bài giảng lý thuyết mô hình toán kinh tế

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ.
1.1 Ý nghĩa của phương pháp mô hình
1.1.1 Phương pháp nghiên cứu
1.1.1.1 Phương pháp theo dõi, quan sát
Con người từ rất xa xưa muốn tìm hiểu, khám phá những hiện tượng trong tự nhiên, họ
đã biết quan sát, theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này. Kết quả theo dõi được đúc kết bằng
kinh nghiệm và lưu truyền cho các thế hệ sau, đó là phương pháp quan sát trực tiếp trong
nghiên cứu. Ví dụ: nuôi lợn ăn cơm nằm, nuôi tằm ăn cơm đứng; lúa chiêm lấp ló đầu đình,
nghe tiếng sấm rền phất cờ đi lên;
1.1.1.2 Phương pháp tiến hành thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát
Đối với các nhà khoa học, khi nghiên cứu các hiện tượng phức tạp hơn hoặc khi chúng
ta chẳng những muốn tìm hiểu các hiện tượng mà còn muốn lợi dụng chúng phục vụ cho hoạt
động của mình thì phương pháp quan sát là chưa đủ. Trong trường hợp này khi nghiên cứu các
đối tượng, các nhà khoa học hoặc là trực tiếp tác động vào đối tượng, hoặc sử dụng mô hình
tương tự (về mặt cấu trúc vật lý) như đối tượng, tiến hành thí nghiệm, trực tiếp tác động vào
đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết quả để xác lậơ quy luật chi phối sự vận động của đối
tượng. Đó là Phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và là phương pháp nghiên cứu
phổ biến trong khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Tuy nhiên, khi nghiên cứu các vấn đề, hiện
tượng kinh tế - xã hội, các phương pháp trên thường không có hiệu quả vì:
- Những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn đề hết sức phức tạp - đặc biệt là những vấn đề
đương đại, trong đó có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta không thể chỉ
bằng quan sát là có thể giải thích được.
- Quy mô, phạm vi liên quan của những vấn đề kinh tế rất đa dạng vì vậy khi dùng phương
pháp thử nghiệm sẽ đòi hỏi chi phí rất lớn về thời gian, tiền bạc và nhiều khi sai sót trong quá
trình thử nghiệm sẽ gây ra những hậu quả to lớn, không thể lường trước được.
- Ngay cả khi có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trong quá trình kinh tế thì kết quả thu
được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh tế - xã hội đều gắn với hoạt động của con người.
1.1.1.3 Phương pháp suy luận logic
Để nghiên cứu các vấn đề kinh tế người ta phải sử dụng phương pháp suy luận gián
tiếp, trong đó các đối tượng trong hiện thực có liên quan tới hiện tượng, vấn đề ta quan tâm
nghiên cứu sẽ được thay thế bởi “hình ảnh” của chúng: các mô hình của đối tượng và ta sử

dụng mô hình làm công cụ để phân tích và suy luận. phương pháp này có tên gọi là Phương
pháp mô hình (xây dựng, xác định mô hình của đối tượng. Dùng mô hình làm công cụ suy luận
phục vụ yêu cầu nghiên cứu quá trình này gọi là phân tích mô hình).
1.1.2 Ý nghĩa của phương pháp mô hình trong nghiên cứu kinh tế
- Giảm thiểu hậu quả của các vấn đề Kinh tế - xã hội khi không tiến hành thực nghiệm, thí
nghiệm không kiểm soát được.
- Đưa ra kết quả tương đối chính xác để các tác nhân trong nền kinh tế ra quyết định thực hiện
1.2 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế.
1.2.1 Mô hình hóa đối tượng:
Mô hình của một đối tượng là sự phản ánh hiện thực khách quan đối tượng đó theo cách
hình dung, tưởng tượng, suy nghĩ ở các góc độ, ở các mức độ của người nghiên cứu. Nó được
trình bày, thể hiện, diễn đạt bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ, biểu thức toán học
1.2.2 Mô hình kinh tế:
Mô hình của một đối tượng là sự phản ánh hiện thực khác quan của đối tượng; sự hình
dung, tưởng tưởng đó bằng ý nghĩ của người nghiên cứu và việc trình bày, thể hiện, diễn đạt ý
nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ hoặc một ngôn ngữ chuyên ngành. Mô hình
của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi là mô hình kinh tế.
1.2.3 Mô hình toán kinh tế:
Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học.
Việc sử dụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận, phân tích
toán học và kế thừa các thành tưu trong lĩnh vực này cũng như các lĩnh vực khác có liên quan.
Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen thậm chí tiềm ẩn mà ta cần nghiên
cứu, phân tích không chỉ về mặt định tính mà cả định lượng thì phương pháp suy luận giản đơn
không thể giải quyết được. Khi đó, chúng ta cần sử dụng phương pháp suy luận toán học. Đây
chính là điểm mạnh của mô hình toán kinh tế.
Ví dụ: Nghiên cứu, phân tích quá trình hình thành giá cả của một loại hàng hoá A trên thị
trường với các giả định là các yếu tố khác như điều kiện sản xuất hàng hoá A, thu thập, sở hữu,
sở thích của người tiêu dùng đã cho trước và không thay đổi.
Vì đối tường liên quan tới vấn đề nghiên cứu là thị trường hàng hoá A và sự vận hành
của nó. Chúng ta cần mô hình hoá đối tượng này.

Mô hình bằng lời: Xét thị trường hàng hoá A, nơi đó người bán và người mua gặp nhau, xuất
hiện mức giá ban đầu. Với mức giá đó, lượng hàng hoá người bán muốn bán gọi là mức cung,
lượng hàng hoá người mua muốn mua gọi là mức cầu.
+ Nếu cung > cầu, người bán muốn bán được nhiều hàng hoá hơn nên phải giảm giá, vì vậy
hình thành mức giá mới thấp hơn. Do v ậy, xuất hiện mức cung, cầu mới.
+ Nếu cung < cầu, người mua muốn mua được hàng hoá, họ sẵn sàng trả giá cao hơn để mua
được, nên một mức giá cao hơn được hình thành. Do vậy, xuất hiện mức cầu, cung mới. Quá
trình này cứ tiếp diễn ch đến khi cung bằng cầu ở một mức giá (mức giá cân bằng). Mô hình
bằng hình vẽ:
Q
(S1)
Q(
S1
) D S1 S
D
2

Q
S
2
D
1

Q
(D1)
P
2
P P
3
P

1

Giải thích sơ đồ:
+ Giả sử thời điểm bắt đầu xem xét thị trường, giá hàng A là P
1
, giả sử S
1
= S(
P1
) > D
1
= D(
P1
).
Do vậy, lượng hàng hoá A cung lớn hơn cầu, dưới tác động của quy luật cung - cầu, giá P1
phải hạ xuống P
2
.
+ Tại mức giá P
2
, do S
2
= S(P
2
) < D
2
D(P
2
), nên dưới tác động của quy luật cung - cầu, giá P2
phải tăng lên P

