Đề thi thử môn toán 12 - THPT chuyên mặt trăng có lời giải chi tiết đề 2

Trường THPT Chuyên Mặt Trăng

Đề thi thử THPTQG năm học 2016 – 2017
Đề số 2

Câu 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A. y = log

2

x

B. y = log 1 x
2

C. y = log 3 x

D. y = log 0,7 x

π

1

Câu 2: Cho hàm số y = ( x 2 + x − 4 ) 4 . Khi đó:
A. y ' =
. C. y ' =

3
1
−
2x

+
1
(
) 4
4

B. y ' = ( x 2 + x − 4 ) 4 ln ( x 2 + x − 4 )

3
−
1 2
4
x
+
x
−
4
(
)
4

D. y ' =

1

3
−
1 2
4 2x + 1
x

+
x
−
4
(
)
(
)
4

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy
SC = a 6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một
hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:
A.

4π a 3
3

B.

a 3π 2
6

C.

π a3 3
3

D.

π a3 3
6

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA = a , ABCD là hình thang vuông tại A và B
trong đó AB = BC = a và AD = 2a . Gọi E là trung điểm đoạn AD, tính theo a bán kính của
khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE.
A.

a 11
2

B. a

C. 3a

D.

a 5
3

4
2
2
Câu 5: Cho hàm số y = mx − ( m − 1) x + 1 . Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. Với m = 0 thì hàm số có một điểm cực trị.
B. Hàm số luôn có 3 điểm cực trị với với mọi m ≤ 0
C. Với m ∈ ( −1; +∞ ) ∪ ( 1; +∞ ) hàm số có 3 điểm cực trị.
D. Có nhiều hơn 3 giá trị của tham số m để hàm số có 1 điểm cực trị.
Câu 6: Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?

B. y = log 2 ( x + 1)

A. y = log 2 x + 1

D. y = log 3 ( x + 1)

C. y = log 3 x

2
Câu 7: Cho phương trình log 2 x + 5log 2 3.log 3 x − 6 = 0 . Tập nghiệm của phương trình là:

1 
A.  ;1
 64 

1 
C.  ; 2 
 64 

B. ∅

D. { 1; 2}

Câu 8: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi O là
giao điểm AC và BD. Khi tam giác SOC quay quanh cạnh SO thì đường gấp khúc SOC tạo
thành một hình nón tròn xoay. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó là:
B. π a 2

A. π a 2 2

C. 2π a 2

D.

π a2
2

Câu 9: Cho hàm số có bảng biến thiên dưới đây. Phát biểu nào sau đây là đúng ?
x
y'
y

−∞
+

0
0
5

−

+∞

1
0

+∞
+

−∞

-2

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 và đạt cực đại tại x = 5
B. Giá trị cực đại của hàm số là -3
C. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = −3 và đạt cực tiểu tại x = 0
Câu 10: Cho log 2 = a . Tính log
A. 3 − 5a

125
theo a:
4

B. 2 ( a + 5 )

C. 4 ( 1 + a )

D. 6 + 7a

C. 5log a b

D. −5log b a

5

1
Câu 11: Giá trị của biểu thức C = log a  ÷ là:

b
A. 5log b a

B. −5log a b

Câu 12: Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

3x − 2
có tọa độ là?
x −1


A. ( 1;3)

B. ( 1; 2 )

C. ( 3;1)

D. ( 3; 2 )

Câu 13: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
−∞

x
y'
y

+

+∞

0
0
3

−

-3
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng ?

-2

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = −3 và y = −2
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là x = −3 và x = −2
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng.
 π
Câu 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 3 x − 3sin x trên đoạn 0; 
 3
A. -2

C. −

B. 0

Câu 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

9 3
8

D. −

5 2
4

x2 + y 2
xy
+ 2
với x, y ≠ 0 và x,y cùng
xy
x + y2

dấu
A. 2
C.

B. 0

5
2

D. Không có giá trị nhỏ nhất

Câu 16: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình
vuông và thể tích khối hộp được tạo thành là 10 m 3 . Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết
kế để diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất là ?
A.

3

20 m

B.

Câu 17: Cho biểu thức A =
A. 0

C. 2m

2( x + y)
x2 + y 2

B.

