on thi tot nghiep

Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)
1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)>f(x

2
).
3) x
0
∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) không xác định hay bằng 0.
II. Định lý:
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b)
thì tồn tại một điểm c∈(a,b) sao cho
( ) ( )
( ) ( ) '( ).( ) '( )
f b f a
f b f a f c b a hay f c
b a
−
− = − =
−
2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).
• Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).
• Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b).
(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).
B. CÁC BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số
2

2y x x= −
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số
1
2
mx
y
x m
−
=
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
Bài 4: Chứng minh rằng
a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2).
b)
1
2 x R
x
e x
+
≥ + ∀ ∈
.
c)
x>1
ln
x
e

x
≥ ∀
.
Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :
5 3
2 1 0x x x− + − =

ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x
0
∈(a,b) .
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của
điểm x
0
ta có f(x) < f(x
0
) (x ≠ x
0
).
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận
của điểm x
0
ta có f(x)>f(x
0
) (x ≠ x

0
).
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 1
Chuyên đề 1 :
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x
0
∈(a,b) và đạt cực trị tại điểm
đó thì f’(x) = 0.
Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x
0
) > 0 trên khoảng (x
0
; x
0
); f’(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một điểm cực

đại của hàm số f(x).
b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x
0
- δ; x
0
) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x
0
; δ+ x
0
) thì x
0
là một điểm cực
tiểu của hàm số f(x).
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu thì điểm x
0
là điểm cực trị.
Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x
0
và f’(x
0
) = 0, f''(x
o
) ≠ 0 thì
x
o
là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x
0

) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.
B . CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2 2 1y x mx m= − + − +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.

c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 2: Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
a) Khảo sát hàm số khi m=-1.
b) Xác định m để hàm số có hai cực trị.
Bài 3: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng
qua điểm cực trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞).
Bài 4: Cho hàm số
2 2
2 1x kx k
y
x k
− + +
=
−
với tham số k.

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1
2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm
của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.
3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.
Bài 5: Định m để hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + +
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 6: Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
+
Xác định m sao cho hàm số.
a) Có cực trị.
b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số
3 2
( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m= = − + −
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của
đồ thị hàm số
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn

Trang 2
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x M
x D f x M
∀ ∈ ≤
∃ ∈ =
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥
∃ ∈ =
(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại
(cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1

,x
2
, ..., x
n
của f(x) trên [a,b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), ..., f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] ; [1,3).
b)
2
4y x x= + −
.
c)

3
4
2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)
2 os2x+4sinxy c=
x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e)
2
3 2y x x= − +
trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y= x 1 3x 6x 9 + + − + +
trên đoạn[-1,3].
Bài 3: Chứng minh rằng
2
2
6 3
2
7 2
x
x x
+
≤ ≤
+ +
với mọi giá trị x.
ℑ4. LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Định nghĩa :
+Cung AB lồi nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía trên cung.
+Cung AB lõm nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía dưới cung.
2) Dấu hiệu lồi lõm và điểm uốn.
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên (a;b).
+ Nếu f”(x)<0 với mọi x∈(a,b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
+ Nếu f”(x)>0 với mọi x∈(a,b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
+ Nếu f’’(x) đổi dấu khi xđi qua x
0
thì điểm M
0
(x
0
,f(x
0
)) là điểm uốn của đồ thị hàm số.
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm a,b để hàm số
3 2
axy x x b= − + +
nhận điểm (1;1) làm điểm uốn.
Bài 2: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
2
2 1
1
x
y
x x
+

=
+ +
có ba điểm uốn thẳng hàng.
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 3
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
Bài 3: Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến
có hệ số góc bé nhất.
ℑ5. TIỆM CẬN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận đứng:
Nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình x=x
0
là tiệm cân đứng của đồ thị (C).
2) Tiệm cận ngang:
Nếu
0
lim ( )
x
f x y

→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình y=x
0
là tiệm cân ngang của đồ thị
(C).
3) Tiệm cận xiên:
Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞
− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =
hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )

lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= −
.
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:
1. Khảo sát hàm số .
2
4 5
2
x x
y
x
− + −
=
−
2. Xác định m để đồ thị hàm số
2 2
( 4) 4 5
2
x m x m m
y
x m
− − − + − −
=
+ −

có các tiệm cận trùng với các
tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ)
Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
a)
2
1y x= −
b)
3
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
−
c)
2
3 1
1 2
x x
y
x
+ +
=
−
.
d)
2

2
1
3 2 5
x x
y
x x
+ +
=
− −
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Tính lồi lõm, điểm uốn,
- Giới hạn
- Bảng biến thiên
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Giới hạn, tiệm cận
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 4
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệt
- Đồ thị

- Giá trị đặt biệt
- Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
 Hàm số nhất biến :
)bcad(
dcx
bax
y 0
≠−
+
+
=
 Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2
1 1
ax bx c
y
a x b
+ +

=
+
(tử, mẫu không có nghiệm chung, ... )
Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 5
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0

a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
x

y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 1: hàm số có cực trị
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng
phương với trục Ox.
Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau:
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:

Ví dụ 1:
1. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x−
= m ( dùng bảng 1)
2. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x−
= 3m -2 ( dùng bảng 2)
3. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x−
=
3 2
1
3
m m−
( dùng bảng 3)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.
Nhấn mạnh cho học sinh nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
→ Ta sử dụng công thức
b

a
S f x dx
=
∫
( )
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x g x dx
= −
∫
( ) ( )
(II)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
b
a
V f x dx
π
=
∫
( )
(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2

đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
=
∫
b
a
V g y dy( )
π
(IV)
Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng
thời nắm được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:
 Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 6
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).
 Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).
 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) –
g(x) /[a;b]).
 Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả.
 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay
quanh Oy)
 Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả.
Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.

Giải: (0,75 đ)
Ta có: e
x
= 2 ⇔ x = ln2
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
( )
1 1
ln2 ln 2
2 2
x x
e dx e dx− = −
∫ ∫
(0,25 đ)
=
( )
1
ln2
2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 2 4
x
e x e e− = − − − = + −
(đvdt) (0,25đ + 0,25đ)
Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x
3
– 3x
2
và
trục Ox.

Giải:

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Từ đồ thị ta có:
3 3
3 2 3 2
0 0
3 ( 3 )S x x dx x x dx= − + = − +
∫ ∫

3
4
3
0
4
x
x
 
= − +
 ÷
 
= 27/4 ( đvdt)
Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
x
3
– 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.

Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 7
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−

=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng
x = 3, x = 4.
Bài 5: Cho hàm số
1
2
+
+−
=
x
xx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số
4
4
2
−
+−
=
mx

mxx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Dùng đồ thị (C
2
) giải và biện luận phương trình :
x
2
– 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0.
c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C
2
), trục Ox, trục Oy, và đường
thẳng x = 1.
d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra.
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong :
y =
2
4
1
x
; y =
xx 3
2
1
2
+−
.
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x

2
+ y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể
tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.
Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x
2
và y
=
x
quay quanh Ox.
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao diểm của hai đường cong (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của phương trình
hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ Cho hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1

−=
−
+
mx
x
x
(điều
kiện x khác 1)
0)2(
2
=+−⇔
xmmx
0))2((
=+−⇔
mmxx
+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại
một điểm
+Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x =
2m
m
+
. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt
(chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
+ m
≠
0 và m
≠
- 2 có hai giao điểm.

B ài tập:
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 8
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
2
3 2
x x
y x= + −
và đường thẳng (T):
13 1
( )
12 2
y m x− = +
.
KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x
y

x
+
=
−
.
KQ: -28 < a ≤ 0
Bài 3) Cho đường cong (C):
2
2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
. Tìm các giá trị của k sao cho trên (C) có 2 điểm khác
nhau P, Q thỏa mãn điều kiện:
P P
Q Q
x y k
x y k
+ =



+ =


.

Dạng 4: Cực trị của hàm số
 Yêu cầu đối với học sinh :
 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
 Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
 Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
 Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y
→ chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
 Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y
a 'x b'
+ +
=
+
→ không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.
 Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x
0
∈ (a;b)

• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x
0
thì hàm số có cực trị tại x = x
0
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + → – khi x qua x
0
thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – → + khi x qua x
0
thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
(Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x
0
nhưng hàm số có xác định tại đó).
 Hoặc:
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) ≠ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x
0
.
• Nếu f’(x

0
) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
Bài tập: Định tham số m để:
1). Hàm số y =
3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x+ + + −
có cực đại và cực tiểu.
Kết quả: m < - 2 hay m > 3
2). Hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị.
Kết quả: - 1 < m < 1
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 9

Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
3). Hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2
và khi đó x
2
– x
1
không phụ thuộc tham số m.
Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1
4). Hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M
1
(x
1
;y
1
), M

2
(x
2
;y
2
) là 2
điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng :
1 2
1 2 1 2
( )( 1)
y y
x x x x
−
− −
= 2. Kết quả : m < 1
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?
Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y
0
= f’(x
0
)
( )

0
x x−
hay y – y
0
= k(x – x
0
) (*)
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x
0
, y
0
, f’(x
0
) thay vào (*).
Rút gọn ta có kết quả
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x
A
;y
A
)
 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – y
A
= k(x – x
A
) (1)
 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A A

f x k x x y
f x k
= − +


=

 Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ .. ⇒ x = x
0
( hoành độ tiếp điểm) 
Bước 2: Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. ta có kết quả
C2:  Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**)
(trong đó m là tham số chưa biết)
 Bước 2: Lập và giải hệ pt:
( )
'( )
f x kx m
f x k
= +



=

⇒ k = ? thay vào (**).
Ta có kết quả
Bài tập về pttt của đồ thị:
Bài 1: Cho hàm số y = x
2
– 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
– m – 1, có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 3: Cho hàm số y = -x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−

. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với
trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y =
2
ax -2
2
x
x
+
−
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm
với trục tung và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 7: Viết pttt của đồ thị hàm số y =
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
đi qua B(1;0)
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn

Trang 10
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
Bài 8) Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 9) Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2
+ 5. Lập pttt kẻ từ A(
19
12
;4)
Bài 10) Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao
cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1) Cho hàm số
x
mx)m(x
y
+−+
=
2
2
, m là tham số, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong
trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.
Bài 2) Cho hàm số
2
54
2
−
+−
=
x
mmxx
y
, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng
nhau qua O.
Bài 3) Cho các đường: y = x
2
– 2x + 2, y = x
2
+ 4x + 5 và y = 1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.
Bài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
)1x(2
3x4x2
2
−
−−
2. Định m để ptrình : 2x

2
– 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt.
Bài 5 : Cho hàm số
1
3
+
+
=
x
x
y
gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác
định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai
tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất
f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh
rằng S là trung điểm của IJ
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 6:Cho hàm số
)4()1(
2
xxy
−−=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)

d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
3 2
6 9 4 0x x x m− + − − =
Bài 7:
Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng
qua điểm cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞)
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 11
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
Bài 8 :
Cho hàm số
3 2
5
- 2
3
= + +y x x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.

d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.


§1. NGUYÊN HÀM:
1). Định nghĩa :
Hàm số
( )
F x
gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
( )
,a b
nếu
( ) ( ) ( )
, ,F x f x x a b
′
= ∀ ∈
.
Ghi nhớ : Nếu
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
thì mọi hàm số có dạng
( )

F x C+
(
C
là
hằng số) cũng là nguyên hàm của
( )
f x
và chỉ những hàm số có dạng
( )
F x C+
mới là nguyên hàm
của
( )
f x
. Ta gọi
( )
F x C+
là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số
( )
f x
và ký hiệu là
( )
f x dx
∫
.
Như vậy:
( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫

2). Tính chất:
a.TC1:
( ) ( ) ( )
0;kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
b.TC2:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫
c.TC3: Nếu
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
thì
( ) ( )
f u du F u C= +
∫
.
3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b a 0∈ & ≠¡
:
dx x C
= +
∫
1
ln

dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
( )
1
1
1
,
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x x
e dx e C
= +
∫
sin cosxdx x C
= − +
∫
1
ax ax

e dx e C
a
= +
∫
cos sinxdx x C= +
∫
1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 12
Chuyên đề 2 :
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x
π
π
= + ≠ +
∫
1
cos sinaxdx ax C
a
= +

∫
2
cot ,
sin
dx
gx C x k
x
π
= − + ≠
∫
2
1
2
,
cos
dx
tgx C x k
ax a
π
π
= + ≠ +
∫
( )
0ln ,
dx
x C x
x
= + ≠
∫
2

1
cot ,
sin
dx
gax C x k
ax a
π
= − + ≠
∫
4). Bài tập:
Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm
của những hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của
các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc
hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.
Bài 1: Cho hai hàm số
( )
1 1
2
2 4
sinF x x x= +
;
( )
2
cosf x x=
.
a. Chứng minh rằng
( )

F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
G x
biết rằng
0
4
G
π
 
=
 ÷
 
.
Bài 2: Cho hàm số
( )
4 4
2 3cos cos cos
cos sin
x x x
f x
x x
+ +
=
−
.

Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )
F
π π
=
.
Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2 4cos cosf x x x=
. Tìm hàm số
( )
G x
biết rằng
( ) ( )
G x f x
′′
=
và
( )
29 1
0
144 12 32
;G G

π
 
= − = −
 ÷
 
.
Bài 4: Cho hàm số
( )
8 2 4sin cos cos cosf x x x x x=
.
a. Giải phương trình
( ) ( )
0f x f x
′′
+ =
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng đồ thị của hàm số
( )
F x
đi qua
điểm
0
8
;M

π
 
−
 ÷
 
.
Bài 5: Biết rằng hàm số
( )
1
sin
cos
x
F x
x
=
+
là nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy tìm các giá trị của
x
sao cho
( ) ( )
0f x f x
′
− =
.
Bài 6: Cho hàm số
x
y xe=

