kIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ hàm số lôgarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (995.03 KB, 17 trang )
1 và N > 0
log a N
a
0
a
1
N
và
( a > 0, a
*a>1
:
*0
1)
0
y
y
O
0
a>1
à
à
x
1
x
1
O
y=logax
y=loga x
garit:
ln x '
ln u '
1
x
u'
u
và
ln x '
và
ln u '
1
x
u'
u
à
hà
log a x '
log a u '
a/ y
log 1
2
2
x 1
0
x 1
x 1
0
x 1
1;
log 1 log 5
5
và
và
log a u '
log a x '
1
x ln a
u'
u.ln a
à
à
x 1
.
x 5
log 1
b/ y
u'
u.ln a
1
x ln a
x2 1
.
x 3
x
x
x
x
1
1
1
1
0
1
x 1
1 0
x 1
x
1 x 1
2
0 x
x 1
x
1 x 1
1
x2 1
x 3
log 1 log 5
3
x2
2
x 1
1
x 3
x2 1
0
5
x 3
2
x 1
1
x 3
x2 1
5
x 3
0 log 5
0
3
x
x
1 x 2
3 2 x 7
x 2
0
x 3
x 2 5 x 14
0
x 3
x
3
0
x
3; 2
2; 7
Bài 2. Tính giá
a.
31
log3 4
5
1
2 .3 log5 2
3
7 log7 4
3
4
72 7 log7 9
2 log 7 6
4 4 19
b.
1
c. 72 49 2
1
72 49 2
log7 9 log7 6
log7 9 log7 6
5
5
log
log
5
4
3
4
5
2 log 5 4
72
9
36
1
16
d.
-GA-RÍT
Bài 1
a. A log 9 15 log 9 18 log 9 10
18 4,5
22,5
A
log 9 15 log 9 18 log 9 10
3
1
log 1 400 3log 1 3 45
2
3
3
2 log 1 6
3
1
log 1 3
2
6
log 36 2
1
log 3 3 3
2
log 9 3 3
3
2
36.45
20
log 1
3
log 1 9 2
log 3 3 4
4
3
1
log 1 3
2
6
c. C log 36 2
C
15.18
10
1
log 1 400 3log 1 3 45
2
3
3
b. B 2 log 1 6
B
log 9
1
1
log 6 2
log 6 3
2
2
1
log 6 2.3
2
1
2
d. D log 1 log 3 4.log 2 3
4
D log 1 log 3 4.log 2 3
log 4 log 2 3.log 3 4
1
log 2 2
2
log 4 log 2 4
4
1
2
Bài 2. Hãy tính
a. A log 2 2 sin
A log 2 2 sin
b. B log 4
B
log 4
3
3
7
log 2 cos
12
3
7
3
log 2 cos
12
3
3
3
log 2 2 sin
12
3
49
3
21
49
3
21
3
log 4
log 4
12
3
12
.cos
log 2 sin
12
log10 tan 4 log10 cot 4
d. D log 4 x
D
9
log tan 4.cot 4
log 4
3
7
log1 0
1
log 4 216 2 log 4 10 4 log 4 3
3
1
log 4 216 2log 4 10 4log 4 3
3
1
6.34
log 4 63 log 4 10 2 log 4 34 log 4 2
3
10
6
1
2
1
9
c. C log10 tan 4 log10 cot 4
C
log 2
log 4 x
x
35
50
3
3
3
49
3
21
3
9
log 4 7 3
1
Bài 3. Hãy tính :
a. A log a a 3 a 5 a
A log a a 3 a 5 a
log a a
3
1 1
2 5
1
2
3
1
5
37
10
1
27
10
b. B log a a 3 a2 5 a a
1
1
log a a 3 a 2 5 a a
B
c. log 1
a
1
log a
4
a a
a
3
1
3
1
3
3
10
a 5 a3 3 a 2
a4 a
a 5 a3 3 a2
log 1
log a a
1 1
2
2 5
a
a
3 2
5 3
1 1
2 4
34
15
3
4
91
60
d. log tan10 log tan 20 log tan 30 .... log tan 890
log tan10 log tan 20
( vì : tan 890 cot10
log tan 30 .... log tan 890
tan10 tan 89 0
log tan10 tan 890.tan 20.tan 87 0...tan 450
tan10 cot10 1
0
)
e. A log 3 2.log 4 3.log 5 4......log15 14.log16 15
A
log 3 2.log 4 3.log 5 4......log 15 14.log16 15 log16 15.log15 14....log5 4.log4 3.log3 2
f. A
A
1
log 2 x
1
log 2 x
log x 2011!
