Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 11 trường THPT Trần Hưng Đạo, TP Hồ Chí Minh năm học 2015 - 2016

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH

ĐỀ THI HỌC KỲ II

TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO

MÔN TOÁN - KHỐI 11
Ngày thi: 05/05/2016
Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:
a ) lim
x 

x  4 x 2  3x  1
9x2  x  3  5x  3

;

b ) lim
x2

x3  x  6
x7 3

Câu 2: (1 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x0 = 1
 x3  1

f  x   x  3  2
2mx  4


khi x  1
khi x  1

Câu 3: (1 điểm) Tính đạo hàm của hàm số:

3


a) y   2 x 4  2  1
x



7

b) y  (x  1) x 2  x  1

Câu 4: (1 điểm) Cho hàm số f ( x )  cos x  3 sin 2 x , tính f '(  ) .
2

2

Câu 5: (1 điểm) Cho hàm số: y  x3  3x 2  2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
1
9

của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : y   x  2 .
Câu 6: (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a,
SH  (ABCD), với H là trung điểm AB, tam giác SAB đều. Gọi I, M lần lượt là trung

điểm OB, AD.
a) Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD).
b) Chứng minh: (SBD)  (SHI)
c) Chứng minh: CM  SD.
d) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SD và AC.
---------------------HẾT--------------------


ĐÁP ÁN
Câu 1:

Câu 3:

3 1

x x2
a )...  lim
x 
1 3
 x. 9   2  5 x  3
x x
x x 4 

0.5

3 1
1 4   2
x x
 lim
x 

1 3
3
 9  2 5
x x
x
3

8

6
3
3




4
y  7  2 x  2  1 .  2 x 4  2  1
x
x

 

a)
6
 4 3
  3 6
 7  2 x  2  1 .  8 x  3 
x
x 


 

y '  x 2  x  1   x  1 .


( x3  x  6)( x  7  3)
x2
x2
x2
2
( x  2x  3)( x  7  3)
 lim
x2
1
 66
b) lim ...  lim

Câu 2: Ta có:  f 1  2m  4.

x1

 lim

x1





2



 lim x2  x  1
x1



x 1
x  3  2  12.

 2m  4  12  m  8.

2  x  x  1   x  1 .(2x  1)

0.25

2 x2  x 1
4x 2  5x  3
0.25

2 x2  x 1

f '( x )  

0.5
0.25

0.5

1
x
sin  6 cos 2 x
2
2


1 
2
f '( )   sin  6cos   6 
2
2
4
4

0.25

0.25 Câu 5:
y  f ( x)  x3  3x 2  2
 y /  f / ( x)  3x 2  6 x



0.25
0.25



 Hàm số liên tục tại x  1

x1

0.25

x 1

 lim f  x   f 1

2 x2  x  1

Câu 4: .

3

x32
 x  1 x  x  1 x  3  2
x1

2x  1

2



 lim f  x   lim

0.25

b) y  (x  1) x 2  x  1

0.25
0.25

0.25

Do tiếp tuyến(d)    kd  

1
9
k

0.25

Gọi d là ttuyến và M  x0 ; y0  là tiếp điểm
0.25

ta có : kd  f / ( x0 )  3 x02  6 x0  9
 x0  1
 3x02  6 x0  9  0  
 x0  3

Với: x0  1  y0  2 . Vậy pttt:

0.25

0.25

(d ) : y  y0  f / ( x0 )  x  x0 
 y  2  9  x  1  y  9 x  7

Với x0  3  y0  2 Vậy pttt là:
(d ) : y  2  9  x  3  y  9 x  25

Kết luận có 2 tt cần tìm: y  9 x  7 và
y  9 x  25

0.25


Câu 6: (4 điểm)
S

K

M

D

H
I

B

C

a) SH  (ABCD) tại H  HD là hình chiếu của SD trên

(ABCD)  ( SD;( ABCD))  ( SD; HD)  SDH

0.25

a2 a 5

Ta có HD  AD  AH  a 
.
4
2
2

2

2

Tam giác SAB đều, cạnh a nên SH 

a 3
2

a 3
  SH  2  15
Tam giác SHD vuông tại H  tan SDH
HD a 5
5
2
  37 0 46'
 ( SD;( ABCD))  SDH

0.25

0.25

0.25

b) Ta có: BD  SH (vì SH  (ABCD))
BD  IH (vì BD  AC, AC / /HI )

0.25

BD  (SIH)  (SBD)  (SIH)

0.25



0.5

 ( ADH  DCM )
c) 
ADH  DCM

0.25

  900  CDH
  DCM
  900 =>CM  HD
ADH  CDH
Mà 

0.25

Mà CM  SH (…) => CM  SD

0.25

d)Cách 1 : Gọi K là trungđiểm SB. Do SD // KO => SD // (AKC)
=>d(SD, AC) = d(SD, (AKC)) = d(S, (AKC)) = d(B, (AKC)) = 2d(H,

0.25

(AKC))
Gọi N là trung điểm OA, G là giao điểm của SH và AK.
Ta có: (GHN)  (AKC) theo giao tuyến GN.
Kẻ HL  GN tại L => HL  (AKC) tại L => d(H, (AKC)) = HL

0.25


1
4

Ta có: HN  BD 

a 2
1
a 3
, HG  SH 
4
3
6

1
1
1
20
a 5
a 5


 2  HL 
 d ( SD, AC ) 
2
2
2
HL
HG
HN
a
10
10

Cách 2: Kẻ Dx//AC, kẻ HE  Dx tại E, kẻ HK  SE tại K. C/m HK=
d(H;(SDx) =

3
d(SD; AC) ……
2

0.25
0.25