Chuyên đề lũy thừa và Logarit

NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------§ NHỮNG CÔNG THỨC THÔNG DỤNG
CỦA LŨY THỪA & LOGARIT
A. LŨY THỪA

Vấn đề 7

I. Đònh nghóa và tính chất: Cho a ∈ ¡ ; a ≠ 0 và n ∈ ¥ *
n
14.a2...
43a
• a =a

• a0 = 1

n lần

• a −n =

• a1 = a

1
an

a gọi là cơ số, n là số mũ
II. Các phép toán về lũy thừa: a, b ∈ ¡ ; a, b ≠ 0; n ∈ ¥ *
1. Tích 2 lũy thừa cùng cơ số: a n .a m = a n + m
am
= a m −n
2. Thương 2 lũy thừa cùng cơ số:
n

a
n
n
n
3. Lũy thừa của tích: (a.b ) = a .b
n

an
a 
4. Lũy thừa của thương:  ÷ = n
b
b 
III. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Nếu tồn tại

n

m

a m thì a n =

n

am

B. LOGARIT
I. Đònh nghóa và tính chất: Cho a, b > 0 và a ≠ 1
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a b = α ⇔ a α = b

• a loga b = b

° a gọi là cơ số
° Logarit tự nhiên là logarit cơ số e, viết là ln
° Logarit thập phân là logarit cơ số 10.
II. Các phép toán về logarit: Cho a; b1, b2 > 0, a ≠ 1
1. Loga của tích = tổng các logarit log a ( b1b2 ) = log a b1 + log a b2
2.

log a

Loga

của

thương

=

hiệu

tích

số

các

logarit

b1
= log a b1 − log a b2
b2

3.

Loga

của

lũy

thừa

=

mũ

với

log a b k = k. log a b,(k ∈ ¡ )
III. Đổi cơ số: Cho a, b, c > 0 và a ≠ 1, c ≠ 1

log a b =

log c b
1
1
⇒ log a b =
log a b

và log a k b =
log c a
log n a
k

13

logarit


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------BÀI TẬP
A. Lũy thừa:
1. Tính:

A =
B =
C =
D =

−4

−3

1
1
 ÷ − ÷
 3
 2
−10

−9
1
−3
−4
−2
−1  1 
 ÷ .27 + (0, 2) .25 + (128) .  ÷
3
 2
−6
4
2 .9
3−1.15 + −2 +
6
3.23
−1
−1
3  9
 3
 ÷ −  ÷
4 4
7
2

1

−0,75

2. Rút gọn:

1
2

Đs: 8
Đs: 173
Đs: 2
Đs:

E = 8 3 + 27 3
 1 
F =% 
÷
 16 

Đs: 73

4

 1 3
+ ÷
8

13
3

Đs: 24

1
3 6

Đs: a

A = a .a . a
7
3

: 3a
4
2
 13

3
a  a + a 3 ÷
÷


C =
3
1

1
a  a 4 + a 4 ÷
÷
4


Đs: a2

a . b +b . a
6

a + 6b
2
 2

E = 3 a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab ÷
÷



Đs: 3 ab

B =a

1
3

D =

(

Đs: a

1
3

)

Đs: a + b

B. Logarit:

1. Tìm x để biểu thức sau có nghóa:
a. log2(16 - x2)
Đs: -4 < x < 4
2
b. log5(x + x - 6)
Đs: x < -3 hoặc x > 2
2. Tính giá trò biểu thức:

A = log 3 3 3

Đs:

14

1
3


B = log 1 8

NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------Đs: -3

2

C = log 6 18 + log 6 2
D = 49

Đs: 2
Đs: 4

log 7 2

8
27

E = 81− log2 3

Đs:

F = log 5 75 − log 5 3
1
G = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50
2
1
H = 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1
2
2
2
2

