Sáng kiến kinh nghiệm: Suy luận trong giải toán quang hình

Suy luận trong giải toán quang hình - Nguyễn Thái Quyết
Phần I
những vấn đề chung
I. Lí do chọn đề tài
Toán Quang hình trong vật lý 12 vốn dĩ là một loại toán hay, có thể giúp học sinh đào sâu suy nghĩ,
rèn luyện t duy, rèn luyện tính kiên trì và cẩn thận. Nó đợc xem là một loại toán khá phong phú về chủ đề
và nội dung, về quan điểm và phơng pháp giải toán. Vì thế toán quang hình đợc xem là một phần trọng
điểm của chơng trình vật lý THPT.
Song một bài toán quang hình thờng kèm theo một lời giải tơng đối dài và rất nhiều phép tính kèm
theo. Cũng vì lẽ đó mà học sinh khi làm bài tập toán quang hình thờng khó đi đến kết quả chính xác của
bài toán ngay trong lần giải đầu tiên bằng các phơng pháp thông thờng. Khi giải một bài toán quang hình
nh vậy, học sinh thờng tập trung nhiều vào các phép tính mà ít chú ý hơn tới bản chất vật lý của bài toán,
của vấn đề.
Vì vậy, rút ngắn lời giải cho một bài toán quang hình bằng một lời giải ngắn, với một số ít các phép
tính trung gian, để hạn chế các sai sót không đáng có và tăng cờng khả năng t duy của học sinh là một
yêu cầu nên có.
Rút ngắn lời giải cho môt bài toán quang hình có thể căn cứ vào các định luật quang hình học, các
hiện tợng đúng hiển nhiên, các công thức toán học, các bất đẳng thức và đẳng thức toán học. Cũng có
thể rút ngắn lời giải cho một bài toán quang hình trong một lời giải thông thờng bằng các suy luận mấu
chốt trong một số điểm mấu chốt quan trọng của bài toán.
Rút ngắn lời giải cho một bài toán quang hình học bằng một phơng pháp khác có thể giúp học sinh
hiểu sâu hơn vấn đề nảy sinh trong bài toán, giúp học sinh có cái nhìn bao quát hơn về hiện tợng đang
xem xét.
II. Mục đích của đề tài
Đối với đa số học sinh, toán quang hình là một loại toán khó với nhiều chủ đề, nhiều dạng toán khác
nhau. Tuy nhiên các dạng toán trong toán quang hình cũng thờng trùng lặp về nội dung, và tất nhiên
cũng sẽ trùng lặp về phơng pháp giải. Hệ thống lại một số dạng toán chung cho các hệ quang học để
học sinh có cái nhìn tổng quát hơn đối phần quang học sẽ tăng hiệu quả học tập của học sinh, tăng chất
lợng giảng dạy.
Đề tài đợc xây dựng nhằm đề ra một phơng pháp tăng cờng khả năng t duy của học sinh, khuyến
khích học sinh tìm nhiều phơng pháp giải cho một bài toán để học sinh tích cực, chủ động tiếp cận với

một số phơng pháp khác, đồng thời giúp học sinh rèn luyện một số kỹ năng cơ bản khi giải toán quang
hình nh vẽ hình, tính toán và t duy toán học.
II. Đối tợng của đề tài
Nh đã trình bày, đề tài tập trung khai thác sao cho có hiệu quả một số cách giải toán đặc biệt cho
một số bài toán quang hình học và một số dạng toán quang hình học cụ thể. Trong đó tác giả cố khai
thác một cách triệt để một số định luật và định lý quang hình học và một số hiện tợng quang học đúng
hiển nhiên.
Các phơng pháp giải và cách giải đó là một đặc trng riêng của từng dạng toán quang hình học, của
từng hệ quang học và đôi khi là một phơng pháp giải riêng cho một bài toán cụ thể nào đó.
Các phơng pháp giải riêng, đặc biệt này có thể đã đợc áp dụng cho một số loại toán, song không vì
thế mà tác giả bỏ qua các cách giải đó, hoặc sử dụng lại mà cố gắng khai thác một cách có hiệu quả
hơn nhằm đạt tới yêu cầu tăng cờng khả năng t duy của học sinh nh đã trình bày.
III. Bố cục của đề tài
Đề tài gồm 2 phần:
Phần I: Những vấn đề chung
3
Suy luận trong giải toán quang hình - Nguyễn Thái Quyết
Phần II: Nôi dung đề tài
Nội dung đề tài chia làm ba chơng:
Chơng I: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài của đề tài
Chơng II: Nội dung đề tài
Chơng III: Kết luận
Trong chơng I tác giả trình bày một số lý thuyết cơ bản để vận dụng trong quá trình thực hiện đề tài.
Trong đó có một số lý thuyết đúng hiển nhiên và một số lý thuyết suy luận khác xuất phát t các định lý
hình học cơ bản. Các lý thuyết này thừa nhận không chứng minh.
Trong chơng II, chơng chính của đề tài, tác giả nêu một số bài toán cơ bản và một số dạng toán cơ
bản. Đồng thời với việc giải các bài toán bằng phơng pháp suy luận, tác giả cũng trình bày bằng các ph-
ơng pháp thông thờng, hoặc các phơng pháp truyền thống để dễ dàng so sánh, nhận xét và đánh giá.
Trong mỗi bài toán, loại toán quang hình nh vậy, tác giả cũng hệ thống một số bài tập cơ bản, tơng tự
hoặc tơng đơng hoặc mở rộng để có thể khai thác một cách có hiệu quả.

