CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC toán 10

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

TOÁN 10

CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG
TRÌNH và HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬT NHẤT. DẤU CỦA
NHỊ THỨC BẬT NHẤT
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Facebook: />Page: />Website: />Email:


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

§3. BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .................................................................. 2
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. .................................................................................................................................................................. 2
1. Giải và biện luận bất phƣơng trình dạng ax  b  0 . .............................................................................................................. 2
2. Hệ bất phƣơng trình bậc nhất một ẩn ....................................................................................................................................... 2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI. ....................................................................................................................... 2


DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH DẠNG

ax

b

0 . ......................................................................... 2

1. Các ví dụ minh họa. .................................................................................................................................................................. 2
2. Các bài tập luyện tập................................................................................................................................................................. 6


DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. ................................................................ 9
1. Các ví dụ minh họa. ................................................................................................................................................................... 9
3. Bài tập luyện tập. ..................................................................................................................................................................... 13

DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
MỘT ẨN. ........................................................................................................................................................................................... 16
1. Các ví dụ minh họa. ................................................................................................................................................................ 16
2. Bài tập luyện tập ....................................................................................................................................................................... 22
§4. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT .......................................................................................................................................... 26
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ................................................................................................................................................................ 26
1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó. ............................................................................................................................................. 26
a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất: .............................................................................................................................................. 26
b) Dấu của nhị thức bậc nhất ...................................................................................................................................................... 26
2. Một số ứng dụng. ......................................................................................................................................................................... 26
a) Giải bất phƣơng trình tích .................................................................................................................................................... 26
b) Giải bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẫu ................................................................................................................................ 26
c) Giải bất phƣơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ............................................................................... 27
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI. ................................................................................................................. 27


DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN. ..................................... 27
1. Các ví dụ minh họa. ................................................................................................................................................................ 27
2. Bài tập luyện tập. ..................................................................................................................................................................... 35



DẠNG 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI TOÁN. ............................ 42
1. Các ví dụ minh họa. ................................................................................................................................................................ 42
3. Bài tập luyện tập ....................................................................................................................................................................... 49

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN TỔNG HỢP LẦN 1...................................................................................................... 52

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Bài 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn...................................................................................................... 52
Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất .................................................................................................................................................... 57

§3. BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Giải và biện luận bất phƣơng trình dạng ax  b  0 .
Giải bất phƣơng trình dạng ax  b  0 (1)
 Nếu a
0 thì bất phƣơng trình có dạng 0.x  b  0
- Với b
0 thì tập nghiệm BPT là S = 
- Với b  0 thì tập nghiệm BPT là S 
 Nếu

a

0 thì 1

x

 Nếu

a

0 thì 1

x

Các bất phƣơng trình dạng

ax

b

b

b
suy ra tập nghiệm là S   ;  
a

a
b
b
suy ra tập nghiệm là S
;
a
a

0, ax b 0, ax b 0 đƣợc giải hoàn toán tƣơng tự

2. Hệ bất phƣơng trình bậc nhất một ẩn
Để giải hệ bất phƣơng trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phƣơng trình của hệ bất phƣơng trình. Khi đó tập nghiệm
của hệ bất phƣơng trình là giao của các tập nghiệm từng bất phƣơng trình.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH DẠNG ax
b 0.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây là Sai?
a) mx  6  2x  3m
A. m
).
2 bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x (có tập nghiệm là S
B. m

2 bât phƣơng trình có nghiệm là x  3 (có tập nghiệm là S

C. m

2 bât phƣơng trình có nghiệm là x

;3 )

3 (có tập nghiệm là S   3;   )

D. Cả A, B, C đều sai

x

b)

m m x 3x 4
A. m
2 bất phƣơng trình vô nghiệm
2 bât phƣơng trình có nghiệm là x
B. m
C. m  2 bât phƣơng trình có nghiệm là x

m 2
m 2

D. Cả A, B, C đều sai





c) m2  9 x  3  m 1  6x 
A. m  3 bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi
B.

m

3 bât phƣơng trình có nghiệm là x

x.
m

3

m

3

2

.

C. Cả A, B đều đúng
D. Cả A, B đều sai

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

d)

m m 2x

2

x

m2

1

A. m  2 bất phƣơng trình vô nghiệm
B. m  1 bât phƣơng trình có nghiệm là

x

C. m  1 bât phƣơng trình có nghiệm là

x

m

1
m
m 1
m 1
.
2
m
m 1
2

D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải
a) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với  m  2  x  3m  6
Với

m

2 bất phƣơng trình trở thành 0x

0 suy ra bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x .