Bài 4
1
log 3 x
1
log 3 x
1
1
..........
log 4 x
log 2011 x
1
1
..........
log 4 x
log 2011 x
x
log16 2
1
4
2011!
logx 2 logx 3 ... logx 2011 logx 1.2.3...2011
log 2011! 2011!
1
a 2 b2
a.
c2; a
a2
2
1
log c b a
0, c 0, c b 1 , thì :
log c b a log c b a 2 log c b a.log c b a
0, b
c2 b2
1
log c b a
c b c b
2
2 log c b a.log c b a
log a c b
log a c b
log c b a log c b a
1
log a N
log c N
log a N log b N
a, b, c 1
log b N log c N
b2
1
log b N
log b N log c N
log c N .log b N
2 log N b log N a log N c
log a N log b N
log a N .log b N
1
log a N
log a N
log c N
ac
1
1
log c N log b N
log a N log b N
log b N log c N
log x a, log y b, log z c
log b y
2 log a x.log c z
0
log a x log c z
x, y, z , a, b, c 1
log x a, log y b, log z c
1
log a x
1
log c z
log x a log z c 2log y b
2
log b y
log b y
2 log a x.log c z
log a x log c z
a2 b2
a 2 b2
2 ln
a b
3
7 ab
a b
ln a ln b
ln
2
9ab
a b
3
a b
3
ln a ln b
2
7 ab
2
ab .
e
log ax bx
log ax bx
f
log a b log a x
1 log a x
log a bx
log a ax
log a b log a x
1 log a x
ln
VP
dpcm
hai
a b
3
ln a ln b
2
1
log a x
1
1
.........
log a 2 x
log a k x
VT= log x a log x a 2 ...log x a k
k k 1
2 log a x
1 2 3 ... k log x a
k 1 k
2 log a x
VP
Bài 1. Tính
a. A log 6 16
A
log12 27
log 6 16
x
log 3 27
log 3 12
log 3 2 4
log 3 6
4 log 3 2
1 log 3 2
log 2 5
a; log 2 3 b
log12 27
A log 6 16
b. C log 3 135
log 3 135 log 3 5.33
C
c. D log 6 35
x
log 3 5 3
log 27 5
a; log 8 7
3
1 log 3 4
x
log 2 5
3
log 2 3
b; log 2 3
log 3 4
a
3
b
3
1
x
3 x
3 x
(*)
log 3 2
x
2x
2 3 x .2 x 12 4 x
x x 3
x 3
a 3b
b
c
1
1
log 3 5 log 3 5 3a; b log 8 7
log 2 7 log 2 7 3b (*)
3
3
log 2 5.7 log 2 5 log 2 7 log 2 3.log 3 5 log 2 7 b.3a 3b
log 6 35
log 2 2.3
1 log 2 3
1 log 2 3
1 b
Ta có : a log 27 5
Suy ra : D
d. Tính : log 49 32
Ta có : log 2 14 a
log 2 14
1 log 2 7
5
log 49 32
log 2 2
log 2 7 2
5
2 log 2 7
a
a
log 2 7
a 1
5
2 a 1
Bài 2
a. A
A
log a b log b a 2 log a b log ab b log b a 1
log a b log b a 2 log a b log ab b log b a 1
log a b 1
log a b
2
1 log ab a
1
3b a 1
b 1
2
log a b 1
log a a
log a b 1
1
1
log a b
log a ab
log a b
log a b 1
1
1
log b a
log a b
log a b
b. B log 2 2 x 2
log 2 2 x 2
B
1 3log 2 x
c. C
C
log 2 x x
log 2 x x
log 2 x
2
1
1
1 log a b
1
2
log a b
1 log a b
1
log 22 x 4 1 2 log 2 x log 2 x log 2 x 1
2
2
9 log 2 x
3log 2 x 1
log x log 2 x 1
2
log a p log p a 2 log a p log ap p
log a p log p a 2 log a p log ap p