2

D. 3 15 m

với xy ≠ 0 . Giá trị nhỏ nhất của A bằng:
C.

1
2

D. −2 2

Câu 18: Trong các tam giác vuông có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam
giác vuông đó bằng 6. ộ dài cạnh huyền của tam giác vuông có diện tích lớn nhất là:
A. 2

B. 4

C. 6

D. 2 3


Câu 19: Cho hàm số y =

2x +1
có đồ thị (C). Tìm các giá trị của m để đường thẳng
x +1

d : y = x + m − 1 cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 3
A. m = 2 ± 3

B. m = 4 ± 10

C. m = 2 ± 10

D. m = 4 ± 3

Câu 20: Cho log 3 = a và log 5 = b . Biểu diễn log 30 8 theo a, b ta được kết quả là
A.

3( 1− b)
1+ a

B.

3( 1+ b)
1+ a

C.

3 ( b − 1)
1+ a

D.

3( 1− a )
1+ b

Câu 21: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3 .
Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD.
Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (A'BD) theo a là:
A.

a 3
3

B.

a 3
4

C.

a 3
2

D.

a 3
6

2
Câu 22: Tập hợp các giá trị của x để biểu thức P = log x +1 ( 3 x − x ) có nghĩa là:

A. ( 0;3)

B. ( 0;3) / { 1}

C. ( −∞;0 )

D. [ 0;3] \ { 1}

Câu 23: Cho log 2 5 = a;log 3 5 = b . Tính log 6 1080 theo a và b ta được:
A.

ab + 1
a+b

B.

2a + 2b + ab
a+b

C.

3a + 3b + ab
a+b

D.

2a − 2b + ab
a+b

VUI LÒNG ĐẶT MUA ĐỂ XEM ĐỦ NỘI DUNG
Câu 33: Cho y = ln
A. y '− 2 y = 1

1
. Hệ thức liên hệ giữa y và y' không phụ thuộc vào x là:
1+ x
B. y'+ e y = 0

C. yy '− 2 = 0

D. y '− 4 e y = 0

4π a 3
Câu 34: Một hình nón có thể tích bằng
và bán kính của đường tròn đáy bằng 2a. Khi
3
đó, đường cao của hình nón là:
A. a

B. 2a

C.

a
2

D. 3a

Câu 35: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, SA vuông góc
với đáy, AC = 2a 2 , góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 600 . Thể tích khối chóp S.ABC là
A.

4a 3 6
3

B.

a3
3

C.

4a 3
3

Câu 36: Phương trình log 2 x + 3log x 2 = 4 có tập nghiệm là:

D.

8a 3 6
3

A. { 4;16}

B. { 2;8}

C. ∅

D. { 4;3}

C. 4

D. 0

4
Câu 37: Giá trị của log 2 ( log a a ) , ( 0 < a ≠ 1) là:

A. 1

B. 2

Câu 38: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khi đó thể tích khối chóp
BCC’D’ bằng
A.

a3
3

B.

a3
6

C.

2a 3
3

D.

a3
2

Câu 39: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC, lấy điểm P thuộc
AD sao cho AP = 2 PD . Khi đó tỉ số thể tích
A.

1
12

B.

1
3

VAMNP
bằng
VABCD
C.

1
6

D.

3
8

Câu 40: Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?

A. y = ln x

B. y = ln x

C. y = ln ( x + 1)

D. y = ln x + 1

4
2
3
Câu 41: Cho hàm số y = mx + ( m − 9 ) x + 10 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

 m < −1
A. 
0 < m < 2

 m < −3
B. 
0 < m < 3

m < 3
C. 
 −1 < m < 0

m < 0
D. 
1 < m < 3

Câu 42: Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8 cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6 cm. Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4 cm. Diện tích của thiết diện
được tạo thành là:
A. 16 5 cm2

B. 32 3 cm 2

C. 32 5 cm 2

D. 16 3 cm 2

Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ABCD là điểm


I thuộc AD sao cho AI = 2 ID, SB =

a 7
, ABCD là hình vuông có cạnh bằng a. Khi đó thể
2

tích của khối chóp S.ABCD bằng:

A.

a3 2
6

B.

a 3 11
12

Câu 44: Tìm giá trị m để hàm số y = −
m < 0
A. 
m > 1

m ≤ 0
B. 
m ≥ 1

C.

a 3 11
18

D.

a3 2
18

x3

− mx 2 − mx + 1 nghịch biến trên R.
3
C. 0 < m < 1

D. 0 ≤ m ≤ 1

Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC vuông cân ở B, AC = a 2, SA = a và
SA ⊥ ( ABC ) . Gọi G là trọng tâm của ∆SBC , một mặt phẳng ( α ) đi qua AG và song song
vsơi BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Thể tích khối chóp S.AMN bằng
A.

