Một số dạng toán liên quan đến dãy số trong số học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐỨC TOÀN THỊNH

MỘT SỐ DẠNG TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ
TRONG SỐ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐỨC TOÀN THỊNH

MỘT SỐ DẠNG TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ
TRONG SỐ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


1

Mục lục
Mở đầu
1 Hệ thống hóa các kiến thức liên quan
1.1 Một số tính chất cơ bản của dãy số . . . . .
1.1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số . . .
1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . .
1.1.3 Dãy tuần hoàn . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . .
1.3 Một số tính chất cơ bản của số học . . . . .
1.3.1 Số nguyên và phép chia hết . . . . . .
1.3.2 Ước số chung lớn nhất và bội số chung
1.3.3 Số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Một số định lí cơ bản của số học . . .

3

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

nhỏ nhất
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
4
6
7
13
13
13
14
14
14

2 Khảo sát các tính chất số học của dãy số nguyên
16
2.1 Phương pháp xét tính chia hết trong dãy số. . . . . . . . . . 16
2.1.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Phương pháp đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Phương pháp sử dụng tính tuần hoàn của dãy số dư . 25

2.2 Một số bài toán về phân tích dãy số thành nhân tử và tính
nguyên của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Một số bài toán về tính chính phương trong dãy số . . . . . . 35
3 Một số bài toán về dãy số nguyên trong các kì thi Olympic 51
3.1 Một số đề thi về tính chính phương trong dãy số. . . . . . . . 51
3.2 Một số đề thi về tính chia hết trong dãy số . . . . . . . . . . 64
Kết luận

76

Tài liệu tham khảo

77


2

Mở đầu
Chuyên đề dãy số và các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan
trọng của đại số và giải tích toán học. Dãy số có một vị trí đặc biệt quan
trọng trong toán học, không chỉ như là một đối tượng để nghiên cứu mà còn
đóng một vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc, của giải
tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn. . .
Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng. Để giải được các bài toán về
dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số
và giải tích. Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có
nhiều tài liệu viết về vấn đề này. Tuy nhiên, các tài liệu chủ yếu quan tâm
đến các tính chất giải tích của dãy số như giới hạn dãy số, số hạng tổng quát,
sự đơn điệu của dãy số, tính bị chặn . . . Trong khi đó các vấn đề liên quan
đến tính chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính

phương. . . thì chưa được quan tâm nhiều.
Các bài toán về dãy số nguyên là những bài toán hay và khó. Dãy số
nguyên thường xuất hiện trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh – thành
phố, cấp quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế và gây không ít khó khăn cho
các thí sinh. Sự kết hợp giữa dãy số và tính chất số học có lẽ là lí do mà gây
ra khó khăn đó. Trong bài viết này, tôi muốn trình bày một số vấn đề cơ bản
và các phương pháp thường sử dụng về dãy số nguyên.
Luận văn với đề tài: "Một số dạng toán liên quan đến dãy số trong số
học" có mục đích trình bày một cách hệ thống, chi tiết tính chất số học của
dãy số. Đồng thời cũng cho phân loại một số dạng toán thường gặp về dãy
số trong số học.
Luận văn được trình bày gồm phần mở đầu và ba chương.
Chương 1. Hệ thống hóa các kiến thức liên quan.
Nội dung chương này nhằm hệ thống lại kiến thức cơ bản nhất về dãy
số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán
trong các chương sau.
Chương 2. Khảo sát các tính chất số học của dãy số nguyên.
Chương này nhằm giới thiệu một số vấn đề về tính chất số học của dãy


3

số như tính chia hết, tính chất số nguyên, tính chính phương. Đồng thời nêu
ra các phương pháp giải toán và phân tích các bài toán cụ thể.
Chương 3. Một số bài toán về dãy số nguyên trong các kì thi Olimpic.
Mặc dù bản thân đã có những cố gắng vượt bậc, nhưng sẽ không tránh
khỏi những khiếm khuyết, rất mong sự góp ý của quý thầy cô và những bạn
đọc quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn.
Trong thời gian thực hiện luận văn này, tôi đã nhận được sự chỉ dẫn tận
tình, chu đáo của Giáo sư - Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Văn Mậu. Tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn.
Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp Trường
THPT Trung Giã, các thầy cô trường Đại học Khoa học đã nhiệt tình giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Tác giả


4

Chương 1

Hệ thống hóa các kiến thức liên quan
Hệ thống hóa kiến thức cơ bản về dãy số, số học, phương pháp sai phân
sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau. Nội dung
chương chủ yếu được lấy từ các tài liệu [2], [3], [4].

1.1
1.1.1

Một số tính chất cơ bản của dãy số
Các khái niệm cơ bản về dãy số

Định nghĩa 1.1 ([2]-[4]). Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên
dương N∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

u : N∗ → R
n → u(n)
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: u1 , u2 , u3 , . . . , un , . . .
trong đó un = u(n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số
hạng tổng quát của dãy số.

