CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 2017 ĐẦY ĐỦ NHẤT

Tài liệu Tốn – ơn thi THPT QG 2017

ThS. Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.02

CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các định nghĩa:
•
•
•
•
•
•

an = a.a...a
123

(n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R)

n thua so

1

a = a ∀a
a 0 = 1 ∀a ≠ 0
1
a− n = n
(n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R / { 0} )
a
m
an

a

−

( a > 0; m, n ∈ N )

n

= am

m
n

=

1
m
an

=

1
n m

a

2. Các tính chất :
•
•

am .an = am+ n
am
n

= a m− n

•

a
(am )n = (an )m = am.n

•

(a.b)n = an .b n

•

a n an
( ) = n
b
b

3. Hàm số mũ: Dạng : y = ax ( a > 0 , a ≠ 1 )
• Tập xác định : D = R
x
• Tập giá trị :
T = R + ( a > 0 ∀x ∈ R )
• Tính đơn điệu:
*a>1

: y = ax đồng biến trên R
•

* 0 < a < 1 : y = ax nghịch biến trên R
Đồ thị hàm số mũ :

20


Tài liệu Tốn – ơn thi THPT QG 2017

y

ThS. Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.02

y=ax

y

y=ax
1

1

x

a>1

0

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LƠGARÍT
1. Định nghĩa:

Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0. log N = M
a

dn

a > 0

a ≠ 1
N > 0


Điều kiện có nghĩa: log a N có nghĩa khi
2. Các tính chất :
•
•
•

•

log a 1 = 0
log a a = 1

log a (

log a aM = M

•

• aloga N = N
•
log a (N1 .N 2 ) = log a N1 + log a N 2
3. Cơng thức đổi cơ số :
•

log a N = log a b. log b N

•

log b N =
* Hệ quả:

•

log a b =

log a N
log a b

1
log b a

* Công thức đặc biệt:

aM = N

⇔

log

và

a

ak

N=

1
log a N
k

logb c
log a
=c b

21

N1
) = log a N1 − log a N 2
N2

log a N α = α . log a N
Đặcbiệt
log a N 2 = 2. log a N

x

Tài liệu Tốn – ơn thi THPT QG 2017

ThS. Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.02

4. Hàm số logarít:
Dạng y = log a x ( a > 0 , a ≠ 1 )
• Tập xác định : D = R +
T=R
• Tập giá trị
• Tính đơn điệu:
*a>1
: y = log a x đồng biến trên R +
* 0 < a < 1 : y = log a x nghịch biến trên R +
• Đồ thị của hàm số lơgarít:
y

y

O

y=logax

y=logax

x

1

O

a>1

x

1

0
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
4. Định lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0; N > 0
thì : loga M = loga N ⇔ M = N

1. Định lý 1: Với 0 < a ≠ 1
thì : aM = aN ⇔ M = N

5. Định lý 5: Với 0 < a <1
thì : loga M < loga N ⇔ M >N (nghịch
biến)
6. Định lý 6: Với a > 1
thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng
biến)

2. Định lý 2: Với 0 < a <1
thì : aM < aN ⇔ M > N (nghịch
biến)
3. Định lý 3: Với a > 1.
thì : aM < aN ⇔ M < N(đồng
biến )

22


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM = aN
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ..
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử
dụng công cụ đạo hàm).
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có khơng q một
nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của
phương trình f(x) = C) .
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương
trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) =
g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log a M = log a N
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
4.

Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất. (thường là
sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có khơng q một
nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của
phương trình f(x) = C) .
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương
trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) =
g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM < aN ( ≤, >, ≥ )


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ
DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : loga M < log a N ( ≤, >, ≥ )
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

LUYỆN TẬP
PHẦN 1: BÀI TẬP CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LUỸ THỪA, MŨ VÀ LOGARIT
I.

Lũy Thừa

Bài 1.Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)
c) ( )– 10.27 – 3 + (0,2)– 4.25– 2
d)

–4
–4
–2
–2
c) (a – b ):(a – b )
d) (x3 + y – 6):(x + )
e) –
f) (x.a–1 – a.x –1). –
Bài 2.Tính các biểu thức sau:
a) 5 2.3 2 2 : 2
d) a. a . a : a
3

3


h) 


11

b) 3 4.3 2. 8
1
2

c) a a a a : a 16

e) x . x . x
2 3

4

f)

5

1

3 + 2 − ( 3 − 2 )  ( 3 + 2 ) 2 +



3 − 2 


1
2

5

b 3 a
.
a
b

g)

6 3+

5

2 2+ 5 .31+

5

−1

Bài 3.Cho hai số a ,b > 0.Tính các biểu thức sau:
3

1

3

1
2

c) ( a − a + 1)( a + a + 1)(a − a + 1)
4

e)

4

4
3

−1
3

1
4

3
4

a (a

d) a + a

2
3

+a )

f) a

−1
4

2
3

2
3

3

i)  a + a b + ab + a (a + b) + 3b(a − b ) 
2

2
a −1 (a − b) 
 a + 2ab + b
4

3

2

4

3

4

−

1
2

b +b

+

1
3

(1 − a )(1 − a

−

1
2

)

1+ a

a

a+ b
6

1
1

a
b
3
3
(
a
+
b
) :  2 + 3 + 3 
h)
b
a


g) ( a + b )(a + b − ab )
3

1
3
6

a (a + a )
3

2

2

1

b) (a −5 + a 5 )(a −5 + a 5 )(a 5 − a −5 )

a) (2a − 4 + 3a 4 ) 2

2

2

−

1
3

: (a + b) −1

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a
(1 − ( ) −2 )a 2
b

j)

1
2

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

k) .( 1 + ).(a + b + c)– 2

1
2

(a − b ) 2 + 2 ab

Bài 4. Cho biết 4x + 4– x = 23 ,hãy tính 2x + 2– x.
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:
 a −2 + b − 2 2(a −1 + b −1 ) 
 : (ab) − 2
+
a) (a + b – ):()
b) 
2
3

(a + b ) 
 ( a + b)


a 2
2 2  a −3
.
−
2 −1
−1 
−2
(
1
+
a
)
a

 1− a

d) 

c) (a4 – b)– 1 + ( )– 1 –
3


2
22
+ −2
e) 

2 −1
a
 (1 − a )



  a −2
 : 
−2
 1+ a






−1

f) .