4a 3
27

B.

4a 3
9

C.

4a 3
27

D.

2a 3
27

Câu 46: Một hình trụ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Thể tích của khối trụ đó là:

A.

1 3
aπ
2

B.

1 3
aπ
4

C.

1 3
aπ
3

D. a 3π

Câu 47: Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗ vào trường ại học Bách
Khoa Hà Nội. Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến. Hoàn cảnh không được tốt nên gia
đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó khăn hơn.
Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50 m, lấy tiền lo cho
việc học của Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình
vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà gia
đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m 2 đất khi bán là 1500000 VN đồng.
A. 112687500 VN đồng.

B. 114187500 VN đồng.

C. 115687500 VN đồng.

D. 117187500 VN đồng.

Câu 48: Người ta muốn xây một bồn chứa nước
dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm. Biết
chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần
lượt là 5 m, 1m, 2m (hình vẽ bên). Biết mỗi viên
gạch có chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều
cao 5 cm. Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu


viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi
măng và cát không đáng kể )
A. 1182 viên; 8800 lít

B. 1180 viên; 8820 lít

C. 1180 viên; 8800 lít

D. 1182 viên; 8820 lít

Câu 49: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà
có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây.
Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

A. x =

3 34 − 17 2

( cm )
2

B. x =

3 34 − 19 2
( cm )
2

C. x =

5 34 − 15 2
( cm )
2

D. x =

5 34 − 13 2
( cm )
2

Câu 50: Hai thành phố A và B cách nhau
một con sông. Người ta xây dựng một cây
cầu EF bắt qua sông biết rằng thành phố A
cách con sông một khoảng là 5 km và
thành phố B cách con sông một khoảng là
7 km

(hình vẽ), biết tổng độ dài

HE + HF = 24 ( km ) . Hỏi cây cầu cách thành phố A một khoảng là bao nhiêu để đường đi từ
thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất ( i theo đường AEFB)

A. 5 3km

B. 10 2km

D. 7,5km

C. 5 5km
Lời giải chi tiết

1-A
2-D
3-A
4-A

6-D
7-C
8-A
9-D

11-B
12-A
13-A
14-C

16-B
17-B
18-B

19-B

21-C
22-A
23-C
24-C

26-C
27-C
28-A
29-D

31-B
32-B
33-B
34-A

36-B
37-B
38-B
39-C

41-B
42-C
43-C
44-D

46-A
47-B
48-B

49-C


5-B

10-A

Câu 1. Xét cơ số

15-C

20-A
25-B
30-B
35-A
40-A
45-D
50-C
1
3
2 > 1; < 1; < 1;0, 7 < 1 ⇒ chỉ có y = log 2 x đồng biến ( 0; +∞ ) . Chọn A
2
π
1

Câu 2. y = ( x 2 + x − 4 ) 4 ⇒ y ' =

3
−
1 2

x + x − 4 ) 4 . ( 2 x + 1) . Chọn D
(
4

Câu 3. Ta có ngay AC = a 2 ⇒ SA = SC 2 − AC 2 = 6a 2 − 2a 2 = 2a

Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có thể tích là:
1
1
1
4π a 3
2
2
2
. Chọn A
V = π R h = π AC .SA = π .2a .2a =
3
3
3
3
CE ⊥ AD
⇒ CE ⊥ ( SDE )
Câu 4. Ta có ngay tứ giác ABCE là hình vuông ⇒ 
CE ⊥ SA

Dựng hình như trên với PO là trục đường tròn ngoại tiếp ∆SED ⇒ R = PE = OP 2 + OE 2 .
1
a
Cạnh OP = KE = CE =
2