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, . . . , m} với m ∈ N∗ được
gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , . . . , um , trong đó u1 là số hạng đầu,
um là số hạng cuối.
Để xác định một dãy số người ta có thể tiến hành theo các cách sau đây.
a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.
b) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.
c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả.
1.1.2

Một vài dãy số đặc biệt

a) Cấp số cộng


5

Định nghĩa 1.2. Dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện

u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un+1 − un = . . .
được gọi là một cấp số cộng.
Khi dãy số (un ) lập thành một cấp số cộng thì hiệu d = u1 − u0 được
gọi là công sai của cấp số cộng đã cho.
• Một số tính chất của cấp số cộng.
i) un = u1 + (n − 1)d, với mọi n = 1, 2, 3, . . .
uk−1 + uk+1
ii) uk =
, với mọi k = 2, 3, . . . .
2
iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u1 , u2 , . . . , un−1 , un . Khi đó ta có

u1 + un = u2 + un−1 = u3 + un−2 = . . .
Một cách tổng quát u1 + un = uk + un−k với mọi k = 2, 3, . . . , n − 1.
• Tổng của một cấp số cộng.
+) Cho cấp cố cộng u1 , u2 , . . . với công sai d.
Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un là tổng n số đầu của cấp số cộng.
Khi đó ta có
(u1 + un )n [2u1 + (n − 1)d]n
Sn =
=
.
2
2
+) Vài tổng đặc biệt.

n(n + 1)
.
2
n(n + 1)(2n + 1)
S2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
.
6
n2 (n + 1)2
3
3
3
3
S3 = 1 + 2 + 3 + · · · + n =
.
4

b) Cấp số nhân
S1 = 1 + 2 + 3 + · · · + n =

Định nghĩa 1.3. Dãy số (un ) được gọi là cấp số nhân với công bội q , (q =
0, q = 1) nếu như ta có un = un−1 .q với mọi n = 2, 3, . . .
• Một số tính chất của cấp số nhân.
i) un = u1 .q n−1 với mọi n = 1, 2, 3, . . .
ii) u2k = uk−1 .uk+1 với mọi k = 2, 3, . . .
• Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 , . . . với công bội q. Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un
là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân. Khi đó ta có

u1 (q n − 1)
Sn =
.
q−1


6

c) Dãy số Fibonacci
Định nghĩa 1.4. Dãy số (Fn ) cho bởi hệ thức truy hồi

F1 = F2 = 1
Fn+2 = Fn+1 + Fn ,

n ∈ N∗

được gọi là dãy số Fibonacci.
Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của
dãy số Fibonacci là

√ n
√ n
1 1+ 5
1 1− 5
un = √
−√
(Công thức Binet).
2
2
5
5
Tính chất 1.1 (Một số tính chất số học của dãy Fibonacci). .
1. (Fn , Fn+1 ) = 1 với mọi n.
2. Nếu n chia hết cho m thì Fn chia hết cho Fm .
3. Nếu Fn chia hết cho Fm thì n chia hết cho m với m > 2.
4. (Fn , Fm ) = Fd với d = (m, n).
5. Nếu n ≥ 5 và Fn là số nguyên tố thì n cũng là số nguyên tố.
6. F5n = 5Fn .qn với qn không chia hết cho 5.
.
.
7. Fn .. 5k ⇔ n .. k.
.
8. Fn có tận cùng là 0 khi và chỉ khi n .. 15.
.
9. Fn có tận cùng là hai chữ số 0 khi và chỉ khi n .. 150.
Tính chất 1.2 ( Một số hệ thức cơ bản của dãy Fibonacci). .
1. F1 + F2 + ... + Fn = Fn+2 − 1.
2. F1 + F3 + ... + F2n−1 = F2n .
3. F2 + F4 + ... + F2n = F2n+1 − 1.
4. Fn−1 .Fn+1 − Fn2 = (−1)n .

5. F12 + F22 + ... + Fn2 = Fn .Fn+1 .
6. F0 − F1 + F2 − F3 + ... − F2n−1 + F2 n = F2n−1 − 1.
2
7. F1 F2 + F2 F3 + ... + F2n−1 F2n = F2n
.
1.1.3

Dãy tuần hoàn

Trong phần này, ta quan tâm đến hai loại dãy tuần hoàn cơ bản là dãy
tuần hoàn cộng tính và dãy tuần hoàn nhân tính.
Định nghĩa 1.5. Dãy (un ) được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính nếu tồn tại
số nguyên dương k sao cho

un+k = un , ∀ ∈ N.

(1.1)


7

Số nguyên dương k bé nhất để dãy (un ) thỏa mãn điều kiện (??) được gọi là
chu kì cơ sở của dãy.
Định nghĩa 1.6. Dãy số (un ) được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính nếu
tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho

usn = un ,

∀n ∈ N.

(1.2)

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy (un ) thoả mãn (??) được gọi là chu
kỳ cơ sở của dãy.

1.2

Phương trình sai phân tuyến tính

Trong phần này ta trình bày một số phương trình sai phân tuyến tính
cơ bản với hệ số hằng số, có nghiệm là các số thực và cách giải chúng.
Định nghĩa 1.7. Phương trình sai phân (cấp k ) là một hệ tuyến tính chứa
sai phân các cấp tới k .

f yn ; ∆yn ; ∆2 yn ; . . . ; ∆k yn = 0.

(1.3)

Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của hàm số nên
(??) có dạng
a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = f (n) .
(1.4)
trong đó a0 ; a1 ; . . . ; ak ; f (n) đã biết, còn yn , yn+1 , . . . , yn+k là các giá trị chưa
biết.
• Phương trình (??) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k .
• Nếu f (n) = 0 thì phương trình (??) có dạng

a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = 0.

