35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Cho

∆ABC

có a =12, b =15, c =13

a. Tính số đo các góc của

∆ABC

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của
c. Tính S, R, r

∆ABC

ha , hb , hc

d. Tính

HS: Tự giải
2. Cho

∆ABC

có AB = 6, AC= 8,

¶A =1200

∆ABC

a. Tính diện tích
b. Tính cạnh BC và bán kính R
HS: Tự giải
3. Cho

∆ABC

có a = 8, b =10, c =13

∆ABC

a.

co góc tù hay không?

b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

∆ABC

∆ABC

c. Tính diện tích
HS: Tự giải
4. Cho

∆ABC

∆ABC

có

tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp

và diện tích tam giác
HS: Tự giải
cos A =

∆ABC

5. Cho
6. Cho

µA = 600 , B
µ = 450 , b = 2

AC = 7, AB = 5 và
HS: Tự giải

∆ABC

có

mb = 4, mc = 2

3
5

tính BC, S,

ha

,R

và a = 3 tính độ dài cạnh AB, AC

HS: Tự giải
7. Cho

∆ABC

có AB = 3, AC = 4 và diện tích
HS: Tự giải

8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp
HS: Tự giải
9. Tính
10. Cho

µA

của

. CMR

tan A c 2 + a 2 − b 2
=
tan B c 2 + b 2 − a 2

. Tính cạnh BC

biết AB = 2, AC = 3, BC = 4

có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức
HS: Tự giải

∆ABC

a.

∆ABC

∆ABC

S =3 3

b ( b2 − a 2 ) = c ( a 2 − c2 )


c 2 = ( a − b ) + 4S
2

b.
c.

S = 2 R 2 sin A sin B sin C
S=

d.
e.

1 − cos C
sin C

1 uuur2 uuur2 uuuruuur
AB AC − AB AC
2

(

)

2

a = b cos C + c cos B
sin A =

f.

2
bc

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

HS Tự giải
11. Gọi G là trọng tâm

b.

và M là điểm tùy ý. CMR

MA + MB + MC 2 = GA2 + GB 2 + GC 2 + 3GM 2
2

a.

∆ABC
2

4 ( ma 2 + mb 2 + mc 2 ) = 3 ( a 2 + b 2 + c 2 )

HS Tự giải

12. Cho

∆ABC

a.
b.

có b + c =2a. CMR

sin B + sin C = 2sin A

2
1 1
= +
ha hb hc

HS Tự giải
13. Cho

∆ABC

(

)

(

A 4 3, −1 , B ( 0,3) , C 8 3,3

biết

)

a. Tính các cạnh và các góc còn lại của
b. Tính chu vi và diện tích
HS Tự giải
14. Cho

15. Cho

∆ABC

∆ABC

∆ABC

µ = 360 20 ', C
µ = 730

a = 40, 6; B

∆ABC

µ = 33010 '
a = 42, 4m b = 36, 6m C

biết
HS Tự giải

. Tính

µA

, cạnh b,c của tam giác đó
µA, B
µ

biết
;
;
. Tính
và cạnh c.
HS Tự giải
16. Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phái tránh 1 ngọn núi , do đó người ta
phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B
dài 8km. Biết góc tạo bời 2 đoạn dây AC và CB là
đến B phải tốn thê bao nhiêu m dây ?
HS Tự giải

750

. Hỏi so với việc nối thẳng từ A


17. 2 vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết
·
·
CAB
= 870 , CBA
= 620

. Hãy tính khoảng cách AC và BC.
HS Tự giải
Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a,
với nhau. Tính

S ∆ABC

µA = α

và hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc

.

A
B
C
M
N

Hướng dẫn giải:
Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc
2

với nhau thì .
⇔

2

2  2 
2
 mb ÷ +  mc ÷ = a
3  3 

4 a 2 + b2 c 2
4 a 2 + c2 b2
(
− )+ (
− ) = a2
9
2
4
9
2
4

⇔ 5a 2 = b 2 + c 2

Mặt khác

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A

⇔ a 2 = 5a 2 − 2bc cos A ⇒ bc =

2a 2
2a 2
=
cos A cos α

1
S ∆ABC = bc sin A = a 2 tan α
2

Bài 19. Cho tam giác ABC. Gọi
Chứng minh rằng.
A
B
C
D

l A , lB , lC

lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C.


lA =

a.

2bc

A
cos
b+c
2

A
B
C
cos
cos
2+
2+
2 = 1+1+1
lA
lB
lC
a b c

cos

b.