3
.
Quá trình này cứ tiếp tục diễn ra cho đến khi đạt mức giá cân bằng P. Khi đó có cầu = cung.
Mô hình toán kinh tế: Gọi S, D là đường cung, cầu tương ứng. Như vậy ứng với mỗi mức giá
p ta có S = S(p).
+ Do người bán sẵn sàng bán với mức giá cao hơn, nên S là hàm tăng theo p
(
)()(
;0'
PP
DD
dp
dS
S  .
+ Do người bán sẽ mua ít hơn nếu giá cao hơn, nên D là hàm giảm theo p (
0'
)(

dp
dD
D
P
)
+ Trường hợp cân bằng thị trường (MHIA) khi S=D, khi đó ta có mô hình cân bằng như sau:
S = S(p);
)()(
;0'
PP
DD
dp

dS
S 
D = D(p); 0'
)(

dp
dD
D
P

S = D
Với mô hình diễn đạt bằng lời hoặc bằng hình vẽ ta không thể chắc chắn liệu quá trình
hình thành giá trên thị trường có kết thúc hay không, tức là liệu có cân bằng thị trường hay
không. Nhưng đối với mô hình toán kinh tế về cân bằng thị trường, ta sẽ trả lời thông qua việc
giải phương trình S = D và phân tích đặc điểm của nghiệm.
Khi muốn đề cập đến tác động của thu nhập (M), thuế (T) tới quá trình hình thành
giá, ta có thể mở rộng mô hình bằng cách tham gia vào các mối liên hệ với các yếu tố sẵn có
trong mô hình phù hợp với quy luật trong lý thuyết kinh tế. Ví dụ có mô hình sau (MHIB):
S = S(p,T);
0/
0/




pD
pS
D = D(p,M,T);
S = D.
1.2.4 Cấu trúc mô hình toán kinh tế.

Cấu trúc mô hình toán kinh tế gồm 2 bộ phận chính:
Các biến
Các ràng buộc (tham số).
1.2.4.1 Các biến số của mô hình:
Khái niệm: Là các đại lượng biến thiên đặc trưng cho các yếu tố cơ bản của các hiện tượng
kinh tế và hệ thống kinh tế cần nghiên cứu.
Các biến kinh tế thay đổi giá trị trong phạm vi nhất định.
Phân loại:
a. Các biến:
Biến ngoại sinh (biến giải thích, biến độc lập): Đó là các biến có mức độ độc lập nhất định đối
với mô hình, nó đặc trưng cho các yếu tố kinh tế tồn tại bên ngoài hệ thống hoặc hiện tượng
kinh tế đang nghiên cứu (các biến tồn tại ngoài mô hình, bao gồm cả biến biểu thị các yếu tố
ngẫu nhiên).
Ví dụ: Trong mô hình MHIB, biến ngoại sinh M, T có giá trị không phụ thuộc vào D,S,p nên
nó được xem là biến ngoại sinh.
hoặc các chính sách của Chính phủ, ngân sách được cấp, các tiền tệ quốc tế là các biến ngoại
sinh của một doanh nghiệp, của một ngành kinh tế của một nước.
Biến nội sinh (biến được giải thích, biến phụ thuộc): Đó là các biến tồn tại ngay trong bản thân
mô hinh, chúng phu thuộc khăng khít lẫn nhau và chịu tác động của biến ngoại sinh. Đó là các
biến đặc trưng cho các yếu tố kinh tế nằm ngay trong các hiện tượng, các hệ thống kinh tế
đang nghiên cứu. Việc thêm bớt các biến nội sinh quyết định mức độ phù hợp của mô hình so
với thực tiễn.
Ví dụ: trong mô hình MHIA, chúng ta thấy các biến S,D,p,S’,D’ đều có thể phản ánh trực tiếp
hoặc gián tiếp trạng thái của thị trường và chúng phụ thuộc lẫn nhau, do đó chúng đều có thể
coi là các biến nội sinh. Tuy nhiên, người ta chỉ coi S,D, p là biến nội sinh còn S’,D’ có thể
thính được từ S,D,p khi trạng thái cân bằng xảy ra.
Hay tổng sản phẩm của một doanh nghiệp tại thời điểm t; tích luỹ tại thời điểm t của một
doanh nghiệp là các biến nội sinh của một mô hình doanh nghiệp.
Xét theo đặc điểm cấu trúc toán học, một mô hình có tất cả các biến đều là nội sinh gọi là mô
hình đóng (mô hình MHIA); mô hình có biến nội sinh và ngoại sinh gọi là mô hình mở

(MHIB).
tham số, thông số:
Khái niệm: là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể hiện các đặc trưng
tương đối ổn định, ít biến động hoặc có thể giả thiết như vậy của đối tượng.
Các tham số của mô hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng của các biến tới biến
nội sinh.
Ví dụ: Mô hình MHIB: S = αp
β
T
γ

Trong mô hình này, α,β,γ là các tham số của mô hình vì giá trị của chúng quyết định mức độ
tác động của biến ngoại sinh T tới biến nội sinh S,D,p (S’,D’).
NOTE: Cùng một biến số, trong các mô hình khác nhau có thể đóng vai trò khác nhau; thậm
chí cùng một mô hình có thể có vai trò khác nhau do mục đích sử dụng mô hình khác nhau.
b. Các ràng buộc của mô hình.
Khái niệm: Các ràng buộc của mô hình là các hệ thức toán học phản ánh mối quan hệ kinh tế,
quan hệ hành vi, quan hệ pháp lý, quan hệ cơ học, quan hệ kỹ thuật, quan hệ đồng nhất, giữa
các yếu tố kinh tế trong hệ thống kinh tế hoặc hiện tượng kinh tế mà ta đang nghiên cứu. Sau
khi đưa các hệ thức toán học đã xác lập được về dạng chính tắc hoặc chuẩn tắc, ta nhận được
phương trình trạng thái của hiện tượng kinh tế hoặc hệ thống kinh tế đang xem xét. Đối với các
hệ thống kinh tế, các hệ thức toán học trong mô hình thường bao gồm:
- Các hệ thức hành vi, biểu hiện tính quy luật trong hành vi của các tác nhân kinh tế (các hàm
cung, hàm cầu, hàm lợi ích ).
- Các hệ thức kinh tế - kỹ thuật, diễn tả các quá trình vật lý, cơ học của hoạt động kinh tế trong
đó các yếu tố sản xuất được tổng hợp lại chế biến theo công nghệ nào đó để tạo ra các sản
phẩm (kết quả).
- Các hệ thức định chế, biểu hiện các quy định, pháp lý của nhà nước (thuế, tiền lương, bảo
hiểm ).
- Các hệ thức đồng nhất (dùng để định nghĩa).