1
1
( b + 1) 2  1 

 1− 
+
−
h) 
2 

1
−
b
a
+
a
b
a
−
a
b

 b 

1
1


b b  2



+  :  a − b 2 
i) 1 − 2
a a 



2

Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:
1

1
(4 3

a)A =

c) C =

3
4

1
− 10 3

+

1
1
3
25 )(2 3

3
4

3
4

1

2

1
2

3
4

(a − b )(a + b )
a −b

+

1
53 )

b) B =



4a − 9a −1
a − 4 + 3a −1 
f) F =  1
+
1
1
1


−

−
2
2
2
a −a 2 
 2a − 3a

3
 32

1 1
1
1
2

a
+
b
a
b   2 2 2

2 −1
− 1
−
:
a
b
(
a
+

b
) 
g) G = 
1
1
1  
a −b



a 2 + b 2 a 2 − b 2  

−1

3
  32
 . a − b 2 − a − b
1 1
1
1
 
  a − a 2 b 2 a 2 + b 2






5

 (4 a + 4 b ) 2 + (4 a − 4 b ) 2  3
i) I = a 
 . a a
a
+
ab


3

j)J =

1
a2

1
2

3
1
1
 32
1  2
2
2
x
−
a
x
−

a
2
d) D =  1
+
(
ax
)
.
1
 x −a
 x 2 − a 2
 

− ab

2
 23

(b − a 3 ) 3 − 2a 2 − b 2 

6
4 2
2 4
(a + 3a b + 3a b + b ) + 
2
2

 a 2 + (b 3 − a 3 ) 3 + 2b 2 
2
6 3

1
2

x −y

1
1


1
1
2
2
a
−
b
a
−
b

 : (a 4 − b 4 )
−
e) E =  3
1
1
1
1 
 a 4 + a 2 .b 4 a 4 + b 4 

1 1

2a + b 2 a 2
h) H = 
3a


1

x.y 2 − y.x 2

−3

2






2


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
2
 1 a
 
b
k) K = 2(a + b) . ( ab ) . 1 + 
−

÷
a÷
 4  b
 

1
2

–1

Bài 7. Cho 2 số a =

với a.b > 0

và b =

4 + 10 + 2 5

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

1
2

Tính a + b

4 − 10 + 2 5

 a
b
+

Bài 8. Rút gọn biểu thức A = với x = 
÷ a < 0 ;b < 0
a÷
 b

Bài 9. Cho 1≤ x ≤ 2. Chứng minh rằng:

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2
2

2

2

Bài 12. Cho ba số dương thoả a + b = c . Chứng minh rằng : a 3 + b 3 > c 3
Bài 13. Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng nếu c là cạnh lớn nhất thì :
3
4

3
4

3
4

a +b >c
Bài 14. Cho a ,b ≥ 0 và m ,n là hai số nguyên dương thoả m ≥ n . Chứng minh rằng :
1

1

(a m + b m ) m ≤ (a n + b n ) n
Bài 15. Cho f(x) =
a)Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1
b) Tính tổng S = f() + f() + …+ f() + f()
Bài 16. Tìm miền xác định của các hàm số sau:
a) y = (x2 – 4x + 3)– 2
b) y = (x3 – 3x2 + 2x)1/4
c) y = (x2 + x – 6)– 1/3
d) y = (x3 – 8)π/3
Bài 17.So sánh các cặp số sau:
π
a)  
2

5/2

6
d)  
7

3

π
và  
2

7
và  
8

II.

10 / 3

π
b)  
2

2

π
e)  
6

5

2

3

π
và  
5

π
và  
5

3

c)  
5

2

2
f)  
5

2

10 / 4

4
và  
7

3
và  
5

5/2

3

LOGARIT

Bài 1.Tính
a) log 2 43 16
d) log a 3 a a

Bài 2.Tính
a) 2 log8 3

3
b) log 1 27 3

c) log

3

2

85 32

e) log3(log28)
b) 49 log7 2

c) 25 3 log5 10

d) 64 2 log 2 7

e) 4 2+log 2 3
1

g)( (0,25)

3 log 2 5

h)
log 3 5

 1 
Bài 3. Chứng minh rằng 

 3
Bài 4.Rút gọn các biểu thức sau:

=

25
1
5

1
log8 5

và

+ 49

a

2
h)  1 
9

1
log 6 7

log

a

b

= b2

log 3 4

f) 10 3 log10 8


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a) log

6

3. log 3 36

b) log

d)

e) lgtg1o + lgtg2o+ …+ lgtg89o

3

8. log 4 81

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

1
c) log 2
. log 25 3 2
5

1
3
f) 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 45
2
3
3
3

Bài 5.Cho log23 = a ; log25 = b .
3
Tính các số sau : log2 ,log2 135 , log2180 , log337,5 , log3, log1524 , log
Bài 6. a)Cho log53 = a,tính log2515

10

30

b) Cho log96 = a , tính log1832

Bài 7.Cho lg2 = a , log27 = b,tính lg56
Bài 8.Cho log615 = a ,log1218 = b , tính log2524
49
Bài 9.Cho log257 = a ,log25 = b hãy tính log 3 5
8
Bài 10. Chứng minh rằng log186 + log26 = 2log186.log26

Bài 11.a)Cho lg5 = a ,lg3 = b tính log308
b) Cho log615 = a ,log1218 = b tính biểu thức A = log2524
c) Cho log45147 = a ,log2175 = b , tính biểu thức A = log4975
Bài 12. Cho log275 = a , log87 = b , log23 = c .Tính log635 theo a,b,c
Bài 13.Cho log23 = a , log35 = b , log72 = c .Tính log14063 theo a,b,c
Bài 14.Cho a2 + b2 = 7ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng : lg() = ( lga + lgb )
Bài 15.Cho a2 + 4b2 = 12ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng: lg(a + 2b) – 2lg2 = ( lga + lgb )
Bài 16.a)Cho x2 + 4y2 = 12xy x > 0,y > 0, chứng minh rằng lg(x + 2y) – 2lg2 = (lgx + lgy)
b) Cho a,b > 0 thoả mãn 4a2 + 9b2 = 4ab và số c > 0,≠ 1,chứng minh rằng :
logc =
Bài 17.Cho log1218 = a , log2454 = b ,chứng minh rằng ab + 5(a – b) = 1
Bài 18.Cho logaba = 2 , tính biểu thức A = logab
Bài 19. Chứng minh rằng : a) a log c b = b log c a
b) = 1 + logab
c) logad.logbd + logbd.logcd + logcd.logad =
Bài 20.Cho a,b,c,N > 0,≠ 1 thoả mãn: b2 = ac . Chứng minh rằng :
1

1

1

Bài 21.Cho y = 10 1−lg x , z = 10 1−lg y . Chứng minh rằng : x = 10 1−lg z
Bài 22.So sánh các cặp số sau:
log 1 5
log 1 3
a) log43 và log56
b)
và
c) log54 và log45

2

5

d) log231 và log527
e) log59 và log311
f) log710 và log512
g) log56 và log67
h) logn(n + 1) và log(n + 1)(n + 2)
Bài 23.Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a)y = log6
b) y =
c) y =
Bài 24.a) Cho a > 1. Chứng minh rằng : loga(a + 1) > loga +1(a + 2). Từ đó suy ra
log1719 > log19 20


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG 1: CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH VỀ CÙNG MỘT CƠ SỐ.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a. 4. 5 = 5. 10
b. . 243 = 3 .9
c. (x - 2) = (x - 2)
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a.log (3x - 1) + = 2 + log (x + 1)
b. 2log(x - 5x + 6) = log + log (x - 3)

c. log (x + 2) - 3 = log (4 - x) + log (x + 6)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Giải các phương trình sau:
1) 2.5 = 0,01.(10)
2) (0,6) = (0,216)
4) 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3
5) 2 = 4
7) 2 = 16
8) 32 = .128
10) 5 + 6.5 - 3.5 = 52
11) 3 = 9
13) 2.3.5 = 200
14) 4.9 = 3
16) log (x - 2) + log (x - 2) + log (x - 2) = 4
17) log = 2log (x - 1) - log (x + 1)
18) log (x - 2) - 2 = 6log
19) log (x + x) - 2 + log (2x + 2) = 0
20) log (x + 4x - 4) = 3
21) log (x - 1) = 2log (x + x + 1)
22) log (x + 3x + 2) + log (x + 7x + 12) = 3 + log3
23) log (x + 2) - 3 = log (4 - x) + log (x + 6)
24) log(x + 1) + 2 = log + log (4 + x)
25) log - log (3 - x) - log (x - 1) = 0
26) log (x + 3x + 2) - log (x + 7x + 12) = 2 + log
27) log (2x + 2x - 3x + 1) = 3

