Hướng dẫn tự học môn mô hình toán kinh tế đại học kinh tế quốc dân

BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN

KHOA TOÁN KINH TẾ
BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ

BÀI GIẢNG

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
(Mathematical Economic Models)
www.mfe.edu.vn
10 / 2016
1

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

Thông tin giảng viên
 Học vị. Họ tên giảng viên
 Giảng viên Bộ môn Toán kinh tế - Khoa Toán kinh tế
- ĐH Kinh tế quốc dân
 Văn phòng khoa: Phòng 403 – Nhà 7
 Email: (giangvien)@neu.edu.vn
 Trang web: www.mfe.edu.vn/(họ tên GV)

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

2

1


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Thông tin học phần
 Tên Tiếng Việt: Mô hình toán kinh tế

 Tên Tiếng Anh: Mathematical Economics Models
 Mã học phần: TOKT1107
 Số tín chỉ: 2 (30 tiết, 1 tiết = 50 phút)
 Trình độ đào tạo: Đại học
 Loại hình đào tạo: Chính quy

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

3

Điều kiện học trước
 Toán cho nhà kinh tế 1
 Toán cho nhà kinh tế 2
 Lý thuyết xác suất và thống kê toán
 Tin học đại cương
 Kinh tế vi mô
 Kinh tế vĩ mô

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

4

2


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Mục tiêu học phần
 Định dạng một số mô hình toán kinh tế và phương
pháp phân tích tương ứng về các vấn đề trong lĩnh
vực kinh tế, quản lý kinh tế và quản trị kinh doanh.
 Lượng hóa các vấn đề tối ưu, tìm lời giải cho các bài
toán này trong điều kiện có nhiều tác động ngoại lai,
từ đó ra quyết định trong kinh tế và quản trị kinh
doanh.
 Ứng dụng phần mềm để giải các bài toán quy hoạch
tuyến tính, bài toán quản lý dự trữ.

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

5

Nội dung học phần
 Chương 1: Giới thiệu mô hình toán kinh tế

(Introduction to mathmetical economic models)
 Chương 2: Mô hình Vào/Ra
(I/O: Input – Output Model)
 Chương 3: Mô hình tối ưu tuyến tính
(Linear optimal model)
 Chương 4: Mô hình quản lý dự trữ
(Inventory management model)
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

6

3


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Đánh giá học phần
 Thang điểm 10

• Điểm đánh giá của giảng viên: 10%
• Điểm kiểm tra giữa kỳ: 30%
• Điểm bài thi cuối kỳ: 60%
 Vắng mặt quá 20% thời gian không được thi

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

7

Kế hoạch giảng dạy

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

8

4


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Tài liệu
 Nguyễn Quang Dong, Ngô Văn Thứ, Hoàng Đình
Tuấn (2006), Mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê.
 Hoàng Đình Tuấn, Bùi Dương Hải (2013), Lý thuyết
mô hình toán kinh tế, NXB ĐHKTQD
 Ngô Văn Thứ (2012), Các mô hình ứng dụng, NXB
Khoa học & Kỹ thuật
 Alpha Chiang (2005), Fundamental Methods of
Mathematical Economics, 4th edition, McGraw-Hill.

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

9

Nhiệm vụ của sinh viên
 Theo dõi các bài giảng trên lớp
 Chuẩn bị các bài tập ở nhà
 Thảo luận các bài trên lớp
 Tham gia kiểm tra giữa kỳ
 Tham gia thi hết học phần

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

10

5


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Chương 1.
PHÂN TÍCH MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
 1.1. Các khái niệm cơ bản

 1.2. Cấu trúc mô hình toán kinh tế
 1.3. Phân tích mô hình toán kinh tế
 1.4. Một số mô hình quan trọng

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

11

1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
 Nghiên cứu khoa học:
• Quan sát trực tiếp
• Thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát
• Suy luận gián tiếp - Phương pháp mô hình
 Mô hình hóa đối tượng  Phân tích mô hình
Vấn đề nghiên cứu

