Tài liệu học tập môn toán lớp 11 hk2 (giải tích)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.53 MB, 111 trang )

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

Chủ đề

1

GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

1

Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A - GIỚI HẠN HỮU HẠN
 Giới hạn hữu hạn
 lim un  0  un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
n 

 Dãy số  un  có giới hạn là L nếu: lim vn  L  lim  vn  L   0
n 

n 

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un  0, lim un  L .
 Giới hạn đặc biệt
1
1) lim  0
n

2) lim

1

0
n

1
3) lim 3  0
n

5) lim C  C , C  

6) lim q n  0 nếu q  1 )

8) lim q n   nếu q  1

9) lim n k  , k   *

4) un  0  lim un  0
7) lim

1
 0, k   *
nk

 Định lí về giới hạn
• Nếu hai dãy số  un  và  vn  cùng có giới hạn thì ta có:
2) lim  un .vn   lim un .lim vn

1) lim(un  vn )  lim un  lim vn
3) lim

un lim un


(Nếu lim vn  0 )
vn lim vn

4) lim  k .un   k .lim un , (k  )
6) lim 2k un  2k lim un (nếu un  0 ) (căn bậc chẵn)

5) lim | un || lim un |
7) lim 2k 1 un  2 k 1 lim un

(căn bậc lẻ) 8) Nếu un  vn và lim vn  0 thì lim un  0 .

- Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số  un  ,  vn  ,

 wn 

và

L   . Nếu

un  vn  wn , n   * và lim un  lim wn  L thì  vn  có giới hạn và lim vn  L .
• Nếu lim un  a và lim vn   thì lim

un
0.
vn

1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
n

 1
 Chú ý: e  lim  1+   2, 718281828459... , là một số vô tỉ.
 n
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
• Một cấp số nhân có công bội q với | q | 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta có : S  u1  u1q  u1q 2  

u1
(với | q | 1 )
1 q

B - GIỚI HẠN VÔ CỰC
 Định nghĩa
 lim un    un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
n 

Cần file Word vui lòng liên hệ:

Mã số tài liệu: GT11-HK2

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

2

 lim un    un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
n 

 lim un    lim  un   
n 

n

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un   .
 Định lí



Neáu lim un = + thì lim

1
=0
un

 Nếu lim un  0,  un  0, n     lim

1

un

 Một vài qui tắc tìm giới hạn
Qui tắc 1:
Nếu lim un  

Qui tắc 2:
Nếu lim un  

Qui tắc 3:

Nếu lim un  L ,

và lim vn   ,

và lim vn  L  0 ,

lim vn  0 và vn  0 hoặc

thì lim  un .vn  là:

thì lim  un .vn  là:

vn  0 kể từ một số hạng nào
đó trở đi thì:

lim un lim v n lim  un .v n 
+
+



+

+


lim un

+



+

+
+



Dấu của
lim  un .v n 
L
+

+


+


+

L

Dấu của vn lim

+
+



+

+


un
vn

+


+

Dạng 1. Dãy có giới hạn 0
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Dãy (un) có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: lim(un )  0 hoặc lim un  0 hoặc un  0 .
lim un  0    0, n0  * : n  n0  un  

 Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)
 Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên
hợp của căn thức, …

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.1 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0:

1
n3
1

c) un  n
3

a) un 

(1)n
n4
(1)n
b) un  n
2
b) un 

c) un 

1
n2

c) un  (0,99)n

d) un 

1
, k nguyên dương
nk

d) un  (0,97)n

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

VD 1.3 Tính các giới hạn sau:

a) un 

sin n
n5

b) un 

cos 3n
n 1

c) un 

(1)n
3n  1

d) un 

 sin 2n
(1, 2)n

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

a) Chứng minh

n
.
3n

un 1 2
 với mọi n
un
3

b) Chứng minh rằng dãy  un  có giới hạn 0

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

u
1
, un 1  un2  n , n  1 .
4
2
1

a) Chứng minh 0  un  với mọi n
b) Tính lim un
4

VD 1.7 Cho dãy số (un) với u1 

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Cần file Word vui lòng liên hệ:

Mã số tài liệu: GT11-HK2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

5

Dạng 2. Khử dạng vô định




A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Đối với dãy un 

a0 n m  a1n m 1  ...  am
, a0  0, b0  0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức
b0 n k  b1n k 1  ...  bk

cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử n m hoặc mẫu nk , việc này cũng như đặt thừa số chung cho
n m hoặc mẫu nk rồi rút gọn, khử dạng vô định. Kết quả:
0
khi m  k

a
a
lim un   0 khi m  k (dấu  hoặc  tùy theo dấu của 0 )
b0
 b0
 khi m  k

 Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số
chung rồi đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n
ở tử hoặc mẫu.
 Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này
cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.
 Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … và sử dụng các kết quả đã biết.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.8 Tính các giới hạn sau:

a) lim

2n  1
3n  2

b) lim

n 2  3n  5
3n 2  4

c) lim

n3  n 2  n  1
2n3  n 2  2

d) lim

2n 4  1
3n 4  n  2

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

b) lim

2n3  3n  2
3n  2
(2n  1) 2 (4  n)
f) lim
(3n  5)3
c) lim

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

3

b) lim

n 6  7n3  5n  8
n  12

c) lim

2n 2  n
1  3n 2

d) lim

6n 4  n  1
2n  1

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

22 n  5n  2
3n  5.4n

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Cần file Word vui lòng liên hệ:

Mã số tài liệu: GT11-HK2

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

8

Dạng 3. Khử dạng vô định  - 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Đối với dãy un  am n m  am1nm 1  ...  a0 , am  0 thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất
của n là nm. Khi đó: lim un   nếu am  0 và lim un   nếu am  0
 Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về
dạng:

A B2
A B=
A B





A B =

A B
A B

A  B2
A B=
A B
A B
A B =
A B



3



3



3



3

A B=
A B=

A B3
3

A2  B.3 A  B 2
A  B3

3

A 3 B =
A 3 B =

A2  B.3 A  B 2

A B
3

2

A  A.B  3 B 2
A B

3

A2  3 A.B  3 B 2
 Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng
vô định, chẳng hạn:
3

 n  2  n  n 
  n  n  n  n 

n3  2  n2  1 
n 2  n  3 2  n3

3

3



3

2

n2  1 ;
3

2  n3



 Đối với các biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số
lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất.

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.12 Tính các giới hạn sau:

a) lim  n 2  14n  7 

b) lim  2n 2  3n  19 

c) lim 2n 2  n  1

d) lim 3 8n3  n 2  n  3

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Cần file Word vui lòng liên hệ:

Mã số tài liệu: GT11-HK2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

9

VD 1.13 Tính các giới hạn sau:


d) lim 

n2  n  1  n

a) lim

3

n3  1  n





b) lim



e) lim





c) lim

n 1  n n
3

n3  n 2  n 2  3n



f) lim



3

n3  n 2  3 n3  1



n2  2  n2  1
3

n3  2  3 n 3  n 2

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

e) lim



3

n 2  7  2n



1
n  2  n 1

c) lim 2.3n  n  2
f) lim

2
3n  2  2n  1

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Cần file Word vui lòng liên hệ:

Mã số tài liệu: GT11-HK2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

11

Dạng 4. Cấp số nhân lùi vô hạn
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một cấp số nhân có công bội q với | q | 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Ta có : S  u1 + u1q  u1q 2 +  

u1
, với | q | 1 .
1 q

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.15 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 0,444…; 0,212121…
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
VD 1.16 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là

5
39
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là
. Tìm số
3

25

hạng đầu và công bội của cấp số đó.
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
VD 1.17 Cho q  1 . Tính tổng vô hạn sau:

a) A  1  2q  3 p 2  ...  nq n 1  ...

b) B  1  4q  9 p 2  ...  n 2 q n 1  ...