log a p 1
log 2a p
log a p
1 log a p
log a b 1
log a b
1
4 log 2 x
2
log a p
log a p 1
2
a
log p
2
log a p
log a p
1 log a p
log a p
log a b 3; log a c
a. x a 3b 2 c
Ta có : log a x log a a 3b 2 c
c. x
3 2 log a b
1
log a c 3 2.3 1 8
2
a4 3 b
c3
4
1
log a c 3log a c
3
4
1
3
2
6 10
a 2 4 bc 2
3
ab 4 c
Ta có :
log a x
23
a4 3 b
c3
a 2 4 bc 2
log a
2
Bài 4
3
3
4
ab
4
4
c
log a p
3
log a p
log a x
Ta có : log a x log a
2
log a p
Bài 3
b. x
1
1
log 22 x 4
2
log x log 2 x 1
8 log 2 x
2
2
1
log a b 2log a c
4
1
161
12 1
3
12
1
4log a b
3
1
log a c
2
2
3
28
3
2
:
a. log a 3b
1
log a log b
2
log 2
a
0; a 2 9b 2 10ab
3b
2 log a 3b
log 2a
b
c
log 2a
a
c
b
0; a 2 9b 2
3b
a 2 6ab 9b 2
2 log 2 log a log b
;
10ab
4ab
a 3b
log a 3b
log 2
log a b.log b c.log c a 1
c
a
b
log 2a ; log 2b ; log 2c
b b
c c
a a
log 2a
log a
b
c
b
c
log 2a
c
a
b
log log 2b log 2c
b
c c
a a
2
a
b
c
b
log a
* log a b.log b c.log c a 1
c
.
b
1
c
b
log a
log a b.log b a
log 3 4
log a
log 3 3 1; log 4
3log6 1,1
3log6 1 1; 7 log6 0,99
7 log6 1 1
c
b
2
1
log 4
1
3
. Ta có :
1
1
log 4 4 1 log 3 4 log 4
3
3
log6 1,1
log6 0,99
3
7
. Ta có :
log 3 4
a/ log 0,4 2 log 0,2 0,34 .
b
c
log a a 1
b
c
a
log a .log b log c
b c
c a
a b
Bài 1
log a2
3 log6 1,1
7 log6 0,99
2
log a2
c
b
2
4ab
1
log a log b
2
2 1
Ta có :
b/ log 5
3
log 0,4 2
0,3 1
3
4
log 3
4
2
.
5
log5
c/ 2log 3 3
5
3
1
4
0
3
1, 0
4
0
1
2
log 5
3
2
1
5
3
4
log 5 1 0
3
2
5
log 3
4
log 3
4
log 3 1 0
2
5
log 5
3
3
4
4
.
2 log
log 5 3 log 5 1
Ta có :
log 0,2 0,3 log 0,4 2
log 0,2 0,3 log 0,2 1 0
5
1
3
Ta có :
log 0,4 1 0
1
log 5
2
log 5 1
3
5
3
log5
2 log
51
1
2
3
log 5 1
20 1
3
0
log 5 3 log 5
1
1
2
d/ log 3 2 log 2 3 .
Ta có :
log 3 1 log 3 2 log 3 3
0 log 3 2 1
log 2 2 log 2 3 log 2 4
1 log 2 3 2
log 2 3 log 3 2
e/ log 2 3 log 3 11 .
Ta có :
1 log 2 3 2
log 3 11 log 3 9
2
log 3 11 log 2 3
2log 2 5 log 1 9
f/ 2
8.
2
Ta có : 2 log 2 5 log 1 9 log 2 25 log 2 9 log 2
2
2
25
9
g/ 4
log2 3 log4
Ta có : 4
5
11
25
92
625
81
648
81
2log 2 5 log 1 9
25
9
2
2
2
log 2
25
9
2log 2 5 log 1 9
8
2
8
2
18 .
log 2 3 log 4
5
11
81.11
5
2
2log 2 3
891
5
1
5
log 2
2
11
90
5
2
log 2 9 log 2
18
4
5
11
2
log 2
log 2 3 log4
5
11
9 11
5
9 11
5
18
81.11
5
25
9
log 3 2 log 1
h/ 9
9
8
9
5.
log 3 2 log 1
Ta có : 9
k/
9
log6 2
1
6
1
log
2
6
3
2 log 3 2 log 9
8
9
3
log 3 2 log 3
8
9
log 3
2.3
3
6
8
8
36
8
3
1
log
2
18 .
