TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC TOÀN TẬP

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
 
≥
 ÷
 
3
3 3
a b a b
2 2
2. Chứng minh:
+ +
≤
2 2
a b a b
2 2
3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh:
+ +
≥
3 3
3
a b a b
2 2
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+ ≥ +
a b
a b
b a

5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1:
+ ≥
+
+ +
2 2
1 1 2
1 ab
1 a 1 b
6. Chứng minh:
( )
+ + + ≥ + +
2 2 2
a b c 3 2 a b c
; a , b , c ∈ R
7. Chứng minh:
( )
+ + + + ≥ + + +
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
8. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2 2
x y z xy yz zx
9. a. Chứng minh:
+ + + +
≥ ≥
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3
b. Chứng minh:

+ + + +
 
≥
 ÷
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3
10. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2
2 2
a
b c ab ac 2bc
4
11. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2
a b 1 ab a b
12. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz
13. Chứng minh:
+ + + ≥ − + +
4 4 2 2
x y z 1 2xy(xy x z 1)
14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì:
+ ≥

3 3
1
a b
4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
– a
4
– b
4
– c

4
> 0
1
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+ + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0
2. Chứng minh:
+ + + + ≥ ≥
2 2 2
(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
3. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
( )
+ + + ≥ +
3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc
với a , b , c ≥ 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   
m m
m 1
a b
1 1 2
b a

, với m ∈ Z
+

5. Chứng minh:
+ + ≥ + + ≥
bc ca ab
a b c ; a,b,c 0
a b c
6. Chứng minh:
+
≥ − ≥
6 9
2 3
x y
3x y 16 ; x,y 0
4
7. Chứng minh:
+ ≥ −
+
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
.
8. Chứng minh:
( )
> −
1995
a 1995 a 1

, a > 0
9. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
+ + + + + ≥
2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a 6abc
.
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
 
+ + ≤ + +
 ÷
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c
11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh:
≥ − + −ab a b 1 b a 1
.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( ) ( )
≥ − −
3
a 3 a b b c c
.
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc

c)
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+ ≥
−
1
x 3
x y y
16. Chứng minh:
a)
+
≥
+
2
2
x 2
2
x 1
,∀x ∈ R b)
+
≥
−
x 8

6
x 1
, ∀x > 1 c)
+
≥
+
2
2
a 5
4
a 1
17. Chứng minh:
+ +
+ + ≤ >
+ + +
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
18. Chứng minh:
+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
, ∀x , y ∈ R
19. Chứng minh:
+ + ≥
+ + +

a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
2
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
+ + ≤
+ + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a.
+ + + ≥
4
a b c d 4 abcd
với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)
b.
+ + ≥
3
a b c 3 abc
với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số )
22. Chứng minh:
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
; a , b , c > 0
23. Chứng minh:
+ + ≥

3 9
4
2 a 3 b 4 c 9 abc
24. Cho
= +
x 18
y
2 x
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
25. Cho
= + >
−
x 2
y ,x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
26. Cho
= + > −
+
3x 1
y , x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
27. Cho
= + >
−
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. Định x để y đạt GTNN.

28. Cho
= +
−
x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
29. Cho
+
=
3
2
x 1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
30. Tìm GTNN của
+ +
=
2
x 4x 4
f(x)
x
, x > 0.
31. Tìm GTNN của
= +
2
3
2
f(x) x

x
, x > 0.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
− ≤ ≤
5
x 5
2
. Định x để y đạt GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
−
1
2
≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN
37. Cho
=
+
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN

38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
3
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2
≤ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) BĐT Bunhiacopxki
2. Chứng minh:
+ ≤sinx cos x 2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b

2
≥ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
≥
725
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
≥
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
≥ 2.
7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh:
+ ≥
2 2
1
a b
2
Lời giải :

I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
 
≥
 ÷
 
3
3 3
a b a b
2 2
(*)
(*) ⇔
+ +
 
− ≥
 ÷
 
3
3 3
a b a b
0
2 2
⇔
( ) ( )
+ − ≥
2
3
a b a b 0
8

. ĐPCM.
2. Chứng minh:
+ +
≤
2 2
a b a b
2 2
()
 a + b ≤ 0 , () luôn đúng.
 a + b > 0 , () ⇔
+ + +
− ≤
2 2 2 2
a b 2ab a b
0
4 2
⇔
( )
−
≥
2
a b
0
4
, đúng.
Vậy:
+ +
≤
2 2
a b a b

2 2
.
3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh:
+ +
≥
3 3
3
a b a b
2 2
⇔
( )
+ +
≤
3
3 3
a b a b
8 2

⇔
( )
( )
− − ≤
2 2
3 b a a b 0
⇔
( ) ( )
− − + ≤
2
3 b a a b 0
, ĐPCM.

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+ ≥ +
a b
a b
b a
()
() ⇔
+ ≥ +a a b b a b b a
⇔
( ) ( )
− − − ≥a b a a b b 0
⇔
( )
( )
− − ≥a b a b 0
⇔
( ) ( )
− + ≥
2
a b a b 0
, ĐPCM.
5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1:
+ ≥
+
+ +
2 2
1 1 2
1 ab
1 a 1 b
()

4
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
⇔
+ − − ≥
+ +
+ +
2 2
1 1 1 1
0
1 ab 1 ab
1 a 1 b
⇔
( )
( )
( )
( )
− −
+ ≥
+ + + +
2 2
2 2
ab a ab b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
⇔
( )
( )
( )
( )
( )

( )
− −
+ ≥
+ + + +
2 2
a b a b a b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
⇔
−
 
− ≥
 ÷
+
+ +
 
2 2
b a a b
0
1 ab
1 a 1 b
⇔
( ) ( )
 
− + − −
≥
 ÷
 ÷
+
+ +

 
2 2
2 2
b a a ab b ba
0
1 ab
1 a 1 b
⇔
( ) ( )
( )
( ) ( )
− −
≥
+ + +
2
2 2
b a ab 1
0
1 ab 1 a 1 b
, ĐPCM.
 Vì : a ≥ b ≥ 1 ⇒ ab ≥ 1 ⇔ ab – 1 ≥ 0.
6. Chứng minh:
( )
+ + + ≥ + +
2 2 2
a b c 3 2 a b c
; a , b , c ∈ R
⇔
( ) ( ) ( )
− + − + − ≥

2 2 2
a 1 b 1 c 1 0
. ĐPCM.
7. Chứng minh:
( )
+ + + + ≥ + + +
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
⇔
− + + − + + − + + − + ≥
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
ab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4
⇔
       
− + − + − + − ≥
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2
. ĐPCM
8. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2 2
x y z xy yz zx
⇔

+ + − − − ≥
2 2 2
2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0

⇔
( )
( )
( )
− + − + − ≥
2 2
2
x y x z y z 0
9. a. Chứng minh:
+ + + +
≥ ≥
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3

+ + ≥ + +
2 2 2
a b c ab bc ca

+ + + + + + + + +
 
= ≥
 ÷
 
2
2 2 2

a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
3 9 3
⇔
+ + + +
≥
a b c ab bc ca
3 3
b. Chứng minh:
+ + + +
 
≥
 ÷
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3


( ) ( )
+ + = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 a b c a b c 2 a b c
( ) ( )
≥ + + + + + = + +
2
2 2 2
a b c 2 ab bc ca a b c
⇒
+ + + +

 
≥
 ÷
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3
10. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2
2 2
a
b c ab ac 2bc
4
5
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
⇔
( )
− − + + − ≥
2
2 2
a
a b c b c 2bc 0
4
⇔
( )
 
− − ≥
 ÷

 
2
a
b c 0
2
.
11. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2
a b 1 ab a b
⇔
+ + − − − ≥
2 2
2a 2b 2 2ab 2a 2b 0

⇔
− + + + + + + + ≥
2 2 2 2
a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0

⇔
( ) ( ) ( )
− + − + − ≥
2 2 2
a b a 1 b 1 0
.
12. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz

⇔
+ + − + − ≥
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz 0
⇔ (x – y + z)
2
≥ 0.
13. Chứng minh:
+ + + ≥ − + +
4 4 2 2
x y z 1 2x(xy x z 1)
⇔
+ + + − + − − ≥
4 4 2 2 2 2
x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0
⇔
( )
( ) ( )
− + − + − ≥
2
2 2
2 2
x y x z x 1 0
.
14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì:
+ ≥
3 3
1
a b
4

° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b
3
= (1 – a)
3
= 1 – a + a
2
– a
3

⇒ a
3
+ b
3
=
 
− + ≥
 ÷
 
2
1 1 1
3 a
2 4 4
.
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2

< 2(ab + bc + ca).
 ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2
⇔ (a – b)
2
+ (a – c)
2
+ (b – c)
2


> − > − > −a b c , b a c , c a b

⇒
> − +
2 2 2
a b 2bc c
,
> − +
2 2 2
b a 2ac c
,
> − +
2 2 2
c a 2ab b

⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

( )
> − −
2
2 2
a a b c
⇒
( ) ( )
> + − + −
2
a a c b a b c

( )
> − −
2
2 2
b b a c
⇒
( ) ( )
> + − + −
2
b b c a a b c


( )
> − −
2
2 2
c c a b
⇒
( ) ( )
> + − + −
2
c b c a a c b
⇒
( ) ( ) ( )
> + − + − + −
2 2 2
2 2 2
a b c a b c a c b b c a
⇔
( ) ( ) ( )
> + − + − + −abc a b c a c b b c a
c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2

a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0
⇔ 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – a
4
– b
4
– 2a
2
b
2
– c
4
> 0

⇔ 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – (a
2
+ b
2
)
2
– c
4
> 0
⇔ (2ab)
2
– [(a
2
+ b
2
) – c
2
]
2
> 0 ⇔ [c

2
– (a – b)
2
][(a + b)
2
– c
2
] > 0
⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng
° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
6
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+ + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:
⇒
+ ≥a b 2 ab
,
+ ≥b c 2 bc
,
+ ≥a c 2 ac
⇒
( ) ( ) ( )
+ + + ≥ =
2 2 2
a b b c a c 8 a b c 8abc
.
2. Chứng minh:

+ + + + ≥ ≥
2 2 2
(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
⇒
+ + ≥
3
a b c 3 abc
,
+ + ≥
3
2 2 2 2 2 2
a b c 3 a b c
⇒
( )
( )
+ + + + ≥ =
3
2 2 2 3 3 3
a b c a b c 9 a b c 9abc
.
3. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
( )
+ + + ≥ +
3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc
, với a , b , c ≥ 0.


( ) ( ) ( )
+ + + = + + + + + + +
1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.

+ + ≥
3
a b c 3 abc
,
+ + ≥
3
2 2 2
ab ac bc 3 a b c

( ) ( ) ( )
( )
+ + + ≥ + + + = +
3
3
2 2 2
3 3
1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   
m m
m 1
a b

1 1 2
b a
, với m ∈ Z
+


+
         
+ + + ≥ + + = + +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
≥ =
m m m m m
m m 1
a b a b b a
1 1 2 1 . 1 2 2
b a b a a b
2 4 2
5. Chứng minh:
+ + ≥ + + >
bc ca ab
a b c ; a, b, c 0
a b c
 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
+ ≥ =
2
bc ca abc
2 2c
a b ab
,

+ ≥ =
2
bc ba b ac
2 2b
a c ac
,
+ ≥ =
2
ca ab a bc
2 2a
b c bc
⇒
+ + ≥ + +
bc ca ab
a b c
a b c
.
6. Chứng minh:
+
≥ − ≥
6 9
2 3
x y
3x y 16 ; x,y 0
4
()
() ⇔
+ + ≥
6 9 2 3
x y 64 12x y

⇔
( )
( )
+ + ≥
3
3
2 3 3 2 3
x y 4 12x y
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:
( )
( )
+ + ≥ =
3 3
2 3 3 2 3 2 3
x y 4 3x y 4 12x y
.
7
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
7. Chứng minh:
+ ≥ −
+
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
()
() ⇔
+ + + + ≥
+

4 4 2 2
2
1
a a a 1 4a
1 a
.
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm:
+
+
4 4 2
2
1
a , a , a 1,
1 a
( )
+ + + + ≥ + =
+ +
4 4 2 4 4 2 2
4
2 2
1 1
a a a 1 4 a a a 1 4a
1 a 1 a
8. Chứng minh:
( )
> −
1995
a 1995 a 1
() , a > 0
() ⇔

> − ⇔ + >
1995 1995
a 1995a 1995 a 1995 1995a


+ > + = + + + + ≥ =
1 4 2 4 3
1995
1995 1995 1995 1995
1994 soá
a 1995 a 1994 a 1 1 ... 1 1995 a 1995a

9. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
+ + + + + ≥
2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a 6abc
.
°
( ) ( ) ( )
+ + + + + = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
°
+ + + + + ≥ =
6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6
a a b b b c c c a 6 a b c 6abc
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:

 
+ + ≤ + +
 ÷
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c
°
≤ =
+
2 2
a a 1
2ab 2b
a b
,
≤ =
+
2 2
b b 1
2bc 2c
b c
,
≤ =
+
2 2
c c 1
2ac 2a
a c

° Vậy:
 
+ + ≤ + +
 ÷
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c
11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh:
≥ − + −ab a b 1 b a 1
.
°
( ) ( )
= − + ≥ − = − + ≥ −a a 1 1 2 a 1 , b b 1 1 2 b 1
°
≥ − ≥ −ab 2b a 1, ab 2a b 1
°
≥ − + −ab a b 1 b a 1
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
°
( ) ( )
= − + = − + + + −x x 1 1 x 1 x y z 3
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )

= − + − + − + − ≥ − − −
2
4
x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1

Tương tự:
( )
( )
( )
≥ − − −
2
4
y 4 x 1 y 1 z 1
;
( )
( )
( )
≥ − − −
2
4
z 4 x 1 y 1 z 1
⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( ) ( )
≥ − −
3
a 3 a b b c c
.
°
( ) ( ) ( ) ( )

= − + − + ≥ − −
3
a a b b c c 3 a b b c c
8
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
°
+
 
≥
 ÷
 
2
b c
bc
2
⇔
( )
+ −
   
≤ = = −
 ÷  ÷
   
2 2
2
b c 1 a
16abc 16a 16a 4a 1 a
2 2
°

( ) ( )
( )
( ) ( )
 
− = − − = − − − ≤ − = +
 
2 2
2
4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc
° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥
=2 bc.2 ac.2 ab 8abc
c)
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c
°
+ + +
   
+ = ≥
 ÷  ÷
   
4
2
1 a a b c 4 a bc
1

a a a
°
+ ≥
4
2
1 4 ab c
1
b b
°
+ ≥
4
2
1 4 abc
1
c c

   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+ ≥
−
1
x 3
x y y


( )
( )
( )
( )
−
= − + + ≥ =
− −
3
x y y
1
VT x y y 3 3
x y y x y y
16. Chứng minh:
a)
+
≥
+
2
2
x 2
2
x 1
⇔
+ ≥ +
2 2
x 2 2 x 1
⇔
+ + ≥ +
2 2

x 1 1 2 x 1
b)
+
−
x 8
x 1
=
− +
= − + ≥ − =
− − −
x 1 9 9 9
x 1 2 x 1 6
x 1 x 1 x 1
c.
( ) ( )
+ + ≥ + = +
2 2 2
a 1 4 2 4 a 1 4 a 1
⇔
+
≥
+
2
2
a 5
4
a 1
17. Chứng minh:
+ +
+ + ≤ >

+ + +
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
° Vì :
+ ≥a b 2 ab
⇒
≤ =
+
ab ab ab
a b 2
2 ab
,
≤ =
+
bc bc bc
b c 2
2 bc
,
≤ =
+
ac ac ac
a c 2
2 ac
°
+ + ≥ + +a b c ab bc ca
, dựa vào:
+ + ≥ + +
2 2 2
a b c ab bc ca

.
°
+ + + +
+ + ≤ ≤
+ + +
ab bc ca ab bc ac a b c
a b b c c a 2 2
9
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
18. Chứng minh:
+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
, ∀x , y ∈ R
°
( )
= ≤ =
+
+
2 2 2
4 2 2
x x x 1
8
1 16x 2.4x
1 4x
°

