GIỚI hạn dãy số (PHƯƠNG PHÁP GIẢI+BÀI tập)

Trường THPT Nguyễn Hữu Thận
ĐẠI SỐ 11

CHƯƠNG IV
IV
CHƯƠNG
GIỚII HẠ
HẠN
N
GIỚ
I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
1
=0;
n→+∞ n

lim

lim

n→+∞

n

lim q = 0 ( q < 1) ;

n→+∞

1
nk

= 0 (k ∈ ¢ + )
lim C = C

n→+∞

2. Đònh lí:

un

b) Nếu lim un = a, lim vn = ±∞ thì lim v = 0
n

c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim vn = 0
un

a

nếu a.vn > 0
nếu a.vn < 0

+∞

thì lim v = −∞

n

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a

nếu a > 0

nếu a < 0

+∞

c) Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un = a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u1
1− q

lim q n = +∞ (q > 1)

a) Nếu lim un = +∞ thì lim u = 0
n

n
• lim v = b (nếu b ≠ 0)
n
b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un= a
thì a ≥ 0 và lim un = a

S = u1 + u1q + u1q2 + … =

lim n k = +∞ (k ∈ ¢ + )

lim n = +∞

1

2. Đònh lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
• lim (un + vn) = a + b
• lim (un – vn) = a – b
• lim (un.vn) = a.b
u

Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:

( q < 1)

thì lim(un.vn) = −∞


* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
đònh:

0 ∞
, ,
0 ∞

∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử

dạng vô đònh.

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
• Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
VD:

1
n +1
n 1
a) lim 2n + 3 = lim 3 = 2
2+
n
1+

n2 + n − 3n
= lim
b) lim
1 − 2n


4
n

2
2
c) lim(n − 4n + 1) = lim n  1 − +



• Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức

(

a − b ) ( a + b ) = a − b;

GV: Nguyễn Quang Tánh

1
−3
n
=1
1
−2
n

1+

1 
÷ = +∞
n2 

( 3 a ± 3 b ) ( 3 a2 m3 ab + 3 b2 ) = a − b
1


Trường THPT Nguyễn Hữu Thận
ĐẠI SỐ 11
VD:

lim (

n

2

− 3n − n ) = lim

(

n2 − 3n − n

(

)(

n 2 − 3n + n

n2 − 3n + n

)

• Dùng đònh lí kẹp: Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0

)

−3n

= lim
thì

2

n − 3n + n

=−

3
2

lim un = 0

sin n 1
sin n
1
sin n
≤ và lim = 0 nên lim
=0
. Vì 0 ≤
n
n
n
n
n
3sin n − 4 cos n
b) Tính lim
. Vì 3sin n − 4 cos n ≤ (32 + 42 )(sin 2 n + cos2 n) = 5
2n2 + 1
3sin n − 4 cos n
5
≤
nên 0 ≤
.
2n 2 + 1
2n2 + 1
5
3sin n − 4 cos n

=0
Mà lim 2 = 0 nên lim
2n + 1
2n2 + 1

VD: a) Tính lim

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
• Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của
luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
• Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + ∞ nếu hệ số cao
nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim
d) lim
g) lim

2n 2 − n + 3
3n2 + 2n + 1
n4
(n + 1)(2 + n)(n2 + 1)
n2 + 1
2n2 − 3n

b) lim
e) lim
h) lim

2n + 1

n3 + 4 n 2 + 3
n2 + 1
2n 4 + n + 1
(n + 1)2 (n + 2)3
n(n − 1)4

c) lim
f) lim
i) lim

3n3 + 2n2 + n
n3 + 4
2n 4 + n2 − 3
3n3 − 2n2 + 1
2n3 − 11n + 1
n2 − 2

Bài 2: Tính các giới hạn sau:

a) lim
d) lim

1 + 3n
4 + 3n
2n + 5n+1
1 + 5n

b) lim
e) lim

Bài 3: Tính các giới hạn sau:

a) lim
d) lim

4n 2 + 1 + 2 n − 1
2

n + 4n + 1 + n
4n2 + 1 + 2n
n2 + 4 n + 1 + n

b) lim
e) lim

GV: Nguyễn Quang Tánh

4.3n + 7n+1
2.5n + 7n
1 + 2.3n − 7n
5n + 2.7n
n2 + 3 − n − 4
2

n +2 +n
(2n n + 1)( n + 3)
(n + 1)(n + 2)

c) lim
f) lim

5n + 8n
1 − 2.3n + 6 n
2n (3n+1 − 5)

c) lim
f) lim

4 n+1 + 6n +2

3

n2 + 1 − n6
n 4 + 1 + n2
n2 − 4 n − 4 n2 + 1
3n2 + 1 + n

2


Trường THPT Nguyễn Hữu Thận
ĐẠI SỐ 11
g) lim( n2 + n − n2 + 1)

h) lim(n + 3 3n2 − n3 )

j) lim n( 3 n3 + n2 − n)

