Bài giảng Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit

Chuyờn 3
Chuyờn 3
HM S LY THA, HM S M
V HM S LễGART
HBM Toỏn An Giang Ti liu tham kho ễn tp thi TN
Trung Lai
Trng THPT Tõn Chõu
H THNG Lí THUYT:
Hm s ly tha:
Tớnh cht ca ly tha:
V c s; khi xột ly tha
a

:
+
:

ẻ Ơ

a

xỏc nh a
Ă
.
+
:

-
ẻ Â

a

xỏc nh khi a 0
+
\ :

ẻ Ă Â

a

xỏc nh khi a > 0.
Tớnh cht: Vi a, b > 0; m,n
Ă
:

; *
m
m n m n m n
n
a
a a a a
a
+ -
= =
.

( )
.
n
m m n
a a=

;
( )
. .
m
m m
a b a b=

m
m
m
a a
b
b
ổử
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.

( 0; , ; 0)
m
n
m
n
a a a m n n= > ẻ >Â

2k
x
xỏc nh khi
0x
(k
Ơ
)

2 1k
x
+
xỏc nh x
Ă
(k
Ơ
)
o hm
( )
/
1
. ( 0, )x x x


-
= > ẻ Ă
;
( )
/
1 /

. . ( 0, )u u u u


-
= > ẻ Ă
( )
/
1
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n chẵn khi n lẻ
n
n
n
x n n x x
n x
-
= ẻ > ạƠ
;
( )
/
/
1
( , 2, 0 , 0 )
.
khi n chẵn khi n lẻ
n
n
n

u
u n n u u
n u
-
= ẻ > ạƠ
Hm s m:
Hm s m y = a
x
(a > 0, a 1) cú tp xỏc nh l
Ă
; tp giỏ tr l
*
+
Ă
(tc l a
x
> 0, x
Ă
chỳ ý tớnh
cht ny t iu kin ca n ph sau ny); liờn tc
trờn
Ă
.
o hm
( )
/
ln
x x
a a a=
(a > 0, a 1)

Khi a > 1 hm s y = a
x
ng bin trờn
Ă
.
Khi 0 < a < 1 hm s y = a
x
nghch bin trờn
Ă
.
a
0
= 1

a

0 , a
1
= a.
Khi a > 1:
lim
x
x
a
đ+Ơ
=+Ơ
;
lim 0
x
x

a
đ- Ơ
=
.
Trung Lai THPT Tõn Chõu Trang 21
HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN
▪ Khi 0 < a < 1:
lim 0
x
x
a
®+¥
=
;
lim
x
x
a
®- ¥
=+¥
.
▪ Với a > b > 0 ta có: a
x
> b
x

⇔
x > 0 và a
x
< b

x

⇔
x < 0.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và
0 1a< <
để nhớ các tính chất)
◙ Hàm số logarit:
 Chú ý: Khi xét
log
a
x
phải chú ý điều kiện
0; 1 0.vµa a x> ¹ >
Trong phần này Ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học
sinh nêu các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠
1, đối số của logarit phải dương).
▪ Cho 0 < a
≠
1 , x > 0: log
a
x = y ⇔ a
y
= x.
▪ Với 0 < a
≠
1 ta có:
log
a
n

a n=
( n > 0 ); log
m
a
a m= (
∀
m
∈
¡ ); log
a
1 = 0;
log 1
a
a =
.
▪ log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
;

1
2
log
a
x
x
= log
a
x
1

-
log
a
x
2
( x
1
; x
2
> 0 ).
▪ log
a
x
α

= α.log
a
x (x > 0) và
1

log .log
a
a
x x
α
α
=
(x > 0, α ≠ 0).
▪ Đổi cơ số:
log
log
log
b
a
b
x
x
a
=
hay log
a
x = log
a
b.log
b
x
▪ log
a
b =
1

log
b
a
và
log .log 1
a b
b a =
.
▪ Hàm số y = log
a
x xác định và liên tục trên (0 ;
+ ∞ ).
▪ Đạo hàm
( )
/
1
log
.ln
a
x
x a
=
▪ Khi a > 1 hàm số y = log
a
x đồng biến trên ( 0 ;
+ ∞ ).
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = log
a
x nghịch biến
trên ( 0; + ∞ ).