Phần II
Nội dung đề tài
chơng i
Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài
I. Cơ sở lí luận của đề tài
Để có một lời giải bằng các phép suy luận một cách hợp lý cho một bài hoặc một loại toán quang
hình học cụ thể nào đó, với một lời giải ngắn. Đề tài căn cứ trên một số định luật, định lý, nguyên lý và
một số hiên tợng hiển nhiên sau:
1. Nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng:
Nếu AA' là một chiều truyền sáng (một tia sáng) thì trên đờng đó ánh sáng
có thể đi theo chiều từ A đến A' hoặc từ A' đến A.
Suy rộng cho mọi dụng cụ quang hình học: Nếu A' là ảnh cùng tính chất với
vật A qua một dụng cụ quang học nào đó, thì khi đặt vật A tại vị trí ảnh A' thì
ảnh A'' của A nằm ngay tại vị trí vật A lúc đầu.
2. Định luật phản xạ ánh sáng:
Gọi SI là tia tới của tia phản xạ IJ trên gơng phẳng M tại điểm tới I.
Gọi n là pháp tuyến của gơng tại I.
Mặt phẳng chứa tia tới SI và pháp tuyến n gọi là mặt phẳng tới.
Góc tạo bởi tia tới SI và pháp tuyến n gọi là góc tới i
Góc tạo bởi tia phản xạ IJ và pháp tuyến n gọi là góc phản xạ i'
Định luật:
- Tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tới và ở bên kia pháp tuyến so với tia tới.
- Góc phản xạ bằng góc tới: i = i'
3. Định lý gơng quay:
Định lý thuận: Một tia tới SI chiếu tới gơng phẳng M tại điểm I. Khi gơng quay quanh trục vuông góc
với tia tới một góc thì tia phản xạ quay góc 2.
4
A
A'
i i'

S
J
I
n
Suy luận trong giải toán quang hình - Nguyễn Thái Quyết
Định lý đảo: Cho tia tới SI tới gơng phẳng M tại I. Khi gơng quay góc quanh trục vuông góc với tia
tới, để tia phản xạ không thay đổi thì tia tới phải quay góc 2.
4. Tia không đổi:
a) Cho vật sáng AB có độ cao không đổi đặt vuông góc với trục xx' sao cho B xx'. Khi AB di chuyển
trên trục xx' tia sáng AI xuất phát từ điểm A và song song với trục xx' luôn không đổi (cả về phơng chiều
và độ lớn)
Tia sáng AI gọi là tia không đổi.
b) Nếu A là một điểm sáng.
AI là tia không đổi
Iy là tia khúc xạ (hay phản xạ) của tia AI qua một dụng
cụ quang học nào đó.
Do tia tới AI không đổi nên tia Ay là tia khúc xạ (phản xạ)
không đổi.
Nếu A' là ảnh của điểm sáng A qua quang cụ thì A' luôn
chuyển động trên tia Ay (trên đờng thẳng chứa tia Ay).
II. cơ sở thực tiễn của đề tài
Để có thể vận dụng các phong pháp giải trong đề tài một cách có hiệu quả hơn, học sinh cần phải đ-
ợc trang bị một kiến thức cơ bản tơng đối vững, đồng thời yêu cầu về toán học và giải toán của học sinh
phải đạt đợc một số yêu cầu cơ bản để có thể thành thạo trong các phép biến đổi, tính toán, suy luận.
Toán quang hình gắn chặt với hình học phẳng nên một yêu cầu không thể thiếu là học sinh phải có kỹ
năng vẽ hình tơng đối hoàn thiện, bởi các phơng pháp ngắn gọn hơn thờng thể hiện trên hình vẽ của bài
toán và một bài toán có thể có nhiều hình vẽ ứng với nhiều trờng hợp khác nhau.
Chơng ii
Nội dung nghiên cứu
i. Một số bài toán sử dụng định lý gơng quay