2
2

k) lim n + n − 1 − 4n − 2

1 
1 
1 − ÷ ...
÷
 22  32 
1 + 2 + ... + n


e) lim
g) lim

1

1



 1

1

1



d) lim  1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) ÷



f) lim

n2 + 3n

h) lim

n4

 1

b) lim  1.3 + 2.4 + ... + n(n + 2) ÷




1 
1 − 2 ÷
 n 

2.12 + 3.22 + ... + (n + 1)n2

n2 + 2 − n 2 + 4

n+3

Bài 4: Tính các giới hạn sau:
 1

1
1

a) lim  1.3 + 3.5 + ... + (2n − 1)(2n + 1) ÷



c) lim  1 −

1

i) lim

1 + 2 + 22 + ... + 2n

1 + 3 + 32 + ... + 3n
1.3.4 + 2.5.7 + 3.7.10 + ... + n(2 n + 1)(3n + 2)
n4

 12 22 32
 1
n2
j) lim  1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + (2n − 1)(2n + 1) ÷÷. 2 

 


 1

4 
4  
4
1

1
lim 
+
+ ... +
÷
k) lim  1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷...  1 −
l)
(3n − 2)(3n + 1) 
 1  3   (2n − 1)2 ÷
1.4 4.7

Bài 5: Tính các giới hạn sau:
 2

 2

3

2
3
a) lim  n + 2n − n − 1÷
b) lim  n + n − n + 2 ÷ c) lim  2n − n + n − 1÷






1



2
4
d) lim  1 + n − n + 3n + 1 ÷ e) lim n2 − n − n
f) lim 2


n + 2 − n2 + 4
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
i) lim
2 + 4 + 6 + ... + 2n

(

g) lim

4n 2 + 1 − 2 n − 1
n2 + 4n + 1 − n

h) lim

)

3

n2 + 1 − n6

i) lim

n 4 + 1 − n2

n2 − 4 n − 4 n2 + 1
3n2 + 1 − n

Bài 6: Tính các giới hạn sau:

a) lim
d) lim

2 cos n2
n2 + 1
3sin6 n + 5cos2 (n + 1)
n2 + 1

b) lim
e) lim

(−1)n sin(3n + n2 )
3n − 1
3sin2 (n3 + 2) + n2

c) lim

2 − 2n cos n
3n + 1

f) lim

3n2 − 2n + 2
n(3cos n + 2)

2 − 3n2

1 
1  
1 
Bài 7: Cho dãy số (un) với un =  1 − 2 ÷ 1 − 2 ÷...  1 − 2 ÷ , với ∀ n ≥ 2.
 2  3   n 

a) Rút gọn un.

Bài 8: a) Chứng minh:

b) Tìm lim un.

1

=

1

−

1

(∀n ∈ N*).

n n + 1 + (n + 1) n
n
n +1

1
1
1
+
+ ... +
b) Rút gọn: un =
.
1 2 +2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + (n + 1) n

GV: Nguyễn Quang Tánh

3


Trường THPT Nguyễn Hữu Thận
ĐẠI SỐ 11
c) Tìm lim un.

u1 = 1

Bài 9: Cho dãy số (un) được xác đònh bởi: u = u + 1 (n ≥ 1) .
n
 n+1

2n

a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un.

u1 = 0; u2 = 1
Bài 10: Cho dãy số (un) được xác đònh bởi: 2u
 n+2 = un+1 + un , (n ≥ 1)
1
a) Chứng minh rằng: un+1 = − un + 1 , ∀n ≥ 1.
2
2
b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un.
3

GV: Nguyễn Quang Tánh

4


Trường THPT Nguyễn Hữu Thận
ĐẠI SỐ 11
III. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm:

f ( x ) = f ( x0 )
y = f(x) liên tục tại x0 ⇔ xlim
→ x0

• Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
lim f ( x ) lim − f ( x )
f ( x)
B2: Tính xlim

(trong nhiều trường hợp ta cần tính x → x0+
, x → x0
)
→ x0
f ( x)
B3: So sánh xlim
với f(x0) và rút ra kết luận.
→ x0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim f ( x ) = f (a), lim− f ( x ) = f (b)

x →a +

x →b

4. • Hàm số đa thức liên tục trên R.
• Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác đònh của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
f (x)

• Hàm số y = g( x ) liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) =
0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm c∈ (a; b).
f ( x)
f ( x)

Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min
, M = max
. Khi đó với mọi T
[ a;b]
[ a;b]

∈ (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) = T.
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 x +3 −2
khi x ≠ 1

khi x ≠ 1 tại x = −1
tại x = 1.
b) f ( x ) =  1 x − 1

khi x = 1
khi x = 1
 4
 x−5
 2 − 7 x + 5x 2 − x3
khi x > 5


khi
x
≠
2
tại x = 2; d) f ( x ) =  2 x − 1 − 3
tại x = 5.
c) f ( x ) =  x 2 − 3x + 2

2
1

khi x = 2

( x − 5) + 3 khi x ≤ 5
x +3

a) f ( x ) =  x − 1
 −1

GV: Nguyễn Quang Tánh

5


Trường THPT Nguyễn Hữu Thận
ĐẠI SỐ 11
1 − cos x khi x ≤ 0
e) f ( x ) =  x + 1 khi x > 0


tại x = 0 ;

 x −1

f) f ( x ) =  2 − x − 1
 −2 x

Bài 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

 x3 − x2 + 2x − 2
x2

khi x < 1
a) f ( x ) = 2mx − 3 khi x ≥ 1 tại x = 1 ; b) f ( x ) = 
x −1

 3x + m
m
khi x = 0
 x 2 − x − 6
khi x ≠ 0, x ≠ 3 tại x = 0 và x = 3.
c) f ( x ) = 
 x ( x − 3)
khi x = 3
 n
 x2 − x − 2

khi x ≠ 2
tại x = 2.
d) f ( x ) =  x − 2
 m
khi x = 2

khi x < 1

tại x = 1.

khi x ≥ 1

khi x ≠ 1 tại x = 1.
khi x = 1

Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác đònh của chúng:
 x3 + x + 2
 x 2 − 3x + 4
khi x ≠ −1
khi x < 2
 3

x
+
1
f
(
x
)
=
;

khi x = 2.
a)
b) f ( x ) = 5

4
2
x
+
1
khi x > 2

khi x = −1

 3
 x2 − 2
 x2 − 4
khi x ≠ 2


khi x ≠ −2 ;
.
c) f ( x ) =  x + 2
d) f ( x ) =  x − 2
 −4

khi x = −2
khi x = 2
2 2
Bài 4: Tìm các giá trò của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác đònh của chúng:
x2 + x
 x2 − x − 2
khi x < 1


khi
x
≠
2
f
(
x

)
=
;
khi x = 1 ;
 x −2
a)
b) f ( x ) = 2

 m
mx
+
1
khi x > 1
khi x = 2

 x3 − x 2 + 2 x − 2
x2

khi x < 1.
khi x ≠ 1 ;
f
(
x
)
=

c) f ( x ) = 
d)
x −1
khi x ≥ 1

2mx − 3
3 x + m
khi x = 1
Bài 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
3
3
3
2
a) x − 3 x + 1 = 0
b) x + 6 x + 9 x + 1 = 0
c) 2 x + 6 1 − x = 3
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
5
a) x − 3 x + 3 = 0

5
b) x + x − 1 = 0

4
3
2
c) x + x − 3 x + x + 1 = 0

5
3
Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: x − 5 x + 4 x − 1 = 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2).

Bài 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trò của tham số:
3
a) m( x − 1) ( x − 2) + 2 x − 3 = 0

4
2
b) x + mx − 2mx − 2 = 0

2
3
2
c) a( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a) + c( x − a)( x − b) = 0 d) (1 − m )( x + 1) + x − x − 3 = 0

GV: Nguyễn Quang Tánh

6


Trường THPT Nguyễn Hữu Thận
ĐẠI SỐ 11
e) cos x + m cos2 x = 0
f) m(2 cos x − 2) = 2 sin 5 x + 1
Bài 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
2
2
a) ax + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0
3
2
c) x + ax + bx + c = 0

 1
 0; 
Bài 10: Chứng minh rằng phương trình: ax + bx + c = 0 luôn có nghiệm x ∈  3  với a ≠ 0 và

2

2a + 6b + 19c = 0.

GV: Nguyễn Quang Tánh

7