- Các phương trình cân bằng, diễn tả nguyên lý bảo toàn
1.2.4.2 Mối liên hệ giữa các biến số và hình thức biểu diễn
Quan hệ giữa các biến số có thể là các mối quan hệ trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua các biến
số khác, theo một hoặc nhiều khâu trung gian. Các quan hệ đó có thể biểu diễn dưới dạng sơ
đồ sau:
Thu
ế → Tiêu dùng
Vốn
↓ ↑
Thu nhập Đầu tư Sản lượng
Lao động
Giá yếu tố sản xuất
Chi phí sản xuất Mức cung Lợi nhuận
Trình độ công nghệ
Các quan hệ giữa các biến thường diễn biến theo thời gian, vì vậy không nhất thiết chỉ
có các quan hệ một chiều (nhân - quả) mà có thể có cả các quan hệ tương tác 2 chiều (liên hệ
ngược) như:
Đầu tư Thu nhập tiết kiệm
Để xác định được quan hệ giữa các biến số chúng ta cần:
- Dựa vào Lý thuyết kinh tế, các quy luật kinh tế đã được thừa nhận một cách rộng rãi.
- Sử dụng Các kết quả phân tích kinh tế lượng xác lập các mối quan hệ với mức độ tin cậy phù
hợp với mục đích nghiên cứu.
Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của mối quan hệ giữa các biến có trong phương trình, chúng ta
có thể phân loại các phương trình trong mô hình như sau:
- Phương tình định nghĩa (đồng nhất thức): phương trình thể hiện quan hệ định nghĩa giữa các
biến số hoặc giữa hai biểu thức ở hai vế của phương trình.
Ví dụ 1: Lợi nhuận (∏)được định nghĩa là phần hiệu số giữa tổng doanh thu (TR) và tổng chi
phí (TC): ∏ = TR - TC.
Ví dụ 2: Xuất khẩu ròng của một quốc gia (NX) là khoản chênh lệch giữa xuất khẩu (EX) và
nhập khẩu (IM) của quốc gia đó. Vì xuất, nhập khẩu phụ thuộc vào thu nhập (Y), mức giá (P),

tỷ giá hối đoái (ER) do đó theo định nghĩa của xuất khẩu ròng, ta có thể viết:
NX = EX(Y,P, ER) - IM(Y,P, ER).
Ví dụ 3: Trong mô hình MHIA có các phương trình: S’(p) = dS/dp; D’(p) = dD/dp
- Phương trình hành vi: phương trình mô tả quan hệ giữa caácbiến do tác động của các quy
luật hoặc do giả định. Từ phương trình hành vi ta có thể biết sự biến động của biến nội sinh -
“hành vi” của biến này - khi các biến só khác thay đổi. Sự biến động này ám chỉ sự phản ứng
trong hành vi của con người (ví dụ: trong hành vi tiêu dùng, nếu thu nhập tăng lên thì người
tiêu dùng sẽ chi tiêu nhiều hơn), nhưng cũng có thể chỉ là biểu hiện quy luật về mối quan hệ
phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến số. Trong mô hình MHIA, các phương trình S=S(p), D=D(p)
là các phương trình hành vi vì chúng thể hiện sự phản ứng của người sản xuất và người tiêu
dùng trước sự thay đổi của giá cả.
- Phương trình điều kiện Phương trình mô tả quan hệ giữa các biến số trong các tình huống có
những điều kiện, ràng buộc cụ thể mà mô hình đề cập. Trong mô hình MHIA, phương trình
S=D là phương trình điều kiện vì nó thể hiện điều kiện cân bằng thị trường.
1.3 Phương pháp phân tích mô hình.
1.3.1 Giải mô hình
Khái niệm: Giải mô hình là việc sử dụng các phương pháp toán học quen biết để giải các hệ
thức của mô hình
Việc giải mô hình nhằm xác định quan hệ trực tiếp giữa biến nội sinh và biến ngoại
sinh cùng tham số (biểu diễn đớp dạng các hệ thức khác giữa từng biến nội sinh theo biến
ngoại sinh, tham só và có thể theo biến nội sinh khác, cách biểu diễn này gọi là nghiệm của mô
hình).
Nghiệm có thể biểu diễn chính xác, xấp xỉ hoặc dưới dạng bằng lời giải bằng số nếu tất
cả các biến ngoại sinh và tham số có giá trị bằng số. Nghiệm cũng có thể mô tả dưới dạng các
biểu thức, các hàm số nếu biến ngoại sinh, tham số có giá trị quy ước trừu tượng. Nghiệm của
mô hình sẽ phụ thuộc vào các biến ngoại sinh và tham số.
1.3.2 Các hình thức biểu diễn nghiệm của mô hình.
1.3.2.1 Hàm kinh tế dạng hiện (hàm hiện)
Sau khi giải mô hình, ta xác lập được quan hệ giữa biến nội sinh y với véc tơ ngoại sinh
X = (x1,x2, ,xn) và véc tơ tham số α = (α1,α2, ,αk) hoặc viết gọn hơn

yj = Fj(x1,x2, ,xn,α1,α2, ,αk) = Fj(X,α) với j=1÷m
a. Trường hợp hàm tuyến tính:
F(X) = α
o
+ α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ + α
n
x
n
= α
0
+


n
i 1
α
i
x
i
= (α,X)
dạng hàm này phản ánh quan hệ tỷ lệ không đổi giữa các biến. Đây là dạng hàm đơn giản nhất
về cấu trúc toán học.

b. Dạng hàm mũ (Exponential) Cobb - Douglas:
Dạng hàm này đơn giản về cấu trúc do có thể “tuyến tính hoá” bằng cách chuyển dạng loga và
nó khá phù hợp với nhiều mối quan hệ trong thực tiễn thông qua các giả thiết nhất định đối
với các tham số của hàm.
(tuyến tính hoá hàm Cobb - Douglas (log - linear):




n
i
iinn
xxxy
1
*
110
lnln lnlnln
0

c. Hàm CES (Constant Elasticity Subtituation):
Để giúp đơn giản hoá trong quá trình biến đổi, trong những tính huống nhất định, ta có thể
không xét mối quan hệ trực tiếp giữa bản thân các biến mà xét quan hệ giữa các dạng biến đổi
của chúng miễn là quan hệ vẫn được bảo toàn.
d. Hám thuần nhất, hàm đồng điệu (Homogenous Function):
Hàm y = F(X) thuần nhất bặc r (r>0), nếu ta có F(tX, α)=t
r
F(X, α) với mọi t>0. Nếu r=0, r=1 ta
có hàm thuần nhất bậc không, hàm nhuần nhất bậc nhất; đây là 2 dạng hàm cũng thường được
sử dụng trong kinh tế.
Ví dụ: Hàm Cobb - Douglas