Với m  2 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 
Với m  2 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với

3m  6
3
m2

3m
m

x

6
2

3

Kết luận

m

2 bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x (có tập nghiệm là S 
3 (có tập nghiệm là S
m  2 bât phƣơng trình có nghiệm là x

m

2 bât phƣơng trình có nghiệm là x  3 (có tập nghiệm là S

m
Với m  2 bất phƣơng trình trở thành 0x
b) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

Với

m

Với m

3;

).

;3 )
)

2 x
4 m2
0 suy ra bất phƣơng trình vô nghiệm.

4  m2
 m  2
m2
4  m2
 m  2
2 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 
m2

2 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 

Kết luận

m

2 bất phƣơng trình vô nghiệm

m  2 bât phƣơng trình có nghiệm là x
m
m  2 bât phƣơng trình có nghiệm là x  m  2
c) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2

2

m

3 x

m

3

Với

m

3 bất phƣơng trình trở thành 0x  6 suy ra bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x .

Với

m

3 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 

m3

 m  3

2

Kết luận

m

3 bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x .
m 3
m  3 bât phƣơng trình có nghiệm là x
.
2
m 3





d) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với  m3  1 x  m 2  2m  1

  m  1 x 

 m  1

2

m  m 1
2

(vì

m

2

m

1

m

1
2

2

3
4

0)

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
0x

0 suy ra bất phƣơng trình vô nghiệm.
m 1
Với m  1 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với x
2
m
m 1
m 1
Với m
1 bât phƣơng trình tƣơng đƣơng với x
m2 m 1
Với m  1 bất phƣơng trình trở thành

Kết luận

m

2 bất phƣơng trình vô nghiệm
m

1
m
m 1

m 1
.
1 bât phƣơng trình có nghiệm là x
2
m
m 1

m  1 bât phƣơng trình có nghiệm là x

m

Ví dụ 2. Tìm

m để bất phƣơng trình m 2

A. m  2 và

m

3

B. m  2 và

m

5

C. m  5 và
D.

m

2

m

m x

m

6x

2 vô nghiệm.

3

5 và m  2

Lời giải





Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với m 2  m  6 x  2  m

Rõ ràng nếu

m2

m

6

m

0

m

Với m  2 bất phƣơng trình trở thành
Với

m

3

0x

bất phƣơng trình luôn có nghiệm.

0 suy ra bất phƣơng trình vô nghiệm

3 bất phƣơng trình trở thành 0x

Vậy giá trị cần tìm là
Ví dụ 3. Tìm

A.

2

m

m

5 suy ra bất phƣơng trình vô nghiệm

2 và m  3 .

m để bất phƣơng trình 4m 2 2x

9
4

B.

7
4

m

Lời giải

4m 2

1

C.



m

5m

5
4

9 x

12m có nghiệm đúng x  .
D.

m

3
4



Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 4m2  5m  9 x  4m 2  12m

m
Dễ dàng thấy nếu
Với

m

Với

m

4m

2

5m

9

0

1 bất phƣơng trình trở thành 0x

9
bât phƣơng trình trở thành 0x
4

1

m

9 thì bất phƣơng trình không thể có nghiệm đúng x 
4

16 suy ra bất phƣơng trình vô nghiệm

27
suy ra bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x .

4

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Vậy giá trị cần tìm là m 
Ví dụ 4. Tìm
A.

9
.
4

m để bất phƣơng trình 4m 2

m

2

2m

1 x

B. m  3

C.

5m

3x

m

m

1 có tập nghiệm là [ 1;

5

D.

m

).

1

Lời giải

4m 2

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2m

m
m

Với

4m

2

1

0

2 x

4m

m

1

2 4m

1 x

4m

1

2
1 thì bất phƣơng trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x do đó không
2

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với

1
4

m

m

2 4m

1

0 bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 

Do đó để bất phƣơng trình có tập nghiệm là [1; ) thì

Với 2  m 

1
m

m

1

2

1
m2

1
  m  2  4m  1  0 bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x
4

3 (không thỏa mãn)
1
m

2

suy ra

2

m

1
không
4

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với

m

m

2

2 4m

1

0 bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x

Do đó để bất phƣơng trình có tập nghiệm là
Vậy

m

[ 1;

) thì

1
m

2

1

m

1
m

2

3 (thỏa mãn)

3 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 5: Tìm m để hai bất phƣơng trình sau tƣơng đƣơng

m

1 x
A.

m

2m

2

3

11

0 (1) và m

1 x

m

B. m  2  12

4

0 (2).
C.

m

2

12

D. m  2  11

Lời giải
* Với m  1 bất phƣơng trình (1) trở thành

0.x

1

0 (vô nghiệm), bất phƣơng trình (2) trở thành 2x  3  0  x 

do đó hai bất phƣơng trình không tƣơng đƣơng.
* Với

0.x

m
5

5
2

1 bất phƣơng trình (1) trở thành 2x  5  0  x   , bất phƣơng trình (2) trở thành
0 (nghiệm đúng với mọi x ) do đó hai bất phƣơng trình không tƣơng đƣơng.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5