6
5
6
log6 2 log6 5
6
log6 10
6
log6
1
10
1
10
3
1
1000
Bài 2. Hãy so sánh :
a/ log 2 10 log 5 30 .
Ta có :
log 2 10 log 2 8 3
log 2 10 log 5 30
log 5 30 log 5 36 3
b/ log 3 5 log 7 4 .
Ta có :
log 3 5 log 3 3 1
log 7 4 log 7 7 1
log 3 5 log 7 4
1
e
c/ 2 ln e3 8 ln .
2 ln e3
Ta có :
1
8 ln
e
2.3 6
8 ln
8 1 9
1
e
2 ln e3
Bài 3
a/ log 1 3 log 3
2
1
2
2.
1
Ta có : log 1 3
log 3
2
log 3
40
8
5
log6 2
1
Ta có :
6
8
9
1
2
0
1
2
log 3
log 3
1
2
1
2
1
1
log 3
2
1
2
1
log 3
2
2
*
log 3
1
2
1
1
log 3
2
2
3
18
5
b/ 4log 7 7log 4 .
5
5
Ta có : 4log 7
log5 7
7log7 4
5
7log5 7.log 7 4
7log5 4
c/ log 3 7 log 7 3 2 .
Ta có : log 3 7 0
d/ 3log
2
5
1
log 3 7
5log5 3
2
1
log 3
2
log 2 5
5log 2 5.log 5 3
5log2 3
log19 log 2 .
1
log 3 log 10 log 3 log 3 10
2
Ta có :
19
361
log19 log 2 log
log
2
4
log 900
f/ log
5
361
4
log
7
5
log 900
1
log 3 log19 log 2
2
log 5 log 7
.
2
2
Ta có :
2
5 log2 3 .
Ta có : 3log 5
e/
log 3 7 log 7 3 log 3 7
7
5. 7
2
log
5
7
2
log 5. 7
log 5 log 7
2
Bài 4. Hãy so sánh :
a. log 3
6
5
log 3
5
6
6
5
Ta có :
5
log 3
6
log 3
b. log 1 9 log 1 17
3
3
5
5
6
log 3
6
log 3
0
0
6
log 3
5
5
log 3
6
6 5
5 6
3 1
log 3
6
5
log 3
5
6
1
1
Ta có :
3
9 17
0
log 1 9 log 1 17
3
3
c. log 1 e log 1
2
2
1
1
2
0
Ta có :
log 1 e
e
log 1
2
2
-GA-RÍT
Bài 1
x2 2x 2 ex
a. y
x2
y
2 x 2 ex
s inx-cosx e 2 x
c. y
y
2 x 2 ex
x2 2 x 2 ex
y'
cosx+sinx e 2 x
ex
ex
ex
ex
e
e
e
e
y
x
y'
x
ex
e
x
ex
e
e
x
ex e
x
x 2
y'
2x
x
2
1
ln x
x
ln x
x
3sin x c osx e 2 x
x
ln x 2 1
e. y
2 s inx-cosx e 2 x
x
d. y ln x 2 1
y
x2 e x
s inx-cosx e 2 x
b. y
y
y'
y'
1 1
.x ln x
x2 x
1 ln x
x2
e
x
ex e
x
4
e
x
e
x 2
f. y
1 ln x ln x
y
1 ln x ln x
ln x 1 ln x
x
x
y'
1 2 ln x
x
Bài 2
:
a. y x 2 ln
y
2
x ln
x2 1
x
2
1
y ' 2 x.ln
x
2
x2 x
2 x2 1
1
2
2 x.ln
x
1
x3
2 x2 1
b. log 2 x 2 x 1
y
log 2 x 2
c. y
y
3
3
x 1
ln 2 x
y'
x 4
x 4
log 2
log
y'
2
3
'
1
3
2
ln x
3
1
x
2
3 x 3 ln x
1
ln 2
16
x 4
2
:
x 4
x 4
16
x 4 ln 2
2
x2 9
x 5
x2 9
x 5
log 3
1
f. y log
y
ln x
x 4
x 4
e. y log 3
y
2
ln 2 x
d. y log 2
y
2x 1
x x 1 ln 2
y'
y'
2
1 2x x 5 x
2
ln 3
x 5
9 x2 9
:
x 5
x 2 10 x 9
x 5 x 2 9 ln 3
x
2 x
1
x
2 x
y'
x 1 1
1
x
:
ln10 16 x x 2 x
x 1
8 x ln10 1
x
Bài 1
a. lim
x 0
lim
x
ln 3 x 1
ln 2 x 1
x
ln 3 x 1
ln 2 x 1
x
0
b. lim
x 0
x
ln 3 x 1
3x
lim
x 0
sin 2 x
2x
2x
ln 3 x 1
0
sin 2 x
c. lim
x 0
lim
x
lim
x
e.