(1.5)

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k.
• Nếu f (n) = 0 thì (??) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất.
• Nghiệm của phương trình sai phân.
+) Hàm số yn biến n thỏa mãn (??) được gọi là nghiệm của phương trình
sai phân tuyến tính (??).
+) Hàm số yn phụ thuộc k tham số thỏa mãn (??) được gọi là nghiệm tổng
quát của (??).
+) Một nghiệm yn∗ thỏa mãn (??) được gọi là một nghiệm riêng của (??).


8

a) Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất
Bài toán 1.1. Giải phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất (cấp một)

u1 = α, aun+1 + bun = f (n), n ∈ N∗ ,

(1.6)

trong đó a, b, α là các hằng số (a, b = 0) và f (n) là biểu thức của n cho
trước.
Nhận xét rằng các cấp số cơ bản là những dạng đặc biệt của phương
trình sai phân tuyến tính.
Lời giải.
Bước 1. Giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng.
+) Giải phương trình đặc trưng aλ + b = 0 để tìm λ.
+) Tìm nhiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương
ứng aun+1 + bun = 0 dưới dạng un = cλn (c là hằng số).

Bước 2. Tìm một nghiệm riêng u∗n của phương trình không thuần nhất.
Bước 3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (??) là un = u∗n + un .
Sau đây ta trình bày phương pháp tìm nghiệm riêng.
Trường hợp 1. Nếu f (n) = Pm (n) là đa thức bậc m đối với n. Khi đó
+) Nếu λ = 1 thì ta chọn u∗n = Qm (n) cũng là đa thức bậc m đối với n.
+) Nếu λ = 1 thì ta chọn u∗n = nQm (n), trong đó Qm (n) cũng là đa
thức bậc m đối với n.
Trường hợp 2. Nếu f (n) = p.β n (p; β = 0). Khi đó
+) Nếu λ = β thì ta chọn u∗n = d.β n (d ∈ R).
+) Nếu λ = β thì ta chọn u∗n = d.n.β n (d ∈ R).
m

Trường hợp 3. Nếu f (n) =
dạng u∗n =

m
k=1

fk (n). Khi đó, ta chọn nghiệm riêng u∗n dưới

k=1

x∗nk , trong đó x∗nk tương ứng là nghiệm riêng của phương trình

sai phân (??) với V P = fk (n).
Ví dụ 1.1. Giải phương trình sai phân

x0 = 7
xn+1 = 15xn − 14n + 1
Lời giải.

(1.7)


9

Ta có f (n) = −14n + 1 là đa thức bậc nhất, λ = 15 = 1 nên chọn
= an + b.
Thay vào phương trình (??) ta được

x∗n

a(n + 1) + b = 15(an + b) − 14n + 1.
Suy ra a = 1; b = 0. Khi đó x∗n = n, xn = C.15n và nghiệm tổng quát của
(??) là xn = C.15n + n. Mà x0 = 7 nên C = 7.
Vậy phương trình có nghiệm là xn = 7.15n + n.
Ví dụ 1.2. Giải phương trình sai phân

x0 = 99
xn+1 = xn − 2n − 1

(1.8)

Lời giải.
Ta có f (n) = −2n − 1 là đa thức bậc nhất, λ = 1 nên chọn x∗n = n(an + b).
Thay vào phương trình (??) ta được

(n + 1)[a(n + 1) + b] = n(an + b) − 2n − 1.
Suy ra a = −1; b = 0. Khi đó x∗n = −n2 , xn = C.1n = C và nghiệm tổng
quát là xn = C − n2 . Mà x0 = 99 nên C = 99.

Vậy phương trình có nghiệm là xn = 99 − n2 .
Ví dụ 1.3. Giải phương trình sai phân

x0 = 8
xn+1 = 2xn + 3n

(1.9)

Lời giải.
Ta có f (n) = 3n , λ = 2 = 3 = β nên chọn x∗n = d.3n .
Thay vào phương trình (??) ta được d.3n+1 = 2.d.3n + 3n
Suy ra d = 1. Khi đó x∗n = 3n , xn = C.2n .
Nghiệm tổng quát là xn = C.2n + 3n . Mà x0 = 8 nên C = 7.
Vậy phương trình có nghiệm là xn = 7.2n + 3n .
Ví dụ 1.4. Giải phương trình sai phân

x0 = 101
xn+1 = 7xn + 7n+1
Lời giải.

(1.10)


10

Ta có f (n) = 7n+1 , λ = 7 = β nên chọn x∗n = d.n.7n .
Thay vào phương trình (??) ta được

d.(n + 1).7n+1 = 7.d.n.7n + 7n+1 .
Suy ra d = 1 ⇒ x∗n = n.7n , xn = C.7n .

Nghiệm tổng quát là xn = C.7n + n.7n . Mà x0 = 101 nên C = 101.
Vậy phương trình có nghiệm là xn = (101 + n).7n .
b) Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
Bài toán 1.2. Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = f (n), n ∈ N∗

(1.11)

trong đó a, b, c, α, β là các hằng số (a, c = 0) và f (n) là biểu thức của n cho
trước.
Lời giải.
Bước 1. Giải phương trình thuần nhất tương ứng.
Bước 2. Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.
Bước 3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (??) dưới dạng

un = un + u∗n .
Bài toán 1.3. Giải phương trình thuần nhất

u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = 0, n ∈ N∗ .
trong đó a, b, c, α, β là các hằng số (a, c = 0).
Lời giải.
+) Xét phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm được nghiệm λ1 , λ2 .
+) Nếu λ1 , λ2 là các nghiệm thực khác nhau thì nghiệm tổng quát của phương
trình là un = Aλ21 + Bλ22 , trong đó A, B được xác định khi biết u1 , u2 .
+) Nếu λ1 , λ2 là các nghiệm thực và λ1 = λ2 = λ thì nghiệm tổng quát của
phương trình un = (A + Bn)λn , trong đó A, B được xác định khi biết u1 , u2 .
Bài toán 1.4. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp
hai không thuần nhất

u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = f (n), n ∈ N∗
trong đó (a = 0) và f (n) là đa thức theo n cho trước.


11

Lời giải.
Giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm được λ.
Nghiệm của phương trình có dạng un = un + u∗n , trong đó
+) un là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

aun+2 + bun+1 + cun = 0.
(với các hệ số A, B chưa được xác định.)
+) u∗n là nghiệm riêng của phương trình aun+2 + bun+1 + cun = f (n), trong
đó f (n) = 0.
Nghiệm u∗n được xác định như sau.
a) Nếu λ = 1 thì u∗n là đa thức cùng bậc với f (n).
b) Nếu λ = 1 thì u∗n = n.g(n), trong đó g(n) là đa thức cùng bậc với f (n).
c) Nếu λ = 1 là nghiệm bội thì u∗n = n2 .g(n), trong đó g(n) là đa thức cùng
bậc với f (n).
Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được u∗n . Từ hệ
thức un = un + u∗n và các giá trị u1 , u2 ta tìm được các hệ số A, B .
Ví dụ 1.5. Tìm một nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân

xn+2 = −4xn+1 + 5xn + 12n + 8.
Lời giải.
Phương trình đặc trưng λ2 + 4λ − 5 = 0 ⇔ λ = 1 hoặc λ = −5.
f (n) = 12n + 8.
Chọn x∗n = n(an + b). Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta
được a = 1, b = 0.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng là x∗n = n2 .
Bài toán 1.5. Cho dãy số (un ) xác định bởi

u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = γ.η n , n ∈ N∗ .
Tìm nghiệm tổng quát của dãy số trên.
Lời giải.
Giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0, tìm được λ.
Nghiệm của phương trình có dạng un = un + u∗n , với un là nghiệm của
phương trình thuần nhất aun+2 + bun+1 + cun = 0 theo bài toán 1.2 với các
hệ số A, B chưa được xác định. Còn u∗n được xác định như sau
a) Nếu λ = η thì u∗n = k.η n .


12

b) Nếu phương trình có nghiệm đơn λ = η thì u∗n = kn.η n .
c) Nếu phương trình có nghiệm kép λ = η thì u∗n = kn2 .η n .
Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được k , tức là
tìm được u∗n . Từ hệ thức un = un + u∗n và các giá trị u1 , u2 ta tìm được các
hệ số A, B .
c) Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba
Bài toán 1.6. Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp ba

u1 = α, u2 = β, u3 = γ, aun+1 + bun + cun−1 + dun−2 = f (n),

n ≥ 3.

trong đó a, b, c, d, α, β, γ là các hằng số cho trước, f (n) là biểu thức cho
trước.
Lời giải.

Trong dạng này ta chỉ xét phương trình đặc trưng có nghiệm thực.
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng
un = un + u∗n , trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính
thuần nhất aun+1 + bun + cun−1 + dun−2 = 0, và u∗n là nghiệm riêng của
phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Phương trình đặc trưng aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0.
(i) Phương trình có ba nghiệm thực λ1 , λ2 , λ3 phân biệt. Khi đó

un = Aλn1 + Bλn2 + Cλn3 .
(ii) Phương trình có một nghiệm thực bội hai và một nghiệm đơn (λ1 = λ2 =
λ3 ) thì
un = (A + Bn)λn1 + Cλn3 .
(iii) Nếu phương trình có nghiệm bội ba (λ1 = λ2 = λ3 ) thì

un = (A + Bn + Cn2 )λn1 .
Gọi u∗n là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần
nhất.
a) Xét f (n) là một đa thức theo n. Ta có
+) Nếu λ = 1 thì u∗n là đa thức cùng bậc với f (n).
+) Nếu λ = 1 là nghiệm đơn thì u∗n = n.g(n) trong đó g(n) là đa thức
cùng bậc với đa thức f (n).
+) Nếu λ = 1 là nghiệm bội hai thì u∗n = n2 .g(n) trong đó g(n) là đa
thức cùng bậc với đa thức f (n).


13

+) Nếu λ = 1 là nghiệm bội ba thì u∗n = n3 .g(n) trong đó g(n) là đa
thức cùng bậc với đa thức f (n).
b) Trường hợp f (n) = γ.η n . Ta có

+) Nếu λ = η thì u∗n = k.n.η n .
+) Nếu phương trình có nghiệm đơn λ = η thì u∗n = k.η n .
+) Nếu phương trình có nghiệm bội hai λ = η thì u∗n = k.n2 .η n .
+) Nếu phương trình có nghiệm bội ba λ = η thì u∗n = k.n3 .η n .
Thay u∗n vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tìm được k , tức là
tìm được u∗n . Từ hệ thức un = un + u∗n và các giá trị u1 , u2 , u3 ta tìm được
các hệ số A, B, C .

1.3
1.3.1

Một số tính chất cơ bản của số học
Số nguyên và phép chia hết

Định nghĩa 1.8. Với hai số nguyên a và b, ta nói rằng a chia hết cho b (hay
a là bội của b, hay b là ước của a), nếu tồn tại số nguyên k sao cho a = k.b.
.
Lúc ấy kí hiệu là a .. b.
Tính chất 1.3 (Các tính chất cơ bản của tính chia hết). .
.
i) Nếu a, b nguyên dương mà a .. b thì a ≥ b.
.
.
ii) Nếu ai .. b với mọi i = 1, 2, . . . , n thì (a1 + a2 + · · · + an ) .. b.
iii) Với hai số nguyên không âm bất kỳ a và b, trong đó b = 0, luôn
luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho a = bq + r, trong
đó 0 ≤ r < b.
1.3.2

Ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất

Định nghĩa 1.9. Cho n số nguyên a1 , a2 , . . . , an .
i) Số nguyên dương d gọi là ƯCLN của a1 , a2 , . . . , an nếu như thỏa mãn
đồng thời hai điều kiện sau.
.
+) ai .. d, với mọi i = 1, 2, . . . , n.
.
.
+) Nếu d là số nguyên dương mà ai .. d ,với mọi i = 1, 2, . . . , n thì d .. d ,
khi đó ta thường dùng kí hiệu sau d = (a1 , a2 , . . . , an ).
ii) Số nguyên dương b gọi là BCNN của a1 , a2 , . . . , an nếu như thỏa mãn
đồng thời hai điều kiện sau.
.
+) b .. ai , với mọi i = 1, 2, . . . , n.


14

.
.
+) Nếu b là số nguyên dương mà b .. ai ,với mọi i = 1, 2, . . . , n thì b .. b,
khi đó ta thường dùng kí hiệu sau b = [a1 , a2 , . . . , an ].
1.3.3

Số nguyên tố

Định nghĩa 1.10. Một số nguyên dương p > 1 được gọi là số nguyên tố nếu
nó chỉ có hai ước số là 1 và p.
Định lý 1.1 (Định lí Euclid). Tồn tại vô hạn số nguyên tố.
Định lý 1.2 (Định lí về mối liên hệ giữa tính chia hết và số nguyên tố). Giả

.
sử a, b là hai số nguyên dương, còn p là số nguyên tố sao cho ab .. p. Khi đó
.
.
ta phải có hoặc là a .. p, hoặc là b .. p.
1.3.4

Đồng dư

Định nghĩa 1.11. Nếu hai số nguyên a và b chia cho số tự nhiên m (m = 0)
có cùng số dư thì ta nói a đồng dư với b theo modulo m và viết a ≡ b
(mod m).
Tính chất 1.4 (Các tính chất cơ bản của đồng dư). .
a) Hai số nguyên a và b đồng dư với nhau theo modulo m (m là số nguyên
.
dương) khi và chỉ khi (a − b) .. m.
b) Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập hợp số nguyên Z.
c) Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì

a + c ≡ b + d (mod m),
a − c ≡ b − d (mod m),
a.c ≡ b.d (mod m).
d) Nếu p là số nguyên tố và ab ≡ 0 (mod p) thì a ≡ 0 (mod p) hoặc
b ≡ 0 (mod p).
1.3.5

Một số định lí cơ bản của số học

Định lý 1.3 (Định lí Euler). Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một
số nguyên tố với m. Khi đó ta có aµ(m) ≡ 1 (mod m), ở đây µ (m) là các số

nguyên dương nhỏ hơn m nguyên tố cùng nhau với m.


15

Định lý 1.4 (Định lí Fermat nhỏ). Nếu p là một số nguyên tố thì với số
nguyên a bất kỳ, ap − a sẽ chia hết cho p. Nghĩa là

ap ≡ a (mod p).
Nói riêng khi p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên tố cùng nhau với
p, thì ap−1 − 1 sẽ chia hết cho p. Bằng ký hiệu đồng dư ta có

ap−1 ≡ 1

(mod p).

Định lý 1.5 (Định lí Wilson). p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p − 1)! + 1
chia hết cho p.
Định lý 1.6 (Định lí Fermat - Euler). Nếu p = 4k + 1 thì tồn tại các số
nguyên dương a, b sao cho p = a2 + b2 .
Định lý 1.7 (Định lí phần dư Trung Hoa). Giả sử r và s là các số nguyên
dương nguyên tố cùng nhau, a và b là hai số nguyên tùy ý. Khi đó tồn tại
một số nguyên N sao cho N ≡ a (mod r) và N ≡ b (mod s). Ngoài ra N
được xác định một cách duy nhất (hiểu theo nghĩa modulo rs).


16

Chương 2

Khảo sát các tính chất số học của
dãy số nguyên
Dãy số nguyên là phần quan trọng trong lý thuyết dãy số. Ngoài các
vấn đề chung như tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm công thức tính
tổng n số hạng đầu tiên. . . các bài toán về dãy số thường quan tâm đến tính
chất số học của dãy số như tính chia hết, đồng dư, nguyên tố, chính phương,
nguyên tố cùng nhau. . . Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng, trong
nhiều trường hợp dãy số chỉ là cái bề ngoài còn bản chất bài toán là bài toán
số học.

2.1

Phương pháp xét tính chia hết trong dãy số.

Trong số học thì tính chia hết giữ một vị trí quan trọng trong lý thuyết
số. Nó là cơ sở để đưa ra và giải quyết các bài toán về số nguyên tố, hợp số,
ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, lý thuyết đồng dư . . . , với hai số
nguyên a, b bất kỳ nếu tồn tại số nguyên q sao cho a = bq khi đó ta nói a
chia hết cho b, nếu a không chia hết cho b thì ta có phép chia có dư. Trong
phần này ta xét đến tính chia hết của các phần tử trong một dãy số. Cho
một dãy số thì các phần tử của nó có thể cùng chia hết cho cùng một số nào
đó hoặc các phần tử chia hết cho số thứ tự của số đó, hoặc là chỉ có một số
phần tử cùng chia hết cho một số cho trước. Sau đây ta xét một số dãy số
mà các phần tử của nó cùng chia hết cho một số. Đối với những dãy số được
cho bởi công thức số hạng tổng quát, ta thường dùng phương pháp quy nạp
hoặc sử dụng các tính chất của phép chia hết để chứng minh. Chúng ta xét
bài toán sau.


17

2.1.1

Phương pháp quy nạp

Bài toán 2.1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, số

An = 33n+3 − 26n − 27
chia hết cho 169.
Lời giải.
.
Với n = 0 ta có A0 = 0..169. Vậy mệnh đề đúng với n = 0.
.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k nghĩa là Ak = 33k+3 − 26k − 27 .. 169.
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Ta có
Ak+1 = 33(k+1)+3 − 26(k + 1) − 27

= 33k+3 − 26k − 27 + 26(33k+3 − 1
= Ak + 26.(33 − 1)(27k + 27k−1 + · · · + 27 + 1)
= Ak + 169.4.(27k + 27k−1 + · · · + 27 + 1).
.
Vậy Ak+1 .. 169. Bài toán được chứng minh.
Nhận xét 2.1. Trong dãy số khi xét đến tính chia hết của các phần tử trong
dãy số có nhiều cặp dãy số đan xen nhau về tính chia hết và không chia hết
cho cùng một số. Ta xét bài toán sau.
Bài toán 2.2. Cho 2 dãy số

an = 22n+1 + 2n+1 + 1
bn = 22n+1 − 2n+1 + 1, n = 0, 1, 2, . . .

Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai số an , bn
chia hết cho 5.
Lời giải.
Ta xét

an − bn = 22n+1 + 2n+1 + 1 − (22n+1 + 2n+1 + 1) = 2.2n+1 = 2n+2
không chia hết cho 5 vì số đó không có tận cùng là 0 hoặc 5.
Mặt khác ta có

an .bn = (22n+1 + 2n+1 + 1)(22n+1 − 2n+1 + 1)
= (22n+1 + 1)2 − (2n+1 )2


18

= 24n+2 + 1 = 4.16n + 1.
.
Với n = 0 thì a0 .b0 = 5 .. 5.
Với n > 0 thì an .bn = 4.16n + 1 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5.
Vậy với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai số an , bn chia hết
cho 5.
Nhận xét 2.2.
Một số bài toán về sự chia hết của các số hạng của dãy số thường được
giải bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số. Việc xác định số hạng
tổng quát của dãy số thường được tìm bằng phương pháp sai phân hoặc
thông qua dãy số phụ để đưa về phương trình sai phân thuần nhất.
Bài toán 2.3. Cho dãy số (un ) xác định bởi

 u1 = 1, u2 = 2, u3 = 40
10u2n−1 .un−3 − 24un−1 .u2n−2

u
=
;
 n
un−2 .un−3

n = 4, 5, . . .

Tìm số n nhỏ nhất để un chia hết cho 2048.
Lời giải.
Nhận xét rằng công thức truy hồi của dãy số rất phức tạp, tuy nhiên
nếu đặt dãy số phụ thì ta sẽ đưa được về dạng tuyến tính cấp hai.
Từ công thức truy hồi của dãy ta có

10un−1 .un−3 − 24.u2n−2
10un−1 24un−2
un
=
=
−
; n = 4, 5, . . .
un−1
un−2 .un−3
un−2
un−3
un
Do vậy ta đặt vn =
thì dãy (vn ) được xác định như sau
un−1
v2 = 2, v3 = 20

vn = 10vn−1 − 24vn−2 ;

n = 4, 5, . . .

Phương trình đặc trưng x2 − 10x + 24 = 0 có 2 nghiệm x1 = 6, x2 = 4 nên
vn = a.6n + b.4n .
1
1
Cho n = 2 và n = 3 ta được a = , b = − . Do đó vn = 6n−1 − 4n−1 .
6
4
Khi đó un = vn .vn−1 . . . v2
= 6n−1 − 4n−1 . 6n−2 − 4n−2 . . . (6 − 4)
= 2n−1 .2n−2 . . . 2. 3n−1 − 2n−1 3n−2 − 2n−2 . . . (3 − 2)
(n−1)n

= 2 2 . 3n−1 − 2n−1 3n−2 − 2n−2 . . . (3 − 2).
Do 3n−1 − 2n−1 3n−2 − 2n−2 . . . (3 − 2) là số lẻ nên để un chia hết cho


19
(n−1)n .
(n−1)n .
2048 thì 2 2 .. 2048 hay 2 2 .. 211 .
(n − 1) n
≥ 11, suy ra n ≥ 6.
Do đó
2
Vậy n = 6 là giá trị cần tìm.

Nhận xét 2.3. Việc tìm số hạng tổng quát của dãy số cũng có thể thông
qua biến đổi liên tiếp các số hạng phụ thuộc nhau và biểu diễn qua một vài
số hạng đầu và có thể áp dụng phương pháp quy nạp để chứng minh. Trong
bài toán này đã sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa dãy số đã cho trở
thành dãy số đơn giản hơn dễ tìm được công thức của số hạng tổng quát.
2.1.2

Phương pháp đồng dư

Bài toán 2.4. Cho dãy số (un ) xác định bởi

un = 122n+1 + 11n+2
Chứng minh rằng un chia hết cho 133 với mọi n ∈ N.
Lời giải.
Ta có 122n+1 = 12.122n = 12.(122 )n = 12.144n .
Vì 144 ≡ 11 (mod 113) nên 144n ≡ 11n (mod 113). Nhân cả hai vế với 12
ta có
122n+1 ≡ 12.11n (mod 113).
(2.1)
Mặt khác

11n+2 = 112 .11n = 121.11n
Do 121 ≡ −12 (mod 113) nên

121.11n ≡ −12.11n

(mod 113)

Bởi vậy

11n+2 ≡ −12.11n

(mod 113).

(2.2)

Cộng vế với vế các phép đồng dư (??) và (??) ta được

122n+1 + 11n+2 ≡ 0

(mod 113).

Vậy un chia hết cho 133 với mọi n ∈ N.
Nhận xét 2.4. Một số bài toán về sự chia hết của các số hạng của dãy số
thường được giải bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số sau đó
dựa vào các định lý về đồng dư hay sử dụng định lí Fermat nhỏ để chứng
minh sự chia hết. Bài toán sau giải quyết vấn đề nêu ra.


20

Bài toán 2.5. Cho dãy số (un ) xác định bởi

u0 = 1, u1 = −1
un+2 = 7un+1 − 6un ; n ∈ N
a) Chứng minh rằng un không chia hết cho 10 với mọi n ∈ N.
.
b) Chứng minh u2012 + 13 .. 2011.
Lời giải.
a) Ta có u0 và u1 là những số lẻ.

Giả sử un và un+1 lẻ. Khi đó vì

un+2 = 7un+1 − 6un
nên un+2 cũng là số lẻ.
Theo nguyên lí quy nạp suy ra un là số lẻ với mọi n ∈ N.
Do đó un không chia hết cho 10 với mọi n ∈ N.
b) Ta xét phương trình đặc trưng

x2 − 7x + 6 = 0
Phương trình trên có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = 6.
Từ đó suy ra un = A.1n + B.6n .
7
2
Với u0 = 1, u1 = −1 ta tìm được A = , b = − .
5
5
7 − 2.6n
Suy ra un =
.
5
Ta có
5u2012 = 7 − 2.62012

⇔ 5u2012 + 65 = 72 − 2.62012
⇔ 5u2012 + 65 = −72(62010 − 1).

(2.3)

Vì 2011 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có

62010 ≡ 1

(mod 2011).
.
Vì vậy kết hợp với (??) ta được 5(u2012 + 13) .. 2011.
.
Mà (2011, 5) = 1 nên (u2012 + 13) .. 2011.
Nhận xét 2.5. Khi xét về tính chia hết của các phần tử trong một dãy số
vấn đề đặt ra là có những dãy số mà các phần tử của nó chia hết cho chính
số thứ tự của nó. Ta đặc biệt hóa tập chỉ số của dãy số, cụ thể là ta xét tập
hợp các chỉ số của dãy số là tập hợp các số nguyên tố. Xét một số bài toán
sau.


21

Bài toán 2.6. Cho dãy số (un ) xác định bởi

u1 = 0, u2 = 14, u3 = −18
un+1 = 7un−1 − 6un−2 ; n = 3, 4, . . .
.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì up .. p.
Lời giải.
Từ hệ thức xác định (un ) ta xét phương trình đặc trưng x3 − 7x + 6 = 0.
Phương trình trên có 3 nghiệm x1 = 1, x2 = 2, x3 = −3. Từ đó suy ra

un = a.1n + b.2n + c.(−3)n , ∀n ≥ 1.

(2.4)

Trong (??) lần lượt thay n = 1, 2, 3 và do u1 = 0, u2 = 14, u3 = −18, ta đi
đến hệ phương trình sau để xác định a, b, c.

a + b − 3c = 0
a + 4b + 9c = 14
a + 8b − 27c = −18
Giải hệ trên ta được a = b = c = 1.
Vậy
un = 1 + 2n + (−3)n , n = 1, 2, . . .

(2.5)

Với p là số nguyên tố, theo định lí Fermat nhỏ, ta có:

2p ≡ 2

(mod p).

(−3)p ≡ −3

(mod p).

Vì thế từ (??) suy ra

up ≡ 1 + 2 − 3

(mod p) ⇒ up ≡ 0 (mod p).
.
Do vậy với mọi số nguyên tố p thì up .. p. Đó là điều phải chứng minh.
Bài toán 2.7. Cho dãy số nguyên (un ) xác định bởi

u1 = 2
un = 3un−1 + 2n3 − 9n2 + 9n − 3 (n ≥ 2).
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p thì tổng 2000(u1 + u2 + · · · + up−1 )
chia hết cho p.
Lời giải.
Ta chọn đa thức bậc ba f (n) = an3 + bn2 + cn + d, (a = 0) thỏa mãn:

2n3 − 9n2 + 9n − 3 = f (n) − 3f (n − 1)


22

⇔ 2n3 −9n2 +9n−3 = −2an3 +(9a−2b)n2 +(6b−9a−2c)n+(3a+3c−3b−2d)
⇔ a = −1, b = c = d = 0.
Suy ra f (n) = −n3 .
Đặt vn = un − f (n) = un + n3 .
Thay vào công thức xác định dãy, ta có vn = 3vn−1 , v1 = 3.
Khi đó dãy (vn ) là một cấp số nhân và ta có vn = 3n−1 v1 = 3n .
Suy ra un = 3n − n3 .
Do đó

u1 + u2 + · · · + up−1 = (3 + 32 + 33 + · · · + 3p−1 ) − [1 + 23 + 33 + · · · + (p − 1)3 ]
3p − 3
p (p − 1) 2
=
−
2
2
Suy ra 2000(u1 + u2 + · · · + up−1 ) = 1000(3p − 3) − 500p2 (p − 1)2 .

.
Theo định lí Fermat nhỏ thì (3p − 3)..p.
Từ đó ta có được điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.6. Ta có thể mở rộng bài toán không chỉ với 2000 mà 2002
hay 2006 thì bài toán vẫn đúng.
Cho dãy số nguyên (un ) xác định bởi

u1 = 2
un = 3un−1 + 2n3 − 9n2 + 9n − 3 (n ≥ 2).
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p thì tổng 2002(u1 + u2 + · · · + up−1 )
chia hết cho p.
Từ giả thiết ta có un + n3 = 3un−1 + 3(n − 1)3
Đặt vn = un − f (n) = un + n3 .
Thay vào công thức xác định dãy, ta có vn = 3vn−1 , v1 = 3.
Khi đó dãy (vn ) là một cấp số nhân và ta có vn = 3n−1 v1 = 3n .
Suy ra un = 3n − n3 .
• Với p = 2, ta có
p−1

2 | 2002 ⇒ 2 | 2002

ui .

(2.6)

i=1

• Với p > 2, ta có
p−1

i=1

1
ui = (3p − 3) +
2

(p − 1)p
2

2

..
.p.

(2.7)


23

Từ (??) và (??) ⇒ p | 2002

p−1
i=1 ui ,

với mọi số nguyên tố p.

Bài toán 2.8. Cho dãy số (un ) xác định bởi

 u1 = 1, u2 = 2, u3 = 24
6u2n−1 .un−3 − 8un−1 .u2n−2

;
u
=
 n
un−2 .un−3

n = 4, 5, . . .

Chứng minh rằng với mọi n thì un chia hết cho n.
Lời giải.
Từ công thức truy hồi của dãy ta có

6un−1 .un−3 − 8.u2n−2
un
6un−1 8un−2
=
=
−
; n = 4, 5, . . .
un−1
un−2 .un−3
un−2
un−3
un
Do vậy ta đặt vn =
thì dãy (vn ) được xác định như sau
un−1
v2 = 2, v3 = 12
vn = 6vn−1 − 8vn−2 ;

n = 4, 5, . . .

Phương trình đặc trưng x2 − 6x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1 = 4, x2 = 2 nên
vn = a.4n + b.2n .
1
1
Cho n = 2 và n = 3 ta được a = , b = − . Do đó vn = 4n−1 − 2n−1 .
4
2
Vậy
un = vn .vn−1 . . . v2

= 4n−1 − 2n−1 . 4n−2 − 2n−2 . . . (4 − 2) .
Với mọi số nguyên tố p, theo định lí Fermat ta có

(4p−1 − 1) ≡ 0

(mod p);

Suy ra

(4p−1 − 2p−1 ) ≡ 0

(2p−1 − 1) ≡ 0

(mod p).

.
(mod p) ⇒ (4p−1 − 2p−1 ) .. p

với mọi số nguyên tố p.
.
Từ đó suy ra nếu s là bội của p − 1, thì (4s − 2s ) .. p.
Giả sử n là số nguyên dương tùy ý và n có dạng triển khai sau

n = pr11 .pr22 . . . prkk ,
(ở đây p1 < p2 < · · · < pk là các số nguyên tố).
.
.
.
.
Từ n .. pr11 suy ra n .. p1 , n .. p2 , . . . , n .. pr11 , tức là

n = d1 p1 = d2 p21 = · · · = dri pr1i .

(2.8)