3
2


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
* Với m  1 ta có 1  x 

3  2m
, 2
m 1

4 m
m 1

x

3 2m
m 1

Suy ra hai bất phƣơng trình tƣơng đƣơng

4 m
m 1

 m2  4m  7  0  m  2  11

1 suy ra m

Đối chiếu với điều kiện m

Suy ra hai bất phƣơng trình tƣơng đƣơng 

m2

4m

7

m

0

2

4 m
do đó hai bất phƣơng trình không tƣơng đƣơng.
m 1

x

3 2m
, 2
m 1

x

1 ta có 1

* Với m

11 .

3 2m
, 2
m 1

x

1 ta có 1

m

1

* Với

2

4 m
m 1

x

3  2m 4  m

m 1 m 1

11

Đối chiếu với điều kiện m  1 suy ra m  2  11
Vậy hai bất phƣơng trình tƣơng đƣơng khi

m

2

11 .

2. Các bài tập luyện tập.
Bài 4.66: Khẳng định nào sau đây là sai?
a) m(x  m)  x  1.
A. Nếu: m=1 thì

0x

B. Nếu: m>1 thì x

2 (đúng). Tập nghiệm: S=R.
m+1.

Tập nghiệm: S=

C. Nếu : m<1 thì x  m+1.

Tập nghiệm: S=

;m

1 .

1;

.

m

D. Cả A, B, C đều sai
b)

3x

m2

m(x

3).

A. Nếu: m=3 thì bất phƣơng trình 0x  0: nghiệm với mọi
B. Nếu: m>3 thì bất phƣơng trình có nghiệm x

x.

m.

C. Nếu: m<3 thì bất phƣơng trình có nghiệm x  m.
D. Cả A, B, C đều sai

Bài làm:
Bài 4.66: a)

m(x

Nếu: m=1 thì

0x

Nếu: m>1 thì x

m)

x

1

(m

1)x

m2

1

2 (đúng). Tập nghiệm: S=R.
m+1.

Tập nghiệm: S=

;m

1 .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Tập nghiệm: S=  m  1;   .

Nếu : m<1 thì x  m+1.
b)

m2

3x

m(x

(m

3)

3)x

m2

3m.

Nếu: m=3 thì bất phƣơng trình 0x  0: nghiệm với mọi

x.

Nếu: m>3 thì bất phƣơng trình có nghiệm x  m.
Nếu: m<3 thì bất phƣơng trình có nghiệm x

Bài 4.67: a) Tìm m để bất phƣơng trình

b) Tìm m để bất phƣơng trình

m

mx

2

x

m vô nghiệm.

B. m  3

A. m  1

A.

m.

1

m2 x

C. m  

9x

1

D.

3m có nghiệm đúng x

B. m  3

C.

m

m

1

.
D. m  1

Bài làm:

m

Bài 4.67: a) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với
Rõ ràng nếu
Xét

m

m

1 x

2

m

1 bất phƣơng trình luôn có nghiệm.

1 bât phƣơng trình trở thành 0x

1 suy ra bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x .

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

m2

9 x

m2

3m
x

Dễ dàng thấy nếu m2  9  0  m  3 thì bất phƣơng trình không thể có nghiệm đúng
Với m  3 bất phƣơng trình trở thành 0x
18 suy ra bất phƣơng trình vô nghiệm
Với m  3 bât phƣơng trình trở thành
Vậy giá trị cần tìm là

m

0x

0 suy ra bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x .

3.

Bài 4.68: Cho hàm số f  x    2m  1 x  3m  2 .
a) Tìm m để phƣơng trình

A.

2
3

m

b) Tìm m để

A.

4

f x
m

3

f x

0 có nghiệm x  0;1 .
B.

2
m
3

C.

m

m  3

D. 

2
m 
3


3

0 với mọi x  1; 2 .
1
B. m 
5

m
C.

m

4
1
5

D.