Bài 1: Một gơng phẳng hình chữ nhật có bề rộng 1m đơc gắn vào một cửa tủ. Trên đờng vuông góc với
tâm và cách gơng 1,5m có một ngọn nến S. Mở tủ để gơng quay quanh bản lề O một góc 60
0
.
1) Xác định quỹ đạo chuyển động của vật khi gơng quay.
2) Tính chiều dài quỹ đạo trên.
Giải
1) Gọi S
1
là ảnh của S qua gơng trớc khi gơng quay. Do S và S
1
đối xứng
nhau qua gơng nên:
SO = S
1
O =
m58,15,05,1OHSH
2222
=+=+
= const
Mặt khác khi gơng quay góc quanh bản lề O thì tia tới gơng SO không
thay đổi nên phản xạ của nó quay góc = 2 = 120
0
.
Vậy ảnh của qua gơng chuyển động trên cung tròn tâm O bán kính R =
SO = 1,58m có góc ở tâm là = 120
0
.
2) Chiều dài của quỹ đạo:
5

H


S
2
S
S
1
A
K
O
A'
y
I
A
x'
x
A
I
B
Suy luận trong giải toán quang hình - Nguyễn Thái Quyết
l =
rad
.R =
3
2

.1,58 = 3,31m
Bài 2: Từ một điểm O trên cửa sổ, cách mặt đất một độ cao OA = h có một quan sát viên nhìn thấy ảnh
P' của một ngọn cây P do sự phản xạ trên một vũng nớc nhỏ I trên mặt đất, cách chân tờng một đoạn IA

= d.
Đặt nằm ngang tại O một tấm kính L, quan sát viên phải quay tấm kính một góc quanh một trục
nằm ngang đi qua A thì mới thấy ảnh P'' của đỉnh ngọn cây P cho bởi sự phản xạ trên tấm kính, ở trên
cùng một phơng với P'.
1) Tính chiều cao H của cây theo h, d, và với tg =
h
d
.
2) Tính H khi d = h = 12m và = 3
0
.
Giải
Tấm kính đặt trên cửa sổ có tác dụng nh một gơng phẳng.
Do quan sát viên nhìn thấy ảnh P''của ngọn cây P qua tấm kính và ảnh P' qua vũng nớc trên cùng
một phơng nên tia sáng từ đỉnh ngọn cây P tới tấm kính và vũng nớc phản xạ theo cùng một phơng.
Khi đó nếu coi vũng nớc và tấm kính là hai vị trí của một gơng
thì ánh sáng từ P tới hai vị trí đặt gơng cho tia phản xạ không đổi.
Theo định lý gơng quay (định lý đảo): Tia tới gơng phải quay
góc 2.
Vì vậy:
=
2IP

O
Trong OPI ta có:
=
22180IO

P
0

= 180
0
- 2( +
)
Từ đó:
IP

Osin
OI
IO

Psin
PI
=
hay:

=
+
2sin
OI
))(2180sin(
PI
0

=
+
2sin
OI
)(2sin
PI

OI.
2sin
)(2sin
PI

+
=
Trong PHI ta có:
PH = PI.cos =
OI.
2sin
)(2sin

+
.cos =
OA.
2sin
)(2sin

+
Vậy chiều cao H của cây:
H =
h.
2sin
)(2sin

+
2) Ta có: tg =
h
d

=
12
12
= 1 = 45
0
Chiều cao H của ngọn cây:
H =
m16,11412.
)3.2sin(
)453(2sin
0
=
+
6



