Chuyên Đề TÍCH PHÂN (Định Nghĩa – Tính Chất – Phương Pháp Tính Tích Phân)

Chuyên đề: TÍCH PHÂN
(Định nghĩa – Tính chất – Phương pháp tính tích phân)
Thời lượng: 3 tiết
Bước1: Tên chuyên đề:
Tích phân là kiến thức toán học cao cấp, nó có ứng dụng lớn trong các bộ môn, các
nghành khoa học và trong các bài toán thực tế, làm phong phú thêm cuộc sống. Chính
vì vậy đòi hỏi học sinh cần phải tính được tích phân để đảm bảo đạt chẩn kiến thức.
Chuyên đề : TÍCH PHÂN sẽ giúp các em học sinh giải quyết được phần kiến thức
này.
Bước2:Chuẩn kiến thức, kĩ năng, thái độ và định hướng năng lực cần hướng tới:
1.Kiến thức:
Biết khái niệm về diện tích hình thang cong. Biết định nghĩa tích phân của hàm số
liên tục bằng công thức Niu-Tơn-Lai-Bơ-Nít.
Biết các tính chất của tích phân.
Biết được các phương pháp tính tích phân (PP đổi biến số, PP tính tích phân TP).
2.Kĩ năng:
Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa, dựa vào
tính chất, bằng phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần.
3.Thái độ:
Chủ động, tích cực, tự giác trong học tập.
4.Năng lực hướng tới:
*/.Năng lực chung
- Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí
- Năng lực tuy duy, sáng tạo, tính toán, giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng công nghệ tính toán
*/.Năng lực chuyên biệt
- Thấy được ứng dụng của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê
khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
Bước3: Nội dung chuyên đề

Nội dung 1: Định nghĩa tích phân:
Nội dung 2: Tính chất của tích phân: Tính chất 1
Tính chất 2
Tính chất 3
Nội dung 3: Phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến số
Phương pháp tích phân từng phần


Bước4: Bảng mô tả cấp độ tư duy
Nội
dung

1.
Định
nghĩa
tích
phân

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

- Phát biểu được
định nghĩa tích
phân, ký hiệu dấu
tích phân, cận

trên, cận dưới,
biểu thức dưới dấu
tích phân.

- Biết được tích
phân từ a đến b
của hàm số f(x)
là hiệu số:
F(b) – F(a),
trong đó F(x)
là một nguyên
hàm của hàm
f(x) trên đoạn
[ a; b].

- Sử dụng định
nghĩa để tính
được tích phân
của một số hàm
số đơn giản.
-Nhấn mạnh :

- Sử dụng định
nghĩa để tính
được tích phân
của một số hàm
số khác

b

∫

b

f ( x)dx = F ( x ) a

a

= F (b) − F (a )

b

b

a

a

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt

Tích phân đó chỉ
phụ thuộc vào f
-Biết
được và các cận a;b
mà không phụ
∫ f ( x) dx = 0;
thuộc vào biến
∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx
số x hay t
a

a

b

a

a

b

2.
Tính
chất

Phát biểu được Biết đưa hằng
các tính chất của số k ra khỏi
tích phân
dấu tích phân,
biết tách tích
phân của tổng
thành tổng các
tích phân có
cùng cận trên,
cận dưới, biết
tách tích phân
thành
nhiều
tích phân bằng
việc thêm cận

mới.

Sử dụng tính
chất để tính tích
phân của một số
hàm số đơn giản

Sử dụng tính
chất để tính
được tích phân
của một số hàm
số khác

3.
Phương
pháp
tính tích
phân

Phát biểu ( viết ra
được) công thức
tính tích phân
bằng phương pháp
đổi biến số hoặc
lấy tích phân từng
phần

Tính được tích
phân của một
hàm số khi đã

chỉ rõ phương
pháp

Tính được tích
phân của một
hàm số khi
chưa chỉ rõ
phương pháp

Giải thích được
các bước tính
tích phân bằng
phương pháp
đổi biến số
hoặc lấy tích
phân từng phần


Bước5: Quy trình biên soạn câu hỏi, bài tập tương ứng:
Nội dung1: Định nghĩa tích phân:
*/. Câu hỏi :
- Phát biểu định nghĩa tích phân, chỉ rõ dấu tích phân, cận trên, cận dưới,
biểu thức dưới dấu tích phân (yêu cầu các em phát biểu định nghĩa SGK Tr 105)
*/. Bài tập tương ứng:
Mức độ nhận biết:
1.Xác định: cận trên, cận dưới và biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân sau:
2