2
Cạnh DE = a, SE = SA2 + AE 2 = a 2 + a 2 = a 2, SD = SA2 + AD 2 = a 2 + 4a 2 = 4 5
SE 2 + DE 2 − SD 2 2a 2 + a 2 − 5a 2
1
·
·
⇒ cos SED
=
=
=−
⇒ SED
= 1350
2 SE.DE
2a 2.a
2
Ta có 2OE =

SD
a 5
a 10
a 2 10a 2 a 11
. Chọn A
⇒ OE =
=
⇒
R
=
+
=
·

2sin1350
2
4
4
2
sin SED


x = 0
3
2
2
2
Câu 5. y ' = 4mx − 2 ( m − 1) x = 2 x ( 2mx − m + 1) ; y ' = 0 ⇔ 
2
2
 2mx − m + 1 = 0 ( 1)
Với m = 0 , ta có y ' = 0 ⇔ x = 0 ⇒ hàm số đạt cực trị tại x = 0 ⇒ A đúng
Từ đó ta có thể thấy ngay đáp án B sai, vì khi xét m = 0 thì hàm số chỉ có một điểm cực trị. Hàm
số có 3 điểm cực trị ⇔ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
m ≠ 0
m ≠ 0


m > 1
⇔ ∆ = −8m ( −m 2 + 1) > 0 ⇔ m ( m 2 − 1) > 0 ⇔ 
 −1 < m < 0


2

2
2m.0 − m + 1 ≠ 0
 m ≠ ±1
Với m = 0; m = ±1 ta có y ' = 0 ⇔ x = 0 ⇒ hàm số đạt cực trị tại x = 0
Mặt khác, m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) thì y' cũng chỉ đổi dấu 1 lần, tức là có 1 cực trị. Vậy D cũng
đúng. Chọn B.
Câu 6. Dựa vào đồ thị hàm số đi qua 2 điểm O ( 0;0 ) và B ( 2;1) nên chỉ có đáp án thỏa mãn yêu
cầu. Chọn D.
Câu 7. Điều kiện x > 0 ( *)
 x = 21 = 2
log 2 x = 1
⇔
Khi đó PT ⇔ ( log 2 x ) + 5log 2 x − 6 = 0 ⇔ 
 x = 2−6 = 1 thỏa mãn (*). Chọn C
log
x
=
−
6
 2

64
2

Câu 8. Diện tích cần tìm là S xq = π Rl = π OA.SA

Cạnh OA =

AC a 2
a 2

và SA = 2a ⇒ S xq = π .
=
.2a = π a 2 2 . Chọn A
2
2
2

VUI LÒNG ĐẶT MUA ĐỂ XEM ĐỦ NỘI DUNG
Chọn A.
Câu 21. Gọi H là hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABCD).
Ta có: B ' D '/ / BD ⊂ ( A ' BD )
⇒ d ( B ', ( A ' BD ) ) = d ( D ', ( A ' BD ) )


Mặt khác, xét hình chữ nhật A'D'DA thì D'A cắt A'D tại trung điểm A'D
⇒ d ( D ', ( A ' BD ) ) = d ( A, ( A ' BD ) )
Gọi G là hình chiếu của A lên BD thì
A ' H ⊥ AK ⊥ BD ⇒ AK ⊥ ( A ' BD )
⇒ d ( A, ( A ' BD ) ) = AK
Tính

1
1
1
a 3
. Chọn C.
=
+
⇒ AK =
2

2
2
AK
AD
AB
2

 0 < x + 1 ≠ 1  −1 < x ≠ 0
⇔
⇔ 0 < x < 3 . Chọn A.
Câu 22. 
2
0 < x < 3
3 x − x > 0
Câu 23. Ta có log 2 3 =

⇒ log 6 100 =

log 5 3 log 2 5 a
=
=
log 5 2 log 3 5 b

log 2 ( 23 × 33 × 5 )
log 2 6

3 + 3log 2 3 + log 2 5
=
=
1 + log 2 5

3a
+a
3b + 3a + ab
b
=
. Chọn C
a
a
+
b
1+
b

3+

( SBA ) ⊥ ( ABC ) ⊥ ( SBC )
⇒ SB ⊥ ( ABC )
Câu 24. 
SBA
∩
SBC
=
SB
(
)
(
)