Đs: 2
Đs: 2
3

45

I = 3 log 5 a + log 5 a 4 + 2 log 5 a
3. Tìm x biết:
a. log3x = 4log3a + 7log3b (a, b > 0)

b. log2x =

2
1
log 2 32 − log 2 64 − 1 log 2 10
5
3

Đs: -4
Đs: 8log5a
Đs: x = a4b7
Đs: x = 10

4. Dùng công thức đổi cơ số. Tính:

A = log

B = log
C = log 2

6
3

3. log 3 36

Đs: A = 4

8. log 4 81

Đs: B = 12

1
. log 25 3 2
5

Đs: C = −

5. Tìm x, biết:
a. log2x + log4x + log8x = 11

1
2
3
c. log3x + log9x =
2
b. log8x + log64x =

Đs: x = 64
x = 2
Đs: x = 3

15

1
12


Vấn đề 8
a ≠ 1)

NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------§ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT (a > 0;

1. Cách giải bằng đưa về cùng cơ số:
f (x )
= a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g( x )
a. Phương trình mũ: a

b. Phương trình logarit:

 f (x ) > 0
 g( x ) > 0

Để log a f ( x ) và log a g( x ) có nghóa

• Điều kiện 

log a f ( x ) = log a g( x ) ⇔ f ( x ) = g( x )
log a f ( x ) = M ⇔ f ( x ) = a M (không cần điều kiện cho f(x) )
2. Cách giải bằng đặt ẩn phụ:
a. Phương trình mũ:
• Dạng 1: A.a 2 x + B.a x + C = 0 (1)

Đặt t = ax > 0

Phương trình (1) ⇔ At2 + Bt + C = 0
• Dạng 2: A.a 2 x + B(ab )x + C.b 2 x = 0 (2) Chia 2 vế cho b2x
2x

Phương

trình

(2)

⇔

x

a 
t = ÷ >0
b 

x

a 
+ B ÷ +C = 0
b 

Đặt

⇔ At2 + Bt + C = 0

b. Phương trình logarit:
• Dạng 1: A ( log a x )

a 
A ÷
b 

2

+ B log a x + C = 0 (3) Đặt t = logax

Phương trình (3) ⇔ At2 + Bt + C = 0
• Dạng 2: A log a x + B log x a + C = 0 (4) Đặt t = log a x ⇒ log x a =

B
+C = 0
t
⇔ At 2 + Ct + B = 0

1
t

(x > 0; x ≠ 1)

Phương trình (4) ⇔ At +

3. Cách giải bằng logarit hóa hoặc mũ hóa:
a. Phương trình mũ: logarit hóa, tức là lấy log a của 2 vế của
phương trình

a f ( x ) = M ⇔ f ( x ) = log a M
b. Phương trình logarit: Mũ hóa, tức là mũ cơ số a 2 vế của
phương trình
16

log a f ( x ) = M ⇔ f ( x ) = a M

NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------BÀI TẬP
1. Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số.
a. 9x = 33x - 1
Đs: x = 1
x
x+ 1
x+ 2
x
x +3
x + 1
b. 5 + 5
+ 5
= 3 + 3
+ 3
Đs: x = 0
x
x - 1
x - 2
x
x - 1
x - 2
c. 2 + 2
+ 2
= 3- 3
+ 3
Đs: x = 2
x
x +1

d. 3 . 2
= 72
Đs: x = 2
2x + 4
3x
x + 8
e. 6
= 3 .2
Đs: x = 4
x+ 2
x
x +1
f) 4.3
+ 5.3 - 7.3
= 60
Đs: x = 1
−x

g) 0,125.42x - 3

 2
= 
÷
8



x +5

Đs: x = 6

x +17

h) 32 x −7 = 0, 25.125 x −3
Đs:
2. Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số:
a. log3x + log9x + log27x = 11
Đs: x = 36
b. log2(x + 3) + log2(x - 1) = log25
Đs: 2
c. log2(x2 + 3) +

log 1 5 = 2 log 1 ( x − 1) − log 2 ( x + 1)
2

4

d. log 3 ( x + 2)2 + log 3

x 2 + 4x = 4 = 9

Đs: x = 25; x = -29

e. log2[x(x - 1)] = 1

Đs: x = -1. x = 2

log 2 x
log 8 4 x
=

f.
log 4 2x
log16 8 x

Đs: x = 2, x =

3. Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ:
a. 9x - 4.3x + 3 = 0
b. 3x + 2 + 9x + 1 = 4
c. 6.9x - 13.6x + 6.4x = 0
d. 32x + 4 + 45.6x - 9.22x + 2= 0
e.