3) 2.3.5 = 12
12) (x - 2x + 2) = 1
15) 3 =

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

DẠNG 2: CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a. 25 = 9 + 2.5 + 2.3

b. 4 + 4 = 4 + 1

c. 12.3 + 3.15 - 5 = 20

d. 9 + 2(x - 2)3 + 2x - 5 = 0

Ví dụ 2: Giải phương trình:
a. logx + logx = 1 + logx.logx

b. (x + 1)[logx] + (2x + 5)log x + 6 = 0

BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 2 + 2 = 2.2 + 1
2) x.2 + 6x + 12 = 6x + x.2 + 2
3) 2 + 3 = 6 + 2
4) 4+ x.3 + 3 = 2x.3 + 2x + 6
5) x.2 = x(3 - x) + 2(2 - 1)
6) 2[log x] + xlog x + 2x - 8 = 0
7) 3.25 + (3x - 10).5 + 3 - x = 0
8) (x + 2)[log (x + 1)] + 4(x + 1)log (x + 1) - 16 = 0
9) 8 - x.2 + 2 - x = 0

10) x.3 + 3 (12 - 7x) = - x + 8x - 19x + 12

11) 25 - 2(3 - x).5 + 2x - 7 = 0

12) log x + (x - 1)log x = 6 - 2x

13) x + (2 - 3)x + 2(1 - 2) = 0

14) lg (x + 1) + (x - 5)lg(x + 1) - 5x = 0

15) log x. log 5 - 1 = log x - log 5 16) log x + 5log x = 5 + log x.log x
DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ - ĐỔI BIẾN
Phương trình tồn tại a , a , a , a , v.v.. ⇒ ta đặt t = a > 0. Hoặc PT có a và b với a.b = 1 ⇒ ta đặt t = a > 0 và
khi đó b = =
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a. 2 + 2 = 9
b. + = 12
c. 3 - 28.3 + 9 = 0
d. (3 - ) + (3 + ) = 6.2
e. 125 - 4.50 + 20 + 6.8 = 0
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a. log (4 + 4).log (4 + 1) = 3
b. 1 + log (x - 1) = log 4


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

c. log (x - 1) - 5log (x - 1) + 1 = 0
d. log + log = log(x + 2)
e. log (4x + 12x + 9) = 4 - log (6x + 23x + 21)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 3 + 3 = 30
2) 2 + 2 - 17 = 0
3) 9 - 10.3 + 1 = 0
4) 64.9 - 84.12 + 27.16 = 0
5) 4 - 9.2 + 2 = 0
2

2

x+ x −2
− 5.2 x −1+ x − 2 − 6 = 0
6) 4
7) 3.3 - 10.3 + 3 = 0
8) 3.2 - 8.2 + 4 = 0
9) 2 - 9.2 + 2 = 0
10) 25 = 25 + 24.5
11) (2 - ) + (2 + ) = 14

(

4 − 15

) (
x

+

4 + 15

12)
15) ( + 1) + 2( - 1) = 3.2
16) + 5-2= 10
17) (5 - ) + 7(5 + ) = 2
18) + = 6

)

x

=8

19) 3.4 + 2.9 = 5.6
20) (7 + 5) + ( - 5)(3 + 2) + 3(1 + ) + 1 - = 0
21) (2 + ) + (2 - ) =
22) (2 + ) + (7 + 4)(2 - ) = 4(2 + )
23) ( - 1) + ( + 1) - 2 = 0

24) 3.8 + 4.12 - 18 - 2.27 = 0

25) 3 - 2.3 + 3 = 0
26) (7 + 4) - 3(2 - ) + 2 = 0
27) log 2 + log x =
28) - 4log = 1
29) - log = 0
30) log (x - 8x + 16) + log (-x + 5x - 4) = 3
31) 1 + = log 32) log .log x - log = + log

33) log (-x) - 2logx + 4 = 0
34) log x - log x = log 3 - 1 35) log (5 - 1).log(2.5 - 2) = 2
36) 5log x + log x + 8log x = 2
37) log (4 + 15.2 + 27) + 2log = 0
38) log + log 5x - 2,25 = log
39) 3log 6 - 4log x = 2log x


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
40) log 2.log 2 = log 2
41) log (lgx + 2 + 1) - 2log ( + 1) = 1
42) + = 1
43) lg x - lgx + 2 = 0
44) log x + 40log x = 14.log x
45) log (x - 1) - 5log (x - 1) - 3376 = 0
46) log (2 + x) + log x = 2
47) log (2x - 9x + 9) + log (4x - 12x + 9) = 4
48) log(9 + 7) = 2 + log (3 + 1)
49) lg (x - 1) + lg (x - 1) = 25
50) 3 + = log 9x 51) log (2x + x - 1) + log(2x - 1) = 4
52) 4 + 2 = 4 + 2
53) 4 - 3.2 - 4 = 0
54) log (x + 1) - 6log + 2 = 68) log 27 - log 3 + log 243 = 0
69) 8 + 1 = 2. 70) 2 - 2 - 6(2 - 2.2) = 1
DẠNG 4: MŨ HÓA - LOGARIT HÓA
PP: giúp ta chuyển một PT mũ - log về một PT log - mũ mà ta đã biết cách giải. Cần chú ý:
a = b ⇔ log a = log b
⇔ f(x) = g(x).log b ( hoặc log a = log b ⇔ f(x).log a = g(x) )
. log f(x) = log g(x). Đặt t = log f(x) = log g(x)

Khi đó: a = f(x) và b = g(x) ⇒ chuyển về phương trình mũ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a. 5.8 = 500
b. x = 1000x
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a. log (log x + + 9) = 2x
b. log log x = log log x
c. 3log (1 + + ) = 2log
DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
-

Nếu f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì PT (*) có khơng q một nghiệm. Nghĩa
là nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.
Nếu y = f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì f(u) = f(v) ⇔ u = v với mọi u, v ∈
D.
Nếu y = f(x) có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời f (x) có đúng m nghiệm phân
biệt
thì phương trình f (x) = 0 sẽ có khơng q m + 1 nghiệm.
Chú ý: đạo hàm của (a )' = u'. a .lna và đạm hàm của (log u)' =

Hầu hết các phương pháp ở các dạng trên sau nhiều phép tính toán, biến đổi rất dễ đưa về dạng toán này. Cho
nên các bạn cần chú ý học và tìm hiểu kỹ dạng này. Đó cũng là tiền đề để bạn sử dụng phương pháp này để
giải các dạng tốn khác.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a. 2 = 3 - x
→ HD giải: PT ⇔ 2 - 3 + x = 0
Xét f(x) = 2 - 3 + x với mọi x ∈ R
Ta có f'(x) = 2 ln2 + 1 > 0 ∀x ∈ R ( do 2 > 0 và ln2 > 0 )
⇒ f(x) luôn đồng biến trên R, mà f(1) = 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất là x = 1.
b. 9 = 5 + 4 + 2.