Mô hình hóa

Phân tích mô hình
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

12

6


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Khái niệm mô hình
 Mô hình của đối tượng: biểu diễn đơn giản nhưng
đầy đủ những đặc tính cơ bản của đối tượng theo

mục đích nghiên cứu
 Mô hình gồm: nội dung và hình thức thể hiện
 Mô hình kinh tế: mô hình của các đối tượng trong
lĩnh vực kinh tế
 Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình
bày bằng ngôn ngữ toán học

13

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

Ví dụ 1.1. Mô hình nền kinh tế đóng
Thị trường
yếu tố
sản xuất

Thu nhập
Tiết kiệm
Hộ gia
đình

Thuế
Trợ
cấp

Tiêu dùng

T.kiệm Thị trường Vốn
Doanh
Tài chính

Đầu tư nghiệp
CP vay
Chi
Đầu tư
tiêu
Thị trường
Doanh
hàng hóa
thu
dịch vụ

Chính
phủ

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

Mua
ytsx

14

7


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Ví dụ 1.2. Mô hình sản xuất
 Mô hình kinh tế:
Đầu vào
(vốn, lao động,…)

Quá trình
sản xuất

Đầu ra
(hàng hóa dịch vụ)

 Mô hình toán kinh tế:
 Hàm sản xuất gộp dạng Cobb-Douglas
𝑄 = 𝐴. 𝐾 𝛼 𝐿𝛽
 Với Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động

 Để phù hợp: 0 < 𝛼, 𝛽 < 1
15

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

Ví dụ 1.3. Mô hình Chi tiêu
 Mô hình kinh tế:
Thu nhập
Giá hàng hóa…

Thỏa mãn
mục đích

Chi tiêu

Hàng hóa dịch vụ

 Mô hình tiêu dùng của Keynes
𝐶 = 𝑓 𝑌𝑑

 Với C là chi tiêu, 𝑌 𝑑 là thu nhập khả dụng
• 𝐶0 = 𝑓 0 > 0: tiêu dùng tự định
• 0 < 𝑓 ′ < 1: khuynh hướng tiêu dùng cận biên
• Dạng đơn giản: 𝐶 = 𝐶0 + 𝑐 𝑌 − 𝑇
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

16

8


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

1.2. CẤU TRÚC MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
 Các biến (variable):

• Biến ngoại sinh (exogenous variable)
• Biến nội sinh (endogenous variable)
• Tham số (parameter) hay hệ số (coefficient)
 Phương trình liên hệ giữa các biến:
• Phương trình định nghĩa (definition equation)

• Phương trình hành vi (behaviour equation)
• Phương trình điều kiện (condition equation)

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

17

1.3. PHÂN TÍCH MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ
 1.3.1. Phân tích tác động của biến ngoại sinh đến
biến nội sinh:
• Tác động tuyệt đối : đạo hàm (derivative)
• Tác động tương đối : hệ số co giãn (elasticity)
 1.3.2. Phân tích thay đổi của biến nội sinh theo thời
gian: Nhịp tăng trưởng / hệ số tăng trưởng
 1.3.3. Phân tích khả năng chuyển đổi (thay thế hoặc
bổ sung) giữa các biến ngoại sinh: Hệ số thay thế /
bổ sung
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

18

9


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

1.3.1. Tác động của biến ngoại sinh


Đo biến động tức thời về xu hướng và độ lớn của
biến nội sinh khi một biến ngoại sinh thay đổi nhỏ
mà các biến ngoại sinh khác không đổi; hoặc tất cả
các biến ngoại sinh đồng thời có sự thay đổi nhỏ



Phân tích thay đổi tuyệt đối (đo bằng đơn vị) qua
đạo hàm, vi phân



Phân tích thay đổi tương đối (đo bằng %) qua hệ
số co giãn



Kết hợp thay đổi tuyệt đối và tương đối

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

19

Tác động tuyệt đối: đạo hàm – vi phân
 Biến nội sinh y, biến ngoại sinh 𝑥 :
 Hàm số 𝑦 = 𝐹 𝑥 khả vi tại 𝑥0
 Tại 𝑥 = 𝑥0 , 𝑥 thay đổi một lượng đủ nhỏ 𝑑𝑥

𝑑𝑦
𝐹 ′ 𝑥0 =
→ 𝑑𝑦 = 𝐹 ′ 𝑥0 𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑥=𝑥
0

Tại 𝑥0 , khi 𝑥 tăng 1 đơn vị thì y tăng lên xấp xỉ 𝐹 ′ 𝑥0
• 𝐹 ′ 𝑥0 > 0: y tăng lên 𝐹 ′ 𝑥0 : cùng chiều
• 𝐹 ′ 𝑥0 < 0: y giảm đi |𝐹 ′ 𝑥0 |: ngược chiều
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

20

10


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Tác động tuyệt đối: đạo hàm – vi phân
 Thông thường đạo hàm 𝐹 ′ 𝑥 là một hàm của 𝑥

 Giá trị đạo hàm phụ thuộc vào 𝑥 (ngoại sinh)
 Đạo hàm 𝐹 ′ 𝑥 biểu diễn khái niệm cận biên trong
kinh tế
 Hàm hợp: 𝑦 = 𝐹 𝑥 và 𝑥 = 𝐺(𝑧) thì:
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=
×
𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧

21

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

Tác động tuyệt đối: đạo hàm – vi phân
 Biến nội sinh y, biến ngoại sinh độc lập x1, x2,…, xn


𝑦 = 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 khả vi theo xi tại điểm x0

 Đạo hàm riêng của y theo xi tại x0 : 𝐹𝑖 𝑥 0 =

𝜕𝐹(𝑥)
𝜕𝑥𝑖

𝑥0

 Tại x = x0, xi tăng 1 đơn vị, các biến khác không đổi
thì y thay đổi xấp xỉ 𝐹𝑖 𝑥 0 đơn vị
 Vi phân toàn phần: khi các biến thay đổi một lượng
đủ nhỏ tương ứng là 𝑑𝑥1 , 𝑑𝑥2 , … , 𝑑𝑥𝑛 thì:
𝑑𝑦 = 𝐹1 𝑑𝑥1 + 𝐹2 𝑑𝑥2 + ⋯ + 𝐹𝑛 𝑑𝑥𝑛 =
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

𝑛
𝑖=1 𝐹𝑖 𝑑𝑥𝑖
22

11


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Đạo hàm hàm ẩn
 Không thể viết tường minh y theo x

 Viết dưới dạng hàm ẩn: 𝐹 𝑦, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 0
𝜕𝐹
𝐹𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖
=−
= − 𝑖 (𝑖 = 1 ÷ 𝑛; 𝐹𝑦 ≠ 0)
𝜕𝐹
𝜕𝑥𝑖
𝐹𝑦
𝜕𝑦

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

23

Tác động tương đối: hệ số co giãn
 Hàm hiện 𝑦 = 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
 𝑥𝑖 thay đổi tuyệt đối 𝑑𝑥𝑖 (thay đổi tương đối 𝑑𝑥𝑖 /𝑥𝑖 )
 𝑦 thay đổi tuyệt đối 𝑑𝑦 (thay đổi tương đối 𝑑𝑦/𝑦)
𝑑𝑦/𝑦
𝑑𝑦 𝑥𝑖 𝜕𝐹
𝑥𝑖
=
× =
×
𝑑𝑥𝑖 /𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖 𝑦 𝜕𝑥𝑖 𝐹(𝑥)
 Hệ số co giãn riêng của y theo 𝑥𝑖 (𝑖 = 1 ÷ 𝑛) tại 𝑥 0
𝜕𝐹
𝑥𝑖
𝑦
𝜀𝑥𝑖 𝑥 0 =
×
𝜕𝑥𝑖 𝐹(𝑥) 𝑥 0
 Tại 𝑥 0 , khi 𝑥𝑖 thay đổi tương đối 1%, biến khác không
𝑦
đổi thì y thay đổi tương đối xấp xỉ |𝜀𝑥𝑖 𝑥 0 |%
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