1 1 1 1 1 1
+ + > + +
l A lB lC a b c

c.
Hướng dẫn giải:

sin α = 2sin

a. Trước hết chứng minh công
bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có
kết luận trên.
1
1
A
S ∆ABC = bc sin A S ∆ABD = cl A sin
2
2
2

,

S ∆ABC = S∆ABD + S ∆ACD

Mà

,

µA = 2α

2bc
A
⇒ lA =
cos
b+c
2

A

2 = 1b+c = 1 + 1

÷
lA
2  bc  2b 2c
B
C
cos
1
1
2 =
2 = 1 + 1
+ ,
lB
2a 2c lC
2 a 2b

cos

Tương tự
⇒

A
B
C
cos
cos
2+
2+
2 = 1+1+1

lA
lB
lC
a b c

cos

A
B
C
cos
cos
2 +
2 +
2 < 1+1+1
lA
lB
lC
l A l B lC

cos

c. Ta có
⇒

A
B
C
P
M

1 1 1 1 1 1
+ + > + +
l A l B lC a b c

thông qua công thức diện tích để đi đến

1
A
S∆ACD = blA sin
2
2

cos

b.

α
α
cos
2
2


N
D
G
Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi
m=

A, B, C,
S ∆ABC =

ma + mb + mc
2

ma , mb , mc

lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua

. Chứng minh rằng

3
m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc )
4

Hướng dẫn giải:
Gọi D là điểm đối xứng của A qua
trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành
Dễ thấy
Mà

1
S ∆GBD = S∆GBC = S∆AGB = S∆AGC = S ∆ABC
3

∆GBD

có ba cạnh
2

⇒ S∆GBD

2
= ÷
3

2
2
2
ma , mb , mc
3
3
3

m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc )

⇒ S ∆ABC = 3S ∆GBD =

3
m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc )
4

Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
SWABCD = ( p − a )( p − b)( p − c )( p − d )

Chứng minh rằng
B
C
A

D
a
b
c
d
x


P=

a+b+c+d
2

Với
Hướng dẫn giải:
Do ABCD nội tiếp nên
sin ·ABC = sin ·ADC

cos ·ABC = − cos ·ADC
S ABCD = S ABC + S ADC =
=

1
( ab + cd ) sin B
2

1
( ab + cd ) 1 − cos2 B
2

Trong tam giác

ABC

Trong tam giác

có

ADC

AC 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos B

có

AC 2 = c 2 + d 2 − 2cd cos D

⇒ a 2 + b 2 − 2ab cos B = c 2 + d 2 − 2cdcocD

(a
⇔ cos B =

2

+ b2 ) − ( c2 + d 2 )
2(ab + cd )

 ( a 2 + b2 ) − ( c 2 + d 2 ) 
1
÷
( ab + cd ) 1 − 

÷
1 − cos 2 B = 2
2(ab + cd )



2

S ABCD =

Do đó
=

1
( ab + cd )
2

2
1
2
1 
2
2
2
2
4 ( ab + cd ) − ( a 2 + b 2 ) − ( c 2 + d 2 )  =
( a + b ) − ( c − d )  ( c + d ) − ( a − b ) 
4
4

 a + b + c − d  a + b − c + d   a − b + c + d  − a + b + c + d 
= 
÷
÷
÷
÷
2
2
2
2





p=

⇒ SWABCD = ( p − a)( p − b)( p − c)( p − d )

Với

a+b+c+d
2

Bài 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng
a 2 + b 2 + c 2 cos A cos B cos C
=
+
+
2abc

a
b
c

Hướng dẫn giải:

uuur uuur uuur

Ta có

( AB + BC + CA)

2

=0

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
⇔ AB 2 + BC 2 + CA2 + 2 AB.BC + 2 BC.CA + 2 AB.CA

⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 2ac cos B + 2bc cos A + 2ab cos C

⇔

a 2 + b 2 + c 2 cos A cos B cos C
=
+
+
2abc
a
b

c


Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c là
minh rằng tam giác có một góc bằng

1200

a = x 2 + x + 1, b = 2 x + 1, c = x 2 − 1

.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện a, b, c là 3 cạnh của tam giác
x >1

Với
Tính

x2 −1 > 0

⇔ x >1
2 x + 1 > 0
x2 −1 + 2x + 1 > x2 + x + 1


thì a > b và a > c nên a là cạnh lớn nhất

1

cos A = − ⇒ µA = 1200
2

.