0
e5 x
x
3
0
4x
0
4
2x
3
e3
3
lim e 5
x
0
e5 x 1
2. 5 x
5e 3
2
ex 1
x 1 1
ex 1
x 1 1
a. lim
x 0
ln 4 x 1
e3
2x
lim
x
lim 4
x
0
lim
x
x
0
e5 x
3
2
ln 4 x 1
ln 4 x 1
d. lim
x 0
x
sin 2 x
3x
ln 2 x 1
tan x
ex 1
0
x
lim
x
x 1 1
1.2
ln 2 x 1
0
2
x
2
lim
ln 3 x 1
lim
x
ln 3 x 1
0
3
x
3
lim
2
3 2 1
2x
ln 2 x 1
lim
x 0
tan x
b. lim
x 0
lim
x
e2 x
0
c. lim
x 0
e2 x
lim
x
0
ln 2 x 1
2x
tan x
x
x
2
e3 x
5x
e3 x
5x
e2 x 1
e3 x 1
lim 3
0 5
x 0
5 3x
.2 x
2
lim
x
2 3
5 5
1
5
e3 x 1
x
e3 x 1
e3 x 1
lim 3
3
0
x 0
x
3x
lim
x
d. lim xe
x
1
x
x
1
lim xe
1
x
x
e. lim
x 0
lim
x
0
lim
x
0
lim x e
x
1
ex 1
lim
x
1
x
sin 3 x
x
sin 3 x
x
f. lim
x 0
x
1
x
lim 3
x
0
sin 3 x
3x
3
1 cos5x
x2
1 cos5x
x2
5x
2
lim
2
x 0
4 5x
25 2
Bài 3.
a. lim
x 0
cosx cos3x
sin 2 x
2 sin 2
25
2
1
cosx cos3 x
lim
x 0
sin 2 x
lim
x
2
lim
x
2
sin 2 x
0
x
2
2 sin 2
x
t
2
tan
t
t
2 sin cos
2
2
c. xlim x 2 sin
2
t
.
2
1
cosx
t
Khi x
cos
;t
2
0
2
2
t
2
lim
x
x
1
x
t
;t
1
sin t
t
1
t anx
cosx
lim
t
0
2
t
1 cost
sint
cot t
tan
t
2
t
2
0
3
x 2
x
sin x
4
1
2
3t
t
lim x 2 sin
6t 3
x
3
x
lim 6t 3
t
0
4
x
4
tan
2 2 cos x
d. lim
x
1
t anx=
3
x
3
lim x 2 sin
x
x
lim
4
1
t anx .
cosx
t
x
4 cos x.sin 2 x
lim
x 0
sin 2 x
x
1
t anx
cosx
b. lim
x
2 sin 2 x sin
2 2 cos x
sin x
x
4
x
4
sin x
2 2 cos x
sin x
4
4
;t
0
2 2 cos
2
lim
o
t
2
2
t
2 1 cost+sint
sint
4
t
t
t
2 sin cos
2
2
2
t
t
2 sin cos
2
2
2 tan
4
sin t
2 sin 2
t
4
;x
2 2 cos x
4
2 1 cost+sint
sint
lim
t
t
2
sin
2
t
t
cos
2
2
t
cos
2
2 tan
t
2
2
3