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Cần file Word vui lòng liên hệ:

Mã số tài liệu: GT11-HK2

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

12

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1
1.1

1.2

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim(2n3  3n  5)

2)

lim 3n 4  5n3  7n

3)

lim(3n3  7 n  11)

4)

lim 2n 4  n 2  n  2

5)

lim 3 1  2n  n3

6)

lim( n3  3n  2)

2)

lim

2n  3n3  1
n3  n 2

3)

lim

5)

lim

2n  3
4n  5

6)

8)

lim

(n  1)(2n  1)
(3n  2)(n  3)

9)

Tìm các giới hạn sau:
1)
4)
7)

4n 2  n  1
3  2n 2
(2  3n)3 (n  1)2
lim
1  4n5
4n 2  3
lim 3
n  3n  1
lim

2(n  1)3 (n 2  n  1) 2
10) lim 3
(n  2n  5)(3  2n)6

1.3

n3  2n  1
2n 2  n  3

14) lim

4n5  n  1
6n3  2n  1
15)
lim
(2n  1)( n  1)(n 2  2)
2n3  n

16) lim

(n 2  1)(n  1)2
(n  1)(3n  2)3

17) lim

2n3  3n  2
3n  2

18) lim

2n3  n  3
5n  1

Tìm các giới hạn sau:

3n2  1  n
1  2n 2

2)

lim

2n n
n  2n  1

3)

lim

lim

n3  n
n2

5)

lim

n2  2 n  3
2n 2  n  n

6)

lim

(2n n  1)( n  3)
(n  1)(n  3)

lim

2n n  3
n2  n  1

8)

lim

n 1  2  3  ...  2n
3n 2  n  2

9)

lim

2n n  3
n 3 n 2

n 2  n  1  4n 2  2
2)
n3

lim

3)

lim

1)

lim

4)
7)

2

n 1
n 1

2

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim

4)

lim

4 n 2  3  2n  1
2

7)

lim

10) lim

n( 3 2  n3  n)

n2  1  n
4n 2  1  2n  1
n 2  4n  1  n

2n  1  n 2  2n  4
3n  n 2  7

5)

lim

3n 2  1  n 2  1
n

6)

lim

8)

lim

2n  1  n
3n  1

9)

lim

n  2n  n

1.5

(n 2  1)(n  3)  n3  2
12) lim
(2n 2  1)(3  n)

13) lim

3

1.4

(2n  1)3 (n  3)5
11) lim
3(n  1)9

3n3  5n  1
n2  4
3n 2  2n  1
lim 2
4n  5n  2
n(3n  2)(4n  5)
lim
(2n  3)2

11) lim

n6  n  1  n2
3n 2 n 2  1

12) lim

4 n 2  3  2n  1
n( n 2  3  2n)

1
2

n  2  n2  4
n  n2  1
n 2  2n
4 n 2  3  2n  1
n 2  4n  n

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim n( n 2  1  n 2  2)

lim n( n 2  1  n 2  2)

3)

lim(1  n2  n 4  3n  1)

4)

lim(2n  1  4n 2  6n  7) 5)

lim( n3  3n  n  5)

6)

lim( n 2  2n  n  1)

7)

lim( n 2  2n  n  1)

lim( n 2  n  n 2  1)

9)

lim( n  1  n )

10) lim( n 2  n  1  n)

2)

8)

11) lim( n 2  n  2  n  1)

Cần file Word vui lòng liên hệ:

12) lim( 3 2n  n3  n  1)
Mã số tài liệu: GT11-HK2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

13

1
n  2  n 1

13) lim

12) lim( 3 n3  2n 2  2n  1)

13) lim( 3 n  n3  n)

14) lim( 3 n3  1  n)

15) lim( 3 2  n3  n)

n( 3 2  n3  n)
2

17) lim( 3 8n3  n2  1  3  2n) 18) lim( 3 n3  3n  n 2  4n )

2

Tìm các giới hạn sau:
1)

lim[4n  (2)n ]

2)

1

lim  2n  
n


3)

lim

(2)n  4.5n 1
2.4n  3.5n

4)

 2  n 3n 
lim    n
   4 



5)

lim

1  2n
1  2n

6)

lim

(2)n  3n
(2)n 1  3n 1

7)

lim

3n  4n
3n  4n

8)

lim

2 n1  3n 1
2n  3n

9)

lim

2 n  3n  4n 3
2n  3n 1  4n 1

10) lim

n 2  (1)n

2n 2  (1) n 1

11) lim

3  4n
1  3.4n

12) lim

13) lim

2n  3n 1
2n  5.3n

14) lim

3n  4n  1
2.4n  2n
3n  2.5n
17) lim
7  3.5n
1  a  a2   an
20) lim
1  b  b2    bn

16) lim 2 n  3n

2n  3n  4.5n  2
19) lim n1 n 2 n1
2 3 5

Tính tổng vô hạn:
1 1 1
1) S  1    
2 4 8
4)