▪ Nếu a > 1:
lim log ; lim log
a a
x x
x x
®+¥ ®- ¥
=+¥ =- ¥

▪ Nếu 0 < a < 1:
lim log ; lim log
a a
x x
x x
®+¥ ®- ¥
=- ¥ =+¥
.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất )
▪ Chú ý đến các công thức:
log
(0 1; 0)
a
b
b a a b= < ¹ >
và
log (0 1)
b
a
b a a= < ¹
◙ Phương trình, bất phương trình mũ:
▪ Phương trình a

x
= b có nghiệm ⇔ b > 0.
▪ a
f(x)
= a
g(x)
⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1)
▪ Nếu a > 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) < g(x).
▪ a
f(x)
= b
⇔
f(x) = log
a
b.
▪ a
f(x)

< b (với b > 0) ⇔
( ) log
a
f x b<
nếu a > 1;
( ) log
a
f x b>
nếu 0 < a < 1.
Đỗ Trung Lai THPT Tân Châu Trang 22
HBM Toỏn An Giang Ti liu tham kho ễn tp thi TN
a
f(x)
> b
0
( )
0
( ) log 1; ( ) log 0 1.khi khi
a a
b
f x R
b
f x b a f x b a
ộ
ỡ
Ê
ù
ù
ờ
ớ

ờ
ù
ẻ
ù
ợ
ờ
ờ
ỡ
>
ù
ờ
ù
ớ
ờ
ù
> > < < <
ờ
ù
ợ
ở


Phng trỡnh, bt phng trỡnh logarit:
Trc ht ta cn t iu kin phng trỡnh cú ngha.
log
a
b cú ngha 0 < a 1 v b > 0

log log
n

m
a
a
m
b b
n
=
( b > 0 ; 0 < a 1 ) .
log
a
b
2k
= 2k.log
a
|b| vi k .
log
a
f(x) = log
a
g(x) f(x) = g(x).
log
a
f(x) log
a
g(x)
( ) ( ) 1
( ) ( ) 0 1
khi
khi
f x g x a

f x g x a
ỡ
>
ù
ù
ớ
ù
Ê < <
ù
ợ


( ) ( )
( ) 0 , ( ) 1.
log ( ) log ( )
( ) ( )
g x g x
g x g x
f x h x
f x h x
ỡ
> ạ
ù
ù
=
ớ
ù
=
ù
ợ

. H NG DN HC SINH GII BI TP :
Cho hc sinh nm cỏc bc gii nh:
+ Yờu cu hc sinh phõn tớch bi xem gi thit v kt lun l gỡ? cú liờn quan
n cỏc cụng thc no v hm s ly tha, hm s m v hm s lụgaritxem bi toỏn thuc
dng chng minh, tớnh toỏn, gii phng trỡnh hay bt phng trỡnh.
+ Hng dn hc sinh xõy dng chng trỡnh gii.
+ Cho hc sinh lờn bng thc hin chng trỡnh gii t ú yờu cu cỏc hc sinh
khỏc nghiờn cu li gii hc sinh nm chc kin thc, khc phc cỏc sai sút vỡ chng ny
cỏc cụng thc cú dng gn ging nhau nờn hc sinh hay ỏp dng sai v mc nhiu sai lm.
Phõn loi cỏc dng toỏn cng nh cỏc cỏch gii; c th:
Loi tớnh toỏn:
Vớ d 1: Tớnh
25
log 15
theo a khi bit
3
log 15 a=
.
Hng dn hc sinh phõn tớch:

( ) ( )
2
25 5 5 5
5
1 1
log 15 log 3.5 log 3 log 5 log 3 1
2 2
= = + = +
3 3 3 3 3
log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5 a= = + = + =

M
3
5
1
log 5
log 3
=
vy
3
log 5
l cu ni gia hai s cn tớnh.
Hng dn hc sinh xõy dng chng trỡnh gii: Tớnh
3
log 5
theo a sau ú
thay vo tớnh
25
log 15
.
Vớ d 2: Khụng dựng mỏy tớnh hóy so sỏnh hai s
2,5
12
1
2
2
và
-
ổử
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
a v cựng mt c s ( bi ny l 2) sau ú da vo tớnh n iu ca hm
s m so sỏnh.
Trung Lai THPT Tõn Chõu Trang 23
HBM Toỏn An Giang Ti liu tham kho ễn tp thi TN
2,5
2,5
1
2
2
-
ổử
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
m
2,5 12- >-
nờn
2,5
12
1

2
2
-
ổử
ữ
ỗ
<
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Loi chng minh:
Vớ d 1: Chng minh
4 2 3 4 2 3 2x = + - - =
.
Cỏch 1: Phõn tớch (d thy x > 0)
2
2 4x x= =
do trong biu thc cha
cn bc hai nờn ta s bỡnh phng hai v; nu cha cn bc ba thỡ cú th lp phng.
Yờu cu hc sinh bỡnh phng ri rỳt gn kt qu cn tỡm.
Cỏch 2: Phõn tớch cho hc sinh thy rng
4 2 3. 4 2 3 4 2+ - = =
Cú th tớnh
4 2 3 4 2 3và+ -
bng cỏch xem chỳng l hai nghim ca
h
2
2

x y
xy
ỡ
- =
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ

3 1
3 1
x
y
ỡ
ù
= +
ù
ớ
ù
= -
ù
ợ
T ú ta phõn tớch
2
4 2 3 3 2 3 1 ( 3 1)+ = + + = +
cũn
4 2 3-

tớnh tng t. T ú ta chng
minh c bi toỏn.
Vớ d 2: Cho cỏc s dng a, b, c trong ú c 1. Chng minh
log log
c c
b a
a b=
p dng tớnh cht
log log
m m
x y x y= =
nờn ta ly logarit c s m dng
khỏc 1 v trỏi v chng minh nú bng logarit c s m ca v phi.

( )
( )
log
log
log log .log
log .log
log
c
c
b
c c c
c c
a
c
a b a
a b

b
=
=
=
Nờn
log log
c c
b a
a b=
.
Loi gii phng trỡnh m v lụgarit:
Nờu cỏc phng phỏp gii nh:
Phng phỏp a v cựng mt c s: gii phng trỡnh, bt phng trỡnh m,
lụgarit ta bin i chỳng v dng:
( ) ( )
, , log ( ) , log ( ) ...
u x u x
a a
a b a b u x b u x b= > = >
Phng phỏp lụgarit húa: lm cho n khụng nm s m ta cú th lụgarit theo
cựng mt c s c hai v ca mt phng trỡnh, bt phng trỡnh (Chỳ ý khi lụgarit hai v
mt bt phng trỡnh cn so sỏnh c s vi s 1 cú du bt ng thc ỳng)
Phng phỏp t n ph: Khi bin i phng trỡnh, bt phng trỡnh v dng
( )
( )
u x
f a b=
,
( )
( )

...
u x
f a b
n gin trong thao tỏc ta t
( )u x
t a=
chỳ ý t iu kin
cho tham s t.
Phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s: Phng phỏp ny da vo tớnh
ng bin, nghch bin v th ca hm s.
Chỳ ý l phi nhn xột xem trong bi toỏn cú bao nhiờu c s. Phi lu ý hc sinh trc
khi gii phng trỡnh phi tỡm iu kin xỏc nh.
Trung Lai THPT Tõn Chõu Trang 24
HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN
Vdụ: + Phương trình 2
x + 3
= 5
x
có thể đưa về một cơ số bằng cách biến đổi
3
2
2 5 8 1
5
x
x x+
æö
÷
ç
= Û =
÷

ç
÷
ç
è ø
.
+
( ) ( ) ( )
( )
1
2 3 2 3 4 2 3 4
2 3
x x x
x
- + + = Û - + =
-
từ đó đặt ẩn phụ t =
( )
2 3
x
-
+ Phương trình
3 4 5
x x x
+ =
chứa ba cơ số không thể rút gọn cơ số nên phải
dùng tính đơn điệu của hàm số để giải.
+ Phương trình
1 1
2.4 9 6
x x x+ +

+ =
có thể biến đổi thành
8.4 9 6.6
x x x
+ =
nhận xét rằng 4 = 2
2
, 9 = 3
2
và 6 = 2.3 nên PT trở
thành
( ) ( )
2 2
8 2 3 6.2 .3
x x x x
+ =
chia hai vế cho
2 .3
x x
sẽ đưa pt về một cơ số.
 Nếu không nhận xét được mà nghĩ đến dùng tính đơn điệu thì không thể giải
được.
+ Giải phương trình
2
2 1
2
log 2log (3 4)x x=- +
 Nhận xét
1
1

2
2
-
=
nên sau khi đặt điều kiện nghiệm đưa pt về cùng cơ số 2 để
giải.
 Trong bài này cần chú ý cho học sinh phép biến đổi
2
2 2
log 2logx x=
chỉ đúng
khi x > 0; nên phải sử dụng đúng công thức
2
2 2
log 2log | |x x=
để giải bài này mới tìm
được đúng nghiệm.
● Loại giải bất phương trình mũ và lôgarit:
Cũng phân tích cơ số, đặt điều kiện như dạng phương trình mũ và lôgarit nhưng bắt buộc
phải so sánh cơ số với 1 để sử dụng đúng các công thức:
▪ Nếu a > 1 thì: a
f(x)
> a
g(x)

⇔
f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a
f(x)
> a

g(x)

⇔
f(x) < g(x).
▪ Nếu
1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x> > Û >
▪ Nếu
0 1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a f x g x f x g x< < > Û <
 Ví dụ: + Giải bất phương trình:
2 3 7 3 1 (1)
6 2 .3
x x x+ + -
<
.
Gợi ý để học sinh phân tích đề: Mũ là một nhị thức bậc nhất → đưa về số mũ là x
sau đó biến đổi cơ số.
 (1) 
( )
( )
3
2 7
3 2 7
3 3
3
6 2
6 . 6 2 .2 .

3
2.3 3.6
x
x
x
x
æ ö
÷
ç
÷
< Û <
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

4
2 2
3 3
x
æö æö
÷ ÷
ç ç
<
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç

è ø è ø

 x > 4 (Chú ý cho học sinh là cơ số nhỏ hơn 1).
+ Giải bất phương trình:
4
1 3
log 0
1
x
x
æ ö
+
÷
ç
³
÷
ç
÷
ç
è ø
-
.
Đỗ Trung Lai THPT Tân Châu Trang 25