Dạng toàn phương và ứng dụng để nhận dạng đường và mặt bậc hai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (260.27 KB, 41 trang )
Chu
.
o
.
ng 6
Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a´u
.
ng
du
.
ng d
ˆe
’
nhˆa
.
nda
.
ng du
.
`o
.
ng v`a
m˘a
.
tbˆa
.
c hai
6.1 Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
Dath´u
.
cd
˘a
’
ng cˆa
´
pbˆa
.
c hai cu
’
a c´ac biˆe
´
n x
1
,x
2
,...,x
n
du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a da
.
ng
to`an phu
.
o
.
ng cu
’
a n biˆe
´
nd
´o :
ϕ(x
1
,...,x
n
)=
n
i=1
n
j=1
a
ij
x
i
x
j
=
n
i,j=1
a
ij
x
i
x
j
. (6.1)
D
´ol`aph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
˘a
.
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
˜
i vecto
.
x =(x
1
,x
2
,...,x
n
) ∈
R
n
v´o
.
isˆo
´
ϕ(x
1
,...,x
n
).
Nˆe
´
ud
˘a
.
t
X =
x
1
x
2
.
.
.
x
n
,A=
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
nn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
... a
nn
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 237
th`ı thu du
.
o
.
.
c
ϕ(x
1
,x
2
,...,x
n
)=X
T
AX. (6.2)
D
-
i
.
nh l´y. Nˆe
´
u C l`a ma trˆa
.
ncu
’
aph´epbd
tt thu
.
.
chiˆe
.
ntrˆen c´ac biˆe
´
n
cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng (6.1) v´o
.
i ma trˆa
.
n A th`ı da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng m´o
.
i
thu d
u
.
o
.
.
c c´o ma trˆa
.
nl`aC
T
AC.
Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng da
.
ng
α
1
x
2
1
+ α
2
x
2
2
+ ···+ α
n
x
2
n
(6.3)
khˆong ch´u
.
a c´ac sˆo
´
ha
.
ng v´o
.
i t´ıch cu
’
a c´ac biˆe
´
n kh´ac nhau (v`a do d
´on´o
c´o ma trˆa
.
nd
u
.
`o
.
ng ch´eo) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng ch´eo hay da
.
ng
ch´ınh t˘a
´
c.
Tiˆe
´
p theo ta tr`ınh b`ay nˆo
.
i dung cu
’
a c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap d
u
.
ada
.
ng
to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
6.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap Lagrange
D
-
i
.
nh l´y Lagrange. B˘a
`
ng ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tuyˆe
´
nt´ınh khˆong suy biˆe
´
n
d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac biˆe
´
n x
1
,...,x
n
mo
.
ida
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d
ˆe
`
udu
.
ad
u
.
o
.
.
cvˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Tinh thˆa
`
nco
.
ba
’
ncu
’
aphu
.
o
.
ng ph´ap Lagrange l`a nhu
.
sau.
1
+
´
It nhˆa
´
tmˆo
.
t trong c´ac hˆe
.
sˆo
´
a
ii
kh´ac khˆong.
Khˆong gia
’
mtˆo
’
ng qu´at, c´o thˆe
’
cho r˘a
`
ng a
11
=0(nˆe
´
u khˆong th`ı
d
´anh sˆo
´
la
.
i). Khi d´ob˘a
`
ng ph´ep tr´ıch mˆo
.
tb`ınh phu
.
o
.
ng d
u
’
t`u
.
cu
.
mtˆa
´
t
ca
’
c´ac sˆo
´
ha
.
ng ch´u
.
a x
1
ta c´o
ϕ(·)=αy
2
1
+ ϕ
2
(x
2
,x
3
,...,x
n
)
y
1
= λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
+ ···+ λ
n
x
n
trong d´o λ
1
,λ
2
,...,λ
n
l`a c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
, ϕ
2
(x
2
,...,x
n
) l`a da
.
ng to`an
phu
.
o
.
ng chı
’
c`on n − 1biˆe
´
n (khˆong c`on x
1
). Dˆo
´
iv´o
.
i ϕ
2
(x
2
,...,x
n
)ta
la
.
i thu
.
.
chiˆe
.
n thuˆa
.
t to´an nhu
.
v`u
.
a tr`ınh b`ay,...