( 2 − 3)

x

(

+ 2+

3

2

Đs: x =

)

x

= 4

1
16

Đs: x = 0, x = 1
Đs: x = -1
Đs: x = a, x = -1
Đs: x = -2
Đs: x = 1; x = -1

4. Giải phương trình logarit bằng đặt ẩn phụ:
a. log a 2 x + log x 2 a = 1

Đs: x = a

1
2
+
=1
4 − lg x
2 + lg x
7
=0
c. log x 2 − log 4 x +
6
b.

Đs: x = 10; x = 100

Đs: x = 8; x =

5. Giải phương trình mũ bằng logarit hóa:
2

3 x .2 x = 1

17

1
4

3

Đs: x = 0; x = − log 2 3


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * ---------

6. Giải phương trình logarit bằng mũ hóa:
log3x(x + 2) = 1

Đs: x = 1; x = -3

BÀI TẬP

1. Giải bất phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:
2
a. 3x − x < 9

Đs: -1 < x < 2

Vấn đề 9

§ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

* Chú ý chung khi giải bất [hương trình mũ và logarit
1. Cơ số:
• a > 1 thì y = xx và y = logax đồng biến.
Tức là x1 < x2 ⇒ a x1 < a x 2 và x1 < x2 ⇒ logax1 < logax2
• 0 < a < 1 thì y = ax và y = logax nghòch biến.
Tức là x1 < x2 ⇒ a x1 > a x 2 và x1 < x2 ⇒ logax1 > logax2
2. Điều kiện xác đònh của logarit:
y = logaf(x) xác đònh khi f(x) > 0
3. Ôn tập cách giải về bất phương trình bậc I và bậc II:
Ta giải riêng lẻ từng bất phương trình rồi tìm giao các tập nghiệm
của mỗi bất phương trình đó. Nó chính là tập nghiệm của hệ bất
phương trình.
Để tìm giao các tập nghiệm, ta dùng trục số. Trên đó gạt bỏ
miền không phải nghiệm.
I. Bất phương trình mũ:
1. Cách đưa về cùng cơ số:
i.

Nếu a > 1:

af(x) < ag(x) f(x) < g(x)

f(x)
g(x)

f(x) > g(x)
ii. Nếu 0 < a < 1 : a < a

2. Cách đặt ẩn phụ:
Dựa vào bài tập cụ thể mà đặt ẩn phụ như các dạng đặt ẩn
phụ ở phương trình mũ.
II. Bất phương trình logarit:
1. Cách đưa về cùng cơ số:

f(x)f(x)>0

i. Nếu a > 1 : loga f(x) < log ag(x) ⇔ 

f(x)>g(x)
f(x)>0

ii. Nếu 0 < a < 1 : loga f(x) < log ag(x) ⇔ 

2. Cách đặt ẩn phụ:
18 đặt ẩn phụ như các dạng đặt ẩn
Dựa vào bài toán cụ thể mà
phụ ở phương trình logarit.


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------5
2
1
Đs: x ≤ −

3
Đs: x > −

b. 32 x + 5 > 1
x
c. 27 ≤

1
3

x 2 −5 x + 4

1
d.  ÷
> 4
 2
e. 2x + 2 − 2x + 3 − 2x + 4 > 5 x +1 − 5 x + 2
f. 62 x + 3 < 2x + 7.33 x −1

Đs: 2 < x < 3

Đs: x > 0
Đs: x > 4
2. Giải bất phương trình logarit bằng đưa về cùng cơ số:
a. log3(5x + 10) > log3(x2 + 6x + 8) Đs: -2 < x < 1

(

)

2
b. log 1 x + 2x − 8 > −4
2

Đs:

x∈(-6,-4)

(2,4)
c.

log 1 (5 x − 1) > 0

Đs: x <

3

2
5

d. log2(x - 3) + log2(x - 2) < 1

Đs: 3 < x < 4

e.

Đs:

2 log 3 (4 x − 3) + log 1 (2x + 3) < 2
3

3. Giải bất phương trình mũ bằng đặt ẩn phụ:
a. 9x - 2.3x - 3 < 0
b. 4x - 2.52x < 10x

Đs:

Đs: x < 1

x > log 2 2
5

4. Giải bất phương trình logarit bằng đặt ẩn phụ:

( log 2 x ) 2

Đs: 0 < x <

+ log 2 4 x − 4 > 0

3
< x <3
4

1
hay x > 2
4

Vấn đề 10:
Nguyên hàm _ Tích phân

I/ Nguyên hàm :
1/ Công Thức :

∫ f ( x)dx

∫u'

x

f (u x )dx

hàm của x.)

19

,(hàm hợp: u x là

∪


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------• ∫ dx = x + c

u n +1
xnn +1
nn
u
•
'
u

x
dx
dx
=
=
u
du
+
=
c
,
∫ ∫
∫ n +1 n(n+≠1 −+1)c, (n ≠ −1)
u ' dx
du
∫ •u ∫dxx ==∫lnux + c=, ( xln≠u0)+ c, (u ≠ 0)
ux
dx ==∫eexu+
duc = e u + c
∫ u•∫' ee dx
sinudx
xdx =
cos udu
x + c= − cos u + c
=−
∫ u•∫'sin
∫ sin
cosudx
xdx = sin
c = sin u + c

∫ u•∫'cos
∫ cosx +udu

u ' dx

du

2

2

•∫
tgx
+c
dx = =
∫ cos
∫ cos
cos
u x
2

u

= tgu + c

dx
du+ c
•∫u2' 2dx = =
tgx
= − co tgu + c

2
∫ sinsinu x − co
∫ sin
u

2/ Tính chất : (thông dụng )

•∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx

,(k: hằng số )

• ∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x) dx

II/ Tích phân :Cho f(x) lien tuc tren [a;b]

20


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------1/ Công thức :
,với F(x)là nguyên hàm của f(x)
2/ Tính chất : (thông dụng)
,với

Bài tập :
Tính các tích phân

21

NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------2
4
a ) ∫ ( x 2 −2 x +5 ) dx
ds :
1
3
e2 2
x −7 x +5
b) ∫
dx
ds : −7e 2 +4e +13
1
x
2 1
1 
4 2 −3 3 4 −1
c) ∫ 
− 3 ÷dx
ds :
1
2
x
 x
d ) ∫ e x ( 1 −e −x ) dx
1

ds : e −2

0

1
o
6
1
2
f1/Trườ
) ∫ x 2ng hợ
x 3p+
5.dx
ds :phâ(6
−5
:Thấ
y
hà
m
dướ
i
dấ
u
tích
n có6thể
phâ5)
n tích thành
o
9
b
dạngπ: ∫a u 'x f (u x ) dx
e3 −1
3cos x

2
g )∫ e
.sin xdx
ds :
o ch 1: p dụng ngay công thức tích phân3
a/ Cá
hàm hợp (không cần
4
đổi ebiế
lnn )x
1
h) ∫
dx
ds :
1
b
b
x
5 b
u ' f (u ) dx = f (u ) du = F (u )
1

e) ∫ ( 2 x +1) dx
5

∫

a

x

ds :

x

∫

a

x

x

x

a

b/ Cách 2: Đổi biến ta thực hiện như sau :
Đặt

: u = u ( x) ⇒ du = u ' dx ⇒ dx =

Đổi cận :

du
u'

x = a ⇒ u (a ) = α
x = b ⇒ u (b ) = β

Thay vào tính tích phân theo biến u
2/ Trường hợp riêng :
Đặt x = u (t ) ⇒ dx = u '(t )dt
Đổi cận :
α với u (α) = a
β với u ( β) = b
Thay vào tính tích phân theo biến t .Cụ thẻ các dạng sau đây

(
g∫ R ( x,
g∫ R ( x,

a2
x2

π

π

)
2
2
π
π
− x ) Đặt : x = a sin t ; a > o; − ≤ t ≤
Tính tích phân bằng đổi biế2n số 2
a22
π 
−a )
x=

; a > o; t ∈[ o; π ] \  
cos t
2 

, 11:
a2 + x2
∫ Rn xđề
g
Vấ
2

2

x = atgt ; a > o; −



NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * ---------

1

a) ∫

0

b) ∫

2

h) ∫

4

1

x 2 +1.xdx

e

x

x

dx

π

i ) ∫ 4 e cos 2 x .sin 2 xdx
o

x 2 dx

π

sin 2 x
dx. ( TN ; 06 )
1+ x
o 4 − cos 2 x

e
2
1 + ln x
dx
c)
dx
l )∫ 2
1
1 x −9
x
π
3
dx
Bài tậ
n):
2 p : 3tính các tích phâ
m
d ) sin x cos xdx
∫ 3 x 2 +3
o
1
dx
π
x
n
)
e) π sin dx
∫o 4 − x 2
3
2