4

m

1
5

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Bài làm:

y  f  x  trên  0;1 là một đoạn thẳng AB với A(0; 3m  2) và B(1; m  3) nên

Bài 4.68: a) Ta có đồ thị hàm số

f  x   0 có nghiệm trên

phƣơng trình

0;1  đoạn thẳng

AB có điểm chung với trục hoành  các điểm đầu mút A, B nằm về hai phía của Ox (có thể nằm

trên Ox). Điều này có nghĩa là

f  0  . f 1  0

( 3m

2)( m

3)

2

3

0

m

b) Ta có f  x   0 với mọi x  [1; 2]  đồ thị của hàm số

3.

y  f  x  trên đoạn [1; 2] nằm trên Ox  hai đầu mút của

đoạn thẳng đó đều nằm trên Ox


f ( 1) 0
5m 1 0


m 4 0
f (2) 0

Bài 4.69: Tìm

m để bất phƣơng trình m 2x

A. m  3

B.

m

m

1
.
5

1

2x

4

1 có tập nghiệm là [1;
C. m

1

).
D. m

1

1

Bài làm:

2m

Bài 4.69: Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2 x

m

1

Với m  1 thì bất phƣơng trình vô nghiệm do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m

Do đó để bất phƣơng trình có tập nghiệm là

[1;

Với m  1 bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với
Vậy

m
2m

1 bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x

m

) thì

x

m

2m

1
2
m
2m

1
2

1

m

3 (thỏa mãn)

1
suy ra m  1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2

3 là giá trị cần tìm.

Bài 4.70: Tìm m để hai bất phƣơng trình sau tƣơng đƣơng

2

m x

2m

A. m

1

4

0 và  m  1 x  m2  4  0 .
B.

1

m

2

C. m

2

D. m  

Bài làm:
Bài 4.70: * Với

m

2 bất phƣơng trình  2  m  x  2m  4  0 (1) trở thành 0.x  8  0 (nghiệm đúng với mọi x ), bất

phƣơng trình  m  1 x  m2  4  0 (2) trở thành 3x  0  x  0 do đó hai bất phƣơng trình không tƣơng đƣơng.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
* Với

2
3

m

1 bất phƣơng trình (1) trở thành 3x  2  0  x   , bất phƣơng trình (2) trở thành 0.x  3  0 ( vô nghiệm)

do đó hai bất phƣơng trình không tƣơng đƣơng.
* Với m
* Với

2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

x

2 ta có 1

m

1

2m
m

Suy ra hai bất phƣơng trình tƣơng đƣơng
* Với m

4 m2
m 1

4
, 2
2

x

2m
m

4 m2
m 1

4
2

m

2 (loại)

1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy không có giá trị nào của

m để hai bất phƣơng trình tƣơng đƣơng.

 DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải các hệ bất phƣơng trình sau:

5x  2  4x  5
a) 
5x  4  x  2

A.

x

7

x

3
2

B. x  7

C.

x

3
2

D. Vô nghiệm

x

7
4

D.


5
6x  7  4x  7
b) 
 8x  3  2x  5
 2
A. x 

7
4

B.

x

22
7

C.

B.

x

7

C.

x

22
7


5x  2  4x  5
c)  2
2

x   x  2 
A.

1

x

1

x

7

D. Vô nghiệm


x  1  2x  3

d) 3x  x  5
 5  3x

 x3
 2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

A.

11
5

5
2

x

B. x  2

C.

11
5

x

D.

x

D.

m

5
2

Lời giải
a) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

x  7
5x  2  4x  5



3
5x  4  x  2
x 

2

Suy ra hệ bất phƣơng trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

5
7
3

6x
8x
2

4x

7

x

2x

5

x

22
7
7
4

7
4

x

Vậy hệ bất phƣơng trình có nghiệm là x 

7
4

x

c) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

7

x

1

1

x

7

11
5

x

5

2

Vậy hệ bất phƣơng trình có nghiệm là 1  x  7 .

x
d) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

2
5
2
11
5

x
x

Vậy hệ bất phƣơng trình có nghiệm là

11
5

x

5
.
2

Ví dụ 2. Tìm m để hệ bất phƣơng trình sau có nghiệm.
a)

2x

1

m m

x
1 x

2
4m

A. m  0

m
B.

3m 2

2 x

m

0

6
C. m  0

0

 m  mx  1  2

b) 

m  mx  2   2m  1

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

A.

1
3

m

B. m 

1
3

C.

m

1
3

D. m 

1
3

Lời giải
a) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

x
m2

2 x

Suy ra hệ bất phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy

m

3m 2

4m

6

3m

x

3

2

4m
m
2

6

2

3m 2  4m  6
3m0.
m2  2

0 là giá trị cần tìm.

b) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

m 2x

m

2

m 2x

4m

1

Với m  0 ta có hệ bất phƣơng trình trở thành

Với

x

3

m

0x

2

0x

1

0 ta có hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

suy ra hệ bất phƣơng trình vô nghiệm

x
x

Suy ra hệ bất phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy m 

m 2
m2

m 2
m2
4m 1
m2
4m 1
m2

m

1
3

1
là giá trị cần tìm.
3

Ví dụ 3. Tìm m để hệ bất phƣơng trình sau vô nghiệm.
2

 x  3   x 2  7x  1
a) 

2m  8  5x

A. m 

b)

mx

2 x
A.

