMR trong tam giác ABC ta có tan (A+B ) = - tanC
Câu 2: (3đ )Cho tam giác ABC
có A(5;3), B(2;1), C(-1;5).
uuur uuuur
a) Tính tích vô hướng AB.AC
b) Tìm số đo góc A của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
3
Câu 3 (2,5đ): Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A  4;6  , B 1; 4  , C  7; 


2

a ) Chứng minh rằng ABC vuông tại A
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
Câu 4 (2đ)
a) Cho ABC biết µ
A  600 , b  8cm, c  5cm . Tính đường cao ha và bán kính R của
đường tròn ngoại tiếp ABC .
b) Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng:

Câu
Câu 1
(2,5đ)

cos A  cos B  c  a  b  (c  a  b)

ab
2abc

ĐÁP ÁN
Nội Dung
uur uuur
uuur uuur
uuur uur
a) Vẽ AI  BA  AC, BA  AC, AI  1350
uuur uuur
Vì AC  BD  AC , BD  900







 



b) Vì cos   0 nên 900    1800 . Suy ra sin   0, tan   0
sin 2   cos 2   1  sin 2  

Vậy sin  

5
3

5
sin 
5
tan  
 3 
cos   2
2
3

4
5
 1  sin 2  

9
9

Điểm
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25

0,25


Câu 2
(3đ)

c)Trong tam giác ABC ta có A+B+C = 1800
 tan  A  B   tan 1800  C 
 tan  A  B    tan C
uuur

uuuur

a) AB   3; 2  ; AC   6; 2 
uuur uuuur

 AB.AC  3.(6)  (2).2  14

b) Ta có: cosA=cos  AB. AC  
uuur uuuur

0,25
0,5
0,5

uuur uuuur

AB. AC
AB. AC

+ AB  (3)2  (2)2  13
+ AC  (6)2  22  2 10
Do đó: cosA 

0,25

14
13.2 10

0,25
0,25
0,25

Suy ra A  520
0,25
c) Gọi H(x;y)

uuur uuur
CH . AB  0
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên  uuur uuur

 BH . AC  0
( x  1)(3)  ( y  5)(2)  0

( x  2)(6)  ( x  1)2  0
3x  2 y  7

6 x  2 y  10

17

 x  9

y  2

3
17 2
Vậy H  ; 
 9 3

0,25

0,25

0,25

0,25

a)
uuur
uuur 

9
AB   3; 2  , AC   3;  
2

uuur uuur
AB. AC  0

Câu 3
(2.5đ)

Kết luận tam giác ABC vuông tại A
b)

0,5
0,25
0.25


AB  13

0,25

117
2
uuur 
5
25 13
BC   6;   , BC  36 

2

4
2

AC 

0,25
0,25

Vậy chu vi tam giác ABC là C = AB +AC + BC
117 13
+
2
2

= 13 +

0,25

Diện tích tam giác ABC là S =

1
39
AB. AC =
2
2

a) a2  b2  c2  2bc cos A  82  52  2.8.5.cos 600  49
1
a.ha  10 3
2

2S
20 3
ha 

a
7
abc
abc 7 3
S
R

4R
4S
3
S

Câu 4
(2đ)

 b2  c 2  a 2 a 2  c 2  b2 

b)Ta có: 2abc(cos A  cos B)  2abc. 

2bc
2ac


2
2
2

2
2
2
 a b  c  a   b  a  c  b 
 ab2  ac2  a3  ba2  bc2  b3
 (a  b)ab  (a  b)c 2  (a  b)  a 2  ab  b2 

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

 (a  b)  c 2  a 2  2ab  b2 



 ( a  b) c 2   a 2  b 

2



0,25

 (a  b)  c  a  b  c  a  b 

Vậy

cos A  cos B  c  a  b  (c  a  b)

ab
2abc

0,25



Sở GD-ĐT Bến Tre
Trường THPT Lê Quí Đôn
Tổ Toán - Tin

CÂU HỎI/BÀI TẬP MINH HỌA ĐÁNH GIÁ THEO CÁC MỨC ĐỘ ĐÃ MÔ TẢ
CHỦ ĐỀ: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Nội dung

1. Định nghĩa

2. Tính chất

Nhận biết
Mô tả: Học sinh phát biểu
được định nghĩa tích vectơ
với một số
VD1.1: Hãy phát biểu định
nghĩa tích vectơ với một số

Thông hiểu

Mô tả: Xác định được hướng
r
và độ dài của vectơ k a
r
VD1.2: Cho a có độ dài là 3.
Nêu nhận xét về hướng của
r
r
3a với a ? giải thích tại
r
sao 3a  9

Mô tả: Nêu được các tính chất Mô tả: Giải thích được các
về tích của vectơ với một số. hệ thức vectơ liên quan đến
tính chất tích của vectơ với
một số
VD2.1: Hãy nêu các tính chất VD2.2:
về tích của vectơ với một số. a) Giải thích tại sao:
r
r r 1r 3r
3 2a  6a ; a  a  a

 

4

b) Tìm vectơ đối của:

r r
r

ka; 2a  3b

. Trung điểm

Vận dụng thấp
r
r
Mô tả: Tìm k để a  kb

Vận dụng cao

VD1.3: Cho G là trọng tâm
tam giác ABC. D, E lần lượt
là trung điểm BC, AC. Tìm
h, k, l để :

uuur
uuur
GA  hGD
uuur
AD  kGD
uuur uuur
DE  l AB

Mô tả: Tính độ dài vectơ dựa
vào tính chất.

VD2.3: Cho tam giác ABC
đều cạnh a. Tính:
a) | 2 AB  2BC |

4

b) | AB  AC |

Mô tả: Nêu được hệ thức Mô tả: Giải thích tại sao có Mô tả: Tính độ dài vectơ Mô tả: Tính lực tổng hợp


đoạn thẳng và
trọng tâm
tam giác

4. Điều kiện
hai vectơ cùng
phương

5. Phân tích
một vectơ theo
hai vectơ
không cùng
phương

vectơ của trung điểm đoạn
thẳng và trọng tâm tam giác.
VD3.1:
a) Nếu M là trung điểm CD
thì với điểm I tùy ý ta có hệ
thức vectơ gì?
b) Nếu G là trọng tâm tam
giác MNP thì với điểm I tùy ý

ta có hệ thức vectơ gì?

các hệ thức vectơ?

dung tính chất trung điểm
đoạn thẳng
VD3.2:
VD3.3: Cho tam giác ABC
a) Cho I là trung điểm AB, vuông cân tại A có AB = a, I
giải
thích tại uuu
sao:
là trung điểm AC.
uuur uuur
r
uuur uur uuur
MA  MB  2MI , với M tùy ý Tính: BA  BI  BC
b) Cho G là trọng tâm tam
giác ABC, giải thích tại sao:
uuur uuur uuuur
uuuur
MA  MB  MC  3MG ,
với M tùy ý.
Mô tả: Điều kiện cần và đủ Mô tả: Giải thích tại sao
Mô tả: Biết chứng minh ba
r
r r r
r r
để hai vectơ cùng phương.
a  kb (b  0) thì a, b cùng điểm thẳng hàng.

phương với nhau?
VD4.1: Phát biểu điều kiện.
VD4.2: Cho ba điểm A, B, C VD4.3: Cho ba điểm A, B, C
uuur 2 uuur
phân biệt thẳng hàng. Giải
biết BC  AC . Chứng
thích tại sao khi đó ta có:
3
uuur
uuur
minh A, B, C thẳng hàng.
AB  k AC (k  0)
r r
Mô tả: Mọi vectơ đều biểu Mô tả: Cho hai vectơ a, b Mô tả: Biết phân tích một
thị được qua hai vectơ không không cùng phương. Khi đó vectơ theo hai vectơ không
r
cùng phương.
cùng phương.
 x luôn có cặp số m, n duy

của hai lực.

VD5.1: Phát biểu định lí.

VD5.4: Cho hình bình hành
ABCD. Gọi M,N là hai điểm
lần lượt trên AB và CD sao

uur uur

VD3.4: Cho hai lực F1 , F2 đặt
uur uur

tại gốc O, độ lớn lực F1 , F2
bằng nhau và bằng 100N,
hai lực tạo với nhau một góc
600 . Tính độ lớn của tổng
uur uur
hợp lực F1 , F2 ?

Mô tả: Phân tích một vectơ
theo hai vectơ không cùng
phương.

r
r
r
nhất sao cho: x  ma  nb

VD5.2: Cho tam giác OAB,
M là trung
điểm AB.
Hãy
uuuur
uuur
biểu
thị OM theo OA và
uuur
OB .

VD5.3: Cho tam giác ABC có
trọng tâm G.uuu
Hãy
biểu thị
r uuur uuur uuur
mỗi vectơ AB, GC, BC, CA
uuur uuur
theo GA, GB

cho:

AM 1 CN 1
 ;
 . G là
AB 3 CD 2

trọng tâm tam giác MNB.
uuur
Hãy uuu
phân
tích
vectơ
AG
uuur
r
theo AB và AC .


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO BẾN TRE
TRƯỜNG THPT NGÔ VĂN CẤN

TỔ TOÁN

BẢNG MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ YÊU CẦU CẦN ĐẠT VÀ CÂU HỎI/ BÀI TẬP MINH HỌA THEO CÁC MỨC ĐỘ
ĐÃ MÔ TẢ TRONG CHỦ ĐỀ: MẶT CẦU LỚP 12
NỘI DUNG

NHẬN BIẾT

THÔNG HIỂU

VẬN DỤNG THẤP

VẬN DỤNG CAO

* Mô tả:
- Phát biểu đúng khái niệm
mặt cầu.
- Nêu được các yếu tố xác
định một mặt cầu.

* Mô tả:
- Nhận biết được vị trí của một
điểm đối với một mặt cầu.
- Nhận biết được tâm và bán kính
của một mặt cầu.

* Mô tả:
- Chứng minh các điểm cùng
thuộc một mặt cầu.

* Mô tả:
- Xác định được khoảng cách
từ một điểm đến tâm mặt cầu.

* Câu hỏi/ Bài tập:
1. Mặt cầu và 1.1.1. Hãy phát biểu khái
các khái niệm niệm mặt cầu.
liên quan đến 1.1.2. Một mặt cầu được
xác định khi biết các yếu
mặt cầu
tố nào?

* Câu hỏi/ Bài tập:
1.2.1. Cho mặt cầu (S) có tâm O
và bán kính R = 3. Điểm A nằm
trên mặt cầu (S) khi nào?
A. OA < 3
C. OA  3
B. OA = 3
D. OA > 3
1.2.2. Cho đường tròn (C) quay
quanh đường kính AB = 5 ta
được một mặt cầu có tâm I là
trung điểm của AB và bán kính R
5
= đúng hay sai? Vì sao?
2

* Câu hỏi/ Bài tập:
1.3. Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD có tất cả các cạnh
bằng a. Chứng minh năm điểm
S, A, B, C, D cùng thuộc một
mặt cầu.

* Câu hỏi/ Bài tập:
1.4. Tính khoảng cách từ hai
cực của Trái đất đến tâm của
Trái đất.

* Mô tả:
- Nhận biết được khái
niệm giao của mặt cầu và
2. Giao của
mặt phẳng.
mặt cầu và
- Nhận biết khi nào thì có
mặt phẳng
vị trí tương đối tương ứng
xảy ra giữa mặt cầu và mặt
phẳng

* Mô tả:
- Nêu được các đại lượng cần
tính khi tìm được vị trí tương đối
giữa mặt phẳng và mặt cầu.
- Giải thích được vì sao có thể
khẳng định một kết quả nào đó là
một vị trí tương ứng giữa mặt
mặt cầu và mặt phẳng.

* Mô tả:
Vận dụng được khái niệm vào
giải các bài toán liên quan đến
vị trí tương đối giữa mặt cầu và
mặt phẳng.

* Mô tả:
Vận dụng được khái niệm vào
giải các bài toán liên quan đến
vị trí tương đối giữa mặt cầu
và mặt phẳng.