3
dx
π
cos
2
x
o
)
∫ 2 x 2 −1
f) 4
dx
o 1 + 2 sin 2 x
23
2
e ln x
2
3
3
2
p) ∫
dx. ( TN ; 07 )
g)
x − 8.x dx
1
x
o
0 3

∫

∫

∫

∫

∫

3

k )∫ 2


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * ---------

Vấn đề 12:

Tính tích phân từng phần
1/ Công thức :
b

∫

a

udv = uv

b
a

b

−∫ v.du
a

2/ Chú ý : gọi p(x) là đa thức của x
 Dạng :

∫

b

a

b

b

a

a

p ( x) sin α xdx; ∫ p ( x) cos α xdx; ∫ p( x)eα x dx ,

ta đặt .u = p(x) và dv = phần còn lại
b

∫ p( x) ln xdx , ta đặt u = lnx và dv = phần còn lại
α

α
Bà
i tậnp
 Dạ
g :: ∫ e sin β xdx, ∫ e cos β xdx , ta đặt u = hàm
Dạng :

a

b

a

x

b

x

a

lượng giác và dv = phần còn lại .

24


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * ---------

a ) ∫ xe 2 x dx

2

e) ∫

π

1

b) ∫ 2 x 2 cos xdx

π

o

π

(x
d )∫ ( x

c) ∫

2
o

1

o

2

− 2 x + 3 ) sin xdx

2

+1) e dx

( 2 x −1) ln xdx

f ) ∫ 2 e 2 x cos 3xdx
o

1

g ) ∫ ( 2 x +1) e x dx
o

2x

2

h) ∫

ln ( x 2 +1)
x

1

Vấn đề 13:

2

dx

Tính tích phân bằng cách phân tích biến đổi ra dạng đã
biết

Với hàm lượng giác ta thường dùng công thức :

sin x

cos x

;cot x =
 Hệ thức cơ bản : sin 2 x + cos 2 x = 1 ; tan x =
cos x
sin x
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
2
; cos 2 x =
 Công thức hạ bậc : sin x =
;
2
2
 Công thức đổi tích thành tổng :

1
sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 
2

1
cos a cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 
2
1
sin a sin b = − cos ( a + b ) − cos ( a − b ) 
2
sin a cos b =

 Đa thức bậc tử lớn hơn bậc mẩu thì chia đa thức .
2
3
 Khai triển hằng đẳng thức : ( A ± B ) , ( A ± B ) , hoặc nhân phân
phối : A ( B ± C )

m
1
−n n
m
m n
m .n
 Công thức luỹ thừa : n = A ; A = A n ; ( A ) = A
A

 Phân tích :
Bài tậ
dxp : Tính các tích
dx phân

∫ ax

Với

2

+ bx + c

=∫

a ( x − x1 ) ( x − x2 )

a ≠ o&∆ > o

25

=

1
1 
 1
−

÷dx
a ( x1 − x2 ) ∫  x − 1 x − 2 


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------π
3
o

a ) ∫ sin 2 x.tgxdx, ( TN : 96 − 97 )

b) ∫ ( e cos x + x ) sin dx, ( TN : 97 − 98 )
π

o

2

 x −1 
c) ∫ 
dx, ( TN : 98 )
−1 x + 2 ÷


2

π
2
o

d ) ∫ cos 2 4 xdx, ( TN : 99 )
π
2
o

e) ∫ sin −2 x cos 3 xdx, ( TN : 99 )
π
6
o

( sin 6 x.sin 2 x − 6 ) dx, ( TN : 01)

f )∫

π
2
o

g )∫

( x + sin x ) cos xdx, ( TN : 05)
2

2 x2 + 5x + 3
h) ∫
dx
3
x +1
π
cos3 xdx
2
i ) ∫π
.HD : cos3 x = cos 2 x.cos x = ( 1 − sin 2 x ) cos x
4 1 + sin x
4

π
4
o

2

1 + cos 4 x
 1 − cos 2 x 
2
k ) ∫ sin xdx.HD : sin x = 
;cos
2
x
=
÷
2
2


1
dx
e) ∫ 2
o x − 7 x + 10
4

4

Vấn đề 14:
26


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * ---------

Ứng dụng của tính phân
A)Tính diện tích hình phẳng :giới hạn bởi đồ thò của 2 hàm y = f(x),
y = g(x) và 2 đường thăng x = a , x = b
1/ Công thức :
b

s = ∫ f ( x ) − g ( x) dx =
a

∫ [ f ( x) − g ( x)]dx
b

a

2/ Chú ý :
_ Khi đồ thò y = g(x) là trục hoành ,thì công thức trở thành :
_ Khi áp dụng công thức , ta cần giải pt hoành độ :
f(x) - g(x) = o để tìm nghiệm trong khoản g (a;b),nếu có .Từ đó chia
đoạn [a;b] ra nhiều đoạn lấy tích phân . Chẳng hạn nghiệm C thuộc
(a;b)thì :
B) Tính thể tích vật thể tròn xoay :
_ Cho hình giới hạn bởi các đường :y = f(x),trục ox ,x = a ,x = b .
_ Khi hình phẳng quay quanh trục ox tạo nên vật thể tròn xoay .
Công thức tính thể tích là :

V = π ∫ [ f ( x)] dx
b

2

a

Bài tập :
1/ tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .

a) y = 3 x 2 − 4 x + 5, y = o, x = 1, x = 2

b) y = − x 2 + 4 x, truc; ox
c) y = − x 2 & y = − x − 2
1
1
d ) y = x 2 & y = 3x − x 2
4
2
e) y = sin x, y = cos x & x = o
f ) y = x 2 − 2 x + 3; y = 5 − x
27

g ) y = x3 − 3x va tiep tuyen tai x0 = −

1
2


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------2/ Tính thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi
các đừờng sau quay quanh trục OX

x

, y = o, x = 1, x = 4
4
b) y = x 3 + 1, y = o, x = o, x = 1
a) y =

c) y = −3 x 2 + 3 x + 6, y = o
d ) y = x 2 , y = 3x
e) y = 2 x, y = −x + 3, y = o
Vấn đề 15

§ SỐ PHỨC

I. Số i : i 2 = −1
II. Dạng đại số:
1. Đònh nghóa: Số phức có dạng z = a + bi ; a, b ∈ ¡ .
Tập số phức kí hiệu C
a: phần thực; b: phần ảo; i : đơn vò ảo
* Chú ý:
• Mỗi số thực được coi như là số phức có phần ảo bằng 0
• Số phức bi được gọi là số thuần ảo
2. Số phức bằng nhau: z = a + bi ; z' = a' + b'i

a = a '
z = z' ⇔ 
(phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau)
b = b '
y
b

M

3. Biểu diễn hình học:
a. Biểu diễn trên mặt phẳng Oxy:
Số z = a + bi hoàn toàn được xác đònh bởi cặp
O
x
a
(a,b)
Điểm M(a,b) trong mp Oxy gọi là điểm biểu diễn của số phức z = a
+ bi
b. Mặt phẳng phức: Là mp được biểu diễn các số phức. Trong
đó Ox: trục thực ; Oy: trục ảo.
uuuur
c. Mô đun của số phức: Là độ dài của vectơ OM

z = OM =

a 2 + b2

28


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * --------4. Số phức liên hợp: Hai số phức z = a + b và z = a - bi là 2 số
phức liên hợp với nhau.
y
O

M
z=a+bi

x
M'
z=a-bi

III. Các phép toán trên số phức:
1. Phép cộng, phép trừ: Muốn cộng, trừ 2 số phức, ta thực hiện
theo qui tắc cộng, trừ đa thức.
2. Phép nhân: Muốn nhân 2 số phức, ta thực hiện theo qui tắc
nhân đa thức, rồi thay i2 = -1
* Suy ra:
a. Tổng 2 số phức liên hợp bằng 2 lần phần thực.
b. Tích 2 số phức liên hợp bằng bình phương mô đun.
2. Chia 2 số phức: Muốn chia 2 số phức, ta nhân tử và mẫu với
số phức liên hợp của mẫu.

