tài liệu học tập môn toán lớp 11 học kỳ 1 - thpt ernst thalmann

Họ và tên HS:………………………… ……….Lớp:…
Năm học 2014-2015
-Lƣu hành nội bộ-
TÀI LIỆU HỌC TẬP

MÔN TOÁN 11
HK1
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 2
MỤC LỤC
Chƣơng 1. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 6
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC. 8
Vấn đề 1: Tìm TXĐ của các hàm số lƣợng giác: 8
Vấn đề 2: Tìm GTLN- GTNN của các hàm số lƣợng giác: 10
CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 10
Vấn đề 1: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản: 12
 Vấn đề 2: Phƣơng trình bậc hai hoặc phƣơng trình đƣa về đƣợc bậc hai
theo một hàm số lƣợng giác: 19
 Vấn đề 3: Phƣơng trình cổ điển (bậc nhất theo sin, cos): 20
 Vấn đề 4: [Đọc thêm]Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai 22
 Vấn đề 5: Phƣơng trình đƣa về dạng tích: 23
 Vấn đề 6: [Nâng cao] Phƣơng trình đối xứng: 24
Chƣơng 2. TỔ HỢP- XÁC SUẤT 25
 CHỦ ĐỀ 1: HAI QUI TẮC ĐẾM- HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP.
25
 Vấn đề 1: Hai qui tắc đếm: 25
 Vấn đề 2: Hoán vị- tổ hợp- chỉnh hợp: 28
 Vấn đề 3: Vận dụng công thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hoán
vị- Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình tổ hợp đơn giản: 35
CHỦ ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON 37
 Vấn đề 1: Khai triển nhị thức Newton: 38

 Vấn đề 2: Tìm hệ số, số hạng của nhị thức Newton: 39
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 3
 Vấn đề 3: [Nâng cao] Một số bài toán nâng cao liên quan nhị thức
Newton: 41
CHỦ ĐỀ 3: XÁC SUẤT 42
Chƣơng 3: DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN 49
CHỦ ĐỀ 1. PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 49
CHỦ ĐỀ 2. DÃY SỐ 52
 Vấn đề 1: Số hạng, số hạng tổng quát của dãy số: 52
 Vấn đề 2: Dãy số tăng, dãy số giảm: 53
 Vấn đề 3: Dãy số bị chặn: 53
Chƣơng 4: PHÉP DỜI HÌNH- PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG
MẶT PHẲNG 54
CHỦ ĐỀ 1: PHÉP TỊNH TIẾN: 55
CHỦ ĐỀ 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: 57
CHỦ ĐỀ 3: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM: 59
CHỦ ĐỀ 4: PHÉP VỊ TỰ: 60
CHỦ ĐỀ 5: PHÉP QUAY. 62
BÀI TỔNG HỢP: 62
Chƣơng 5: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN . 64
CHỦ ĐỀ 1: GIAO TUYẾN, GIAO ĐIỂM 67
 Vấn đề 1: Giao tuyến của hai mặt phẳng: 67
 Vấn đề 2: Các bài tập tìm giao tuyến bằng cách tìm phƣơng giao tuyến:
69
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 4
 Vấn đề 3: Giao điểm của đƣờng thẳng với mặt phẳng: 69

CHỦ ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG 72
 Vấn đề 1: Đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng: 72
 Vấn đề 2: Đƣờng thẳng song song với mặt phẳng: 73
 Vấn đề 3: Mặt phẳng song song với mặt phẳng: 74
CHỦ ĐỀ 3: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MỘT MẶT PHẲNG
76
 BÀI TỔNG HỢP 77
PHỤ LỤC 81
Phụ lục 1:ĐỀ ÔN THI GIỮA HK1 81
Đề số 1 82
Đề số 2 83
Đề số 3 83
Đề số 4 84
Đề số 5 85
Đề số 6 85
Phụ lục 2: ĐỀ THI GIỮA HK1 các năm trƣớc 86
Đề giữa Hk1 năm 2008- 2009 (đề A) 86
Đề giữa Hk1 2009- 2010 (đề A) 86
Đề giữa Hk1 2011- 2012 (đề A) 87
Phụ lục 3: BỘ ĐỀ ÔN THI HK1 87
Đề số 1 87
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 5
Đề số 2 88
Đề số 3 89
Đề số 4 89
Đề số 5 90
Đề số 6 91
Đề số 7 91

Đề số 8 92
Đề số 9 92
Đề số 10 93
Đề số 11 94
Phụ lục 4: ĐỀ THI HK1 các năm trƣớc 94
Đề thi HK 1 năm 2008- 2009 94
Đề thi HK 1 năm 2009- 2010 (đề A) 95
Đề thi HK 1 năm 2010- 2011 (đề A) 95
Đề thi HK 1 năm 2011- 2012 (đề A) 96







tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 6


Chƣơng 1. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG
GIÁC
HỆ THỨC CƠ BẢN
22
sin cos 1xx
;
2
2
1

1 tan
cos
x
x


2
2
1
1 cot
sin
x
x

;
1
tan .cot 1 hay tan
cot
x x x
x
;
sin( 2 ) sin
os( 2 ) os
,
tan( 2 ) tan
cot( 2 ) cot

















x k x
c x k c x
kZ
x k x
x k x
.
DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC








GHI NHỚ:

NHẤT CẢ- NHÌ SIN
TAM TAN COT- TỨ COS
CUNG ĐỐI
cos( ) cos ;
sin( ) sin ;

  
xx
xx

tan( ) tan ;
cot( ) cot .
  
  
xx
xx

CUNG BÙ
cos( ) cos ;
sin( ) sin ;


  

xx
xx

tan( ) tan ;
cot( ) cot .



  
  
xx
xx

CUNG HƠN KÉM


cos( ) cos ;
sin( ) sin ;


  
  
xx
xx

tan( ) tan ;
cot( ) cot




xx
xx

CUNG PHỤ
cos
sin

I

II
III
IV
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 7
sin( ) cos ;
2
cos( ) sin ;
2




xx
xx

tan( ) cot ;
2
cot( ) tan .
2




xx
xx

GHI NHỚ: cos ĐỐI, sin BÙ, tan cot

, phụ CHÉO.
CÔNG THỨC CỘNG
sin( ) sin cos cos sin  a b a b a b
;
os( ) cos cos sin sinc a b a b a b
;
tan tan
tan( )
1 tan tan


ab
ab
ab
.
GHI NHỚ:
Sin thì sincos cossin Cos thì coscos sinsin dấu trừ
CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin2 2sin .cosa a a
;
2
2tan
tan2
1 tan


a
a

a
;
22
2
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin .



a a a
a
a

CÔNG THỨC HẠ BẬC
2
1 os2
sin
2
ca
a


;
2
1 os2
os
2
ca

ca


.
2
1 os2
tan
1 os2



ca
a
ca
;
2
1 cos2
cot
1 cos2



a
a
a
.
CÔNG THỨC TỔNG THÀNH TÍCH
2cos cos
22
a b a b

cosa cosb


;
2sin sin
22
a b a b
cosa cosb

  
;
sin sin 2sin cos
22
a b a b
ab


;
sin sin 2 os sin
22
a b a b
a b c


.
GHI NHỚ:
Cos cộng cos bằng 2coscos; cos trừ cos ngược dấu 2sinsin;
sin cộng sin bằng 2sincos, sin trừ sin bằng 2cossin
CÔNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG
1

cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b

   


tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 8
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b

   


1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b

   


ĐẶC BIỆT:
sin cos 2sin
4
u u u



  



sin cos 2sin
4
u u u


  



CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC.
Hàm số sin: Hàm số
sinyx

Hàm số cosin: Hàm số
cosyx

Tập xác định: D= ;
Tập giá trị :
[ 1;1]
;
Tính chẵn lẻ: Lẻ;
Tuần hoàn với chu kỳ T=
2


Tập xác định: D= ;
Tập giá trị :
[ 1;1]
;
 Tính chẵn lẻ: Chẵn;
Tuần hoàn với chu kỳ T=
2


Hàm số tan: Hàm số
tanyx

Hàm số cot: Hàm số
cotyx

Tập xác định:
\,
2
D R k k Z



  


;
Tập giá trị: ;
 Tính chẵn lẻ: Lẻ;
Tuần hoàn với chu kỳ T=



Tập xác định:
 
\,D R k k Z


;

Tập giá trị: ;
 Tính chẵn lẻ: Lẻ;
Tuần hoàn với chu kỳ T=


Vấn đề 1: Tìm TXĐ của các hàm số lượng
giác:
 Với A, B là các biểu thức :


A
y
B
xác định

 0B
;
yB
xác định

 0B

;
tusachvang.net
THPT ERNST THLMANN GV. Lấ QUC HUY
Ti liu hc tp Toỏn 11-HK1/2014/2015 Lu hnh ni b lp Trang 9

A
y
B
xỏc nh

0B
;

A
y
B
xỏc nh






0
0
A
B
;
i vi cỏc hm s lng giỏc cn chỳ ý thờm min xỏc nh ca
tan, cot.

