Bai tap nguyen ham co tom tat ly thuyet

Netschool.edu.vn

1

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM

Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
u là hàm số theo biến x,
tức là u  u( x)
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản

 dx  x  C
 du  u  C
 k.dx  k.x  C , k là hằng số  k.du  k.u  C
x 1

 x dx    1  C
1
 x dx  ln x  C
1
1
 2 dx    C
x
x
1
 x dx  2 x  C

*Nguyên hàm của hàm số mũ
x
x
 e dx  e  C

e

 x dx  e x  C

ax
x
 a dx  ln a  C, 0  a  1

u 1

 u du    1  C
1

1

1
1
 2 dx    C
u
u
1
 u du  2 u  C



u du  eu  C

e

e

u du  eu  C

au
u
 a du  ln a  C

 sin u.du   cos u  C

e

1
1
du  .2 ax  b  C
a
ax  b
axbdx  1 eaxb  C
a

mxn dx 
a

1 amxn
.
 C, m  0
m ln a
1

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C

1

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C
1

1

1

 cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C

1

 sin 2 (ax  b) dx   a cot g (ax  b)  C

 cos2 u du  tan u  C

1

 sin 2 u du   cot u  C

 sin 2 x dx   cot x  C

1

 (ax  b) dx  a ln ax  b  C

1

 cos2 x dx  tan x  C

1 (ax  b) 1

 (ax  b) .dx  a .   1  C

 u du  ln u  C

*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
 cos x.dx  sin x  C
 cos u.du  sin u  C

 sin x.dx   cos x  C

*Trường hợp đặc biệt u  ax  b, a  0

Netschool.edu.vn

1

1

1


Netschool.edu.vn

2

Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt

*Trường hợp đặc biệt u  ax  b

Ví dụ

1

1

 cos kx.dx  k sin kx  C

 cos 2 x.dx  2 sin 2 x  C, (k  2)

1

1

 sin kx.dx   k cos kx  C
e

 sin 2 x.dx   2 cos 2 x  C

kx dx  1 ekx  C

e

k

 1
 .dx  1 . (ax  b)
(

ax

b
)
C

a
 1
1

2 x dx  1 e2 x  C
2

1 (2 x  1)21
1
2
(2
x

1)
.
dx

.
 C  .(2 x  1)3  C

2 1

2

1

1

1

 (ax  b) dx  a ln ax  b  C

 3x 1 dx  3 ln 3x 1  C

1
1
du  .2 ax  b  C
a
ax  b
1 axb
axb
C
 e dx  a e
1 amxn
mx

n
du  .
 C, m  0
a
m ln a
1
 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C
1

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C
1
1
 cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C





1



6

1
1
2
du  .2 3x  5  C 
3x  5  C
3
3
3x  5
1
e2 x1dx  e2 x1  C
2

2 x1
2 x1dx  1 . 5
5

C

2 ln 5
1

 cos(2 x  1)dx  2 sin(2 x 1)  C
1

 sin(3x 1)dx   3 cos(3x 1)  C
1

1

 cos2 (2 x  1) dx  2 tan(2 x  1)  C

1

1

 sin 2 (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C

1

 sin 2 (3x  1) dx   3 cot(3x  1)  C

*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương
pháp đổi biến số đặt u  ax  b  du  .?.dx  dx  .?.du
Ví dụ: Chứng minh  cos(ax  b)dx 

1

sin(ax  b)  C , a  0
a

1
Giải: Đặt u  ax  b  du  (ax  b) ' dx  a.dx  dx  .du
a

1
a

1
a

1
a

Suy ra  cos(ax  b)dx   cos u. .du   cos u.du  .sin u  C 

Netschool.edu.vn

1
sin(ax  b)  C
a

2


Netschool.edu.vn

3

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
A/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất

x10 1
 x C
5 2
3x x 2
kq: F ( x) 

 xC
ln 3 2

1
a) f ( x)  2 x9 2

kq: F ( x)=

b) f ( x)  3x  x  1

2
c) f ( x)  +3
x
d ) f ( x)  2sin x
cos x
e) f ( x) 
3

kq: F ( x)  2ln x  3x  C

kq: F ( x)  2cos x  C
1
kq: F ( x)  sin x  C
3

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số

1
a. f(x) = x – 3x +
x
2

b f(x) =
c. f(x) =
d. f(x) =

e. f(x) =
f. f(x) =
g. f(x) =

2 x4  3
x2

x 1
x2
( x 2  1)2

x2
x 3 x 4 x

1
2

x 3x
( x  1)2
x

x 1
h. f(x) =
3x
i ) f ( x )  x5  3 x 2  4
j ) f ( x) 

x3
2

 5x2  2 x  1

2
k ) f ( x )   x 6  3 x5  3 x 2  2
3
1
l ) f ( x)  (2 x  3x 2 )( x 2  )  3x 3
x

x3 3x2
ĐS. F(x) =

 ln x  C
3

2
2x3 3
 C
3
x
1
ĐS. F(x) = ln x   C
x

ĐS. F(x) =

x3
1
 2x   C
3
x
4
3
5
3
2
2x
3x
4x 4


C
ĐS. F(x) =
3
4

5
3
ĐS. F(x) = 2 x  3 x2  C
ĐS. F(x) =

ĐS. F(x) = x  4 x  ln x  C

5
2
3
3
ĐS. F(x) = x  x  C
kq : F ( x) 

x6
 x3  4 x  C
6

1
5
kq : F ( x)  x 4  x3  x 2  x  C
8
3
2 7 1 6 3
kq : F ( x)   x  x  x  2 x  C
21
2
1 4
kq : F ( x)  x  x  C
2

Netschool.edu.vn

3


Netschool.edu.vn

4

* HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triễn hằng đẳng thức, ví dụ: (a  b)2  a2  2ab  b2

Bài 3 : Tìm

a)  ( x  2)( x  4)dx
b)  ( x 2  3)( x  1)dx
c)  3( x  3)2 dx
x2  5x
g )
dx
x
2 x3  5 x 2  1
h) 
dx
x
2 x3  5 x 2  1
g )
dx
x2
( x  2)2

h) 
dx
x
( x  4)2
i) 
dx
x2
Bài 4 Tìm
3
1
4
a)  ( x  x 2  5)dx
b)  ( x 3  2 x 2  4 x  1)dx
c)  x ( x  2 x)( x  1)dx
1
d )  (2 x  1)(1  )dx
x

1
kq: F ( x)  x3  x 2  8 x  C
3
1
1
3
kq: F ( x)  x3  x 2  x 2  3x  C
3
2
2
kq: F ( x)  x3  9 x 2  27 x  C
kq: F ( x) 

1 2
x  5x  C
2

kq: F ( x) 

2 3 5 2
x  x  ln x  C
3
2

1
kq: F ( x)  x 2  5 x   C
x
1
2

kq: F ( x)  x 2  4 x  4ln x  C
kq: F ( x)  x  8ln x 

16
C
x

7
1
4 4
kq: F ( x)  x  2 x 2  5 x  C
7

1
2
kq: F ( x)  
  2 x2  x  C
2 x2 x
x3
1
kq: F ( x ) 
 2x   C
3
x
kq: F ( x)  x 2  ln x  x  C

Netschool.edu.vn

4


Netschool.edu.vn
Bài 5:

a)  (2.3x  4 x )dx
b)  (2.a x  5 x )dx
1
c)  (3e x  5sin x  )dx
x

x
e
d )  e x (2 

)dx
cos2 x
e)  2 x.3x dx
f )  2 x.32 x.5 x dx
g )  e x (2  e x )
ex
h)  x dx
2
Tìm

5

2.3x 4 x

C
ln 3 ln 4
2.a x 5 x
kq: F ( x) 

C
ln a ln 5
kq: F ( x)  3e x  5cos x  ln x  C

kq: F ( x) 

kq: F ( x)  2.e x  tan x  C
6x
C
ln 3
90 x

kq: F ( x) 
C
ln 90

kq: F ( x) 

kq: 2e x  x  C
ex
kq:
C
(1  ln 2)2 x

Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số

Netschool.edu.vn

5


Netschool.edu.vn

6

x
1
dx
kq: F ( x)  ( x  sin x)  C
2
2
x

b)  (2 x  sin 2 )dx
2
x
1
c)  cos 2 dx
kq: F ( x)  ( x  sin x)  C
2
2
x
d )  (2 x 2  cos 2 )dx
2
1  cos2 x
1  cos2 x
HD : sin 2 x 
; cos 2 x 
2
2
e) (1  tan 2 x)dx
kq: F ( x)  tan x  C
a )  sin 2



d )  (1  cot 2 x) dx
e) tan 2 xdx

kq: F ( x)   cot x  C


f )  cot 2 xdx

kq: F ( x)  tan x  x  C
kq: F ( x)   cot x  x  C

HD :1  tan 2 x 

1
1
;1  cot 2 x 
2
cos x
sin 2 x

g )  (tan x  cot x) 2 dx
h)  (2 tan x  cot x)2 dx
HD : (a  b)2  a 2  2ab  b 2
h) 

1

kq: F ( x)  tan x  cot x  4 x  C
kq: F ( x)  4 tan x  cot x  x  C

kq: F ( x)  tan x  cot x  C

dx
sin 2 x.cos 2 x
cos2 x
h) 
dx

sin 2 x.cos 2 x

k q: F ( x)   tan x  cot x  C

HD : sin 2 x  cos 2 x  1; cos2 x  cos 2 x  sin 2 x
Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng

a ) f '( x)  2 x  1; f (1)  5
b) f '( x)  2  x 2 ; f (2) 
c) f '( x)  x 

7
3

1
 2; f (1)  2
x2

d ) f '( x)  4 x  x; f (4)  0
e) f '( x)  4 x3  3 x 2  2; f (1)  3
f ) f '( x)  3 x  x3  1; f (1)  2
g ) f '( x)  ( x  1)( x  1)  1; f (0)  1
h) f '( x)  3( x  2) 2 ; f (0)  8

kq: f ( x)  x 2  x  3
x3
kq: f ( x)  2 x 
1
3
x2 1

3
kq: f ( x) 
  2x 
2 x
2
8 x x x 2 40
kq: f ( x) 


3
2
3
kq: f ( x)  x 4  x3  2 x  3
4
3 3 x4
kq: f ( x)  x 
x
4
4
x3
kq: f ( x) 
1
3
kq: f ( x)  ( x  2)3
Netschool.edu.vn

6


Netschool.edu.vn

7

Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng

a) f '( x)  ax 

b
; f (1)  2, f (1)  4
x2

kq: f ( x) 

x2 1 5
 
2 x 2

5 x3 23
kq: f ( x) 

7
7

15 x
b) f '( x) 
; f (1)  4, f (4)  9
14

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I =  f [u ( x)].u' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)  dt  u' ( x)dx
I=

 f [u( x)].u' ( x)dx   f (t )dt
BÀI TẬP

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
1.  (5 x  1)dx
2. 
(3  2 x) 5
5.
9.

 (2 x


2

 1) 7 xdx

3x 2

 (x

6.

dx 10.

3

 5) 4 x 2 dx



2
2
 x 1  x .dx

26.

dx
 1 x2

29.

 cos

30.

x

3

x sin 2 xdx



15.

2x 1
x
8.  2
dx
x 5

x 2  1.xdx

 cot gxdx

 x.e

12.
16.

 tgxdx

20.

23.



24.

x  1.dx



1  x 2 .dx

dx

tgxdx
2
x
e x





dx
x
dx

4  x2
dx
28.  2
x  x 1

x 2 dx

1 x2
dx
31.  x
e 1

x 2 1

 cos

19.

27.

dx



4.

ln 3 x
dx
11. 
x

2

25.

5  2 x dx

7.

dx

x (1  x )
sin x

dx
13.  sin 4 x cos xdx 14. 
cos 5 x
dx
dx
17. 
18. 
sin x
cos x
e tgx
e x dx
dx
21. 
22. 
cos 2 x
ex  3
5  2x

3



3.

32.

x

3

x 2  1.dx

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
 u( x).v' ( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u' ( x)dx
Hay

 udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx,

dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Netschool.edu.vn

7


Netschool.edu.vn

 x.sin xdx
5.  x sin 2 xdx
9.  x ln xdx
1.

13.

x

 cos

2

dx

x
17.  e . cos xdx

2.

 x lg xdx

3.

14.

 xtg
18.

22.

2

xdx
2

 2 x ln(1  x)dx

2

 5) sin xdx

 x.e dx
ln xdx
11. 
x

15.

3 x
 x e dx

 (x

4  ( x 2  2 x  3) cos xdx

 ln xdx
12.  e dx

x

7.

2

x

21.

 x cos xdx
6.  x cos 2 xdx

10.  ln xdx

8

 sin x dx
19.  x ln(1  x )dx
ln(1  x)
23. 
dx
x
2

2

Netschool.edu.vn

8.

x

 ln( x  1)dx
20.  2 xdx
24.  x cos 2 xdx
2

16.

x

2

8