Đề thi giáo viên giỏi môn toán tỉnh vĩnh phúc năm học 2016 2017(có đáp án)

Hướng dẫn
Câu 2.
1) 2x 2 + 3x + 5 + 2x 2 − 3x + 5 = 3x
ĐK: x > 0
Phương trình trở thành:

(

2x 2 + 3x + 5 + 2x 2 − 3x + 5

= 3x

(

)(

2x 2 + 3x + 5 − 2x 2 − 3x + 5

2x 2 + 3x + 5 − 2x 2 − 3x + 5

⇔ 6x = 3x

(

)

2x 2 + 3x + 5 − 2x 2 − 3x + 5

)

⇔ 2x 2 + 3x + 5 − 2x 2 − 3x + 5 = 2
⇔ 2x 2 + 3x + 5 = 2 + 2x 2 − 3x + 5
⇔ 2x 2 + 3x + 5 = 4 + 4 2x 2 − 3x + 5 + 2x 2 − 3x + 5
⇔ 2 2x 2 − 3x + 5 = 3x − 2
⇔ 4 ( 2x 2 − 3x + 5 ) = ( 3x − 2 ) với x ≥
2

⇔ x 2 = 16 ⇔ x = 4
Vậy phương trình có nghiệm x = 4
Câu 3.
4x 2 + 4x − y 2 = −1 (1)
 2
2
4x − 3xy + y = 1 (2)

2
3

 y = 2x + 1
2
2
Từ (1) ta có: y = ( 2x + 1) ⇔ 
 y = −2x − 1
Với y =2x+1 thay vào (2) ta có:
Với y = - 2x – 1 thay vào (2) ta có:
Câu 4.

)

a) Ta có (O) và (O’) cắt nhau tại A và B nên OO’ là trung trực của AB suy ra OO’ là phân
giác của góc AOB suy ra góc AOO’ = ½ góc AOB = góc AEF. Tương tự góc AO’O = góc
AFE nên tam giác AOO’ đồng dạng với tam giác AEF
b) ta có các tứ giác AMNP và AM’N’P’ là hình vuông nên A,O, N thẳng hàng và A, O’, N’
thẳng hàng.
Do đó ta có góc ABN = góc ABN’ = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra NN’ đi
qua B.
Ta chứng minh được góc NBP = góc N’BP’ = 450 suy ra PP’ đi qua B
Tương tự ta chứng minh được MM’ đi qua B do đó ba đường thẳng MM’, NN’; PP’ đồng
quy tại P.
Câu 5.
Vì các số a, b, c dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có:
a( b + c ) ≤

a + (b + c)
⇒
2

a
=
b+c

a

a( b + c )

≥

2a
a+b+c

Tương tự ta cũng có:
b
2b
≥
,
c+a a+b+c

c
2c
≥
a+b a+b+c

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có
a
b
c
2a + 2b + 2c
+
+
≥
= 2.
b+c
c+a
a+b
a+b+c
a = b + c

Dấu bằng xảy ra ⇔ b = c + a ⇔ a = b = c = 0 , không thoả mãn.
c = a + b



Vậy

a
b
c
+
+
> 2.
b+c
c+a
a+b