Vớ d 1: Tỡm min xỏc nh ca hm s:
3sin 2
2sin5 1
x
y
x




Gii: Hm s cú ngha
5
1
6
2sin5 1 sin5
2
5
6
xk
xx
xk

Vớ d 2:


sin
sin3 2
x
y
x

Gii: Hm s cú ngha
sin3 2xx

Vớ d 3: Phng trỡnh sau cú ngha khi no?
sin2 2cos sin 1
0 (1)
tan 3
x x x
x



(I HC KHI D NM 2011)
Gii: Phng trỡnh (1) cú ngha

cos 0 (ủieu kieọn cuỷa tan)
tan 3 (ủieu kieọn cuỷa maóu)
x
x












( , )
3
xk
km
xm
.

Bi 1: Tỡm min xỏc nh ca cỏc hm s:
a.
1 sin
cos
x
y
x


; b.
1 sin
1 sin
x
y
x



; c.
tan(2 )
6
yx


;
d. y = cot ( 3x
)
4

; e.y = sin (
)
1
2
x
x
; f.y = cot (
)
43


x
;
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 10
g.y =
1sin x
; h.


tan
sin 1
x
y
x
; j.y =
xx sin3sin
3


;
k.y = cos
x
x


1
1
; l.y =
1cos
cot
x
x
; m.y =
1cos
2sin


x
x
;
n.y =
xsin3
; o.y =
x
x
2sin
cos1
; p.y = sin
x

x


1
1
;
q.y = tan (2x +
)
3

; r.


22
2
cos sin
y
xx
;
Vấn đề 2: Tìm GTLN- GTNN của các hàm
số lượng giác:
Chú ý:
    1 sin ,cos 1,u u u
.

Bài 2:
a.y=
2 sin 1x 
; b.y = 2 – 3cosx; c.y = 3 + 2 sinx;
d.y = 5 – 4 sin2x cos2x; e.y =

2
sin41
2
x
; f.y = 2 cos
2
x – 3 cos2x;
g.y = 3 – 2
xsin
; h.y = cosx + cos ( x -
)
3

;
i.y = sinx – cosx; j.y = 2 sin2x – cos2x; k.
22
5 2cos siny x x
;
l.y = 3 – 4sinx; m.y = 2 –
xcos
; n.y = 2 cos ( x +
3)
3


;
o.y = 4 sin
x
; p.
2

1 sin( ) 1yx  

CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG
GIÁC


tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 11
Công thức nghiệm thông thƣờng.

2
sin sin
2
u v k
uv
u v k






  



2
cos cos
2

u v k
uv
u v k






  



tan tanu v u v k

   


cot cotu v u v k

   

Công thức nghiệm đặc biệt.

sin 0u u k

  


tan 0u u k


  


sin 1 2
2
u u k


   


tan 1
4
u u k


   


sin 1 2
2
u u k


     


tan 1
4

u u k


     


cos 0
2
u u k


   


cot 0
2
u u k


   


cos 1 2u u k

  


cot 1
4
u u k



   


cos 1 2u u k

    


cot 1
4
u u k


     

Chú ý:
Giải
cot (vôùi 0)u a a
ta biến đổi thành
tan 1/ua
rồi dùng máy
tính bấm shift tan (
1/a
) suy ra góc

,chuyển thành
tan tanuv
. Còn

cot 0 cos 0 / 2u u u k

     

Nếu bấm shift sin, shift cos, shift tan, mà ra giá trị “xấu” thì dùng
arcsin, arcos, arctan.
Chuyển từ sin sang cos, cos sang sin, tan sang cot hay cot sang tan thì
ta sử dụng công thức “PHỤ CHÉO”.
Làm mất dấu trừ:
sin( ) sin[ ( )]  

cos( ) cos[ ( )]

  

tan( ) tan[ ( )]  

cot( ) cot[ ( )]  

Điều kiện của tan, cot:
tanu

cotu

cos 0 / 2u u k

   

sin 0u u k


  

Nhớ: Cô tang thì khác
k

/Còn tan chẳng phải nghĩ gì mất công/90
cộng với nửa vòng…là xong!
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 12
Vấn đề 1: Phương trình lượng giác cơ
bản:
Phƣơng trình
sin sinuv
.
Cách
giải
 
2
sin sin ,
2
u v k
u v k Z
u v k




  


  


Chú ý
 Nếu gặp
sin ua
thì tìm v để
sin sinu a v
rồi giải nhƣ
trên
 Nếu góc v không “đẹp”, thì lấy
arcsinva


Các
trƣờng
hợp đặc
biệt
sin 0
sin 1 2 ( )
2
sin 1 2
2








  


      



   

u u k
u u k k Z
u u k

Làm mất
dấu trừ
sin sin sin sin( )    u v u v

Phƣơng trình
cos cosuv
.
Cách
giải
 
2
cos cos
2





  

  

u v k
u v k Z
u v k

Chú ý
Nếu gặp
cos ua
thì tìm v để
cos cosu a v
rồi giải nhƣ
trên
 Nếu góc v không “đẹp”, thì lấy
arccosva

Đặc biệt
cos 0
2
cos 1 2 ( )
cos 1 2





   



     


  


u u k
u u k k Z
u u k

Làm mất
dấu trừ
cos cos cos cos( )

    u v u v

Phƣơng trình
tan tanuv
.
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 13
Cách
giải
 
tan tan

    u v u v k k Z

(Điều kiện:
,
2
u v k



)
Chú ý
Nếu gặp
tan ua
thì tìm v để
tan tanu a v
rồi giải nhƣ
trên
Nếu góc v không “đẹp”, thì lấy
arctanva

Đặc biệt
tan 0 sin 0
tan 1 ( )
4
tan 1
4








    


      



   

u u u k
u u k k Z
u u k

Làm mất
dấu trừ
tan tan tan tan( )    u v u v

Phƣơng trình
cot cotuv
.
Cách
giải
 
cot cot

    u v u v k k Z

(Điều kiện:
,u v k



)
Chú ý
Nếu gặp
cot ua
thì tìm v để
cot cotu a v
rồi giải nhƣ
trên
Nếu góc v không “đẹp”, thì lấy
arccotva

Đặc biệt
cot 0 cos 0
2
cot 1 ( )
4
cot 1
4







     




      



   


u u u k
u u k k Z
u u k

Làm mất
dấu trừ
cot cot cot cot( )    u v u v


Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
 
0
2sin 2 30 1 0x  

Giải:
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 14
 
0
2sin 2 30 1 0x   


 
0
1
sin 2 30
2
x   

 
00
sin 2 30 sin( 30 )x  


0 0 0
0 0 0 0
2 30 30 360
2 30 180 ( 30 ) 360
xk
xk

   

    


0 0 0
0 0 0 0
2 30 30 360
2 180 ( 30 ) 30 360
xk

xk

   

    



0
00
2 360
2 240 360
xk
xk






0
00
180
120 180
xk
xk






.
b.
2
cos 2 cos2 0
3


  


xx

Giải:
2
cos 2 cos2 0
3


  


xx

2
cos 2 cos2 0
3


  



xx


2
2 2 2
3
2
2 2 2
3
x x k
x x k





  



   




2
0 2 ( ô lý)
3

2
42
3
x k v
xk





  



  



62
k
x

  
.
c.
0
tan(45 ) tan3 0xx  
(1)
Giải: ĐK:
0 0 0 0 0

0 0 0 0
45 90 180 45 180
3 90 180 30 60
x k x k
x k x k

     



   



(1)


0
tan(45 ) tan3xx  


0
tan(45 ) tan( 3 )xx  



00
45 3 180x x k   



00
2 45 180xk  


0
0
45
90
2
xk  

d.
2
cot 2 3x 
(2)
Giải: (2)
cot2 3x  

TH1:
cot2 3x 

1
tan2
3
x 

0
tan2 tan30x 

0 0 0 0
2 30 180 15 90x k x k     

tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 15
TH2:
cot2 3x 

1
tan2
3
x 

0
tan2 tan( 30 )x 


0 0 0 0
2 30 180 15 90x k x k       

e.
00
sin(2 30 ) sin(45 2 ) 0xx   

Giải:
00
sin(2 30 ) sin(45 2 ) 0xx   


00
sin(2 30 ) sin(45 2 )xx   


00
sin(2 30 ) sin( 45 2 )xx   







f.
00
cos(2 30 ) cos(45 2 ) 0xx   

Giải:
00
cos(2 30 ) cos(45 2 )xx   

0 0 0
cos(2 30 ) cos 180 (45 2 )xx

   



00
cos(2 30 ) cos(135 2 )xx  






g.
sin2 cos 0
3
xx


  



Giải:
sin2 cos
3
xx






cos sin2
3
xx








cos cos 2
32
xx

   
  
   
   







h.
(1 2sin2 )(3 2cos ) 0xx  

Giải:
(1 2sin2 )(3 2cos ) 0xx  
1 2sin2 0
3 2cos 0
x

sx






1 2sin2 0
3 2cos 0
x
sx







1
sin2
2
3
cos (voâ nghieäm)
2
x
x










0
1
sin2 sin2 sin( 30 )
2
xx     







Bài 3: (sinu=a, cosu=a, tanu=a, cotu=a)
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 16
a.
0
2sin( 30 ) 2 0x   
; b.
1 2cos( 2 ) 2
4
x

  

;
c.
0
3 3tan(3 60 ) 0x  
; d.
3 3 cot(4 ) 4
4
x

  
;
e.
2
sin 2
62
x


  


; f.
 