( )
= ≤ =
+
+
2 2 2
4 2 2
y y y 1
8
1 16y 2.4y
1 4y

+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
19. Chứng minh:
+ + ≥
+ + +
a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
° a + b + c =
1
2
(X + Y + Z)
°

+ − + − + −
= = =
Y Z X Z X Y X Y Z
a , b , c
2 2 2
°
 
     
+ + = + + + + + −
 ÷  ÷  ÷
 
+ + +      
 
a b c 1 Y X Z X Z Y
3
b c a c a b 2 X Y X Z Y Z
[ ]
≥ + + − =
1 3
2 2 2 3
2 2
.
Cách khác:
°
     
+ + = + + + + + −
 ÷  ÷  ÷
+ + + + + +
     
a b c a b c

1 1 1 3
b c a c a b b c a c a b
( ) ( ) ( )
[ ]
 
= + + + + + + + −
 ÷
+ + +
 
1 1 1 1
a b b c c a 3
2 b c a c a b
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
°
( ) ( ) ( )
[ ]
 
+ + + + + + + ≥ − =
 ÷
+ + +
 
1 1 1 1 9 3
a b b c c a 3
2 b c a c a b 2 2
20. Cho a , b , c > 0. C/m:

+ + ≤
+ + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1

abc
a b abc b c abc c a abc
°
( )
( )
( )
+ = + − + ≥ +
3 3 2 2
a b a b a ab a a b ab

⇒
( ) ( )
+ + ≥ + + = + +
3 3
a b abc a b ab abc ab a b c
, tương tự
°
( ) ( )
+ + ≥ + + = + +
3 3
b c abc b c bc abc bc a b c
°
( ) ( )
+ + ≥ + + = + +
3 3
c a abc c a ca abc ca a b c

( ) ( ) ( )
+ +
 

≤ + + =
 ÷
+ + + + + + + +
 
1 1 1 1 a b c
VT
ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc
10
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a.
+ + + ≥
4
a b c d 4 abcd
với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)

+ ≥ + ≥a b 2 ab , c d 2 cd

( )
( )
+ + ≥ + ≥ ≥
4
a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd
b.
+ + ≥
3
a b c 3 abc
với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số )

+ + + +

+ + + ≥
4
a b c a b c
a b c 4. abc
3 3
⇔
+ + + +
≥
4
a b c a b c
abc
3 3
⇔
+ + + +
 
≥
 ÷
 
4
a b c a b c
abc
3 3
⇔
+ +
 
≥
 ÷
 
3
a b c

abc
3
⇔
+ + ≥
3
a b c 3 abc
.
22. Chứng minh:
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
; a , b , c > 0
°
+ ≥
3 2
a abc 2a bc
,
+ ≥
3 2
b abc 2b ac
,
+ ≥
3 2
c abc 2c ab
°
( )
+ + + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c 3abc 2 a bc b ac c ab
⇒

( )
( )
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
2 a b c 2 a bc b ac c ab
,
vì :
+ + ≥
3 3 3
a b c 3abc
Vậy:
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
23. Chứng minh:
+ + ≥
3 9
4
2 a 3 b 4 c 9 abc
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:
°
= + + + + + + + + ≥
3 3 3 9
4 4 4 4
VT a a b b b c c c c 9 abc
24. Cho
= +
x 18
y
2 x

, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
= + ≥ =
x 18 x 18
y 2 . 6
2 x 2 x
° Dấu “ = ” xảy ra ⇔
= ⇔ = ⇔ = ±
2
x 18
x 36 x 6
2 x
, chọn x = 6.
Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6
25. Cho
= + >
−
x 2
y ,x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.

−
= + +
−
x 1 2 1
y
2 x 1 2
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
−

−
x 1 2
,
2 x 1
:
− −
= + + ≥ + =
− −
x 1 2 1 x 1 2 1 5
y 2 .
2 x 1 2 2 x 1 2 2
11
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
° Dấu “ = ” xảy ra ⇔
( )
=

−
= ⇔ − = ⇔

= −
−

2
x 3
x 1 2
x 1 4
x 1(loaïi)
2 x 1
Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng

5
2
26. Cho
= + > −
+
3x 1
y , x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.