Là hàm thuần bậc



n
i
i
1
.
Hàm CES là hàm thuần bậc r.
Chứng minh hàm thuần bậc r (r>0):
Hàm y=F(X) ↔ F(tX) = t
r
F(X)

t >0.
Một số tính chất của hàm thuần nhất:
- Các đạo hàm riêng
∂F/∂x
i
, thuần bậc r-1.
- ry =




n
i
i
i

x
F
x
1
(định lý Euler)



n
i
in
in
xxxxXFy
1
0210
)(
21






r
n
i
ii
xy









1
0



n
i
in
in
xxxxXFy
1
0210
)(
21





r
n
i
ii
xy









1
0
- Nếu x
i
# 0, thì
), ,,1,, ,(
111
i
n
i
i
i
i
i
r
i
x
x
x
x
x
x

x
x
Fy
x


do đó nếu hàm một biến và thuần nhất bậc 1
thì y = xF(1).
1.3.2.2 Hàm kinh tế dạng ẩn (hàm ẩn):
Là dạng hàm mà biến nội sinh không được thể hiện trực tiếp qua các biến ngoại sinh mà được
thể hiện dưới dạng:
Fj(y
1
,y
2
, ,y
m
;x
1
,x
2
, ,x
n
;α
1
,α
2
, ,α
k
) = 0 (j = 1÷m)

Hay Fj(Y,X, α)=0
Dạng đơn giản: F(y,x1,x2, ,xn) = 0
Hay F(y,X) = 0
Về hình thức vẫn có thể viết y là hàm hiện của các x
i
.
1.3.2.3 Tập mức, đường mức của hàm.
Xét hàm y = F(X; α) xác định trong miền D

R
n
. Ta định nghĩa:
Tập mức trên của hàm ứng với giá trị y - ký hiệu là S(y):
S(y) = {X

D: F(X)≥y}.
Tập mức dưới của hàm ứng với giá trị y - ký hiệu là I(y):
I(y) = {X

D:F(X)≤y}.
Đường mức của hàm ứng với giá trị y - ký hiệu là L(y):
L(y) = {X

D:F(X)=y}.
Minh hoạ bằng mô hình
F(x
j
, y
i
) = y = constant

1.3.3 Phân tích so sánh tĩnh.
1.3.3.1 Phân tích tác động tuyệt đối.
Sử dụng đạo hàm và vi phân của hàm số:
Đối với hàm hiện:
Y = F(X) = F(x1,x1, ,xn) khả vi.
Khi đó, tác động riêng (tính đạo hàm riêng):
i
ii
i
dx
x
F
dy
x
F
MF






Tác động tổng hợp (toàn phần):
i
n
i
i
n
n
dx

x
F
dx
x
F
dx
x
F
dx
x
F
dy














1
2
2
1

1

Hàm hợp: u = u(X); v = v(X)
i
i
i
i
ii
ii
i
i
i
x
F
x
u
u
F
x
y
xuFy
x
u
u
F
x
y
uFy
v
uxvvxu

v
u
y
u
x
v
v
x
u
x
y
vuy































.),(
.)(
)./()./(
.
2
Hàm ẩn:
Hàm có dạng: F(y,x
1
,x
2
, ,x
n
) = 0
y
F
0















i
ii
i
i
x
F
x
y
dx
dy
dx
x
F
dy
y
F
1.3.3.2 Phân tích tác động tương đối.
Phân tích tác động tương đối thông qua phân tích hệ số co giãn (elasticity):

F(X)
i
x
i

Ý nghĩa của việc phân tích hệ số co giãn riêng: hệ số co giãn riêng cho biết tại X, khi
xi thay đổi (tức thời) 1%, khi các yếu tố khác không đổi thì y biến đổi bao nhiêu %
Hệ số co giãn toàn phần:
)()(
1
XX
n
i
y
x
y
i




Ý nghĩa của việc phân tích hệ số co giãn toàn phần: hệ số co giãn toàn phần cho biết
tại X, khi tất cả các xi thay đổi 1%, thì y thay đổi bao nhiêu %. Xu hướng thay đổi của y phụ
thuộc vào dấu và độ lớn của các hệ số co giãn riêng.
Thay đổi tương đối tổng hợp:












n
i
i
i
y
x
n
n
y
x
y
x
x
dx
x
dx
x
dx
y
dy
1
1
1
111


Đặt
Fix
F(X)
Fi
i
A
MFi
A
y
x
i


Nếu y,xi>0 khi đó hệ số co giãn có thể tính theo công thức:
)(
)(
)(
i
X
i
y
Lnx
Lny
X





Trong đó, Lny và Lnx
i
là logarit cơ số tự nhiên của y,x
i

Nếu u = u(X), v = v(X)
u
x
y
u
y
x
v
x
u
x
y
x
v
x
u
x
y
x
ii
iii
iii
uFy
v
u

y
vuy



.)(
.



Nếu quan hệ giữa y và các biến ngoại sinh có dạng hàm Cobb - Douglas:





n
i
i
y
i
y
x
n
i
n
xxxy
1
210

21




1.3.3.3 Nhịp tăng trưởng (hệ số tăng trưởng: growth rate).
Xét thời gian là biến ngoại sinh, hệ số co giãn của một biến theo thời gian - lấy gốc
thời gian tại điểm đang xét - gọi là nhịp tăng trưởng, cũng là biến động tương đối của biến theo
thời gian.
Ý nghĩa của hệ số tăng trưởng: hệ số tăng trưởng của một biến theo thời gian đo tỷ lệ
biến động của biến đó theo thời gian.
Hệ số tăng trưởng của y (r
y
) được định nghĩa theo công thức sau:
Với y=y(t):
y
dtdy
y
t
dt
dy
r
t
Y
/
.
1


Với y=F(X1,X2, ,Xn,t) với t là biến thời gian:

y
t
y
r
Y



thông thường, r
y
được tính theo tỷ lệ %.
Với y = F(x1(t),x2(t), ,xn(t)) →
ii
x
n
i
y
xy
rr



1

Từ công thức định nghĩa hệ số tăng trưởng và các quy tắc tính đạo hàm, ta có các công thức
sau:
vuy
vuy
vuy
r

v
u
v
r
v
u
u
rvuy
rrrvuy
rrrvuy









/
.
1.3.3.4 Phân tích chuyển đổi (hệ số thay thế, hệ số bổ sung)
Giả sử Y=F(x1,x2, ,xn) tại X=X
0
giá trị tương ứng của y là y = F(X
0
) = y
0
. Vấn đề đặt ra là
nếu ta cho 2 biến ngoại sinh thay đổi và cố định các biến khác sao cho y không đổi, tức là

y=y
0
, thì sự thay đổi của 2 biến này phải theo tỷ lệ nào? Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của 2
biến, tỷ lệ này có thể gọi là tỷ lệ thay thế (thay thế giữa vốn và lao động), tỷ lệ bổ sung (bổ
sung giữa 2 mặt hàng), tỷ lệ chuyển đổi (chuyển đổi giữa tiêu dùng hiện tại và tương lai). Ta
có thể tính tỷ lệ này như sau:
để giữ mức y không đổi tức là phải có:



n
t
ii
dxxXdy
1
0)/(

Nếu dXi/dXj = 0 thì ta nói rằng Xi, Xj không thể thay thế (hoặc bổ sung) cho nhau tại
(X=X
0
).
1.4 Quy trình xây dựng và sử dụng mô hình toán kinh tế.
Xây dựng mô hình toán kinh tế.
Việc xây dựng mô hình toán kinh tế thường được tiến hành theo 4 bước sau:
Bước 1: Xây dựng mô hình định tính cho đối tượng kinh tế cần nghiên cứu nghĩa là xác định
các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập các quy luật mà các yếu tố kinh tế phải tuân
theo. Nói cách khác là phát biểu mô hình bằng lời, bằng biểu đồ cùng các điều kiện kinh tế, kỹ
thuật, xã hội, tự nhiên và các mục tiêu cần đạt được. Để làm được điều đó cần:
- Xác định mục tiêu nghiên cứu đối tượng kinh tế cần mô hình (mục tiêu nhận thức, phân tích,
dự đoán về đối tượng kinh tế đó).