BC = AB = AC = a do tam giác ABC đều

SB = SC 2 − BC 2 = a 6 . Chọn C
Câu 25. A là hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC)

(

)

· ' C , ( ABC ) = 450 = A
· ' CA
⇒ A
Lại có AC = a 3 vì tam giác ABC cân tại A.
· ' CA = 450 nên vuông cân tại A
Tam giác AA'C vuông tại A có góc A
⇒ AA ' = a 3 . Chọn B
x = e
ln x = 2
⇔
Câu 26. Ta có PT ⇔ ( ln x − 2 ) ( ln x − 1) = 0 ⇔ 
2 . Chọn C
ln x = 1
x = e
Câu 27. Ta có y ' =

(x

4

+ 1) '

x4 + 1

=

4 x3
⇒ y ' ( 1) = 2 . Chọn C
x4 + 1

Câu 28. Dễ thấy SA2 + SB 2 = AB 2 = 4a 2 do đó tam giác SAB vuông
tại S. Dựng SH ⊥ AB , mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABCD )


Do đó SH ⊥ ( ABCD )
Lại có SH =

SA.SB a 3
=
AB
2

1
a3 3
Do vậy VS . ABCD = .SH .S ABCD =
. Chọn A
3
3
1

1

5

1 1 5
+ +
3 6

Câu 29. Ta có

x . 3 x . 6 x 5 = x 2 .x 3 .x 6 = x 2

Câu 30. Ta có a

4log

a2

5

(

= a 2loga 5 = a loga 5

)

2

5

= x 3 . Chọn D

= 52 = 25 . Chọn B

x = 0 ⇒ y = 2
1
3
Câu 31. Ta có y ' = 2 x − 6 x = 0 ⇔  2
. Do hàm số a = > 0 nên điểm cực đại là
2
x = ± 3

( 0; 2 )

5

và 2 điểm cực tiểu là  ±3; − ÷. Chọn B
2


=
Câu 32. Ta có xlim
→+∞

1
x =2
= lim
do vậy hàm số có TCN là y = 2
2
x →+∞
4
x −4
1− 2

x
2−

2x −1

1
2x −1
x = −2
=
= lim
Lại có xlim
do vậy hàm số có TCN là y = −2 . Chọn B.
2
→−∞
x →−∞
4
x −4
1− 2
x
2−

Câu 33. Ta có y = ln ( 1 + x )

−1

= − ln ( 1 + x ) ⇒ y ' =

−1
= −e y do đó y '+ e y = 0 . Chọn B
x +1

1
1
1
4π a 3
2
Câu 34. Ta có Vn = .S .h = π r 2 h = π . ( 2a ) .h =
⇒ h = a . Chọn A
3
3
3
3
Câu 35. Ta có AB = BC =

(

AC
= 2a
2

)

0
·
·
= 600
Do SC ; ( ABC ) = 60 ⇒ SCA

⇒ SA = AC tan 600 = 2a 2.tan 600 = 2a 6
1

4a 3 6
Khi đó V = SA.S ABC =
. Chọn A.
3
3
Câu 36. Ta có: log 2 x + 3log x 2 = 4 ⇔ log 2 x +

3
3
t = log 2 x
= 4 ( 1 ≠ x > 0 ) →
t+ =4
log 2 x
t


t = 1 log 2 x = 1
x = 2
⇔ t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔ 
⇒
⇔
. Chọn B
t = 3 log 2 x = 3
x = 8
4
Câu 37. Ta có log 2 ( log a a ) = log 2 4 = 2 . Chọn B

Câu 38. Ta có: VD ' C ' BC = VDC ' BC (Do VD 'C ' BC = VDC ' BC )
1
1

Lại có VC ' BCD = VC 'ABC = VABCD.A'B'C'D'
2
6
1
a3
Do vậy VBCC ' D ' = VABCD. A ' B 'C ' D ' = . Chọn B
6
6

Câu 39. Theo công thứ tỷ số thể tích ta có:
VAMNP AM AN AP 1 1 2 1
=
.
.
= . . = . Chọn C
VABCD
AB AC AD 2 2 3 6