.
a. Tính
y
′
và
( )
2y
′
.
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 13
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
b. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2007
x
f x x e= +
.
Bài 7: Cho hàm số
( )
sin
x
f x e x=
. Chứng minh rằng hàm số
( ) ( )
f x f x
′ ′′
−
là nguyên hàm
của hàm số

( )
2 f x
.
Bài 8: Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
3 2
2
3 3 1
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
,biết rằng
( )
1
1
3
F =
. (Đề
thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003)
§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b

b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Tính chất :
a. TC1:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
b. TC2:
( ) ( )
0( )
b b
a a
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
c. TC3:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫

d. TC4:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
e. TC5: Nếu
( )
[ ]
0, ;f x x a b≥ ∀ ∈
thì
( )
0
b
a
f x dx ≥
∫
f. TC6: Nếu
( ) ( )
[ ]
, ;f x g x x a b≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
g. TC7: Nếu
( )

[ ]
, ;m f x M x a b
≤ ≤ ∀ ∈
thì
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
− ≤ ≤ −
∫
3). Bài tập :
 Ghi nhớ:
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng
hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của
mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu
thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên
mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu
GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 14
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
a.
4
0
2cos cosx xdx
π
∫

b.
4
cos sinx x dx
π
π
+
∫

c.
2
1
1
2 3
2
x x
dx
x
−
+ +
+
∫
d.
2
2
1
lnx x
e
dx
x
+

∫
Bài 2: Cho hàm số
( )
2
1
x
f x
x
=
+
và hàm số
( )
2
1lnF x x
= +
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Áp dụng câu a. tính
1
2
0
1
xdx
x +

∫
.
Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2ln lnf x x x x x= −
.
a. Tính
( )
f x
′
.
b. Áp dụng câu a. tính
2
1
ln
e
xdx
∫
.
Bài 4: Biết hàm số
( )
cos sin
cos sin
x x
F x
x x
−
=
+

là một nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy tính :
( )
4
0
f x dx
π
′
∫
.
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát :
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
= 
 
∫ ∫
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích
của
( )
f x

ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )
x
ϕ
) với đạo hàm của hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng công thức trên vào
các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
sint x=

→ hoặc
sint p x q= +

( )
,p q∈ ¡

→ hoặc

sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
cos .sinf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
cost x=

→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈ ¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+

nằm trong
n
.
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 15
Tài liệu tham khảo ôn tập toán 12
c). TH3:
( )
1
ln .f x dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
lnt x=

→ hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈ ¡

→ hoặc
ln
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
lnp x q+

nằm trong dấu
n
.
d). TH4:
( )
2
1
.
cos
f tgx dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
t tgx=

→ hoặc
t ptgx q= +

( )
,p q∈ ¡

→ hoặc
n
t ptgx q= +
nếu như biểu thức
ptgx q+
nằm trong dấu

n
.
e). TH5:
( )
2
1
.
sin
f cotgx dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
t cotgx=

→ hoặc
t pcotgx q= +

( )
,p q∈ ¡

→ hoặc
n
t pcotgx q= +
nếu như biểu thức
pcotgx q+
nằm trong
n

.
2). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
b.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π
+
∫
c.
( )
1
3 2ln
e
dx

x x +
∫
d.
19
2
3
0
8
xdx
x +
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
1
2
0
2
4 5
x dx
x x
−
− +
∫
b.
2
4
2
0
cos

tgx
e dx
x
π
∫
c.
( )
2
2
6
3 1cot sin
dx
gx x
π
π
+
∫
d.
4
2 1
1
x
dx
e x
+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3

0
cos
tgxdx
x
π
∫
b.
2
2 3
6
sin cosx xdx
π
π
∫
Nguyên Văn Công-THPT số 2 Văn Bàn
Trang 16
Ti liu tham kho ụn tp toỏn 12
c.
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx
x x



d.
( )

4
2
0
2cos
sin cos
xdx
x x

+

Bi 4: Tớnh cỏc tớch phõn sau õy:
a.
3
3
4
0
sin
cos
xdx
x


b.
3
2 3
0
1x x dx+

c.
6

0
2
2 1
sin
sin
xdx
x

+

d.
4
3
6
dx
tgx tg x


+

Đ4. TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TNG PHN:
1). Cụng thc tng quỏt :
( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx

=

hay
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b

a
uv
v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu


(tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn tng phn tựy tng
bi toỏn c th m ta phi xem xột).
3). Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn:
Tớch phõn tng phn thng c ỏp dng tớnh cỏc tớch phõn cú dng nh sau:
a). Dng 1:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm
sin ( )x

hoc
cos ( )x

.
Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u p x
dv q x dx
=

=

Ghi nh : Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ khi th vo cụng thc ta c
b
a
vdu

phc tp hn
b
a
udv

ban u.
Nguyờn Vn Cụng-THPT s 2 Vn Bn
Trang 17