24

12

BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Tác động tương đối: hệ số co giãn
 Hệ số co giãn toàn phần của y tại x0:

𝜀𝑦 𝑥0 =

𝑦
𝑛
𝑖=1 𝜀𝑥𝑖

𝑥0

Khi x1, x2,…, xn cùng tăng 1% thì y thay đổi |𝜀 𝑦 𝑥 0 |%
𝑦

𝑦

 Hàm hợp: 𝑦 = 𝐹 𝑥 , 𝑥 = 𝐺(𝑧) thì 𝜀𝑧 = 𝜀𝑥 𝜀𝑧𝑥
 Nếu 𝑦 = 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 thì
• Hàm cận biên theo 𝑥𝑖 : 𝑀𝐹𝑖 = 𝜕𝐹/𝜕𝑥𝑖
• Hàm bình quân theo 𝑥𝑖 : 𝐴𝐹𝑖 = 𝑦/𝑥𝑖
𝑦

• Hệ số co giãn: 𝜀𝑥𝑖 = 𝑀𝐹𝑖 /𝐴𝐹𝑖
25

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

Hàm Cobb-Douglas và Logarit
𝛼

𝛼

𝛼

 Hàm dạng Cobb-Douglas: 𝑦 = 𝛼0 𝑥1 1 𝑥2 2 … 𝑥𝑛 𝑛 thì
𝑦

𝜀𝑥𝑖 = 𝛼𝑖 và 𝜀 𝑦 =

𝑛
𝑖=1 𝛼𝑖

 Logarit hóa:
ln 𝑦 = ln 𝛼0 + 𝛼1 ln 𝑥1 + ⋯ + 𝛼𝑛 ln 𝑥𝑛
 Vi phân hai vế
𝑑𝑦
𝑑𝑥1
𝑑𝑥𝑛
= 𝛼1
+ ⋯ + 𝛼𝑛
𝑦
𝑥1
𝑥𝑛
 Nhân hai vế với 100%, có ý nghĩa giống hệ số co
giãn toàn phần
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

26

13


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Ví dụ 1.4
 (a) Hàm tổng chi phí (TC) theo sản lượng (Q):

𝑇𝐶 = 50 + 0,5𝑄 − 1,5𝑄2 + 0,2𝑄3
Xác định đạo hàm của Q theo TC (sự thay đổi của sản
lượng khi Tổng chi phí tăng 1 đơn vị)
 (b) Hàm cầu theo giá có dạng:
𝑄𝐷 = 100 − 2𝑃 0 < 𝑃 < 50
Xác định giá mà tại đó cầu co giãn (elastic), ít co giãn
(inelastic), co giãn đơn vị (unit elastic)

(Tức là khi trị tuyệt đối của độ co giãn của cầu theo giá
là lớn hơn, nhỏ hơn, bằng 1)
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

27

Kết hợp tuyệt đối – tương đối

 Hàm logarit: 𝒚 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏 𝐥𝐧(𝒙)
• 𝑑𝑦 = 𝛼1

𝑑𝑥
𝑥

⇒ 𝑑𝑦 =

𝛼1

𝑑𝑥

100

𝑥

100%

• Khi 𝑥 thay đổi tương đối 1% thì y thay đổi tuyệt
đối 𝛼1 /100 đơn vị
 Hàm lũy thừa: 𝒚 = 𝒆𝜶𝟎 +𝜶𝟏 𝒙 ⇔ ln(𝑦) = 𝛼0 + 𝛼1 𝑥
𝑑𝑦
𝑦

= 𝛼1 𝑑𝑥 ⇒

𝑑𝑦
𝑦

100% = 100𝛼1 𝑑𝑥

• Khi 𝑥 thay đổi tuyệt đối 1 đơn vị thì y thay đổi
tương đối 100𝛼1 %
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

