05 bài giảng số 4 tổng thể lý thuyết mẫu và ước lượng tham số của các biến ngẫu nhiên

sở ý tết


r tự tế tờ ứ ột ột số ệ ị ợ ị
tí tr ột t ợ tử t t ộ t ợ tử ồ t t
ột ệ ứ ị tí ị ợ ó ọ tổ tể ứ
tổ tể
ự t ệ ế ì ệ ứ ột tổ tể
tự t tì t số tr ủ ế tr tổ tể ó
í ụ ứ ết q s t ủ ệ ó tể ó
ệ ị ợ ợ t tị
ể ị t số tr ủ tổ tể ó tể ù ề tr t
ộ tứ tố t ộ tổ tể tí từ tử ủ ó
ít ợ sử ụ ì ó rt ề ế
r tự tế ờ t tờ ù ứ ột ộ ủ
tổ tể ồ ột số tử ủ tổ tể ợ ọ r ệ ự tr t t
t ợ ủ tử tr s ọ ể tì t
t tổ qt
P ó ề ể
í t tể ề tr t ộ tổ tể
í ít tố é s ớ ề tr t ộ tổ tể
ị trù t
ế ợ ọ tì t t í
Đ

ệ ề

Đ

ổ tể ứ

t tổ tể
ị ĩ

ố ợ tử ủ tổ tể ọ í tớ tổ tể í ệ í tớ
tổ tể ó tể ữ ế ợ
ệ tr tổ tể t ứ ọ ệ ứ í ệ

ế ệ ợ ó ệ ứ tr tổ tể


✼✶
❣ä✐ ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❣è❝ ❝ñ❛ tæ♥❣ t❤Ó✳ ◗✉② ❧✉❐t ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ①➳❝ s✉✃t ❝ñ❛ ❳ ❣ä✐ ❧➭ q✉②
❧✉❐t ❣è❝ ❝ñ❛ tæ♥❣ t❤Ó✳
●✐➯ sö ❳ ❝ã t❤Ó ♥❤❐♥ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ x , x , ..., x ✈í✐ ❝➳❝ t➬♥ sè t➢➡♥❣ ø♥❣ N , N , ...N ✳ ❑❤✐
➤ã tæ♥❣ t❤Ó ❝ã t❤Ó ♠➠ t➯ ❜➺♥❣ ❜➯♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t➬♥ sè s❛✉✿
1

❳
❚➬♥ sè
❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥

2

x1

x2

N1

N2

1

✳✳✳
✳✳✳✳

xi
Ni

✳✳✳✳
✳✳✳✳

2

k

xk
Nk



0 ≤ Ni ≤ N ∀N
k
i=1




❑Ý ❤✐Ö✉ p = ❧➭ t➬♥ s✉✃t ❝ñ❛ x
❚❛ ❝ã ❜➯♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t➬♥ s✉✃t
i

k

Ni
N

Ni = N

i

❳
❚➬♥ s✉✃t

x1

x2

p1

p2

❦❤✐ ➤ã

✳✳✳
✳✳✳✳

pi

✳✳✳✳
✳✳✳✳

xk
pk

k

✈➭

0 ≤ pi ≤ 1

xi

=1
i=1

■■✳❈➳❝ t❤❛♠ sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ tæ♥❣ t❤Ó
✶✳❚r✉♥❣ ❜×♥❤ tæ♥❣ t❤Ó

❚r✉♥❣ ❜×♥❤ tæ♥❣ t❤Ó✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ m ❧➭ tr✉♥❣ ❜×♥❤ sè ❤ä❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ tr♦♥❣
tæ♥❣ t❤Ó
1
m=
N

N

xi
i=1

◆Õ✉ tæ♥❣ t❤Ó ❝❤Ø ♥❤❐♥ k ❣✐➳ trÞ x , x , ..x ✈í✐ ❝➳❝ t➬♥ sè t➢➡♥❣ ø♥❣ N , N , ...N t❤×
tr✉♥❣ ❜×♥❤ tæ♥❣ t❤Ó ➤➢î❝ tÝ♥❤ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝
1

2

k

1
m=
N

❚❛ ❝ã

1
m=
N

1

k

xi Ni
i=1

k

k

xi Ni =
i=1

pi xi = E(X)
i=1

2

k



tr ì tổ tể ì ọ ủ ế ố X
í ụ
ổ tể ứ ột í ệ ó N = 40 ớ ệ ứ
st ộ ố ệ ở s
st ộx ố N
Nx

N x = 2520
ì st ộ tr ì ủ ỗ
ó
i

i

i i

i i

1
m=
N

k

Ni xi = 63
i=1

r tù từ trờ ợ ờ t ò sử ụ tr ì s

r ì ề ò

mh =

N
n
1
i=1 xi



mh =

N
k
Ni
i=1 xi

r ì

mg =


N
x1 .x2 ....xN

P s tổ tể ộ ệ t st tổ tể

í ệ tr ì số ọ ủ ì s ệ ữ trị ủ
ệ tr tổ tể tr ì tổ tể

2

1
=
N

N

(xi m)2

2



i=1



1
=
N

k

k
2

2

(xi m)2 pi

Ni (xi m) =
i=1

i=1

ì s tổ tể í s ủ ế tr tổ tể ó
ó ứ ộ t ủ trị ủ ệ q tr ì tổ
tể
P s tổ tể ũ ó tể ợ tí tứ
2 =


1
N

k

Ni x2i m2
i=1

ộ ệ tổ tể =
í ụ
ừ số ệ tr t ó
2

k

Ni x2i = 130500
i=1

2 =

160500
632 = 43, 5
40

st tổ tể
tổ tể í tớ N tr ó ó M tử ệ ứ N M
tử ệ ứ ọ t st tổ tể tỷ số ữ số
tử ệ ứ í tớ tổ tể
p=

M
N

ú ý p í st ể ột tử tì tử ó ệ
ứ
Đ


ị ĩ

n tử từ tổ tể ợ ột t ợ ủ tổ tể ồ tử ệ
tổ tể ọ n ọ í tớ
ể tí ệ ủ tổ tể ợ t ớ ữ tết
s
ợt từ tử
ỗ tử ợ ột

tử ợ t tứ
ọ X (i = 1...n) trị ủ ệ ờ ợ tr tử tứ ủ
trị X ó tể ế t ợ q ệ tế é
tử ộ ố ớ ế
í tớ n t ợ ủ ế ộ
X , X , ...X ợ t từ ế X tr tổ tể ứ ó ù
q t ố st ủ X í ệ W = (X , X , ...X )
ú ý t ợ rút r từ ù ễ ố ú
ó ù q t ố st t số tr ớ ế ố
i

i

ị ĩ

1

2

n

1

2

n

E(X1 ) = E(X2 ) = ... = E(Xn ) = E(X) = m

V (X1 ) = V (X2 ) = ... = V (Xn ) = V (X) = 2

í ụ ứ số t ợ ột ú ó số t ợ
ế ố ó ố st
ế ú ọ X số t ệ ở tứ tì
i


P
1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

t ó ế ộ ó ố st ú t
í tớ W = (X , X , X )
ế tự tự sự sử tứ t ợ t tứ ợ

t tứ ợ t t ết ết q w = (2, 3, 5)
sử X trị x X trị x X trị x
ợ trị x , x , ...x t t ột trị ủ ò ọ ụ
tể í ệ w = (x , x , ...x ) ỗ tử trị ụ tể ủ ụ tể ọ
ột q st
1