Bài 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có
cot A + cot B + cot C =

a.

a2 + b2 + c2
R
abc

B
A
C
O
sin

A
( p − b)( p − c)
=
2
bc

b.
Hướng dẫn giải:
a. Sử dụng định lí sin và cosin.
b. Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp

1
A
A
S ∆ABC = pr = bc sin A =bc sin .cos
2
2
2

( 1)

Ta có
Từ hình vẽ:

r = ( p − a ) tan

S
A
A
⇒ ∆ABC = ( p − a ) tan
2
p
2

( S∆ABC )
p

2

= ( p − a ) tan

Từ (1) và (2)
⇔

A
A
A
bc sin .cos
2
2
2

p ( p − a)( p − b)( p − c)
A
= bc( p − a)sin
p
2

⇒ sin

A
( p − b)( p − c )
=
2
bc

(2)

chứng

S ∆ABC =

Bài 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi

1
( a + b − c) ( a + c − b)
4

Hướng dẫn giải:

Theo Hê rong
⇒ ( a + b − c)

2

 a + b + c   a + b − c  a − b + c  − a + b + c 
S ∆ABC = 
÷
÷
÷
÷
2
2
2
2






( a + c − b)

2

= ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( −a + b + c )

⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) = ( a + b + c ) ( −a + b + c ) ⇔ b 2 + c 2 = a 2

Tam giác ABC vuông tại A
Bài 26 Cho tam giác ABC . Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam

giác. Chứng minh rằng:

r 1
≤
R 2

Hướng dẫn giải:
r=

4 p ( p − a) ( p − b) ( p − c) 4( p − a) ( p − b) ( p − c)
r
S2
S
abc
⇒ =
=
=
,R =

R pabc
pabc
abc
p
4S

Ta có
( p − a )( p − b ) ≤

Mà

2p−a−b c
=
2
2

( p − a )( p − c ) ≤

2p −a −c b
=
2
2

( p − b)( p − c) ≤

2p −b−c a
=
2
2

⇒ ( p − a) ( p − b) ( p − c) ≤

abc
r 1
⇒ ≤
R 2
8

Bài 27. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

a.
b.

cos 2 A + cos 2 B 1
≤ ( cot 2 A + cot 2 B )
2
2
sin A + sin B 2
3S ≥ 2 R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C )

p<

p − a + p −b + p − c ≤ 3p

c.
S2 ≤

1 4
a + b4 + c4 )
(

16

d.
Hướng dẫn giải:
⇔

a. BĐT

2 − s in 2 A + sin 2 B 1  1
1 
≤  2 + 2 ÷− 1
2
2
sin A + sin B
2  sin A sin B 


⇔

2
1 1
1 
≤  2 + 2 ÷
2
sin A + sin B 2  sin A sin B 
2

1 
 1
⇔ 4 ≤  2 + 2 ÷( sin 2 A + sin 2 B )

 sin A sin B 
3S ≥ 2 R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C )

b.
⇔

 a3
3abc
b3
c3 
≤ 2R 2  3 + 3 + 3 ÷
4R
 8R 8 R 8R  ⇔ 3abc ≤ a 3 + b 3 + c 3

c. Từ

( x + y + z)

2

= x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx

⇒ ( x + y + z ) > x2 + y 2 + z 2
2

x + y + z > x2 + y 2 + z 2

Nên x, y,z dương thì

áp dung vào CM

p −a + p−b + p−c >

+
+

(

p −a + p −b + p −c

)

2

p−a+ p−b+ p−c =

p

≤ 3( p − a + p − b + p − c ) = 3 p

 a + b + c  a + b − c  a − b + c  −a + b + c 
=
÷
÷
÷
÷
S = p ( p − a )( p − b)( p − c) 
2
2
2

2




2

d.
=

1
1
 (b + c ) 2 − a 2   a 2 − (b − c )2  ≤  (b + c )2 − a 2  a 2
16
16

=

1 2 2
1
b + c + 2bc − a 2 ) a 2 ≤ ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) a 2
(
16
16

=

1
1
2b 2 a 2 + 2c 2 a 2 − a 2 ) ≤ (a 4 + b 4 + c 4 )

(
16
16
S ∆ABC =

Bài 28. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB
C
A
C’
B
C
A

1 2
a sin 2 B + b 2 sin 2 B )
(
4


C’
B
C’
C
A
B

Xét các trường hợp + B là góc nhọn hay vuông,
+ B là góc tù

Bài 29. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

a 2 + b 2 + c 2 < 2ab + 2bc + 2ca

Hướng dẫn giải:
a − b < c ⇔ ( a − b ) < c 2 ⇔ a 2 + b 2 − c 2 < 2ab
2

Ta có

Bài 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi chỉ ra tam giác có tổng lập
phương các cạnh bé nhất.
Hướng dẫn giải:

( a + b + c)

2

≤ 3(a 2 + b2 + c 2 )

⇒ ( a + b + c ) ≤ 9 ( a 2 + b2 + c 2 ) = 9
2

4

(

a a 3 b b3 c c3

)

2

≤ ( a + b + c ) ( a 3 + b3 + c 3 )

( a + b + c)
≥
9( a + b + c)
4

⇒ a +b +c
3

3

3

1
8
= ( a + b + c)3 = p 3
9
9

khi tam giác đều


Bài 31. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

1 1 1
1

+ 2+ 2≤ 2
2
a b c
4r

Hướng dẫn giải:
a 2 ≥ a 2 − (b − c ) 2 ⇒

Tương tự

=

1
1
1
1
≤ 2
, 2≤ 2
2
2
b
b − (c − a ) c
c − ( a − b) 2

1 1 1
1
1
1
+ 2+ 2≤ 2
+ 2

+ 2
2
2
2
a b c
a − (b − c ) b − (c − a ) c − (a − b) 2

Nên
=

1
1
≤ 2
2
a
a − (b − c ) 2

1

+

1

+

1

( a − b + c) ( a + b − c) ( b − c + a) ( b + c − a) ( c − a + b) ( c + a − b)
1
1

1
+
+
4 ( p − b) ( p − c) 4 ( p − c) ( p − a ) 4 ( p − a ) ( p − b)

p
p2
p2
1
=
=
= 2 = 2
4( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4S
4r

Bài 32. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

a.

a
b
c
+
+
≥3
b + c −a a +c −b a +b −c
1 1 1 1
+ + =
ha hb hc r

b

c.

hb hc ha 1
+ +
>
ha2 hb2 hc2 r

Hướng dẫn giải:
(b + c − a)(c + a − b) ≤

a.
(c + a − b)(a + b − c) ≤

b+c− a +c + a −b
=c
2

c + a −b+ a +b −c
=a
2


(b + c − a )(b + a − c) ≤

b+c −a +b+a −c
=b
2

⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) (b + c − a ) ≤ abc ⇔

Mà

a
b
c
a
b
c
+
+
≥ 33
.
.
=3
(b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c )
b+c −a a +c −b a +b−c

p=

b.
⇔

1
p a
b
c
( a + b + c) ⇒ = + +
2

S 2S 2S 2S

1
1
1
1
=
+
+
⇔
1 1 1 1
S 2S 2S 2 S
+ + =
ha hb hc r
p
a
b
c
2

c.
⇔

abc
≥1
( a + b − c ) ( a + c − b ) (b + c − a)

2

2

2 S  a  2S  b  2 S  c  1
⇔

÷ +

÷ +

÷ ≥
b  2S 
c  2S 
a  2S  r
a 2 b 2 c 2 2S
a2 b2 c2
+ + ≥
⇔
+ + ≥ 2p
b
c a
r
b
c a
a2
a2
a + b ≥ 2ab ⇒
+ b ≥ 2a ⇔
≥ 2a − b
b
b
2

Ta có

2

b2
c2
≥ 2b − c
≥ 2c − a
c
a

Tương tự

,

Công lại ta có

a 2 b2 c 2
⇔
+ + ≥ a +b+c = 2p
b
c a

Bài 33. Cho tam giác ABC có

sin 2 B + sin 2 C = 2sin 2 A

. Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải:
sin 2 B + sin 2 C = 2sin 2 A ⇔ b 2 + c 2 = 2a 2

cos A =

b +c −a
=
2bc
2

2

2

b2 + c2
2
2
2 = b + c ≥ 1 = cos 600
2bc
4bc
2

b2 + c2 −

A ≤ 600

.


4

3

Bài 34. Cho tam giác ABC có

4
3

a +b = c

4
3

. Chứng minh rằng có một góc tù.

Hướng dẫn giải:
3

4
4 4
4
 43

 43

4
4
3
3 3
a + b = c ⇔ c =  a + b ÷ = a + b + 3a b  a + b 3 ÷





4
3

4
3

4
3

4

4 4
4
4 4 2 2
 4

≥ a 4 + b 4 + a 3 b 3  a 3 + b 3 ÷ ≥ a 4 + b 4 + 2a 3 b 3 a 3 b 3



= a 4 + b 4 + 2a 2 b 2 = ( a 2 + b 2 )

⇒ c2 > a 2 + b2

cos C =

Mà

2

a 2 + b2 − c 2
< 0 ⇒ C ≥ 900
2ab

Bài 35. Tam giác ABC có

a 2 + b 2 + c 2 = 36r 2

thì có tính chất gì?

Hướng dẫn giải:
a 2 + b 2 + c 2 = 36

Ta có
⇒

2 ( p − b)( p − c) ≤ ( 2 p − b + 2 p − c ) = a

( p − b)( p − c ) ( p − c )( p − a ) ( p − a )( p − b) abc
≤
p
8p

⇔ a2 + b2 + c 2 ≤

Mà

( p − b)( p − c) ( p − c)( p − a ) ( p − a)( p − b)
S2
( p − a )( p − b)( p − c )
= 36
= 36
2
p
p
p

9abc
⇔ ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 9abc
a+b+c

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

⇒ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ 9abc
⇔ a ( b − c) + b ( c − a) + c ( a − b) ≤ 0 ⇔ a = b = c
2

2

Vậy tam giác ABC có

2

a 2 + b 2 + c 2 = 36r 2

thì tam giác ABC đều.