→ HD giải: Bài tốn trên có đến 4 cơ số khác nhau, ta quyết định chia cho cơ số lớn nhất 9.


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
PT ⇔ 1 = ++ 2. ( Nhậm nghiệm thử ta thấy x = 2 thỏa mãn )
Do 0 < ; ; < 1 nên ln < 0 , ln < 0 , ln < 0.
Do đó f '(x) = ln +ln + 2.ln < 0 ∀x ∈ R
Nên hàm số f(x) nghịch biến trên R, mà f(2) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 2.
c. 3 + 5 = 6x + 2
→ HD giải: nhận xét 1 vế của phương trình là " hàm mũ ", còn vế còn lại là " hàm đa thức ". Không thể biến
đổi như các dạng đã đề cập ở trên của chuyên đề nên ta quyết định sử PP hàm số.
Xét f(x) = 3 + 5 = 6x + 2 với x ∈ R
Ta có f '(x) = 3 ln3 + 5 ln5 - 6 là hàm số liên tục
Và f '(0) = ln3 + ln5 - 6 < 0 , f '(1) = 3ln3 + 5ln5 - 6 > 0
Nên phương trình f '(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = x
Bảng biến thiên:
−∞
+∞
x
x
f '(x)
0
+
f (x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có khơng q hai nghiệm phân biệt.
Mà f(0) = f(1) = 0 nên mọi nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 hoặc x = 1
Để có thể ứng dụng PP hàm số này một cách hiệu quả trước tiên bạn nên " nhẩm nghiệm " PT đã cho trước.
Ứng với số nghiệm tìm được ta sẽ đề xuất cách giải.
d. (2 - ) + (2 + ) = 4

→ HD giải: PT ⇔ + = 1
Xér f(x) = + với x ∈ R
Vì 0 < ; < 1 nên ln < 0 và ln < 0
Do đó, f'(x) = .ln + ln < 0 ∀x ∈ R
Nên hàm số f(x) luôn nghịch biến trên R, mà f(1) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 1
e. 7 = 1 + 2log (6x - 5)
→ HD giải: Điều kiện 6x - 5 > 0 ⇔ x >
Đặt y - 1 = log (6x - 5) thì 7 = 6x - 5 (1)
PT đã cho trở thành 7 = 1 + 2log (6x - 5)
⇔ 7 = 1 + 6log (6x - 5)
⇔ 7 = 1 + 6log 7
⇔ 7 = 1 + 6(y - 1)
⇔ 7 = 6y - 5 (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được: 7 - 7 = 6x - 6y
⇔ 7 + 6(x - 1) = 7+ 6(y - 1)⇔ f(x - 1) = f(y - 1)
Dễ thấy f(t) = 7 + 6t là hàm số đồng biến trên R, mà f(x - 1) = f(y - 1) ⇔ x - 1 = y - 1 ⇔ x = y
Khi đó phương trình đã cho có dạng (1) ⇔ 7 - 6x + 5 = 0 (3) ( nhẩm nghiệm x = 1, x = 2)
Xét hàm số g(x) = 7 - 6x + 5 ∀x ∈ R
Ta có g'(x) = 7.ln7 - 6 nên g'(x) = 0 ⇔ x = 1 + log


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
Bảng biến thiên:
−∞
+∞
x
x
g'(x)
0

+
g (x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 chỉ có khơng q hai nghiệm phân biệt
Mà f(1) = f(2) = 0 nên x = 1, x = 2 là các nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a.log x + log (2x - 1) + log (7x - 9) = 3
→ HD giải: Điều kiện x >
Xét hàm số f(x) = log x + log (2x - 1) + log (7x - 9) với x >
Ta có f '(x) == + + > 0 ∀x >
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên ( ; +∞) nên phương trình f(x) = 3 nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.
Mà f(2) = 3 nên phương trình đã cho có nghiệm x = 2
b. x.log x = 27
→ HD giải: x > 0
Viết phương trình đã cho dưới dạng log x - = 0
Xét hàm số f(x) = log x - với x > 0
Ta có f '(x) = + > 0 ∀x > 0 nên hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; +∞) nên phương trình f(x) = 0 nếu có
nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất. Mà f(3) = 0 nên phương trình có nghiệm x = 3
c. 2 + log x = 2
→ HD giải: x > 0
PT ⇔ 2 + log = 2
⇔ 2 + log (x + x) - log (x + 1) = 2
⇔ 2 + log (x + x) = 2 + log (x + 1)
Đặt f(t) = 2 + log t ( t > 0)
Ta có f '(t) = 2 ln2 + > 0 ∀t > 0
Nên hàm số y = f(t) luôn đồng biến trên (0; + ∞) Lại có f(x + x) = f(x + 1)
⇔ x + x = x + 1 ⇔ . Vậy x = 1 là nghiệm phương trình.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Giải các phương trình sau:
1) 3 - 4 + x = 0
2) (0,5) = 2x + 8

3) 3 + 4 = 5 4) () + 1 = 4
5) 3 + x - 66 = 0
6) 3 + 4 = 5x + 2
7) 2 - 3 = 7
8) 9 = 8x + 1
9) 2 = 3x - 1
10) 4 - 2 + x - 1 = 0 11) 1 + 8 + 4 = 9
12) 3 = 5 - 2x
13) 5 = 3 + 2
14) 1 + (3 + ) + (3 - ) = 7
15) 7 = x + 2
16) 2 + 5 = 7
17) 9.3 - 7 = 5.4
18) 3 = 2 - 1 19) 1 + 8 = 3
20) 2 + 5 + 3 = 10 21) 25 + 10 = 2
22) 5 + 7 = 13
23) 4.3 - 6 + 2 - x = 0
24) () + () = 2
25) log (x + 2) = 6 - x
26) log(x - 2) = - x + 2x + 3
27) x + log(x - x - 6) = 4 + log(x + 2)
28) log(x - 6x + 5) = log(x - 1) + 6 - x
29) x = x .3 - x 30) (1 + x)(2 + 4) = 3.4
31) log (1 + cosx) = 2cosx 32) 5 + 2 = 3 + 4
33) x + 3 = 2x
34) log = 1 + x - 2 35) 5 + 3 + 2 = 28x - 18
36) (4 + 2)(2 - x) = 6