S

2)

2 1
1
1

 
2 1 2  2 2
2

2

7) 1  0,9   0,9    0, 9  
1.8

1.9

1
3n  2  2n  1

lim

11) lim( 3 n3  2n 2  n)

n  1  2n

1.7

9)

10) lim( 3 n 3  n 2  n )

16) lim
1.6

n2  1  n  1
3n  2

14) lim

3n  4n  5n
3n  4n  5n1

4.3n  7 n 1
2.5n  7 n
4 n  5n
18) lim n
2  3.5n
15) lim

(vôùi a  1; b  1)

1 1 1
S  1    
3 9 27

3)

S

1
5) S  8  4  2  1   ...
2

6)

S  33.9 9 .27 27 .8181 

8) S 

1 2 3 4
   
2 4 8 27
1

1

1

1

34

34
34



100 10000 1000000

Tìm phân số phát sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn sau:
1) 34, 12  
2) 0,  25  
3) 3, 123 

4) 2,131131

Cho hai dãy số  un  và  vn  . Chứng minh rằng nếu lim vn  0 và | un | vn với mọi n thì
lim un  0 . Áp dụng tính giới hạn của các dãy số sau:
1
n!

1)

un 

4)

un  (0,99) n cos n

(1)n
2n  1

2)

un 

5)

un  5n  cos n

Cần file Word vui lòng liên hệ:

3)

un 

2  n(1) n
1  2n 2

Mã số tài liệu: GT11-HK2

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

14

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
TN1.1

TN1.2

Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?

n 1
1
A.
.
B.
.
n
n
n

n

TN1.5

TN1.6

 1
lim

TN1.8

TN1.9

TN1.10

TN1.11

cos n
.
n

n

 5
B.    .
 4

n

n

 2
C.   .
 3

 4
D.    .
 3

n

 2
B.    .
 3

n2
1
A. .
2

n

D.  1 .

C. 1 .

1
D.  .
2

C.

1
.
2

1
D.  .
2

C.

3
.
5

D.

có giá trị bằng
B. 0 .

 1  2n 
lim 
 có giá trị bằng
 4n 
1
1
A. .
B.  .
4
4

lim

n

C.  0, 99  .

n

3n  5n
có giá trị bằng
5n

A. 1 .
TN1.7

D.

Dãy nào sau đây không có giới hạn?

 2
A.   .
 3

TN1.4

1
n 1

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
 3
A.   .
 2

TN1.3

C.

B. 0 .

2n3  n  5
có giá trị bằng
n 4  2n  2
A.  .
B. 2 .

8
.
5

lim

2n 4  n  1
có giá trị bằng
3n 4  2n
2
A. 0 .
B.
3

C. 0 .

D. 6 .

C.  .

D.

2
.
5

C. 1 .

D.

3
.
2

C.  .

D. 2 .

C. 1

.

lim

2n 2  3n3
có giá trị bằng
2n3  4n 2  1
3
A.  .
B. 0 .
2
lim

2n3  n 2  4
có giá trị bằng
n 2  2n  3
A. 2 .
B. 0 .
lim

n
lim
A. 0 .

2

 2n  2n3  1  4n  5 

n

4

 3n  1 3n 2  7 
B.

8
.
3

có giá trị bằng

Cần file Word vui lòng liên hệ:

D.  .

Mã số tài liệu: GT11-HK2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

15

 2n  n  3n  1
lim

 2n  1  n  7 

có giá trị bằng

A. 1 .

B. 3 .

3

TN1.12

TN1.13

2

4

B. 1 .

TN1.16

B.  .

9n 2  n  n  2
có giá trị bằng
3n  2
A. 1 .
B. 3 .
lim



TN1.20

lim



B. 1 .

C. 0 .

D.  .

C. 0 .

D.  .

C. 1 .

D.  .

C.  .

D. 1 .



n 2  2n  1  2n 2  n có giá trị bằng

lim



B.  .



n 2  2n  3  n có giá trị bằng

B. 0 .

lim





A.

