tài liệu học tập môn toán lớp 12 học kỳ 1 - thpt ernst thalmann

Trường THPT Ernst Thälmann
Tổ Toán- Nhóm Toá n 12

TÀI LIỆU HỌC TẬP

TOÁN LỚP

12

HK1
Năm học 2014-2015
Lưu hành nội bộ


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

MỤC LỤC
CHƢƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG KHẢO
SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ....................................................... 4
 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ........................................... 4
 Dạng 1 : Xét tính đơn điệu [tăng (đồng biến), giảm(nghịch
biến)]. ........................................................................................ 4
 Dạng 2 : Tìm giá trị tham số để hàm số luôn tăng (đồng
biến), luôn giảm (nghịch biến) trên một khoảng cho trƣớc. ..... 5
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.......................................................... 7
 Dạng 1 : Bài tập tìm cực trị. ................................................. 8
 Dạng 2 : Bài tập về số lƣợng cực trị..................................... 8
 Dạng 3 : Bài tập về vị trí đạt cực trị ..................................... 9
 [NC] Một số bài tập cực trị sử dụng Định lý Viet.............. 10
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
(GTNN) CỦA HÀM SỐ ............................................................. 12

 Dạng 1 : GTLN-GTNN trên một đoạn. .............................. 13
 Dạng 2 : GTLN-GTNN trên một khoảng. .......................... 14
 Dạng 3 : Tìm GTLN-GTNN bằng cách đặt ẩn mới. .......... 14
 [NC] Một số bài GTLN-GTNN nâng cao .......................... 15
ĐƢỜNG TIỆM CẬN............................................................... 15
 Dạng 1 : Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của
hàm nhất biến. ......................................................................... 16
 Một số câu hỏi khác liên quan đến tiệm cận. ..................... 16
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN và VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
.................................................................................................... 17
 Dạng 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3. .................... 18
 Dạng 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phƣơng. ....... 18
 Dạng 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số nhất biến. .............. 18
 Dạng 4 [NC]: Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối. .......... 18
CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ .................................................. 19
 Vấn đề 1 : Sự tƣơng giao giữa 2 đồ thị .............................. 19
 Vấn đề 2 : Biện luận số nghiệm của phƣơng trình cho trƣớc
bằng đồ thị .............................................................................. 21
 Vấn đề 3 : Phƣơng trình tiếp tuyến .................................... 23
TỔNG HỢP CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN
TỪNG LOẠI HÀM SỐ .............................................................. 28
BÀI TẬP TỔNG HỢP ............................................................. 30
tusachvang.net

Trang 2


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

CHƢƠNG 2: MŨ- LOGARIT ....................................................34

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA, LOGARIT,
HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT ..........................................34
 Vấn đề 1: Lũy thừa .............................................................34
 Vấn đề 2: Hàm số lũy thừa .................................................35
 Vấn đề 3: Logarit ................................................................36
 Vấn đề 4: Hàm số mũ- hàm số logarit ................................38
PHƢƠNG TRÌNH MŨ và PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT ......40
 Vấn đề 1 : Phƣơng trình mũ ...............................................40
 Vấn đề 2 : Phƣơng trình logarit ..........................................43
BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ và BẤT PHƢƠNG TRÌNH
LOGARIT ...................................................................................45
 Vấn đề 1 : Bất phƣơng trình mũ .........................................45
 Vấn đề 2 : Bất phƣơng trình logarit ....................................48
CHƢƠNG 3: KHỐI ĐA DIỆN ...................................................59
Vấn đề 1 : Thể tích khối chóp ..................................................59
 Dạng 1 : Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy. .........60
 Dạng 2 : Khối chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy. ...62
 Dạng 3 : Khối chóp đều. .....................................................64
 Dạng 4 : Khối chóp tam giác và phƣơng pháp tỉ số thể tích.
.................................................................................................66
 Vấn đề 2 : Thể tích khối lăng trụ.............................................68
 Dạng 1 : Khối lăng trụ đứng, biết chiều cao hoặc cạnh đáy.
.................................................................................................69
 Dạng 2 : Lăng trụ đứng có góc giữa đƣờng chéo và mặt đáy.
.................................................................................................70
 Dạng 3 : Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng. .............71
 Dạng 4: [NC] Lăng trụ xiên................................................72
CHƢƠNG 4: KHỐI NÓN- KHỐI TRỤ- KHỐI CẦU ................75
 Vấn đề 1 : Mặt nón-khối nón ..................................................75
 Vấn đề 2 : Mặt trụ- khối trụ ....................................................77

 Vấn đề 3 : Mặt cầu- Khối cầu .................................................79
 Bài tập tổng hợp và nâng cao ..................................................81

tusachvang.net

Trang 3


Tài liệu học tập Tốn 12- HK1

GIẢI TÍCH
CHƢƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA
ĐẠO HÀM TRONG KHẢO SÁT VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Định
nghĩa

Định lý
Định lý
mở rộng

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b)
 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên (a, b)
 x1, x2 (a , b) : x1 < x2  f(x1) < f(x2)
 Hàm số y = f(x) ngịch biến (giảm) trên (a, b)
 x1, x2 (a , b) : x1 < x2  f(x1) > f(x2)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K
 f’(x) > 0 , x K  f(x) đồng biến trên K

 f’(x) < 0 , x K  f(x) nghịch biến trên K
 f’(x) = 0 , x K  f(x) là hằng số trên K
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
 f / ( x)  0, x  K  f(x) đồng biến trên K
 f / ( x)  0, x  K  f(x) nghịch biến trên K
Chú ý: Dấu bằng chỉ đƣợc xảy ra tại hữu hạn điểm

 Dạng 1 : Xét tính đơn điệu [tăng (đồng
biến), giảm(nghịch biến)].
Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a/ y   x 2  4 x  1 ;
b/ y  x3  x 2  x  1;
3x  1
c/ y 
;
d/ y  3x4  x 2  5 ;
1 x

tusachvang.net

Trang 4


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

1
f/ y  x3  3x 2  7 x  2 ;
3
x
h/ y 

;
3  5x
j/ y  (2  x)2 ( x  2)2 ;

e/ y  2 x2  8 x  1 ;
g/ y  2 x 2  x 4 ;
i/ y  (1  x)( x  2)2 ;

 Dạng 2 : Tìm giá trị tham số để hàm số luôn
tăng (đồng biến), luôn giảm (nghịch biến)
trên một khoảng cho trước.
Bài 2. Tìm tham số để các hàm số sau luôn đồng biến (tăng)
trên từng khoảng xác định (miền xác định) :
a/ y  x 3  3x 2  mx  3 ;

b/ y  x 3  (a  1) x 2  x  1 ;

1 3
d/ y  kx 3  (k  2)x 2  x  5 ;
x  bx 2  bx  1 ;
3
e/ y  (m  4)x 3  x 2  x  3m ;
f/ y  tx 3  x 2  tx  1 ;
c/ y 

2mx  1
;
x 1
1
i/ y  1 

;
x  a 1
bx  b2
k/ y 
;
x 1

2mx  m  3
;
x 2
(m  1) x  m
j/ y 
;
xm
b2
l/ y  b 
.
x 1

g/ y 

h/ y 

Bài 3. Tìm giá trị tham số để các hàm số sau luôn nghịch biến
(giảm) trên từng khoảng xác định (miền xác định) :
a/ y   x 3  3x 2  mx  3 ;
b/ y  2 x 3  (b  1) x 2  3x  1 ;
c/ y  mx 3  x 2  x  2m ;

d/ y  ax 3  (a  3)x 2  x  2 ;

e/ y  (k  3)x 3  x 2  x  2k ; f/ y  (k  1)x 3  x 2  kx  1 ;

2ax  5a  3
g/ y 
;
3x  1

m2 x  3m  4
h/ y 
;
x 1
tusachvang.net

Trang 5


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

mx  7m  9
;
x  2m
mx  m  2
k/ y 
;
xm
i/ y 

xb
;

x 2
k 2  k  3
2
l/ y  k 
.
x 1
j/ y  2 

Bài 4. [NC] Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng phƣơng
pháp đạo hàm :
1
a/ x   2; x  0 ;
b/ sin x  x, x  0 ;
x


x2
c/ tan x  x , 0  x   ;
d/ cos x  1  , x  0 ;
2
2




e/ sin x  tan x  2x , 0  x   ;
2


f/ x sin x  cos x  1, với 0  x 

g/ a  sin a  b  sin b, với 0  a  b 
h/


2


;
2

;

tan a a

 , với 0  a  b  ;
tan b b
2

Bài 5. [NC] Thực hiện từng yêu cầu sau :
a/ [ĐH 2013- Khối A,A1]: Cho hàm số y   x 3  3x 2  3mx  1(1),
với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên
khoảng (0; ) ;
b/ Tìm m để hàm số y  x 3  3x 2  (m  1)x  4 nghịch biến trên
khoảng (1;1) ;

1
c/ Tìm m để hàm số y   x 3  (m  1) x 2  (m  3) x  4m đồng
3
biến trên khoảng (0;3) ;

d/ Cho hàm số y  2 x3  3(2m  1)x 2  6m(m  1)x  1 có đồ thị (Cm).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (;0) ;
e/ Cho hàm số y  x 4  2mx 2  3m  1 (1), (m là tham số). Tìm m để
hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2);
tusachvang.net

Trang 6


Tài liệu học tập Tốn 12- HK1

mx  4
(1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
xm
hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) ;

f/ Cho hàm số y 

g/ y  x3  3x 2  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài
bằng 1;
mx  4
h/ y 
(m  2) đồng biến trên khoảng (1; +).
xm

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dấu hiệu 1:
Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên 1 lân cận của điểm x0
(có thể khơng có đạo hàm tại x0 ). Nếu khi x qua x0 , đạo hàm đổi
dấu thì điểm x0 là 1 điểm cực trị.

Cụ thể:
x

x0

 0 hoặc (||)

y'

+

y
CT

x0

x
y'

+

0 hoặc (||)



y
CĐ

Dấu hiệu 2:
Cho f ( x ) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên (a; b) ,

x0  (a; b) .

 f / (x )  0

Nếu  / / 0
 x0 là 1 điểm cực trị của hàm số.
 f ( x0 )  0

tusachvang.net

Trang 7


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

 f / ( x0 )  0

Cụ thể :   / /
 x0 là điểm cực đại
 f ( x0 )  0

 f / ( x0 )  0

  //
 x0 là điểm cực tiểu
 f ( x0 )  0


 Dạng 1 : Bài tập tìm cực trị.
Bài 6. Tìm cực trị của các hàm số sau (nếu có):

a/ y  x 3  3x 2  3 ;

b/ y  x 3  x 2  x  1 ;

x  2
;
x 3
g/ y  ( x  1)( x 2  2) ;

1
d/ y   x 4  2 x 2  1 ;
4
1
f/ y   2 
;
x 3
h/ y  ( x 2  2)2  1 ;

i/ y  x3  3x  1 ;

j/ y  3x 4 .

c/ y  x 4  2 x 2  2 ;
e/ y 

 Dạng 2 : Bài tập về số lượng cực trị.
Bài 7. Tìm tham số để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu (có
cực trị) :
a/ y  x 3  3x 2  mx  3 ;
b/ y  (a  1) x 3  x 2  x ;

1
c/ y  x3  x 2  3(m  1) x  m  1; d/ y  x 3  (m  2) x 2  x ;
3
e/ y  (k  2) x 3  3x 2  kx  5 ;

f/ y  a2 x 3  x 2  x  a ;

g/ y  x3  3(m  1)x 2  (2m2  3m  2)x  m(m  1) ;
h/ y  (k  1) x 3  kx 2  2 x  1 .
Bài 8. Chứng minh các hàm số sau ln có cực đại và cực tiểu
(ln có cực trị) với mọi giá trị của tham số :
a/ y  x 3  3mx 2  3(m2  1)x  m3 ;

tusachvang.net

Trang 8


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

b/ y   x 3  kx 2  2 x  k ;

c/ y 

1 3
x  kx 2  x  k ;
3

d/ y  2 x3  3(2m  1)x 2  6m(m  1) x  1 .
Bài 9. Hãy thực hiện từng yêu cầu dƣới đây :

a/ Định m để hàm số y  x4  (2m  5) x2  2 có 3 cực trị;
b/ Tìm giá trị tham số a để y  x4  (16  2a 2 ) x2  3a chỉ có 1 cực
trị;
c/ Tìm m để y  x 4  2(m  1) x 2  m  1 có 3 điểm cực trị;
d/ Với giá trị nào của k, hàm số y 

x4
 (k 2  1) x 2  k có 3 cực trị;
2

1 4
x  (2b  1) x 2 chỉ có 1 cực trị;
4
1
1
f/ Định a để hàm số y   x 4  (a 2  a  2) x 2  2 có 3 cực trị;
4
2
4
2
g/ Tìm b để hàm số y  x  (b  1) x2  b chỉ có 1 cực trị;
e/ Tìm b để hàm số y 

h/ [ĐH CĐ 2002- Khối B]: Cho y  mx 4  (m2  9)x 2  10 (1).
Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.

 Dạng 3 : Bài tập về vị trí đạt cực trị
Bài 10. Tìm tham số để các hàm số sau thỏa điều kiện đi kèm
a/ y  x3  3mx2  3(m2  1) x  m đạt cực trị tại x  2 ;
b/ y  x 3  (m  1)x 2  mx  5 đạt cực tiểu tại x  1 ;

c/ y  x3  (m  1) x 2  2mx  1 đạt cực trị là 1 khi x  1 ;
d/ y  x3  mx  m  1 đạt cực tiểu tại x  2 .;

x4
 (2  m) x2  m  1 đạt cực đại tại x  2 ;
4
f/ y   x3  3x 2  mx  m  2 đạt cực đại tại x  3 ;
g/ y  x4  (5  m) x 2  3m đạt cực tiểu tại x  1 ;
e/ y 

1
3

h/ y  (m  1) x 3  mx 2  (3m  2) x đạt cực tiểu tại x  2 ;
tusachvang.net

Trang 9


Tài liệu học tập Toán 12- HK1
4

x
 ax 2  b đạt cực trị là 2 khi x  1 ;
2
j/ y  x 3  ax 2  bx  1 đạt cực trị là 1 khi x=2;
i/ y 

k/ y 

x4
 ax 2  b đạt cực tiểu là 2 khi x  1 .
2

 [NC] Một số bài tập cực trị sử dụng Định lý
Viet
Định lý Viet thuận:
Nếu phƣơng trình bậc hai : ax 2  bx c  0 ( a  0 ) có 2
nghiệm x1 , x2


b
S  x1  x2   a

thì ta có : 
.
 P  x .x  c
1 2

a


u  v  S

Định lý Viet đảo: Nếu u, v là hai số thực có 

u.v  P

thì u, v là nghiệm của phƣơng trình bậc hai x2  Sx  P  0
 Một số hệ thức cơ bản sử dụng Định lí Viet:

S  x1  x2

Với 
, ta có:
 P  x1 .x2

1 1 x x
S
   1 2
x1 x2
x1.x2
P

 x12  x22   x1  x2   2 x1 x2  S 2  2P
2

  x1  x2    x1  x2   4 x1 x2  S 2  4P ;
 x13  x23  ( x1  x2 )3  3x1.x2 ( x1  x2 )  S 3  3PS .
2

2

 x1  x2  k   x1  x2   k 2  S 2  4P  k 2 .
2

tusachvang.net

Trang 10

Tài liệu học tập Toán 12- HK1

 x1  a
x  a  0
 x  x  2a  0
...
 1
 1 2
 x2  a
 x2  a  0
( x1  a)( x2  a)  0

 a  x1  x2  

 x1  a
x  a  0
 1
 ( x1  a)( x2  a)  0 ..
 x2  a
 x2  a  0

 x1  a  x2  

 x1  a
x  a  0
 x  x  2a  0
...
 1
 1 2
 x2  a

 x2  a  0
( x1  a)( x2  a)  0

 x1  x2  a  

Bài 11. Hãy thực hiện theo từng yêu cầu sau :
1
3

a/ Cho hàm số y  x 3  (1  m) x 2  2mx  2 (1) . Tìm m để hàm

số (1) có 2 điểm cực trị x1 , x2 sao cho A  x12  x22  3x1 x2 đạt
giá trị nhỏ nhất;
b/ Cho hàm số y  x3  bx 2  (2b  1)x  b  2 . Tìm b sao cho đồ
thị hàm số có 2 cực trị có hồnh độ dƣơng;
m 3
x  (1  m) x 2  3(m  2) x  1 đạt cực trị tại
3
thỏa x1  2 x2  2 ;

c/ Cho hàm số y 

x1 , x2

d/ Tìm giá trị tham số a để hàm số y  x 3  3x 2  3ax  1  a đạt
cực trị tại x1 , x2 thỏa x1  x2  2 ;
1
3

e/ Cho hàm số y  x 3  mx 2  mx  1 , với m là tham số thực.

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho
x1  x2  8 ;

f/ Cho hàm số y  x 4  2(m2  m  1)x 2  m  1 . Tìm m để đồ thị

(C) có cực đại và cực tiểu sao cho khoảng cách giữa hai điểm
cực tiểu ngắn nhất;
(Cm ) .
g/ Cho hàm số y  f ( x)  x 4  2(m  2)x 2  m2  5m  5
Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm
cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân ;
tusachvang.net

Trang 11


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

1
4

h/ Cho hàm số y  x 4  (3m  1) x 2  2(m  1) (Cm) . Tìm m để đồ

thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm
là gốc toạ độ O;
i/ Tìm các giá trị của m để hàm số y  2 x 3  mx 2  12 x  13 có hai
điểm cực trị cách đều trục tung;
j/ CĐ 2009: Cho hàm số y  x 3  (2m  1)x 2  (2  m) x  2 (1) . Tìm
các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực

trị của hàm số (1) có hồnh độ dƣơng;
k/ ĐH 2012- Khối D: Cho hàm số
2
2
y  x 3  mx 2  2(3m2  1) x  (1), m là tham số thực. Tìm m để
3
3
đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho

x1 x2  2( x1  x2 )  1 ;
l/ [ĐH 2012- Khối A,A1]: Cho hàm số y  x 4  2(m  1)x 2  m2 (1)
với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm
cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông;
m/ [ĐH CĐ 2007- Khối B]: Cho hàm số
y   x 3  3x 2  3(m2  1)x  3m2  1 (1) . Tìm m để hàm số (1) có
cực đại và cực tiểu, và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách
đều gốc tọa độ O.

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa:

Hàm số y  f ( x ) xác định trên miền xác định D

Số M đƣợc gọi là Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên D

 f ( x )  M , x  D

x0  D : f ( x0 )  M


Ký hiệu : max y  M
D

tusachvang.net

Trang 12


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

Số m đƣợc gọi là Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên D
 f ( x )  m, x  D


x0  D : f ( x0 )  m

Ký hiệu : min y  m
D

Phƣơng pháp làm bài:

 Trường hợp 1: So sánh các giá trị (để tìm GTLN, GTNN trên
đoạn [a,b])
. Tìm MXĐ=> hàm số liên tục và xác định trên đoạn  a; b 
 
. Tìm đạo hàm f’(x)
. Giải phƣơng trình f’(x) = 0  nghiệm x1, x2, ...x n  [a , b] (loại
bỏ những nghiệm khơng thuộc [a , b])
. Tính f(x1), f(x2), ..., f(x n), f(a), f(b)
 GTLN = Max(f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(a), f(b))

 GTNN = Min (f(x1), f(x2), ..., f(x n), f(a), f(b))
 Trường hợp 2: Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên (a , b)
. Tìm MXĐ=> hàm số liên tục và xác định trên khoảng (a; b)
. Tìm đạo hàm f’(x)
. Giải phƣơng trình f’(x) = 0  nghiệm x1, x2, ...x n
. Lập bảng biến thiên
. Dựa vào bảng biến thiên (phần trên khoảng (a;b)) để kết luận

BÀI TẬP
 Dạng 1 : GTLN-GTNN trên một đoạn.
Bài 12. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau (nếu có):
a/ y  x 3  3x 2  9 x  1 trên [1;4] ;
2 x
b/ y  x 4  2 x 2  3 trên [2;1] ;
c/ y 
trên [2;5] ;
1 x
d/ y   x 3  3x  2 trên [3;4] ;
x 3
e/ y   x 4  2 x 2  7 trên [1;3] ;
f/ y 
trên [0;7] .
1 x
tusachvang.net

Trang 13


Tài liệu học tập Tốn 12- HK1

Bài 13. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau (nếu có):
a/ y  x  2  6  x ;

b/ y  x  4  x  3 ;

c/ y  5  2 x  4  10  x ;

d/ y   x 2  2 x  3 ;

e/ y   x2  5 x  4  9 ;

f/ y  3  2 x 2  5x  7 ;

g/ y  5 9  x 2  2 ;

h/ y  2 x  5  x 2  4 ;

i/ y  3x  10  x2 ;

j/ y   x  8  x 2 ;

k/ y  x. 1  x 2 ;

l/ y  ( x  1). 3  x2  4 ;

m/ y  4  x.  x  x 2 .

 Dạng 2 : GTLN-GTNN trên một khoảng.
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau (nếu có):
1

a/ y   x 4  2 x 2  1 ;
b/ y  x 4  2 x 2  3 ;
4
4
2
c/ y   x  4 x  3 trên (1;1) ;
d/ y  2 x 4  4 x 2  1 ;
Bài 14.

1 3
x  x 2  3x  1 ;
3

e/ y   x 3  3x 2  2 trên (3;1) ;

f/ y 

g/ y   x 3  x 2  2 x 1 trên (1;5) ;

h/ y  x 2  5x  6 ;

k/ y  7  x 2  2 x  3 ;

l/ y  5  2 x2  5x  6 .

 Dạng 3 : Tìm GTLN-GTNN bằng cách đặt ẩn
mới.
Bài 15.
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau (nếu có):
2

a/ y  sin x  2sin x  2 ;
b/ y  2sin2 2 x  5sin 2 x  3 ;
c/ y  cos2 x  cos x  5 ;

d/ y  2 cos2 x  2(1  cos x )  9 ;

e/ y  2sin2 x  cos x  1;

f/ y  cos2 x  3sin x  7 ;

g/ y 

2sin x  1
;
sin x  2

h/ y 

 cos x  1
;
cos x  3

tusachvang.net

Trang 14


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

i/ y  cos x  2cos 2x ;

k/ y  sin 4 x  cos2 x  1 ;

j/ y  cos2 x  2sin x  1 ;
l/ ; y  cos4 x  2sin 2 x  1

m/ y  sin3 x  cos2 x  sin x  1 ;
n/ y  cos3 x  6 cos2 x  9 cos x  5 .

 [NC] Một số bài GTLN-GTNN nâng cao
Bài 16. Hãy thực hiện từng yêu cầu sau:
a/ [TN-THPT 2012]: Tìm các giá trị của tham số m để GTNN của
x  m2  m
hàm số f ( x ) 
trên đoạn  0;1 bằng 2 ;
 
x 1
b/ [TN-THPT 2013]: Tìm GTLN-GTNN của hàm số

f ( x )  x 2  3  x ln x trên đoạn 1;2  ;
 
c/ [TN-THPT 2014]: Tìm GTLN-GTNN của hàm số
1
f ( x)  x 2  x  4 x  x 2 .
4

ĐƯỜNG TIỆM CẬN
I. CÁC LOẠI ĐƢỜNG TIỆM CẬN
1. Tiệm cận đứng (TCĐ): Là đƣờng tiệm cận cùng phƣơng với
y
trục tung Oy

(d)
Cách tìm:
Chỉ cần
Nếu lim y  
xảy ra 1
x a
x
O
trong 4
hoặc lim y  
lim
x a
(C)
hoặc lim y  

x a

hoặc lim y  

x a

thì x = a là TCĐ của đồ thị hàm số y  f ( x ) .

tusachvang.net

Trang 15


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

2. Tiệm cận ngang (TCN): Là đƣờng tiệm cận cùng phƣơng với
trục hoành Ox
Cách tìm:
Chỉ cần
y
xảy ra 1
Nếu lim y  b
x 
trong 2
(d)
hoặc lim y  b
lim
x 
thì y= b là TCN của đồ thị hàm số y  f ( x ) .

O

x

(C)

II. CÁCH NHÌN NHANH (ĐỐI VỚI HÀM SỐ NHẤT BIẾN):
ax  b
a
d
Đối với hàm số y 
thì TCN: y  , TCĐ: x  
cx  d
c
c

BÀI TẬP
 Dạng 1 : Xác định tiệm cận đứng và tiệm
cận ngang của hàm nhất biến.
Bài 17. Tìm TCĐ và TCN của các hàm số sau :
x
8x  3
a/ y 
;
b/ y 
;
1 x
2 x
x  5
3
c/ y 
;
d/ y 
;
2x  2
x5
1
4
e/ y  3 
;
f/ y  3  .
x2
x

 Một số câu hỏi khác liên quan đến tiệm cận.

Bài 18. Thực hiện từng yêu cầu sau:
(m  1) x  2
a/ Tìm giá trị tham số để hàm số y 
có TCN và TCN
1 x
đi qua điểm A(3;1);

tusachvang.net

Trang 16


Tài liệu học tập Tốn 12- HK1

b/ Tìm giá trị tham số để hàm số y 

2x  3
có TCĐ và
2 x  m2  3m  5

1
TCĐ đi qua điểm B( ;6) ;
2
c/ Cho hàm số y 

3x  4
(C). Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) cách
x 2

đều 2 đƣờng tiệm cận;

x 3
d/ Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Cho điểm M0 ( x0 ; y0 ) thuộc
x 1
đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M 0 cắt tiệm cận của (C) tại các
điểm A và B. Chứng minh M 0 là trung điểm của đoạn thẳng AB;

x
(C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến d của (C)
x 1
sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác
cân.
e/ Cho hàm số y 

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN và VẼ ĐỒ
THỊ CỦA HÀM SỐ
Sơ đồ làm bài
Tập xác định
Tính đạo hàm: y / và y / / ( chỉ tính y / / đối với hàm số bậc 3)
Tính các giới hạn (lim)
Lập bảng biến thiên
Kết luận về bảng biến thiên
Điểm đặc biệt (bảng giá trị)
Vẽ đồ thị
Chú ý: Khi lấy điểm đặc biệt:
Đối với hàm bậc 3: phải cho x=0  y  ?
Đối với hàm nhất biến: cho x=0  y  ? , cho y=0  x  ?

tusachvang.net

Trang 17


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

BÀI TẬP
 Dạng 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
Bài 19. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số :
a/ y  x3  3x 2  1 ;
b/ y   x3  12 x  5 ;
c/ y   x3  3x 2  2 ;
d/ y   x3  x 2  x ;

1
2
e/ y  x3  3x  ;
3
3

f/ y  

2 x3
1
 x2  4 x  .
3
3

 Dạng 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng
phương.
Bài 20. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :

a/ y  x4  2 x 2  2 ;
b/ y  ( x  1)2 ( x  1)2  1 ;
c/ y   x 4  8x 2  2 ;
d/ y  ( x2  1)2  2 ;
1
3
e/ y  x 4  2 x 2  ;
f/ y   x 4  2 x 2 .
4
4

 Dạng 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số nhất
biến.
Bài 21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :
x 1
2x  3
2
a/ y 
;
b/ y 
;
c/ y  1 
;
1 x
x2
1 x
3
x
1
d/ y  2 

;
e/ y 
;
f/ y  1 
.
2 x
x 1
x 3

 Dạng 4 [NC]: Đồ thị hàm số chứa dấu trị
tuyệt đối.
Bài 22. Hãy thực hiện từng yêu cầu cho dƣới đây:
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) : y  x 3  3x 2  1 .
Từ đó, suy ra đồ thị của các hàm số (C1 ) : y  x 3  3x 2  1 và
3

(C2 ) : y  x  3x 2  1 ;
tusachvang.net

Trang 18


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
(C) : y   x 4  2 x 2  2 . Từ đó, suy ra đồ thị của hàm số

(C / ) : y   x 4  2 x 2  2 ;
c/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) : y 
đó, suy ra đồ thị của các hàm số (C1 ) : y 

(C2 ) : y 

2 x 1
x 1

2x 1
. Từ
x 1

2x 1
và
x 1

.

CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
 Vấn đề 1 : Sự tương giao giữa 2 đồ thị
Bài 23. Tìm giá trị tham số m để đồ thị của hàm số :
3x  2
a/ y 
cắt đƣờng thẳng (D) : y  3x  m tại 2 điểm phân
1 x
biệt;
x 1
b/ y 
cắt đƣờng thẳng  : y  x  m tại 2 điểm phân biệt;
1 x
x
c/ y 

cắt đƣờng thẳng d : y  2 x  m tại 2 điểm phân biệt;
1 x
x 1
d/ y 
cắt đƣờng thẳng (D) : y  m  x tại 2 điểm phân biệt;
x 1
e/ y  x 3  mx 2  mx  1 caét trục hoành tại 3 điểm phân biệt
A(1;0), B, C ;
f/ Cho hàm số y 

x  1
. Chứng minh rằng với mọi m, đƣờng thẳng
2x  1

d : y  x  m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.

Bài 24. [NC] Hãy thực hiện theo từng yêu cầu sau :
tusachvang.net

Trang 19


Tài liệu học tập Tốn 12- HK1

a/ Tìm m để đồ thị hàm số y  ( x  2)( x 2  mx  m2  3) cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt. ;
x 1
b/ Cho hàm số (C ) : y 
. Cho đƣờng thẳng d : y  2 x  m .
x 1

Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó tìm m
để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.;
c/ Cho hàm số y  x3  3x 2  2 . Tìm các giá trị của tham số m để
đƣờng thẳng d : y  m( x  2)  2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt
A(2; –2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D
với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ nhất.;
d/ [ĐH 2010- Khối A]: Cho hàm số y  x 3  2 x 2  (1  m)x  m (1) .
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12  x22  x32  4 .
(Hướng dẫn: Biến đổi thành m(1  x ) ....);
e/ [ĐH 2013- Khối D]: Cho hàm số y  2 x 3  3mx 2  (m  1) x  1
(1), với m là tham số thực. Tìm m để đƣờng thẳng y   x  1 cắt đồ
thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt;
2x  1
f/ [ĐH 2011- Khối D]: Cho hàm số y 
. Tìm k để đƣờng
x 1
thẳng y  kx  2k  1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao
cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau;
g/ [DỰ BỊ 2 ĐH 2010-Khối D]: Cho hàm số y   x3  3x2  4 (C).
Tìm m để đƣờng thẳng d : y  m( x  1) cắt (C) tại ba điểm phân biệt
M (1;0) và A, B sao cho MA = 2MB;

2x  1
. Tìm m để đƣờng
x 1
thẳng y  2 x  m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
h/ [ĐH 2010- Khối B]: Cho hàm số y 

cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ);

i/ ĐH 2008- Khối D: Cho hàm số y  x 3  3x 2  4 (1) . Chứng
minh rằng mọi đƣờng thẳng đi qua I (1;2) và có hệ số góc

tusachvang.net

Trang 20


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

k (k  3) đều cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B
đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB;
j/ ĐH CĐ 2006- Khối D: Cho hàm số y  x 3  3x  2 . Gọi d là
đƣờng thẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc là m. Tìm m

để đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.

 Vấn đề 2 : Biện luận số nghiệm của phương
trình cho trước bằng đồ thị
Bài 25. Cho hàm số y  x 3  3x  1 có đồ thị (C).
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b/ Biện luận theo k số nghiệm của phƣơng trình x 3  3x  2k  0 .
Bài 26. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 có đồ thị (C).
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
x4
b/ Tìm a để phƣơng trình
 x 2  a  0 có 4 nghiệm phân biệt.
2
Bài 27. Cho hàm số y  x(3  x )2 có đồ thị (C).
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b/ Biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình
x 3  6 x 2  9 x  1  2m  0 .
Bài 28. Cho hàm số y  2 x 3  3x 2  1 có đồ thị (C).
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
3
b/ Tìm m để x 3  x 2  m  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
2
x4
3
 x 2  có đồ thị (C).
Bài 29. Cho hàm số y 
2
2
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b/ Tìm m để phƣơng trình x 4  2 x 2  m  0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 30. Cho hàm số y   x 4  (2  m) x 2  1  m

tusachvang.net

Trang 21


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) ứng với m  0 .
b/ Dựa vào đồ thị (C ) , biện luận theo k số nghiệm của phƣơng
trình: 2 x4  4 x2  2  2k
Bài 31. Cho hàm số y  x3  3x 2 (C)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b/ Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình

2 x3  6 x2  m  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 32. Cho hàm số y  2 x3  3x 2  1 (C)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b/ Biện luận theo m số nghiệm thực của phƣơng trình
3
1 m
x3  x 2    0
2
2 2
Bài 33. [NC] Thực hiện theo từng yêu cầu dƣới đây:
a/ Cho hàm số: y  x 4  2 x 2  1 .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình:
x 4  2 x 2  1  log2 m  0

(m > 0)
b/ ĐH CĐ 2002- Khối A: Cho hàm số:
y   x 3  3mx 2  3(1  m2 )x  m3  m2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với m  1 .
2. Tìm k để phƣơng trình  x 3  3x 2  k 3  3k 2  0 có ba
nghiệm phân biệt.
c/ ĐH 2009- Khối B: Cho hàm số y  2 x 4  4 x 2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m, phƣơng trình x 2 x 2  2  m có
đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
d/ ĐH CĐ 2006- Khối A: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số y  2 x 3  9 x 2  12 x  4 .
2. Tìm m để phƣơng trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3

2 x  9 x 2  12 x  m .

tusachvang.net

Trang 22


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

 Vấn đề 3 : Phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C) và cho điểm M ( xo , y0 )  (C ) ,

y0  f ( x0 ) .
Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại M là :
y  f / ( x0 )( x  x0 )  y0

BÀI TẬP

 Dạng 1 : Biết thông tin về tiếp điểm.
Bài 34. Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại các điểm thuộc đồ thị
cho trƣớc :
3x  4
2
a/ (C) : y  3x 3  5x 2  1, A(1; 1) ; b/ (C ) : y 
,B(2; ) ;
7 x
5
15
c/ (C) : y  2 x 4  4 x 2  3, C(0;3) ; d/ (C ) : y  2 
, E(2;1) ;

x 3
x3
3; 2)
e/ (C) : y  x 4  x 2 1, F(1;1) ; f/ (C): y   x 2  2, D(   .
3
Bài 35. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm
có hồnh độ x0 cho trƣớc:

2x3
x4
2
 x  7, x0  4 ; b/ (C ) : y   7 x 2  6, x0  3 ;
a/ (C ) : y 
3
2
1
, x  2 ; d/ (C) : y  x 3  6 x  10, x0  2 ;
c/ (C ) : y  3 
x5 0
2x  1
, x0  7 ; f/ (C) : y   x 4  x 2  6, x0  2 .
e/ (C ) : y 
x 3
Bài 36. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao
điểm của (C) với trục tung (x=0):
x3
x 1
2
a/ (C ) : y   2 x  1 ;
b/ (C ) : y 

;
3
x 3
tusachvang.net

Trang 23


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

d/ (C ) : y  1 

c/ (C) : y  x 4  3x 2  5 ;

2
;
x 3

1
e/ (C) : y  2 x 3  x 2  x  3 ; f/ (C ) : y   x 4  x 2  1 .
4
Bài 37. Viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C) tại các điểm có
tung độ y0 cho trƣớc :

a/ (C) : y  x 3  6 x 2  11x  3, y0  3 ;
b/ (C) : y  x 4  3x 2  3, y0  1 và tiếp điểm có hoành độ dƣơng;
49
, y  8 ;
3x  1 0
d/ (C) : y   x 4  4 x 2  5, y0  5 và tiếp điểm có hoành độ âm;

c/ (C ) : y  1 

e/ (C ) : y 
dƣơng;
f/ (C ) : y 

5x 3
 15x  3, y 0  3 và tiếp điểm có hồnh độ khơng
3
6 x  18
, y0  3 .
3x  7

Bài 38. Viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của
(C) với trục hoành (y=0):
a/ (C) : y  x 3  5x 2  6 x ;
b/ (C) : y  x 4  8x 2  9 và tiếp điểm có hồnh độ âm;
c/ (C ) : y 

x6
;
x 1

d/ (C ) : y  2 

2
.
x 2

 Dạng 2 : Biết thông tin về hệ số góc.
Bài 39. Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng cong (C) biết
tiếp tuyến có hệ số góc ktt :
a/ y  f ( x)  2 x4  3x2  1, ktt  2 ; b/ y  f ( x)  3x3  4 x 1, ktt  85 ;
3x  11
c/ y  f ( x ) 
, ktt  3 ;
3x  7

5x3
 x  1, ktt  19 ;
d/ y  f ( x) 
3

tusachvang.net

Trang 24


Tài liệu học tập Toán 12- HK1

e/ y  f ( x)  2 

16
, ktt  2 ; f/ y  f ( x)   x3  2 x  5, ktt  5 .
2 x  1

Bài 40. Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng cong (C) biết
tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng cho tƣơng ứng :
a/ (C ) : y  f ( x)  2 x 4  x 2  1, d : y  5 ;

b/ (C ) : y  f ( x)  x3  2 x  5,  : 10 x  2 y  3  0 ;
4 x  11
c/ (C ) : y  f (x ) 
, d : y  2x  7;
2 x  1
4 x3
d/ (C ) : y  f ( x) 
 4 x  2,  : 32 x  y  1  0 ;
3
4
e/ (C ) : y  f (x )  1
, d : 6x  2y  1 0;
3x  7
1
f/ (C ) : y  f ( x)   x 4  x 2  1, m : x  y  5 biết tiếp điểm có
4
hồnh độ ngun.
Bài 41. Viết phƣơng trình tiếp tuyến tuyến với đƣờng cong (C)
biết tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng cho tƣơng ứng :
3x 4
 x 2  1, d : x  8 y  0 ;
a/ y  f ( x) 
2
4 x  11
b/ y  f ( x) 
, d : 2x  4 y  3  0 ;
2 x  1
c/ y  f ( x)  2 x3  5 x  1, d : x  19y  2  0;
3
d/ y  f ( x)  2 

, d : x  6y 1  0 ;
2x  1
3
e/ y  f ( x)  1  x 
, d : x  4 y  8  0;
2 x
1
f/ (C ) : y  f ( x)   x 4  2 x 2  3, m : x  2 y  2 biết tiếp điểm
2
có hồnh độ ngun..

tusachvang.net

Trang 25