72
13

1

x
5 x

3

m

B. m 

1

72
13

C.

m

72
13

D.

C.

m

1

D.Vô nghiệm

m

72
13

1
4
B. m  1

Lời giải

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

8
13
2m

x
a) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

x

Vậy m 

5
2m 8
5

8
13

Suy ra hệ bất phƣơng trình vô nghiệm

8
72
13

m

72
là giá trị cần tìm.
13

m
b) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

1 x

14
3

x
0x

Với m  1 hệ bất phƣơng trình trở thành

2

2
14 (hệ bpt vô nghiệm)
3

x


2
x  m  1
Với m
suy ra hệ bất phƣơng trình vô nghiệm
1 hệ bất phƣơng trình 
 x  14

3
2
14
4



 6  14  m  1  m 
m 1 3
7
Do đó m  1 thì hệ bất phƣơng trình vô nghiệm

2
x  m  1
Với m
(hệ bpt luôn có nghiệm)
1 hệ bất phƣơng trình 
 x  14

3
1.
Vậy giá trị cần tìm là m

2m x

Ví dụ 4. Tìm m để hệ bất phƣơng trình

A.

m

1
4

B. m 

4mx

x

1
3

3

4x

3
4

C.

m

có nghiệm duy nhất.

1

D. m 

1
2

Lời giải


 2m  1 x  3  2m

Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 

  4m  4  x  3
Giả sử hệ bất phƣơng trình có nghiệm duy nhất thì

 8m 2  26m  15  0  m 

3
hoặc
4

m

m

3
4m

4

5
2
 3

Với

3 2m
2m 1



3

3
x  3
 1 x  3 
x3
hệ phƣơng trình trở thành  2 
2
x3
4


x  3


GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

Với

4x
5
hệ phƣơng trình trở thành
6x
2

m

Vậy giá trị cần tìm là

2
3

1
2

x

3
.
4

m

3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.71: Giải các hệ bất phƣơng trình sau:

 4x  5
 x3

a)  7
 3x  8  2x  5
 4
A.

26

28
x
3
5



28
5

26
x
3

C.

x

13
14

C.

5
13
x
78
14

D. Vô nghiệm

B. x  75

C.

x  75

D.

21
5

C.



B. 

D. Vô nghiệm

4
1
 3  12x  x  2
b) 
 4x  3  2  x
 2
3
A.

5

x
78

B. x 

x
4
 2  x  3
c) 
 2x  9  19  x
 3
2
A.

x  12

x

11
d)

2x

2
2 3x
A.



5

x

1

x  75

8
2

12
21
x
11
5

B. x 

12
x
11

D. Vô nghiệm

Bài làm:
Bài 4.71: a)
c) x  75



26

28
5
13
x
x
b)
3
5
78
14
d)



12
21
x
11
5

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

Bài 4.72: Tìm m để hệ bất phƣơng trình sau có nghiệm.
a)

4 x

x

3
m

1

3 x

3

1

A. m  1

B.

m

2

C. m  0

D.

m

2

2  x  5   3(x  4)


b) 3x  8  5  x  8 

m  x  2    m  1 x  m  2
A.

m

2

C. m

B. m  2

1

D. m  1

Bài làm:
Bài 4.72: a) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

x
x

2
1

m

Suy ra hệ bất phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 2  1  m  m  1

Vậy m

1 là giá trị cần tìm.

x
b) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

x
x

2
4
m

2
x

2

x
m

4
2

Suy ra hệ bất phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khi

m  2  4  m  2
Vậy

m

2 là giá trị cần tìm.

Bài 4.73: Tìm
a)

m để hệ bất phƣơng trình sau vô nghiệm.

2x

7

8x

m

5

2x

m

3

A.

1

B. m

3

C.

m

3

D. m

C.

m

3

D. m  3

3

3x  5  x  1

2
2
b)  x  2    x  1  9

mx  1   m  2  x  m
A.

m

3

B. m  3

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Bài làm:
x  1

Bài 4.73: a) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 
m5
x 

2

m

1

Suy ra hệ bất phƣơng trình vô nghiệm

5
2

m

3

Vậy m  3 là giá trị cần tìm.

x
b) Hệ bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

3

x

1
m

x

m

x

1

1
1

2

2

m

Suy ra hệ bất phƣơng trình vô nghiệm

x

3

1
2

1

m

3

Vậy m  3 là giá trị cần tìm.

Bài 4.74: Tìm

A. 


x  y
.
m để phƣơng trình 15x2  11xy  2y2  7 có nghiệm thỏa mãn  2
2
m
x


3
my

0



9
m0
2

B.

m0

C. m  0

D.Vô nghiệm

Bài làm:
Bài 4.74: Ta thấy nếu
Với y  0 . Đặt

y  0 thì phƣơng trình vô nghiệm

x  ty khi đó





15x2  11xy  2y2  7  y 2 15t 2  11t  2  7


y(t  1)  0
x  y
(*)

 2

2
2
m
x

3
my

0
y
(2
m
t

3
m
)

0




Phƣơng trình có nghiệm  15t 2  11t  2  0   3t  1 5t  2   0 

Do đó

1
2
t
3
5


y0

(*)   2
2m t  3m  0



 1
2
t 

Nhƣ vậy ta cần tìm m để hệ bất phƣơng trình  3
5 (**) có nghiệm với ẩn t .
2m 2t  3m  0

Với m  0 thì hệ bất phƣơng trình (**) có nghiệm

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

2
1

t

 3
5
Với m  0 (**)  
do đó
3
t  

2m
 m  0

 m   9
3
1

2   9  m  0.
Hệ bất phƣơng trình (**) có nghiệm  
  
m  0

2m 3
2

9

 m  2

Vậy 

9
 m  0 là những giá trị cần tìm.
2

DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
MỘT ẨN.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho bất phƣơng trình tham số

A. 0  m 

mx

m 1
x 1

0 , Khẳng định nào sau đây sai?

1
tập nghiệm bất phƣơng trình là S
2

;1

B. m 

1
tập nghiệm bất phƣơng trình là
2

S

\ 1

C. m 

1
tập nghiệm bất phƣơng trình là S
2

;

D. m  0 tập nghiệm bất phƣơng trình là

S

1

\ 2;

m

m

1

1

m
;
m

1;

m
m

Lời giải
ĐKXĐ:

x

1

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

x
mx

m

1

1


x1
(3) hoặc 
(4)
0
mx  m  1  0

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

x
+ TH1:

Nếu

1

m

0 ta có (3)

m
m

m

1

x

1
1

 x1

và (4)  
1 m
x 

m

m
m

1
khi đó (3)
2

m
và (4)  x  1
m

1

x

 1 m

Suy ra nghiệm của bất phƣơng trình là x   ;1  
;  
m


Nếu

1

m
m

1

m

1
khi đó (3)  x  1 và (4)
2

Suy ra nghiệm của bất phƣơng trình là
Nếu

1 m
1
 1  m  khi đó (3)
m

2

1 và (4)  x 

x

x
0x

Suy ra nghiệm của bất phƣơng trình là

1

\ 1

x

Suy ra nghiệm của bất phƣơng trình là

+ TH2: m  0 ta có (3) trở thành

x

x

;
1

1

x

1

m
m

1;
 x1
(vô nghiệm)
0x  1  0

x

0

1 m
m

1 , (4) trở thành 

1;

 x1
 x1


+ TH3: m  0 ta có (3)  
và
(4)



1 m
1 m
x

x 


m

m
Nếu

1

m
m

Suy ra với

m

1

m

1
 1 m 
khi đó (3)  x   1;

 và (4)
m 
2


x

;1

1

m
;
m

 1 m 

m 


0 nghiệm của bất phƣơng trình là x  \ 1;

Kết luận

0

m

1
 1 m


;  
tập nghiệm bất phƣơng trình là S   ;1  
2
 m


m

1
tập nghiệm bất phƣơng trình là S  \1
2

m

1
tập nghiệm bất phƣơng trình là S
2

m

0 tập nghiệm bất phƣơng trình là S

;

1

m
m

1;

1;

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
m  0 tập nghiệm bất phƣơng trình là S

Ví dụ 2: Cho bất phƣơng trình
a) Giải bất phƣơng trình khi

m

2
A. S  ( ;  ]
3

b) Tìm

m

\ 1;

1

m
m



4 xm3  2.

2

1
B.

2
;
3

S

C.

S

D.

S

m để bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x

A.

m

2

B.

m

2

C. m  2

D.Không tồn tại m

Lời giải

m
3x

a) Khi

3x

1 bất phƣơng trình trở thành
2 0
2
x
2 4
3

3x

Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình là



S

(

;



2

2

2
]
3

b) ĐKXĐ: m2  4 x  m  3  0 (*)
Giả sử bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi
Suy ra

m

m
Với m

2

4

m

0

x thì khi đó (*) đúng mọi x

2

2 ta có bất phƣơng trình trở thành 0.x  2  3  2 (vô nghiệm)
2 ta có bất phƣơng trình trở thành 0.x  2  3  2 (đúng với mọi x )

Với

Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho bất phƣơng trình
a) Giải bất phƣơng trình khi

m

x 1(x
2

2m

A. S  1  [2; )
C.

S

b) Tìm m để mọi
A.

m

3
2

x

2)

0
B.

S

D.

S

1

;2

2; 3 đều là nghiệm của bất phƣơng trình đã cho.
B.