1
.
2

2n 2  n  1  2n 2  3n  2 có giá trị bằng

B. 0 .

C.  .

D.  .

1 
 1
lim 

 có giá trị bằng
n2 
 n 1
A. 1 .

TN1.21

D. 7 .



A. 1 .
TN1.19

C. 3 .

n 2  4  n2  1 có giá trị bằng

A. 1  2 .
TN1.18

D.  .

lim

A. 3 .
TN1.17

C.  .

lim  3n 4  4n 2  n  1 có giá trị bằng
A.  .

TN1.15

D.  .

lim  2n3  2n 2  3 có giá trị bằng
A. 2 .

TN1.14

3
C.  .
2

lim

B. 0 .
n



C.

1
.
2

D.  .



n  2  n  3 có giá trị bằng

A. 1 .

B. 0 .

C. 1 .

D.  .

TN1.22 Nếu lim un  L thì lim 3 un  8 có giá trị bằng
A. L  2 .
TN1.23 Nếu lim un  L thì lim
1
.
L 3

A.
3

TN1.24

lim

3

A. 1 .

B.

3

L 8 .

1
un  9
B.

C.

3

L 2.

D. L  8 .

1
.
L 3

D.

có giá trị bằng

1
.
L9

C.

1
.
L9

n 1
có giá trị bằng
n8
B.

1
.
2

C.

Cần file Word vui lòng liên hệ:

1
.
8

D.  .
Mã số tài liệu: GT11-HK2

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2
3

TN1.25

2.

B. 2 .

3
.
2

B.

 5

lim

n

.

D. 1 .

D.  5 .

C.  .

 

3
B.

1
.
5

C. 

 n  3n  2 2 n
có giá trị bằng
3 n  3n  22 n  2
1
A. 1 .
B. .
4

2
5

.

1
D.  .

5

lim

lim

n  n2  1
n2  n  2

lim



B. 2 .
3

lim

A.



3

C.  .

D. 1 .

C. 0 .

D. 1 .

C. 1 .

D. 0 .

C. 1 .

D. 0 .

1  2n 2
C. un 
.
n5

D. un 

1  2n
.
n5

D. un 

n2  2
.\
n  5n 3

có giá trị bằng



n 3  2n 2  n có giá trị bằng

2
A.  .
3
TN1.32

5

có giá trị bằng

n 1

5

A. 1 .
TN1.31

C.

 2n 1  1

1
A.  .
3

TN1.30

3.

B.  .

5.2n 

TN1.29

D.  .

n
lim 3n  5  có giá trị bằng



A. 3 .

TN1.28

C. 1 .

 3n  (1)n cos 3n 
lim 
 có giá trị bằng

n 1



A.
TN1.27

có giá trị bằng

2n 2  1

A.
TN1.26

8n3  2n 2  1

lim

16

B.

1
.
3



n 2  n 3 + n có giá trị bằng

1
.
3

B.  .

TN1.33 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
n2  1
A. un 
.
n  3n 2

1  3n
B. un 
.
n  3n 2

TN1.34 Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?
A. un 

n 2  2n
.
3n  3n 2

B. un 

1  2n
.
3n  3

C. un 

2  n2
.
3n  3

TN1.35 Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?
n 2  3n
.
2n  n 2
C. un  2017 n  2016n 2 .

A. un 

2018  2017n
.
n 1
D. un  n 2  1.
B. un 

Cần file Word vui lòng liên hệ:

Mã số tài liệu: GT11-HK2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

17

TN1.36 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?
A. lim

3n 2  1
.
3n3  2

B. lim

2n3  3
.
2n3  1

3n 2  1
.
3n3  3n 2

D. lim

n3  3
.
n2  1

C. lim

2n 2  n 4
.
 n3  2n2

D. lim

3  5n 3
.
n2  1

C. lim

3n 2  2n3
.
2n3  4n 2

D. lim

3  2n 4
.
2n 2  1

C. lim

TN1.37 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?
A. lim

5n 2  2
.
 5n 3  4

B. lim

2 n  5n 3
.
2 n 2  1

TN1.38 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1 ?
A. lim

n2  2
.

 n3  4

B. lim

2n  n3
.
2n 2  1

TN1.39 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?
n


A. lim  1 sin   n  .
2



C. lim cos   n  .
2

TN1.40 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 ?
A. lim sin  n  .
 n2 
C. lim sin 
 .
 2n  1 

 1
1  1 1
TN1.42 Tổng S       +...+

2  4 8
2n
1
A. 1 .
B. .
3

TN1.44

B. lim cos  n  .

n cos n  2
.
n2

C.

2
.
5

D.

5
.
4

C.

3

.
4

D.

2
3

C.

1
.
5

D.  .

C. 0 .

1
D.  .
2

C. 0 .

D.  .

C. –4.

D.

n 1

 ... là

1  3  5  ...  (2n  1)
có giá trị bằng
5n 2  4
1
A. 0 .
B.  .
4
lim

lim

1  2  3  ...  n
có giá trị bằng
n2  2

A. 1 .
TN1.45

D. lim cos  n  .

D. lim

1 1
1
TN1.41 Tổng S   2  ...  n  ... có giá trị bằng
5 5

5
1
1
A. .
B. .
5
4

TN1.43

B. lim sin  n  .

B.  .

 1

1
1
lim 

 ... 
 có giá trị bằng
 1.2 2.3
n  n  1 

1
A. .
B. 1 .
2


n 2 cos 2n 
 là:
TN1.46 Kết quả đúng của lim  5 
n 2  1 


A. 4.

B. 5.

Cần file Word vui lòng liên hệ:

1
.
4

Mã số tài liệu: GT11-HK2

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

TN1.47 Kết quả đúng của lim
A. –

5
.
2

18

2  5 n 2
là:
3 n  2.5 n
B. 1.

TN1.48 Kết quả đúng của lim

C.

 n 2  2n  1
4

5
.
2

D. –

25
.
2

là

3n  2

A. –

3

.
3

B. –

2
.
3

TN1.49 Giới hạn dãy số  un  với un =
A. –.

C. –

1
.
2

D.

1
.
2

3n  n 4
là:
4n  5

B. +.

C.

3 n  4.2 n 1  3
bằng :
3.2 n  4 n
A. +.
B. –.

3
.
4

D. 0.

TN1.50 lim

B.

TN1.52 Giá trị đúng của lim

n

A. +.

2

D. 1.

C. –.

D. +.

C. –2.

D. 0.

C. 2.

D. –2.

C. –2 .

D. –.

C. 1.

D. +.

n 3  2n  5
:
3  5n

TN1.51 Chọn kết quả đúng của lim
A. 5.

C. 0.

2
.
5



 1  3n 2  2 là:

B. –.





TN1.53 Giá trị đúng của lim 3 n  5 n là:
A. –.

B.

n


TN1.54 lim  n 2 sin
 2n 3  bằng:
5


A. +.
B. 0.
TN1.55 Giá trị đúng của lim
A. –1.

 n



n  1  n  1 là:

B. 0.

TN1.56 Cho dãy số (un) với un = (n  1)
A. –.

B. 0.

5n  1
bằng :
3n  1
A. +.

B. 1.

2n  2
. Chọn kết quả đúng của limun là:
n  n2 1
C. 1.
D. +.
4

TN1.57 lim

TN1.58 lim

10

n4  n2 1
A. +.

C. 0.

D. –.

C. 0.

D. –.

C. +.

D. –.

bằng :
B. 10.

TN1.59 lim 5 200  3n 5  2n 2 bằng :
A. 0.

B. 1.

Cần file Word vui lòng liên hệ:

Mã số tài liệu: GT11-HK2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

19

1

u n  2
TN1.60 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi : 
. Tìm két quả đúng của limun
u n1  1 , n  1

2  un
1
A. 0.
B. 1.
C. –1.
D. .
2
1
 1 1 1

TN1.61 Tìm giá trị đúng của S = 2 1    ...  n  ...... .
2
 2 4 8

1
A. 2 +1.
B. 2.
C. 2 2 .
D. .

2

TN1.62 lim 4

4 n  2 n 1
bằng :
3 n  4 n 2

A. 0.
TN1.63 Tính giới hạn: lim
A. 1.

1
.
2
n 1  4

B.

C.

1
.
4

D. +.

n 1  n
B. 0.

C. –1.

D.

1
.
2

1  3  5  ......  (2n  1)
3n 2  4
1
2
A. 0.
B. .
C. .
3
3
1

1
1
TN1.65 Tính giới hạn: lim  
 ...... 
n(2n  1) 
1.3 3.5

D. 1.

2
.

3

D. 2.

TN1.64 Tính giới hạn: lim

A. 1.

B. 0.

C.

1
1
1 
TN1.66 Tính giới hạn: lim  
 ...... 
n(n  2) 
1.3 2.4
3
A. .
B. 1.
C. 0.
2

1 
1  
1 
TN1.67 Tính giới hạn: lim 1  2 1  2 .....1  2  
 2  3   n  

A. 1.

B.

1
.
2

C.

1
.
4

D.

2
.
3

D.

3
.
2

D.

1
.

2

n2 1 1
TN1.68 Chọn kết quả đúng của lim 3 

.
3  n2 2n
A. 4.
TN1.69

TN1.70

B. 3.

C. 2.

27 81
  bằng:
4 16
48
39
75
A.
B.
C.
7
4
16
Biểu diễn số thập phân 1, 245454545 như một phân số:
Tổng vô hạn 12  9 

A.

249
200

B.

137
110

C.

Cần file Word vui lòng liên hệ:

27
22

D. Không tồn tại

D.

69
55

Mã số tài liệu: GT11-HK2

TI LIU HC TP TON 11 HK2

20

Vn 2. GII HN CA HM S
Gii hn hu hn
Gii hn ti mt im: Cho khong K cha im x0 v hs y f x xỏc nh trờn K hoc
trờn K \ x0 . Dóy xn bt kỡ, xn K \ x0 v xn x0 , thỡ lim f xn L
Gii hn bờn phi: Cho hm s y f x xỏc nh trờn khong x0 ; b :
lim f ( x ) L dóy xn bt kỡ, x0 lim f ( x) L xn b v xn x0 thỡ lim f xn L

x x0

x x0

Gii hn bờn trỏi: Cho hm s y f x xỏc nh trờn khong a; x0 :
lim f ( x) L dóy xn bt kỡ, a xn lim f ( x) x0 v xn x0 thỡ lim f xn L

x x0

x

Cho hm s y f x xỏc nh trờn khong (a; ) :

lim f ( x ) L dóy xn bt kỡ, xn a v xn thỡ lim f xn L

x

Cho hm s y f x xỏc nh trờn khong (; a ) :

lim f ( x ) L dóy xn bt kỡ, xn a v xn thỡ lim f xn L

x

Gii hn vụ cc
Cho hm s y f x xỏc nh trờn khong (a; )
dóy xn bt kỡ, xn a v xn thỡ lim f xn
Cho khong K cha im x0 v hm s y f x xỏc nh trờn K hoc trờn K \ x0 .
. lim f ( x ) dóy xn bt kỡ, xn a , xn K \ x0 v xn x0 thỡ lim f xn
x x0

Cỏc gii hn: lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x ) c nh ngha tng t.
x

x

x

Nhn xột: f x cú gii hn f x cú gii hn .
Cỏc gii hn c bit
1) lim x x0

2) lim x x0 (c: hng s)

x x0

4) lim

x

3) lim

x

x x0

1

x

k

x

0 (c: hng s)

neỏu k chaỹn
6) lim x k
x
neỏu k leỷ

5) lim x k ( k * )

0

c

x

nh lớ v gii hn hu hn
nh lớ 1.
- Nu lim f ( x ) L v lim g ( x ) M , thỡ:

x x0

x x0

lim c. f ( x) c.L (vi C l hng s)
x x0

x x0

lim [ f ( x) g ( x)] L M

lim [ f ( x).g ( x)] L . M

x x0

lim
x x0

lim

lim [ f ( x) g ( x )] L M
x x0

f ( x) L

(M 0)
g ( x) M
3

f ( x) 3 L

lim f ( x) L
x x0

1
0
x x 0 f (x)

Nu lim f ( x) thỡ lim
x x0

x x0

- Nu f x 0 v lim f ( x ) L thỡ L 0 v lim
x x0

f ( x) L

x x0

Chỳ ý: nh lớ 1 vn ỳng khi x
Cn file Word vui lũng liờn h:

Mó s ti liu: GT11-HK2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

 Định lí 2.

21

lim f ( x )  L  lim f ( x )  lim f ( x )  L
x  x 0

x  x0

x  x 0

 Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên
tập hợp J \  x0  . Nếu f  x   g  x   h  x  , x  J \  x0  và lim f ( x )  lim h( x )  L thì
x  x0

x  x0

lim g(x)  L .
x  x0

 Quy tắc về giới hạn vô cực
 Quy tắc tìm giới hạn của tích f  x  . g  x 

lim f ( x) lim g ( x ) lim f ( x).g ( x )

x  x0
x  x0
x 

L>0
L<0

x  x0
x  x0
x 

x  x0
x  x0
x 

 Quy tắc tìm giới hạn của thương

lim f ( x)

x  x0
x  x0
x 

+

+





+





+

lim g ( x )

x  x0
x  x0
x 

L



L>0

0

L<0

0

Dấu
của

g  x

f(x)
g(x)

lim
x  x0

x  x0
x 

Tùy ý
+

f ( x)
g ( x)
0

+


+


+


Dạng 1. Định nghĩa giới hạn
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Định nghĩa và các tính chất (Xem trong phần tóm tắt lí thuyết)
 Chú ý:
1) Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số f  x  trên cơ sở giới hạn các dãy f  xn  . Nếu có 2
dãy xn và xn cùng tiến đến x0 mà lim f ( xn )  lim f ( xn ) thì không tồn tại lim f ( x)
x  x0

2) Với mọi số nguyên dương k , ta có: lim x k   ; lim x 2 k   , lim x 2 k 1   ,
x 

1
0
x  x k
3) Xác định dấu  hoặc –

x 

x 

lim

dựa trên dấu của tích số, thương số, x  x0 , x  x0 ,

x  

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.18 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau:

a) . lim(3 x 2  x  1) .

b) lim 3 x  6

2

e) lim  x cos 
x0
x


f) lim

x4

x 1

x2

5
( x  2)2

x 2  3x  4
x 1
x 1

1
5 x

c) lim

d) lim

g) lim sin x

h) lim cos 2 x

x 

x2

x 

f) lim

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Cần file Word vui lòng liên hệ:

Mã số tài liệu: GT11-HK2

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA

23

Dạng 2. Giới hạn một bên

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Nếu lim f ( x)  lim f ( x ) thì không tồn tại lim f ( x)
x  x0

x  x0  x  x0

x  x0

x  x0

x  x0  x  x0

 Nếu lim f ( x)  lim f ( x )  L thì lim f ( x )  L
x  x0

x  x0

x  x0

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.20 Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau: a) lim
x 2

3x  5
x 1

b) lim
x 3

1

x3

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
VD 1.21 Tính các giới hạn sau: lim
x 3

2x 1
2x 1
2x  1
; lim
; lim
x 3 x  3
x  3 x 3 x  3

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
VD 1.22 Tính các giới hạn sau: lim
x 2

x2
x2
x 2
; lim
; lim
x  2 x 2 x  2 x  2 x  2

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Cần file Word vui lòng liên hệ:

Mã số tài liệu: GT11-HK2

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

24

VD 1.23 Tính các giới hạn sau: a)

x2 x

lim
x 0 x 
x

4  x2
b) lim
x 2
2x

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

 x 2  2 x  3 khi x  2

VD 1.24 Cho hàm số: f ( x )  

3
4 x  29

khi x  2

. Tính lim f ( x) , lim f ( x) và lim f ( x ) (nếu có)
x 2

x0

x 2

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

2 x  1

VD 1.25 Cho f ( x)  

khi x  1

2
 2 x  1 khi x  1

. Tính lim  f ( x ) , lim  f ( x) và lim f ( x ) (nếu có)
x ( 1)

x ( 1)

x 1

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

Tài liệu học tập môn toán lớp 11 hk2 (giải tích)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về