28

14


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Ví dụ 1.5
 Phân tích tác động của các biến ngoại sinh :
 (a) 𝐶 = 100 + 0,6𝑌 𝑑
C là chi tiêu, 𝑌 𝑑 là thu nhập khả dụng
 (b) ln(𝑄) = 2 + 0,6 ln 𝐾 + 0,4ln(𝐿)
Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động
 (c) 𝑃𝐶𝐼 = −0,5 + 124,3ln(𝐹𝐷𝐼)
PCI là chỉ số cạnh tranh cấp tỉnh,
 (d) ln 𝐺𝐷𝑃 = 0,1 + 0,04𝑇
T là biến thời gian, T = 1, 2,… theo năm
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

29

1.3.2. Thay đổi theo thời gian
 Hàm có yếu tố thời gian t : 𝑦 = 𝐹 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑡 khả vi
theo t
 Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng):
𝜕𝐹 1
𝑟𝑦 =
×
𝜕𝑡 𝑦

 Nhịp tăng trưởng cho biết tỷ lệ thay đổi trung bình
(%) của y trong khoảng thời gian 1 đơn vị (thường
là 1 năm)
 Sau một đơn vị thời gian thì y thay đổi xấp xỉ ry%
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

30

15


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Tính chất của Nhịp tăng trưởng
 Nếu 𝑦 = 𝐹 𝑥1 𝑡 , 𝑥2 𝑡 , … , 𝑥𝑛 (𝑡) thì

𝑟𝑦 =

𝑦
𝑛
𝑖=1 𝜀𝑥𝑖 𝑟𝑥𝑖

 Với 𝑢 = 𝑢 𝑡 , 𝑣 = 𝑣(𝑡)
• Nếu 𝑦 = 𝑢 × 𝑣 thì

𝑟𝑦 = 𝑟𝑢 + 𝑟𝑣

• Nếu 𝑦 = 𝑢/𝑣

𝑟𝑦 = 𝑟𝑢 − 𝑟𝑣

thì

• Nếu 𝑦 = 𝑢 + 𝑣 thì

𝑟𝑦 =

• Nếu 𝑦 = 𝑢 − 𝑣 thì

𝑟𝑦 =

𝑢
𝑢+𝑣
𝑢

𝑟𝑢 +

𝑟
𝑢−𝑣 𝑢

−

𝑣

𝑟
𝑢+𝑣 𝑣
𝑣
𝑟
𝑢−𝑣 𝑣

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

31

Ví dụ 1.6
 Xét hàm xuất khẩu (EX) và Nhập khẩu (IM) có dạng
𝐸𝑋 = 𝐸𝑋0 𝑒 𝑎𝑡
𝐼𝑀 = 𝐼𝑀0 𝑒 𝑏𝑡
Với e là cơ số tự nhiên, e  2,718; t là biến thời gian
𝐸𝑋0 > 0, 𝐼𝑀0 > 0, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0
 (a) Giải thích ý nghĩa của 𝐸𝑋0 , 𝐼𝑀0
 (b) Tính nhịp tăng trưởng của xuất khẩu
 (c) Tính nhịp tăng trưởng của xuất khẩu ròng

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

32

16


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

1.3.3. Phân tích chuyển đổi
 Xét 𝑦 = 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 tại x0: 𝑦 = 𝐹 𝑥 0
 Để y không đổi, khi xi thay đổi 1 đơn vị, thì xj thay
đổi thế nào (các biến ngoại sinh khác không đổi)
 Hệ số (tỷ lệ) chuyển đổi
𝑀𝑅𝑆 𝑖, 𝑗 =

𝐹𝑗
𝑑𝑥𝑖
=−
𝑑𝑥𝑗
𝐹𝑖

𝑥0

 𝑀𝑅𝑆 𝑖, 𝑗 < 0 thì i và j là hai yếu tố có tính thay thế,
và gọi là hệ số thay thế

 𝑀𝑅𝑆 𝑖, 𝑗 > 0 thì i và j là hai yếu tố có tính bổ sung,
và gọi là hệ số bổ sung

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

33

Ví dụ 1.7
(a) Xét hàm sản xuất Cobb-Douglas: 𝑄 = 𝐴. 𝐾 𝛼 𝐿𝛽
 Tính hệ số chuyển đổi giữa K và L, hai yếu tố này có
tính thay thế hay bổ sung? Giải thích ý nghĩa kết quả
nếu 𝐾 = 10; 𝐿 = 20; 𝛼 = 0,4; 𝛽 = 0,6
(b) Mức chi cho gạo (Rice) của hộ gia đình có dạng
1
𝑅𝑖𝑐𝑒 = 10 − − 2𝑃
𝑌
 Y: thu nhập; P: chỉ số giá gạo; Y, P dương
 Tính hệ số chuyển đổi giữa Y và P khi Y = 100 và giải
thích ý nghĩa
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

