Chuyen de: Tam giac vuong

Trần Mạnh Hùng - Trờng THCS Bàn Giản - Chuyên đề Bồi dỡng Hình học 7
Chuyên đề: Tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác cân ABC, cạnh đáy BC. Từ B kẻ đờng vuông góc với AB và từ C
kẻ đờng vuông góc với AC. Hai đờng này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
a)

ABM =

ACM.
b) AM là đờng trung trực của đoạn thẳng BC.
Bài 2: Cho tam giác vuông tại ABC (AB = AC). Qua A kẻ đờng thẳng xx
,
bất kì. Từ
B và C kẻ các đờng thẳng BM và CN vuông góc với xx
,
. Chứng minh rằng:
a)

CAN =

BAM.
b) CN + BM = MN.
Bài 3: Cho

ABC cân tại A, AH là đờng vuông góc kẻ từ A đến BC. Từ B và từ C kẻ
các đờng thẳng song song với AH, chúng cắt đờng thẳng đi qua A tại M và N. Chứng
minh rằng:
a) AM = AN b) AH = (BM + CN)/2
Bài 4: Cho

ABC, M là trung điểm của BC. Từ B kẻ các đờng thẳng BE và CF

vuông góc với đờng thẳng AM.
a) So sánh hai tam giác BEM và CMF suy ra ME = MF; BE = CF.
b) Chứng minh BE//CF.
c) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
Bài 5: Cho

ABC cân tại A. D là một điểm trên AB, E là một điểm trên AC sao cho
AD = AE. Từ D và E hạ các đờng DM và EN cùng vuông góc với đáy BC. Chứng
minh rằng BM = CN.
Bài 6: Cho

ABC cân tại A. Kẻ đờng vuông góc với AB tại B, với AC tại C, hai đ-
ờng này cắt nhau ở D.
a) Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.
b) So sánh BD và CD.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O. Kẻ
OE; OF; OG theo thứ tự vuông góc với các cạnh AC; AB; BC.
a) Chứng minh OE = OF = OG.
b) Tia AO cắt cạnh BC tại D. Chứng minh rằng góc BOD bằng góc COG.
Bài 8: Cho tam giác ABC. Kẻ BE và CF lần lợt vuông góc với AC và AB. Biết BE =
CF = 8cm; độ dài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
b) Tính độ dài cạnh đáy BC.
c) BE và CF cắt nhau tại O. Nối AO và EF. Chứng minh đờng thẳng AO là trung
trực của đoạn thẳng EF.
Bài 9: Cho tam giác ABC (AB AC). Đờng trung trực của cạnh BC cắt tia phân giác
Ax của góc A ở điểm O. Kẻ OE, OF theo thứ tự vuông góc với AB và AC .
a) Chứng minh BE = CF.
b) Nối EF, cắt BC tại M và cắt Ax tại I. Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC.
c) Chứng minh IA

2
+ IE
2
+ IO
2
+ IF
2
= AO
2
.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và các điểm M thuộc cạnh AC, H
thuộc cạnh BC sao cho MH vuông góc với BC và MH = HB. Chứng minh rằng AH là
tia phân giác của góc A.
Năm học 2008 - 2009
Trần Mạnh Hùng - Trờng THCS Bàn Giản - Chuyên đề Bồi dỡng Hình học 7
Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhỏ hơn 90
0
. Kẻ BD vuông góc với
AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh AK là
tia phân giác của góc A.
Bài 12: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của
góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đờng thẳng d bất kì luôn đi qua A.
Kẻ BH và CK vuông góc với đờng thẳng d. Chứng minh rằng tổng BH
2
+ CK
2
có giá
trị không đổi.
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Tia phân giác của góc B cắt AC ở

D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đờng thẳng
vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng:
a) BA = BH; b) Góc DBK bằng 45
0
.
Bài 15: Cho

ABC vuông cân tại A. Gọi a là một đờng thẳng nào đó đi qua đỉnh A
và không cắt đoạn BC. Dựng các đoạn thẳng BD và CE vuông góc với a.
a) Chứng minh rằng: BD + CE = DE.
b) Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng:
Góc OBD = Góc OAE; góc OAD = góc OCE.
Bài 16: Cho

ABC vuông ở A. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC ở điểm D.
Dựng đờng thẳng DH vuông góc với BC (H nằm trên BC).
a) Chứng minh AH vuông góc với BD. b)Tính góc BAH biết góc ABC bằng 70
0
.
Bài 17: Cho

ABC cân (AB = AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D và trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Dựng BH vuông góc với AD (H thuộc
AD) và CK vuông góc với AE (K thuộc AE). Chứng minh rằng:
a) BH = CK. b) BC//HK.
Bài 18: Cho góc xOy. Trên cạnh Ox lấy một điểm A và trên cạnh Oy lấy điểm B sao
cho OA = OB. Vẽ AC vuông góc với đờng thẳng chứa tia Oy và C nằm trên đờng
thẳng ấy, rồi vẽ BD vuông góc với đờng thẳng chá tia Ox và D nằm trên đờng thẳng
ấy.
a) Chứng minh: AC = BD;

b) Gọi O là giao điểm của hai đờng thẳng AC và BD. Chứng minh rằng đờng thẳng
OI chứa tia phân giác của góc xOy. (xét hai trờng hợp xOy nhọn và tù).
Bài 19: Cho

ABC đều với M và N là trung điểm của các cạnh AB, AC. Các đờng
trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở O.
a) Chứng minh rằng OM = ON.
b) Trên cạnh AB lấy một điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = CE. Tính
số đo góc DOE.
Bài 20: Cho

ABC có đờng trung tuyến AM cũng là đờng phân giác của góc A. Vẽ
MH vuông góc với AB (H thuộc AB) rồi vẽ MK vuông góc với AC (K thuộc AC).
Chứng minh rằng:
a) AH = AK ; b) HK//BC.

Năm học 2008 - 2009