P'
I
H

2

P
O
A

h
d
Suy luận trong giải toán quang hình - Nguyễn Thái Quyết

II. Một số bài toán sử dụng nguyên lý thuận nghịch
của chiều truyền sáng
A. Một số ví dụ
Bài toán1: Chứng minh định lý gơng quay
Chứng minh:
1) Định lý thuận:
Xét IJM: i
2
+ i'
2
= + i
1
+ i'
1
(định lý về góc ngoài của tam giác)
Mà i
1
= i'
1
, i
2
= i'
2
(định luật phản xạ ánh sáng)
nên: 2i
2
= + 2i
1
= 2(i
2

- i
1
) (1)
Xét IJK: i
2
= + i
1
(định lý về góc ngoài của tam giác)
= i
2
- i
1
(2)
Từ (1) và (2) ta có: = 2
Vậy khi gơng quay góc thì tia phản xạ quay góc 2.
2) Định lý đảo:
Cách 1:
Xét SIJ: i
1
+ i'
1
= + i
2
+ i'
2
Mà i
1
= i'
1
, i

2
= i'
2
(định luật phản xạ ánh sáng)
nên: 2i
1
= + 2i
2
= 2(i
1
- i
2
) (3)
Xét KIJ: i'
1
= + i'
2
(định lý về góc ngoài của tam giác)
i
1
= + i
2
= i
1
- i
2
(4)
Từ (3) và (4) ta có: = 2
Vậy khi gơng quay góc , để tia phản xạ không thay đổi thì tia tới phải quay góc 2. Cách 2:
Theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng, nếu tia S'I là tia tới thì IS và JS là hai tia phản xạ

ứng với hai vị trí của gơng, hai tia này trùng nhau tức là cho tia phản xạ không đổi.
Theo định lý thuận: = 2.
Vậy khi gơng quay góc , để tia phản xạ không thay đổi thì tia tới phải quay góc 2.
Bài toán 2: Đo tiêu cự của thấu kính (bằng phơng pháp Bessel)
Một vật sáng AB đợc đặt song song và cách một màn hứng ảnh một khoảng L. Di chuyển một thấu
kính đặt song song với màn trong khoảng giữa vật và màn, ngời ta thấy có hai vị trí của thấu kính cách
nhau khoảng l cho ảnh rõ nét của vật trên màn. Tìm tiêu cự của thấu kính. áp dụng: L = 72cm, l = 48cm.
Giải
Cách 1:
Sơ đồ tạo ảnh của vật AB ứng với hai vị trí của thấu kính:
'
2
'
1
2
1
d
d
f
d
d
'B'AAB

Khi thấu kính di chuyển, khoảng cách vật ảnh không thay đổi nên:
d
1
+ d'
1
= L (1)
Theo công thức thấu kính:

1
d
1
+
'
1
d
1
=
f
1
7
Suy luận trong giải toán quang hình - Nguyễn Thái Quyết
Theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng, nếu AB ở vị trí ảnh A'B' thì ảnh A'B' khi đó ở vị trí
vật AB.
Do đó: d
2
= d'
1
d'
2
= d
1
Vậy vị trí thứ hai của thấu kính cách vật AB khoảng d'
1
:
Do hai vị trí của thấu kính cách nhau l nên:
d'
1
- d

1
= l (2)
Từ (1) và (2) ta có:
d
1
=
2
L l

; d'
1
=
2
L l
+
Tiêu cự của thấu kính:
f
1
=
22'
1
1
L
L4
L
2
L
2
d
1

d
1
l
ll

=
+
+

=+
f =
L4
L
2 2
l

Bài toán có thể giải bằng hai cách khác nh sau:
Cách 2:
Sơ đồ tạo ảnh:
'd
f
d
'B'AAB

Do ảnh thật của vật thu đợc trên màn nên:
d + d' = L
d +
fd
df

= L
d
2
- Ld +Lf = 0
= L
2
- 4Lf
Khi > 0 (L > 4f) phơng trình cho hai nghiệm ứng với hai vị trí của thấu kính:
d
1
=
2
Lf4LL
2
+
; d
2
=
2
Lf4LL
2

Mặt khác hai vị trí của thấu kính cách nhau khoảng l nên:
d
1
- d
2
= l
2
Lf4LL

2
+
-
2
Lf4LL
2

= l
f =
L4
L
2 2
l

Cách 3:
Dựa vào tính đối xứng của công thức thấu kính.
Do tính đối xứng của hệ thức:
1
d
1
+
'
1
d
1
=
f
1
Nên nếu đặt d
2

= d'
1
thì vị trí ảnh đợc xác định bởi d'
2
thoã mãn:
2
d
1
+
'
2
d
1
=
f
1
8