0
3
cos 45
2
x 
;
g.

 
0
cot 3 45 3 0  x
; h.
1
tan 3
2
3
x





;
i.
 
0
3cot 135 3  x
; j.
2sin 3 3 0
4
x


  


;
k.

2
3tan 4 3 0
5
x


  


; l.
2
2cos( ) 1 0
34
x

  
;
m.
 
0
1
cot 2 10
3
x   
; n.
 
2cos 3 1 3 0  x
;
o.
2sin(2 ) 1 0

4

  x
; p.
 
tan 2 70 3
o
x
;
q.
01)
4
tan(3 

x
; r. 2cos (3x – 20
o
) +
03 

s.
 
0
2sin 2 30 3 0  x
; t.
3cot( 20 ) 3 0
3
o
x
  

Bài 4:(sinu=sinv, cosu=cosv, tanu=tanv, cotu=cotv)
a.
sin(2 ) sin 0
6
xx

  
; b.
0
cos3 cos(60 2 ) 0xx  
;
c.
tan( ) tan(3 ) 0
43
xx

   
; d.
00
cot(4 120 ) cot( 30 ) 0xx   

Bài 5: (Làm mất dấu trừ)
a.
0
sin(2 60 ) sin 0xx  
; b.
cos2 cos( 3 ) 0
4
xx


  
;
c.
00
tan(45 ) tan(3 45 ) 0xx   
; d.
cot( ) cot(3 ) 0
36
xx

   

Bài 6: (Phụ chéo)
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 17
a.
0
sin( 120 ) cos3 0xx  
; b.
cos2 sin( ) 0
4
xx

  
;
c.
tan( 2 ) cot( ) 0
34

xx

   
; d.
00
cot(2 135 ) tan( 120 ) 0xx   

Bài 7: (Làm mất dấu trừ + Phụ chéo)
a.
0
sin(2 60 ) cos3 0xx  
; b.
cos3 sin( 2 ) 0
4
xx

  
;
c.
tan( ) cot(2 ) 0
34
xx

   
; d.
cot( ) tan(3 ) 0
43
xx

   

Bài 8: (Trƣờng hợp nghiệm đặc biệt)
a.
0
sin(2 40 ) 0x 
; b.
cos(3 ) 0
4
x


; c.
tan( ) 0
3
x


;
d.
cot( ) 0
4
x


; e.
2
sin(3 ) 1
3
x



; f.
cos( 5 ) 1
3
x


;
g.
2
tan( 7 ) 1
3
x


; h.
0
cot(2 10 ) 1x 
; i.
sin(4 ) 1
3
x

  

j.
0
cos(5 30 ) 1x   
; k.
0

tan(135 3 ) 1x  
; l.
3
cot(2 ) 1
4
x

  
;
Bài 9: (Vô nghiệm)
a.
0
sin( 70 ) 2x 
; b.
2cos3 3 0x 
; c.
5 4sin( ) 0
3
x

  
;
d.

  cos( ) 4 0
4
x
; e.
2 os2 3 0cx
; f.

  
0
3sin( 70 ) 4x
.
g/
sin .cos 1xx
; h/
22
cos sin 3xx

Bài 10: (Dùng arc)
a.
0
3sin(2 40 ) 2x 
; b.
1 3cos( ) 0
4
x

  
;
c.
4 tan( 3 ) 0
3
x

  
; d.
2cot(2 ) 4 0
4

x

  
;
e.
5cos2 4 0x
; f.
 
0
3sin 2 45 2  x
;
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 18
g.
3tan2 5 0x 
; h.
0
6 3cot( 135 ) 12x  

Bài 11: (Lấy căn hoặc hạ bậc)
a.
2
3
sin 2
4
x 
; b.
20
1

cos (3 30 )
2
x 
;
c.
2
1
tan 4
3
x 
; d.
2
cot (5 ) 3
4
x



Bài 12: (phƣơng trình tích)
a.
cos2 .sin3 0xx
; b.
3
cos 4 .tan 0xx
;
c.
6
sin3 .cot 0xx
; d.
   

00
tan 30 .cos 2 150 0xx  
;
e.
 
