31 bai tap tich phan to hop nhieu ham so co loi giai tran si tung

Bài tập Tích phân

Trần Sĩ Tùng
TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ

Câu 1.

1
4
3
x 
I    x 2e x 
 dx
1

x


0
1

1

3

4

 I   x 2e x dx  

x

0 1 x

0

1

dx .

11 t
1 1 1
1
+ Tính I1   x e dx . Đặt t  x  I1   e dt  et  e  .
30
3 0 3
3
0
2 x3

1

+ Tính I 2  

4

3

x

0 1

2

x

2

4  x2



x2

1

1

dx .

2

2

+ Tính I 2  

1

 I2 

2







cos2 t

dt  ( cot t  t ) 2 =

sin2 t

1

I 

0

4 x

2

1


3

1

 I   x e2 x dx  

0

0

0

 I

x3
4  x2

2

dx  I1  I 2

e2  1
4

dx . Đặt t  4  x 2  I 2  3 3 

e2
61
3 3 
4
12
1

Câu 4.

3



4 x

+ Tính I1   x e2 x dx 

0



4  x 2  x 2 dx.

x3

1

1

I 

x2  1
2

0 ( x  1)

x2

 
dx . Đặt x  2sin t , t   0;  .

 2

.

 e2 x .

x

+ Tính I 2  

3

6

Vậy: I  e2  3 

4  x2

1

6

Câu 3.

 2 
dt  4    
 3 4
0 1 t
2


 dx



+ Tính I1   xe x dx  e2


t4

dx . Đặt t  x  I 2  4

1
Vậy: I  e    3
3
2 
4  x2
Câu 2. I   x  e x 

x3
1 

 I   xe x dx +

1

4

e x dx

Trang 34

16
3


Trần Sĩ Tùng

Bài tập Tích phân
2 2

 Đặt t  x  1  dx  dt I  

t  2t  2
t2

1

Câu 5.

3



I

x 2 1

x 3 .e

e

2



2 2  t 1
2  e2
dt    1    e dt = e  1     e   1

e  2
t2 t 
1


t 1

dx

1  x2

0

2

2

1

1

 Đặt t  1  x 2  dx  tdt  I   (t 2  1)et dt   t 2et dt  et
2

+ J   t 2et dt  t 2et
1

2
 J  (e2  e)
1

 2 2

2 2 t
2
  2te dt  4e2  e  2  tet   et dt   4e2  e  2(tet  et )
 1 1

1 1
1



Vậy: I  e2

x ln( x 2  1)  x 3

I 

dx

x2  1
x ln( x 2  1) x( x 2  1)  x x ln( x 2  1)
x
 Ta có: f ( x ) 


x
2
2
2
2
x 1
x 1
x 1
x 1
1
1
 F( x )   f ( x )dx   ln( x 2  1)d ( x 2  1)   xdx   d ln( x 2  1)
2
2
1
1
1
= ln2 ( x 2  1)  x 2  ln( x 2  1)  C .
4
2
2

Câu 6.



4

Câu 7.

I 

0

4

 I 



ln x  x 2  9  3 x 3
x2  9





ln x  x 2  9  3 x 3
x2  9

0
4

+ Tính I1  

 I1 





2

x 9

udu 

ln3

4

2

2

x 9

0

5

4

Vậy I  

dx  34


0



x 2  9  v  dv 

x
2

x 9





x2  9

dx  I1  3I 2 

ln2 9  ln2 3
 44 .
2

( x 3  1)ln x  2 x 2  1
dx
2  x ln x

1
e

1  ln x
dx .
 I   x dx  
2

x
ln
x
1
1
2

dx  I1  3I 2

1
2

x 9

dx , x 2  v 2 9

u3
5 44
 9u ) 
3 3
3

I 
e

x2  9

x 2  9  u  du 

e

Câu 8.

x3

2

dx . Đặt

ln x  x 2  9  3 x 3

0

x2  9

dx . Đặt ln  x 
2

 I 2   (u2  9)du  (
3



ln x  x 2  9

u ln 9 ln 9  ln 3

2 ln 3
2

x3

+ Tính I 2  

4

dx  

0

ln x  x 2  9

0

ln 9

dx

e

e

x3
e3  1

+  x dx 
3 1
3
1
2

Trang 35

dx


Bài tập Tích phân

Trần Sĩ Tùng

e

e
e
1  ln x
d (2  x ln x )
e2
dx  
 ln 2  x ln x 1  ln
+ 
.
2  x ln x

2  x ln x
2
1
1

Câu 9.