- Nghiên cứu các học thuyết kinh tế, xã hội, khoa học liên quan đến đối tượng kinh tế cần
nghiên cứu.
- Xác định quan điểm của người nghiên cứu thông qua thực tiễn, lý luận và các mô hình liên
quan đến đối tượng kinh tế cần nghiên cứu.
Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho đối tượng kinh tế cần nghiên cứu, nghĩa là diễn tả lại
dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính, bao gồm xác định biến kinh tế và các
ràng buộc của các biến kinh tế. Bao gồm các công việc sau:
Hệ số:
j
i
x
F
x
F
M





i
j
dx
dx
j)RS(i,
Nếu dXi/dXj <0 thì ta nói Xi có thể thay thế (chuyển đổi) được cho Xj (tại X=X
0
) với
t
ỷ lệ │dX

i/dXj
│, tỷ lệ này cho ta biết khi t
ăng (giảm) Xj một đơn vị thì phải giảm (tăng) mức
Xi bao nhiêu đơn vị để giữ nguyên mức của Y và được gọi là hệ số thay thế (cận biên) của Xi
cho Xj.
Nếu dXi/dXj>0 thì ta nói Xi có thể bổ sung cho Xj (tại X=X
0
) và với tỷ lệ dXi/dXj, tỷ
lệ này cho biết khi tăng (giảm) mức Xj một đơn vị thì phải tăng (giảm) mức Xi bao nhiêu đơn
vị để giữ nguyên mức của Y và được gọi là hệ số bổ sung (cận biên) của Xi cho Xj.
- Dựa vào lý luận để quyết định lựa chọn các biến kinh tế và các hệ thức ràng buộc của mô
hình.
- Sử dụng các công cụ toán học để phânt ích mối quan hệ giữa các biến kinh tế, kể cả các quan
hệ tiềm ẩn.
- Xác lập mối liện hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh với các biến ngoại sinh và các tham số.
- Chọn các biến số đặc trưng cho trạng thái của hệ thống kinh tế cần nghiên cứu.
- Xây dựng các hệ thức toán học thiết lập quan hệ và ràng buộc giữa các biến số và các tham
số điều khiển đối tượng kinh tế cần nghiên cứu.
- Xác định hàm mục tiêu, nghĩa là dặc trưng bằng số biểu thị hiệu quả củahoạt động của các hệ
thống kinh tế đang nghiên cứu.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học đã xác lập ở
bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng,lựa chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù
hợp. Tiếp đó cụ thể hoá phương pháp bằng các thuật toán tối ưu và thử nghiệm giải bài toán
trên máy tính điện tử.
Trên cơ sở quan hệ giữa các biến được biểu thị thông qua các biểu thức toán học, ta có
thể mô phỏng trên máy tính điện tử giả định các tính huống của các biến kinh tế khác liên
quan.
Bước 4: Dựa vào các số liệu thu thập được, mô phỏng trên máy tính các tình huống trong quá
khứ và hiện tại, dự đoán và kểim định sự phù hợp của mô hình đối với lý luận thực tiễn. Để
nâng cao tính hiện thực của mô hình kinh tế đã có, ta có thể thêm bớt, thay đổi vai trò một số

biến ngẫu nhiên, các hệ thức toán học ràng buộc của các biến kinh tế Để phân tích sâu sắc
hiện tượng hoặc hệ thống kinh tế đang xét, ta phân chia các vấn đề nghiên cứu thành những
chuyên đề độc lập và ứng với nó khái quát hoá bằng các mô hình kinh tế con phù hợp. Mỗi mô
hình hoàn chỉnh mô phỏng đầy đủ đúng đắn, sâu sắc hiện tượng hoặc hệ thống kinh tế cần
nghiên cứu.
Có thể xẩy ra 1 trong 2 khả năng sau:
Khả năng 1:
Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với lý thuyết và thực tế. Khi đố cần lập một
bản tổng kết ghi rõ cách đặt vấn đề, mô hình toán học thuật toán tối ưu, chương trình máy tính,
cách chuẩn bị số liệu để đưa vào máy tính, nghĩa là toàn bộ các công việc cần thiết cho việc áp
dụng mô hình và kết qủa để giải quyết vấn đề thực tế đặt ra. Trong trường hợp mô hình cần
được sử dụng nhiều lần thì phải xây dựng hệ thống phần mềm bảo đảm giao diện thuận tiện
giữa người sử dụng và máy tính điện tử, không đòi hỏi người sử dụng phải có trình độ chuyên
môn cao về toán.
Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế, trong trường hợp này
cần phải xem xét các nguyên nhân của nó. Có 4 nguyên nhân sau:
Nguyên nhân 1: Các kết quả tính toán trong bước 3 chưa đủ độ chính xác cần thiết. Khi đó cần
phải xem xét lại các thuật toán cũng như các chương trình tính toán đã viết và sử dụng.
Nguyên nhân 2:Các số liệu ban đầu (các hệ số, thông số) không phản ánh đúng thực tế giá cả,
chi phí trên thị trường, các định mức vật tư, hoặc các số liệu khác về công suất, khả năng máy
móc, dự trữ tài nguyên Khi đó cần điều chỉnh lại cho chính xác.
Nguyên nhân 3: Mô hình định tính xây dựng chưa phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế.
Nếu vậy cần rà soát lại bước 1 xem có yếu tố hoặc quy luật nào đó còn bị bỏ sót không.
Nguyên nhân 4: Việc xây dựng mô hình toán học ở bước 2 chưa thật đúng. Cần xây dựng lại
cho phù hợp, mức đọ tăng dần từ tuyến tính đến phi tuyến tính, từ tĩnh đến động.
CHƯƠNG II. MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG KINH TẾ
2.1 Giới thiệu chung về mô hình tối ưu.
2.1.1 Giới thiệu chung về mô hình tối ưu.
Mô hình tối ưu thường được sử dụng trong phân tích kinh tế vi mô nhằm nghiên cứu
các hoạt động chi tiết của cơ chế thị trường, đề cập đến các tình huống khi một nền kinh tế giải