238 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
2
+
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p a
ii
=0∀ i = 1,n nh˜u
.
ng a
ij
=0(i = j)du
.
o
.
.
cd
u
.
a
vˆe
`
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p trˆen b˘a
`
ng ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh khˆong suy biˆe
´
n
x
j
= y
j
+ y
i
x
k
= y
k
,k= j
V´ı d u
.
1. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
+4x
2
x
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. Nh´om c´ac sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
a x
1
th`anh mˆo
.
tcu
.
m v`a tr´ıch t`u
.
cu
.
md
´omˆo
.
tb`ınh phu
.
o
.
ng d
u
’
ta c´o
ϕ(·)=(x
2
1
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
)+x
2
2
+ x
2
3
+4x
2
x
3
=(x
1
+ x
2
+2x
3
)
2
− (2x
2
+2x
3
)
2
+ x
2
2
+ x
2
3
+4x
2
x
3
=(x
1
+2x
2
+2x
3
)
2
− 3x
2
2
− 3x
2
3
− 4x
2
x
3
.
Nh´om c´ac sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
a x
2
rˆo
`
i tr´ıch b`ınh phu
.
o
.
ng ta c´o
ϕ(·)=(x
1
+2x
2
+2x
3
)
2
− 3(x
2
+
2
3
x
3
)
2
−
5
3
x
2
3
.
D`ung ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh khˆong suy biˆe
´
n
y
1
= x
1
+2x
2
+2x
3
y
2
= x
2
+
2
3
x
3
y
3
= x
3
⇒
x
1
= y
1
− 2y
2
−
2
3
y
3
x
2
= y
2
−
2
3
y
3
x
3
= y
3
ta thu du
.
o
.
.
c
ϕ(·)=y
2
1
− 3y
2
2
−
5
3
y
2
3
.
V´ı d u
.
2. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
x
2
+2x
1
x
3
+4x
2
x
3
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 239
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. V`ı a
11
= a
22
= a
33
=0nˆen dˆa
`
u tiˆen thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i
so
.
bˆo
.
khˆong suy biˆe
´
nthud
u
.
o
.
.
csˆo
´
ha
.
ng c´o b`ınh phu
.
o
.
ng:
x
1
= y
1
x
2
= y
1
+ y
2
x
3
= y
3
(6.4)
v`a thu d
u
.
o
.
.
c
ϕ(·)=y
1
(y
1
+ y
2
)+2y
1
y
3
+4(y
1
+ y
2
)y
3
= y
2
1
+ y
1
y
2
+6y
1
y
3
+4y
2
y
3
.
Xuˆa
´
t ph´at t`u
.
da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng m´o
.
ithud
u
.
o
.
.
c, tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trong
v´ıdu
.
1 ta c´o
ϕ(·)=
y
1
+
1
2
y
2
+3y
3
2
−
1
2
y
2
+3y
3
2
+4y
2
y
3
=
y
1
+
1
2
y
2
+3y
3
2
−
1
4
y
2
+ y
2
y
3
− 9y
3
.
Thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i khˆong suy biˆe
´
n
z
1
= y
1
+
1
2
y
2
+3y
3
,
z
2
= y
2
,
z
3
= y
3
v´o
.
i ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i ngu
.
o
.
.
c
y
1
= z
1
−
1
2
z
2
− 3z
3
,
y
2
= z
2
,
y
3
= z
3
(6.5)
ta thu d
u
.
o
.
.
c
ϕ(·)=z
2
1
−
1
4
z
2
2
+ z
2
z
3
− 9z
2
3
.
240 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
Nh´om c´ac sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
a z
2
ta c´o
ϕ(·)=z
2
1
−
1
4
(z
2
− 2z
3
)
2
− 8z
2
3
.
Thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i khˆong suy biˆe
´
n
u
1
= z
1
,
u
2
= z
2
− 2z
3
,
u
3
= z
3
⇒
z
1
= u
1
,
z
2
= u
2
+2u
3
,
z
3
= u
3
(6.6)
Sau ba ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i liˆen tiˆe
´
p (6.4)-(6.6) da
.
ng d˜a cho c´o da
.
ng du
.
`o
.
ng
ch´eo
ϕ(·)=u
2
1
−
1
4
u
2
2
− 8u
2
3
.
D
ˆe
’
t`ım ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
iho
.
.
p ta cˆa
`
n nhˆan c´ac ma trˆa
.
ncu
’
a
(6.4), (6.5) v`a (6.6). Ta c´o
100
110
001
1 −
1
2
−3
01 0
00 1
100
012
001
=
1 −
1
2
−4
1
1
2
−2
00 1
= C.
Do ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i khˆong suy biˆe
´
ndu
.
ada
.
ng ϕ vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
cl`a
x
1
= u
1
−
1
2
u
2
− 4u
3
,
x
2
= u
1
+
1
2
u
2
− 2u
3
,
x
3
= u
3
.
D
ˆe
’
kiˆe
’
m tra ta t´ınh t´ıch C
T
AC.Tac´o
C
T
AC =
110
−
1
2
1
2
0
−4 −21
0
1
2
1
1
2
02
120
1 −
1
2
−4
1
1
2
−2
00 1
=
10 0
0 −
1
4
0
00−8
D
´o l`a ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng ch´ınh t˘a
´
cthudu
.
o
.
.
c.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 241
6.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Jacobi
Phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay chı
’
´ap du
.
ng d
u
.
o
.
.
c khi mo
.
id
i
.
nh th´u
.
c con ch´ınh cu
’
a
ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d
ˆe
`
u kh´ac 0, t´u
.
c l`a khi
∆
1
= a
11
=0, ∆
2
=
a
11
a
12
a
21
a
22
=0,...,∆
n
=
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
... a
nn
=0.
(6.7)
Cu
.
thˆe
’
ta c´o
D
-
i
.
nh l´y. Nˆe
´
uda
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,...,x
n
)=
n
i,j=1
a
ij
x
i
x
j
tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
nv`u
.
a nˆeu: ∆
i
=0∀ i = 1,n th`ı tˆo
`
nta
.
iph´ep biˆe
´
n
d
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh khˆong suy biˆe
´
nt`u
.
c´ac biˆe
´
n x
1
,...,x
n
dˆe
´
n c´ac biˆe
´
n
y
1
,...,y
n
sao cho
ϕ(·)=
∆
1
∆
0
y
2
1
+
∆
2
∆
1
y
2
2
+ ···+
∆
n
∆
n−1
y
2
n
, ∆
0
≡ 1.
Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i nˆeu trong di
.
nh l´y Jacobi c´o da
.
ng
x
1
= y
1
+ α
21
y
2
+ α
31
y
3
+ ···+ α
n1
y
n
,
x
2
= y
2
+ α
32
y
3
+ ···+ α
n2
y
n
,
... ... ... ... ...
x
n
= y
n
(6.8)
trong d
´o c´ac hˆe
.
sˆo
´
α
ji
cu
’
aph´ep bdtt (6.8) du
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh theo c´ac cˆong
th´u
.
c
α
ij
=(−1)
j+i
D
j−1,i
∆
j−1
(6.9)
242 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
o
.
’
d
ˆay ∆
j−1
l`a di
.
nh th´u
.
c con ch´ınh trong (6.7), c`on D
j−1,i
l`a di
.
nh th´u
.
c
con cu
’
a ma trˆa
.
n A lˆa
.
pnˆen bo
.
’
i c´ac phˆa
`
ntu
.
’
n˘a
`
m trˆen giao cu
’
a c´ac
h`ang th´u
.
1, 2,...,j− 1 v`a c´ac cˆo
.
tth´u
.
1, 2,...,i− 1,i+1,...,j
V´ı d u
.
3. D
u
.
ada
.
ng to`an phuwo
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
2
1
+3x
2
2
+ x
2
3
− 4x
1
x
2
+2x
1
x
3
− 2x
2
x
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. Ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng d
˜a cho c´o da
.
ng
A =
2 −21
−23−1
1 −11
v´o
.
ic´acd
i
.
nh th´u
.
c con ch´ınh
∆
1
=2, ∆
2
=2, ∆
3
=1.
Khi d
´oda
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d
˜achodu
.
ad
u
.
o
.
.
cvˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c
ϕ(·)=2y
2
1
+ y
2
2
+
1
2
y
2
3
. (6.10)
Ta t`ım ph´ep bd
tt du
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d
˜a cho vˆe
`
da
.
ng (6.10).
N´o c´o da
.
ng
x
1
= y
1
+ α
21
y
2
+ α
31
y
3
,
x
2
= y
2
+ α
32
y
3
,
x
3
= y
3
.
(6.11)
Ta t`ım c´ac hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a (6.11) theo cˆong th´u
.
c (6.9). Ta c´o
α
21
=(−1)
3
D
1,1
∆
1
= −
−2
2
=1,
α
31
=(−1)
4
D
2,1
∆
2
=
−21
3 −1
2
= −
1
2
,
α
32
=(−1)
5
D
2,2
∆
2
= −
21
−2 −1
2
=0.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 243
Nhu
.
vˆa
.
y
x
1
= y
1
+ y
2
−
1
2
y
3
,
x
2
= y
2
,
x
3
= y
3
.
V´ı d u
.
4. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
2
1
+3x
1
x
2
+4x
1
x
3
+ x
2
2
+ x
2
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. Ta c´o ma trˆa
.
ncu
’
a ϕ l`a
A =
2
3
2
2
3
2
10
201
v´o
.
i c´ac d
i
.
nh th´u
.
c con ch´ınh b˘a
`
ng
∆
1
=2, ∆
2
= −
1
4
, ∆
3
= −
17
4
·
Khi d
´o theo di
.
nh l´y Jacobi ta thu du
.
o
.
.
cda
.
ng ch´ınh t˘a
´
cl`a
ϕ(·)=2y
2
1
−
1
8
y
2
2
+17y
3
nh`o
.
ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i
x
1
= y
1
+ α
21
y
2
+ α
31
y
3
,
x
2
= y
2
+ α
32
y
3
,
x
3
= y
3
244 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
v´o
.
ic´achˆe
.
sˆo
´
d
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh theo (6.9).
´
Ap du
.
ng (6.9) ta thu du
.
o
.
.
c
α
21
=(−1)
3
D
1,1
∆
1
= −
3
2
2
= −
3
4
,
α
31
=(−1)
4
D
2,1
∆
2
=
3
2
2
10
−
1
4
=8,
α
32
=(−1)
4
D
2,2
∆
2
= −
22
3
2
0
−
1
4
= −12.
Vˆa
.
y ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
il`a
x
1
= y
1
−
3
4
y
2
+8y
3
,
x
2
= y
2
− 12y
3
,
x
3
= y
3
.
6.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao
V`ı ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng l`a ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng, thu
.
.
cnˆen
b`ai to´an d
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c c´o thˆe
’
quy vˆe
`
b`ai
to´an d
u
.
a ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng A vˆe
`
da
.
ng d
u
.
`o
.
ng ch´eo. C´ac nghiˆe
.
mcu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng |A − λE| = 0 l`a c´ac sˆo
´
d
˘a
.
c tru
.
ng, c`on c´ac
vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i c´ac sˆo
´
d
˘a
.
c tru
.
ng d
´o l`a c´ac hu
.
´o
.
ng ch´ınh cu
’
a
da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng (Lu
.
u´yr˘a
`
ng hai vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i c´ac gi´a
tri
.
riˆeng kh´ac nhau cu
’
a ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng l`a tru
.
.
c giao v´o
.
i nhau). M˘a
.
t
kh´ac v`ı A l`a ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng thu
.
.
c nˆen n´o c´o n sˆo
´
d
˘a
.
c tru
.
ng thu
.
.
c
(nˆe
´
umˆo
˜
isˆo
´
d
u
.
o
.
.
c t´ınh mˆo
.
tsˆo
´
lˆa
`
nb˘a
`
ng bˆo
.
icu
’
a n´o).
T`u
.
d
´ot`ımdu
.
o
.
.
cd
u
’
n vecto
.
riˆeng d
ˆo
.
clˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh. B˘a
`
ng ph´ep
tru
.
.
cchuˆa
’
nh´oatathud
u
.
o
.
.
cmˆo
.
tco
.
so
.
’
gˆo
`
mt`u
.
c´ac vecto
.
riˆeng cu
’
a A.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 245
Ma trˆa
.
n T chuyˆe
’
nt`u
.
co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n(e)d
ˆe
´
nco
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n(E)
lˆa
.
pnˆent`u
.
c´ac vecto
.
riˆeng cu
’
a ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
idˆo
´
ix´u
.
ng (v´o
.
i ma trˆa
.
n
A) l`a ma trˆa
.
n tru
.
.
c giao v`ıca
’
hai co
.
so
.
’
d
ˆe
`
u tru
.
.
cchuˆa
’
n.
Nhu
.
vˆa
.
yd
ˆo
´
iv´o
.
imo
.
i ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng thu
.
.
c A c´o thˆe
’
t`ım mˆo
.
t
ma trˆa
.
n tru
.
.
c giao T c`ung cˆa
´
p sao cho B = T
−1
AT l`a ma trˆa
.
n ch´eo.
D
´oc˜ung ch´ınh l`a ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d
˜a cho trong co
.
so
.
’
(E). T`u
.
d
´o ta c´o quy t˘a
´
c t`ım ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao d
u
.
ada
.
ng to`an
phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
1) Viˆe
´
t ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a t`ım c´ac sˆo
´
d
˘a
.
c tru
.
ng
cu
’
a n´o.
2) T`ım hˆe
.
vecto
.
riˆeng tru
.
.
cchuˆa
’
ncu
’
a A.
3) Lˆa
.
p ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao.
V´ı d u
.
5. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
)=27x
2
1
− 10x
1
x
2
+3x
2
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. 1
+
Viˆe
´
t ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng
A =
27 −5
−53
.
Lˆa
.
pphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
|A − λE| =
27 − λ −5
−53− λ
=0⇔ λ
2
− 30λ +56=0.
Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng ta c´o λ
1
=2,λ
2
= 28.
2
+
T`ım c´ac vecto
.
riˆeng chuˆa
’
nt˘a
´
c. D
ˆe
’
t`ım to
.
adˆo
.
cu
’
a c´ac vecto
.
riˆeng ta lˆa
`
nlu
.
o
.
.
t gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(27 − λ
i
)ξ
1
− 5ξ
2
=0,
−5ξ
1
+(3− λ
i
)ξ
2
=0
246 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
khi λ
1
=2v`aλ
2
= 28.
a) Nˆe
´
u λ
1
= 2 th`ı ta c´o hˆe
.
25ξ
1
− 5ξ
2
=0,
−5ξ
1
+ ξ
2
=0.
Do d
´o ξ
2
=5ξ
1
.D˘a
.
t ξ
1
= α. Khi d´o ξ
2
=5α v`a do d´o vecto
.
riˆeng c´o
da
.
ng
u = αe
1
+5αe
2
.
b) Nˆe
´
u λ
2
= 28 th`ı ta gia
’
ihˆe
.
−ξ
1
− 5ξ
2
=0,
−5ξ
1
− 25ξ
2
=0
v`a thu d
u
.
o
.
.
c ξ
1
= −5ξ
2
.D˘a
.
t ξ
2
= β th`ı ξ
1
= −5β v`a thu du
.
o
.
.
c vecto
.
riˆeng
v = −5βe
1
+ βe
2
.
T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c c´ac vecto
.
riˆeng chuˆa
’
n h´oa
E
1
=
1
√
26
e
1
+
5
√
26
e
2
, E
2
= −
5
√
26
e
1
+
1
√
26
e
2
.
3
+
Lˆa
.
p ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao.
Tru
.
´o
.
chˆe
´
t ta lˆa
.
p ma trˆa
.
n chuyˆe
’
n T t`u
.
co
.
so
.
’
(e) sang co
.
so
.
’
(E)
1
√
26
−
5
√
26
5
√
26
1
√
26
V`ı(e)v`a(E)d
ˆe
`
u l`a nh˜u
.
ng co
.
so
.
’
tru
.
.
c chuˆa
’
nnˆenT l`a ma trˆa
.
n tru
.
.
c
giao. N´o tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao cu
’
a c´ac biˆe
´
n x
1
v`a x
2
:
x
1
=
1
√
26
x
1
−
5
√
26
x
2
,
x
2
=
5
√
26
x
1
+
1
√
26
X
2
.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 247
T`u
.
d
´o ta c´o
ϕ(·)=27
1
√
26
x
1
−
5
√
26
x
2
2
− 10
1
√
26
x
1
−
5
√
26
x
2
5
√
26
x
1
+
1
√
26
x
2
+3
5
√
26
x
1
+
1
√
26
x
2
2
=2x
1
2
+28x
2
2
.
Nhˆa
.
n x´et. Hˆe
.
th´u
.
c cuˆo
´
ic`ung c´o thˆe
’
thu d
u
.
o
.
.
cb˘a
`
ng c´ach t`ım ma
trˆa
.
n B cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng trong co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n(E). Ta c´o
B = T
−1
AT = T
T
AT =
20
028
v`a do d
´o
ϕ(·)=2x
1
2
+28x
2
2
.
V´ı d u
.
6. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=3x
2
1
+2x
2
2
+ x
2
3
+4x
1
x
2
+4x
2
x
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. 1
+
Lˆa
.
p v`a gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
3 − λ 20
22− λ 2
021− λ
=0⇔ λ
1
=2,λ
2
= −1,λ
3
=5.
2
+
Dˆe
’
t`ım to
.
adˆo
.
c´ac vecto
.
riˆeng ta lˆa
`
nlu
.
o
.
.
t gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng
tr`ınh
(3 − λ
i
)ξ
1
+2ξ
2
+0· ξ
3
=0,
2ξ
1
+(2− λ
i
)ξ
2
+2ξ
3
=0,
0 · ξ
1
+2ξ
2
+(1− λ
i
)ξ
3
=0
(6.12)
v´o
.
i λ
1
=2,λ
2
= −1v`aλ
3
=5.
248 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
a) Gia
’
su
.
’
λ
1
= 2. Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n
A− 2E =
12 0
20 2
02−1
cu
’
ahˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t
ξ
1
+2ξ
2
=0,
2ξ
1
+2ξ
3
=0,
2ξ
2
− ξ
3
=0
(6.13)
b˘a
`
ng 2 nˆen hˆe
.
nghiˆe
.
mco
.
ba
’
ncu
’
ahˆe
.
(6.13) chı
’
gˆo
`
mmˆo
.
t nghiˆe
.
m. T`u
.
(6.13) suy r˘a
`
ng ξ
1
=2α, ξ
2
= −α, ξ
3
= −2α.Dod´o vecto
.
riˆeng ´u
.
ng
v´o
.
i λ
1
=2l`a
u
1
(2α,−α,−2α)
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta thu d
u
.
o
.
.
c
E =
2
3
e
1
−
1
3
e
2
−
2
3
e
3
trong d´o e
1
,e
2
,e
3
l`a co
.
so
.
’
m`a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng c´o ma trˆa
.
nl`aA.
b) Gia
’
su
.
’
λ = −1. Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n
A + E =
420
232
022
cu
’
ahˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t
4ξ
1
+2ξ
2
=0,
2ξ
1
+3ξ
2
+2ξ
3
=0,
2ξ
2
+2ξ
3
=0
(6.14)
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 249
b˘a
`
ng2nˆenhˆe
.
nghiˆe
.
mco
.
ba
’
ncu
’
a n´o chı
’
gˆo
`
mmˆo
.
t nghiˆe
.
m. T`u
.
(6.14)
suy r˘a
`
ng ξ
1
= β, ξ
2
= −2β, ξ
3
=2β, β ∈ R.Dod´o vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.
i λ
2
= −1s˜el`a
u
2
(β,−2β,2β)
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta thu d
u
.
o
.
.
c
E
2
=
1
3
e
1
−
2
3
e
2
+
2
3
e
3
.
c) Gia
’
su
.
’
λ
3
=5. Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trˆen, t`u
.
hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
−2ξ
1
+2ξ
2
=0,
2ξ
1
− 3ξ
2
+2ξ
3
=0,
2ξ
2
− 4ξ
3
=0
ta c´o ξ
1
=2γ, ξ
2
=2γ, ξ
3
= γ v`a vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´o da
.
ng
u
3
(2γ,2γ,γ),γ∈ R
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta c´o
E
3
=
2
3
e
1
+
2
3
e
2
+
1
3
e
3
.
T`u
.
c´ac khai triˆe
’
ncu
’
a E
1
,E
2
,E
3
suy r˘a
`
ng ch´ung lˆa
.
p th`anh mˆo
.
tco
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
ncu
’
a khˆong gian R
3
.
Ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao c´o da
.
ng
T =
2
3
1
3
2
3
−
1
3
−
2
3
2
3
−
1
3
2
3
1
3
v´o
.
i c´ac cˆong th´u
.
cbiˆe
´
nd
ˆo
’
ito
.
adˆo
.
x
1
=
2
3
x
1
+
1
3
x
2
+
2
3
x
3
,
x
2
= −
1
3
x
1
−
2
3
x
2
+
2
3
x
3
,
x
3
= −
2
3
x
1
+
2
3
x
2
+
1
3
x
3
.
250 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
V´o
.
i ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
id´o ta c´o
ϕ(·)=2x
1
2
− x
2
2
+5x
3
2
.
V´ı d u
.
7. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng sau d
ˆa y v ˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=6x
2
1
+3x
2
2
+3x
2
3
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
− 8x
2
x
3
.
Gia
’
i. 1
+
Lˆa
.
p v`a gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
6 − λ 22
23− λ −4
2 −43− λ
=0⇔ λ
1
= λ
2
=7,λ
3
= −2.
2
+
Dˆe
’
t`ım to
.
adˆo
.
cu
’
a c´ac vecto
.
riˆeng ta cˆa
`
n gia
’
i c´ac hˆe
.
phu
.
o
.
ng
tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t
(6 − λ
i
)ξ
1
+2ξ
2
+2ξ
4
=0,
2ξ
1
+(3− λ
i
)ξ
2
− 4ξ
3
=0,
2ξ
1
− 4ξ
2
+(3− λ
i
)ξ
3
=0
lˆa
`
nlu
.
o
.
.
tv´o
.
i λ
1
= λ
2
=7,λ
3
= −2.
a) Gia
’
su
.
’
λ = 7. Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n A − 7E cu
’
ahˆe
.
−ξ
1
+2ξ
2
+2ξ
3
=0,
2ξ
1
− 4ξ
2
− 4ξ
3
=0,
2ξ
1
− 4ξ
2
− 4ξ
3
=0
(6.15)
l`a b˘a
`
ng 1 nˆen hˆe
.
c´o hai nghiˆe
.
mco
.
ba
’
n. Hˆe
.
(6.15) d
u
.
o
.
.
cd
u
.
avˆe
`
mˆo
.
t
phu
.
o
.
ng tr`ınh
ξ
1
=2ξ
2
+2ξ
3
.
Do d
´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
ahˆe
.
(6.15) c´o da
.
ng ξ
1
=2α +2β, ξ
2
= α,
ξ
3
= β:
(2α +2β,α,β), (6.16)
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 251
t´u
.
cl`aho
.
c´ac vecto
.
riˆeng phu
.
thuˆo
.
c hai tham sˆo
´
α v`a β.
Ta lˆa
´
y ra hai vecto
.
tru
.
.
c giao n`ao d
´ocu
’
aho
.
u =2(α+ β)e
1
+ αe
2
+
βe
3
. Ch˘a
’
ng ha
.
nd˘a
.
t α =0,β =1th`ıthudu
.
o
.
.
c vecto
.
riˆeng
u
1
(2, 0, 1)
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta d
u
.
o
.
.
c
E
1
=
2
√
5
, 0,
1
√
5
.
D
ˆe
’
c´o vecto
.
th´u
.
hai u
2
ta cˆa
`
ncho
.
n α v`a β sao cho u
1
,u
2
=0t´u
.
c
l`a
2 · 2(α + β)+β =0⇔ 4α +5β =0.
Ta c´o thˆe
’
cho
.
n α =5,β = −4v`at`u
.
(6.16) ta c´o
u
2
(2, 5,−4)
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta c´o
E
2
=
2
3
√
5
,
√
5
3
,
−4
3
√
5
.
b) Gia
’
su
.
’
λ = −2. Ta c´o
8ξ
1
+2ξ
2
+2ξ
3
=0,
2ξ
1
+5ξ
2
− 4ξ
3
=0,
2ξ
1
− 4ξ
2
+5ξ
3
=0
Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
ncu
’
ahˆe
.
b˘a
`
ng 2 nˆen hˆe
.
co
.
ba
’
nchı
’
gˆo
`
mmˆo
.
t nghiˆe
.
m.
Ch˘a
’
ng ha
.
n gia
’
i hai phu
.
o
.
ng tr`ınh cuˆo
´
i ta c´o ξ
2
= ξ
3
v`a ξ
1
= −
ξ
2
2
v`a
do d
´o ξ
1
= −
ξ
1
2
= −
ξ
3
2
.
D
˘a
.
t ξ
1
= α ta c´o ho
.
vecto
.
riˆeng phu
.
thuˆo
.
cmˆo
.
t tham sˆo
´
u
3
(α,−2α,−2α),α∈ R