I = ∫ 3dx
1

2.Tìm lời giải đúng:
2

2

A) I = ∫ 3dx = ( 3x ) 1 = 3.2 − 3.1 = 3

B ) I = ∫ 3dx = ( 3x ) 1 = 3.1 − 3.2 = −3

2

1

2

1

Mức độ thông hiểu:
a

- Chứng tỏ : ∫ f ( x) dx = 0;
a

-Nhấn mạnh :

b

a

a

b

∫ f ( x) dx = −∫ f ( x) dx

b

b

a

a

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt

-Ý nghĩa hình học của tích phân (Tr 106). Hàm số f(x) liên tục và không âm trên
đoạn [ a; b] thì :

a

S = ∫ f ( x ) dx = 0;
a

- Nhắc lại bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
- Tính một số tích phân của hàm số dơn giản theo định nghĩa
2

e

I = ∫ 2 x.dx

Tính các tích phân sau:

J=

1

Mức độ vận dụng:

1

π

- Tính các tích phân sau:

1

∫ x dx
e

I = ∫ sin 2 x.dx

J=

0

1

∫t

2

.dt

1

Mức độ vận dụng cao:
-Tính các tích phân sau:

π
2

1

2x
J = ∫ e dx

I = ∫ sin x.cos xdx

0

0

Nội dung2: Tính chất của tích phân:
*/. Câu hỏi:
- Phát biểu các tính chất của tích phân
*/. Bài tập tương ứng:
Mức độ nhận biết
2

Xét tính đúng, sai :

2

I = ∫ 3xdx = 3∫ xdx
1

Mức độ thông hiểu:

1

2

J=

∫( x
1

2

)

2

2

+ 3 x dx = ∫ x dx + 3∫ xdx
2

1

1


2

2

- Xét tính đúng, sai:

1

1

2

2

2

1

1

1

4
4
b. ∫ ( kx + 3x ) dx = k ∫ xdx + 3∫ x dx

2
2
a. ∫ t xdt = t ∫ xdt

Mức độ vận dụng:
2

(

3

)

I1 = ∫ x 2 + 3 x dx

- Tính các tích phân sau:

1

I 2 = ∫ x − 3 dx
1

Mức độ vận dụng cao:
I=

- Tính tích phân sau:

2π

∫

1 − cos2xdx

0

Nội dung3: Phương pháp tính tích phân:
*/.Câu hỏi:
- Phát biểu công thức tính tích phân bằng phương pháp đổi biến , phương pháp tính
tích phân từng phần
*/. Bài tập tương ứng:
Mức độ nhận biết:
1.Phát biểu công thức biểu diễn cách đổi biến số khi tính tích phân?
2.Nêu các bước thực hiện khi tính tích phân hàm bằng phương pháp đổi biến số?
3.Phát biểu công thức biểu diễn cách lấy tích phân từng phần khi tính tích phân?
4.Nêu các bước thực hiện khi tính tích phân bằng phương pháp lấy tích phân từng
phần?
Mức độ thông hiểu:
1

1
3

3x
1.Tìm lỗi sai trong lời giải sau : I = ∫ e dx

Đặt: u = 3x ⇒ dx = du

0

1

1

1
1
e −1
I = ∫ eu du = e u =
30
3 0
3
e

e

1
1
∫1 ln xdx = x = e − 1
1

2.Công thức sau đúng hay sai? Vì sao?:

Mức độ vận dụng :
1. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
π
2

1

a, I = ∫ 1 − x 2 dx

b, J = ∫ sin 2 x.cos xdx

0

0

2.Tính các tích phân sau bằng phương pháp lấy tích phân từng phần
π
2

e

ln x
dx
x2
1

a, I = ∫

b, J = ∫ x.sin xdx
0

Mức độ vận dụng cao:
1.Tính các tích phân:

a, I =

1
2

∫

−

2

2.Tính các tích phân :

( 1 − x ) dx
2

1
2

a, I = ∫
1

3

ln ( x + 1)
x

2

1

x
dx
2

1
+
x
0

b, J = ∫
2

dx

Ngày soạn: 10/11/2015

b, J = ∫ x 2 .e3 x dx
0


Giáo án chuyên đề: TÍCH PHÂN
(Định nghĩa – Tính chất – Phương pháp tính tích phân)
I.Mục tiêu chuyên đề:
1.Kiến thức:
Biết khái niệm về diện tích hình thang cong. Biết định nghĩa tích phân của hàm số
liên tục bằng công thức Niu-Tơn-Lai-Bơ-Nít.
Biết các tính chất của tích phân.
Biết được các phương pháp tính tích phân (PP đổi biến số, PP tính tích phân TP).
2.Kĩ năng:
Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa, dựa vào
tính chất, bằng phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần.
3.Thái độ: Chủ động, tích cực, tự giác trong học tập.
4.Năng lực hướng tới:
*/.Năng lực chung

- Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí
- Năng lực tuy duy, sáng tạo, tính toán, giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng công nghệ tính toán
*/.Năng lực chuyên biệt
- Thấy được ứng dụng của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê
khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
II.Hình thức, phương pháp, kĩ thuật dạy học:
Hình thức: Hoạt động cá nhân độc lập, hoạt động nhóm
Phương pháp: Luyện tập – củng cố, vấn đáp – gợi mở.
Kĩ thuật dạy học: lấy học sinh làm trung tâm
III. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
- Giáo viên: Giáo án, tài liệu tham khảo,đồ dùng trực quan, máy tính
- Học sinh: sách vở, đồ dùng học tập và kiến thức liên quan.
IV. Tiến trình bài học
1.Tổ chức:
Lớp
12 A1
12 A5
12 A1
12 A5
12 A1
12 A5

Ngày

Tiết
1
2

43

3

44

2.Kiểm tra: trong giờ học
3.Nội dung :

Tiết
Sĩ Số
PPCT
42

HS vắng

Ghi chú


Khởi động: Các hình: tam giác, tứ giác, hình bình hành, hình thoi, hình vuông,
hình chữ nhật, đường tròn các em đều tính được diện tích. Vậy còn hình sau: …. ai
tính cho thầy diện tích của hình đó? Để giải quyết được vấn đề này ta sẽ đi vào
chuyên đề ‘ Tích phân ” bởi chuyên đề ‘ Tích phân ” sẽ là công cụ giúp các em
giải quyết được vấn đề này.
Chuyên đề TÍCH PHÂN

Tiết 42 Tích phân ( Tiết 1)
*/. Định nghĩa tích phân:

Mức độ nhận biết:
- Biết được tích phân từ a đến b của
hàm số f(x) là hiệu số: F(b) – F(a) ,
trong đó F(x) là một nguyên hàm của
hàm f(x) trên đoạn [ a; b].
Hình thức tổ chức:
-Cho học sinh thảo luận, trao đổi
nhóm và trả lời câu hỏi :
CH1: Phát biểu được định nghĩa tích
phân, ký hiệu dấu tích phân, cận trên,
cận dưới, biểu thức dưới dấu tích phân
(yêu cầu các em phát biểu định nghĩa
SGK Tr 105)
CH2:Cho VD và chỉ rõ cận trên, cận
dưới, biểu thức dưới dấu tích phân?
-Cho học sinh nhận xét các báo cáo
của từng nhóm, có phản biện.

Định nghĩa: SGK Tr - 105
Kí hiệu:
b

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b) − F (a )

a

Ví dụ 1.1
a.Xác định: cận trên, cận dưới và biểu
thức dưới dấu tích phân của tích phân
sau:
2

I = ∫ 3dx
1

- GV nhận xét và kết luận.

b.Tìm lời giải đúng:
2

A) I = ∫ 3dx = ( 3x ) 1 = 3.2 − 3.1 = 3
2

1

2

B ) I = ∫ 3dx = ( 3x ) 1 = 3.1 − 3.2 = −3
2

1

ĐS: A
Mức độ thông hiểu:
Ví dụ 1.2

Hình thức tổ chức
Tính các tích phân sau:
Cho học sinh thảo luận, trao đổi và
2
ĐS: I = 3
gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải a. I = ∫ 2 x.dx
1


Ví dụ 1.2.

e

b. J =

1

∫ x dx

ĐS: J = 1

1

Chú ý:

Khắc sâu chú ý:

a

∫ f ( x ) dx = 0;

a

-Biết được

∫

f ( x) dx = 0;

a

a

b

a

a

b

b

a

a

b

∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx

∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx

Mức độ vận dụng:
Hình thức tổ chức
Cho học sinh thảo luận, trao đổi và
Ví dụ 1.3.Tính các tích phân sau:
gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải
π
Ví dụ 1.3
sin 2 x.dx
ĐS: I = 0
(Sử dụng định nghĩa để tính được tích a. I = ∫0
e
phân của một số hàm số đơn giản sau)
1
1
b. J = ∫ 2 .dt
ĐS: J = − + 1
t
e
1
Nhận xét, chỉ ra sai lầm( nếu có)

-Nhấn mạnh nhận xét:
b

∫
a

b

f ( x)dx = ∫ f (t )dt
a

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và
các cận a;b mà không phụ thuộc vào
biến số x hay t
Ý nghĩa hình học của tích phân

Nhận xét:
b

b

a

a

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt

*/.

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và
các cận a;b mà không phụ thuộc vào
biến số x hay t
*/. Ý nghĩa hình học của tích phân
(Tr 106). Hàm số f(x) liên tục và
không âm trên đoạn [ a; b]
b

S = ∫ f ( x) dx
a

Mức độ vận dụng cao:
Hình thức tổ chức
Ví dụ 1.4.Tính các tích phân sau:
π
Cho học sinh thảo luận, trao đổi và
2
gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải a. I = ∫ sin x.cos xdx
0
Ví dụ 1.4
1
2x
( Sử dụng định nghĩa để tính được tích
b. J = ∫ e dx
phân của một số hàm số khác)
0
Giải:
Nhận xét, chỉ ra sai lầm( nếu có)

π
2

I = ∫ sin x.cos x.dx = ... =
0

π
2

1
1
sin 2 x.d ( 2 x ) =
∫
40
2


1

J = ∫ e 2 x dx = ... =
0

e2 − 1
2

Hoạt động 2: II. Tính chất của tích phân
Mức độ nhận biết:
Học sinh biết được tính chất 1, tính
chất 2 (yêu cầu các em phát biểu tính
chất SGK Tr 106)
Hình thức tổ chức:
-Cho học sinh thảo luận, trao đổi
nhóm và trả lời câu hỏi :
CH1: Trình bày các tính chất của tích
phân?
CH2: Xét tính đúng, sai của các tích
phân sau:
2

2

1

1

b. ∫ (
1

)

b

b

a

a

∫ k. f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

(k là hằng số )

Tính chất 2:

a. ∫ 3xdx = 3∫ xdx
2

Tính chất 1:

b

2

∫[

2

x 2 + 3 x dx = ∫ x 2 dx + 3∫ xdx
1

a

b

b

a

a

f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

1

Tính chất 3:
-Cho học sinh nhận xét các báo cáo
của từng nhóm, có phản biện.
- GV nhận xét và kết luận.

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

( a < c < b)

Ví dụ 2.1:Xét tính đúng, sai
2

2

1
2

1

a. ∫ 3xdx = 3∫ xdx
b. ∫ (
1

)

2

2

1

1

x 2 + 3 x dx = ∫ x 2 dx + 3∫ xdx

ĐS: a. Đ

b. Đ

Mức độ thông hiểu:
Hình thức tổ chức
Ví dụ 2.2:Xét tính đúng, sai
2
2
Cho học sinh thảo luận, trao đổi và
2
2
t
xdt
=
t
xdt

a. ∫
∫
gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải
1
1
2
2
2
Ví dụ 2.2
4
kx
+
3
x
d
x
=
k
xd
x
+
3
x 4 dx
)
b. ∫ (
∫
∫
1
1
1

Nhận xét, chỉ ra sai lầm( nếu có)


ĐS: a. S; b. Đ
Mức độ vận dụng :

Ví dụ 2.3: Tính các tích phân sau:
2

Hình thức tổ chức
Cho học sinh thảo luận, trao đổi và
gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải
Ví dụ 2.3

(

)

I1 = ∫ x 2 + 3 x dx
1

2

I 2 = ∫ x − 1dx
0

ĐS: a. I1 = 35 ; b.

Nhận xét, chỉ ra sai lầm( nếu có)
Mức độ vận dụng cao:

Ví dụ 2.4: Tính tích phân sau:
I=

Hình thức tổ chức
Cho học sinh thảo luận, trao đổi và
Giải:
gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải Ta có:
2π
Ví dụ 2.4
I=

Nhận xét, chỉ ra sai lầm( nếu có)

∫

2π

∫

1 − cos2xdx

0

1 − cos2xdx

0

=

2π

∫
0

π

2π

0

π

s inx dx = ∫ s inxdx +

∫ s inxdx = 4

2

Hoạt động 3: III. Phương pháp tính tích phân
1.Phương pháp đổi biến số:
Mức độ nhận biết:
Phát biểu ( viết ra được) công thức
tính tích phân bằng phương pháp đổi
biến số hoặc lấy tích phân từng phần.
Hình thức tổ chức:
-Cho học sinh thảo luận, trao đổi
nhóm và trả lời câu hỏi :
CH1: Phát biểu công thức biểu diễn
cách đổi biến số khi tính tích phân?

CH2: ) Nêu các bước thực hiện khi
tính tích phân hàm bằng phương pháp
đổi biến số
CH3: Tính tích phân sau theo pp đổi

Lưu ý: khi tính TP bằng PP đổi biến số
thì ta phải đổi cận
Ví dụ 3a.1Tính tích phân sau theo pp


2

biến số:

∫ ( 2 x + 1)

2

2

dx

đổi biến số:

1

∫ ( 2 x + 1)

2

dx

1

CH4: Phát biểu công thức biểu diễn
cách lấy tích phân từng phần khi tính
tích phân?
CH5: Nêu các bước thực hiện khi tính
tích phân bằng phương pháp lấy tích
phân từng phần?
-Cho học sinh nhận xét các báo cáo
của từng nhóm, có phản biện.
- GV nhận xét và kết luận.
Mức độ thông hiểu:
Giải thích được các bước tính tích
phân bằng phương pháp đổi biến số
hoặc lấy tích phân từng phần
Hình thức tổ chức
Cho học sinh thảo luận, trao đổi và
Ví dụ 3a.2Tìm lỗi sai trong lời giải sau
1
gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải
I = ∫ e3 x dx
Ví dụ 3a.2 + Ví dụ 3b.2
0
Nhận xét, chỉ ra sai lầm( nếu có)

1
3

Đặt: u = 3x ⇒ dx = du
1

1

1
1
e −1
I = ∫ eu du = eu =
30
3 0
3

Ví dụ 3b.2
Công thức sau đúng hay sai? Vì sao?
e

e

1
1
∫1 ln x.dx = x = e − 1
1

Mức độ vận dụng :
Tính được tích phân của một hàm số
khi đã chỉ rõ phương pháp

Ví dụ 3a.3
Tính các tích phân sau bằng phương

pháp đổi biến số
1

a, I = ∫ 1 − x 2 .dx
0

π
2

b, J = ∫ sin 2 x.cos x.dx
0

Hình thức tổ chức
Cho học sinh thảo luận, trao đổi và
gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải

Giải:


Ví dụ 3a.3 +Ví dụ 3b.3

1

a, I = ∫ 1 − x 2 dx = ... =
0
π
2

π
4

b, J = ∫ sin 2 x.cos xdx = ... =
0

Nhận xét, chỉ ra sai lầm( nếu có)

1
3

Ví dụ 3b.3
Tính các tích phân sau bằng phương
pháp lấy tích phân từng phần
e

ln x
dx
x2
1

a, I = ∫

π
2

b, J = ∫ x.sin xdx
0

ĐS: a. I = 1 −
Mức độ vận dụng cao:
Tính được tích phân của một hàm số

khi chưa chỉ rõ phương pháp

2
e

b. J = 1

Ví dụ 3a.4 Tính các tích phân
a, I =

1
2

∫ ( 1− x)
3

2

dx

1
−
2
1

Hình thức tổ chức

x
dx
1 + x2

0

b, J = ∫

Giải:

3
3
Cho học sinh thảo luận, trao đổi và
a. Ta có I = 3 ( 3 9 − 1)
10
4
gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải
1
x
3
Ví dụ 3a.4 +Ví dụ 3b.4
J
=
b.Ta có:
∫ 1 + x 2 dx = ... = 16
0

(

)

Ví dụ 3b.4 Tính các tích phân
ln ( x + 1)
dx

2
x
1
2

Nhận xét, chỉ ra sai lầm( nếu có)

a, I = ∫

2

b, J = ∫ x 2 .e3 x dx
0

Giải:
a.Ta có: I = 3ln
b.Ta có: J =

2 3
3

2
( 13e6 − 1)
27

Khắc sâu các dạng tính tích phân theo phương pháp tính tích phân từng phần:
b
∫ da thuc . luong giac. dx
a 14 2u 43 1 44 2 4 43
dv

b
∫ da thuc . Mu. dx
a 14 2u 43 1 2 3
dv


b
∫ lnf1 ( x ) . f 2 ( x ) . dx
a 1 2 3 14 2 43
u
dv

trong do : lnf1 ( x )  ≠ f 2 ( x )
'

4.Củng cố: Khắc sâu giúp học sinh nắm được định nghĩa, tính chất của tích
phân.Giúp học sinh biết tính tích phân theo các phương pháp đã học(Tính trực tiếp ,
PP đổi biến số, PPtừng phần)Giúp học sinh nhớ : Ý nghĩa hình học của tích phân (Tr
106). Hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [ a; b] ta có:
a

S = ∫ f ( x ) dx = 0;
a

5. Bài tập về nhà: BT SGK
V. Rút kinh nghiệm

Kí duyệt BCM

Ngày 11/11/2015

Nguyễn Thị Kim An