Z
Z .Z '
=
Z ' Z '.Z '
* Suy ra: Nghòch đảo của số phức :

1
Z
=
Z Z .Z

BÀI TẬP
1. Tìm x, y ∈ ¡ sao cho Z = Z'
a) = (-3x - 9) + 3i ; Z' = 12 + (5y - 7)i Đs: x = -7; y = 2

b) Z = (2x - 3) - (3y + 1)i ; Z' = (2y + 1) + (3x - 7)i
Đs: x = 2; y
= 0
2. Biểu diễn các số phức trên mp phức:
Z1 = 2 + 3i ; Z2 = 3 ; Z3 = -3 + i
3. Tìm Z và Z . Biết:
a) Z = -2 + i 3

Đs: Z = −2 − i 3 , Z = 7

b) Z = 2 − 2i

Đs: Z = 2 + 2i, Z = 6

c) Z = −11

Đs: Z = −11, Z = 11

d) Z = 7i

Đs: Z = −7i, Z = 7

4. Chứng minh Z ∈ ¡ ⇔ Z = Z
29


NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
--------- * ---------

5. Tìm số phức Z, biết

a) |Z| = 2 và Z là thuần ảo
b) |Z| = 5 và phần thực bằng 2 phần ảo.
6. Trên mp phức tìm tập hợp điểm biểu
điều kiện:
a) |Z| = 1
Đs:
b) |Z| ≤ 2
Đs:
c) 1 < |Z| ≤ 2
Đs:
7. Tính Z + Z' ; Z - Z' ; Z . Z'. Biết:
a) Z = 5 + 2i, Z' = 4 + 3i
Đs:
b) Z = 2 - 3i, Z = 6 + 4i
Đs:
c) Z = -4 - 7i; Z' = 2 - 5i
Đs:
8. Tính:
a) (1 - i)2
Đs:
2
b) (2 + 3i)
Đs:
2
c) (1 + i)
Đs:
9. Viết dưới dạng đại số:
a) Z = 2i10 + i3
Đs: -2 - i
2007

2008
b) Z = i
+ i
Đs: 1 - i
10. Tình Z + Z và Z. Z
a) Z = 2 + 3i
Đs:
b) Z = -5 + 3i
Đs: -10 và 34
11. Tìm nghòch đảo của Z. Biết:

Đs: Z = ± 2i
Đs: Z = ±2 5 ± i 5
diễn các số phức Z thỏa
đường tròn C(0,1)
mặt tròn C(0,2)
hình vành khăn
9 + 5i; 1 - i; 14 + 23i
8 + i; -4 - 7i; 24 - 10i
-2 - 12i; -6 - 2i; -43 + 6i
- 2i
- 5 + 12i
-2 + 2i

4 và 13

Đs:

3
4

− i
25 25

a) Z = 1 + 2i , Z' = 2 + 3i

Đs:

8 1
+ i
13 13

b) Z = 4 + 2i, Z' = 1 + i

Đs: 3 - i

a) Z = 3 + 4i
Đs: −

b) Z = -3 - 2i
12. Tính

Z
. Biết:
Z'

13. Cho Z =

3 2
+ i
13 13

1+ i
. Tính Z100
1− i

Đs: 1

14. Viết dưới dạng a + bi:
a) Z = (1 + i)2 - (1 - i)2

(

b) Z = 1 + i 3

)

Đs: Z = 4i

3

Đs: Z = -8

c) Z = ( 1 + i)10

Đs: Z = 32i

30


NHệNG VAN ẹE THI TOT NGHIEP

--------- * --------d) Z =

1
1
+
1+ i 1 i

ẹs: Z = 1

15. Giaỷi phửụng trỡnh:
a) Z2 + 4Z + 5 + 0 ẹs: Z1,2 = -2 i
b) (1 + 3i)Z - (2 + 5i) = (2 + i)Z
c) Z3 - 8 = 0

Z = 1

d) Z4 + 2Z2 -3 = 0 ẹs:

Z = i 3

31

8 9
5 5
Z = 2
ẹs:
Z = 1 i 3
ẹ: Z= i