34

17


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

1.4. MỘT SỐ MÔ HÌNH QUAN TRỌNG

 Mô hình trong kinh tế thường thuộc các dạng

 Mô hình tối ưu
• Hành vi tiêu dùng hộ gia đình
• Hành vi sản xuất kinh doanh của doanh nghiệp
 Mô hình cân bằng
• Cân bằng thị trường riêng
• Cân bằng kinh tế vĩ mô
 Ngoài ra còn các mô hình động
35

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

1.4.1. Mô hình hành vi Hộ gia đình
 Hộ gia đình tiêu dùng hàng hóa dịch vụ  Lợi ích
 Quyết định loại và khối lượng hàng hóa theo: Thu
nhập, giá cả, mục đích, thị hiếu,…
Giá cả
Thu nhập

HỘ GIA ĐÌNH
Mục đích

Thị hiếu

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

Cầu

36

18


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Hàm lợi ích (thỏa dụng)
 Hộ gia đình mua và tiêu thụ m loại hàng hóa

 Giỏ hàng chọn mua: 𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 )
 Lợi ích khi tiêu dùng giỏ hàng: 𝑈 = 𝑈(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 )
 Tính chất hàm lợi ích: Lợi ích cận biên giảm dần
𝜕𝑈
𝜕𝑀𝑈𝑖 𝜕 2 𝑈
𝑀𝑈𝑖 =
>0;
=
<0
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖2
 Hệ số chuyển đổi (thay thế, bổ sung)
𝑀𝑈𝑗
𝑑𝑥𝑖
=−
(𝑖 ≠ 𝑗)

𝑑𝑥𝑗
𝑀𝑈𝑖
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

37

Mô hình tối đa hóa lợi ích
 Thu nhập hộ gia đình: M
 Vectơ giá hàng hóa: 𝒑 = (𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 )
 Xác định 𝒙 ≥ 0 sao cho:
𝑈 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 → max
Với điều kiện

𝑚
𝑖=1 𝑝𝑖 𝑥𝑖

= 𝒑, 𝒙 = 𝑀

 Biến nội sinh: 𝑈, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚
 Biến ngoại sinh: 𝑀, 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚
 Giải bằng phương pháp Lagrange
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

38

19

BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Mô hình tối đa hóa lợi ích
 Điều kiện cần

Và

𝑀𝑈𝑗 𝑝𝑗
=
𝑖≠𝑗
𝑀𝑈𝑖 𝑝𝑖
𝑚
𝑖=1 𝑝𝑖 𝑥𝑖

=𝑀

 Giải được nghiệm theo các biến ngoại sinh
 𝑥𝑖∗ = 𝑥𝑖∗ (𝑝1 , … , 𝑝𝑚 , 𝑀) và 𝑈 ∗ = 𝑈 ∗ (𝑝1 , … , 𝑝𝑚 , 𝑀)
 Hàm 𝑥𝑖∗ là hàm cầu thông thường (cầu Marshall),
quan sát và đo lường được

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

39

Mô hình tối đa hóa lợi ích
 Phân loại hàng hóa i theo thu nhập
• Hàng cấp thấp:

𝜕𝑥𝑖∗ /𝜕𝑀 < 0

• Hàng thông thường:

𝜕𝑥𝑖∗ /𝜕𝑀 > 0

 Thiết yếu:

𝜕 2 𝑥𝑖∗ /𝜕𝑀2 < 0

 Xa xỉ:

𝜕 2 𝑥𝑖∗ /𝜕𝑀2 > 0

 Hai hàng hóa i và j là cặp:
• Thay thế nếu:

𝜕𝑥𝑖∗ /𝜕𝑝𝑗 > 0

• Bổ sung nếu:

𝜕𝑥𝑖∗ /𝜕𝑝𝑗 > 0

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

40

20


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Mô hình tối thiểu hóa chi tiêu
 Lợi ích cần đạt mức 𝑈0 , chi tiêu là nhỏ nhất

 Xác định 𝒙 ≥ 0 sao cho:
𝐶=
Với điều kiện

𝑚
𝑖=1 𝑝𝑖 𝑥𝑖

→ min

𝑈 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 = 𝑈0

 Biến nội sinh: 𝐶, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚
 Biến ngoại sinh: 𝑈0 , 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑚
 Giải bằng phương pháp Lagrange

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

41

Mô hình tối thiểu hóa chi tiêu

 Điều kiện cần

Và

𝑀𝑈𝑗 𝑝𝑗
=
𝑖≠𝑗
𝑀𝑈𝑖 𝑝𝑖
𝑈 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 = 𝑈0

 Giải được nghiệm theo các biến ngoại sinh

 𝑥𝑖∗∗ = 𝑥𝑖∗∗ (𝑝1 , … , 𝑝𝑚 , 𝑈0 ) và 𝐶 ∗ = 𝐶 ∗ (𝑝1 , … , 𝑝𝑚 , 𝑈0 )
 Hàm 𝑥𝑖∗∗ là hàm cầu “đền bù” (cầu Hicks), không
quan sát và đo lường trực tiếp được

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

42

21


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Ví dụ 1.8

 Cho hàm lợi ích hộ gia đình có dạng: 𝑈 = 𝑥10,5 𝑥20,5
 Với 𝑥1 , 𝑥2 là lượng tiêu dùng hai hàng hóa 1, 2
 Giá hai hàng hóa tương ứng là 𝑝1 = 3, 𝑝2 = 2
 (a) Thu nhập là M, xác định các hàm cầu Marshall,
phân tích tác động tương đối của thu nhập đến lợi
ích tối đa đạt được
 (b) Nếu muốn lợi ích đạt được là 𝑈0 thì mức chi tiêu
tối thiểu bằng bao nhiêu?

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

43

1.4.2. Mô hình hành vi Doanh nghiệp
 Hàm sản xuất: Biến đổi yếu tố sản xuất đầu vào
thành sản phẩm đầu ra
 Thường là hàm gộp, yếu tố đầu vào: K (vốn), L (lao
động), sản phẩm đầu ra: Q (sản lượng)
𝑄 = 𝐹 𝐾, 𝐿
 Hàm cận biên (năng suất biên)
𝜕𝐹
𝜕𝑀𝑃𝐾 𝜕 2 𝐹
𝑀𝑃𝐾 =
> 0;
=
<0
𝜕𝐾
𝜕𝐾
𝜕𝐾 2
𝜕𝐹

𝜕𝑀𝑃𝐿 𝜕 2 𝐿
𝑀𝑃𝐿 =
> 0;
= 2 <0
𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝜕𝐿
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

44

22


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Hàm sản xuất
 Hàm bình quân (năng suất bình quân)
𝑄
𝑄
𝑀𝑃𝐾 𝑄 𝑀𝑃𝐿
𝑄
𝐴𝑃𝐾 = ; 𝐴𝑃𝐿 =
⇒ 𝜀𝐾 =
;𝜀 =
𝐾

𝐿
𝐴𝑃𝐾 𝐿
𝐴𝑃𝐿
 Hệ số thay thế

𝑑𝐾
𝑀𝑃𝐿
=−
<0
𝑑𝐿
𝑀𝑃𝐾

tăng
>
 𝐹 𝜆𝐾, 𝜆𝐿 = 𝜆𝐹 𝐾, 𝐿 thì hiệu quả là không đổi
<
giảm
theo quy mô (𝜆 > 0)
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

45

Mô hình tối đa hóa sản lượng
 Giá vốn và lao động là 𝑝𝐾 , 𝑝𝐿 , ngân sách là M
 Xác định 𝐾, 𝐿 > 0 sao cho:
𝑄 = 𝐹(𝐾, 𝐿) → max
Với điều kiện

𝑝𝐾 𝐾 + 𝑝𝐿 𝐿 = 𝑀

 Nội sinh: 𝑄, 𝐾, 𝐿; ngoại sinh: 𝑝𝐾 , 𝑝𝐿 , 𝑀
 Điều kiện cần

𝑀𝑃𝐾 𝑝𝐾
=
𝑀𝑃𝐿 𝑝𝐿

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

46

23


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Ví dụ 1.9
 Cho hàm sản xuất: 𝑄 = 25𝐾 0,5 𝐿0,5

 (a) Quá trình sản xuất hiệu quả thế nào với quy mô?
 (b) Xác định hệ số thay thế vốn và lao động, và giải
thích ý nghĩa
 (c) Với ngân sách là 600, giá vốn là 12, giá lao động
là 3, xác định lượng vốn và lao động để tối đa hóa
sản lượng, và sản lượng tối đa
 (d) Phân tích tác động tương đối của ngân sách, giá

vốn, giá lao động đến các nghiệm trong câu (c)
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

47

Mô hình tối thiểu hóa chi phí
 Để đạt mức sản lượng 𝑄0 cho trước
 Xác định 𝐾, 𝐿 > 0 sao cho:
𝑇𝐶 = 𝑝𝐾 𝐾 + 𝑝𝐿 𝐿 → min
Với điều kiện
 Điều kiện cần

𝐹 𝐾, 𝐿 = 𝑄0
𝑀𝑃𝐾 𝑝𝐾
=
𝑀𝑃𝐿 𝑝𝐿

 Nghiệm: 𝑇𝐶 ∗ = 𝑇𝐶(𝑝𝐾 , 𝑝𝐿 , 𝑄0 )
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

48

24


BM Toán kinh tế - NEU

Mô hình Toán kinh tế

Tối đa hóa lợi nhuận – cạnh tranh h.hảo
 Giá thị trường là ngoại sinh: 𝑝

 Tổng doanh thu: 𝑇𝑅 𝑄 = 𝑝𝑄 nên 𝑀𝑅 = 𝐴𝑅 = 𝑝
 Giá yếu tố sản xuất không đổi, tổng chi phí: 𝑇𝐶 𝑄
 Lợi nhuận: 𝜋 𝑄 = 𝑇𝑅 𝑄 − 𝑇𝐶 𝑄
 Xác định 𝑄 > 0 sao cho: 𝜋 𝑄 → max
 Nội sinh: 𝑄 ngoại sinh: 𝑝
 Điều kiện cần: 𝑀𝑅(𝑄) = 𝑀𝐶(𝑄)
 Điều kiện đủ: 𝑀𝑅′ 𝑄 < 𝑀𝐶′(𝑄)
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

49

Tối đa hóa lợi nhuận – độc quyền
 Doanh nghiệp quy định giá bán 𝑝
 Hàm cầu ngược: 𝑝 = 𝑝(𝑄)
 Tổng doanh thu: 𝑇𝑅 𝑄 = 𝑝 𝑄 . 𝑄
 Doanh thu biên: 𝑀𝑅 𝑄 = 𝑝 𝑄 + 𝑝′ 𝑄 . 𝑄
 Lợi nhuận: 𝜋 𝑄 = 𝑇𝑅 𝑄 − 𝑇𝐶 𝑄
 Xác định 𝑄 > 0 sao cho: 𝜋 𝑄 → max
 Điều kiện cần: 𝑀𝐶 𝑄 = 𝑝 𝑄 + 𝑝′ 𝑄 . 𝑄
 Suy ra: 𝑀𝐶 𝑄 < 𝑝 𝑄
MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ – Bộ môn Toán kinh tế – NEU – www.mfe.edu.vn

www.mfe.edu.vn

50

25