bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của g polya cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học cơ sở

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 3
3. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu...................................................... 3
4. Giả thuyết khoa học ............................................................................................. 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 3
6. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 4
7. Những đóng góp của Luận án ............................................................................. 4
8. Các luận điểm đưa ra bảo vệ ............................................................................... 5
9. Cấu trúc của Luận án ........................................................................................... 5
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN................................................................................... 6
1.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài ............... 6
1.1.1. Những kết quả nghiên cứu liên quan đến thủ pháp hoạt động nhận thức ....... 6
1.1.2. Những nghiên cứu về tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học toán....... 9
1.1.3. Một số nhận định ..................................................................................... 11
1.2. Hoạt động nhận thức và hoạt động nhận thức toán học ................................. 12
1.2.1. Hoạt động nhận thức ............................................................................... 12
1.2.2. Hoạt động nhận thức toán học................................................................. 14
1.3. Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức toán học ........................................ 15
1.3.1. Thủ pháp .................................................................................................. 15
1.3.2. Thủ pháp hoạt động nhận thức ................................................................ 16
1.3.3. Một số ví dụ............................................................................................. 21
1.4. Tư tưởng sư phạm của G. Polya về dạy học toán theo hướng bồi dưỡng
các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh .................................................... 22
1.4.1. Về mục đích dạy học toán (T1) ............................................................... 22
1.4.2. Về nguyên lý học tập (T2)....................................................................... 22
1.4.3. Về các hoạt động trí tuệ (T3) .................................................................. 23
1.4.4. Tư tưởng sư phạm của G. Polya về các giai đoạn giải quyết vấn đề (T4) .... 25
1.5. Thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya

trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở ............................................... 28
1.5.1. Một số thủ pháp hoạt động nhận thức thường sử dụng của học sinh
theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học môn Toán ở trường
trung học cơ sở ......................................................................................... 29
1.5.2. Một số đặc điểm cơ bản của thủ pháp hoạt động nhận thức ................... 35


1.6. Mối liên hệ giữa thủ pháp hoạt động nhận thức và năng lực giải quyết
vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo ........................................................................... 37
1.6.1. Thủ pháp hoạt động nhận thức vừa là phương tiện vừa là kết quả
của hoạt động giải quyết vấn đề .............................................................. 37
1.6.2. Thủ pháp hoạt động nhận thức trong hoạt động dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề ..................................................................................... 37
1.6.3. Thủ pháp hoạt động nhận thức góp phần phát triển năng lực giải quyết
vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh ........................................ 39
1.7. Một số điều kiện sư phạm của việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận
thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn
Toán ở trường trung học cơ sở .............................................................................. 41
1.7.1. Sự phát triển tư duy của học sinh trung học cơ sở .................................. 41
1.7.2. Đặc điểm chương trình môn Toán các lớp cuối cấp trung học cơ
sở ở Việt Nam ......................................................................................... 42
1.7.3. Các nhân tố cơ bản ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động
nhận thức cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học môn Toán .......... 43
1.7.4. Các giai đoạn hình thành và khắc sâu thủ pháp hoạt động nhận thức
toán học cho học sinh .............................................................................. 44
1.7.5. Một số hình thức bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh .... 45
Kết luận chương 1 ................................................................................................. 46
Chương 2 KHẢO SÁT THỰC TRẠNG ................................................................... 47
2.1. Mục đích khảo sát ........................................................................................... 47
2.2. Nội dung khảo sát ........................................................................................... 47

2.3. Đối tượng khảo sát ......................................................................................... 47
2.4. Phương pháp khảo sát..................................................................................... 47
2.5. Kết quả khảo sát ............................................................................................ 48
2.5.1. Kết quả khảo sát đối với giáo viên .......................................................... 48
2.5.2. Kết quả khảo sát đối với HS.................................................................... 53
Kết luận chương 2 ................................................................................................. 64
Chương 3. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG CÁC THỦ PHÁP
HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC THEO TƯ TƯỞNG SƯ PHẠM CỦA G. POLYA
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở CÁC LỚP CUỐI CẤP
TRUNG HỌC CƠ SỞ ............................................................................................. 66
3.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp ............................................... 66
3.2. Một số biện pháp bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh
theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học môn Toán các lớp cuối cấp ở
trường trung học cơ sở ........................................................................................... 67


3.2.1. Biện pháp 1. Gợi động cơ bên trong, kích thích nhu cầu của học sinh
trong việc bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức ........................ 67
3.2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện cho học sinh có nhiều cơ hội trải nghiệm
để tìm hiểu, phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề
một cách tinh tế ....................................................................................... 76
3.2.3. Biện pháp 3. Tập luyện cho học sinh hình thành và vận dụng hợp lý
các thủ pháp hoạt động nhận thức trong giai đoạn lập kế hoạch
giải quyết vấn đề ..................................................................................... 89
2.2.4. Biện pháp 4. Rèn luyện cho học sinh khả năng tìm nhiều lời giải,
lựa chọn lời giải tối ưu và khai thác, phát triển các vấn đề nhằm
khắc sâu thủ pháp hoạt động nhận thức ................................................ 103
3.2.5. Biện pháp 5. Xây dựng và tổ chức dạy học thích hợp các chuyên đề
ẩn chứa trong đó những thủ pháp hoạt động nhận thức cần bồi dưỡng
cho học sinh ........................................................................................... 118

Kết luận chương 3 ............................................................................................... 131
Chương 4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 133
4.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................... 133
4.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ............................................................. 133
4.2.1. Phương pháp quan sát ........................................................................... 133
4.2.2. Phương pháp thống kê toán học ............................................................ 133
4.3. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ................................................................ 133
4.3.1. Công tác chuẩn bị .................................................................................. 133
4.3.2. Các bước tổ chức thực nghiệm.............................................................. 134
4.3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................ 135
4.4. Xây dựng phương thức và tiêu chí đánh giá ................................................ 144
4.4.1. Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt định lượng ................................ 144
4.4.2. Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt định tính.................................... 145
4.5. Kết quả thực nghiệm .................................................................................... 145
4.5.1. Đánh giá định tính ................................................................................. 145
4.5.2. Đánh giá định lượng .............................................................................. 150
Kết luận chương 4 ............................................................................................... 156
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 157
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ..................................................... 158
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 159
PHỤ LỤC


DANH MỤC SƠ ĐỒ, BẢNG, BIỂU ĐỒ
Trang
Sơ đồ:
Sơ đồ 1.1.

Các TP “riêng” cho toán học ................................................................ 8

Sơ đồ 1.2.
Sơ đồ 1.3.

Cấu trúc vĩ mô hoạt động .................................................................... 12
Các dạng hoạt động chủ yếu của HĐNT ............................................ 14

Sơ đồ 1.4.
Sơ đồ 1.5.
Sơ đồ 1.6.

Sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải Toán ......................... 24
Sơ đồ các nhân tố cơ bản trong việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS .... 44
Các giai đoạn và mức độ hình thành, phát triển TP ............................ 45

Bảng:
Bảng 4.1.

Kết quả bài kiểm tra của HS sau đợt thực nghiệm thứ nhất ............. 150

Bảng 4.2.
Bảng 4.3.

Kết quả bài kiểm tra số 1 của HS sau đợt thực nghiệm thứ hai ........ 152
Kết quả bài kiểm tra số 2 của HS sau đợt thực nghiệm thứ hai ........ 154

Biểu đồ:
Biểu đồ 4.1. Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau TNSP đợt 1 ........... 151
Biểu đồ 4.2. Biểu đồ xếp loại HS sau TNSP đợt 1 ............................................... 151
Biểu đồ 4.3. Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau bài kiểm tra số 1
TNSP đợt 2........................................................................................ 153

Biểu đồ 4.4. Biểu đồ xếp loại HS bài kiểm tra số 1 TNSP đợt 2 .......................... 153
Biểu đồ 4.5. Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau bài kiểm tra số 2
TNSP đợt 2........................................................................................ 154
Biểu đồ 4.6. Biểu đồ xếp loại HS sau bài kiểm tra số 2 TNSP đợt 2 .................... 154


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Cuộc cách mạng khoa học công nghệ đã và đang tiếp tục phát triển với
những bước tiến nhảy vọt trong thế kỷ XXI, đưa thế giới chuyển từ kỷ nguyên công
nghiệp hóa sang kỷ nguyên thông tin và phát triển kinh tế tri thức. Khối lượng kiến
thức ngày một tăng nhanh theo cấp số nhân. Bởi vậy, vấn đề hết sức quan trọng
được đặt ra cho giáo dục là không chỉ dạy cho HS biết cái gì mà phải giúp các em
hiểu tại sao và bằng cách nào để biết được điều đó. Vì thế, đòi hỏi giáo dục phải có
sự thay đổi căn bản cách chiếm lĩnh và sử dụng tri thức của người học theo hướng
chủ động, sáng tạo.
Dạy học là quá trình tổ chức các HĐNT cho HS. Nhiều nghiên cứu giáo dục
trên thế giới đã chỉ ra rằng để giúp HS độc lập giải quyết nhiệm vụ và lĩnh hội các
kiến thức toán học thì việc tổ chức HĐNT cho họ, trong đó có việc bồi dưỡng các
TPHĐNT là việc làm cần thiết trong DH toán ở trường phổ thông hiện nay. Theo I.
V. Titova [127, tr. 5], “Việc hình thành các TP thích hợp của HĐNT sẽ trả lời trực
tiếp cho một trong những câu hỏi quan trọng nhất đặt ra trước nhà trường phổ thông
“Làm thế nào để dạy trẻ học một cách hợp lý”, vì rằng các TP đã được lĩnh hội sẽ
trở thành tài sản riêng của HS và là “công cụ” của việc lĩnh hội độc lập tài liệu học
tập”. Tác giả Trần Luận [63] cho rằng, các TP của công việc học tập có mặt trong
hoạt động học tập của HS sẽ đóng vai trò chính yếu trong sự phát triển trí tuệ của
các em. Vì vậy, bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS là việc làm hết sức cần thiết trong
giai đoạn hiện nay, giúp người học phát triển các năng lực, góp phần đổi mới giáo

dục phổ thông theo định hướng “tiếp cận năng lực”.
1.2. G. Polya là một nhà toán học, nhà sư phạm nổi tiếng, các công trình của
ông là những công trình nghiên cứu Ơristic (heuristic), đó là cách thức nhằm tăng
nhanh quá trình tìm kiếm các giải pháp hợp lý để giải quyết vấn đề thông qua các
suy nghĩ rút gọn. Theo G. Polya, nhiệm vụ chính của DH toán ở trường phổ thông
là dạy cho HS suy nghĩ. Ông cho rằng, điểm chính trong việc giảng dạy toán học là
phát triển các chiến thuật giải quyết vấn đề. Mặt khác, theo G. Polya giải toán nói
riêng và giải quyết vấn đề nói chung là một nghệ thuật, vì vậy, đòi hỏi người học
cần có khả năng khéo léo, linh hoạt, sáng tạo để đạt hiệu quả cao. Từ đó, tác giả đã
đưa ra một số kinh nghiệm và các kỹ thuật để chuyển việc giải các bài toán chưa
hoặc không có dạng chuẩn về các bài toán chuẩn. Đây là những cách thức tư duy
linh hoạt, khéo léo, độc đáo để giải quyết hiệu quả các vấn đề toán học.


2

Như vậy, mặc dù G. Polya không đề cập đến TPHĐNT nhưng theo chúng
tôi, các kinh nghiệm hay các ơristic mà tác giả đề xuất trong giải quyết vấn đề là
những TPHĐNT. Đó chính là các công cụ hữu hiệu giúp HS giải quyết hiệu quả các
vấn đề, phát huy tối đa tính tích cực nhận thức của người học. Vì vậy, chúng ta cần
quan tâm bồi dưỡng TPHĐNT cho HS ở trường phổ thông. Đúng như Shuard đã
khẳng định khi nghiên cứu về chương trình giáo dục quốc gia của Anh và xứ U-ên
“Mối quan tâm lớn nhất hiện nay về TP xuất phát từ công trình của G. Polya về giải
quyết vấn đề toán học” [22, tr. 403].
1.3. Nội dung chương trình môn Toán ở trường THCS có vị trí quan trọng
trong chương trình toán phổ thông. Các mạch kiến thức đều trình bày với mục đích
cung cấp cho HS những hiểu biết ban đầu về: quan sát và dự đoán, phân tích và
tổng hợp, suy luận logic… Bên cạnh đó, đặc điểm nhận thức của HS THCS theo J.
Piaget [73, tr. 419] là: “Suy nghĩ không còn bị giới hạn vào những cái trực quan, cụ
thể. Trẻ thích suy xét những vấn đề mang tính giả thuyết... Chúng có khả năng lập

luận hệ thống và suy diễn, điều này cho phép chúng cân nhắc nhiều giải pháp có thể
đối với một vấn đề và tìm ra được câu trả lời đúng”. Do đó, quá trình DH môn Toán
ở THCS thuận lợi cho việc vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Polya vào bồi dưỡng
các TPHĐNT cho HS giúp các em độc lập chiếm lĩnh kiến thức và tài liệu học tập.
Trong thực tiễn DH môn Toán ở trường THCS, nhiều GV đã hướng dẫn cho
HS biết vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Polya vào việc tư duy để tìm hiểu, vạch
kế hoạch, thực hiện kế hoạch và nhìn lại cách giải quyết một vấn đề nào đó; một số
GV cũng đã trang bị cho HS các TP: Xem xét đối tượng dưới nhiều góc độ khác
nhau, TP mô hình hóa (sơ đồ, biểu đồ...), TP dự đoán, xét trường hợp đặc biệt... Tuy
nhiên, những việc làm đó còn rời rạc, chưa được phổ biến rộng rãi nên chưa trở
thành hoạt động của chính các em trong nhiều tình huống khác. Hơn nữa, nhiều
giáo viên toán cũng chưa am hiểu một cách đầy đủ về TPHĐNT theo tư tưởng sư
phạm của G. Polya nên việc bồi dưỡng chúng cho HS còn gặp không ít khó khăn.
1.4. Đã có nhiều công trình đề cập đến tổ chức HĐNT và vận dụng TPHĐNT
trong DH môn Toán ở trường phổ thông. Có nhiều cách nhìn nhận về TP, nhưng rõ
ràng các TP là rất rộng về mặt khả năng [22]. Tiếp cận quan niệm TP ở góc nhìn là
hành động, có Burton và Shuard [22]; nhìn nhận GQVĐ như một TP có Shufelt và
Smart [22]; quan niệm TP như là phương tiện có nhà tâm lý học đương đại người
Mỹ - Robert Mills Gragne [114]; Nhìn nhận TP như là cách thức, phương pháp
mang tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả và đưa ra một số TP cụ thể trong
GQVĐ nói riêng và HĐNT nói chung là kết quả nghiên cứu của hầu hết các tác giả
trong [22], [61], [63], [66], [116], [119], [124], [126], [127], [128]... Trong các nghiên


3

cứu trên, chỉ trình bày một cách hiểu chung chung về TP, chưa có sự thống nhất
trong thuật ngữ. Dưới các góc độ khác nhau, các tác giả đưa ra các TP cụ thể với
các ví dụ minh họa (thường là tản mạn, không gắn với chủ đề cụ thể trong chương
trình). Các nghiên cứu đều khẳng định, để HS biết vận dụng TPHĐNT một cách

thích hợp trong các tình huống mới và việc thao tác nó một cách hiệu quả, đòi hỏi
các em phải được trang bị về TP và có nhiều kinh nghiệm trong việc sử dụng các
TP vào từng tình huống cụ thể trong suốt thời gian học ở nhà trường phổ thông. Tuy
nhiên, TP chưa được dạy mà chúng chỉ được hấp thụ vào vốn hiểu biết của HS qua
việc sử dụng một thời gian dài. Và vấn đề HS học TP như thế nào, vận dụng chúng
vào thời điểm nào cho thích hợp vẫn còn chưa được nghiên cứu nhiều; giáo viên
toán cũng chưa am hiểu một cách đầy đủ về TPHĐNT. Hơn nữa, vấn đề về TPHĐNT
theo tư tưởng sư phạm của G. Polya là hoàn toàn mới, việc bồi dưỡng nó cho HS
trong DH môn Toán ở trường THCS hiện nay chưa được quan tâm nghiên cứu.
Từ những lý do nêu trên, chúng tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng
các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh
trong dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm đề xuất một số biện pháp sư phạm bồi dưỡng các
TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS, góp phần nâng cao hiệu quả
dạy học môn Toán ở trường THCS.
3. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình DH TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm
của G. Polya trong môn Toán ở trường THCS.
3.2. Đối tượng nghiên cứu: Các biện pháp bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng
sư phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS.
3.3. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung vào nghiên cứu trong DH môn
Toán các lớp cuối cấp (8, 9) ở trường THCS.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định được các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cần bồi
dưỡng cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS và xây dựng được một số biện
pháp có cơ sở khoa học, phù hợp, khả thi thì có thể bồi dưỡng các TP đó cho người
học, góp phần nâng cao chất lượng DH môn Toán.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận án có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau:

1) Quan niệm về TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya? Những
TPHĐNT cụ thể, thường sử dụng trong DH môn Toán ở trường THCS?


4

2) Vai trò của TPHĐNT trong việc phát triển các năng lực cho HS? Các điều
kiện sư phạm của việc hình thành và phát triển TPHĐNT cho HS ở trường THCS?
3) Thực trạng việc sử dụng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya
trong DH môn Toán ở trường THCS như thế nào?
4) Các biện pháp giúp bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G.
Polya cho HS trong DH môn Toán ở các lớp cuối cấp trường THCS?
5) Tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất?
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Hệ thống hóa, phân tích, tổng
hợp, khái quát hóa các nguồn tư liệu để xây dựng cơ sở lý luận cho đề tài nghiên cứu.
6.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
- Quan sát sư phạm: Sử dụng trong quá trình dự giờ nhằm mục đích quan sát các
hoạt động của GV và HS về việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình DH.
- Điều tra: sử dụng phiếu hỏi, phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng hoạt động DH
của GV trong việc bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya
ở các trường THCS hiện nay.
- Tổng kết kinh nghiệm: nghiên cứu, phân tích, phát hiện, tổng kết những kinh
nghiệm tiên tiến của các GV môn Toán và cán bộ quản lý ở một số trường THCS.
- Hỏi ý kiến chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về các vấn đề thuộc
phạm vi nghiên cứu của đề tài.
- Thực nghiệm sư phạm: Thể hiện việc vận dụng các biện pháp bồi dưỡng
TPHĐNT trong quá trình DH môn Toán nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả
của biện pháp đã đề xuất.
6.3. Phương pháp xử lý thông tin: Sử dụng thống kê toán học trong khoa học

giáo dục và các phần mềm cần thiết để xử lý số liệu với những thông tin định lượng,
xử lý logic với những thông tin định tính để phân tích kết quả điều tra khảo sát thực
trạng và kết quả thực nghiệm sư phạm của Luận án.
7. Những đóng góp của Luận án
7.1. Về mặt lý luận
- Xác định quan niệm về TPHĐNT (dựa trên cơ sở những căn cứ khoa học), tư
tưởng sư phạm của G. Polya về DH TPHĐNT; Xác định được nội hàm của quan
niệm TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya thông qua việc đưa ra một số
nhóm TPHĐNT thường sử dụng theo tư tưởng sư phạm của Polya cần bồi dưỡng
cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS.
- Đưa ra các điều kiện sư phạm để hình thành và phát triển TPHĐNT cho HS.


5

- Trình bày rõ những thuận lợi, khó khăn trong thực tiễn khi hình thành và khắc
sâu TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya để giải quyết các vấn đề.
- Đưa ra năm định hướng và năm biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi
dưỡng các TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH môn
Toán các lớp cuối cấp THCS. Không chỉ dừng lại ở việc đề xuất các biện pháp mà
còn tổ chức thực hiện bằng việc dẫn dắt, lôi cuốn một cách hợp lý để HS tham gia
tích cực vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm phát triển nhiều năng lực
cho người học (phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán trong
giai đoạn hiện nay).
7.2. Về mặt thực tiễn
- Đưa ra các hướng dẫn sư phạm cụ thể cho việc bồi dưỡng một số nhóm
TPHĐNT trong DH môn Toán các lớp cuối cấp THCS thông qua một số nội dung.
- Cung cấp tài liệu tham khảo cho GV, góp phần nâng cao hiệu quả DH môn
Toán ở trường THCS. Đặc biệt, góp phần đổi mới phương pháp DH phổ thông theo
hướng “tiếp cận năng lực” ở Việt Nam sau 2015.

8. Các luận điểm đưa ra bảo vệ
- Cách quan niệm về TPHĐNT toán học, TPHĐNT toán học theo tư tưởng
sư phạm của G. Polya và các nhóm TPHĐNT đưa ra trong Luận án của chúng tôi là
một cách quan niệm có ý nghĩa cả về lý luận và thực tiễn.
- Hình thành và phát triển các TPHĐNT cho HS vừa là điều kiện, vừa là kết
quả của HĐ giải quyết vấn đề trong quá trình DH môn Toán. Các điều kiện sư phạm
của việc bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS trong
DH môn Toán ở trường THCS mà Luận án đề xuất phù hợp với thực tiễn.
- Các biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm
của G. Polya cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS (đề xuất trong Luận án)
là khả thi và hiệu quả. Việc tổ chức thực hiện các biện pháp, đã quan tâm hợp lý đến
việc tăng cường tính tích cực HĐ của HS, đặc biệt là bồi dưỡng năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho người học góp phần đổi mới
phương pháp DH theo định hướng “tiếp cận năng lực”.
9. Cấu trúc của Luận án
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung Luận án gồm 4 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận
Chương 2. Khảo sát thực trạng
Chương 3. Một số biện pháp bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức
cho học sinh theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học
môn Toán ở các lớp cuối cấp Trung học cơ sở
Chương 4. Thực nghiệm sư phạm


6

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài
1.1.1. Những kết quả nghiên cứu liên quan đến thủ pháp hoạt động nhận thức

1.1.1.1. Những kết quả nghiên cứu liên quan trên thế giới
Nhiều nghiên cứu trên thế giới đã quan tâm đến TPHĐNT và vai trò của nó
trong giải quyết vấn đề, chẳng hạn [22], [66], [114], [117], [118], [119], [124], [125],
[126], [127] và [128]... Trong những nghiên cứu trên, các tác giả đã có những nhìn nhận,
quan niệm khác nhau về TPHĐNT. Tuy nhiên, nhìn nhận TP như là cách thức mang
tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả và đưa ra một số TP cụ thể trong giải
quyết vấn đề là quan niệm của hầu hết các tác giả. Chẳng hạn:
+ Trong các nghiên cứu [118], [119], [124], [125], [129]..., các tác giả đã
thừa nhận, trong giảng dạy toán cần trang bị cho HS hai hệ thống tri thức: 1) Về
hiện thực đối tượng; 2) Về cách thức thực hiện các hành động trí tuệ đảm bảo việc
nắm vững các tri thức khoa học về hiện thực đối tượng đó. Quan điểm này phù hợp
với mô hình trí tuệ gồm hai thành phần của các nhà tâm lý học N. A. Menchinskaya,
E. N. Kabanova – Meller, đó là: tri thức về đối tượng (cái được phản ánh) và các thủ
thuật trí tuệ (phương thức phản ánh). Thủ thuật trí tuệ thực chất là một hệ thống các
thao tác, được hình thành một cách đặc biệt để giải quyết nhiệm vụ theo một kiểu
nhất định [66, tr. 44, 45]. Cũng theo quan điểm này, khi nghiên cứu các HĐ của HS
nhằm lĩnh hội và vận dụng tri thức, các nhà tâm lý học Xô Viết S. L. Rubinstein, N.
A. Menchinskaya, E. N. Kabanova - Meller... đã chứng tỏ rằng: “Những loại đối
tượng khác nhau, những kiểu tài liệu học tập khác nhau đòi hỏi những thủ thuật
phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa khác nhau” [80, tr.111]. Do
đó, muốn hình thành những tri thức và khái niệm đúng đắn cần phải dạy HS những
thủ thuật hoạt động trí tuệ để phát hiện, tách ra và hợp nhất các dấu hiệu bản chất
của các lớp đối tượng cần nghiên cứu.
+ Trong [126], nhà tâm lý học Xô Viết E. N. Kabanova - Meller đã khẳng
định: Các TP cần thiết cho việc độc lập giải quyết nhiệm vụ và lĩnh hội các kiến
thức. Tác giả cũng đã dẫn ra một số ví dụ minh họa cho các TP quan trọng như: TP
phân chia các dấu hiệu cơ bản và không cơ bản của khái niệm, TP xem xét đối
tượng dưới nhiều góc độ khác nhau (cùng một đoạn thẳng trong một tam giác cân có
thể được xem như là đường cao, phân giác hoặc trung tuyến), TP tạo lập ảnh ghi nhớ
hoặc tưởng tượng (khác với khái niệm, các ảnh biểu thị cái mà HS hình dung trong

7

đầu)... Tuy nhiên, tên gọi của các TP được đưa ra là chưa thống nhất về xuất xứ (một
số TP lấy ra từ thuật ngữ tương ứng của môn học, một số khác lại lấy ra từ tâm lý
học...) và rất nhiều TP cần thiết phải có mặt trong công việc học tập lại chưa có tên
gọi [126, tr. 28].
+ Tác giả I. V. Titôva [127], đã nghiên cứu các điều kiện sư phạm nhằm thúc
đẩy việc hình thành các TP hoạt động tư duy: So sánh và phân loại trong DH toán
cho HS Tiểu học. Theo tác giả, trong quá trình giáo dục, trẻ em là chủ thể chính của
hoạt động tư duy, nên nếu chỉ chú trọng DH kiến thức, nội dung là chưa đủ, mà cần
dạy các phương pháp hoạt động tư duy, nhưng không có chương trình cụ thể cho
các kỹ thuật phát triển của hoạt động tư duy đó. Bởi vậy, cần lồng ghép việc hình
thành kiến thức khái niệm và phương pháp hình thành các hoạt động tư duy vào
một quá trình duy nhất, đây là một trong những vấn đề được quan tâm bởi các giáo
viên và các nhà tâm lý học J. K. Babanskaya, D. B. Epiphany, P. Y. Halperin, I. J.
Lerner, A. N. Leontiev, N. A. Menchinskaya... I. V. Titôva đã khẳng định, sự thành
công của DH ở trường Tiểu học được xác định là phụ thuộc vào sự hình thành các TP
hợp lý của HĐ tư duy.
+ Theo S. Krulik và J. Rudnick [120], các nhà giáo dục cần phải dạy một
phương pháp suy nghĩ không chỉ liên quan đến các vấn đề cụ thể mà phải áp dụng
được cho nhiều tình huống khác nhau. Các tác giả này cho rằng, một TP là một loại
phương pháp đặc biệt có thể áp dụng cho các tình huống khác nhau; TP không đảm
bảo chắc chắn thành công nhưng nó sẽ mang lại khả năng nhanh chóng tìm được
giải pháp để giải quyết vấn đề hiệu quả.
+ Giáo sư tâm lý học D. N. Perkins và nhiều nhà tâm lý học khác [22], đề cao
vai trò của TP (phương pháp thủ thuật) trong sự phát triển trí thông minh. Họ cho rằng,
khi dạy - học và rèn luyện các kỹ năng tư duy, mỗi TP đều dạy cho người học khả năng
vận dụng TP đó vào lúc nào và như thế nào. Bởi vậy, trọng tâm các vấn đề trong

trường phổ thông ngày càng không ngừng hướng tới các TP để có được giải pháp.
Backhouse và nhiều người khác đưa ra ý kiến: “Nói chung, một TP có thể được
coi như là một cách để làm cái gì đó hay là phương thức của một hoạt động” [22, tr.
404], đó là cách mà HS sử dụng để đưa khái niệm, tri thức và kĩ năng vào bài làm.
Len Frobisher [22] cũng đã đưa ra tên một số các TP “chung” vận dụng trong
khám phá và giải quyết vấn đề toán học như: Các TP giao tiếp; các TP lý giải, các TP
mổ xẻ, các TP ghi chép. Ngoài ra, với mỗi môn học lại có những TP đặc trưng riêng.
Tác giả cũng đã liệt kê một số TP mà theo các nhà giáo dục toán học chúng chỉ phù
hợp cho môn Toán trong sơ đồ sau (Sơ đồ 1.1).


8
Đoán

Tìm mô hình
Ngoại suy

Nội suy

Dự đoán
Phỏng đoán

Kiểm tra

Giả thuyết
Kiểm tra
Khái quát hóa
Chứng minh

Sơ đồ 1.1. Các TP “riêng” cho toán học [22, tr. 407]

Theo Len Frobisher, vẫn còn rất nhiều TP vận dụng trong khám phá và giải
quyết vấn đề toán học chưa được liệt kê ở trên, chẳng hạn: TP biểu tượng hóa...
Như vậy, có thể thấy khá nhiều tác giả tâm lý học, giáo dục học và giáo dục
toán học trên thế giới đã quan tâm nghiên cứu về TP với các cách nhìn nhận khác
nhau, ở các mức độ khác nhau. Trong đó, hầu hết các tác giả đều quan niệm TP là
cách thức, phương tiện mang tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả trong giải
quyết vấn đề và dưới các góc độ khác nhau đã đưa ra các TP cụ thể minh họa
(thường là tản mạn, không gắn với chủ đề cụ thể trong chương trình).
1.1.1.2. Tình hình các nghiên cứu có liên quan đến thủ pháp nói chung và
thủ pháp hoạt động nhận thức nói riêng ở trong nước
Ở Việt Nam, các nghiên cứu liên quan đến TP được đề cập đến chủ yếu ở các
lĩnh vực văn học nghệ thuật, còn chưa có nhiều nghiên cứu về TPHĐNT trong DH
nói chung và DH môn Toán nói riêng.
Năm 1996, trong một mô hình DH sáng tạo, tác giả Trần Luận [63] đã đề xuất
việc trang bị các TP trong HĐNT cho HS nhằm phát huy tính tích cực, chủ động của
các em để giải quyết vấn đề một cách sáng tạo nhưng không đưa ra quan niệm về TP


9

mà chỉ nêu tên gọi một số TP (TP Ơristic, TP suy luận có lý…). Theo tác giả, các TP
của công việc học tập có mặt trong các HĐ học tập của HS sẽ đóng vai trò chính yếu
trong sự phát triển trí tuệ của họ; việc lĩnh hội các TP học tập là cơ sở mà trên đó các
kỹ năng và kỹ xảo học tập của HS được hình thành; để HS lĩnh hội tốt đẹp các tri
thức, họ cần phải lĩnh hội các TP của công việc học tập và các TP điều kiển HĐ học
tập; nhưng tất cả các TP này chưa có vị trí xứng đáng ngay cả trong chương trình,
SGK và sách phương pháp.
Sau đó, năm 1999 Trần Luận đã khẳng định vai trò của TP trong DH nêu vấn
đề. Ông đã đề xuất phát triển công thức của nhà giáo dục học V. A. Radumovski về
mối quan hệ phụ thuộc giữa mức độ tích cực của HS khi đặt trước một tình huống

có vấn đề nói riêng hoặc một nhiệm vụ cần giải quyết:
T = N(KCT – KĐC) (*) bởi T = N[(KCT – KĐC) + (TPCT – TPĐC)] (**).
Trong đó: N là nhu cầu nhận thức của HS; T là mức độ sáng tạo, tính tích
cực của HS; KCT và KĐC là kiến thức, kỹ năng cần thiết và đã có để GQVĐ của HS;
TPCT và TPĐC lần lượt là các tri thức phương pháp, các TPHĐNT cần thiết và đã có
của HS [61].
Tác giả Trần Luận khẳng định, việc cần thiết phải trang bị cho HS các thành
phần TPCT thích hợp đã được nhiều nghiên cứu đề cập, đặc biệt là trong các mô hình
DH phát triển. Thực tiễn DH ở nước ta, đã có một bộ phận GV quan tâm đến việc
trang bị, bồi dưỡng cho HS của mình các thành phần TPĐC như: Xét tương tự, xét một
đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau, khái quát hóa, đặc biệt hóa, xét các trường
hợp tới hạn, xét các đối tượng có liên quan, suy xuôi, suy ngược tiến... nhưng chưa
được phổ biến rộng rãi và chưa có tính hệ thống.
Gần đây, tác giả Thịnh Thị Bạch Tuyết [108], đã đề cập đến vấn đề bồi
dưỡng năng lực giải quyết vấn đề trong DH Giải tích thông qua trang bị TPHĐNT.
Tác giả đưa ra quan niệm “Thủ pháp hoạt động nhận thức toán học là tri thức về
cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng (mang tính độc đáo hoặc khéo léo) để giải
quyết những tình huống cụ thể trong hoạt động nhận thức toán học”. Với quan niệm
này, tác giả đã xem TPHĐNT như một tri thức về cách thức thực hiện mang tính
độc đáo hoặc khéo léo và là một đối tượng để truyền thụ cho học sinh. Tác giả cũng
đưa ra một số TPHĐNT trong một lĩnh vực Giải tích ở trường Phổ thông và đề xuất
các biện pháp trang bị TPHĐNT cho HS nhằm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề.
1.1.2. Những nghiên cứu về tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học toán
G. Polya là nhà toán học và là nhà sư phạm nổi tiếng. Các công trình sư
phạm của ông hết sức đồ sộ và bao quát hầu hết các lĩnh vực lý luận DH toán ở bậc
phổ thông. Trong các công trình của mình, tác giả đã đề xuất nhiều quan điểm sư


10

phạm đặc sắc, những con đường và biện pháp hiện thực hóa các ý đồ đó cùng với
một số lượng khổng lồ và các ví dụ minh họa sâu sắc nhằm giải quyết vấn đề.
Đặc biệt, sau khi G. Polya công bố quyển sách đầu tiên “How to solve it”,
thì tư tưởng sư phạm của ông về giải quyết vấn đề đã được các nhà giáo dục và
nền giáo dục nhiều nước trên thế giới quan tâm. Từ thập niên 1980 trở đi, giải
quyết vấn đề trở thành tâm điểm trong chương trình toán học của nhà trường trên
nhiều nước. Chẳng hạn, ở Hoa Kỳ, Hội đồng giáo viên toán quốc gia (NCTM)
nhận định “Giải quyết vấn đề là trọng điểm của toán học ở trường phổ thông vào
những năm 80 và những năm tiếp theo” [22, tr. 338]. Tính trọng tâm của việc giải
quyết vấn đề toán học đã được miêu tả rõ trong khung của chương trình toán học
của Singapore [116]. Khung chương trình môn Toán ở trường THCS ở Singapore
cũng đã đưa ra một số ơristic để giải toán dựa vào các ơristic của G. Polya.
Mặt khác, nhiều nghiên cứu đã tiếp cận tư tưởng sư phạm của G. Polya dưới
góc độ bồi dưỡng TP để giải quyết vấn đề một cách sáng tạo, chẳng hạn:
+ S. Krulick và J. A. Rudnick [120], đã dựa trên cơ sở bốn bước giải quyết vấn
đề của G. Polya để xây dựng quy trình giải quyết vấn đề gồm năm giai đoạn: đọc vấn
đề, khám phá, chọn chiến lược, thực hiện chiến lược, xem lại và mở rộng. Vận dụng
các ơristic của G. Polya, các tác giả cũng đã đưa ra những chiến thuật có thể xem là
các TP để giải quyết vấn đề, đó là: Phát hiện quy luật, làm ngược, giải theo một cách
nhìn khác, giải một bài toán đơn giản hơn, xét các trường hợp đặc biệt, vẽ hình, đoán
và thử, tính toán cho mọi khả năng (liệt kê số liệu), sắp xếp dữ liệu, suy luận logic.
+ Trong [63], tác giả Trần Luận đã khai thác tư tưởng về mục đích, các
nguyên tắc DH của G. Polya và đề xuất các định hướng bồi dưỡng năng lực sáng
tạo cho HS chuyên toán cấp II bằng cách xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề.
Tác giả khẳng định, việc cần thiết phải trang bị TPHĐNT cho HS để các em độc
lập, sáng tạo trong học tập nhưng không đưa ra quan niệm cũng như các TP cụ thể.
+ L. M. Phơritman, E. N. Turetxki, V.Ia.Xtetxencô [128], dựa vào bảng gợi ý
của G. Polya trong DH giải bài tập toán đã biến đổi, cải tiến cho phù hợp với những
điều kiện, đối tượng cụ thể. Theo các tác giả “Nếu bài toán là không chuẩn thì cần
phải hành động theo hai hướng: Tách từ bài toán ra hoặc chia nhỏ nó ra thành

những bài toán có dạng chuẩn (TP chia nhỏ); Diễn đạt lại bài toán theo một cách
khác, dẫn đến bài toán có dạng chuẩn (TP mô hình hóa)... Để thực hiện TP chia nhỏ
hoặc mô hình hóa được dễ hơn, trước tiên cần phải xây dựng mô hình trực quan bổ
trợ của bài toán, viết nó dưới dạng sơ đồ” [128, tr. 77,78]. Họ cho rằng, các TP chia
nhỏ, TP mô hình hóa như là một nghệ thuật trong hoạt động giải toán mà chỉ có thể
lĩnh hội được trong kết quả của sự phân tích thường xuyên các hành động giải toán
và luyện tập giải các loại bài toán khác nhau.


11

+ Tác giả Nguyễn Bá Kim [50], đã nhấn mạnh đến tầm quan trọng của các tri
thức phương pháp đặc biệt là các tri thức phương pháp tìm đoán trong HĐ học tập
của HS nhằm đạt được mục đích nâng cao năng lực giải quyết vấn đề.
+ Theo Len Frobisher [22], việc thực hiện các giai đoạn giải quyết vấn đề
của G. Polya đòi hỏi HS có khả năng hình thành, huy động những TP, kinh nghiệm
phù hợp trước đó một cách có ý thức. Tác giả khẳng định vai trò quan trọng, sự cần
thiết phải quan tâm đến việc dạy và học về TP ở trường phổ thông.
Tóm lại, tư tưởng sư phạm của G. Polya có ý nghĩa hết sức quan trọng trong
DH toán, đặc biệt là giải quyết vấn đề toán học. Đặc biệt, nhiều nghiên cứu đã vận
dụng tư tưởng của ông để phát triển các cách thức suy nghĩ độc đáo, khéo léo nhằm
đưa ra phương án hiệu quả giải quyết vấn đề, đó là những TPHĐNT. Các TP này
đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển trí tuệ cho HS. Để lĩnh hội tốt các tri
thức toán học, các em cần hình thành và phát triển TPHĐNT đó một cách hợp lý.
1.1.3. Một số nhận định
Các nghiên cứu trên chỉ mới đưa ra một cách hiểu chung chung về TP, chưa
có sự thống nhất trong thuật ngữ. Theo chúng tôi, TP được vận dụng trong toàn bộ
HĐNT của người học nên có thể xem đó là các TPHĐNT. Hơn nữa, dưới những góc
độ khác nhau, các tác giả chỉ trình bày một số TP cụ thể rồi đưa ra các ví dụ minh
họa (thường là tản mạn), chưa có hệ thống TP thích hợp trong quá trình DH Toán.

Để HS biết vận dụng TPHĐNT một cách thích hợp trong các tình huống mới
và việc thao tác nó một cách hiệu quả, đòi hỏi các em phải được trang bị về TP và
cần có nhiều kinh nghiệm trong việc sử dụng TP vào từng tình huống cụ thể trong
suốt thời gian học ở nhà trường phổ thông. Đặc biệt là việc vận dụng các TP xuất
phát theo tư tưởng sư phạm của G. Polya.
Tuy nhiên, hiện nay tất cả các TP này chưa được dạy một cách chính thức cho
HS, cũng chưa có vị trí xứng đáng trong chương trình, SGK và tài liệu về phương pháp
DH. Hơn nữa, chưa có một công trình nào đi sâu vào tìm hiểu các TPHĐNT môn
Toán, đặc biệt là các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya và việc bồi dưỡng
nó cho người học phù hợp với chương trình môn Toán ở trường THCS.
Do đó, việc làm sáng tỏ thêm nội hàm của khái niệm TPHĐNT theo tư tưởng
sư phạm của G. Polya và cách thức bồi dưỡng nó cho HS trong DH Toán cần được
tiếp tục nghiên cứu. Nhiệm vụ đặt ra của đề tài là: Xác định một số TPHĐNT trong
DH môn Toán ở trường THCS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya và tìm hiểu về
thực trạng việc sử dụng các TP trong việc DH Toán ở trường THCS; từ đó, đề xuất
các biện pháp sư phạm bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS nhằm phát triển năng lực
GQVĐ, năng lực sáng tạo, góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Toán. Đây sẽ
là những vấn đề Luận án cần giải quyết.


12

1.2. Hoạt động nhận thức và hoạt động nhận thức toán học
1.2.1. Hoạt động nhận thức
HĐNT được đặt trong mối quan hệ của lý thuyết tổng quát về HĐ. Lý thuyết
HĐ gắn liền với tên tuổi của các nhà tâm lý học Xô viết như L. X. Vygoxki, A. N.
Leonchiev, X. L Rubinstein… Theo A. N. Leontiev: “Hoạt động là một quá trình
thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực: chủ thể - khách thể [63, tr. 579]. Ông
mô tả, cấu trúc vĩ mô của HĐ gồm 6 thành tố có mối quan hệ biện chứng theo mô hình:
Phía chủ thể

Phía đối tượng

Hoạt động

Động cơ

Hành động

Mục đích

Thao tác

Phương tiện

Sơ đồ 1.2. Cấu trúc vĩ mô hoạt động [41, tr. 45]
Việc phát hiện ra cấu trúc chung của HĐ và mối liên hệ biện chứng giữa các
thành tố của nó có ý nghĩa to lớn cả trong lý luận và thực tiễn. J. Piaget cho rằng:
Tri thức không phải truyền thụ từ người biết tới người không biết, mà tri thức được
chính cá thể xây dựng thông qua hoạt động [75]. Do đó, trong lĩnh vực DH, chúng
ta cần hình thành HĐ học tập cho HS và chú trọng phát huy tính chủ thể của HS mà
đặc trưng là tính tự giác, tích cực, sáng tạo.
Theo A.V. Petrovski [80, tr. 69], những công trình nghiên cứu của các nhà tâm
lý học đã chứng tỏ rằng ngoài HĐ thực tiễn con người còn có khả năng tiến hành một
HĐ đặc biệt nữa, đó là HĐNT. Mục đích của HĐ này là nhận thức, tức là thu thập và
cải biến thông tin về các thuộc tính của thế giới khách quan.
Có nhiều quan niệm về HĐNT, chẳng hạn: “HĐNT là quá trình cá nhân
thâm nhập, khám phá, tái tạo lại, cấu trúc lại thế giới xung quanh, qua đó hình
thành và phát triển chính bản thân mình mà trước hết là các kiến thức về thế giới,
các kĩ năng và phương pháp hành động cũng như những giá trị sống khác” [75, tr.

23, 24]. Hoặc “HĐNT là quá trình nhận thức giúp chúng ta phản ánh bản thân hiện
thực khách quan tác động vào con người trong quá trình hoạt động của mình” [40,
tr. 117]. Hay “HĐNT của con người liên quan đến việc tổ chức thông tin và thích
nghi với môi trường mà người học tri giác nó” [60, tr. 11].


13

Chúng ta nhận thấy mặc dù có nhiều cách diễn đạt khác nhau về khái niệm
HĐNT nhưng cơ bản chúng đều có các đặc điểm sau: Thứ nhất, HĐNT có mục đích
khám phá và tái tạo lại thế giới, qua đó hình thành và phát triển hiểu biết của con
người về thế giới và phương pháp vận động của nó nhằm thỏa mãn nhu cầu nhận
thức của con người; Thứ hai, trong HĐNT con người không trực tiếp tác động vào
đối tượng mà phải gián tiếp thông qua công cụ; Thứ ba, HĐNT diễn ra trong mối
tương tác trực tiếp hoặc gián tiếp giữa các cá nhân; Thứ tư, HĐNT có nhiều cấp độ,
tùy thuộc vào sự tham gia của các chức năng nhận thức cảm tính và lý tính.
Do đó, HĐNT là một quá trình năng động, tích cực và sáng tạo; đi từ chưa
biết đến biết, từ thuộc tính bề ngoài đến các thuộc tính bên trong, tức là từ cảm tính,
trực quan, riêng rẽ đến đối tượng trọn vẹn, ổn định, có tính quy luật và ngày càng đi
sâu vào bản chất của cả một lớp đối tượng, hiện tượng... và cuối cùng trở về thực
tiễn. Theo V. I. Lênin HĐNT được tiến hành theo con đường “Từ trực quan sinh
động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường
biện chứng của sự nhận thức hiện thực khách quan” [30, tr.179]. Trong đó, giai đoạn
nhận thức cảm tıń h (trực quan sinh động) có vai trò quan trọng, nó cung cấp vật liệu
và là cơ sở cho các hoạt động tâm lý cao hơn. Nhưng thực tế có vấn đề mà nhận thức
cảm tı́nh, con người không thể nhận thức và giải quyế t được, muốn giải quyế t được
phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tı́nh (tư duy trừu tượng).
Theo M. N. Sacđacôp, “Trong quá trình nhận thức ngày càng đầy đủ và sâu
sắc hơn những sự vật và hiện tượng của hiện thực và trong sự hoạt động sáng tạo của
mình, con người đã từ tri giác chuyển sang tri giác trong sự thống nhất với tư duy và

chuyển hẳn sang tư duy” [91, tr. 12].
Qua khảo sát thực tiễn, việc DH hiện nay ở trường THCS còn thiên về sử dụng
cơ chế nhận thức cảm tính, kết hợp với trí nhớ và tư duy tái tạo. Vì vậy, chưa thực sự
phát huy khả năng tư duy và trí tưởng tượng sáng tạo của HS. Trong nghiên cứu này,
chúng tôi sẽ quan tâm về tư duy trong quá trình phát triển trí tuệ của HS.
Có nhiều định nghĩa, nhiều cách diễn đạt khác nhau về tư duy của các nhà
tâm lý học. X. L. Rubinstein cho rằng: Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của
chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm
tính xuất hiện do tác động của khách thể [20, tr. 264]. Trong các tài liệu [45], [109],
[110] và [32, tr.117] các tác giả cho rằng: Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật và hiện
tượng trong hiện thực khách quan. Hay “Tư duy không phải chỉ là HĐNT, mà còn là
hoạt động phối hợp, sáng tạo, nhờ đó con người tạo ra những sự vật, hiện tượng mới
của nền văn hóa tinh thần và vật chất, dự kiến và vạch ra đường đi của đời sống cá
nhân và xã hội...” [91, tr. 8].


14

Trong nghiên cứu này, chúng tôi theo tư tưởng của M. N. Sacđacôp và quan
niệm: HĐNT được hiểu là quá trình tư duy của cá nhân nhằm thâm nhập, khám phá
và giải quyết các tình huống cần nhận thức.
1.2.2. Hoạt động nhận thức toán học
Quan điểm của C. Mác và Ph. Ăngghen về HĐNT của thế giới nói chung và
nhận thức toán học nói riêng được thực hiện bằng quá trình hoạt động tư duy [73, tr.
447]. Theo Nguyễn Bá Kim [50], quá trình tư duy toán học được diễn ra bằng cách
chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ. Ngoài ra, các quan điểm khác của triết học duy
vật biện chứng cho rằng, HĐNT chỉ nảy sinh khi đứng trước những mâu thuẫn,
chướng ngại nhận thức.
Trong [94], các tác giả cho rằng: HĐNT toán học gắn liền với HĐ tư duy nói

chung, đặc biệt là tư duy toán học, tư duy biện chứng và tư duy phê phán. Khi đứng
trước một tình huống cần nhận thức buộc chủ thể phải tiến hành tư duy nhằm huy
động các tri thức của mình và lựa chọn được cách thức thích hợp nhất để tổ chức
nhận thức tình huống đó một cách sáng tạo. Trên cơ sở quan niệm HĐNT toán học
trong [94, tr. 9], Luận án quan niệm: HĐNT toán học là quá trình tư duy dẫn tới lĩnh
hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó: xác định được mối
liên hệ nhân quả và các mối liên hệ khác của các đối tượng toán học được nghiên
cứu (khái niệm, quan hệ, quy luật toán học,…). Từ đó, vận dụng được tri thức toán
học giải quyết các vấn đề của toán học và trong thực tiễn.
Theo GS. Đào Tam, các dạng HĐ chủ yếu của HĐNT được thể hiện theo
sơ đồ sau:
Mâu thuẫn
HĐ
điều ứng

Chướng ngại

HĐ biến đổi
đối tượng

HĐ
nhận thức
Logic khoa
học

Tri
thức
HĐ
phát hiện

HĐ mô
hình hoá

Sơ đồ 1.3. Các dạng hoạt động chủ yếu của HĐNT [94, tr. 14]
Do đó, để tiến hành DH hiệu quả, việc thiết kế các HĐ, tạo môi trường cho HS
được học tập trong HĐ và bằng HĐ là yêu cầu quan trọng của đổi mới PPDH hiện nay.
Mặt khác, mục tiêu chủ yếu của việc phát triển HĐNT trong DH toán là phát
triển trí tuệ, nhân cách của HS. Phát triển trí tuệ được hiểu là sự thống nhất giữa
việc vũ trang tri thức và việc phát triển một cách tối đa phương thức phản ánh


15

chúng (con đường, cách thức, phương pháp… đi đến tri thức đó, nói gọn là giành
lấy tri thức, cách học) [94, tr. 12]. Vì vậy, trong quá trình DH môn Toán, cần quan
tâm đến việc bồi dưỡng, phát triển cho HS các cách thức mang tính khéo léo, độc
đáo, linh hoạt để giành lấy tri thức, đó chính là các TP.
1.3. Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức toán học
1.3.1. Thủ pháp
Theo [81, tr. 1495], “Thủ pháp là cách để thực hiện một ý định, một mục
đích cụ thể nào đó”. Như vậy, ở đây TP là một danh từ chỉ cách con người thực
hiện để làm một việc gì hay là phương thức của một hoạt động.
Nhà ngôn ngữ học Nguyễn Thiện Giáp cho rằng, thủ pháp (procedure) là một
hệ thống những nguyên tắc xác định cách nghiên cứu để đạt tới tri thức mới trong
một khoa học [31, tr. 15]. Tác giả đề cập đến các TP giải thích bên ngoài, bên trong,
TP logic... và cho rằng trình độ nghiên cứu của một khoa học được phản ánh ở sự
phong phú của các TP, ở phạm vi vận dụng và khả năng giải thích, miêu tả đối tượng
của các TP đó.
Trong [22], D. N. Perkins và một số nhà giáo dục học khác đánh giá cao về
vai trò của TP (phương pháp thủ thuật) trong khả năng trí tuệ của con người. Bởi vậy,

để hiểu hơn về TP chúng ta cần quan tâm các khái niệm “phương pháp”, “thủ thuật”
và mối liên hệ giữa chúng với nhau. Theo Từ điển Tiếng Việt của tác giả Hoàng Phê,
“Thủ thuật là cách thức tiến hành động tác khéo léo và có kỹ thuật hoặc kinh nghiệm
để thực hiện một công việc nào đó có hiệu quả” [81, tr. 1495]; “Phương pháp: (1)
Cách thức nghiên cứu, nhìn nhận các hiện tượng của tự nhiên và đời sống xã hội; (2)
Hệ thống các cách sử dụng để tiến hành một hoạt động nào đó” [81, tr. 1241]. Do đó,
theo các tác giả TP được hiểu là cách thức thực hiện các động tác khéo léo, độc đáo để
đạt được một mục tiêu nhất định.
Tác giả Phan Dũng trong [23, tr. 18], cho rằng “Trong bất kỳ lĩnh vực nào,
thông qua việc giải thành công nhiều bài toán, người ta có thể rút ra được các kinh
nghiệm, “bí quyết”, “mẹo” giúp giải quyết các vấn đề trong lĩnh vực đó nhanh hơn,
hiệu quả hơn. Những kinh nghiệm, “bí quyết”, “mẹo” như vậy được gọi là các thủ
thuật (thủ pháp) sáng tạo (Эвристический Приём - viết theo tiếng Nga; Heuristic
Technique - viết theo tiếng Anh). Nói cách khác, các thủ thuật có thể coi là các
phương pháp nhỏ, đơn giản nhất”. Như vậy, ở đây tác giả đã đồng nhất “thủ pháp” với
“thủ thuật”. Theo chúng tôi, ranh giới giữa các khái niệm “thủ pháp” và “thủ thuật” chỉ
mang tính tương đối. Ta có thể so sánh, phân biệt giữa “thủ pháp” và “thủ thuật” như
sau: chúng đều là cách thức tiến hành một HĐ nào đó một cách có hiệu quả; mang tính
khéo léo, linh động, sáng tạo, tính kinh nghiệm nhưng “thủ pháp” được đúc rút từ


16

những thao tác kỹ thuật mang tính ổn định, phổ biến, tính khái quát hơn trong phương
pháp giải quyết các vấn đề. Trong nhiều trường hợp, thủ thuật là thao tác để thực hiện
TP và đôi khi nó được dùng đồng nhất trong những tình huống xác định.
Trong văn học nghệ thuật, các tác giả thường sử dụng các hình ảnh, từ ngữ,
các lối ví von… một cách khéo léo, độc đáo để đạt được dụng ý nghệ thuật; các cách
thức sử dụng đó gọi chung là TP nghệ thuật (so sánh, ẩn dụ, hoán dụ, nhân hóa…).
Như vậy, từ “thủ pháp” được dùng trong tiếng Việt trong nhiều tình huống

khác nhau nhưng hầu hết đều mang tính nghệ thuật, khéo léo, độc đáo để giải quyết
vấn đề hiệu quả nhất. Trong phạm vi nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm “TP là
cách thức được đặc trưng bởi tính khéo léo, có kỹ thuật để thực hiện một công việc
cụ thể nào đó hiệu quả”.
1.3.2. Thủ pháp hoạt động nhận thức
1.3.2.1. Một số căn cứ dẫn đến quan niệm TPHĐNT
Ngoài các căn cứ là quan niệm HĐNT môn Toán ở mục 1.2.2, quan niệm TP
trong 1.3.1, chúng tôi quan tâm đến một số căn cứ khoa học sau để đưa ra quan
niệm TPHĐNT:
a) Cơ sở triết học
Theo triết học duy vật biện chứng, mọi sự vật và hiện tượng đa dạng, phong
phú trong thế giới khách quan luôn có mối liên hệ biện chứng, tác động qua lại và
nằm trong một chỉnh thể thống nhất; nhận thức chỉ đạt đến chân lý khi nó phản ánh
đúng bản chất của thế giới khách quan [74]. Do đó, việc vận dụng các nguyên lý,
quy luật, các cặp phạm trù của triết học duy vật biện chứng và phương pháp tư duy
biện chứng giúp HS có được sự nhận thức một cách khéo léo và linh hoạt; biết xem
xét sự vật, hiện tượng trong sự tương tác giữa các mặt, đặt chúng trong các mối liên
hệ biện chứng. Từ đó, tìm ra được cái cốt lõi, bản chất và những mối liên hệ cơ bản
nhất để tập trung giải quyết một cách có hiệu quả các vấn đề. Chẳng hạn:
- Để đi đến một cái chung, ta có thể phải khảo sát một số trường hợp riêng,
lấy kết quả của cái riêng nhằm định hướng giải quyết cái chung.
- Nếu vấn đề đang xét lại là trường hợp riêng của một vấn đề tổng quát nào
đó, có thể giải quyết vấn đề tổng quát rồi suy ra vấn đề ban đầu. Vì vấn đề tổng quát
thường chứa đựng nhiều thông tin hơn mà khi đặc biệt hoá những thông tin đó đã bị
giấu đi.
- Mỗi hình thức mang đến cho việc nghiên cứu nội dung tương ứng những
thuận lợi và khó khăn khác nhau. Việc thay đổi hình thức các vấn đề để bóc trần nội
dung thuận tiện cho việc huy động kiến thức đã có của HS là một việc làm hết sức
cần thiết nhằm tìm ra hình thức phù hợp nhất giúp nhanh chóng giải quyết vấn đề.

17

b) Cơ sở tâm lý học
N. A. Menchinskaya và E. N. Kabanova-Meller cho rằng, trí tuệ gồm hai
thành phần: Tri thức về đối tượng (cái được phản ánh) và các thủ thuật trí tuệ
(phương thức phản ánh). Tri thức về đối tượng phản ánh được coi là nguyên liệu là
phương tiện của hoạt động trí tuệ... Thủ thuật trí tuệ thực chất là một hệ thống các
thao tác, được hình thành một cách đặc biệt để giải quyết nhiệm vụ theo một kiểu
nhất định [76, tr. 44, 45]. Do đó, nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho trẻ em không chỉ
tăng số lượng tri thức mà cần phải quan tâm phát triển cả hai thành phần đó. Theo
các nhà tâm lý học trí tuệ N. A. Menchinskaya, A. Gusev, N. C. Dyachenko, A.
Lublin..., nắm vững các thủ thuật của hoạt động nhận thức là một thành phần thiết yếu
của việc tạo ra tri thức và phát triển trí tuệ của người học [127]. Giáo sư tâm lý học D.
N. Perkins của trường Đại học Harvard nhận định, TP là một thành phần quan trọng
trong phát triển trí thông minh của HS. Theo ông, khi được dạy thủ pháp các em sẽ dễ
dàng thực hiện hiệu quả nhiệm vụ và phát triển trí tuệ.
Quan điểm tâm lý học phát sinh nhận thức của J. Piaget cho rằng: Khi chủ
thể tiếp xúc với một thông tin mới, làm nảy sinh một nhiệm vụ nhận thức mà sự
cân bằng cũ bị phá vỡ do các sơ đồ đã có không áp dụng được, buộc chủ thể phải
tiến hành quá trình điều ứng, tạo ra trạng thái cân bằng mới ở một mức độ nhận
thức cao hơn. Hoạt động điều ứng đóng vai trò rất quan trọng, nó dẫn đế n sự kiến
tạo nên kiến thức mới và phát triển trí tuệ của chủ thể nhận thức, để thực hiện nó
một cách hiệu quả thì HS cần phải có cách thức suy nghĩ khéo léo, linh hoạt.
c) Cơ sở giáo dục học
DH theo hướng bồi dưỡng các cách thức khéo léo, độc đáo để giải quyết các
tình huống nhận thức nhằm thực hiện mục tiêu phát triển năng lực trí tuệ (khả năng
suy đoán và tưởng tượng; khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát
hóa; hình thành tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo...). Tác dụng phát triển năng lực trí
tuệ này là ở chỗ, HS độc lập, chủ động chiếm lĩnh kiến thức, tài liệu học tập với

những TPHĐNT đã được trang bị. Nghiên cứu của T. Kamalovoy, M. V. Kralinoy, E.
P. Malanyuk cho thấy sự cần thiết và khả năng sử dụng hợp lý các thủ thuật trí tuệ
của HS là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu toán học. Các nghiên cứu này và một số
nghiên cứu giáo dục khác đã chứng tỏ hình thành các thủ thuật của HĐNT nên được
bắt đầu từ nhà trường phổ thông [127].
Theo Robert J. Marzano [68], DH vừa mang tính khoa học vừa mang tính
nghệ thuật. Sự tăng dần mức độ nghệ thuật trong DH trên cơ sở hình thành và phát
triển các TP là cơ sở để nâng DH lên trình độ mới với hiệu quả cao, đáp ứng yêu
cầu của DH hiện đại. Do đó, chúng ta cần quan tâm bồi dưỡng các TP cho HS, đó là
những kỹ thuật HĐNT khéo léo, độc đáo nhằm phát triển khả năng giải quyết vấn đề.


18

d) Các nghiên cứu lý luận DH có liên quan đến “procedural knowledge”,
“tactic” trong tiếng Anh và “приём” trong tiếng Nga
Các nghiên cứu [22], [118], [119], [124], [125]... đã thừa nhận trong giảng
dạy toán, điều quan trọng là HS cần lĩnh hội được kiến thức khái niệm (conceptual
knowledge) và kiến thức thực hiện (procedural knowledge). Kiến thức thực hiện
liên quan đến các cách thức, các tiến trình, các phương pháp có tính chất tìm đoán,
các TP và các chiến lược giải quyết vấn đề; được gắn với loại vấn đề cụ thể, mang
tính linh hoạt, sáng tạo của cá nhân.
Một số công trình nghiên cứu giáo dục toán học bằng tiếng Anh, đã đề cao
vai trò của“tactics” đó là các cách thức mang tính khôn khéo trong giải quyết vấn
đề [117], [130]... Trong [117], giáo sư D. N. Perkins trường đại học Harvard cho
rằng trí thông minh được mô tả theo công thức:
Intelligence = Power + Tactics + Content
Dịch là: Trí thông minh = Năng lực + TP + Trình độ chuyên môn [22, tr. 15].
Trong đó, theo [130] “Tactic is skillful use of available means to achieve an
objective”, tạm dịch “TP là cách khéo léo sử dụng những phương tiện sẵn có để đạt

được mục tiêu nào đó”, nó là điều kiện cần thiết để thực hiện hiệu quả một chiến
lược. Mặt khác, theo từ điển Anh – Việt, nghĩa của từ tactic ['tæktik] là cách; chước;
mưu kế, mẹo (phương tiện để thực hiện cái gì). Như vậy, TP có thể xem là các cách
khéo léo hay các kỹ năng mềm dẻo, linh hoạt để thực hiện thành công một nhiệm vụ,
một mục tiêu cụ thể. D. N. Perkins [117] khẳng định, TP (tactics) rất quan trọng trong
phát triển trí tuệ của trẻ em, nên cần phải xác định thuật ngữ này càng rõ càng tốt.
Một số công trình nghiên cứu giáo dục toán học bằng tiếng Nga, có đề cập
đến“приём”, chẳng hạn: [127], [128]… đều cho rằng, “приём” mang tính nghệ
thuật, sáng tạo. Theo L. M. Phơritman, E. N. Turetxki, V. Ia. Xtetxencô [128], việc
dẫn một bài toán dạng không chuẩn đến một bài toán dạng chuẩn bằng các TP chia
nhỏ hoặc mô hình hóa là một nghệ thuật, chỉ có thể lĩnh hội được trong kết quả của
sự phân tích sâu sắc thường xuyên các hành động giải toán và thường xuyên luyện
tập giải các bài toán khác nhau. I. V. Titôva [127] cho rằng, trong hoạt động học của
HS có hai mặt bao gồm: hình thành kiến thức (khái niệm, ý tưởng…) và quá trình
hình thành các TP (приeмob) làm việc với các tài liệu học tập. Theo tác giả, TP
hoạt động trí tuệ là cách thức mà người học dùng để thực hiện trong các tình huống
nhận thức; chúng thường có tính hướng dẫn hoặc khuyến cáo chỉ ra cách làm thế nào
để tiến hành hoạt động trí tuệ trong việc giải quyết một số các nhiệm vụ cụ thể.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm các TPHĐNT như là một phần của
kiến thức thực hiện (procedural knowledge), đó là các “tactics” trong tiếng Anh hay


19

“приём” trong tiếng Nga, chúng mang tính “nghệ thuật” nghĩa là nó đòi hỏi sự linh
hoạt và khéo léo của người sử dụng.
e) Căn cứ vào những khó khăn, chướng ngại, sai lầm của HS trong khám phá
và giải quyết vấn đề môn Toán ở trường THCS
Trong quá trình khám phá và giải quyết các vấn đề toán học ở trường THCS,
nếu cứ suy nghĩ theo lối thông thường, HS có thể gặp nhiều khó khăn, chướng ngại

và sai lầm; không tìm được cách giải quyết hoặc cách giải quyết không hiệu quả…
Để khắc phục tình trạng đó, người học cần khéo léo, linh hoạt sử dụng cách thức suy
nghĩ hợp lý. Với đặc điểm lứa tuổi của HS THCS (khả năng tư duy trừu tượng còn
hạn chế) chúng ta có thể tìm cách quy lạ về quen nhờ phân nhỏ vấn đề phức tạp ban
đầu thành các vấn đề bộ phận, biết “loại bỏ” phần không cần thiết, không bản chất ra
khỏi bài toán, tách đúng phần cần thiết để biến đổi lập luận riêng hoặc tìm cách diễn
đạt vấn đề theo một cách khác (mô hình hóa) đưa vấn đề cần giải quyết về dạng
chuẩn hoặc đơn giản hơn; dùng thực nghiệm, quy nạp kết hợp với suy diễn để chuyển
việc giải quyết vấn đề phức tạp thành các vấn đề đơn giản hơn, các trường hợp đặc
biệt hay bổ sung các yếu tố phụ làm cầu nối để tìm cách giải quyết vấn đề ban đầu…

1
1
Ví dụ 1.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + , với 0< x ≤ .
x
2
Với bài toán này, có khá nhiều HS đã giải như sau: Áp dụng bất đẳng thức
1
1
Cô-si ta có: A = x + ≥ 2 x. =
2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.
x
x
Sai lầm trong lời giải trên là HS chưa hiểu một cách thấu đáo rằng: Nếu biểu
thức A luôn có giá trị lớn hơn hoặc bằng m thì chỉ có thể kết luận m là giá trị nhỏ
nhất khi dấu “=” xảy ra. Khó khăn gặp phải khi giải bài toán này là không thể áp
1
1
dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và , do điều kiện của x là 0 < x ≤ . Để
2

x
giúp HS phát hiện được vấn đề và tìm được cách giải quyết, GV có thể gợi ý cho
HS quan sát giá trị của A qua một số giá trị cụ thể của x để phát hiện được giá trị x
thỏa mãn và tìm phương án giải quyết vấn đề như sau:
1
Cho x bởi một số giá trị thỏa mãn 0 < x ≤ , tự nhiên nhất là hãy lần lượt cho
2
x nhận các giá trị từ nhỏ đến lớn, các em thu được kết quả:
x

1
6

1
5

1
4

1
3

1
x

6

5

4

3

1
6

5, 2

4,25

A

6

3

1
3

2
5
5
2
29
10

...

1
2

...

2

...

5
2


20

Quan sát bảng trên, HS nhận thấy rằng, dường như x càng lớn thì A càng
5
1
nhỏ. Do đó, ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A =
khi x = . Hơn nữa, A là tổng
2
2
của hai số dương, nên phải chăng, ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si.
GV yêu cầu HS thử biểu diễn A về dạng liên quan đến bất đẳng thức Cô-si sao
1
cho dấu bằng xảy ra khi x = (yếu tố có liên quan đến dự đoán). Khi đó, để áp
2
dụng bất đẳng thức Cô-si thì chúng ta phải tách và nhóm biểu thức A sao cho:
1

α
x

=

1
x suy ra
A = α x + + (1 − α ) x với 
α =4
x
x = 1
 2
β

x=

β
1− β
1

x suy ra
hoặc A = x +
với 
+
β= .
4
x
x
x = 1
 2
Từ đó, người học có thể giải bài toán bằng hai cách nhờ chia bài toán ban
đầu thành các bài toán quen thuộc, đơn giản hơn. Đó là:

1
1
với 0 < x ≤ ;
2
x
1
Bài toán 1.1.1b. Tìm giá trị lớn nhất của 3x với 0 < x ≤ .
2
Hoặc:
1
1
với 0 < x ≤ ;
Bài toán 1.1.2a. Tìm giá trị nhỏ nhất của x +
4x
2
1
3
Bài toán 1.1.2b. Tìm giá trị nhỏ nhất của
với 0 < x ≤ .
4x
2
Như vậy, có thể thấy rằng mấu chốt để tìm được lời giải bài toán hay cái “nút”
1
1
3
chính là ở chỗ: Biết biểu diễn A = 4 x + − 3 x hay A = x +
+ . Tại sao có nhiều
x
4x 4x
cách phân nhỏ để biểu diễn A, mà lại dùng các cách này? (HS cần giải thích được: Bởi

vì, chính quá trình dự đoán bằng quan sát, thực nghiệm đã gợi ý lên điều đó).
Bài toán 1.1.1a. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 x +

f) Căn cứ vào tư tưởng sư phạm của G. Polya
Theo G. Polya, nhiệm vụ chính của DH toán ở trường phổ thông là dạy cho
HS suy nghĩ. Ông cho rằng, trong giảng dạy HS phải được hoạt động, hay đúng hơn
là học tập tích cực... và điểm chính trong việc giảng dạy toán học là phát triển các
chiến thuật giải quyết vấn đề [130]. Hơn nữa, G. Polya xem giải toán nói riêng và
giải quyết vấn đề nói chung là một nghệ thuật, do đó người giải cần có những sáng
tạo riêng và sự độc đáo. Tác giả đã đưa ra một số ơristic nhằm tăng nhanh quá trình
tìm kiếm các giải pháp hợp lý để giải quyết vấn đề trong các công trình của mình.


21

Như vậy, có thể thấy tư tưởng sư phạm của G. Polya đã thể hiện quá trình DH
toán cần phát huy tối đa khả năng suy nghĩ khéo léo, sáng tạo của HS, đó chính là các
TP. Vì vậy, cần quan tâm bồi dưỡng TPHĐNT cho các em trong dạy học môn Toán.
Chúng tôi sẽ trở lại nghiên cứu kỹ hơn vấn đề này trong mục 1.4.
1.3.2.2. Quan niệm về TPHĐNT toán học
Từ các quan niệm về HĐNT môn Toán ở mục 1.2.2, quan niệm TP trong 1.3.1
và việc phân tích các căn cứ ở mục 1.3.2.1, chúng tôi quan niệm:
TPHĐNT toán học là cách thức suy nghĩ (tư duy) được đặc trưng bởi tính
khéo léo, có kỹ thuật để giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả trong quá trình tiến
hành hoạt động nhận thức môn Toán.
Quan niệm trên đây chỉ là một cách mô tả về TPHĐNT (trong nghiên cứu này
đôi khi được gọi tắt là TP). TPHĐNT giúp tăng nhanh quá trình tìm kiếm giải pháp
hợp lý thông qua các suy nghĩ rút gọn. Các TP rất ít khi được đưa vào chương trình,
SGK, nhưng đó là một bộ phận kiến thức mà HS thường dùng để giải quyết vấn đề.
Mặt khác, TPHĐNT chú trọng đến từng giai đoạn cụ thể trong quá trình HĐNT.

1.3.3. Một số ví dụ
Ví dụ 1.1 là một minh họa của vận dụng TPHĐNT, đó là quy nạp thực
nghiệm thay biến x bởi một số giá trị cụ thể để phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải
quyết vấn đề và phân nhỏ bài toán thành các bài toán thành phần đơn giản hơn.

0.
Ví dụ 1.2. (Lớp 9) Giải phương trình: x 4 − 2 3 x 2 − x + 3 − 3 =
Bài toán này là một phương trình bậc 4 chưa có dạng quen thuộc nên HS sẽ
gặp nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải. Nhiều HS đã tìm cách phân tích đa thức
ở vế trái thành nhân tử nhưng khá phức tạp, dài dòng. Tuy nhiên, nếu HS nhận ra
đặc điểm bài toán và đặt

3 = m , chuyển sang giải bài toán tổng quát với tham số

m, ta có phương trình x 4 − 2mx 2 − x + m 2 − m =
0 . Đổi vai trò của ẩn và tham số
đưa đến phương trình với ẩn m: m 2 − (2 x 2 + 1)m + x 4 − x =
0.

m
= x2 − x
Giải phương trình này ta được 
suy ra
2
m
x
x
=
+
+

1


 x2 − x − 3 =
0
 2
 x + x + 1 − 3 =0.

Trong bài toán này, việc đặc biệt hoá m = 3 đã che giấu dạng của bài toán
và làm cho bài toán trở nên khó khăn. Tuy nhiên, nhờ linh hoạt chuyển về bài toán
tổng quát rồi từ đó biến đổi hình thức bài toán, chuyển việc giải bài toán phức tạp
ban đầu về giải phương trình bậc hai với ẩn m thì việc giải bài toán sẽ trở nên khá đơn
giản. Như vậy, nhờ biết cách xét bài toán tổng quát đơn giản hơn đã giúp người học
có thể định hướng để tìm ra lời giải bài toán phức tạp ban đầu.