ị ĩ

2

1

1

2

3

1

2

2

n

n

n

1

2

n

ọ

ù tộ ể ủ từ tổ tể ứ ó tể ợ ọ t
ề ể ề tí ệ ủ

ệ tố
ù


✼✺
✹✳▼➱✉ ♣❤➞♥ tæ✳
✺✳▼➱✉ ♥❤✐Ò✉ ❝✃♣✳
■■■✳❚❤❛♥❣ ➤♦ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ♠➱✉✳

❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ tr♦♥❣ tæ♥❣ t❤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ã t❤Ó ❧➭ ➤Þ♥❤ tÝ♥❤ ❤♦➷❝ ➤Þ♥❤ ❧➢î♥❣✳ ➜Ó ❜✐Ó✉
❞✐Ô♥ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ tr♦♥❣ tæ♥❣ t❤Ó ❝ò♥❣ ♥❤➢ tr♦♥❣ ♠➱✉ ♣❤➯✐ ❞ï♥❣ ❝➳❝ t❤❛♥❣ ➤♦
❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ➤Ó ❧➢î♥❣ ❤ã❛ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤ã✳
✶✳ ❚❤❛♥❣ ➤♦ ➤Þ♥❤ ❞❛♥❤✳
❱Ý ❞ô✿ ♥❛♠✭✵✮✱ ♥÷✭✶✮
✷✳ ❚❤❛♥❣ ➤♦ t❤ø ❜❐❝✳
❱Ý ❞ô✿➤➷❝ tr➢♥❣ ❝❤♦ ❤ä❝ ✈✃♥✿ t✐Ó✉ ❤ä❝ ✭✵✮✱ tr✉♥❣ ❤ä❝ ✭✶✮✱ ➤➵✐ ❤ä❝ ✭✷✮✳✳✳
✸✳ ❚❤❛♥❣ ➤♦ ❦❤♦➯♥❣✳
❱Ý ❞ô✿ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❝❤♦ ❧ø❛ t✉æ✐✳✳✳

✹✳ ❚❤❛♥❣ ➤♦ tû ❧Ö✳
■❱✳❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♠➠ t➯ sè ❧✐Ö✉ ♠➱✉

✶✳ ❇➯♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t➬♥ sè✱ t➬♥ s✉✃t✿
●✐➯ sö tõ tæ♥❣ t❤Ó ✈í✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❣è❝ X rót r❛ ♠➱✉ ❝ô t❤Ó ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ n ❣å♠ ❦ ❣✐➳
trÞ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✱ tr♦♥❣ ➤ã x , x , ...x ①✉✃t ❤✐Ö♥ ✈í✐ t➬♥ sè n , n , ....n ❤♦➷❝ ✈í✐ t➬♥ s✉✃t
t➢➡♥❣ ø♥❣ f , f , ...f ✱ ✭f = ✮✳
f = 1.
❈❤ó ý✿ n = n,
❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã t❤Ó ♠➠ t➯ ♠➱✉ ❜➺♥❣ ❜➯♥❣ t➬♥ sè ✭t➬♥ s✉✃t✮ ♥❤➢ s❛✉✿
1

1

k
i=1

2

i

k

2

1

2

k

ni
n

i

k
i=1

k

i

xi

❚➬♥ sè n
❚➬♥ s✉✃t f
i

i

x1

x2

n1

n2

f1

f2

✳✳✳
✳✳✳✳
✳✳✳✳

xi
ni
fi

✳✳✳✳
✳✳✳✳
✳✳✳✳

xk
nk
fk

❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❣✐➳ trÞ ♠➱✉ ➤➢î❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ❧í♣ ✭❦❤♦➯♥❣✮ ✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❝❤✉②Ó♥ ✈Ò
❜➯♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t➬♥ sè ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❧✃② ❣✐➳ trÞ ❝❤Ý♥❤ ❣✐÷❛ ❧➭♠ ➤➵✐ ❞✐Ö♥✳
❱Ý ❞ô✿
❙è ❧✐Ö✉ ➤✐Ò✉ tr❛ ✈Ò tæ♥❣ t❤✉ ♥❤❐♣ ✭tr✐Ö✉✮ ❝ñ❛ ✶✵✵ ❤é ❣✐❛ ➤×♥❤✿
❚❛ ❝ã ❜➯♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t➬♥ sè ✈➭ t➬♥ s✉✃t ♥❤➢ s❛✉✿



ổ t
ố ộ

xi
ni
xi





fi

9
100

17
100


20
100

25
100

18
100

11

100

ố tự ệ
í ệ t số tí ũ ủ x
i

i

nj

i =
xj
F



(xi )

t số tí ũ ủ x

i

F (xi ) =

i
=
n
x

j
nj
n

ò ợ ọ ố tự ệ ủ
t số t st
t số ột ờ ú t ủ ó ố ể
(x , n )(x , n )(x , n )
t st ột ờ ú t ủ ó ố ể
(x , f )(x , f )(x , f )

F (xi )

1

1

2

1

1

2

2

2

k

k

k

k

Đ



ố

ị ĩ

ớ W = (X , X , ...X ) t ớ ỉ ó ợ ột t t rờ r
ề ế ố X ì ế tổ ợ ế ù ố X
tì t t số ớ sẽ ộ ộ ữ q t ớ sở ị ề ế
ố X ệ tổ ợ ớ ột ó ủ t X
1

2

n

i

i

ợ ọ ột tố í ệ G = f (X , X , ...X )
X ế G ũ ế t t ột q
t ố st t ị ột trị ụ tể =
(x , x , ...x ) tì G ũ ột trị ụ tể g = f (x , x , ...x )
í ụ ố
1

2

n

i

1

2

n

1

G=

2

n

X1 + X2 + ... + Xn

n

tố tr ủ ợ t
tố tr ớ tr t ủ ố ủ tr ì
tr ị
tố tr ộ t ủ P s ộ ệ
ế t
tố tr ố
r ì

ố tr ì í ệ X ở tứ
X=

X1 + X2 + ... + Xn
n

trị ụ tể = (x , x , ...x ) tì tr ì ũ
trị ụ tể
1

x=

2

n

x1 + x2 + ... + xn
n

sử ế ố X ó ì ọ t E(X) = m s V (X) =

ế X ộ ó ù ố ớ X ễ ứ
ợ ì ọ E(X) = m s V (X) = ộ ệ V (X) =
ộ ệ tờ ợ ù ể s số ớ ợ ò ợ ọ s
số ủ tr ì
2

i

2
n


n


Se(X) =
n

úế ợ t tứ n > 0, 1N tì
tứ tr sử ụ ệ số ệ ỉ
V (X) =
r ị

N n 2
.
N 1 n



Se(X) =

N n 2
.
N 1 n

r ị trị í ữ số ệ t í ệ


✼✽
✱ ❝ô t❤Ó✿
✲ ◆Õ✉ ❝➳❝ sè ❧✐Ö✉ ♠➱✉ ❣å♠ ♥ ❣✐➳ trÞ rê✐ r➵❝ ➤➢î❝ s➽♣ ①Õ♣ t❤❡♦ tr×♥❤ tù t➝♥❣ ❞➬♥ ✈➭ ♥Õ✉ ♥
❧❰ t❤× tr✉♥❣ ✈Þ ❧➭ ❣✐➳ trÞ t❤ø ✳ ❈ß♥ ♥Õ✉ ♥ ❝❤➼♥ t❤× X ❧➭ ❤❛✐ ❣✐➳ trÞ ♥➺♠ ❝❤Ý♥❤ ❣✐÷❛ ❝ñ❛
❞➲② sè ❧✐Ö✉✱ ♥ã ❝ß♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤♦➯♥❣ tr✉♥❣ ✈Þ✳
✲ ◆Õ✉ ❝➳❝ sè ❧✐Ö✉ ♠➱✉ ➤➢î❝ ❣❤Ð♣ ❧í♣ t❤❡♦ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t➬♥ sè t❤× ❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ✈Þ ➤➢î❝ tÝ♥❤
❣➬♥ ➤ó♥❣ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿
Xd

n+1
2

d

Xd = L +

n
2

−S
.h
nXd

tr♦♥❣ ➤ã✿
▲✲❣✐í✐ ❤➵♥ ❞➢í✐ ❝ñ❛ ❧í♣ ❝❤ø❛ tr✉♥❣ ✈Þ
♥✲❦Ý❝❤ t❤➢í❝ ♠➱✉
❙✲tæ♥❣ t➬♥ sè ❝ñ❛ ❝➳❝ ❧í♣ ➤ø♥❣ tr➢í❝ ❧í♣ ❝❤ø❛ tr✉♥❣ ✈Þ
n ✲t➬♥ sè ❝ñ❛ ❧í♣ ❝❤ø❛ tr✉♥❣ ✈Þ
❤✲➤é ❞➭✐ ❝ñ❛ ❧í♣ ❝❤ø❛ tr✉♥❣ ✈Þ
Xd

■❱✳ ❑❤♦➯♥❣ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥✳

▲➭ s❛✐ ❧Ö❝❤ ❣✐÷❛ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t ✈➭ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ ♠➱✉✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❘✿ R = X − X
◆Õ✉ ❝➳❝ sè ❧✐Ö✉ ♠➱✉ ➤➢î❝ ❣❤Ð♣ ❧í♣ t❤× ❦❤♦➯♥❣ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥ ❧➭ ❤✐Ö✉ sè ❣✐÷❛ ❝❐♥ tr➟♥ ❝ñ❛ ❧í♣
❝✉è✐ ❝ï♥❣ ✈í✐ ❝❐♥ ❞➢í✐ ❝ñ❛ ❧í♣ ➤➬✉ t✐➟♥ tr♦♥❣ ❞➲② ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ ♠➱✉✳
max

min

❱✳ ❑❤♦➯♥❣ tø ♣❤➞♥ ✈Þ✳

◆Õ✉ ♠➱✉ ➤➢î❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ✹ ♣❤➬♥ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ t❛ ❝ã tø ♣❤➞♥ ✈Þ✱ tø ♣❤➞♥ ✈Þ ➤➬✉ Q ❧➭ ❣✐➳ trÞ
❝ñ❛ ♠➱✉ ❝➳❝❤ ➤➡♥ ✈Þ ➤➬✉ t✐➟♥ ✶✴✹ ➤➡♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠➱✉✱ tø ♣❤➞♥ ✈Þ t❤ø ❤❛✐ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ tr✉♥❣ ✈Þ✱ tø
♣❤➞♥ ✈Þ t❤ø ❜❛ Q ❧➭ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ ♠➱✉ ❝➳❝❤ ➤➡♥ ✈Þ ➤➬✉ t✐➟♥ ✸✴✹ sè ➤➡♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠➱✉✳
❑❤♦➯♥❣ tø ♣❤➞♥ ✈Þ ❦Ý ❤✐Ö✉ ■◗❘✱
1

3

IQR = Q3 − Q4
❱■✳ ❚æ♥❣ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❝➳❝ s❛✐ ❧Ö❝❤ ✈➭ ➤é ❧Ö❝❤ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr✉♥❣ ❜×♥❤✳

❈❤♦ ♠➱✉ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ W = (X , X , ...X ) ❚æ♥❣ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❝➳❝ s❛✐ ❧Ö❝❤ ❣✐÷❛ ❝➳❝ ❣✐➳
trÞ ❝ñ❛ ♠➱✉ ✈➭ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♠➱✉ ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❙❙
1

2

n

n

(Xi − X)2

SS =
i=1
❚r✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ñ❛ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ s❛✐ ❧Ö❝❤

1
MS =
n

n

(Xi − X)2
i=1



trể t ó
MS =

n

1
n

Xi2 (
i=1



n

1
n

Xi )2 = X 2 (X)2
i=1

k

1
MS =
n

ni Xi2 (X)2
i=1

ế ế ố ó tì
2

MS =

t M S =

n
i=1 [(Xi

1
n

m) (X m)]2

=

1
n

n
i=1 [(Xi

=

1
n

n
i=1 (Xi

m)2 2(X m) n1

=

1
n

n
i=1 (Xi

m)2 (X m)2

E(M S) =

n1 2

n

m)2 2(X m)(Xi m) + (X m)2 ]

n
i=1

1
n

n
i=1 (Xi

E(Xi m)2 E(X m)2

= V (Xi ) V (X) = V (X) V (X) = 2
=

m) + (X m)2

2
n

n1 2

n

P s

S2

S 2

s

P s

í ệ S ợ ị ở tứ
2

n

1
S =
n

2

P s

S 2

(Xi X)2
i=1

ợ ị ở tứ
S 2 =

1
n

n

(Xi m)2
i=1

ý P s S ỉ ợ tí ết tr ì tổ tể m
ễ t
2

S2 =
n
E(S 2 ) = E( n1
M S) =

n

E(M S)
n1

=

n
MS
n1

n n1 2
.

n1 n

= 2

S ú trị s tổ tể t ĩ ì ọ
ũ ó E(S ) =
(X m) ] = E[
(X m) ]
t E(S ) = E[
2

2

2

E(S 2 ) =

1

n

n
i=1

2

1
n

V (Xi ) =

n
i=1

i

1
n

n
i=1

2

1
n

V (X) = 2

n
i=1

i

2


✽✵
✳
√
❑Ý ❤✐Ö✉ S ✱ ❧➭ ❝➝♥ ❜❐❝ ❤❛✐ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ s❛✐ ♠➱✉ S = S
❱í✐ ♠➱✉ ❝ô t❤Ó✿ ω = (x , x , ...x )
❚❛ ❝ã✿
➜é ❧Ö❝❤ ❝❤✉➮♥ ♠➱✉

1

2

n

1
ms =
n

❤♦➷❝
ms =

P❤➢➡♥❣ s❛✐ ♠➱✉ ❝ô t❤Ó✿

1
n

2

n

(xi − x2 ) = x2 − (x)2
i=1

k

ni (xi − x)2 =
i=1

s2 =

➜é ❧Ö❝❤ ❝❤✉➮♥ ❝ô t❤Ó✿

1
n

k

ni x2i − (x)2
i=1

n
ms

n−1
√

s=

s2

❱Ý ❞ô✿
●➷t ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ✸✻✺ ➤✐Ó♠ trå♥❣ ❧ó❛ ❝ñ❛ ♠ét ❤✉②Ö♥ t❤✉ ➤➢î❝ ❜➯♥❣ sè ❧✐Ö✉ s❛✉✿
◆➝♥❣ s✉✃t ✭t➵✴❤❛✮ ✷✺ ✸✵ ✸✸ ✸✹ ✸✺ ✸✻ ✸✼ ✸✾ ✹✵
❙è ➤✐Ó♠ ❣➷t t➢➡♥❣ ø♥❣ ✻ ✶✸ ✸✽ ✼✹ ✶✵✻ ✽✺ ✸✵ ✶✵ ✸
▲❐♣ ❜➯♥❣ t❛ ❝ã✿

x=
ms =

k
i=1

ni x2i

12700
= 34, 795
365

t➵✴❤❛

443466
− (34, 795)2 = 4, 283
n

365
n
365
s2 =
ms =
.4, 283 = 4, 295
n−1
364
√
s = s2 = 4, 295 = 2, 072
− (x)2 =


✽✶
xi

ni

n i xi

ni x2i

✷✺
✸✵
✸✸
✸✹
✸✺
✸✻
✸✽
✸✾

✹✵

✻
✶✸
✸✽
✼✹
✶✵✻
✽✺
✸✵
✶✵
✸

✶✺✵
✸✾✵
✶✷✺✹
✷✺✶✻
✸✼✶✵
✸✵✻✵
✶✶✶✵
✸✾✵
✶✷✵

✸✼✺✵
✶✶✼✵✵
✹✶✸✽✷
✽✺✺✹✹
✶✷✾✽✺✵
✶✶✵✶✻✵
✹✶✵✼✵
✶✺✷✶✵

✹✽✵✵

ni = n = 365

ni xi = 12700

ni x2i = 443466

❱■■■✳ ❍Ö sè ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥

❑Ý ❤✐Ö✉ ✈➭ ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝
CV = |

S
|.100
X

❍Ö sè ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥ ➤➢î❝ ➤♦ ❜➺♥❣ ♣❤➬♥ tr➝♠ ✈➭ ➤➢î❝ ❞ï♥❣ ➤Ó ♥❤❐♥ ①Ðt ✈Ò ➤é t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❝ñ❛
♣❤➞♥ ♣❤è✐ ♠➱✉ ✈➭ q✉❛ ➤ã ➤♦ ♠ø❝ ➤é ➤➵✐ ❞✐Ö♥ ❝ñ❛ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♠➱✉ ❝❤♦ ①✉ ❤➢í♥❣ tr✉♥❣
t➞♠ ❝ñ❛ ♣❤➞♥ ♣❤è✐✳ ◆Õ✉ CV < 15% t❤× ♠➱✉ ➤➢î❝ ①❡♠ ❧➭ ❦❤➳ t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳
■❳✳ ❍Ö sè ❜✃t ➤è✐ ①ø♥❣

a3 =

n
(Xi −X)3
i=1
n
S3

●✐➳ trÞ a ❝➭♥❣ ❣➬♥ ✵ t❤× ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ♠➱✉ ❝➭♥❣ ➤è✐ ①ø♥❣ q✉❛
❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♠➱✉✳
3

❳✳ ❍Ö sè ♥❤ä♥

a4 =
❳■✳ ❚➬♥ s✉✃t ♠➱✉✿

n
(Xi −X)4
i=1
n
S4


✽✷
●✐➯ sö tæ♥❣ t❤Ó ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ ◆✱ tr♦♥❣ ➤ã ❝ã ▼ ♣❤➬♥ tö ♠❛♥❣ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ▲✃② r❛
♠➱✉ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ ♥ ✈➭ t❤✃② ❝ã ❳ ♣❤➬♥ tö ♠❛♥❣ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳
❚➬♥ s✉✃t ♠➱✉ ❧➭ ♠ét t❤è♥❣ ❦➟✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ f ❧➭ tû sè ❣✐÷❛ sè ♣❤➬♥ tö ♠❛♥❣ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ tr♦♥❣ ♠➱✉ ✈➭ ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ ♠➱✉✳
f=

X
n

◆Õ✉ ①❡♠ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❤➢ ♠ét ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ t✉➞♥ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t A(p)✱ ❊✭❳✮❂♣✱
❱✭❳✮❂♣✭✶✲♣✮✱ t❛ ❝ã✿
E(f ) = p,

V (f ) =

❙❛✐ sè ❝❤✉➮♥ ❝ñ❛ t➬♥ s✉✃t ♠➱✉ ❧➭
Se(f ) =

p(1 − p)
n

p(1 − p)
√
n

◆Õ✉ ♠➱✉ ❧✃② t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ ❧➵✐ t❤× s❛✐ sè ❝❤✉➮♥ ❧➭✿
Se(f ) =

N − n p(1 − p)
.
N −1
n

❱Ý ❞ô ✷✿
➜Ó ❦✐Ó♠ tr❛ tä♥❣ ❧➢î♥❣ ♠ét ❧♦➵✐ q✉➯✱ ♥❣➢ê✐ t❛ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❝➞♥ t❤ö ♠ét sè q✉➯ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
t❤✉ ➤➢î❝ ❜➯♥❣ sè ❧✐Ö✉ s❛✉✿
❚rä♥❣ ❧➢î♥❣✭❣r✮ ✷✺✲✷✼ ✷✼✲✷✾ ✷✾✲✸✶ ✸✶✲✸✸ ✸✸✲✸✺ ✸✺✲✸✼
❙è q✉➯ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✸
✺
✼
✺
✸
✷

❛✳ ❚Ý♥❤ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♠➱✉✱ ♣❤➢➡♥❣ s❛✐✱ ➤é ❧Ö❝❤ ❝❤✉➮♥ ♠➱✉✳
❜✳ ●✐➯ sö ❜✐Õt tr✉♥❣ ❜×♥❤ tæ♥❣ t❤Ó ❧➭ ✸✶✭❣r✮✱ t×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ s❛✐ s ✳
❝✳ ❚Ý♥❤ t➬♥ s✉✃t ♠➱✉ ❝ñ❛ sè q✉➯ ♥➷♥❣ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ tõ ✸✶ ➤Õ♥ ✸✺ ❣r✳
●✐➯✐✿
❑Ý❝❤ t❤➢í❝ ♠➱✉✿ ♥❂✸✰✺✰✼✰✺✰✸✰✷❂✷✺
▲❐♣ ❜➯♥❣ t❛ ❝ã✿
∗2

