Chuyen de nguyen ham

Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc

NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN
I. Nguyên hàm
1. Định nghĩa
- Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a,b) nếu x  (a, b) ta có F’(x) = f(x)
- Kí hiệu

 f ( x) dx  F ( x)  C

2. Tính chất

  f ( x) dx   f ( x)
,

1.

 kf ( x) dx  k  f ( x) dx (k  0)
3.   f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   g ( x) dx
2.

3. Bảng nguyên hàm cơ bản

 dx  x  C
 0dx  0  C

 e dx  e  C
 cosx dx  sin x  C

x

x n 1
 x dx  n  1  C
1
 x dx  ln x  C
ax
x
 a dx  ln a  C (0  a  1)
n

x

 sin x dx  cos x  C
dx
 cos x  tgx  C
2

dx

 s in x  cotgx  C
2

II. Tích phân
b

1. Định nghĩa: Ta có công thức Newtơn –laipnit



f ( x)dx  F ( x)

a

a
 F (b)  F (a)
b

2. Tính chất
a

1.

 f ( x) dx  0
a
b

2.

a

 f ( x) dx   f ( x) dx
a
b

3.

b

c

 f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx

a
b

4.

5.

b

a

c

b

b

a

a

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   g ( x) dx
a
b

b

a

a

 kf ( x) dx  k  f ( x) dx k  

B. PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
Dạng 1: Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Bài 1 : Tính các nguyên hàm sau

1

3

 x  x

1. 1  

2


 5x  dx


Group: Thủ thuật casio khối A



6.  6  (2x  3)3 dx

Th.s Hµ Ngäc Toµn
sin x

 1  4cos x dx
  sin x dx

2.  2 
3. 3

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc
8. 8

2

4.  4 



5. 5 



x
x 2
ex
2

3



10. 10 

dx

x dx

x
dx
2

tan x

 cos x dx
3



Bài 2: Tính tích phân sau
1

x3
1. 1   2
dx
x 1
0

3. 3 

4

sin 2 x



cos x  4sin 2 x
1
dx
4.  4   x
e 4
0
2

dx

0
1



2.  2 

3

9. 9  sin 2

dx

(e  1)

x


  tan

7.  7  tan 2 x dx

1  2sin 2 x
0 1  sin 2 x dx
4

1



5. 5  x3 ( x 4  1)5 dx
0

Dạng 2: Phƣơng pháp đổi biến số
b

Phương pháp chung Tính  



b

f [u ( x)]dx I 

a

 f u( x) u '( x) dx
a

u (b )

Đặt u  u ( x)  du  u ( x)dx  I 
,



f (u ) du

u(a)

Loại 1: Tính  

P( x)

 Q( x) dx , P(x), Q(x) là các đa thức hữu tỉ

- Trƣờng hợp 1: Nếu deg P( x)  deg Q( x)
+ Nếu Q( x)  ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )( x  b)k ( x 2  px  q)
Sử dụng phương pháp phân tích

P( x)
P( x)

Qx) ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )( x  b) k ( x 2  px  q)
An

Bk
A1
A2
B
B2
CxD

 ... 
 1 
 ... 
 2
2
k
x  a1 x  a2
x  an x  b ( x  b)
( x  b)
x  px  q
Các hệ số A1 , A2 ,..., An , B1 , B2 ,..., Bk , C, D tìm được bằng việc thay giá trị a1 , a2 ...an , b1 , b2 ...bk
+ Nếu Q( x) không phân tích được thành nhân tử ( mẫu số vô nghiệm ) ta sử dụng tích phân
1
 
dx Đặt x  a tan t  dx  a(1  tan 2 t )dt t  (- , )
Tính    2
2
x a
2 2


+ Xét mối quan hệ đạo hàm của tử số và mẫu số
 Tính  

 

2a x  b
dx ta có (a x2  b x  c),  2a x  b khi đó
2
bxc

ax

d (a x 2  b x  c)
dx  ln a x 2  b x  c  C
2
a x bxc

- Trƣờng hợp 2: Nếu deg P( x)  deg Q( x) ta thực hiện phép chia tử số cho mẫu số
- Một số trƣờng hợp đặc biệt

Group: Thủ thuật casio khối A


Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc

1
dx với   b2  4ac  0
bxc
b
1

1
1
Biến đổi   
 dt=dx  I=  2
dx
dx Đặt t = x +
b 2 
2a
a
t

b
a( x  ) 
2a
4a
x
 Tính    R(e ) dx đặt t=e x  dt=e x dx  dt=tdx
 Tính  

ax

2

ad  bc
(ax  b) m
a xb
 (cx  d )n dx đặt t= cx  d  dt  (cx  d )2
t b

P( x)

x 
 Tính   
dx (n  1) đặt t=a x  b  
a
(ax  b)n
dt  adx
 Tính  

Tính nguyên hàm, tích phân sau
1

1. 1 

x

2

0
1

2.  2 

x 3
dx
2
 3x  2)

 ( x  1)( x
0
1

3. 3 

3
dx
 4x  5

 (x
0

4x
dx
 1)

3

2x  9
dx
x3
0

1

4.  4 



4 x2  6 x  1
 2 x  1 dx
2 x 4  3x 2  1

6.  6  
dx
x3
1 3
x  2 x 2  10 x  1
dx
7.  7  
x2  2 x  9
0
5. 5 

2
8. 8   2
dx
x  2x  2
x4
dx
9. 9  
( x  1)3
2

10. 10 

1 x

5

 x(1  x ) dx

1

19. 19 

x2
dx
11. 11  
4  x2
0
1

xdx
12. 12   4
x  x2  1
0
( x  1)dx
4
 x2  1
1
1
dx
14. 14   2
x 1
2

x

2

20.  20 

1
dx
3

2x

x 1

 ( x  2)

2

dx

1
2

1  x2
dx
21.  21  
1  x4
1
1

22.  22 

x

 (2 x  1)

3

dx

0
1

23.  23 

x4  1
0 x6  1 dx

1  x5
1 x(1  x5 ) dx
x
 25   6 dx
x 1
( x 2  1)( x 2  2 x  1)
 26  
dx
x 6  14 x3  1
x2
 27  
dx
(1  x)100
x4
 28   2
dx
x  2x 1
2

24.  24 
25.
26.
27.

2

Group: Thủ thuật casio khối A

e
0

5

1
1

13. 13 

x3
 x2  9 dx
1
x4
dx
16. 16  
x
1

2

1
2x 1
17. 17   2
dx
x  2x  5
1
18 18  
dx
(2 x  1)(4 x 2  4x  5)
15. 15 

28.


Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc

Loại 2 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa biểu thức dạng
Trong nhiều trường hợp ta sẽ đặt t 
Trƣờng hợp đặc biệt
 Biểu thức trong dấu tích phân chứa

n

n

f ( x)

f ( x)

a 2  x 2 đặt x  a sint hay x  a cost với t  (-

 

, ) hay
2 2

t=x+ a 2  x 2
 Biểu thức trong dấu tích phân chứa

a 2  x 2 đặt x  a tant với t  (-

 

, ) hay x  a cot t với
2 2

t  (0,  ) hay t=x+ a 2  x 2
 Biểu thức trong dấu tích phân chứa

x 2  a 2 hay đặt x 

a
a
  
với t  - ,  \{0} hay x 
với
sint
cost
 2 2

 
t   0,   \   hay t= x 2  a 2
2
 Biểu thức trong dấu tích phân chứa

x(a  x) đặt x  a sin 2 t hay x  a cos2 t với t  (-

 Biểu thức trong dấu tích phân chứa

ax 2  bx  c

 

, )
2 2

at 2 -c
b+2at

Nếu a<0 ta chỉ xét trường hợp   0 khi đó đặt  
0
4a
Cách 1: Nếu a> 0 đặt (t-x) a = a x 2 +bx+c  x=

a x 2  bx  c  ( x 

Đặt

Cách 2: Đặt t 

b
)t  
2a

2ax+b


Cách 3: Nếu a>0 đặt

a x 2 +bx+c  t  x a

a x 2 +bx+c  tx  c

Nếu c>0 đặt

a x 2 +bx+c  ( x  a)( x  b) đặt a x 2 +bx+c  t ( x  a)
mx  n
mx  n
dx đặt t 
 Tính   
px  q
( px  q) a x 2  bx  c
Nếu