 
3tan 3 2sin 1 0xx  
; f.
  
sin3 1 2 sin 0xx  
;
g.
 
2
sin3 1 cos 2 0xx
; h.
 

5
sin 2 cos 7 0xx
;
i.
 
  
02
cos(2 30 ) 1 cos 5 0xx
; j.

2
(tan 4 1)cos 0xx

;
Bài 13: (Tổng hợp)
a.
0
cos2 cos(120 2 ) 0  xx
; b.
cos4 cos3 0xx
;
c.
0
sin2 sin(45 4 ) 0  xx
; d.
sin2 sin4 0xx
;
e.
tan3 .cot5 1xx
; f.
sin(3 ) cos2 0
4
xx

  
;
g.
sin 3 cos2 0
4
xx


  



; h.
tan cot2 0
3
xx


  


;
i.
tan cot2 0
3
xx


  


; j.

   
  
   
   
cot 2 .tan 3 1
34
xx

;
k.sin (x +
)
3
2

= cos3x; l.
5
sin(3 ) cos( 3 ) 0
64
xx

   
;
m.cos
2
x
= – cos (2x – 30
o
); n.sin3x – cos2x = 0;
o. cos3x – sin5x = 0; p.tan (
xx 2cot)
4


;
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 19
 Vấn đề 2: Phương trình bậc hai hoặc

phương trình đưa về được bậc hai theo một
hàm số lượng giác:

Dạng:
2
0( 0)at bt c a   
với
 sin ,cos ,tan ,cott u u u u
.
Giải nhƣ giải phƣơng trình bậc hai, chú ý điều kiện
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
2
2sin 5sin 3 0xx  

Giải:
Đặt
sin ( 1 1)t x t   
, ta có
2
2 5 3 0tt  
1( )
3
()
2
t nhaän
t loaïi











1 sin 1 2
2
t x x k


     
.
b.
2
sin 4cos 4 0xx  

Giải: 
2
sin 4cos 4 0xx  

2
1 cos 4cos 4 0xx   


2
cos 4cos 3 0xx   

cos 1(nhaän)

cos 3(loaïi)
x
x





.
Ta có
cos 1 2x x k

  
.

Bài 14.
a.
2
3sin 3 5sin3 2=0xx
; b.
2
2cos 2 5cos2 3 0  xx
;
c.
2
tan ( ) 4tan( ) 3 0
33
xx

    

; d.
 
2
cot 1 3 cot 3 0xx   
;
e.
42
tan 4tan 3 0xx  
; f.
2
4sin 2( 3 1)sin + 3 0  xx
.
Bài 15. (Chứa
   
22
sin ,cos ; cos ,sinu u u u
) :
a.
2
sin 2 4cos2 4 0xx  
; b.
2
2cos 2 3sin2 2 0xx  
;
c.

2
3sin 2 4 4cos2xx
; d.
2

2cos 3 3sin3 3xx  
;
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 20
e.
2
sin cos +1=0xx
; f.
22
3
sin 2 2cos 0
4
xx  
;
g.
2
3cos 6 8cos3 sin3 4 0x x x  
; h.
2
2cos 3sin .xx
;
i.
2
6cos 5sin 2 0xx  
.
Bài 16. (Chứa
   
cos2 ,cos ; cos2 ,sinu u u u
) :

a.
cos2 4sin 5xx  
; b.
2cos2 1 cosxx
;
c.
1 cos4 cos2xx
; d.
cos4 cos2 2 0xx  
;
e.
3cos2 sin 4 0xx  
; f.
os2 +9cos +5=0c x x
;
Bài 17. Chứa
 
   
22
tan ,cot ; 1/ cos ,tan ; 1/ sin ,cotu u u u u u
:
a.
tan 2cot 1 0xx  
; b.
3tan 6cot +2 3 3 0xx  
;
c.
2
5
9 cot

sin
x
x
  
; d.
2
3
tan 5
cos
x
x

; e.
tan2 cot2 2xx

Bài 18. Chứa
  
2 2 2 2
cos ,sin ,cos cos ,sin ,sinu u u u u u
:
a.
22
cos sin 3cos 4 0x x x   
; b.
22
2sin cos sin 3x x x   
;
Bài 19. Chứa
   
22

cos2 ,cos ,sin , cos2 ,sin ,cosu u u u u u
:
a.
2
cos cos2 4sin 3x x x
; b.
2
cos2 sin 1 2cosx x x   

Bài 20.
a.
22
2sin 3cos 5 0
2
x
x  
; b.
22
2cos sin 0
2
x
x
.
 Vấn đề 3: Phương trình cổ điển (bậc nhất
theo sin, cos):
Dạng:
sin cosa u b u c
.
Điều kiện có nghiệm:
2 2 2

a b c

Cách giải: Chia 2 vế cho
22
ab
, ta đƣợc
2 2 2 2 2 2
sin cos (1)
a b c
uu
a b a b a b

  

tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 21
Sau đó tìm góc

để
2 2 2 2
cos ,sin
ab
a b a b



.
Khi đó:
2 2 2 2

(1) cos sin sin cos sin( )
cc
u u u
a b a b
  
     


Ví dụ: Giải phương trình
00
sin(2 10 ) 3cos(2 10 ) 1xx   

Giải: 
1; 3; 1a b c   
2 2 2 2 2 2
1 ( 3) 4 1a b c       

 Chia hai vế cho
22
2ab
ta được:
00
1 3 1
sin(2 10 ) cos(2 10 )
2 2 2
xx   


0 0 0 0
1

cos60 sin(2 10 ) sin60 cos(2 10 )
2
xx   


 
00
1
sin 2 10 60
2
x   


 
00
sin 2 70 sin30x

0 0 0
0 0 0 0
2 70 30 360
2 70 180 30 360
xk
xk

  

   




0 0 0 0
0 0 0 0
2 100 360 50 180
2 220 360 110 180
x k x k
x k x k

   


   

. 
Bài 21 : a.
sin 3cos 2xx
; b.
3cos2 3sin2 3xx  
;
c.
cos sin 2xx   
; d.
sin(3 ) 1 3cos(3 ) 0
33

    xx
;
e.
2sin 3 6 cos 3 2 0
44
xx


   
    
   
   
; f.
2 cos4 6sin4 2xx  
;
g.
cos2 3sin2 2xx
; h.
00
2 3cos(30 ) sin(30 ) 0xx    
;
i.
22
3cos( ) 3sin( ) 3
33
xx

   
.
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 22
 Vấn đề 4: [Đọc thêm]Phương trình đẳng
cấp bậc hai
Dạng:
22
sin sin cos cosa u b u u c u d  

.
Cách giải: Xét hai trƣờng hợp:
TH1:
2
cos 0: sin 1uu  
. Thay vào phƣơng trình.
TH2:
cos 0u 
: Chia 2 vế cho
2
cos u
, đƣa phƣơng trình về phƣơng
trình bậc hai theo
tanu
với chú ý
 
2
2
1 tan
cos
d
du
u


Xem ví dụ minh họa sẽ rõ hơn.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
22
5sin 2sin2 3cos 2x x x  

Giải:
2 2 2 2
5sin 2sin2 3cos 2 5sin 4sin cos 3cos 2x x x x x x x      

TH1:
cos 0x 
:
22
sin 1 cos 1 0 1xx    
.
Thay vào phƣơng trình ta có:
5.1 4.sin .0 3.0 2x  
(vô lý)
TH2:
cos 0x 
: Chia cả hai vế phƣơng trình cho
2
cos x
:
22
2 2 2 2
sin sin cos cos 2
5 4 3
cos cos cos cos
x x x x
x x x x
  



22
5tan 4tan 3 2(1 tan )x x x   


22
5tan 4tan 3 2 2tan 0x x x    

2
3tan 4tan 1 0xx  


tan 1
1
tan
3
x
x







4
1
arctan
3
xk
xk

















b.
22
4sin 3 6 3sin3 .cos3 2cos 3 4x x x x  

Giải:

TH1:
cos3 0x 
:ta có
2
sin 3 1x 
. Thay vào đƣợc: 4=4 (đúng).
Giải
cos3 0 3

2 6 3
k
x x k x
  

      
là nghiệm.
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 23
TH2:
cos3 0x 
: Chia 2 vế cho
2
cos 3x
ta đƣợc
22
2 2 2 2
sin 3 sin3 .cos3 cos 3 4
4 6 3 2
cos 3 cos 3 cos 3 cos 3
x x x x
x x x x
  


22
4tan 3 6 3tan3 2 4(1 tan 3 )x x x   



6 3 tan3 2 4x 

6 3 tan3 6x 

61
tan3
6 3 3
x 

tan3 tan
6
x


3
6 18 3
k
x k x
  

     
. 

Bài 22:
a.
22
cos 3sin cos 2sin 0x x x x  
; b.
22
sin (1 3)sin cos 3cos 0x x x x   

;
c.
22
5sin 2sin2 2 3cos 0x x x   
; d.
22
1
sin 2 sin4 2cos 2
2
x x x  
;
e.
   