x=

762
25

= 30, 48


✽✸

ms = x2 − (x)2 =

23428
25

xi

ni

n i xi

ni x2i

✷✻
✷✽
✸✵
✸✷
✸✹
✸✻

✸
✺
✼
✺
✸
✷
✷✺

✼✽
✶✹✵
✷✶✵
✶✻✵
✶✵✷
✼✷
✼✻✷

✷✵✷✽
✸✾✷✵
✻✸✵✵
✺✶✷✵
✸✹✻✽
✷✺✾✷

✷✸✹✷✽

− 30, 482

❂✽✱✵✽✾✻

n
25
s2 = n−1
ms = 24
.8, 0896 = 8, 4267
√
s = s2 = 2, 903

❜✳
s∗2 =

❝✳
f=

1
n

5+3
25

k
i=1

=

8
25

ni (xi − m)2 =

209
25

= 8, 36

= 0, 32
§

✺✳

▼➱✉ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❤❛✐ ❝❤✐Ò✉

■✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✳

●✐➯ sö tr➟♥ ❝ï♥❣ ♠ét tæ♥❣ t❤Ó ♣❤➯✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❤❛✐ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ tr♦♥❣
➤ã ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤ø ♥❤✃t ❝ã t❤Ó ①❡♠ ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❳✱ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
t❤ø ❤❛✐ ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❨✳ ❱✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❤❛✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ tr♦♥❣ tæ♥❣
t❤Ó t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❤❛✐ ❝❤✐Ò✉✳
▼➱✉ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❤❛✐ ❝❤✐Ò✉ ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ ♥ ❧➭ t❐♣ ❤î♣ ❝ñ❛ ♥ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤é❝ ❧❐♣
(X , Y ), (X , Y ), ...(X , Y ) ➤➢î❝ t❤➭♥❤ ❧❐♣ tõ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❤❛✐ ❝❤✐Ò✉ ✭❳✱ ❨✮ ❝ã
❝ï♥❣ q✉② ❧✉❐t ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ①➳❝ s✉✃t ✈í✐ ✭❳✱ ❨✮✳ ❑Ý ❤✐Ö✉✿
1

1

2

2

n

n

W = [(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), ...(Xn , Yn )]

▼➱✉ ❝ô t❤Ó✿


✽✹
w = [(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ...(xn , yn )]
■■✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♠➠ t➯ ♠➱✉ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❤❛✐ ❝❤✐Ò✉

●✐➯ sö tõ tæ♥❣ t❤Ó rót r❛ ♠➱✉ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ ♥✱ tr♦♥❣ ➤ã t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❳ ♥❤❐♥ ❝➳❝
❣✐➳ trÞ x , x , x ✱ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❨ ♥❤❐♥ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ y , y , y tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ (x , y ) ①✉✃t
❤✐Ö♥ ✈í✐ t➬♥ sè n ✳ ❈➳❝ ❣✐➳ trÞ x , y s➽♣ ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù t➝♥❣ ❞➬♥✱ t❛ ❝ã ❜➯♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐
t➬♥ sè✿
1

2

h

1

ij

i

❨ ✴❳

x1

2

k

i

j

x2

...

xi

...

xh

✳✳✳ n ✳✳✳ n
y
n
n

✳✳✳ n ✳✳✳ n
✳✳✳✳ ✳✳✳✳ ✳✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳✳
y
n
n
✳✳✳ n ✳✳✳ n
✳✳✳✳ ✳✳✳✳ ✳✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳✳
y
n
n
✳✳✳ n ✳✳✳ n
n
n
n
✳✳✳ n ✳✳✳ n

mj

y1

n11

n12

1i

1h

m1

2

21

22

2i

2h

m2

j

j1

j

j2

ji

jh

k

k1

k2

ki

kh

i

1

2

i

h

✳✳✳✳
mj

✳✳✳✳
mk
=n

tr♦♥❣ ➤ã✿ n ❧➭ tæ♥❣ t➬♥ sè ❝ñ❛ ♠➱✉ ♠❛♥❣ ❣✐➳ trÞ x ❝ñ❛ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❳✱ m ❧➭ tæ♥❣ t➬♥
sè ❝ñ❛ ♠➱✉ ♠❛♥❣ ❣✐➳ trÞ y ❝ñ❛ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❨✳
i

i

j

j

▼ét sè t❤è♥❣ ❦➟ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♠➱✉ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❤❛✐ ❝❤✐Ò✉

✶✳ ❇➯♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤ù❝ ♥❣❤✐➟♠ ❝ñ❛ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❳✿
❈➳❝ t❤è♥❣ ❦➟ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❳✿

X=

1
n

2
SX
=

1
n−1

h
i=1

❳

x1

x2

...

xi

...

xh

ni

n1

n2

✳✳✳

ni

✳✳✳

nh

ni Xi
h
i=1

ni (Xi − X)2

✷✳ ❇➯♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤ù❝ ♥❣❤✐➟♠ ❝ñ❛ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❨✿


✽✺
❨

y1

y2

...

yi

...

yk

mj

m1

m2

✳✳✳

mj

✳✳✳

mk

❈➳❝ t❤è♥❣ ❦➟ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❳✿
Y =

1
n

SY2 =

k
j=1

1
n−1

mj Yj
k
j=1

mj (Yj − Y )2

✸✳ ❇➯♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❝ã ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝ñ❛ ❨ ❦❤✐ X = X ✿
i

YX=Xi

Y1

Y2

...

Yj

...

Yk

nij

ni1

ni2

✳✳✳

nij

✳✳✳

nik

n =n
tr♦♥❣ ➤ã
❚❛ tÝ♥❤ ➤➢î❝ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ã ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝ñ❛ ❨✿
k
j=1

ij

i

Y X=Xi =

1
ni

k

nij Yj
j=1

✹✳ ❇➯♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❝ã ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝ñ❛ ❳ ❦❤✐ Y = Y ✿
j

XY =Yj

X1

X2

...

Xi

...

Xh

nij

n1j

n2j

✳✳✳

nij

✳✳✳

nhj

tr♦♥❣ ➤ã
n =m
❚❛ tÝ♥❤ ➤➢î❝ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ã ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝ñ❛ ❨✿
h
i=1

ij

j

X Y =Yj
§

✻✳

1
=
mj

h

nij Xi
i=1

◗✉② ❧✉❐t ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ①➳❝ s✉✃t ❝ñ❛ ♠ét sè t❤è♥❣ ❦➟

■✳ ❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❣è❝ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ❝❤✉➮♥✳

●✐➯ sö ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❣è❝ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❝❤✉➮♥ X ∼ N (µ, σ )
2


✽✻
✰ ❚❤è♥❣ ❦➟ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♠➱✉✿
E(X) = µ, V (X) =

❙✉② r❛ t❤è♥❣ ❦➟✿

σ2
n

√
X −µ
(X − µ) n
G=U =
=
∼ N (0, 1)
Se(X)
σ

✰ P❤➢➡♥❣ s❛✐ S ✿

❉♦
∗2

S

∗2

n

1
=
n

(Xi − µ)2
i=1

❙✉② r❛

n

nS ∗2 =

(Xi − µ)2
i=1

❉♦ ➤ã t❤è♥❣ ❦➟

nS ∗2
G=χ = 2 =
σ

n

2

❚❤è♥❣ ❦➟✿
G = χ2 =

❚❤è♥❣ ❦➟✿
G=T =

U
χ2
n−1

(
i=1

Xi − µ 2
) ∼ χ2(n)
σ

(n − 1)S 2
∼ χ2(n−1)
σ2

√
(X − µ) n
=
:

σ

√
(n − 1)S 2
(X − µ) n
=
∼ T (n − 1)
σ 2 (n − 1)
S

❈❤ó ý✿❑❤✐ ♥❃✸✵ t❤ù❝ tÕ ❝ã t❤Ó ①❡♠ T ∼ N (0, 1)
■■✳ ❍❛✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❣è❝ ❝ï♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ❝❤✉➮♥✳

●✐➯ sö ①Ðt ❝ï♥❣ ❧ó❝ ❤❛✐ tæ♥❣ t❤Ó✱ ë tæ♥❣ t❤Ó t❤ø ♥❤✃t ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❣è❝ X ∼ N (µ , σ )✱
ë tæ♥❣ t❤Ó t❤ø ❤❛✐ ❜✐Ô♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❣è❝ X ∼ N (µ , σ )✳ ❚õ ❤❛✐ tæ♥❣ t❤Ó rót r❛ ❤❛✐ ♠➱✉
♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤é❝ ❧❐♣ ❝ã ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ t➢➡♥❣ ø♥❣ n ✱ n
✰ ❳Ðt t❤è♥❣ ❦➟ X − X ❧➭ ❤✐Ö✉ ❤❛✐ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♠➱✉✿
❚❛ ❝ã✿
1

2

2

1

1

2
2

2

2

E(X1 − X2 ) = E(X1 ) − E(X2 ) = µ1 − µ2
V (X1 − X2 ) = V (X1 ) − V (X2 ) =

σ12 σ22
−
n1 µ2

1

2
1


✽✼
❉♦ ➤ã t❤è♥❣ ❦➟✿
G=U =

(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
σ12
n1

+

σ22
n2

✰ ▼➷t ❦❤➳❝ ❝➳❝ t❤è♥❣ ❦➟ χ =
✈➭ χ =
❦❤✐ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❜❐❝ tù ❞♦ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ (n
(n1 −1)S12
σ12

2
1

❝ï♥❣ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t
− 1) ✈➭ (n − 1) ♥➟♥ t❤è♥❣ ❦➟

(n2 −1)S12
σ22

2
2

1

2

(n1 − 1)S12 (n2 − 1)S12
+
σ12
σ22

χ2 =

t✉➞♥ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❦❤✐ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ (n
✰ ❚❛ ➤➲ ❝ã t❤è♥❣ ❦➟
Z=

1

+ n2 − 2)

σ12
n1

+

σ22
n2

2

2
1

(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
σ
=

1
n1

❜❐❝ tù ❞♦✳

(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )

♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❝❤✉➮♥ ❤ã❛ ✈➭ ➤é❝ ❧❐♣ ✈í✐ χ ✱ ✈× ✈❐② ♥Õ✉ σ
T =

∼ N (0, 1)

+

= σ22 = σ 2

(n1 −1)S12
σ2

+

(n2 −1)S22
σ2

√
n1 + n2 − 2

:

1
n2

(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
(n1 −1)S12 +(n2 −1)S22
.

n1 +n2 −2

sÏ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ❙t✉❞❡♥t ✈í✐ n
t❤× ♥ã ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ①✃♣ ①Ø ❝❤✉➮♥ ❤ã❛✳
✰✳ ❚❤è♥❣ ❦➟

1

T =

+ n2 − 2

1
n1

+

1
n2

❜❐❝ tù ❞♦ ✈➭ ♥Õ✉ n

(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
S12
n1

+

S22
n2

♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ❙t✉❞❡♥t ✈í✐ sè ❜❐❝ tù ❞♦ ❧➭✿
k=

tr♦♥❣ ➤ã

(n1 − 1)(n2 − 1)
(n2 − 1)C 2 + (n1 − 1)(1 − C)2

S12

C=

S2

n1 ( n11 +

✰✳ ❉♦
χ21

t❤× t❤è♥❣ ❦➟

(n1 − 1)S12
=
σ12

✈➭

S22
)

n2

χ22

n2 − 1)S12
=
σ22

1

> 30

✈➭ n

2

> 30


✽✽
♣❤➞♥ ♣❤è✐ χ (n
2

1

− 1)

✈➭ χ (n
2

2

− 1)

♥➟♥ t❤è♥❣ ❦➟

G=F =

χ21
n1 −1
χ22
n2 −1

♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ❋✐s❤❡r✲❙♥❡❞❡❝♦r F (n

1

=

S12 σ22
S22 σ12

✳

− 1, n2 − 1)

■■■✳ ❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❣è❝ t✉➞♥ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ❦❤➠♥❣ ✲ ♠ét✳

●✐➯ sö ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ã t❤Ó ①❡♠ ♥❤➢ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t
❆✭♣✮✳ ❑❤✐ ➤ã t➬♥ s✉✃t ♠➱✉ ❢ sÏ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ♥❤Þ t❤ø❝ ✈í✐ ❝➳❝ t❤❛♠ sè ➤➷❝

tr➢♥❣ ❧➭✿
E(f ) = p, V (f ) =

p(1−p)
n

◆Õ✉
n>5

✈➭

|

p
1−p

−
√
n

1−p
|
p

< 0, 3

t❤× t➬♥ s✉✃t ♠➱✉ sÏ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ①✃♣ ①Ø ❝❤✉➮♥ ✈í✐ E(f ) = p ✈➭ V (f ) =
♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
√
U=

p(1−p)
n

✳ ❉♦ ➤ã ❜✐Õ♥

f −p
(f − p) n
=
Se(f )
p(1 − p)

sÏ ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ①✃♣ ①Ø ❝❤✉➮♥ ❤ã❛ N (0, 1)✳

■❱✳ ❍❛✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❣è❝ ❝ï♥❣ t✉➞♥ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ❦❤➠♥❣ ✲ ♠ét✳

❳Ðt ❤❛✐ tæ♥❣ t❤Ó✱ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❝❤ø❛ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧➭ X ✈➭ X ✱ X ∼ A(p )✱
X ∼ A(p )✳ ❚õ ➤ã rót r❛ ❤❛✐ ♠➱✉ ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ n ✱ n ✈í✐ t➬♥ s✉✃t ♠➱✉ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ f ✱
f ✳ ❳Ðt t❤è♥❣ ❦➟ f − f ✱ t❛ ❝ã
1

2

2

2

1

1

2

2

E(f1 − f2 ) = p1 − p2
V (f1 − f2 ) =

❉♦ ➤ã t❤è♥❣ ❦➟
U=

p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 )
+
n1
n2

(f1 − f2 ) − (p1 − p2 )
p1 (1−p1 )
n1

+

p2 (1−p2 )
n2

∼ N (0, 1)

2

1

1

1


✽✾
✼✳
◆❤➢ ♣❤➬♥ tr➟♥ t❛ t❤✃②✱ q✉② ❧✉❐t ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ①➳❝ s✉✃t ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤è♥❣ ❦➟ ➤➷❝ tr➢♥❣ ♠➱✉
♣❤➯♥ ➳♥❤ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❝❤➷t ❝❤Ï ❣✐÷❛ ❝➳❝ t❤❛♠ sè ❝ñ❛ ♠➱✉ ✈í✐ ❝➳❝ t❤❛♠ sè t➢➡♥❣ ø♥❣ ❝ñ❛
tæ♥❣ t❤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ◆Õ✉ ➤➲ ❜✐Õt q✉② ❧✉❐t ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ①➳❝ s✉✃t ❤❛② ❝➳❝ t❤❛♠ sè ➤➷❝ tr➢♥❣
❝ñ❛ tæ♥❣ t❤Ó t❤× ❝ã t❤Ó sö ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❦Õt ❧✉❐♥ tr➟♥ ➤Ó s✉② ➤♦➳♥ ✈Ò tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ♠ét ♠➱✉
♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ rót r❛ tõ tæ♥❣ t❤Ó ➤ã✱ ❣ä✐ ❧➭ s✉② ❞✐Ô♥ t❤è♥❣ ❦➟✳
§

❙✉② ❞✐Ô♥ t❤è♥❣ ❦➟

■✳ ❙✉② ❞✐Ô♥ ✈Ò ♠➱✉ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ rót r❛ tõ tæ♥❣ t❤Ó ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❝❤✉➮♥

●✐➯ sö tr♦♥❣ tæ♥❣ t❤Ó ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❳ t✉➞♥ t❤❡♦ q✉② ❧✉❐t ❝❤✉➮♥ N (µ, σ )✱ ❝➬♥ s✉②
➤♦➳♥ ①❡♠ ✈í✐ ♠ét ♠ø❝ ①➳❝ s✉✃t ❝❤♦ tr➢í❝ t❤× ❝➳❝ t❤è♥❣ ❦➟ ♠➱✉ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✿ tr✉♥❣ ❜×♥❤✱
♣❤➢➡♥❣ s❛✐ ♠➱✉ sÏ ♥➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ ♥➭♦✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ ♠ø❝ ①➳❝ s✉✃t ❝❤♦ tr➢í❝ ❧➭ (1 − α)✳
2

✶✳ ❙✉② ❞✐Ô♥ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♠➱✉

❚❛ ❝ã t❤è♥❣ ❦➟

√
(X − µ) n

U=
∼ N (0, 1)
σ

❱í✐ ①➳❝ s✉✃t 1 − α t❛ t×♠ ➤➢î❝ α ✈➭ α t❤á❛ ♠➲♥ α
tí✐ ❤➵♥ u ✈➭ u s❛♦ ❝❤♦✿
1

1−α1

2

1

+ α2 = α

✈➭ t×♠ ➤➢î❝ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ

α2

P (u1−α1 < U < uα2 ) = 1 − α

❍❛②
P (u1−α1

❈❤✉②Ó♥ ✈Õ t❛ ➤➢î❝✿

√
(X − µ) n
< uα2 ) = 1 − α

<
σ

σ
σ
P (µ − √ uα1 < X < µ + √ uα2 ) = 1 − α
n
n

✰ ❙✉② ❞✐Ô♥ tè✐ t❤✐Ó✉✿ ◆Õ✉ ❝❤ä♥ α

2

✱ t❛ ❝ã

=0

σ
P (µ − √ uα < X) = 1 − α
n

✰ ❙✉② ❞✐Ô♥ tè✐ ➤❛✿ ◆Õ✉ ❝❤♦♥ α

1

✱ t❛ ❝ã✿

=0

σ

P (X < µ + √ uα ) = 1 − α
n

✰ ❙✉② ❞✐Ô♥ ➤è✐ ①ø♥❣✿ ◆Õ✉ ❝❤ä♥ α

1

✱ t❛ ❝ã✿

= α2 = α/2

σ
σ
P (µ − √ uα/2 < X < µ + √ uα/2 ) = 1 − α
n
n


✾✵
✈Ý ❞ô ✶✿
▼ét ❝➠♥❣ t② s➯♥ ①✉✃t ♠ú ➝♥ ❧✐Ò♥ ✈í✐ trä♥❣ ❧➢î♥❣ ➤ã♥❣ ❣ã✐ ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ♣❤➞♥ ♣❤è✐
❝❤✉➮♥ ❝ã trä♥❣ ❧➢î♥❣ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❧➭ ✸✹✵❣ ✈➭ ➤é ❧Ö❝❤ ❝❤✉➮♥ ✶✵ ❣✳ ▲✃② ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ♠➱✉ ✶✻
❣ã✐ ➤Ó ❦✐Ó♠ tr❛✳
❛✳ ❚×♠ ①➳❝ s✉✃t ➤Ó trä♥❣ ❧➢î♥❣ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝➳❝ ❣ã✐ ♠ú ♥➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ tõ ✸✸✺ ➤Õ♥ ✸✹✺❣✳
❜✳ ❚×♠ ①➳❝ s✉✃t ➤Ó trä♥❣ ❧➢î♥❣ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝➳❝ ❣ã✐ ♠ú ❧í♥ ❤➡♥ ✸✹✵ ❣✳✭s✉② ❞✐Ô♥ tè✐ t❤✐Ó✉✮
❝✳ ❱í✐ ①➳❝ s✉✃t ✵✱✾✾ t❤× trä♥❣ ❧➢î♥❣ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝➳❝ ❣ã✐ ♠ú ♥➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ ♥➭♦ ①✉♥❣
q✉❛♥❤ ❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ❜×♥❤✳✭❙✉② ❞✐Ô♥ ❦❤♦➯♥❣ ➤è✐ ①ø♥❣✮
●✐➯✐✿
●ä✐ ❳ ❧➭ tr♦♥❣ ❧➢î♥❣ ❣ã✐ ♠ú✳ X ∼ N (µ = 340, σ = 10 )✱ ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ ♠➱✉ ♥❂✶✻✳
❛✳ ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t❛ ❝ã✿

2

2

σ
10
µ − √ uα1 = 340 − √ uα1 = 335
n
16
⇒ uα1 = 2, α1 = 0, 0228
σ
10
µ + √ uα2 = 340 + √ uα2 = 345
n
16
⇒ uα2 = 2, α = 0, 0228
⇒ α = α1 + α2 = 0, 456
⇒ 1 − α = 0, 9544.

❜✳
⇒µ−

σ
P (µ − √ uα < X) = 1 − α
n
√σ uα
n

= 340 −

√10 uα
16

= 340

uα = 0 = u0,5 , 1 − α = 0, 5

❝✳ 1 − α = 0, 99 ⇒ α = 0, 01, α/2 = 0, 005, u = 2, 58
❚rä♥❣ ❧➢î♥❣ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝➳❝ ❣ã✐ ♠ú ♥➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣
0,005

❍❛②

10
10
(340 − √ .2, 58; 340 + √ .2, 58)
16
16
(333, 55; 346, 45)

✷✳ ❙✉② ❞✐Ô♥ ♣❤➢➡♥❣ s❛✐ ♠➱✉


✾✶
❚❛ ❝ã t❤è♥❣ ❦➟
χ2 =

(n − 1)S 2
∼ χ2(n−1)
σ2

❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr➟♥✱ t❛ t×♠ ➤➢î❝ α , α t❤á❛ ♠➲♥
1

2

2(n−1)

P (χ1−α1 < χ2 < χ2(n−1)
)=1−α
α2

❙✉② r❛

σ 2 2(n−1)
σ 2 2(n−1)
2
P(
χ
χ
)=1−α
n − 1 1−α1
n − 1 α2

✰ ❙✉② ❞✐Ô♥ tè✐ t❤✐Ó✉✿

P (S 2 >

σ 2 2(n−1)

χ
)=1−α
n − 1 1−α

P (S 2 <

σ 2 2(n−1)
χ
)=1−α
n−1 α

✰ ❙✉② ❞✐Ô♥ tè✐ ➤❛✿
✰ ❙✉② ❞✐Ô♥ ❤❛✐ ♣❤Ý❛✿
P(

σ 2 2(n−1)
σ 2 2(n−1)
χα/2 < S 2 <
χ
)=1−α
n−1
n − 1 α/2

❱Ý ❞ô ✷✿
➜✐Ó♠ t❤✐ ♠ét ♠➠♥ ❤ä❝ ❝ñ❛ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ X ∼ N (µ = 6, 5; σ = 0, 81)✳
❱í✐ ♠ét t❐♣ ❤î♣ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❣å♠ ✹✵ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ✈➭ ♠ø❝ ①➳❝ s✉✃t ✵✱✾✺ ❝❤♦ tr➢í❝✳
❛✳ ❚×♠ ♠ét ❦❤♦➯♥❣ ❝❤♦ ➤✐Ó♠ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ➤ã✳
❜✳ P❤➢➡♥❣ s❛✐ ✈➭ ➤é ❧Ö❝❤ ❝❤✉➮♥ ➤✐Ó♠ sè tè✐ ➤❛ ❝ñ❛ ❝➳❝ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ➤ã❄✳
●✐➯✐✿
❚❛ ❝ã ♠➱✉ ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ ♥❂✹✵✱ 1 − α = 0, 95 ⇒ α = 0, 05

❛✳ ❈❤ó ý✿ ❑❤✐ ➤Ò ❜➭✐ ❝❤Ø ♥ã✐ t×♠ ♠ét ❦❤♦➯♥❣✱ t❛ t❤➢ê♥❣ t×♠ ❦❤♦➯♥❣ ❤❛✐ ♣❤Ý❛ ✭❦❤♦➯♥❣ ➤è✐
①ø♥❣✮✳
❚❛ ❝ã✿ u = u = 1, 96
2

α/2

0,025

0, 9
0, 9
P (6, 5 − √ 1, 96 < X < 6, 5 + √ 1, 96) = 0, 95
40
40
P (6, 2211 < X < 6, 7789) = 0, 95

❱❐② ✈í✐ ①➳❝ s✉✃t ✵✱✾✺ t❤× ➤✐Ó♠ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ñ❛ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ♥➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ (6, 2211; 6, 7789)
❜✳ ➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ s✉② ❞✐Ô♥ tè✐ ➤❛ ♣❤➢➡♥❣ s❛✐ ♠➱✉ S
2

P (S 2 <

σ 2 2(n−1)
χ
)=1−α
n−1 α


✾✷
❱í✐ χ

❚❛ ❝ã

2(n−1)
α

2(39)

= χ0,05 = 55, 76
0, 81
55, 76) = 0, 95
39

P (S 2 <

❤❛②

P (S 2 < 1, 158) = 0, 95

❱❐② ♣❤➢➡♥❣ s❛✐ ➤✐Ó♠ tè✐ ➤❛ ❧➭ ✶✱✶✶✺✽✳
✸✳ ❙✉② ❞✐Ô♥ t➬♥ s✉✃t ♠➱✉

●✐➯ sö ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❳ tr♦♥❣ tæ♥❣ t❤Ó ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ❦❤➠♥❣✲♠ét ✈í✐ t❤❛♠ sè ♣✳ ❚õ tæ♥❣
t❤Ó rót r❛ ♠➱✉ ❦Ý❝❤ t❤➢í❝ ♥✱ ✈í✐ ♠ø❝ ①➳❝ s✉✃t 1 − α ❝❤♦ tr➢í❝✱ t❛ ❝ã t❤Ó s✉② ❞✐Ô♥ t➬♥ s✉✃t
♠➱✉ ❢✿
❚❛ ➤➲ ❝ã
√
U=

(f − p) n
p(1 − p)

∼ N (0, 1)

❚❛ ❝ã t❤Ó t×♠ ➤➢î❝ ❝➷♣ ❣✐➳ trÞ α ✈➭ α s❛♦ ❝❤♦
1

2

P (u1−α1 < U < uα2 ) = 1 − α)

❚❤❛② ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ❯ ✈➭♦ t❛ ❝ã✿
P [p −

p(1 − p)
√
u α1 < f < p +
n

p(1 − p)
√
u α2 ] = 1 − α
n

❚➢➡♥❣ tù t❛ ❝ò♥❣ ❝ã ❝➳❝ ❝➠♥❣ t❤ø❝ s✉② ❞✐Ô♥ tè✐ ➤❛✱ tè✐ t❤✐Ó✉✱ s✉② ❞✐Ô♥ ➤è✐ ①ø♥❣✳
❱Ý ❞ô ✸✿
▼ét ❧➠ ❤➭♥❣ ➤ñ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ①✉✃t ❦❤➮✉ ♥Õ✉ tû ❧Ö s➯♥ ♣❤➮♠ ❧♦➵✐ ♠ét ❝ñ❛ ❧➠ ❤➭♥❣ ➤ã ❧➭ ✾✵✪✳
❚õ ♠ét ❧➠ ❤➭♥❣ ❞ù ➤Þ♥❤ ①✉✃t ❦❤➮✉ ♥❣➢ê✐ t❛ ❧✃② ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ✶✵✵ s➯♥ ♣❤➮♠ t❤× ✈ã✐ ①➳❝ s✉✃t
✵✱✾ ✱ tr♦♥❣ ➤ã ♣❤➯✐ ❝ã Ýt ♥❤✃t ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ s➯♥ ♣❤➮♠ ❧♦➵✐ ♠ét t❤× ➤ñ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ①✉✃t ❦❤➮✉✳
●✐➯✐✿
➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ s✉② ❞✐Ô♥ tè✐ t❤✐Ó✉ t❛ ❝ã✿

P [f > p −
⇒

p(1 − p)
√
uα ] = 1 − α = 0, 9
n

√
0, 9.0, 1
f − 0, 9 − √
.1, 282 = 0, 86154
100


✾✸
⇒ X > 100.0, 86154 = 86, 154

❱❐② ♣❤➯✐ ❝ã Ýt ♥❤✃t ✽✼ s➯♥ ♣❤➮♠ ❧♦➵✐ ♠ét tr♦♥❣ ❧➠ ❤➭♥❣ ➤ã✳



ớ ợ t số ủ ế

sử ứ tổ tể t q ệ ứ ệ ó
tể ột ế ó q t ố st ị tì trị
t số tr ủ ế ó sẽ ết t t tổ ợ ề tổ tể
sử ị ợ trị ủ ột t số ệ ị ột ú
trị ủ ự tr ữ t t ó ợ ọ ớ ợ t số
P é qết t tr s ừ tổ tể rút r

í tớ ự ó ự ột tố ù ể ớ ợ ó
sử ụ ể ớ ợ P ớ ợ ể P ớ
ợ t
Đ P ớ ợ ể

P ớ ợ ể ù ột trị tí t tr ể ớ ợ
t số tờ trị ợ ọ ột tố ó ủ
ị ĩ

sử từ ớ ợ t số ủ ế ố ừ W = (X , X ...X )
ọ ột tố = f (X , X , ...X ) t ứ ớ t số ớ ợ ớ
ột ụ tể t tí ợ trị = f (x , x , ...x ) ủ tố tr ụ tể
ó tì ớ ợ ủ í trị ừ tí
ố = f (X , X , ...X ) ọ ớ ợ
ể t ợ ủ ớ ợ ờ t r t s
1

1

2

2

n

n

1

1

2

2

n

n

t ự ọ ớ ợ
ớ ợ ệ

ố ủ ợ ọ ớ ợ ệ ủ t số ủ ế
ế E() =
ế E() = tì ọ ớ ợ ệ ủ
ự ết q ở t ó tể rút r ột số ết
r ì X ớ ợ ệ ủ ì ọ t
st ớ ợ ệ ủ st ủ ế ố
P s S s S ớ ợ ệ ủ s
2

ớ ợ ệ q

2

2

ố ợ ọ ớ ợ ệ q t ủ t số ủ ế