3
2

m

2

C. m  2

D.

m

3
2

Lời giải
a) Khi

m

2 bất phƣơng trình trở thành x  1(x  2)  0

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

x

x
x

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

1
1
2

0
0
0

 x1
x  1

  x  1  
x  2
 x  2

Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình là

S

1

).

x 1 0
x 1 0

b) Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

x
+ TH1: 2m  2  1  m 

[2;

2m


x1

  x  1

0  x  2m  2

2

 x1
3
: Ta có bất phƣơng trình  
2
 x  2m  2

Suy ra tập nghiệm bất phƣơng trình là

S

1

[2m

2;

).

Do đó mọi x   2; 3 đều là nghiệm của bất phƣơng trình (*)

2;3

S

2m

3
2

m

2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Suy ra

2

+ TH2: 2m  2  1  m 

m

2

2

3
: Ta có bất phƣơng trình
2

x

1

x

1

x

1

3
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
3
x  1
1
m
+ TH3: 2m 2
: Ta có bất phƣơng trình  
 x1

2
x  1
3
Suy ra m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
2.
Vậy giá trị cần tìm là m
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để
8
a) Bất phƣơng trình mx  4  0 (1) nghiệm đúng với mọi x
Suy ra

m

A.

1
2

b) Bất phƣơng trình
A. m  

1
2

m

3
2

B.

mx
x

2

1

m

2m
B.

m

0

3

C.

m

0

0 (2) nghiệm đúng với mọi x

3

2

C.

m

0

D. 

(0;

1
m0
2

)
D.

3
2

m

0

Lời giải

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19

[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
a) Cách 1: Ta có x  8  8  x  8  x   8; 8 
+ TH1:

m

0 ta có (1)  mx  4  x  

Suy ra tập nghiệm bất phƣơng trình (1) là

4
m

4
;
m

S

Bất phƣơng trình (1) nghiệm đúng với mọi

x

8 khi và chỉ khi

 8; 8   S   m  8  m  2
4

Suy ra

1

1
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2

m

0

+ TH2: m  0 khi đó bất phƣơng trình (1) trở thành 0.x

4

0 (đúng với mọi x )

Do đó m  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH3:

m

0 ta có (1)  mx  4  x  

Suy ra tập nghiệm bất phƣơng trình (1) là

4
m

S

Bất phƣơng trình (1) nghiệm đúng với mọi

4
m

;

x

8 khi và chỉ khi

 8; 8   S   m  8  m   2
4

1
2

Suy ra
Vậy 

1

m

0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1
1

 m  là giá trị cần tìm.
2
2

Cách 2: Bất phƣơng trình (1) nghiệm đúng với mọi

Xét hàm số

f (x )

f x

mx

8m
8m

Vậy 

mx

4
4

0
0

8 khi và chỉ khi mx

4

0, x

8; 8

4 . Ta biết đồ thị là một đƣờng thẳng do đó

0, x

4

x

m

8; 8

1
2

m

1
2

f ( 8)
f (8)

1
2

m

0
0

1
2

1
1
 m  là giá trị cần tìm.
2
2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

b) Đặt

x

t

x

2

bất phƣơng trình trở thành mt

1

Với x  0 ta có

x
x

x

2

1

2 x

2m

t

1
m
2

3

2m

0

x

0
3

) khi và chỉ khi bất phƣơng trình mt  2m  3  0 đúng với mọi

m

3
2
2

b

0, x

m
0

(0;

3
2

m

3

là giá trị cần tìm.
2

Vậy m  

Nhận xét : Bất phƣơng trình

f x

3

1
1
khi đó 0  t 
2
2

2

Bất phƣơng trình (2) nghiệm đúng với mọi

1
(0; ]
2

2m

ax

b

f x

0, x

Ví dụ 5: Cho phƣơng trình

ax

;

1 x2

m

f

0

f

0

4m

;

f

0

f

0

, Bất phƣơng trình

. Các trƣờng hợp khác tƣơng tự.

3 x

4m

1

0 (1). Tìm m để phƣơng trình (1)

a) Có một nghiệm lớn hơn 2 và một nghiệm nhỏ hơn 2.
A. m  1

B.

m

1

C. m  1

D. Vô nghiệm

C. m  1

D. m  

b) Có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2
A.

m

1

B. 

5
 m  1
4

5
4

Lời giải
Đặt

y

x

2

x

y

2 khi đó phƣơng trình (1) trở thành

 m  1 y  2    4m  3 y  2   4m  1  0
2

m

1 y2

4 m

1 y

4 m

1

4m

3 y

2 4m

3

4m

1

0

  m  1 y2  y  1  0 (2)
a) Phƣơng trình (1) có một nghiệm lớn hơn 2 một nghiệm nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phƣơng trình (2) có hai nghiệm trái
+ TH1: Với

m

1 phƣơng trình (2) trở thành y  1  0  y  1 suy ra m

1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: Với m  1 phƣơng trình (2) là phƣơng trình bậc hai do đó nó có hai nghiệm trái dấu

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
P

1

0

m

Vậy với m

m

0

1

1

m

0

1

1 thì phƣơng trình (1)

b) Ta có phƣơng trình (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 khi và chỉ khi phƣơng trình (2) có ít nhất một
nghiệm dƣơng.
 Với

m

1 phƣơng trình (2) trở thành y  1  0  y  1 suy ra m

1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

 Với m  1 phƣơng trình (2) là phƣơng trình bậc hai
+ TH1: Phƣơng trình (2) có hai nghiệm dƣơng phân biệt

0
S

0

P

0

1

4 m

1

1
m
m

1

0
0

1

0

1

5
4
1

m
m

+ TH2: Phƣơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu

5
4

m

m

1

1 (theo câu a)

+ TH3: Phƣơng trình (2) có nghiệm kép dƣơng

5
1  4  m  1  0

  0
5

m  




4 m
1
4
S  0
  m 1  0
 m  1


+ TH4: Phƣơng trình (2) có một nghiệm dƣơng và một nghiệm bằng không


1
  m 1  0
S  0


1
 P  0  
(không tồn tại giá trị nào của

0
Δ  0
 m 1


1  4  m  1  0
Vậy

m )

5
là giá trị cần tìm.
4

m

Nhận xét: Để so sánh nghiệm phƣơng trình bậc hai ax2  bx  c  0 với số thực

ta đặt

y

x

và quy về việc xét

dấu nghiệm của phƣơng trình bậc hai
2. Bài tập luyện tập
Bài 4.75: Cho bất phƣơng trình
A. m
B.

m

2x  m  1
 0 . Khẳng định nào sau đây là sai?
x1
 1 m


;  
 2


3 tập nghiệm bất phƣơng trình là S   ; 1  

3 tập nghiệm bất phƣơng trình là S

\

1

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

C. m  3 tập nghiệm bất phƣơng trình là

S

;

m

1

1;

2

.

D. Cả A, B, C đều sai

Bài làm:
Bài 4.75: ĐKXĐ:

x

1

Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với

x
Ta có (1)

Nếu

x

m

1
2

1
m

1
2

1

x
2x

1
m

1

0

x

(1) hoặc

2x

1
m

1

0

1

0

(2)

 x  1

, (2)  
1 m
x 

2

m

3 thì (1)

x

m

1
2

, (2)

x

1

 1 m

Suy ra bất phƣơng trình có nghiệm là x   ; 1  
;  
 2

Nếu

m

1
2

1

m

3 thì (1)  x  1 , (2)

Suy ra bất phƣơng trình có nghiệm là x 

Nếu

m

1
2

1

m

x

1

\1

x

3 thì (1)  x  1 , (2)

m

1
2


1 m 
Suy ra nghiệm của bất phƣơng trình là x   ;
   1;  
2 

Kết luận

m

3 tập nghiệm bất phƣơng trình là S

m

3 tập nghiệm bất phƣơng trình là S  \1

m  3 tập nghiệm bất phƣơng trình là S

Bài 4.76: Tìm điều kiện của

;

m để phƣơng trình 2x 2

2

m

1

m

1

; 1

2

2m

;

1;

1 x

.

m

a) Có hai nghiệm khác dấu

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
m 1

A. 
3
m 

2

B. m

1

C. m 

3
2

D. Vô nghiệm

1

C. m 

3
2

D. Vô nghiệm

b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm

m 1

A. 
3
m 

2

B. m

c) Có hai nghiệm phân biệt đều dƣơng

m 1

A. 
3

m 

2

B. m  1

C.

3
2

m

D. Vô nghiệm

d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

A.

m

1

m

3
2

C. m 

B. m  1

1
2

D. Vô nghiệm

Bài làm:
Bài 4.76: a) Phƣơng trình có hai nghiệm khác dấu khi

P

0 hay m

1

0

m

1.

b) Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi


 2m  3 2  0
m 1
Δ  0



 S  0   1  2m  0  
3
P  0
 m 1  0
m 

2


c) Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dƣơng khi

S
P

0
0
0

2m 3
1 2m
m 1

2

0
0
0

không có giá trị nào của m thoả mãn

d) Phƣơng trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hay phƣơng trình có hai nghiệm đối nhau .

Δ  0
1
 1  2m  0  m  .
Phƣơng trình có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi 
2
S  0
Bài 4.77: Cho bất phƣơng trình

4

x

m2

1 x

5m 2

0 . Khẳng định nào sau đây là sai?

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24