+
= + −
+
3(x 1) 1 3
y
2 x 1 2
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
( )
+
+
3 x 1 1
,
2 x 1
:
( ) ( )
+ +
= + − ≥ − = −
+ +
3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3
y 2 . 6

2 x 1 2 2 x 1 2 2
° Dấu “ = ” xảy ra ⇔
⇔
( )
( )

= −

+

= ⇔ + = ⇔

+
= − −


2
6
x 1
3 x 1 1 2
3
x 1
2 x 1 3
6
x 1(loaïi)
3
Vậy: Khi
= −
6
x 1

3
thì y đạt GTNN bằng
−
3
6
2
27. Cho
= + >
−
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. Định x để y đạt GTNN.

−
= + +
−
2x 1 5 1
y
6 2x 1 3
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
−
−
2x 1 5
,
6 2x 1
:
− − +
= + + ≥ + =
− −

2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1
y 2 .
6 2x 1 3 6 2x 1 3 3
Dấu “ = ” xảy ra
⇔
( )

+
=

−

= ⇔ − = ⇔

−
− +
=


2
30 1
x
2x 1 5
2
2x 1 30
6 2x 1
30 1
x (loaïi)
2
Vậy: Khi

+
=
30 1
x
2
thì y đạt GTNN bằng
+30 1
3
28. Cho
= +
−
x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
12
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
°
( )
− + − −
= + = + + ≥ + = +
− − −
x 5 1 x 5x x x 1 x 1 x
f(x) 5 5 2 5 5 2 5 5
1 x x 1 x x 1 x x
Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
− −
 
= ⇔ = ⇔ =
 ÷

− −
 
2
x 1 x x 5 5
5 5 x
1 x x 1 x 4
(0 < x < 1)
° Vậy: GTNN của y là
+2 5 5
khi
−
=
5 5
x
4
29. Cho
+
=
3
2
x 1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
°
+
= + = + + ≥ =
3
3
2 2 2 2 3

x 1 1 x x 1 x x 1 3
x 3
2 2 2 2
4
x x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
= =
2
x x 1
2 2
x
⇔
=
3
x 2
.
° Vậy: GTNN của y là
3
3
4
khi
=
3
x 2
30. Tìm GTNN của
+ +
=
2
x 4x 4
f(x)

x
, x > 0.
°
+ +
= + + ≥ + =
2
x 4x 4 4 4
x 4 2 x. 4 8
x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
=
4
x
x
⇔ x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
31. Tìm GTNN của
= +
2
3
2
f(x) x
x
, x > 0.
°
 
 
+ = + + + + ≥ =
 ÷
 ÷

 
 
3
2
2 2 2 2
2
5
3 3 3 3 5
2 x x x 1 1 x 1 5
x 5
3 3 3 3
27
x x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
= ⇔ =
2
5
3
x 1
x 3
3
x
⇔ x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là
5
5
27
khi
=
5

x 3
.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
° f(x) = –10x
2
+ 11x – 3 =
   
− − − = − − + ≤
 ÷  ÷
   
2
2
11x 11 1 1
10 x 3 10 x
10 20 40 40
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
=
11
x
20
13
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
° Vậy: Khi
=
11
x
20
thì y đạt GTLN bằng
1
40

.
33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN.
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6):
°
( ) ( )
= + − ≥ −6 x 6 x 2 x 6 x
⇒ x(6 – x) ≤ 9
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3
° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN.
 y = (x + 3)(5 – 2x) =
1
2
(2x + 6)(5 – 2x)
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,
 
− ≤ ≤
 ÷
 
5
3 x
2
:
°
( ) ( ) ( ) ( )
= + + − ≥ + −11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x
⇒

1
2
(2x + 6)(5 – 2x) ≤
121
8
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 6 = 5 – 2x ⇔
= −
1
x
4
° Vậy: Khi
= −
1
x
4
thì y đạt GTLN bằng
121
8
.
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
− ≤ ≤
5
x 5
2
. Định x để y đạt GTLN.
 y = (2x + 5)(5 – x) =
1
2
(2x + 5)(10 – 2x)
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,

 
− ≤ ≤
 ÷
 
5
x 5
2
:
°
( ) ( ) ( ) ( )
+ + − ≥ + −2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x
⇒
1
2
(2x + 5)(10 – 2x) ≤
625
8
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 5 = 10 – 2x ⇔
=
5
x
4
° Vậy: Khi
=
5
x
4
thì y đạt GTLN bằng
625
8

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
−
1
2
≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN
 y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,
 
− ≤ ≤
 ÷
 
1 5
x
2 2
:
°
( ) ( ) ( ) ( )
+ + − ≥ + −2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x
⇒ (2x + 1)(5 – 2x) ≤ 9
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 1 = 5 – 2x ⇔ x = 1
14
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.
37. Cho
=
+
2

x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
°
+ ≥ =
2 2
2 x 2 2x 2x 2
⇔
≥
+
2
1 x
2 2
2 x
⇒
≤
1
y
2 2
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
= ⇒
2
x 2 và x > 0 x= 2
° Vậy: Khi
=x 2
thì y đạt GTLN bằng
1
2 2
.

38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
°
+ = + + ≥
3
2 2 2
x 2 x 1 1 3 x .1.1
⇔
( )
( )
+ ≥ ⇒ ≤
+
2
3
2 2
3
2
x 1
x 2 27x
27
x 2

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
= ⇔ = ±
2
x 1 x 1
° Vậy: Khi
= ±x 1
thì y đạt GTLN bằng
1
27
.
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2
≤ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) () BĐT Bunhiacopxki
() ⇔
+ + ≤ + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b 2abcd c d a b a d c b c d
⇔
+ − ≥
2 2 2 2
a d c b 2abcd 0

⇔
( )
− ≥
2
ad cb 0
.
2. Chứng minh:
+ ≤sinx cos x 2
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :
°
+ =sinx cosx
( )
( )
+ ≤ + + =
2 2 2 2
1. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
≥ 7.
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
3 , 3 a , 4 , 4 b
:
°
( )
( )
+ = + ≤ + +
2 2
3a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b

⇔ 3a
2
+ 4b
2
≥ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
≥
725
47
.

− = −
2 3
2a 3b 3 a 5 b
3 5
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
−
2 3
, 3 a , , 5 b
3 5
:
15
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
°
( )
 
− ≤ + +

 ÷
 
2 2
2 3 4 9
3 a 5 b 3a 5b
3 5
3 5
⇔ 3a
2
+ 5b
2
≥
735
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
≥
2464
137
.

− = −
3 5
3a 5b 7 a 11b
7 11
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
−

3 5
, 7 a , , 11b
7 11
:
°
( )
 
− ≤ + +
 ÷
 
2 2
3 5 9 25
7 a 11b 7a 11b
7 11
7 11
⇔ 7a
2
+ 11b
2
≥
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
≥ 2.
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
°

( )
( )
= + ≤ + +
2 2
2 a b 1 1 a b
⇔ a
2
+ b
2
≥ 2
°
( )
( )
( )
≤ + ≤ + +
2 2 4 4
2 a b 1 1 a b
⇔ a
4
+ b
4
≥ 2
7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh:
+ ≥
2 2
1
a b
2
°
( )

( )
≤ + ≤ + + ⇔ + ≥
2 2 2 2 2 2
1
1 a b 1 1 a b a b
2
16
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:
+ + + + ≥ +
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz+z y yz+z
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
+ z
3
≥ x + y + z.
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: A = x + y + z +
+ +
1 1 1
x y z
4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y =

5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: A =
+
4 1
x 4y
.
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
+ + +
+ + + + + + + +
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< 2
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)
2
 
+ +
 ÷
 
2
1 2
1
x
x
≥ 16.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:

+ + + + + +
+ + ≥
a b c a b c a b c
9
a b c

8. (CĐKTYTế1 2006)
Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y ≤ 0; x
2
+ x = y + 12.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001)
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1
thì:
 
+ + ≥ + +
 ÷
 
a b c a b c
1 1 1 a b c
3
3 3 3 3 3 3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Cho ba số dương a, b, c thoả a
2
+ b
2
+ c

2
= 1. Chứng minh:
+ + ≥
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
2
b c c a a b
17