Câu 40. Dựa vào đồ thị ta có y ≥ 0 với mọi x > 0 do đó ta loại phương án B và D.
Rõ ràng tập xác định của hàm số là x > 0 nên đáp án đúng A. Chọn A
Chú ý thêm đồ thị hàm số đi qua 2 điểm M ( 1;0 ) và N ( e;1) nên chỉ có A là đáp án đúng.
Chọn A
4
2
2
3
2
Câu 41. Xét hàm số y = mx + ( m − 9 ) x + 10, ∀ x ∈ ¡ . Ta có y' = 4 mx + 2 ( m − 9 ) x

x = 0

3
2
Phương trình y ' = 0 ⇔ 4mx + 2 ( m − 9 ) x = 0 ⇔ 
2
2
 2mx = 9 − m ( *)
Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
m ≠ 0
0 < m < 3

⇔
Hay  9 − m 2
là giá trị cần tìm. Chọn B
m
<
−
3
>
0


 m
0 < m < 3
2
Giải nhanh: Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có 3 cực trị khi ab < 0 ⇒ m ( m − 9 ) < 0 ⇒ 
 m < −3


Câu 42. Giả sử thiết diện là hình chữ nhật MNPQ như hình vẽ.
Với O ' H = 4 là khoảng cách từ trục đến thiết diện và

OO ' = h = 8; O 'P = O'Q = rd = 6
Ta có PQ = 2 PH = 2 O ' P 2 − O ' H 2 = 2 6 2 − 4 2 = 4 5
2
Khi đó Std = PQ.MQ = 4 5.8 = 32 5 ( cm ) . Chọn C

1
Câu 43: Ta có SI ⊥ ( ABCD ) ⇒ VS . ABCD = .SI .S ABCD
3
AI = 2 ID ⇒ AI =

2
2a
a 13
AD =
⇒ BI = AI 2 + AB 2 =
3
3
3

Xét tam giác vuông SB, SI 2 + IB 2 = SB 2
2

2

 a 7   a 13 
a 11
⇔ SI = SB − IB = 
−
=
÷


÷
÷ 
÷
6
 2   3 
2

2

1
1 a 11 2 a 3 11
Do đó VS . ABCD = .SI .S ABCD = .
. Chọn C.
.a =
3
3 6
18
Câu 44. Xét hàm số y = −

x3
− mx 2 − mx + 1; ∀x ∈ ¡ . Ta có
3

y ' = − x 2 − 2mx − m . Để hàm số đã cho nghịch biến trên R khi và chỉ khi
a < 0
y ' ≤ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔ 
∆ y ' ≤ 0
 a = −1 < 0
⇔ 2

⇔ m2 − m ≤ 0 ⇔ m ∈ [ 0;1] là giá trị cần tìm. Chọn D.
m − m ≤ 0
Câu 45. Tam giác ABC vuông tại B ⇒ AC = AB 2 ⇔ AB = BC = a
Gọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác SBC
Nên

SG 2
SM SN SG 2
= mà MN song song với BC suy ra
=
=
=
SI 3
SC SB SI 3

Do đó

VS . AMN SM SN 4
4
=
.
= ⇒ VS . AMN = VS . ACB
VS . ACB
SC SB 9
9

1
1 1
a3
Mặt khác VS . ABC = .SA.S∆ABC = .a. .a 2 =

3
3 2
6
4
4 a 3 2a 3
Suy ra VS . AMN = VS . ACB = . =
. Chọn D
9
9 6
27


Câu 46. Gọi H là tâm của hình vuông ABCD suy ra OA = r là bán kính đường tròn đáy của hình
2

1 3
 a 
trụ. Khi đó, thể tích hình trụ bằng V = π r h = π . 
÷ .a = 2 a π . Chọn A.
 2
2

Câu 47. Diện tích đất bán ra càng lớn thì số tiền bán được càng cao

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là x, y ( m ) , ( x, y > 0 )
Chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu bằng 50m ⇒ 2 ( x + y ) = 50 ⇔ y = 25 − x
Bài ra, ta có ngay mảnh đất được bán là một hình chữ nhật có diện tích là
2

25  625 625


S = x ( y − x ) = x ( 25 − x − x ) = 25x − 2x = −  x 2 −
÷ + 8 ≤ 8 = 78,125
2 2

2

Dấu "=" xả ra ⇔ x 2 −

25
25
25 175
=0⇔ x=
⇒ y = 25 −
=
8
8
8
2 2

Như vậy, diện tích đất nước được bán ra lớn nhất 78,125 m2.
Khi đó số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất là 78,125.1500000 = 117187500
Chọn D.
Câu 48. Gọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật, có V = 5.1.2 = 10m3
3
3
Ta có VH = 0,1.4,9.2 = 0,98 m và VH ' = 0,1.1.2 = 0, 2m
3
Do đó VH + VH ' = 0,98 + 0, 2 = 1,18m . Mà thể tích của một viên gạch là

VG = 0, 2.0,1.0, 05 = 0, 001m 3 .
Nên số viên gạch cần sử dụng là:

VH + VH ' 1,18
=
= 1180 viên gạch.
VG
0, 001

3
3
Thể tích thực của bồn là VB = 10 − 1,18 = 8,82m ⇒ VB = 8820dm = 8820l . Chọn B

Câu 49.


Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S = S MNPQ + 4 xy
Cạnh hình vuông MN =

(

⇒ S = 20 2

)

2

MP 40
=
= 20 2 ( cm )

2
2

+ 4 xy = 800 + 4 xy

(1)

Ta có 2 x = AB − MN = AB − 20 2 < BD − 20 2 = 40 − 20 2 ⇒ 0 < x < 20 − 10 2

(

Lại có AB 2 + AD 2 = BD 2 = 402 ⇒ 2 x + 20 2

)

2

+ y 2 = 1600

⇒ y 2 = 800 − 80 x 2 − 4 x 2 ⇒ y = 800 − 80 x 2 − 4 x 2
Thế vào ( 1) ⇒ S = 800 + 4 x 800 − 80 x 2 − 4 x 2 = 800 + 4 800 x 2 − 80 x 3 2 − 4 x 4

(

)

2
3
4
Xét hàm số f ( x ) = 800 x − 80 x 2 − 4 x , với x ∈ 0; 20 − 10 2 có

(

f ' ( x ) = 1600 x − 240 x 2 2 − 16 x 3 = 16 x 100 − 15 x 2 − x 2

(

)

(
(

)

)


 x ∈ 0; 20 − 10 2
5 34 − 15 2
 x ∈ 0; 20 − 10 2
⇔
⇔x=
Ta có 
2
2
 f ' ( x ) = 0
16x 100 − 15x 2 − x = 0

Khi đó x =

)

5 34 − 15 2
chính là giá trị thỏa mãn bài toán. Chọn C.
2

Câu 50. Đặt HE = x và KF = y , theo giả thiết ta có HE + KF = x + y = 24
 AE = AH 2 + HE 2 = x 2 + 25
Xét các tam giác vuông AHE và BKF, ta được 
2
2
2
 BF = BK + KF = y + 49
Vì độ dài cầu EF là không đổi nên để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất theo
con đường AEFB thì AE + EF + FB ngắn nhất. Hay AE + BF ngắn nhất.
Ta có P = AE + BF = x 2 + 25 + y 2 + 49 với x + y = 24, x > 0, y > 0
Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức

a 2 + b2 + c2 + d 2 ≥

( a + c)

2

+(b+d)

2

với mọi a, b, c, d ∈ ¡

Vì

a 2 + b2 + c2 + d 2 ≥

( a + c)

2

+ ( b + d ) ⇔ ( ad − bc ) ≥ 0, ∀a, b, c, d ∈ ¡
2

2

Sử dụng bất đẳng thức trên, ta được P = x 2 + 52 + y 2 + 7 2 ≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

( x + y)

2

+ ( 5 + 7 ) = 12 5
2

x y
= suy ra x = 10, y = 14 nên AE = 5 5km
5 7

Cách 2: Với x + y = 24 ⇔ y = 24 − x ⇒ P = f ( x ) = x 2 + 25 + x 2 − 48 x + 625 , với 0 < x < 24
Có f ' ( x ) =

x
x + 25
2

+

x − 24
x − 48 x + 625
2

, ∀ x ∈ ( 0; 24 ) ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 10

Do đó min f ( x ) = 12 5 ⇔ x = 10 ⇒ AE = 5 5 km . Chọn C