CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC CÂN

TAM GIÁC CÂN(CƠ BẢN)
A. Kiến thức cơ bản
1. Tam giác cân
−Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau: Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ
khi AB = AC.

−Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.
Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
−Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
2. Tam giác đều
− Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.


− Trong tam giác đều mỗi góc bằng 60 độ.
− Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì đó là tam giác đều.
Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60 độ thì tam giác đó đều.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có B^=50o. Tính số đo các góc C^;A^
Giải:
Tma giác ABC cân tại A thì B^=C^ nên C^=50o.
Tam giác ABC có A^+B^+C^=180o nên A^+50o+50o=180o suy ra: A^=80o
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC, B^=2.A^. Tính số đo các góc của tam giác
ABC.
Giải:
Ta có: ΔABC cân tại A nên B^=C^
mà: A^+B^+C^=180o
nên A^+2.A^+2.A^=180o, suy ra 5.A^=180o


⇒A^=36o,B^=C^=2.A^=72o
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các tia phân giác trong của các gócB và C cắt nhai tại

I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại M, N.
Chứng minh rằng MN = MB + NC
Giải:

MN // BC nên I1^=B1^;I2^=C2^
Mà B1^=B2^ (vì BI là tia phân giác của góc B\);
C1^=C2^ (vì CI là tia phân giác của góc C).
Suy ra: I1^=B2^;I2^=C1^
Do vậy tam giác MIB và tam giác CNI là các tam giác cân đỉnh M và N nên:
MI = MB; NI = NC.
Vậy MN = MI + NI = MB + NC.
Ví dụ 4: Cho

tam giác ABC có B^=C^=40o. Kẻ BD là tia phân giác
của góc B (D∈AC). Chứng minh rằng: AD + BD = BC.
Giải:


Tam giác ABC có B^+C^=40o nên A^=100o
Trên BC lấy hai điểm E và F sao cho BE = BA, BF = BD.
Ta có: ΔBAD=ΔBED (c.g.c) nên:
BED^=A^=100o suy ra: DEF^=80o (1)
Tam giác BDF cân tại B nên B2^=20o nên DFE^=80o (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác DEF cân ⇒DE=DF
Tam giác DFC có C^=40o;DFE^=80o nên FDC^=40o hay tam giác DFC cân tại F suy
ra DF = FC.
Vậy BD + AD = BF + FC = BC.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC sao cho ΔAMB=ΔAMC. D,E lần
lượt nằm trên AB và AC. Biết AMD^=900−B^,AME^=900−C^. Chứng minh rằng D
và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Giải:


Ta có ΔAMB=ΔAMC, nên M là trung điểm của BC và AMB^=900.
Cũng do ΔAMB=ΔAMC⇒ ABM^=ACM^, hay B^=C^.
Theo giả thiết, có AMD^=900−B^,AME^=900−C^
Mà AMB^=900 nên có DMB^=B^ (cùng phụ với AMD^)
AMD^=DAM^ (cùng phụ với B^).
Tương tự ta sẽ có: EMC^=C^,AME^=EAM^.
Từ đó suy ra các tam giác ADM, BDM cân tại D hay DA=DB (cùng bằng DM).
Tương tự có EA=EC. Vậy D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
C. Kiểm tra chuyên đề: Làm bài tại đây.

NÂNG CAO
A. Kiến thức cơ bản
Mời các em xem lại Chuyên đề - Tam giác cân (Cơ bản)


B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Một điểm M thuộc cạnh AB và một
điểm N thuộc cạnh AC sao cho ta có: BM=CN. Chứng minh MN // BC.
Giải:

Điểm M∈AB nên: AM + MB = AB. Suy ra: AM = AB - MB
Điểm N∈AC nên: AN + NC = AC. Suy ra: AN = AC - NC
Ta có: AB = AC (ΔABC cân đỉnh A)
và: MB = NC (theo giải thiết).
Suy ra: AM = AN
Do đó: ΔAMN cân tại đỉnh A.
Khi đó: ΔABC cân đỉnh A nên: B^=12(180o−A^)

và: ΔAMN cân đỉnh A nên: AMN^=12(180o−A^)
Vậy: B^=AMN^
Hai góc B^ và AMN^ ở vị trí đồng vị mà bằng nhau nên MN // BC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N
sao cho AM = AN. Gọi giao điểm BN và CM là I. Chứng minh tam giác BIC cân.
Giải:

Ta có: AB = AC, AM = AN nên BM = CN. Xét tam giác BMC và tam giác CNB có:
BM = CN, BC là cạnh chung, MBC^=NCB^ (tính chất tam giác cân ABC).


Suy ra: ΔBMC=ΔCNB (c.g.c) do vậy B1^=C1^
Hay tam giác BIC cân tại I.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N,
P sao cho AM = BN = CP nên BM=CN=AP. Chứng minh tam giác MNP là tam giác
đều.
Giải:

Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA mà AM = BN = CP nên BM = CN = AP
Xét tam giác AMP, tam giác BNM và tam giác CPN, ta có:
AM = BN = CP;
A^=B^=C^ (do tam giác ABC đều);
BM = CN = AP
Do đó: ΔAMP=ΔBNM=ΔCPN (c.g.c)
Suy ra MP = NM = PN hay tam giác MNP là tam giác đều.

Ví dụ 4 : Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh BC có một điểm D sao cho BD=13BC.
Trên cạnh AB có một điểm E sao cho AE=13AB và trên cạnh AC có một điểm F sao
cho CF=13AC. Chứng minh rằng tam giác DEF đều.
Giải:

Do tam giác ABC đều nên ta có BD = AE =CF. (cùng bằng 13 cạnh tam giác).
Từ đó suy ra AF=CD=BE .
Xét các tam giác AEF, BDE, CFD có: BD=AE=CF,AF=CD=BE,A^=B^=C^
Suy ra △AEF=△BDE=△CFD.⇒EF=DF=ED.
⇒△DEF đều.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, điểm H thuộc AC sao cho BH vuông góc với AC
và BH=12AC, BAC^=750. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C.
Giải:

Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD=HB, mà theo giả thiết thì BH=12AC,
suy ra BD = AC.
(1)
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C ta xác định điểm E sao cho tam
giác ABE đều, suy ra AB = EA.
(2)
Khi đó ta có: BAE^=600,BAC^=750⇒EAC^=150.
⇒ABD^=EAC^=150.
Từ đây kết hợp với (1) và (2) ta suy ra:


ΔABD=ΔEAC (c.g.c)⇒BAD^=AEC^.
Lại có: HB=HD,AHB^=AHD^=900⇒ΔAHB=ΔAHD
⇒BAH^=DAH^=BAC^=750
⇒BAD^=BAH^+DAH^=1500
⇒AEC^=1500.
Suy ra: BEC^=3600−AEC^−AEB^=3600−1500−600=1500.
Hai tam giác AEC và BEC có EC là cạnh chung, AE=BE và AEC^=BEC^=1500
⇒ΔAEC=ΔBEC (c.g.c)⇒AC=BC.

Vậy tam giác ACB cân tại C.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân tại A, A^=800. Trên cạnh BC lấy điểm I sao
cho BAI^=500, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho ABK^=300. Hai đoạn thẳng AI và
BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng tam giác HIK cân.
Giải:
Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa đỉnh C, vẽ tam giác đều AMB.


Ta có: ABC^=ACB^=500.
⇒CBM^=600−500=100.
Mà tam giác BAI có IAB^=IBA^=500 nên tam giác cân tại I và có IA=IB.
⇒△AMI=△BMI (c.c.c) suy ra AMI^=BMI^=300.
Trên tia BK lấy điểm N sao cho BN = IM.
⇒△ABN=△BMI (c.g.c) nên có: NAB^=100,NA=BI=AI.
Tam giác NAK cân tại N do NAK^=NKA^=700. Nên AN = NK, do đó AI = NK.
Lại có: tam giác HAN cân tại H vì có HAN^=HNA^=400 nên HN = HA, do đó HI =
HK.
Vậy, tam giác HIK cân tại H.

C. Kiểm tra chuyên đề: Làm bài tại đây.