đáp 3 vấn đề cơ bản (sản xuất cái gì, sản xuất cho ai, sản xuất như thế nào).
Thông qua mô hình tối ưu ta có thể phân tích cách ứng xử, hàng vi của các tác nhân
kinh tế khi theo đuổi mục đích của mình.
2.1.2 Một số giả thiết và vấn đề liên quan đến mô hình tối ưu
Sự lựa chọn của tác nhân kinh tế.
Khái niệm về tác nhân:
a. Về mặt nhân sự, năng lực và đặc điểm của hành vi:
Xét về mặt nhân sự: tác nhân kinh tế (chủ thể kinh tế) có thể là một cá nhân, một tập thể người
có đủ năng lực hành vi phù hợp với quy định của luật pháp và tập quán.
Tác nhân có thể là hộ gia đình, doanh nghiệp, công ty, tổ chức chính phủ, phi chính
phủ, một quốc gia
Đối tượng được xem là tác nhân là CON NGƯỜI. Trong quá trình hoạt động - quá
trình ra quyết định - hành vi ra quyết định của đối tượng thường được giả định là hành vi hợp
lý. Hành vi hợp lý được quan niệm như sau:
+ Trong khuôn khổ các điều kiện của bản thân, của môi trường tự nhiên, môi trường xã hội,
đối tượng phải có năng lực nhận thức được những khả năng hoạt động có thể có cũng như khả
năng không thể có.
+ Đối tượng phải xét tới tất cả thông tin có thể tiếp cận được để biết được kết quả của việc lựa
chọn khả năng hoạt động có thể có.
+ Trên cơ sở các kết quả tương ứng với từng khả năng, đối tượng có thể phân loại, sắp xếp các
khả năng theo tiêu chuẩn nhất định của ban thân.
b. Về hoạt động.
Đối tượng nhân sự được coi là tác nhân nếu đối tượng có toàn quyền quyết định lựa chọn khả
năng hoạt động (có thể có) của mình, đồng thời hoàn toàn chịu trách nhiệm về kết quả của việc
ra quyết định. Nói cách khác đối tượng có quyền tự chủ, tự chịu trách nhiệm trong hoạt động
của mình.
Sự lựa chọn của tác nhân.
Hoạt động của con người là hoạt động có ý thức và hướng đích
Con người luôn điều chỉnh hoạt động của mình sao cho thích nghi, phù hợp với điều
kiện chủ quan, khách quan liên quan tới hoạt động của mình để đạt được mục đích.

Do môi trường có sự biến đổi nên tạo ra nhiều khả năng lựa chonj cho cá nhân trong
các quyết định.
Tác nhân là con người luôn lựa chọn khả năng đáp ứng tốt nhất mục đích theo những
chuẩn mực đã định trước (những chuẩn mực đó phải phù hợp với luật pháp, phong tục, tập
quán )
Việc lựa chọn quyết định trong số các khả năng có thể có của tác nhân là sự lựa chọn
tối ưu theo các tiêu chuẩn, chuẩn mực nhất định.
Mô hình mô tả sự lựa chọn này gọi là mô hình tối ưu.
Cấu trúc mô hình tối ưu.
 Tập chấp nhận.
Do trong quá trình hoạt động kinh tế của tác nhân, do tác động của quy luật và điều kiện tự
nhiên, xã hội tạo ra mối quan hệ giữa các yếu tố và hình thành các khả năng lựa chọn cho tác
nhân. Tập các khả năng này gọi là tập chấp nhận đối với hoạt động của tác nhân và được ký
hiệu là D.
Tập chấp nhân có thể là hữu hạn, vô hạn hoặc không đếm được.
Ví dụ: Để chọn mua bánh trung thu trong dịp tết trung thu cổ truyền, người tiêu dùng có thể
chọn mua bánh của nhiều hãng sản xuất khác nhau: của Kinh Đô (A); của Hải Hà (B); của Hải
Châu (C); của BiBiKa (D) Như vậy, tập chấp nhận trong việc lựa chọn phương án mua bánh
là D=
│A,B,C,D │

Mỗi phần tử thuộc D được gọi là điểm chấp nhận hoặc phương án, kế hoạch của tác
nhân.
 Biến chọn:
Nếu khả năng lựa chọn của tác nhân được mô hình hoá bởi véctơ biến X=(x
1
,x
2
, ,x
n

) thì các
biến x
1
,x
2
, ,x
n
được gọi là biến chọn.
Các biến chọn sẽ trực tiếp thể hiện khả năng lựa chọn của tác nhân và chúng là các
biến nội sinh của mô hình.
Ví dụ: Các doanh nghiệp muốn chọn mức sản lượng để tối đa hoá lợi nhuận thì mức sản lượng
là biến chọn của doanh nghiệp để tối đa hoá lợi nhuận; Công ty Kinh Đô muốn chiếm thị
trường tiêu thụ sản phẩm bánh kẹo của mình ở khu vực miền Bắc thì % thị trường chiếm lĩnh
so với đối thủ cạnh tranh là biến chọn của Kinh Đô
* Quan hệ thứ tự ưa thích, biến mục tiêu và hàm mục tiêu.
a. Quan hệ thứ tự ưa thích trên tập chấp nhận.
Nếu tác nhân chọn X

D sẽ đem lại kết quả nhất định. Kết quả có thể là tích cực, tiêu cực. Vì
điều kiện của 1 tác nhân về hành vi hợp lý, tác nhân có thể phân loại, sắp xếp các khả năng
theo thứ tự phù hợp với mục tiêu lựa chọn gọi là thứ tự ưa thích của tác nhân.
b. Biến mục tiêu và hàm mục tiêu.
- Biến mục tiêu z (Objective varialble) của tác nhân thể hiện lợi ích được biến số hoá của tác
nhân khi lựa chọn phương án.
Trong thực tế, nhiều yếu tố lợi ích mang tính định lượng nên dễ biến số hoá, ví dụ: Lợi
ích của hộ gia đình khi chọn mua và tiêu thụ hàng hoá, lợi ích của quốc gia khi hội nhập kinh
tế, lợi ích của dân chúng khi nhà nước thực hiện cải cách hành chính theo các phương án
- Đa mục tiêu khi có nhiều biến mục tiêu (Multi Objective)
- Hàm mục tiêu: là hàm các phương án lựa chọn X trong tập chấp nhận.
z=F(x

1
,x
2
, ,x
n
).
- Hàm ràng buộc: g
i
(x
1
,x
2
, ,x
n
)=(≤)b
i
với i=1÷m.
Mô hình tối ưu tổng quát.
 Mô hình tối ưu một mục tiêu:
Nếu lựa chọn của tác nhân trên tập chấp nhận chỉ căn cứ vào một mục tiêu với biến
mục tiêu z và hàm mục tiêu z=U(X) thì ta có mô hình tối ưu sau:
z=F(X)=F(x
1
,x
2
, ,x
n
) → Max (Min)
g
i