2
3sin 3 3sin3 .cos3 cos6 1 0x x x x
; f.
22
2sin 2 sin2 cos2 cos 2 2  x x x x

g.
22
2sin 3 sin3 cos3 3cos 3 0x x x x  
; h.
22
4sin 2sin2 3cos 1x x x  
;
i.
22
2cos 3 3sin2 4sin 4x x x  
; j.

22
4cos 3sin cos 3 sinx x x x  
;
 Vấn đề 5: Phương trình đưa về dạng
tích:
Sau những bƣớc biến đổi thích hợp ta có phƣơng trình dạng:
0
.0
0
A
AB
B






.
Mở rộng:
1
2
12
0
0
. 0

0
n
n

A
A
A A A
A













Bài 23:
tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 24
a.
sin4 2cos2 0xx
; b.
2
sin2 2cos 0xx
;
c.
22
sin (3 ) cos 2 0

4
xx

  
; d.
2sin2 2sin4 0xx

e.
22
sin (2 ) cos 3 1
5
xx

  
; f.
5cos 2sin2 0xx
;
g.
tan2 2tan 0xx
; h.
2
2cos cos2 2xx

i.
2
2sin 3cos2 2xx
; j.cos3x – cos4x + cos5x = 0
k.
sin7 sin3 cos5x x x
; l.

22
cos sin sin3 cos4x x x x  

m.cos2x – cosx = 2 sin
2

2
3x
; n.
cos2 sin 1 0xx  

o.
cos2 .cos 1 sin2 .sinx x x x
; p.
cos sin2 0xx

q.sin
2
(x +
0)
3
2(sin)
3
2
2


x
; r.
tan 3cotxx

s.
sin 2sin3 sin5x x x  
t.
cos5 .cos cos4x x x

u.
1
sin .sin2 .sin3 sin4
4
x x x x
; v.
4 4 2
1
sin cos cos 2
2
x x x

 Vấn đề 6: [Nâng cao] Phương trình đối
xứng:
Dạng:
(sin cos ) sin .cos 0 (1)a x x b x x c

Cách giải: Đặt
 
sin cos 2sin , 2 2
4
t x x x t



      



suy ra
2
1 2sin cost x x
nên ta có
2
1
sin cos
2
t
xx



.
Sau đó thay vào phƣơng trình (1), đƣợc một phƣơng trình theo ẩn t, giải tìm t,
từ đó giải tìm x.
Bài 24:
a.
sin cos 2sin .cos 1 0x x x x
; b.
3 sin cos 4sin .cos 0x x x x
.
c.
12 sin cos 2sin .cos 12 0x x x x
; d.
1 sin 1 cos 2xx

.
e.
3 sin cos sin .cos 3x x x x
; f.
sin cos 3sin .cos 1x x x x
;
g.
2 sin cos 10sin .cos 2x x x x
; h.
sin cos 3sin .cos 1x x x x

tusachvang.net
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 25
i.
4 sin cos 6sin .cos 7 0x x x x
;


Chƣơng 2. TỔ HỢP- XÁC SUẤT
 CHỦ ĐỀ 1: HAI QUI TẮC ĐẾM- HOÁN
VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP.
 Vấn đề 1: Hai qui tắc đếm:

Qui tắc cộng
Qui tăc nhân

Đặc
điểm
Một công việc có thể

đƣợc hoàn thành bằng n
trƣờng hợp khác nhau
(thực hiện xong mỗi
trƣờng hợp là đã thực
hiện xong công việc rồi)
Một công việc chỉ đƣợc hoàn
thành sau khi trải qua n giai
đoạn (các giai đoạn này có mối
ràng buộc với nhau, thiếu một
giai đoạn nào đó thì công việc
chƣa đƣợc xem là xong)




Cụ thể
Trƣờng hợp 1: có
1
m

cách thực hiện
Trƣờng hợp 2: có
2
m

cách thực hiện
….
Trƣờng hợp n: có
n
m

cách thực hiện
Giai đoạn 1: có
1
m
cách thực
hiện
Giai đoạn 1: có
2
m
cách thực
hiện
…
Giai đoạn n: có
n
m
cách thực
hiện
Tổng
số cách
1
m
+
2
m
+…
n
m

1

m
.
2
m
…
n
m



Mô
hình






Ví dụ 1: Có 12 quyển sách Toán khác nhau, 8 quyển Vật lí khác nhau. Bạn
Nam được chọn một quyển. Hỏi Nam có mấy cách chọn?
Giai
đoạn
1

Giai
đoạn
2

Giai
đoạn

n

Xong
công
việc
TH1
TH2
THn
Xong công việc
tusachvang.net