I

e3

ln3 x

1

1  ln x

x

e3  1
e2
Vậy: I 
.
 ln
3
2

dx

 Đặt t  1  ln x  1  ln x  t 2 

2

(t 2  1)3
dt =
t
1

 I 

dx
 2tdt và ln3 x  (t 2  1)3
x

2 6

2
t  3t 4  3t 2  1
1
15
dt

(t 5  3t 3  3t  )dt   ln 2


t
t
4
1
1



Câu 10. I 

4

x sin x
dx
2
x

 cos
0

u x

 Đặt 

sin x
dx
dv 
cos2 x





4

4

dx



cos xdx

. Đặt t  sin x  I1 

 cos x   1  sin2 x

+ I1 

0




 du  dx
x 4 4 dx
 2 4 dx





1  I
cos x 0 0 cos x
4
cos x

v  cos x
0


0

2
2



0

1 2 2
 ln
1  t2 2 2  2
dt

 2

1 2 2
 ln
4
2 2 2

Vậy: 

ln(5  x)  x3. 5  x
dx
1

x2
4

Câu 11. I 

ln(5  x)
dx   x 5  x .dx  K  H .
x2
1
1
4

4

 Ta có: I  

u  ln(5  x )
ln(5  x )
3

dx
dx . Đặt 
+ K
 K  ln 4
2
dv 
5
x

1

x2
4

4

+ H=  x 5  x .dx . Đặt t  5  x  H 
1

164
15

3
164
Vậy: I  ln 4 
5
15
2

Câu 12. I    x(2  x )  ln(4  x 2 ) dx
0

2

2

0

0

 Ta có: I   x (2  x )dx +  ln(4  x 2 )dx = I1  I 2

2

2

0

0

+ I1   x (2  x )dx   1  ( x  1)2 dx 
2

2

2

+ I 2   ln(4  x 2 )dx  x ln(4  x 2 ) 0  2 
0


2

(sử dụng đổi biến: x  1  sin t )

x2

dx (sử dụng tích phân từng phần)
2
4

x

0
 6ln 2    4 (đổi biến x  2tan t )
Trang 36


Trần Sĩ Tùng

Bài tập Tích phân

Vậy: I  I1  I 2 

3
 4  6 ln 2
2

8 ln x
dx
3 x 1

Câu 13. I  

u  ln x

dx
8
8
x 1

du 
dx  


I

2
x

1
ln
x

2
dx
 Đặt 
x

dv 
3
x

3
x 1
v  2 x  1
8

3 2
3

x 1
2t dt
1 

dx . Đặt t  x  1  J  
 2 1 
dt  2  ln 3  ln 2
2
2
x
t 1
2 t 1
2

+ Tính J  

3

 I  6 ln8  4 ln3  2(2  ln3  ln 2)  20 ln 2  6 ln3  4

1  x2
Câu 14. I  
ln xdx
x3
1
2

u  ln x

2
 1 1

1 1
 Ta có: I    3   ln xdx . Đặt 

dv  (  )dx
x
x



1
x3 x
2
2

 1 1

1
63 1 2
 ln x  ln x   
 ln x  dx =  ln 2 
 ln 2
4
5
1
x
64
4 2
 4x


1  4x

 1

 I 

e

x 2  x ln x  1 x
e dx
x
1

Câu 15. I  

e

e

1

1

e x

e
dx  H  K  J
x
1

 Ta có: I   xe x dx   e x ln xdx  
e

x

+ H   xe dx 
1

xe x 1e 

e

e

e

x

dx  ee (e  1)

1

e

e x

e x
e
e
dx  ee   dx  ee  J
x
x
1

1

+ K   e x ln xdx  e x ln x  
1

1

Vậy: I  H  K  J  ee1  ee  ee  J  J  ee1 .


Câu 16. I 

2





x cos x
sin3 x

dx

4

 1 
2 cos x
 Ta có  2    3 . Đặt
sin x
 sin x 



u  x
du  dx


dv  cos x dx  v   1


sin3 x
2sin 2 x





2
1 2 dx
1  
1
1
1
1 2
  (  )  cot x  = .
 I =  x.
+ 
2  sin2 x
2 2 2 2
2
2 sin2 x 

4

4

4



Câu 17. I 

4

x sin x

 cos3 x dx

0

Trang 37


Bài tập Tích phân

Trần Sĩ Tùng

u  x
du  dx
x



sin x
1
I 

 Đặt: 
dv 
dx
v
2 cos2 x


cos3 x
2.cos2 x




4



0

1
2

4

dx



1


4

 cos2 x  4  2 tan x 0

0




4



1
2



( x  sin 2 x)
0 1  sin 2 x dx
2

Câu 18. I 





2
x
sin2 x
dx

 1  sin 2 x
 1  sin 2 x dx  H  K
0
0

2

 Ta có: I 

u  x
du  dx

dx
x
x


1

+ H
dx  

dx . Đặt: dv 

  v  tan  x  
1  sin 2 x


2

0
0 2 cos2 x  
2 cos  x   
2
4


4

4 






2

2





H 



x
  2 1
2 
tan  x     ln cos  x    
2
4  0  2
4  
4


0


+ K



2

2
sin x
cos2 x

dx

K

.
Đặt

t


x
 1  sin 2 x
 1  sin 2 x dx
2
0
0

2





2


1
dx
1
2
 tan  x    1  K 
2


 2
4 0

0 2 cos2 x  



4
 1
Vậy, I  H  K   .
4 2
 2K 

Câu 19. I 





x (cos3 x  cos x  sin x )



1  cos2 x

0

dx





 cos x(1  cos2 x )  sin x 
x.sin x
 Ta có: I   x 
dx  J  K
 dx   x.cos x.dx  
2
2


1  cos x
0 
0
0 1  cos x







u  x
+ Tính J   x.cos x.dx . Đặt 
 J  ( x.sin x )   sin x.dx  0  cos x  2
0
0
dv  cos xdx

0
0


+ Tính K  

x.sin x

2
0 1  cos x



K

dx . Đặt x    t  dx  dt

(  t ).sin(  t )
2

0

1  cos (  t )



( x    x ).sin x

 2K  

0

1  cos2 x



dt  

0

(  t ).sin t
2

1  cos t


dx   

Đặt t  cos x  dt   sin x.dx  K 



1

dt  

0

sin x.dx

2
0 1  cos



x

(  x ).sin x
1  cos2 x

K
dt

 1  t2 ,

2 1

Trang 38

dx

  sin x.dx

2 0 1  cos2 x

đặt t  tan u  dt  (1  tan2 u)du


Trần Sĩ Tùng

Bài tập Tích phân


K







Vậy I 

(1  tan u)du



2

1  tan2 u



2
3

Câu 20. I  

(1  sin x )sin2 x
2

3

 Ta có: I  

x
sin2 x

2



. u 4 


4

2

4

4

3

dx
2
3

dx  

3

x
2

sin x

2
3

dx  

3

dx
H K
1  sin x

u  x


du  dx
dv  dx  v   cot x  H 

3

sin2 x

dx . Đặt

3



Vậy I 



(1  sin x )sin x

2

3



2

dx
 3
1  sin x 

+ K  



du 

x(1  sin x )  sin2 x

3

2
3

2

x  ( x  sin x )sin x

3

3





2

4

+ H  

4



4

2

2
3



2

4

2

dx
dx
 3
 3 2


x
2
1  cos   x 
3 2 cos   
2

 4 2

 3 2



2
3 x  sin x
0 1  cos2 x

Câu 21. I  

dx



2
3 x  sin x
0 1  cos2 x

 Ta có: I  

3
0

+ H


3
0

dx  


1
dx   3

2
2 0
2 cos x
x



x

dx   3

sin2 x

dx  H  K
2 cos2 x
u  x
x

du  dx
dx  
dx . Đặt 
2
dv

v  tan x
cos x

cos2 x
2 cos2 x

0





1

1
3
 H  x tan x 3   tan xdx  
 ln cos x
0
0
 2 3 2
2


3
0

+ K



sin2 x


3
0



1
 ln 2
2 3 2





1
1

1
dx   3 tan2 xdx   tan x  x  3   3  
0
2
2
3
2 0
2 cos2 x

Vậy: I  H  K 

1
1
    3  1 1
 ln 2   3   
 ( 3  ln 2)

2
3
6
2
2 3 2



3

Câu 22. I   x  1sin x  1.dx
0

2

2

2

1

1

1

 Đặt t  x  1  I   t.sin t.2tdt   2t 2 sin tdt   2 x 2 sin xdx
2 2
2

du  4 xdx


Đặt u  2 x
 I  2 x 2 cos x   4 x cos xdx
1
dv  sin xdx v   cos x
1

u  4 x
du  4dx

Đặt 
. Từ đó suy ra kết quả.
dv

cos
xdx

v  sin x

Trang 39


Bài tập Tích phân

Trần Sĩ Tùng


2

1  sin x

 1  cos x .e

Câu 23. I 

x

dx

0



I



x

2

2
1 e dx
sin x x

e dx


20
1


cos
x
2 x
0
cos
2





2

2


x
x
2sin
.cos
2
sin x x
2
2 e x dx  tan x e x dx
+ Tính I1  
e dx  
 2
x
1  cos x

0
0
0
2 cos2
2
x



ue
du  e x dx


x
2
2
1 e dx


2  tan x e x dx
I

e
+ Tính I 2  
. Đặt dv  dx  

 2
2
x
x

20

 v  tan
0
2 x
cos2
2 cos

2

2
2



Do đó: I  I1  I 2  e 2 .


Câu 24. I   2
0

cos x
x

e (1  sin 2 x )

dx


cos x


(sin x  cos x )dx
u
du 


x
cos
x


e
ex
 I  02 x
dx . Đặt 

2
dx
sin x
e (sin x  cos x )
dv 
v 
2


sin x  cos x
(sin x  cos x )


I 

cos x
e

x



.





2

2

sin x
sin xdx


sin x  cos x 0 0 e x
2



0

sin xdx

ex


u1  sin x
du1  cos xdx
1 2


Đặt 
 I  sin x. x 
dx  
1
e 0
 dv1  e x
v1  e x


u2  cos x
du2   sin xdx


Đặt 
dx  
1
 dv1  e x
v1  e x



I 

1


 cos x.

e2


Câu 25. I 

4







1
e

x


2
0





sin6 x  cos6 x
6x  1

2

sin xdx

0

e

x



1


 1  I  2I 

e2

dx

4

Trang 40


2





cos xdx

0


e 2

e

x



1


e2

1  I 



2



cos xdx

0


e 2

2

ex



1
2


Trần Sĩ Tùng

Bài tập Tích phân


 Đặt t  x  dt  dx  I 

4






4

 2I 





I 

(6 x  1)

6

6x  1

6

sin t  cos t
6t  1





dt 

4





4

6x

dx 

6x  1

4

(sin6 x  cos6 x )dx 





4


4

5 3


5
  cos 4 x dx 
16

 8 8



4

5
.
32

sin 4 xdx

6



Câu 26. I 



2 x  1


6



6



 Ta có: I 




6



2 sin xdx
2x  1

2x  1



4

x

2 sin xdx
2x  1





6



sin xdx
x

2 1





0

0

4

2 sin xdx
x

2 1

 I1  I 2

2t sin 4 (t )



x

0

2x  1

. Đặt x  t  I1   


6

2 x sin 4 xdx

6

6

4

0




2 x sin 4 xdx



0



6





4

x



0

+ Tính I1 


6

  sin 4 xdx 
0

2 t  1

dt 

6


6

0

sin 4 t



6

6

1
(1  cos2 x )2 dx

40

e

 cos(ln x)dx

1

 Đặt t  ln x  x  et  dx  et dt


1
 I   et cos tdt =  (e  1) (dùng pp tích phân từng phần).
2

0

2

sin2 x
.sin x.cos3 xdx
Câu 28. I   e
0

 Đặt t  sin x  I 
2

11 t
1
e (1  t )dt  e (dùng tích phân từng phần)

20
2



Câu 29. I 

4

 ln(1  tan x )dx

0

Trang 41

sin 4 x

 2t  1dt   2 x  1dx

16
4  7 3
(3  4 cos2 x  cos 4 x )dx 

80
64

Câu 27. I 

0







dx



4


4

sin6 x  cos6 x





sin x  cos x





I 

6

6t

6


Bài tập Tích phân

 Đặt t 

=

Trần Sĩ Tùng






4

4

4




 x  I   ln  1  tan   t  dt =
 4 
4

0







4

4

0

0


4

ln 2  I 

2

 ln 1  tan t dt

0



 ln 2dt   ln(1  tan t)dt

 2I 

 1  tan t 
 ln 1  1  tan t dt =
0


8

= t.ln 2 04  I

ln 2 .



Câu 30. I 

2

 sin x ln(1  sin x )dx

0


1  cos x
u  ln(1  sin x ) du 
dx

 Đặt 
1  sin x
dv

sin
xdx

v   cos x







2

2

2



2
cos x
1  sin x

 I   cos x.ln(1  sin x ) 2   cos x.
dx  0  
dx   (1  sin x )dx   1
1  sin x
1  sin x
2
0
0
0 0



Câu 31. I 

4



0

tan x.ln(cos x )
dx
cos x
1

 Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I  

2



1

ln t
t2

dt 

1



1
2



1
u  ln t
du  t dt
2

1
Đặt 

 I  2 1
ln 2
dv  dt
1
2
2


v
t
t


Trang 42

ln t
t2

dt .