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
37) 5 + 2 = 2 - + 44log (2 - 5 + ) 38) 4 + 2 = x - 9x + x + 2
39) log(x - x - 12) + x = log(x + 3) + 5
40) x(log 5 - 1) = log(2 + 1) - log6
41) 3x - 2x = log (x + 1) - log x
42) (1 + ).log + log2 = log(27 - 3 )
43) log (x - 2x - 2) = log (x - 2x - 3)
44) = 1
45) (2 + ) + x(2 - ) = 1 + x 46) 5 - 3 = 3 - 5
47) log (log x) + log (log x) = 2
48) log x + log x + log x = log x
49) log (x - ).log (x + ) = log (x - )
DẠNG 6: TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO - ĐẶC BIỆT.
Ở chương trình trung học phổ thơng hiện hành thì 5 dạng tốn đã đề cập ở trên là phù hợp với học sinh
nhất từ những dạng đơn giản đến phức tạp. Đối với dạng 6, chuyên đề dành một chút " toán giải trí " và mở
mang " tư duy " cho các bạn học sinh bằng những phương pháp giải " khơng giống ai " ! Mời các bạn thử sức.
• Sử dụng phương pháp đối lập ( đánh giá 2 vế của phương trình )
Ví dụ 1: Giải phương trình + = 5 - 2x - x
→ HD giải: điều kiện ∀x ∈ R
Ta có Vế Trái = +
Trong đó = ≥ = 2
và = ≥ = 4
Vậy Vế Trái ≥ 2 + 4 = 6
Mặt khác, vế phải = 5 - 2x - x = 6 - (x + 1) ≤ 6
Vậy vế trái chỉ bằng vế phải ⇔ VT = VP = 6 ⇔ x = -1
Ví dụ 2: Giải phương trình 3 + = 1 + 2.3
→ HD giải: điều kiện ∀x ∈ R
Ta có pt ⇔ 3 + = 1 + 2.3
⇔ = 1 + 2.3 - 3
Ta có Vế Trái = = ≥ 2

Về Phải = 1 + 2.3 - 3 = 2 - (3 - 1) ≤ 2
Vậy phương trình chỉ có nghiệm ⇔ VT = VP = 2 ⇔ ⇔ x = -1
Ví dụ 3: Giải phương trình log (x - 1) + = log (2x - 4x + 2)
→ HD giải: x - 1 > 0 ⇔ x > 1
Ta có PT ⇔ = log (2x - 4x + 2) - log (x - 1)
Ta có VT = = ≥ 2
VP = log (2x - 4x + 2) - log (x - 1)
= log[2(x - 1)] - log (x - 1)
= 1 + 2log(x - 1) - log (x - 1)
= 2 - [log (x - 1) - 1] ≤ 2
Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm ⇔ VT = VP = 2
⇒ ⇔ ⇔ x = 3 (nhận vì x > 1)
Ví dụ 4: Giải phương trình 2 - 2 = (x - 1)
→ HD giải: Ta có VP = (x - 1) ≥ 0 ⇔ x - 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x - x ≥ x - 1
Mặt khác VT = 2 - 2 ≤ 0 (do 2 > 1, hàm đồng biến vì x - x ≥ x - 1 )
Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm ⇔ VT = VP = 0 ⇔ x = 1
•

Dạng a - a = v - u ⇔ a + u = a + v ⇒ dùng tính đơn điệu của hàm số.


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
Ví dụ 1: Giải phương trình 5 - 5 = (x + 1)
→ HD giải: Đặt u = x + 3x + 2 ; v = 2x + 5x + 3 thì v - u = (x + 1)
PT thành 5 - 5 = v - u ⇔ 5 + u = 5 + v.
Xét f(t) = 5 + t ∀t ∈ R có f '(t) = 5 ln5 + 1 > 0 ∀t ∈ R
⇒ f(t) luôn đồng biến trên R, mà f(u) = f(v) ⇔ u = v ⇔ (x + 1) = 0 ⇔ x = -1
• Dạng log u - log v = v - u ⇔ log u + u = log v + v ⇒ dùng tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 2: Giải phương trình log = x + 3x + 2

→ HD giải: Điều kiện > 0 ⇔ ∀x ∈ R
Đặt u = x + x + 3; v = 2x + 4x + 5 thì v - u = x + 3x + 2
PT thành log u - log v = v - u ⇔ log u + u = log v + v
Xét f(t) = log t + t ∀t > 0 có f '(t) = + 1 > 0 ∀t > 0
⇒ f(t) luôn đồng biến trên (0; +∞) mà f(u) = f(v) ⇔ u = v ⇔ x + 3x + 2 = 0 ⇔
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Giải các phương trình sau:
a) log = x - 5
b) 2log x = log x.log ( - 1
d) log = 3x - 8x + 5 e) 2 + 2 = x + x
g) log ( + 2) + (0,2) = 2

c) 2 - 2 = f) log = 2x - 6x + 2

PHẦN 3: BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH − BẤT PHƯƠNG TRÌNH − HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LOGARIT
A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
Bài 1: Giải các phương trình:
1/. 3x + 5x = 6x + 2

2/. 12.9x - 35.6x + 18.4x = 0

3/. 4x = 3x + 1

4/. 3 + 2 2

5/.

(

2+ 3

) (
x

+

2− 3

)

(

x

=4

7/. 12.9x - 35.6x + 18.4x = 0
9/.

3x + 6 = 3 x

6/.

) +( 3− 2 2)
x

x

= 6x

2 x + 2 + 18 − 2 x = 6

8/. 3x + 33 - x = 12.
10/. 2008x + 2006x = 2.2007x
2
12/. 2 x −1 = 5 x+1

11/. 125x + 50x = 23x + 1

2

2

13/. 2 x − x − 2 x + 8 = 8 + 2 x − x 2
15. x2.2x + 4x + 8 = 4.x2 + x.2x + 2x + 1
17. 4 x2 + x + 21− x2 = 2( x +1)2 + 1

14/. 2 x + x + 22− x− x = 5 15/.
16. 6x + 8 = 2x + 1 + 4.3x
18/ 3x + 1 = 10 − x.

19/. 22.

20/. (x + 4).9x − (x + 5).3x + 1 = 0
x
x
22/. 34 = 43
24/. 8x − 7.4x + 7.2x + 1 − 8 = 0

2

x +3 − x

− 5.2

x +3 +1

+ 2x+4 = 0

21/. 4x + (x – 8)2x + 12 – 2x = 0
2

2

23/. 4 x + ( x 2 − 7).2 x + 12 − 4 x 2 = 0
Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1/. 4

x +1+ 3−x

− 14.2

x +1+ 3−x

+8 = m

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

2/. 9 x+ 1− x2 − 8.3x +

1− x 2

+4=m

54
4/. 4x − 2x + 1 = m
x +3= m
3
Bài 3: Tìm m để phương trình 9x − 2.3x + 2 = m có nghiệm x∈(−1; 2).
Bài 4: Tìm m để phương trình 4x − 2x + 3 + 3 = m có đúng 2 nghiệm x∈(1; 3).
Bài 5: Tìm m để phương trình 9x − 6.3x + 5 = m có đúng 1 nghiệm x∈ [0; + ∞)
Bài 6: Tìm m để phương trình 4| x| − 2| x|+1 + 3 = m có đúng 2 nghiệm.
Bài 7: Tìm m để phương trình 4x − 2(m + 1).2x + 3m − 8 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
2
2
Bài 8: Tìm m để phương trình 4 x − 2 x +2 + 6 = m có đúng 3 nghiệm.
x
3/. 9 +

2
2
Bài 9: Tìm m để phương trình 9 x − 4.3 x + 8 = m có nghiệm x∈[−2; 1].
Bài 10: Tìm m để phương trình 4x − 2x + 3 + 3 = m có đúng 1 nghiệm.
Bài 11: Tìm m để phương trình 4x − 2x + 6 = m có đúng 1 nghiệm x∈[1; 2].

B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH − HỆ PT MŨ:

Bài 1: Giải các phương trình:
x

1/. 23 > 32
x+2

3/. 2

(

x

2/.

)

2

>

(

3+ 2

) +(
x

3− 2

) (

2

2x + 2 −1 . 2x

+1

+5

)

6/.

x

≤2

4 x − 3.2 x + 1 + 8
≥0
2x + 1 −1

7/. 2 x2 − x ≤ 4
9/. 2x − 1.3x + 2 ≥ 36

8/.

11/. 9 x − 4.3x+1 + 27 ≤ 0

2
2
12/. 2 x −2 x−3 ≤ 3x −2 x −3

3x + x − 4
14/. 2
>0
x − x−6

10/.

13/. 4 x + x − 1 − 5.2 x + x − 1 + 1 + 16 ≥ 0
15/. 6 x + 4 < 2 x +1 + 2.3x

(

)

4/. 3.4x + 1 − 35.6x + 2.9x + 1 ≥ 0

+ 5x + 1 < 2 x + 5x + 2

5/. 2 x + 1

(

)

2 x + 1 − 9.2 x + 4 . x 2 + 2 x − 3 ≥ 0
17/. 2

16/.

3x + 1 + 3x − 2 ≥ 3

2 x + 2 + 11 − 2 x ≥ 5

1
1
+1
2−
x
x <9
2
+2

Bài 2: Tìm m để bất phương trình: 4 x − 2 x − m ≥ 0 nghiệm đúng ∀x∈[0; 1].
Bài 3: Tìm m để bất phương trình: 4 x − 3.2 x +1 − m ≥ 0 nghiệm đúng ∀x∈R.
Bài 4: Tìm m để bất phương trình: 4 x − 2 x + 2 − m ≤ 0 có nghiệm x ∈[−1; 2].
Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3 x + 3 + 5 − 3 x ≤ m nghiệm đúng ∀x∈R.

2 x + 7 + 2 x − 2 ≤ m có nghiệm.
Bài 7: Tìm m để bất phương trình: 9 x − 2.3x − m ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 2].
Bài 8: Giải các hệ phương trình
 x + 2 y = 5
3x − 3 y = ( y − x )( xy + 8)
1/. 
2/.  2
3/.
y
2
 x + y = 8
 x − 2 = 1
Bài 6: Tìm m để bất phương trình:

 x y −1 = 8
 2 y −6
=4
 x


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
 2 x.9 y = 36
3x + 2 x = y + 11
4/.  y
5/.  x y
3 + 2 y = x + 11
3 .4 = 36
 4 x − 3 y = 7
 2 x = 4 y
7/.  x
8/.  x y
 4 = 32 y
 4 .3 = 144
 2 x + 3 y = 17
3x = 2 y + 1
10/.  x
11/.  y
y
3 = 2 x + 1
3.2 − 2.3 = 6
C. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Bài 1: Giải các phương trình:

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

 2 x − 2 y = y − x
6/.  2
2
 x + xy + y = 3
 2 x.5 y = 20
9/.  x y
5 .2 = 50
 x − 3 y = 1
12/.  2
y
 x + 3 = 19

(

(

)

)

1/. log 3 x + log x 9 = 3

x
x+1 − 2 = 1
2/. log 2 2 − 1 .log 4 2

2
3/. log 2 x − 3.log 2 x + 2 = 0

4/.

( )
(
( x − x − 5) = log ( 2 x + 5)

x
x+1 − 4
5/. x.log5 3 + log5 3 − 2 = log5 3

7/. log 3

2

)

3

6/. 4log3 x + xlog3 2 = 6
8/. log 32 x + ( x − 12) log3 x + 11 − x = 0

3

(

2
9/. 3log3 x + xlog3 x = 6

11/.

log3 x ( 9 x ) + log x ( 3 x ) = 1

10/. log 2 x + 4 = log 2 2 + x − 4

)

log 22 x − 3.log 2 x + 2 = log 2 x 2 − 2

12/. log 2 x.log 3 x + x.log3 x + 3 = log 2 x + 3log 3 x + x
13/. 3.log3 ( x + 2 ) = 2.log 2 ( x + 1)
14/. xlog3 4 = x 2 .2log3 x − 7.xlog3 2
2
15/. log 2 ( 4 x ) − log 2 ( 2 x ) = 5

17/.

16/. log 3 ( log 27 x ) + log 27 ( log3 x ) =

log 3 x + 2 = 4 − log 3 x

2
19/. 2.log 4 x = log 2 x.log 2

(

)

(

)

x − 7 +1

( )
( 8x ) = 8

x2

8 2

+ log 2

3

18/. log 2 x.log 3 x + 3 = 3.log 3 x + log 2 x

(

x
x
x+ 2 − 6
20/. log 3 2 − 2 + log3 2 + 1 = log3 2

21/. log 2

1

)
22/. 6.9log2 x + 6.x 2 = 13.xlog2 6

2

23/. log 22 x + log 2 x.log 2 ( x − 1) + 2 = 3.log 2 x + 2.log 2 ( x − 1)
24/. 3log 2 x + x log2 3 = 18

25/. x.log 22 x − 2( x + 1).log 2 x + 4 = 0

Bài 2: Tìm m để phương trình log 2 ( x − 2 ) = log 2 ( mx ) có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 3: Tìm m để phương trình log 22 x − log 2 x 2 + 3 = m có nghiệm x∈ [1; 8].

(

)

x
Bài 4: Tìm m để phương trình log 2 4 − m = x + 1 có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Bài 5: Tìm m để phương trình log 32 x − ( m + 2).log 3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1.x2 = 27.
D. BẤT PHƯƠNG TRÌNH − HỆ PT LOGARIT.


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
Bài 1: Giải các bất phương trình:
1/. log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) ≥ 2
2/. log 2 x + 3 ≥ log 2 x + 1

(

)

2
3/. log 2 x − 3x + 2 ≥ log 2 ( x + 14 )

(

)

4/. log 22 ( 2 x ) − log 2 x3 ≤ 1

x
x +1 ≤x
5/. log 2 4 − 2

(

2
6/. log 2 x + 2 log 2 x − 3

7/.
9/.

)

x2 − 5x + 4 ≥ 0
log x

1
8/. log2 x
2
2

+ 2.x 2 ≤ 3
log 22 x − log 2 x − 2
≥0
10/.
x
log 2
2

log 2 x − 1 ≤ 3 − log 2 x

(

log 2 x 2 − 6 x + 5
log 2 ( 2 − x )

) ≥2



11/. log 2  log 1 x + log 1 x − 3 ÷ ≤ 1
12/. log 2 x.log3 x + 2 ≤ log3 x + log 2 x 2

÷
 2

2
 x
2
2
13/. log 2 x  ÷+ log 2 x ≥ 1

14/. 3log3 x + x log3 x ≤ 6
8
Bài 2:
log x 2 + y 2 + 6 = 4
log x y + log y x = 2
x + y = 6
2
1/. 
2/. 
3/. 
 x + y = 6
log 2 x + log 2 y = 3
log3 x + log3 y = 1
 x + y = 6
 x 2 − y 2 = 3
 x + log 2 y = 4
4/. 
log 2 3 5/. log x + y − log x − y = 1 6/.  2 x − log y = 2
)
)

2
 3 (
log 2 x + log 2 y = 2
5(

(

log x + 2log 2 y = 3
3

7/. 
y
 x = 9

)

 x log 2 y + y log 2 x = 16
8/. 
log 2 x − log 2 y = 2

3.xlog 2 y + 2. y log2 x = 10
10/. 
log 4 x 2 + log 2 y = 2

 xy = 32
11/. 
log y x = 4

log x ( 2 x + y − 2 ) = 2
9/. 
log y ( 2 y + x − 2 ) = 2

log 2 ( xy ) = 4

12/. 
x
log 2  y ÷ = 2
 


A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Công thức mũ:
* Các đẳng thức cơ bản:
1) aα aβ = aα + β
α

α α

4) (ab) = a b

2)

aα
a

β

= aα − β
α

a
aα
5)  ÷ =
bα
 b

* Cho α , β là các số thực tuỳ ý , ta có:
1) Với a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β

3) (aα )β = aαβ

Với a,b > 0 , α , β là những số thực tuỳ ý.
2) Với 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Nhận xét: Với a > 0 thì aα = aβ ⇔ α = β
* Cho 0 < a < b và số thực m , ta có:

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

1) am < bm ⇔ m > 0
2) am > bm ⇔ m < 0
Nhận xét : Với a,b > 0;a ≠ b thì aα = bα ⇔ α = 0.
* Nếu n là số tự nhiên lẻ thì an < bn ⇔ a < b,
Chú ý :

n

a < n b ⇔ a < b với mọi a, b

* Cho số thực a > 0 ; m, n là hai số nguyên, n > 0 :

m
an

n

= am

.

* Lũy thừa với số mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác khơng.
* Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương.
2. Công thức Logarit
a. Định nghĩa: cho a > 0, a ≠ 1; b > 0. Ta có: loga b = α ⇔ aα = b
Ví dụ : log2 8 = x ⇔ 8 = 2x ⇔ x = 3 ⇒ log2 8 = 3
Ta có kí hiệu: log10 a = lga (lô ga thập phân của a) và loge a = ln a (loga tự nhiên của a ).
b. Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
• loga 1 = 0

• log ax = x
a

• loga a = 1

c. Tính chất:
Cho x, y > 0;0 < a ≠ 1. Ta có:
• loga (xy) = loga x + loga y

• loga

x
= loga x − loga y
y

Chú ý : Nếu xy > 0 thì loga (xy) = loga | x | + loga | y | và loga
d. Công thức đổi cơ số: Cho 0 < a,b ≠ 1;c > 0 , ta có: logb c =

x
= loga | x | − loga | y |

y

loga c
loga b

.

Từ đó ta có các hệ quả sau:
• loga b.logb a = 1 ⇔ loga b =

1
logb a

• log α b =
a

• logb c = logb a.loga c

logb c

Nhận xét: Ta có: log α bβ =
a

β
loga b
α

•a

và

1
loga b,α ≠ 0
α
logb a

=c

loga n b =

3. Hàm số mũ:
a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng y = ax với a > 0;a ≠ 1
b. Tính chất: Hàm số mũ y = ax (0 < a ≠ 1) có các tính chất sau
• Tập xác định là ¡ và tập giá trị là (0; +∞)
• Liên tục trên ¡ .

1
log b
n a


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

• a > 1 ⇒ hàm đồng biến, tức là ax1 > ax2 ⇔ x1 > x2 .
• 0 < a < 1 ⇒ hàm nghịch biến, tức là ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2.
1

ex − 1

• Giới hạn : lim (1 + 1)x = lim(1 + x)x = e và lim
=1
x→0 x
x
x →±∞
x→ 0

( )

( )

x
x
x
x
u
u
• Đạo hàm: (a ) ' = a ln a ⇒ e ' = e và a ' = a .u 'ln a

4. Hàm số Lơgarit
a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng y = loga x , trong đó 0 < a ≠ 1.
b. Tính chất: Các tính chất của hàm số lơgarit
• Liên tục trên tập xác định D = (0; +∞) và tập giá trị ¡
• a > 1 ⇒ hàm đồng biến ⇒ loga x1 > loga x2 ⇔ x1 > x2 > 0
• 0 < a < 1 ⇒ hàm số nghịch biến ⇒ loga x1 > loga x2 ⇔ 0 < x1 < x2
ln(1 + x)
=1
x
x→0

• Giới hạn: lim

(

)

• Đạo hàm: với x ≠ 0 ta có ln | x | ' =

1
1
⇒ loga | x | ' =
x
x lna

(

)

và

( ln | u |) ' = uu' , u ≠ 0 .

B. DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1. Các phương trình mũ cơ bản:
2. af (x) = b ⇔ f (x) = loga b; a,b > 0.

1. af (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x) ; a,b > 0.

3. af (x) = bg(x) ⇔ f (x) = g(x) loga b ; a,b > 0.
Để giải phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình cơ bản trên.

Ví dụ 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
2
1) 2x + 3x − 4 = 4x −1

3)

x
8x + 2

= 36.32− x

3
2x. 4x .3x 0.125 = 43 2

5)

7) 2x.3x−1.5x−2 = 12.

9)

8

x
x +2

= 36.3

2− x

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 2x + 2x +1 + 2x + 2 = 3x + 3x +1 + 3x + 2

2) (2 + 3)3x = (2 − 3)5x + 8
4)

3

2x + 1. 42x −1.83− x = 2 2.0,125

2
2
6) 2x + x − 4.2x − x − 22x + 4 = 0

8) 2 x .3 x −1.5 x −2 = 12
10)

1
3

2

x + 5 x −6

=

1
3

x+2

2) 32x2 + x + 5 = 272x +1


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

3) 5x2 − 5x + 6 = 2x − 3
2 − 5x + 4

5) (x2 + 3) x

2x − 2

 3
7)  ÷
 4

=

4)
6)

x+4

2

= (x + 3)

9 x 9
.
16 16

x2 −6x −

x −1
.5 x

x

2

x+ 5
x
32 − 7

=

= 10
x + 17
0,25.128 x − 3

( x=10).

8) 2x.x + 127x . 5x = 180.

9) 4x2 − 3x + 2 + 4x2 + 6x + 5 = 42x2 + 3x + 7 + 1.
11)

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

10) 2 x

5
2

2

− x +8

= 41−3x

12) 2 x + 2 x −1 + 2 x−2 = 3x − 3x−1 + 3x −2

2
= 16 2
13) 2 x.3x −1.5x −2 = 12

14) 5 x + 5 x+1 + 5x +2 = 3x + 3x +1 + 3x +2

2. Các phương pháp giải PT mũ thường gặp:
2.1. Phương pháp đặt ẩn phụ
Cũng như PT vô tỉ và lượng giác, để giải PT mũ ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Tức là ta thay
thế một biểu thức chứa hàm số mũ bằng một biểu thức chứa ẩn phụ mà ta đặt và chuyển về những
phương trình – bất phương trình ma ta đã biết cách giải. Phương pháp đặt ẩn phụ rất phong phú và đa
dạng, để có được cách đặt ẩn phụ phù hợp thì ta phải nhận xét được quan hệ của các cơ số có trong
phương trình.
*Dạng 1: F (af (x) ) = 0 .Với dạng này ta đặt t = af (x), t > 0(trong đkxđ của f(x)) và chuyển về phương
trình F (t) = 0, giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ đó ta tìm được x.
Ta thường gặp dạng: ma
. 2ff(x) + na
. (x) + p = 0.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
2
2) 4cos2x + 4cos x − 3 = 0

1) 2.16x − 15.4x − 8 = 0
4) 2 x − 21− x = 1

5) 2.3

x +4x

7) 32x − 8.3x + x + 4 − 9.9 x + 4 = 0

*Dạng 2: ma
.

f (x)

f (x)

+ nb
.

4

+9

x+

1

2

=9

x

2
2
3) 9 x −2x −x − 7.3 x −2x −x −1 = 2
2
2
6) 2x − x − 22+ x − x = 3

8) 23x − 6.2x −

1
3(x −1)

2

+

12
x

2

=1 .

+ p = 0, trong đó: ab = 1.

1
t

Với phương trình dạng này ta đặt t = af (x), t > 0 ⇒ bf (x) = .
Ví dụ 3: Giải các phương trình – bất phương trình sau
1) (5 + 24)x + (5 − 24)x = 10

2) (7 + 4 3)x − 3(2 − 3)x + 2 = 0.

3) ( 7 + 48)x + ( 7 − 48)x = 14

*Dạng 3: ma
. 2f (x) + n.(ab
. )f (x) + pb
. 2f (x) = 0. Với dạng này ta giải như sau


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
a
Chia 2 vế phương trình cho b2f (x) và đặt t = ( )f (x), t > 0. Ta có PT: mt2 + nt + p = 0 .
b

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau
1) 6.9x − 13.6x + 6.4x = 0

2
2
2
2) 9−x + 2x + 1 − 34.152x − x + 252x − x +1 = 0

3) 125x + 50x = 23x+1

4) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0

Bài tập 2: Giải các PT sau
1) 5 x − 51− x + 4 = 0
3)

2
x

8 −2

3 x +3
x

2) 3x + 9.3− x − 10 = 0
4) 52 x + 5 = 5

+ 12 = 0

(

9)

(

)

+ 16 3 − 5

)

x

x

x

7−4 3

(

) +(

11) 5 + 2 6

)

(

7+4 3

(

tan x

)

x

x

6) 5 +

= 14

)

+ 5−2 6
13) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 10

tan x

10)

(

(

5+2

)

x −1

19) 3 + 2 2

=

(

5 −2

) =(
x

)

x

= 10

x

x

+2=0

2− 3

16) 92 x − x

x −1
x +1

)

(

x

) +(
x

2+ 3

)

x

=4

14) 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x = 0

15) 3 4 − 15 + 3 4 + 15 = 8 3
17)

x

12) 41 / x + 61 / x = 91 / x

= 10

x

x

+5

( 24 ) + (5 − 24 )
8) ( 7 + 4 3 ) − 3( 2 − 3 )

5
16
= 2 x +3

5) 2 2 x + 2 −2 x + 2 x + 2 − x = 20
7) 3 + 5

x +1

2

+1

(

x

2 −1 + 3

2

− 34.152 x − x + 252 x − x

18) 3 + 5

)

20) 6.92 x

− 13.62 x

2

−x

2 x − x2

(

+ 3− 5
2

−x

)

2

2 x − x2

+ 6.42 x

2

−x

+1

=0
2

− 21+ 2 x − x = 0
=0

21) 34x +8 − 4.32x +5 + 27 = 0
23) (2 + 3)x + (2 − 3)x − 4 = 0

22) 22x +6 + 2 x +7 − 17 = 0
24) 2.16 x − 15.4 x − 8 = 0

25) (3 + 5)x + 16(3 − 5)x = 2 x +3

26) (7 + 4 3)x − 3(2 − 3)x + 2 = 0

27) 3.16 x + 2.8x = 5.36 x

28)

2
29) x
8

3x +3
−2 x

x+2

35) 9 − 3

x

=3 −9

2.2. Phương pháp hàm số

1
+ 6x

=

1
9x

30) 3x + 9.3− x − 10 = 0

+ 12 = 0
x
31) 5.4 + 2.25x − 7.10x = 0
−4.3x
3
33) x+1
=
3 − 1 1 − 3x
x

1

2.4 x

32) 52

x

+5=5

x +1

+5

x

34) 25.2x − 10x + 5x = 25
36) 2

2 sin x −2 cos x +1

1
− 
 10 

cos x −sin x −lg 7

+ 5 2 sin x −2 cos x +1 = 0


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

• Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên D thì phương trình f (x) = k chỉ

có nhiều nhất một nghiệm.
• Nếu hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có tính đơn điệu trái ngược nhau và cùng liên tục trên D thì
phương trình f (x) = g(x) chỉ có nhiều nhất một nghiệm.
Hµm sè y = a x đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0Hàm số f(x) đơn điệu trên D và u, v thuộc D thì f(u)=f(v) tơng đơng u=v.
Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên (a, b) thì ptrình f(x)=0 có tối đa 1 nghiệm trên đó.
Vớ d 5: Giải các phương trình sau:
1) 4x + 3x = 5x

2) 3x = 4 − x

3) 1) 3.4x + (3x − 10)2x + 3 − x = 0

4) 2003x + 2005x = 4006x + 2

5) 3cosx = 2cosx + cos x

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
1)34x + 8 − 4.32x + 5 + 27 = 0

2)22x + 6 + 2x + 7 − 17 = 0

3)(2 + 3)x + (2 − 3)x − 4 = 0

4)2.16x − 15.4x − 8 = 0

5)(3 + 5)x + 16(3 − 5)x = 2x+ 3

6)3.16x + 2.8x = 5.36x

2
x
7)8

3x + 3
−2 x

1
9)2.4x

1
+ 6x

=

8) (7 + 4 3)x − 3(2 − 3)x + 2 = 0

+ 12 = 0
1
9x

10)3x + x − 4 = 0

11)x2 − (3 − 2x )x + 2(1 − 2x ) = 0
x2 −2x

13) 9

12) 3x = 2x + 1

2x−x2

 1
− 2 ÷
 3

14) 25x − 6.5x + 5 = 0

=3

15) ( 7 + 48)x + ( 7 − 48)x = 14

16) x4 − 8ex −1 = x(x2ex −1 − 8)

2
17) 2x − 1 − 2x − x = (x − 1)2

18) 15 + 1 = 4 x

19)

x

x
2

20) 9 x = 5 x + 4 x + 2 20

2 = 3 +1

21) 2

x

2 x −1

+3

2x

x

+5

2 x +1

=2 +3
x

x +1

+5

23) 1 + 2

(

+3

x +1

=6

)

24) 2

x

(

)

x

5 2
22)   +  
2 5

x +2
1− x 2

x +1

.

x

2

1−2 x

−2

x2

=

1/ x

= 2,9 (*)

x −2
2x

25) x 2 − 3 − 2 x x + 2 1 − 2 x = 0

26) 25.2 x − 10 x + 5 x = 25

27) 12.3 x + 3.15 x − 5 x +1 = 20
29) x 2 − (3 − 2 x )x + 2(1 − 2 x ) = 0

28) 3x + 4 x = 5x
30) 22x −1 + 32x + 52x+1 = 2 x + 3x +1 + 5x +2

Bài tập 4: Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
|x2 − 2x − 3|− log3 5

3

GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY

2
= 5−(y + 4) (1) và 4| y | − | y − 1| +(y + 3) ≤ 8 (2).

6 − 3 x +1
10
Bài tp 5: Tìm x > 0 t/m bất phơng trình
./.
>
x
2x − 1