 Tính   R(x, n

t  (-

 

ax +b
ax +b
ax
)dx đặt t = n
dx đặt x  a cos t
trường hơp đặc biết tức là   
bx +d
bx +d
ax

, )
2 2

 Tính  



 Tính  



m
p

f ( x)  n f ( x)

dx đặt t  h f ( x) với h là bội chung nhỏ nhất của m, n, p, q

f ( x)  q f ( x)
1
dx đặt t  x  a  x  a
( x  a)(x+b)

Tính nguyên hàm-tích phân sau

Group: Thủ thuật casio khối A


Th.s Hµ Ngäc Toµn
2 3

1.



1 

5

1
x x2  4

dx

11. 11 

 2   x 1  x dx

12. 12 

x
dx
x 1
1 1

4.

1

7

 1

5 

x3
3

0

3

6.

x

6 

1

x 1
4



7 

dx

3  2 ln x
dx
1  2 ln x

4  x 2 dx
x2



1  x2
1

0
6

9.



9 

3 2

10. 10 

x2  3

x2  2 x
1

15. 15 



16. 16 

 ( x  1)

x x2  9

3
2



3
2

18. 18 

dx

dx

1
(9  x 2 )3

19. 19 

 1
1

x

dx

2

dx

x2  x  1

1
x 4x3
2

1 x
dx
1 x

5 x
dx
5 x



1
dx
x 1  x 1

1

dx

dx



0
3

20.  20 

dx

x2  2 x  5
1

1

2

5
2

dx

1

x

0

2
2

8 

1
2

1

17. 17 

1

8.

x

3

14. 14 

3

7.



1

1  3ln x ln x
dx
x

4  
4

5.

13. 13 

3  

dx

1  x2
dx
x2

1
3

2

e

4  x2

3

2

0

3.

1


0

1

2.

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc
2

Loại 3: Nếu hàm số trong dấu tích phân là hàm lƣợng giác
 Tính   R(sinx, cosx) dx R(u, v) là hàm hữu tỉ đối với u và v



Phƣơng pháp chung

x
1
x
1
 dt  (1  tan 2 )dx  (1  t 2 )dx
2
2
2
2
2
2t
1 t
2t
,cos x 
, tanx 
Khi đó sin x 
2
2
1 t
1 t
1 t2
2t 1  t 2 1
 I   R(

,
) (1  t 2 )dt tích phân này có dạng tích phân hữa tỉ
2
2
1 t 1 t 2
Đặt t  tan

Một số trƣờng hợp đặc biệt
 Nếu R( s in x,  cosx)  R(s in x, cosx) Đặt t  tan x hoặc t  cot x
 Nếu R(s in x,  cosx)   R(s in x, cosx) Đặt t  sin x
 Nếu R( s in x, cosx)   R(s in x, cosx) Đặt t  cosx
 Nếu R(s in x, cosx)   (s in x) cosx đặt t=cosx hay R(s in x, cosx)   (cos x)sin x đặt t=sinx
 Nếu biểu thức trong dấu tích phân là tích các hàm số lượng giác ta sử dụng các công thức sau

sin a.sin b 

1
 cos(a  b)  cos(a  b) 
2

Group: Thủ thuật casio khối A


Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc

1
 sin(a  b)  sin(a  b) 
2

1
cos a.cosb   cos(a  b)  cos(a  b) 
2

sin a.cos b 

- Dùng phép thay biến x=a-t với a là cận trên của tích phân thông thường tích phân thường có cận trên là



2

;  ;2

 Tính 1 

1

 sin( x  a)sin( x  b) dx ,

2  

1
1
dx , 3  
dx
cos( x  a)cos( x  b)
sin( x  a)cos( x  b)

sin(a  b) sin  ( x  a)  ( x  b)


sin(a  b)
sin(a  b)
sin  ( x  a )  ( x  b) 
1
1 
dx
sin(a  b)  sin( x  a) sin( x  b)
1
sin( x  a)cos( x  b)  cos( x  a ) sin( x  b)

dx

sin(a  b)
sin( x  a) sin( x  b)

1



 cos( x  b
1
cos( x  a ) 
d
x


 sin( x  a) dx 
sin(a  b)   sin( x  b)



 d (sin( x  b))
1
d (sin( x  a )) 

dx 


sin(a  b)  sin( x  b)
sin( x  a )




1
ln sin( x  b)  ln sin( x  a)   C
sin(a  b) 



1
sin( x  b)
ln
C
sin(a  b) sin( x  a)

I 2 tương tự
I 3 sử dụng 1 

cos(a  b)
co s(a  b)


Tính tích phân
1.

2.
3.
4.

1  

1

dx



sin x. cos  x  
4

1
2  
dx
2sin x  1
2
3  
dx
3 sin x  cos x

4sin x  3cos x
4  
dx
sin x  2cos x

16. 16 

0

4



17. 17  (tan 3 x  tan x) dx
0

18. 18 

0


6

6.

 6   sin 2 x.cos3x dx
0

Group: Thủ thuật casio khối A

1

 sin

4

x

dx



19. 19 

4

cos x  sin x

 sin x  cos x dx
0



2

5   (esin x  cos x) cos x dx



sin 3 x

dx
cos5 x





5.

4

20.  20 

4

1

 cos x dx
0



sin 2 x
dx
21.  21  
1  cos 2 x
0
4

Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc


2

7.

 7   cos x.cos5 x dx


3


2

8.

8  


cos 6 x  cos 4 x
dx
2

 2sin x  5cos x  3 dx

23.  23 

 sin x  cos x dx

24.  21 

3

0

3

 cos

4

x dx


6

 sin

4

26.  26 

sin 4 x
 cos6 x dx

27.  27 

sin 3 x
 cos4 x dx

x cos x dx



28.  28  ( sin x  cos x)2 dx

0




0

sin x
dx
1  3cos x

 cos x cos 2 x cos3x dx
  cos 4 x sin 5 x sin x dx

13. 13 
14. 14

sin 2 x  cos 2 x
dx
4
x  cos 4 x

0
2

 sin

0

12. 12 

sin 4 x
dx
x  cos 4 x

4

25.  25 



3

 sin
0

4

11. 11 

2



9   sin 3 x dx

10. 10 

cos x





9.

1

22.  22 

sin x  cos x
dx
3 sin x  cos x

29.  29 



30. 30 

 cos

5

x sin x dx



15. 15 

2

 tan


3

x dx

4

Dạng 3 .Phƣơng pháp tính tích phân từng phần
,

b b
u  u ( x)
du  u ( x)dx

Tính I   u ( x)v ( x) dx Đặt 
Khi
đó
I


u
.
v
  v du

,
,
a
v

v
(
x
)
dx
dv

v
(
x
)
dx

a
a



b

,

Chú ý khi sử dụng tớch phõn từng phần
- Dễ dàng tính được

 v du

- Hàm số u chọn lựa sao cho việc tớnh

 v du đơn giản nhất ( đạo hàm không làm khó thêm tích phân)

- Thứ tự ưu tiên trong việc đặt u log, đa thức, lượng giác, mũ

sin ax 


Loại 1:Tính    P( x) cos ax  dx
a
e a x 
b

Trong đó P(x) là đa thức theo biến x
Phương pháp chung

Group: Thủ thuật casio khối A


Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc

u  P ( x)

   sin ax dx 


Đặt 
 cos ax dx 
v

 

  ax

   e dx 
x2

Chú ý phương pháp tính tích phân dạng

 (a

0

x n  a1 x n1  ...  ak x nk  ...an1 x  an )e axb dx

x1

n1

nk

- Nếu ta đặt u  a0 x  a1 x  ...  ak x
 ...an1x  an thì ta phải tớch phõn từng phần n lần
- Sử dụng phương pháp sau để sử dụng tích phân từng phần 1 lần
n

n
n 1
nk

u  b0 x  b1 x  ...  bk x  ...bn1 x  bn
Đặt 
a x b
dx

v   e
du  (b0 nx n1  b1 (n  1) x n2  ...  bk (n  k ) x nk 1  ...bn1 )dx


1 a x b
v  e
a


 I  uv   v du



Ta quan tâm tới  v du ta có

1
v du   e a x b (b0 nx n1  b1 (n  1) x n2  ...  bk (n  k ) x nk 1  ...bn1 )
a
n 1
 b1 (n  1) x n2  ...  bk (n  k ) x nk 1  ...bn1 
a x b  b0 nx
e


a


Phân tích

a0 x n  a1 x n 1  ...  ak x n k  ...an 1 x  an
b0 nx n 1  b1 (n  1) x n  2  ...  bk (n  k ) x n k 1  ...bn1
 b0 x  b1 x  ...  bk x  ...bn1 x  bn 
a
bn
b (n  k  1) n k
b
 b0 x n  (b1  0 ) x n 1  ...  (bk  k 1
) x  ...bn  n1
a
a
a
b0  a0

b1  a1  b0 n


a

...

bk 1 (n  k  1)
bk  ak 
a

n

n 1

nk

Group: Thủ thuật casio khối A


Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc


Tính tích phân sau

2

1

1. I1 



6. I 6  e sin xdx

 xe dx
x

1



7. I 7  cos x dx

x
3
 e x dx
2

0
4

0



3. I 3 



8. 8. I 8  e

2

2
 x s in xdx
0

dx



9. I 9  (1  x) .e

4

 x sin

2

2x

dx

0

xdx

1



10. I10  e

0



5. I 5 

x

1
1

2

4. I 4 

2

0
1

0

2. I 2 

x

6

 x.sin x cos

2

xdx

0

3 x 1

dx

0
2

x 2e x
11. I11  
dx
( x  2) 2
0

b



Loại 2:Tính I  P( x)ln a x dx
a

u  ln ax
v   P( x) dx

Đặt 

Tính tích phân sau
1. I1 
2. I 2 

e



5. I 5  x(2  ln x) dx

5

x

2

ln( x  1)dx

1



2
3

2

 4 x ln xdx



6. I 6  cos x.ln(1  cos x) dx


1



3
2

4



3. I 3  ln(1  tgx)dx



7. I 7  x ln(1 

0
1

4. I 4 

ln(1  x)
dx
2
x

1
0



8. I 8 

1
1
2

2

1 x

 x ln 1  x dx
0

b



sin bx 
 dx

 cos bx 

Loại 3: Tính   e x 
a

u  e
 u  sin bx



Đặt  v   sin bx dx hay  u  cosbx

v  e ax dx



 v   cos bx dx
ax



Tính tích phân sau
1.

2x
3

x
3

1   e sin e dx

Group: Thủ thuật casio khối A

2

2.

 2   e x cos x dx
0

1
) dx
x


Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc

Dạng 4: Dựa vào cận tích phân
Loại 1: Phép thay biến x= -t
Thích hợp trong các dạng toán sau đây
a

 Khi biểu thức dưới dấu tích phân là hàm chẵn hoặc lẻ và tích phân cần tính có dạng



f ( x) dx ta sử dung kết

a

quả sau đây
a

- f(x) là hàm số lẻ và có tích phân trên [a,b] khi đó



f ( x) dx  0

a
a

- f(x) là hàm số chẵn và có tích phân trên [a,b] khi đó



a
a

 Khi tích phân có dạng

a

f ( x) dx  2 f ( x) dx
0

f ( x)

dx đặt x=-t
x
1

a

a

Tính tích phân sau
1

1



1. I1  ln( x  x 2  1) dx

x4
 2 x  1 dx
1

3. I 3 

1





2. I 2 





4. I 4 

x  cos x
dx
4  sin 2 x

2

sin 2 x
 3x  1 dx


2

Loại 2: Phép thay biến x= a-t
Dạng 5: Tích phân hàm trị tuyệt đối
b

Tính  



f ( x) dx

a

Bƣớc 1: Xét dấu f(x) để phá dấu trị tuyệt đối
Bƣớc 2: Chuyển tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu các tích phân mà không còn dấu trị tuyệt đối
Chú ý :+ Đa thức có n nghiệm thì ta xét trên n+1 khoảng
+ Đa thức bậc n có n nghiệm thì đan dấu trên các khoảng, khác n nghiệm thì không đan dấu
Bài 1: Tính tích phân sau
1

2

1. 1 



x 2  x dx

4.  4 







1  sin 2x dx

5.  5 

0

3 



2





1

3.

9x 2  6x  1 dx

0

0

2.  2 



x3  x 2 dx

cos3 x  cos 2 x dx

2

1

Dạng 6: Các phƣơng pháp khác
Loại 1: Sử dụng nguyên hàm phụ
b

Tính  



b

f ( x) dx khi đó ta tìm nguyên hàm phụ J   g ( x) dx sao cho việc tính I  J và I  J đơn giản hơn
a

a

Bài tập: Tính nguyên hàm , tích phân sau
1.

1  

s in x
dx
sin x  cos x

Group: Thủ thuật casio khối A

3.

ex
3   x  x dx
e e


Th.s Hµ Ngäc Toµn
2  

2.

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc

4

s in x
dx
sin x  cos 4 x

4.

4

1  

4s in x
dx
(sin x  cos x)3

Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra những “điểm nhấn “ để có thể hiểu
vấn đề một cách “ thông thái “ hơn.

Vậy để làm được điều đó, người học toán cần điều gì?
1. Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo về vấn đề được đặt ra.
2. Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức xung quanh vấn đề đó.
3. Tự đặt câu hỏi xung quanh một vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp.
Chúc các bạn thành công ! !
Xin phân tích qua một bài toán nhỏ sau:

2

Bài toán : Tính tích phân I =

sin x

 sin x  cos x dx
0

Nhận xét 1: Quan sát thấy được hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức. Vậy kiến thức sẽ sử dụng cho hàm
phân thức là gì? Chắc chắn chúng ta nghĩ đến nguyên hàm



dx
 ln | x | C
x

Vậy để sử dụng được công thức này chúng ta cần phải tìm mọi cách biến đổi về dạng đó !
Nhận xét 2: Ở đây chỉ xuất hiện 2 hàm số lượng giác là sinx và cosx . Vậy có cách nào biểu diễn thông qua một yếu tố
không ? Ta cùng tìm kiếm kiến thức để giải quyết.
- Hướng 1: Chia cả tử và mẫu cho cosx ta được f ( x) 

sinx
tgx
tgx  1  1
1
từ đó


 1
sinx  cos x tgx  1
tgx  1
tgx  1

đặt t= tgx

Bt  C 
 A
  dx  
dt  
dt
)
1  t 2 
 t 1
2t
1- t 2
x
; cosx=
- Hướng 2: Đặt t  tan thì sin x 
1 t2
1 t2
2



 I = dx 

tdt

 (1  t )(1  t

2

b

Với hướng trên ta có thể tính được tích phân có dạng tổng quát sau: I 

a1 sin x  b1 cos x  c1
dx
2 sin x  b2 cos x  c2

a
a

Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé!
Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ của sinx và cosx . Điều gì đặc biệt trong cận của tích phân ?


dx   dt





- Hướng 3: Đặt x=  t   x  0 : t 
( đây là cách đặt ẩn phụ mà không làm thay đổi cận của tích phân đã có
2
2



 x  2 : t  0
dịp trao đổi cùng các bạn).
Khi đó : I 





2

2



2
sin x
co s t
co s x
dx

dt


0 sin x  cos x 0 sin t  cos t 0 sin x  cos x dx







2
2
sin x
co s x


dx  
dx   dx   I 
 2I  
sin x  cos x
sin x  cos x
2
4
0
0
0
2

Thật đáng kinh ngạc !!!!!

Group: Thủ thuật casio khối A

Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc


Với hướng trên ta có thể tính được tích phân tổng quát sau: I 

n

2



n

0

sin m x

sin m x  n co s m x

Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé!
Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác thì như thế nào ?

 

sin  x   
 
4 4 1



- Hướng 4: Biến đổi f(x) =
 1  cot g  x   và ta tính được bình thường.
  2
4 


2 sin  x  
4

- Hướng 5: Biến đổi

1
 1  cos 2 x 
sin 2 x  

sin x(cos x  sin x) 2
2

  1  tg 2 x  1  1
f(x) =



2
2
cos x  sin x
cos 2 x
2

cos 2 x 
và ta tính với các tích phân bình thường của hàm lượng giác.
Nhận xét 6: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên nếu ta biến đổi tử thức để tìm cách viết được qua mẫu số và đạo
hàm của mẫu thì hay quá !
- Hướng 6: Biến đổi f ( x) 

sinx
sinx  cos x  sinx  cos x 1
cos x  sinx

 
sinx  cos x
2( sinx  cos x)
2 2( sinx  cos x)

Nhận xét 7: Quan sát ticsh phân cần tìm ta thấy sự sai khác của tử số và mẫu số, vậy nếu ta tìm được một tích phân


khác có “họ hàng” với nó thì sao nhỉ ? Trả lời câu hỏi đó ta đi xét tích phân J 

2

0

của tích phân I) .

I  J 
sẽ tìm được I .
I  J 

Từ hai tích phân trên ta đi giải hệ : 

Group: Thủ thuật casio khối A

co s x

 sin x  cos x dx ( gọi là tích phân liên kết


Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc
Bài tập nguyên hàm- tích phân tổng hợp


4

1.

 x(1  sin 2 x) dx

ln 5

(D-12)

16.

0
3

2.

1  ln( x  1)
dx (A-12)
x2
1


1

4x 1
dx (D-11)
2x  1  2

4

4.


0

1  x sin x
0 cos2 x dx (B-11)
3


4

6.


0
e

x sin x  ( x  1) cos x
dx (A-11)
x sin x  cosx

3
7.  (2 x  ) ln x dx (D-10)
x
1



1
2

18.

8.
9.

20.
21.

 x dx (D-03)

10.


1
3

1  3ln x ln x
dx (B-04)
x



11. ln( x 2  x) dx (D-04)

x x2  4

dx (A-03)

tan 4 x
0 cos 2 x dx (A-08)

 1
1

x
dx (A-04)
x 1



sin 2 x  sin x
dx (A-05)

1  3cos x
0
2

25.



2



26. (cos 3 x  1)cos 2 x dx (A-09)
0

2

sin 2 x

27.



28.

x 2  e x  2 x 2e x
0 1  2 e x dx (A-10)

0



cos x  4sin 2 x
2

dx (A-06)

1

2

sin x

 cos x) cosx dx (D-05)

0
1

2

14. ( x  2) e dx (D-06)
2x



x

29. xe 2 dx (Y-97)
0

0



1



sin 2 x cos x
0 1+cos x dx (B-05)



1
dx (D-09)
1

2

2



dx (B-10)

6



13. (e

x

2



2

12.



5

0

e

e
1

24.

2

dx (B-09)

ln x

2 3

22.

2

 x(2  ln x)

1
3

2

x

3  ln x

 ( x  1)
1
e

1  2sin x
dx (B-03)
1+sin
2
x
0



ln x
dx (D-08)
3
x
1


3

19.

23.

2

4

1
dx (B-06)
 2 e x  3

17. x3 ln 2 x dx (D-06)



5.

x

ln 3

e

3

x
3.  4
dx (B-12)
x  3 x2  2
0

e



sin( x  )
4
dx (B-08)
15. 
sin2 x +2(1+sin x  cos x)
0
4

Group: Thủ thuật casio khối A


2



30. cos x ln(1  cos x) dx (A-99)

0


Th.s Hµ Ngäc Toµn

Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc

A. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
B. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. Tính diện tích hình thang cong

 y  f ( x) (C1 )
 y  g ( x) (C )
b

2
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 
khi đó S   f ( x)  g ( x) dx
a
x  a
 x  b (a  b)
 y  f ( x) (C1 )
 y  0 (ox)
b

2. Trường hợp g(x) là trục ox 
khi đó S   f ( x) dx
a
x  a
 x  b (a  b)

3. Trường hợp khuyết cận

b
 y  f ( x) (C1 )
khi đó S   f ( x)  g ( x) dx với a, b (a
 y  g ( x) (C2 )
a

phương trình f(x) = g(x)
Bài tập: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
II. Tính thể tích vật thể trụ xoay

 y  f ( x) (C1 )
 y  0 (ox)

1. Hình phẳng giới hạn bởi 
x  a
 x  b (a  b)
Quay vật thể quanh ox khi đó thể tích của vật thể là V  

b

f

2

( x) dx

a

 y  f ( x) (C1 ) 0  g ( x)  f ( x)
 y  g ( x) (C )

2
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường 
x  a
 x  b (a  b)
b



Quay vật thể quanh ox khi đó thể tích của vật thể là V    f 2 ( x)  g 2 ( x)  dx
a

 x  g ( y ) (C1 )
 x  0 (ox)

3. Hình phẳng giới hạn bởi 
y  a
 y  b (a  b)
b



Quay vật thể quanh oy khi đó thể tích của vật thể là V   g 2 ( y ) dx
a

Bài tập

x2
x2
1. Tính diện tích giới hạn bởi y  4  , y 
(B-02)
4
4 2
2. Tính diện tích giới hạn bởi y  x 2  4 x  3 , y  x  3 (A-02)
3. Tính diện tích giới hạn bởi y  (e  1) x, y  (1  e x ) x (A-07)

Group: Thủ thuật casio khối A


Th.s Hµ Ngäc Toµn
4.

Tính diện tích giới hạn bởi y  sin 2 x cos3 x, y  0, x  0, x 



Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc

2

x

5. Tính diện tích giới hạn bởi y  e , y  e , x  1
x

3x
12 x


; y  1
va x  0; x 
2

2
2
7. Tính diện tích giới hạn bởi y   x  2 x; y  3x
6. Tính diện tích giới hạn bởi y  1  2 sin 2

8. Tính diện tích giới hạn bởi y  x 2  4 x  3 ; y  3  x

x2
8
9. Tính diện tích giới hạn bởi y  x ; y 
va y 
8
x
2
10. Tính diện tích giới hạn bởi y  x  1; y  x  5
2

11. Tính diện tích giới hạn bởi ( P) : y   x 2  4 x  3 và 2 tiếp tuyến tại các điểm A(0;-3) và B(3;0)
12. Tính diện tích giới hạn bởi y  ( x  1) 5 x; y  e x va x  1
13. Tính diện tích giới hạn bởi y  sin 3 x; y  cos 3 x va truc Oy voi0  x 
14. Tính diện tớch giới hạn bởi y  0;
điểm có hoành độ x=2


4

(C) : y  x  2 x  4 x  3 và tiếp tuyến với đường cong (C) tại
3

2

4x
(C ) và Ox, hai đường thẳng có phương trỡnh x=1; x=-1
x 1
16. Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị (C ) : y  x 2 trục Ox và đường thẳng có phương trình x=2
17. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng quay quanh ox y  x ln x, y  0, x  e
15. Tính diện tích giới hạn bởi y 

4




18. Cho hình phẳng giới hạn bởi D   y  tgx; x  0; x 




; y  0
3


a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay quanh Ox
19. Cho hình phẳng G giới hạn bởi y= 4-x2; y=x2+2 .Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta được một vật thể. Tính

thể tích vật thể này



20. Cho hình phẳng giới hạn bởi D  y  x 2 ; y 
Ox






x Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay quanh trục

21. Tính thể tích do D quay quanh Ox D   y  0; y  1  cos 4 x  sin 4 x ; x 

Group: Thủ thuật casio khối A




;x 
2