(X)≤(≥)b
i
, i=1÷m
x
j
≥0, j=1÷n.
 Mô hình tối ưu đa mục tiêu: Nếu lựa chọn của tác nhân trên tập chấp nhân căn cứ vào
k mục tiêu z
1
,z
2
, ,z
k
và k hàm mục tiêu z
i
=U
i
(X) i=1÷k
Thì mô hình tối ưu có dạng sau:
z
k
=F
k
(X)
→ Max (Min)
(k=1÷K)
g
i
(X)≥(≤)b
i

, i=1÷m
x
j
≥0, j=1÷n
2.2 Mô hình phân tích hành vi của doanh nghiệp - Hành vi sản xuất kinh doanh.
2.2.1 Mô hình phân tích hành vi sản xuất.
Khái niệm doanh nghiệp: là tác nhân hoạt động trong lĩnh vực sản xuất kinh doanh hàng hoá -
dịch vụ.
Chức năng: Biến đổi các nguồn (yếu tố đầu vào như vốn, lao động, tài nguyên, công nghệ )
thành sản phẩm (đầu ra) nhằm mục tiêu nhất định.
Hành vi: Lựa chọn đầu vào, đầu ra, giá bán nhằm đạt được mục tiêu lợi ích: lợi nhuận, doanh
thu, chi phí
Ba vấn đề cơ bản của doanh nghiệp: sản xuất cái gì (What?); sản xuất như thế nào (How?);
sản xuất cho ai (for Whom?). Lựa chọn của doanh nghiệp trong trường hợp giới hạn về nguồn
lực gọi là lựa chọn tối ưu.
Các yếu tố chi phối:
- Nội tại của bản thân doanh nghiệp: Công nghệ sản xuất (kỹ thuật và quản lý).
- Yếu tố bên ngoài: Thị trường đầu vào, đầu ra và vị thế của doanh nghiệp.
(Vị thế của doanh nghiệp: Mức độ chi phối của doanh nghiệp đến việc hình thành giá cả trên
thị trường. + Cạnh tranh hoàn hảo: Doanh nghiệp là người chấp nhận giá (Price taking); giá là
biến ngoại sinh. + Độc quyền: Doanh nghiệp là người chi phối giá (Price making); giá là biến
nội sinh. + Cạnh tranh không hoàn hảo
- Mục tiêu của doanh nghiệp.
Sơ đồ hệ thống mô tả hành vi của doanh nghiệp:
Cạnh tranh hoàn hảo
Công nghệ
Độc quyền
Công nghệ
Yếu tố sx
Cung

Giá Mục tiêu
Cung Yếu tố sx
giá
Mục tiêu
2.2.2 Mô hình hàm sản xuất.
* Mô hình mô tả công nghệ (mô hình hàm sản xuất):
a. Khái niệm hàm sản xuất:
Hàm sản xuất biểu thị quan hệ giữa mức sử dụng các yếu tố sản xuất và kết quả (mức
sản lượng).
Hoặc có thể định nghĩa hàm sản xuất như sau: Hàm sản xuất cho một đầu ra Q, dạng
Q=f(X
1
, X
2
, ,X
n
) là một mô hình chỉ ra số lượng cực đại của đầu ra có thể sản xuất được bằng
việc sử dụng kết hợp các yếu tố đầu vào một cách có lựa chọn.
Ví dụ1: Hàm sản xuất Cobb-Douglas mô phỏng sản xuất nông nghiệp nước Áo từ năm 1951-
1955 như sau: Q=2,439X
0,0635
K
0,6172
L
0,3193
trong đó: Q là sản lượng sản phẩm; K là vốn; L là
lao động; X là tài nguyên được khai thác.
Ví dụ 2: Hàm sản xuất mô hình tổng sản phẩm Việt Nam từ 1986-`995 (theo niên giám thống
kê) như sau: Y=75114K
0,175

L
0,904
e
0,0124t

Ví dụ 3: Hàm sản xuất dạng tuyến tính: 


n
i
ii
XkQ
1
Trong đó: Q là sản lượng; Xi là khối lượng yếu tố sản xuất thứ i (i=1÷m); ki: hàng số (i=1÷m)
Ví dụ 4: Hàm sản xuất CES:
 
)0#,10,0(;)1(
1







 KLKQ
Với Q là sản lượng; K là vốn; L là lao động;




,,
là các hằng số.
Hàm sản xuất có véctơ sử dụng các yếu tố sản xuất: X=(x1,x2, ,xn) là các biến ngoại
sinh.
Hàm sản xuất Q=F(x
1
,x
2
, ,x
n
) ; mức sản lượng Q là biến nội sinh.
Đường đồng lượng mức Q:
Doanh nghiệp
{X=(x
1
,x
2
, ,x
n
):F(x
1
,x
2
, ,x
n
)=Q}
2.2.3 Mô hình phân tích tác động của các yếu tố tới sản lượng
 Phân tích so sánh tĩnh mô hình.
Hàm sản xuất Q=F(x
1

,x
2
, ,x
n
).
a. Khi thay đổi mức sử dụng yếu tố i (thay đổi 1 biến ngoại sinh).
Trong ngắn hạn doanh nghiệp chỉ có thể thay đổi 1 yếu tố i
- Năng suất biên của yếu tố i (MPi - sản phẩm hiện vật của yếu tố i):
ni
x
F
MPi
i
,1; 




Ý nghĩa của MPi: Năng suất biên của yếu tố i cho ta biết khi doanh nghiệp cố định mức sử
dụng các yếu tố khác và tăng (giảm) mức sử dụng yếu tố i 1 đơn vị thì mức sản lượng sẽ tăng
(giảm) bao nhiêu đơn vị. (do đó, MPi thường được giả định là >0).
- Năng suất trung bình của yếu tố i (APi) AP
i
=F(X)/x
i
với i=1÷n.
- Độ co giãn của Q theo yếu tố i:
APi
MPi
XF

x
x
F
i
i
Q
x
i




)(
.

- Hệ số thay thế giữa yếu tố i và yếu tố j: (i # j)
);,1,(; jinji
MPj
MPi
dx
dx
i
j


b. Khi thay đổi đồng thời mức sử dụng các yếu tố:
Trong dài hạn, doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố và tình huống được quan
tâm là khi tất cả các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỷ lệ (tuyệt đối hoặc tương đối) thì tác
động này ảnh hưởng như thế nào tới sản lượng. Khi này, ta có thể đề cập đến khả năng tăng
quy mô và hiệu quả với hệ số


(Return to Scale):
Cho hàm sản xuất Q=F(x1,x2, ,xn)
X’=λX=(λx1,λx2, ,λxn)
Q’=F(λX)=(λx1,λx2, λxn)
Khi đó
Việc tăng quy mô có hiệu quả khi:
F(λX)>λF(X)
Hiệu quả tăng theo quy mô (increasing return to scale: IRS).
Việc tăng quy mô có hiệu quả giảm khi: F(λX)<λF(X)
Hiệu quả giảm theo quy mô (Decreasing return to scale: DRS)
Việc tăng quy mô không thay đổi hiệu quả khi: F(λX)=λF(X).
Hiệu quả không đổi theo quy mô (Constant return to scale: CRS)
Đo hiệu quả theo quy mô (tương đối) ta dùng độ co giãn toàn phần của Q theo các yếu tố:



n
i
Q
x
Q
i
1

Hàm sản xuất có hiệu quả tăng (giảm, không đổi) theo quy mô khi
1),( 
Q

.

* Một số dạng hàm sản xuất:
a. Dạng hàm Leontiev:
- Các yếu tố sản xuất không thể thay thế được cho nhau, tỷ lệ sử dụng các yếu tố sản xuất
x1,x2, ,xn là k1/k2/ /kn không đổi.
Q=min{xi/ki}
- Đường đồng lượng dạng (với 2 yếu tố sản xuất).
b. Dạng hàm tuyến tính:



n
i
ii
xQ
1

Các yếu tố thay thế được hoàn toàn cho nhau, với tỷ lệ thay thế không đổi, đường đồng lượng
(với 2 yếu tố sản xuất) là đường thẳng có độ dốc là tỷ lệ thay thế cận biên của 2 yếu tố.
c. Dạng hàm Cobb - Douglas:
),1(10;0,
0210
21
nixxxQ
in
n




α

0
: tham số hiệu quả.
Hàm thuần nhất bậc r (



n
i
i
r
1

)
Để xét tính hiệu quả theo quy mô của hàm: so sánh r với 1.
Với hàm Cobb-Douglas thuần nhất bậc 1, theo định lý Euler về hàm thuần nhất



n
i
ii
MPxQ
1
Vì MP
i
là năng suất cận biên c
ủa yếu tố i → x
i
MP
i

= ),1( niQMPxx
x
Q
MPx
iiii
i
ii






Như vậy có thể coi tham số α
i
như là phần “tỷ lệ đóng góp” của yếu tố i trong việc tạo ra mức
sản lượng Q. Vì vậy nếu thực hiện việc phân chia sản lượng Q cho các yếu tố thì chia theo tỷ lệ
α
i
là hợp lý. Vì thế tham số α
i
được gọi là tham số phân phối.
d. Hàm dạng tân cổ điển:
Hàm sản xuất: ),( LKFQ

được gọi là tân cổ điển nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1. MP
K
>0; MP
L

>0
2. MP
KK
<0; MP
LL
<0.
3. F(K,L) thuần nhất bậc 1.
4. Điều kiện Inada:
0;
00


L
L
K
K
L
L
K
K
MPLimMPLimMPLimMPLim
Phân tích tác động của tiến bộ công nghệ:
Tiến bộ công nghệ là tất cả những gì làm tăng Q mà không phải do tăng sử dụng cá
yếu tố đầu vào. Để thể hiện tác động của tiến bộ công nghệ ta sử dụng mô hình Q=A(t)F(K,L)
với tham số A(t)>0 đại diện cho tác động tổng hợp của tiến bộ - phụ thuộc thời gian t - và giả
thiết A(t)>0 (theo thời gian, tiến bộ công nghệ càng có tác dụng tích cực tới sản xuất)
Phân loại tiến bộ công nghệ:
- Nếu Q=F(A(t).K,L) tiến bộ công nghệ gọi là kiểu tiết kiệm vốn.
- Nếu Q=F(K,A(t).L) tiến bộ công nghệ gọi là kiểu tiết kiệm lao động.
- Nếu Q=A(t).F(K,L) tiến bộ công nghệ gọi là kiểu trung tính.

- Nếu Q=A(t).F(K(t),L(t)) thì tham số A(t) gọi là năng suất tổng hợp của các nhân tố TFP.
Chứng minh :
LLKKAQ
rrrr





Từ hàm Q=A(t).F(K(t),L(t)) ta lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian có:
dt
tLtKdF
dt
tdA
dt
dQ ))(),(()(

))(),(),(( tLtKtAF
A
dt
dQ

Trong đó,
LK

,
là độ co giãn của sản lượng Q theo K, L. Nếu qua phân tích số liệu ta
xác định được
LQKLK
rrr ,,,,


thì từ đây có thể tính được r
A
tức là xác định được tác động của
tiến bộ công nghệ tới sản lượng Q. Phương pháp ước lượng hệ số tăng trưởng của các biến
theo cách trên gọi là phương pháp hạch toán tăng trưởng trong phân tích tăng trưởng kinh tế.
2.2.4 Mô hình tối ưu về mặt kinh tế của quá trình sản xuất.
Sử dụng mô hình mô tả công nghệ sản xuất của doanh nghiệp để phân tích ta mới chỉ
đạt được tối ưu về mặt kỹ thuật mà chưa tính đến các điều kiện bên ngoài (thị trường đầu vào).
Thể hiện thông qua giá của các yếu tó sản xuất. Trong điều kiện giới hạn về nguồn lực, chi
phí doanh nghiệp phải lựa chọn sao cho với cùng mức chi phí mà đạt được lợi nhuận cao
nhất.
Xảy ra 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Cố định sản lượng, tối thiểu hoá chi phí (bài toán cực tiểu hoá chi phí).
Trường hợp 2: Cố định chi phí, tối đa hoá sản lượng (bài toán tối đa hoá sản lượng).
* Mô hình xác định hàm chi phí của doanh nghiệp.
a. Mô hình tối thiểu hoá chi phí:
Bài toán: Gọi Q là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất. Doanh nghiệp sử dụng các
yếu tố ở mức x1,x2, ,xn để sản xuất Q, Như vậy với hàm sản xuất Q=F(x1,x2, ,xn) sẽ phải
có điều kiện F(x1,x2, ,xn)=Q và gọi là ràng buộc về mặt sản lượng. Đồng thời để sản xuất ra
sản lượng Q doanh nghiệp phải chi ra một khoản là



n
i
ii
xwz
1
. Ứng với tình huống này ta có

mô hình sau:
i
w
i
xXMinz



n
1
i
W),(
(1)
F(X)=F(x1,x2, ,xn) ≥ Q ; X ≥ 0
Trong đó: Biến nội sinh z, (x
1
,x
2
, ,x
n
); Biến ngoại sinh: Q, W = (w
1
, w
2
, , w
n
)
Giải bài toán: Sử dụng hàm Lagrange để tìm điều kiện cần của bài toán tối ưu trên: (xem trang
81, tài liệu 1)
 




m
i
iii
XgbXUXL
1
)()(),(

Trong đó z=U(X)→Min
D={X

R
n
+
, gi(X)≥(≤)bi, i=1÷n} Ứng dụng hàm Lagrange vào bài toán (1) có: