Bài giảng số 5 đường và mặt bậc hai trong không gian véc tơ euclide

Không gian véc tơ Euclide

Bài giảng số 5. Đường và mặt bậc hai
I. Tóm lược lý thuyết
Định nghĩa 5.1: Tập F   được gọi là không gian hình học Euclide n chiều tựa trên E

nếu mỗi cặp điểm (M , N )  F tương ứng với một véc tơ của E , ký hiệu là MN thoả mãn
hai điều kiện sau đây:
  
a) MN  NP  MP với mọi M , N , P  F ;


b) Với mỗi điểm M  F và véc tơ a  E tồn tại duy nhất điểm N  F để MN  a.
Khi F là một không gian hình học Euclide thì các phần tử thuộc F được gọi là điểm.
Định nghĩa 5.2: Cho F là một không gian hình học Euclide tựa trên E , O là một điểm
của F ; hệ véc tơ {e1 , e2 , , en } là một cơ sở trực chuẩn của E . Khi đó bộ {O; e1 , e2 ,, en }
được gọi là hệ toạ độ trực chuẩn của F với gốc toạ độ O .
Định nghĩa 5.3: Giả sử {O; e1 , e2 ,, en } là một hệ toạ độ trực chuẩn của không gian hình

học Euclide F . Khi đó điểm M thuộc F sẽ tương ứng với véc tơ OM thuộc E và toạ độ

của OM theo cơ sở {e1 , e2 , , en } của E là toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ

{O; e1 , e2 ,, en } .
Định nghĩa 5.4: Tập con U của không gian hình học Euclide F được gọi là một siêu
phẳng của F nếu với mỗi hệ toạ độ trực chuẩn {O; e1 , e2 ,, en } của F thì U có dạng:

U  {M ( x1 , x2 ,, xn )  F | a1 x1  a2 x2    an xn  0}
Định nghĩa 5.5: Đường bậc hai hay đường Cônic là một tập hợp () các điểm trong không

gian hình học Euclide  2 mà các toạ độ trong hệ qui chiếu trực chuẩn thoả mãn phương
trình:
ax 2  2bxy  cy 2  2dx  2ey  f  0.
(1)
Các hệ số a, b, c là các hệ số thực.
Chú ý rằng các hệ số a, b, c là các số thực không đồng thời bằng không.
Phân loại các đường bậc hai
Xét dạng toàn phương f ( x, y )  ax 2  2bxy  cy 2 và ma trận đối xứng A của dạng
toàn phương:

 a b
A

b c
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

Giả sử A có các giá trị riêng là 1 , 2 , gọi u1 , u2 là các véc tơ riêng tương ứng, khi đó bằng

 x' 
x
phép đặt    P  '  ( P  (u1 u2 ) ) ta đưa dạng toàn phương về dạng
 y
y 
1 x '2  2 y '2

Khi đó phương trình cônic có dạng:
1 x '2  2 y '2  2d ' x '  2e ' y '  f '  0
Trường hợp 1: 12  0
Khi đó phương trình của đường bậc hai () có dạng:

d' 2
e' 2
d '2 e '2
'
'
1 ( x  )  2 ( y  )  f 
  0.
1
2
1 2
'

d'

'
X

x


1

Đặt 
'
Y  y '  e


2
Ta chuyển (1) về dạng: 1 X 2  2Y 2  K  0

(2)

+) Nếu 12  0 và K cùng dấu với 1 , 2 thì phương trình có dạng:

X 2 Y2

1
(3)
m2 n2
(3) là phương trình của một đường Elip thực. Nếu K trái dấu với 1 , 2 thì (2) xác định một
Elip ảo.
+) Nếu 12  0 thì (2) có thể viết dưới dạng:

X 2 Y2

1
m 2 n2
(4) là phương trình của một hypebol.
1  0
+) Nếu 12  0  
thì (1) có dạng:
2  0
Y 2  2 pX
 2
 X  2 pY
(5) là phương trình của một Parabol.

(4)

(5)

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

Định nghĩa 5.6: Mặt bậc hai hay đường Quadric là một tập hợp () các điểm trong không
gian hình học Euclide 3 mà các toạ độ trong hệ qui chiếu trực chuẩn thoả mãn phương
trình:
ax 2  by 2  cz 2  2dxy  2eyz  2 fzx  mx  ny  pz  q  0.
(6)
Các hệ số a , b, c, d , e, f , m, n, p, q là các hệ số thực.
Chú ý rằng các hệ số a , b, c, d , e, f là các số thực không đồng thời bằng không.
Phân loại mặt bậc hai
Xét dạng toàn phương f ( x, y , z )  ax 2  by 2  cz 2  2dxy  2eyz  2 fzx
Gọi 1 , 2 , 3 là các giá trị riêng của dạng toàn phương.
Trường hợp 1: Nếu 1 , 2 , 3 đều khác 0 và cùng dấu, thì phương trình của mặt bậc hai

X 2 Y2 Z2


 1
đưa về dạng:

a 2 b2 c2
(7) là phương trình của một elipxôit thực hoặc ảo.
Nếu 1  2 thì elipxôit thực có dạng:

(7)

X 2 Y2 Z2


1
(8)
a 2 a2 c2
(8) là phương trình của một elipxôit tròn xoay tạo bởi elip có phương trình
X 2 Z2

1
a2 c2
trong mặt phẳng Oxz khi nó quay quanh trục Oz.
Trường hợp 2: Nếu 1 , 2 , 3 khác 0 và không cùng dấu thì phương trình của mặt bậc hai
có thể đưa về dạng:

X 2 Y2 Z2


1
(9)
a 2 b2 c2
X 2 Y2 Z2



 1
hoặc
(10)
a 2 b2 c2
X 2 Y2 Z2


0
hoặc
(11)
a 2 b2 c 2
(9) là phương trình của mặt hypecbôlôit một tầng. Nếu a  b thì mặt bậc hai có dạng:
X 2 Y2 Z2


1
(12)
a 2 a2 c2
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

(12) là một hypecbôlôit tròn xoay một tầng sinh bởi hypecbôn có phương trình

X 2 Z2


1
a2 c2
trong mặt phẳng Oxz khi nó quay quanh trục Oz.
(10) là phương trình của mặt hypecbôlôit hai tầng. Nếu a  b thì mặt bậc hai có dạng:
X 2 Y2 Z2


 1
(13)
a 2 a2 c2
(13) là một hypecbôlôit tròn xoay hai tầng sinh bởi hypecbôn có phương trình
X 2 Z2

 1
a2 c2
trong mặt phẳng Oxz khi nó quay quanh trục Oz.
(11) là phương trình của mặt nón thực. Đặc biệt nếu a  b , (11) trở thành
X 2 Y2 Z2


0
(14)
a2 a2 c2
(14) là phương trình của mặt nón tròn xoay quanh trục Oz.
Trường hợp 3: 12  0, 3  0 , khi đó phương trình mặt bậc hai có dạng:
hoặc

1 X 2  2Y 2  2kZ  0

(15)

1 X 2  2Y 2  k  0

(16)

(15) là phương trình của mặt parabôlôit. Đặc biệt khi 1  2 thì (15) là parabôlôit tròn
xoay sinh bởi parabol có phương trình: X 2 

2k
Z  0 trong mặt phẳng Oxz khi nó quay
1

quanh trục Oz.
(16) là phương trình của mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz. Đặc biệt khi 1  2
thì (16) là mặt trụ tròn xoay có phương trình: X 2  Y 2 

k
.
1

Trường hợp 3: Nếu 1  0, 2  3  0 , khi đó phương trình của mặt bậc hai có dạng:

X 2  2 pY 2  0

(17)

(17) là phương trình của mặt trụ parabôlic.
II. Các ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Nhận dạng các đường bậc hai sau đây:
1) 5 x 2  8 xy  5 y 2  18 x  18 y  9  0 ;

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

2) x 2  y 2  2 3 xy  2(1  3) x  2(1  3) y  2  0 .
Giải:
1) Xét dạng toàn phương: f ( x, y )  5 x 2  8 xy  5 y 2 .

5 4
Ma trận của dạng toàn phương là: A  

4 5
Các giá trị riêng của ma trận là nghiệm của phương trình:
A   I  0  (5   )2  16  0

  1

  9
Toạ độ của véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   1 thoả mãn hệ phương trình:
 4 x1  4 x2  0
 x1   x2 .

4
x

4

x

0
 1
2
vậy véc tơ riêng tương ứng là v1  (1,1) .
Toạ độ của véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   9 thoả mãn hệ phương trình:

 4 x1  4 x2  0
 x1  x2 .

4
x

4
x

0
 1
2
Vậy véc tơ riêng tương ứng là v2  (1,1)
Đặt u1 

v1
1 1
v
1 1
 (
,
), u2  2  ( ,

).
v1
v2
2 2
2 2

 1
 2
Khi đó ma trận P  
 1

 2

1 
2
 là ma trận trực giao và ta có P 1  P t .
1 

2

1 ' 1 '

x


x
y

x 
 x

2
2
Đặt    P  '   
 y
y 
 y  1 x'  1 y '

2
2
thay vào phương trình đường cônic ta có:
'

x '2  9( y '  2)2  9 .
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

 X  x '
Đặt: 
'
Y  y  2

X2 Y2

 1.
thì đường bậc hai là một Elip chính tắc có dạng:

9
1
2) Xét dạng toàn phương f ( x, y )  x 2  2 3xy  y 2

 1
3
ma trận của dạng toàn phương là: A  
.
 3 1 


Các giá trị riêng của ma trận là nghiệm của phương trình:
A   I  0  (  1)(  1)  3  0
   2

  2
Toạ độ của véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   2 thoả mãn hệ phương trình:

3 x1  3 x2  0
 x2   3x1 .

3
x

x

0

1
2

Vậy véc tơ riêng tương ứng là v1  (1, 3) .
Toạ độ của véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   2 thoả mãn hệ phương trình:

  x1  3x2  0
 x1  3x2

3
x

3
x

0

1
2
Vậy véc tơ riêng tương ứng là v2  ( 3,1)

 1

v1
1 3
v2
3 1
2
Đặt u1 
 ( ,
), u2 
 ( , ) . Khi đó ma trận P  
v1

2 2
v2
2 2
 3

 2
1
t
là ma trận trực giao và ta có P  P .

1
3 '
x   x' 
y

x 
 x

2
2
Đặt    P  '   
 y
y 
 y  3 x'  1 y '

2
2
'

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi

Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục

3

2 
1 

2 




Không gian véc tơ Euclide

thay vào phương trình đường cônic ta có:
( x '  1)2  ( y '  1)2  1

 X  x'  1
Đặt: 
'
Y  y  1
thì đường bậc hai là một hypecbol chính tắc có dạng: X 2  Y 2  1 .
Ví dụ 2: Nhận dạng và đưa các mặt bậc hai sau đây về dạng chính tắc:
1) x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  1  0 ;
2) 2 xy  2 xz  2 yz  6 x  6 y  4 z  0 .
Giải:
1) Xét dạng toàn phương: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx


 1


1
Ma trận của dạng toàn phương có dạng: A   
 2
 1
 
 2
Phương trình đặc trưng của ma trận là:
A   I  0  4 3  12 2  9  0



1
2

1


1
2

1
 
2

1

2

1 



  0

3
 

2
Với   0 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau:
1
1

 x1  2 x2  2 x3  0

1
 1
  x1  x2  x3  0  x1  x2  x3
2
 2
1
 1

x

x2  x3  0
1
 2
2
Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng   0 là v1  (1, 1, 1).
3

Với   , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau:
2
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

1
1
 1

x

x

x3  0
1
2
 2
2
2

1
1
 1
  x1  x2  x3  0  x1  x2  x3  0
2

2
 2
1
1
 1
  2 x1  2 x2  2 x3  0
Nghiệm tổng quát của hệ có dạng: (a  b, a, b) (a, b  )
3
là:
2
v2  (1, 1, 0), v3  v1  v2  (1,  1, 2) .

Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng  

Trực chuẩn hoá hệ véc tơ trực giao v1 , v2 , v3  ta được hệ véc tơ sau:

1 1 1
1 1
1
1 2 

), u2  (
,
, 0), u3  (
,
,
)
u1  ( , ,
3 3 3
2 2

6
6 6 





Khi đó ma trận P   u1 u2 u3   





1
3
1
3
1
3



1
2
1
2
0

1 
6 

1 

là ma trận trực giao.
6

2 

6 


1 ' 1 ' 1 '

x
x
y 
z

3
2
6
'
x  
x
1 ' 1 ' 1 '
  


Đặt  y   P  y '    y 
x
y 

z
3
2
6
z
 z'  
 
  
1 '
2 '
x

z
z 
3
6

Thay vào phương trình của mặt bậc hai, ta có:
3 '2 3 '2
y  z 1  0
2
2
Phương trình trên xác định một mặt trụ tròn xoay quanh trục Ox.
2) Xét dạng toàn phương: 2 xy  2 yz  2 zx
Ma trận của dạng toàn phương có dạng:
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục

Không gian véc tơ Euclide

0 1 1
A   1 0 1 
1 1 0


Khi đó phương trình đặc trưng của ma trận A có dạng:
 1
1
A  I  0  1
1


1

1 0


  2
 (  1)( 2    2)  0  
   1
Với   2 , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
 2 x1  x2  x3  0

 x1  2 x2  x3  0  x1  x2  x3
 x  x  2x  0
3
 1 2

 1 1 1 
Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng   2 là v1  
,
,
.
 3 3 3
Với   1, toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ:
 x1  x2  x3  0

 x1  x2  x3  0  x1  x2  x3  0.
x  x  x  0
3
 1 2
Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng   1 là:
2 
 1 1
 1 1

v2   
,
, 0  , v3  v2  v1  
,
,

2 2 
6

 6 6





Khi đó ma trận P  (v1 v2 v3 )  





1
3
1
3
1
3



1
2
1
2
0

1 
6 
1 
là ma trận trực giao.
6 


2 


6

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

1 ' 1 ' 1 '

x

x
y 
z

3
2
6
'
x  
x
1 ' 1 ' 1 '
  



Đặt  y   P  y '    y 
x
y 
z
3
2
6
z
 z'  
 
  
1 '
2 '
x

z
z 
3
6

Thay vào phương trình của mặt bậc hai, ta có:
16 '2 4 '
2 x '2  y '2  z '2 
x 
z 0
3
6
4 2

2 2 30
 2( x ' 
)  y '2  ( z ' 
) 
3
3
6

4
2
, Y  y' , Z  z' 
, thì mặt bậc hai có dạng:
3
6
30
2X 2  Y 2  Z 2 
3
Đây là phương trình của mặt hypecbolôit hai tầng tròn xoay sinh bởi hypecbol
30
2X 2  Y 2 
3
trong mặt phẳng Oxy khi nó quay quanh trục Ox.
Ví dụ 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với cơ sở chính tắc xét điểm M (a, b ) trong đó
Đặt X  x ' 

a  r cos , b  r sin  (r  0), và đường bậc hai tương ứng với điểm M có phương trình:
(a  1) x 2  2bxy  (a  1) y 2  2ax  2by  (a  1)  0

(C)

1) Xác định đường bậc hai ứng với gốc toạ độ;
2) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng của dạng toàn phương:
(a  1) x 2  2bxy  (a  1) y 2 .
3) Nhận dạng và đưa đường bậc hai (C) về dạng chính tắc biết điểm M nằm trên
đường tròn tâm O bán kính bằng 1.
Giải:
1) Đường bậc hai tương ứng với điểm O(0, 0) có dạng:
x 2  y 2  1
Đây là phương trình của đường tròn ảo.
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

2) Ma trận của dạng toàn phương trên là:
b 
 a 1
A
 a  1
 b
Đa thức đặc trưng của ma trận có dạng:

   1  r
A   I  0  (  1) 2  a 2  b 2  0  
   1  r
Với   1  r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau:

(cos  1) x1  (sin  ) x2  0


 cos .x1  sin .x2  0.

2
2
(sin  ) x1  (1  cos ) x2  0



Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1  r là: v1 ( sin , cos ) .
2
2
Với   1  r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau:
(cos  1) x1  (sin  ) x2  0


 sin .x1  cos .x2  0.

2
2
(sin  ) x1  (1  cos ) x2  0



Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng  1  r là: v2 (cos , sin ).
2
2

3) Vì M nằm trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 nên ta có r  1 .




sin
cos

2
2  là ma trận trực giao.
Khi đó ma trận P  (v1 v2 )  



 cos
sin 

2
2

 '
 '

x


sin
x

cos

y
x 
 x

2
2
Đặt:     P  '   
 y
y 
 y  cos  x '  sin  y '

2
2
Thay vào đường bậc hai (C), ta có:
1 
 1 5

2( x '  sin ) 2  2 y ' cos   cos 2  0
2
2
2 2 2
2
1 
 1 5

Đặt X  x '  sin , Y  2 y ' cos   cos 2
2
2
2 2 2
2

Khi đó đường bậc hai (C ) là một Parabol có dạng:
Y  2X 2
'

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục




Không gian véc tơ Euclide

III. Bài tập tự giải
Bài 1: Nhận dạng và đưa về dạng chính tắc các đường bậc hai sau:
1) x 2  2 xy  y 2  8 x  y  0;
2) 11x 2  24 xy  4 y 2  15  0;
3) 2 x 2  4 xy  5 y 2  24  0;
4) 5 x 2  4 xy  2 y 2  24 x  12 y  18  0.

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với cơ sở chính tắc xét điểm M (a, b ) trong đó

a  r cos , b  r sin  (r  0), và đường bậc hai tương ứng với điểm M có phương trình:
(a  1) x 2  2bxy  (a  1) y 2  2ax  2by  (a  1)  0

(C)

Nhận dạng và đưa về dạng chính tắc đường bậc hai (C) trong các trường hợp sau:
1) M nằm trong đường tròn tâm O bán kinh bằng 1.
2) M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kinh bằng 1.
Bài 3: Nhận dạng và đưa về chính tắc các mặt bậc hai sau:

1) x 2  5 y 2  z 2  2 xy  6 xz  2 yz  6  0 ;
2) 2 x 2  y 2  2 z 2  2 xy  2 yz  x  4 y  3 z  2  0;
3) 2 x 2  2 y 2  5 z 2  4 xy  2 xz  2 yz  10 x  2 z  26  0;
4) 2 xy  2 xz  x  y  z  0;
5) x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  1  0;
6) 2 xy  6 x  10 y  z  31  0.

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục