batphuongtrinh he bat phuong trinh

Nhóm 4 CLC K64 TOÁN

Chuyên đề: BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Bất phương trình một ẩn :
1. Bất phương trình một ẩn
a. Định nghĩa:
Bất phương trình ẩn x : f (x) < g(x) hoặc f (x) ≤ g(x) trong đó f (x) và
g(x) là những biểu thức chứa x .
b. Điều kiện của một bất phương trình.
Là điều kiện của ẩn x để hai vế f (x) và g(x) đều có nghĩa.
c. Bất phương trình chứa tham số.
2. Hệ bất phương trình một ẩn
a. Là hệ gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của
chúng.
b. Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ
được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
c. Phương pháp giải hệ bất phương trình: Giải từng bất phương trình rồi lấy giao
của các tập nghiệm
3. Một số phép biến đổi bất phương trình
a. Bất phương trình tương đương.
b. Các phép biến đổi tương đương.
i. Phép cộng (trừ):
Nếu f (x) xác định trên D thì: P (x) < Q(x) ⇔ P (x) + f (x) < Q(x) + f (x).
ii. Phép nhân (chia):
+) Nếu f (x) > 0, x ∈ D thì: P (x) < Q(x) ⇔ P (x).f (x) < Q(x).f (x)
+) Nếu f (x) < 0, x ∈ D thì: P (x) < Q(x) ⇔ P (x).f (x) > Q(x).f (x)
c. Phép bình phương:
Nếu P (x) ≥ 0, Q(x) ≥ 0, x ∈ D thì: P (x) < Q(x) ⇔ P 2 (x) < Q2 (x)
4. Một số chú ý khi giải bất phương trình

a. Khi biến đổi hai vế của bất phương trình thì có thể làm thay đổi điều kiện của
bất phương trình. Vì vậy, để tìm nghiệm của bất phương trình ta phải tìm các
giá trị của x thoả mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất
phương trình mới.

1


b. Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình với biểu thức f (x) ta cần lưu ý về
dấu của f (x). Nếu f (x) nhận cả giá trị dương lẫn âm thì ta phải lần lượt xét
cả hai trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.
c. Khi giải bất phương trình có ẩn ở mẫu ta quy đồng mẫu nhưng không được bỏ
mẫu và phải xét dấu biểu thức để tìm tập nghiệm.
d. Khi giải bất phương trình P (x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì phải
xét hai trường hợp:
TH1: P (x) và Q(x) đều không âm thì ta bình phương hai vế của bất phương
trình.
TH2: P (x) và Q(x) đều âm thì ta viết P (x) < Q(x) ⇔ −Q(x) < −P (x) rồi
bình phương hai vế của bất phương trình mới.
II. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
a. Dạng tổng quát : ax + by ≤ c (ax + by < c) hoặc ax + by ≥ c (ax + by > c)
trong đó a; b; c là các số thực cho trước, a và b không đồng thời bằng 0, x; y là các
ẩn số.
b. Biểu diễn tập nghiệm : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm tọa đô
là nghiệm bất phương trình được gọi là miền nghiệm của nó .
2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn :
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai
ẩn x; y mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng .
III. Dấu của nhị thức bậc nhất

1. Dấu của nhị thức bậc nhất :
a. Nhị thức bậc nhất: Là biểu thức có dạng: f (x) = ax + b. trong đó a, b là các
hằng số (a = 0 ).
b. Dấu của nhị thức bậc nhất f (x) = ax + b :
Bảng xét dấu :

2. Áp dụng vào việc giải bất phương trình :
a. Bất phương trình tích , bất phương trình chứa ẩn ở mẫu :
Phương pháp :
2


+) Đưa bất phương trình về dạng f (x) > 0 (f (x) ≥ 0) hoặc f (x) < 0 (f (x) ≤ 0).
+) Lập bảng xét dấu của biểu thức f (x).
+) Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm của bất phương trình.
b. Bất phương trinh chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
|f (x)| ≤ a ⇔ −a ≤ f (x) ≤ a (a > 0)
|f (x)| ≥ a ⇔ f (x) ≤ −a hoặc f (x) ≥ a. (a > 0)
IV. Dấu của tam thức bậc hai
1. Dấu của tam thức bậc hai :
a. Tam thức bậc hai đối với x có dạng: f (x) = ax2 + bx + c ( a = 0 )
b. Dấu của tam thức bậc hai: f (x) = ax2 + bx + c (a = 0) có ∆ = b2 = 4ac :
TH1 : Nếu ∆ < 0
Bảng xét dấu :

TH2 : Nếu ∆ = 0
Bảng xét dấu :

TH3 : Nếu ∆ > 0
Bảng xét dấu :

2. Áp dụng vào việc giải bất phương trình bậc hai một ẩn :
a. Bất phương trình bậc hai :
b. Phương pháp giải bất phương trình bâc hai
Phương pháp :
3


+) Đưa bất phương trình về dạng f (x) > 0 (f (x) ≥ 0) hoặc f (x) < 0 (f (x) ≤ 0).
+) Lập bảng xét dấu của biểu thức f (x).
+) Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm của bất phương trình.
B. MỤC TIÊU BÀI HỌC
1 Về kiến thức :
a. Nắm vững cách giải bất phương trình, hệ bất phương trình .
b. Năm vững cách xét dấu của nhị thức .
2 Về kĩ năng:
a. Biết cách sử dụng bất phương trình để giải phương trình và ứng dụng thực tế.
b. Biết cách giải và biện luận bất phương trình chứa tham số.
c. Vận dụng tam thức bậc hai vào giải và biện luận phương trình, chứng minh bất đẳng
thức.
3 Về thái độ :
a. Rèn tính cẩn thận , chính xác.
b. Linh hoạt , sáng tạo trong việc giải và mở rộng bài toán.
C. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và bất phương
trình quy về bậc nhất một ẩn
1.1 Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1(A) Tìm tập xác định của hàm số
a) y = √

1
2x − 1

b) y =

x2 + 1
3−x

Bài 2(A) Giải các bất phương trình sau
3
3(2x − 7)
≥
5
3
5(x − 1)
2(x + 1)
b)
−1<
6
3
3(x + 1)
x−1
c) 2 +
<3−
8
4
a) −2x +

Bài 3(A) Giải các hệ bất phương trình sau

4




 8x − 5 > 15x − 8
2
a)
3

2(2x − 3) > 5x −
4





x
4
≤x+
2
3
b) 2x −
9
19 + x


>
3
2



 3x − 1 − 3(x − 2) − 1 > 5 − 3x
4
8
2
c)
4x − 1
x − 1 4 − 5x

 3−
>
−
18
12
9

Bài 4(B) Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình sau


5


 6x + > 4x + 7
 15x − 2 > 2x + 1
3
a) 8x + 37
b)
3x − 14




2(x − 4) <
> 2x + 25
2
2
Bài 5(B)Giải và biện luận bất phương trình
bx a
+
a
b
x−1
x+1
c) x +
>
− ax
a+1
a+1

a) x + 1 ≥

b)

ax + b
ax − b
>
(a > 0, b > 0, a = b)
a−b
a+b

Bài 6(B)Giải và biện luận theo m nghiệm của hệ bất phương trình sau
x−1<3−x
mx + 1 > x
1.2: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1(A) Giải các bất phương trình sau:
a) (2x − 7)(4 − 5x) ≤ 0

b) 3x(2x + 7)(9 − 3x) < 0

Bài 2(A) Giải các bất phương trình sau:
a) x2 − x − 20 < 2(x − 11)

b) x3 + 6x2 + 11x + 6 > 0

Bài 3(A) Giải các bất phương trình sau
(2x − 5)(x + 2)
>0
−4x + 3
2x2 + x
b)
≤1−x
1 − 2x
2x − 5
3x + 2
c)
<
3x + 2
2x − 5
a)

Bài 4(A) Giải bất phương trình

5


√
3x − 1 < 2
√
√
(b) 3x + 2 ≥ 2x + 1
(a)

Bài 5(A) Giải các bất phương trình sau
a) |3x + 15| ≥ 3
x+1
b) |x − 1| >
2
Bài 6(A) Xét dấu các biểu thức sau
(x + 1)(4 − x)
1 − 2x
1
1
−
b) f (x) =
3−x 3+x
a) f (x) =

Bài 7(B) Giải các bất phương trình sau
|x + 3| + x

>1
x+2
a
d) |x| <
x

a) |2x − 1| + |3x + 2| + |x| ≤ 3

c)

b) (|x − 1| − 3)(|x + 2|x − 5| < 0

Bài 8(B) Tìm các giá trị của tham số a sao cho bất phương trình sau đây nghiệm đúng
với mọi x ∈ [0; ∞]
(3a − 1)

2x
− 2a > 0
+1

x2

Bài 9(B) Tìm các giá trị của tham số a sao cho bất phương trình sau đây nghiệm đúng
với mọi x ∈ [1; 2]
x − 2a − 3
<0
x−a+2
Bài 10(C) Giải và biện luận phương trình theo tham số a:
a2 |a + x| + |a2 x + 1| = 1 − a3

Dạng 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn và bất phương
trình quy về bậc hai một ẩn
Bài 1(A) Xét dấu các biểu thức sau:
(a) f (x) = −3x2 + 7x − 5
6


2x − 5
x+2
3x + 2 x − 2
−
;
(c) f (x) =
2x + 1 x − 1
(d) f (x) = (3x2 + x − 2)2 − (x2 − x − 7)2 ;

(b) f (x) = 3 −

(e) f (x) = (|2x − 2| − 1)[|x2 − 2x + 4| − x2 + x]
Bài 2(A) Giải các bất phương trình sau:
(a) 2x2 + 3x − 2 > 0
(b) −3x2 + 5x − 2 ≥ 0
(c) (4x − 3)2 ≥ (3x + 1)2
(d) (x + 2)2 (x − 1)(x + 5) + 8 ≥ 0
Bài 3(A) Giải các bất phương trình sau:
1
2
<
x
x−2

x+4
2
(b)
<
x−2
x+1
(a)

Bài 4(B) Giải các bất phương trình sau:
√
(a) 4x + 1 ≤ |2x − 1|
√
√
(b) x2 − 3x + 2 ≤ 2x2 − 4x
√
(c) x + 1 > 2x − 4
√
2x + 7
(d) 4x − x2 (x + 2) ≤ √
4x − x2
Bài 5(B) Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm:
(a) (m − 2)x2 + 2(2m − 3)x + 5m − 6 = 0
(b) (3 − m)x2 − 2(m + 3)x + m + 2 = 0
Bài 6(B) Tìm m để phương trình:x2 − 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 7(B) Gải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m:
(a) (m − 1)x2 − 2mx + m + 3 ≤ 0
3x − m
(b)
>1
3−x

7


Bài 8(B) Giải các hệ bất phương trình sau:
x2 + 2x + 4
(a) −1 <
<2
x2 + 1

2x + 4 > x + 8
x+2
(b)
x2 + 3x − 4 < 0
Bài 9(B) Tìm m để các hệ sau có nghiệm:

2 + mx − 2 < m
x+1
(a)
x4 > x2 + 12

x2 − 2mx − m2 + m − 1 > 0
(b) 2x − 1
x−3

>
x+1
x
Bài 10(C) Tìm m để bất phương trình :mx2 − 2(m − 1)x + m − 2 ≥ 0 luôn thỏa mãn với
mọi x ∈ [−2; 0].
Dạng 3: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1(A) Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
(a) −x + 2 + 2(y − 2) < 2(1 − x);
(b) |x + 2y| < 3;
(c) x2 + 2xy − 3y 2 > 0.
Bài 2(A) Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình bậcnhất hai ẩn sau:
x y


+ −1<0



2x
−
y
−
3
>
0
3 2

x + 3y + 3 > 0
a)
b) 2x + 3y − 6 ≤ 0
c) x + 1 − 3y ≤ 2


2x − y − 2 > 0
2
2




x − 2y − 4 < 0;
x ≥ 0.
Bài 3(A) Giải các bất phương trình sau:
3x + y
a)
b) x2 − 4y 2 > 0
2
Bài 4(B) Giải các bất phương trình sau:
a) |2x + y − 2| < x + y
b) |x| − |y| ≥ 1
Bài 
5(B) Giải các hệ sau:


x + 2y − 4 < 0
|2x − y + 4| < |x + 2|
a) x + 2y + 2 > 0
b) 3x + y + 5


<3

x + 2y
|x| < 3

8

c)

2x + y − 4
≥ 0.
x−y

c) |x| + |y| ≤ 3.


3y < 5
c) y + 2x < 11(x, y ∈ Z)


4y + x > 9


Bài 6(B) Cho hệ bất phương trình sau:


−2x + y ≤ −2
x − 2y ≤ 2


x+y ≤5
Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình. Tìm (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình
trên sao cho m = y − x đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 7(B) Một nghiên cứu cho kết quả như sau:
Một người có thể tiếp nhận mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500
đơn vị vitamin B. Một ngày mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B.

Do tác động phối hợp của 2 loại viatmin, mỗi ngày số đơn vị vitamin B phải không ít hơn
1
số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.
2
Gọi x, y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày.
(a) Lập hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của đề và biểu diễn miền nghiệm của hệ.
(b) Gọi c là số tiền mua vitamin mà bạn phải trả( tính bằng đồng ), tính c theo x và y
biết giá mỗi đơn vị vitamin A là 9 đồng và vitamin B là 12 đồng.
(c) Cùng trên mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ các đường biểu diễn x, y trong trường hợp số
tiền phải trả c là 7200.
(d) Tìm x, y sao cho các điều kiện trên thỏa mãn với số tiền phải trả là ít nhất.
Bài 8(B) Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để
sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác
nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một
đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:
Nhóm Số máy trong mỗi nhóm Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm
Loại I
Loại II
A
10
2
2
B
4
0
2
C
12
2
4

Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy
lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.
Dạng 4: Một số bài toán tổng hợp, nâng cao và ôn tập cuối năm

9


Bài 1(C): Giải các bất phương trình sau:
x
2x
kx
+
+ ... +
>1
x + 1 (x + 1)(2x + 1)
(x + 1)(2x + 1)...(2016x + 1)
 2
x1 + x22 ≤ x2 − x1



x 2 + x 2 ≤ x − x
3
2
2
3
Bài 2(C): Cho 2017 số dương x1 , x2 , ..., x2017 > 0 thỏa mãn:

...



 2
x2016 + x22017 ≤ x2017 − x2016
1
CMR: Trong 2017 số đó có 2 số a,b sao cho |a − b| ≤
2016
Bài 3(C): Giải BPT
√
x − 2014 + x − 2016 ≥ 2(x2 − 4032x + 20162 ) + 2x − 4028 x ∈ R
Bài 4(C): Giải BPT
√

6(x2 − 3x + 1) +

√
x4 + x2 + 1 ≤ 0; x ∈ R

Bài 5(C): Giải BPT
√
√
3
4x + 6 − x3 + 7x2 + 12x + 6 ≥ x2 − 2; x ∈ R
Bài 6(C) : Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm
1 2
1
2(sinx +
) − (sinx −
− 7)
sinx
sinx

>2
1
1 2
) + (sinx −
+ m − 12)
3(sinx +
sinx
 sinx
x1 + x2 − x3 − x4 < 0



(x + x )(x + x ) − x x − x x < 0
1
2
3
4
1 2
3 4
Bài 7(C) : Giải HBPT

(x1 + x2 )x3 x4 − (x3 + x4 )x1 x2 < 0



x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0.
Bài 8(C): Xác định các điểm trong mặt phẳng Oxy có tọa độ (x; y) không bao giờ là
nghiệm của phương trình
y = x3 + 2(m − 1)x2 + (m2 − 4m + 1)x − 2(m2 + 1)
Hướng dẫn giải và đáp số

Dạng 1:
1.1
Bài 1
a)

1
2
10


b) x < 3
Bài 2
19
10
b) x < 15
7
c) x <
5
a) x ≤

Bài 3
a) x ∈ ∅
b) x > 75
129
28
c)
15
31

Bài 4
a) x ≥ 12, x ∈ Z
b) x = 1
Bài 5
b
a
a) Biến đổi bất phương trình đã cho thành (1 − )x ≥ − 1
a
b
b
a
b
a
b
S = (−∞; +∞) nếu = 1, S = [ ; +∞) nếu < 1, S = (−∞; ] nếu > 1
a
b
a
b
a
b) S = (−1; +∞) nếu a > b, S = (−∞; −1) nếu a < b
x+1 x−1
c) Bất phương trình tương đương với x + ax >
−
a+1 a+1
2
2
; +∞) nếu a > −1, S = (−∞;
) nếu a < −1
S=(

2
(a + 1)
(a + 1)2
Bài 6
x−1<3−x
x<2
⇔
mx + 1 > x
(1 − m)x < 1
Xét các trường hợp sau:
+ m = 1 hệ đã cho trở thành

x<2
⇔x<2
0<1

+ m > 1 ⇔ 1 − m < 0 hệ đã cho trở thành
Hệ này có nghiệm luôn có nghiệm

1
1−m
11

x<2
1
x>
1−m
< x < 2 do

1

<0<2
1−m


x<2
1
x<
1−m
1
1
Hệ đã cho có nghiệm x < 2 nếu 2 ≤
⇔ ≤m<1
1−m
2
1
1
1
nếu
<2⇔m<
Hệ đã cho có nghiệm x <
1−m
1−m
2

+ m < 1 ⇔ 1 − m > 0 hệ đã cho trở thành

1
1
1
1

Vậy S = (−∞; 2) nếu ≤ m ≤ 1, S = (−∞;
) nếu m < , S = (
; 2), nếu
2
1−m
2
1−m
m>1
1.2
Bài 1
a) x ≤

7
5
hoặc x ≥
4
2

7
b) − < x < 0 hoặc x > 3
2
Bài 2
a) 1 < x < 2
b) −3 < x < −2 hoặc x > −1
Bài 3
a) x < −2 hoặc

3
5

4
2

1
1
≤x<
4
2
2
3
c) − < x < hoặc x < −7
3
5

b)

Bài 4
1 5
(a) [ ; )
3 3
1
(b) [− ; +∞)
2
Bài 5
a) Tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; −6) ∪ (−4; +∞)
1
b) S = (−∞; ) ∪ (3; +∞)
3
Bài 6
12

1
a) f (x) ≤ 0 khi x ≤ −1 hoặc < x ≤ 4
2
1
f (x) > 0 khi −1 < x hoặc x > 4
2
b) f (x) ≤ 0 khi −3 < x <≤ 0 hoặc x > 3
f (x) > 0 khi x < −3 hoặc 0 < x < 3
Bài 7
2 2
a) Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét 4 trường hợp x < − , − ≤ x ≤ 0, 0 < x <
3 3
1
1
, x ≥ . Dẫn đến bốn hệ phương trình
2
2
1
2
2
1
< 0x <
x<−
− ≤x≤0
x≥
,
,
,

3
3
2
2
0x + 3 ≤ 3
−6x − 1 ≤ 3
−2x + 3 ≤ 3
6x + 1 ≤ 3
2
Nghiệm của bất phương trình là − ≤ x ≤ 0
3
b) Đưa về giải hệ hai bất phương trình
|x − 1| − 3 < 0
|x + 2| − 5 > 0

|x − 1| − 3 > 0
|x + 2| − 5 < 0

Rồi lấy tất cả các nghiệm thu được ta được kết quả là
(−7; −2) ∪ (3; 4)
c) Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét hai trường hợp x ≥ −3 và x < −3
Nghiệm của bất phương trình là (−5; −2) ∪ (−1; +∞)
d) Đưa về giải hai hệ bất phương trình
x>0
x2 < a

x<0
x < −a
√
√

Nghiệm là S = (− −a; 0) khi a < 0 S = ∅ khi a = 0 S = (0, a) khi a > 0
2

Bài 8
Với mọi x ≥ 0 đặt t =

2x
thì 0 ≤ t ≤ 1
+1
Bài toán trở thành tìm các giá trị của a sao cho bất phương trình f (t) = (3a − 1)t − 2a > 0
f (0) > 0
a<0
nghiệm đúng với mọi t ∈ [0; 1] điều này tương đương
⇔
f (1) > 0
a>1
Như vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn bài toán
Bài 9
x2

x − 2a − 3
<0
x−a+2
13

(1)


Nghiệm của tử là x1 = 2a + 3, nghiệm của mẫu là x2 = a − 2
Để giải bất phương trình ta cần phải so sánh x1 và x2 trên trục số

Xét các trường hợp sau
- (TH1) a < −5 ⇐ x1 < x2 . (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2] khi và chỉ khi
[1; 2] ⊂ (x1 ; x2 )
2a + 3 < 1
[1; 2] ⊂ (x1 ; x2 ) ⇔ x1 < 1 < 2 < x2 ⇔ 2a + 3 < 1 < 2 < a − 2 ⇔
⇔a∈
a−2>2
∅
- (TH2) a = −5 ⇔ x1 = x2 nên (1) vô nghiệm
- (TH3)a > −5 ⇔ x2 < x1 .(1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2] khi và chỉ khi [1; 2] ⊂
(x1 ; x2 )
a−2<1
[1; 2] ⊂ (x2 ; x1 ) ⇔ x2 < 1 < 2 < x1 ⇔ a − 2 < 1 < 2 < 2a + 3 ⇔
⇔
2a + 3 > 2
−1
2
Các giá trị của a thỏa mãn đề bài là
−1
2
Bài 10 Phương trình đã cho tương đương |a3 + a2 x| + |a2 + 1| − 1 + a3 = 0 ⇔ (|a3 + a2 x| +
a3 + a2 x) + (|a2 + 1| − a2 x − 1) = 0
Theo bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối ta có : |a3 + a2 x| + a3 + a2 x ≥ 0
|a2 + 1| − a2 x − 1 ≥ 0
a3 + a2 x ≤ 0
a2 x ≤ −a3
Dấu "=" xảy ra nếu
⇔

a2 x + 1 ≥ 0
a2 x ≥ −1
Điều kiện cần để hệ bất phương trình có nghiệm là −a3 ≥ −1 tức là a ≤ 1. Do đó
- Nếu a > 1 hệ bất phương trình vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm
- Nếu a = 0 thì hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x phương trình ban đầu có
tập nghiệm là R
1
- 0 = x ≤ 1 thì nghiệm hbpt là − 2 ≤ x ≤ −a . Do đó tập nghiệm của phương trình
a
1
là [− 2 ; −a]
a
Dạng 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn và bất phương
trình quy về bậc hai một ẩn
Bài 1(A)
(a) f (x) là tam thức bậc hai có :a = −3 < 0 và ∆ = −11 < 0 ⇒ f (x) < 0∀x

14


x + 11
có dấu như dấu của (x + 11)(x + 2) là tam thức với a = 1 > 0; x1 =
x+2
−11; x2 = −2. Ta lập bảng xét dấu như sau:

(b) f (x) =

x(x + 2)
(2x + 1)(x − 1)
Tam thức x(x + 2) có a = 1 > 0; x1 = 0; x2 = −2

1
Tam thức (2x + 1)(x − 1) có a = 2 > 0; x1 = − ; x2 = 1
2
Bảng xét dấu:

(c) f (x) =

(d) f (x) = (4x2 − 9)(2x2 + 2x + 5)
−2
2
.
Tam thúc 4x2 − 9 có a = 4 > 0; x1 = ; x2 =
3
3
Tam thức 2x2 + 2x + 5 có a = 2 > 0; ∆ = −9 < 0 nên nó > 0∀x.
Bảng xét dấu như sau:

(e) Vì |2x − 2| + 1 > 0 ⇒ dấu của |2x − 2| − 1 là dấu của
(2x − 2)2 − 1 = (2x − 1)(2x − 3).
2
Vì x − 2x + 4 = (x − 1)2 + 3 > 0∀x ⇒ |x2 − 2x + 4| − x2 + x = −x + 4.
Dấu của f (x) là dấu của (2x − 1)(2x − 3)(−x + 4).Bảng xét dấu:

Bài 2(A)
1
(a) Tam thức có a > 0; x1 = ; x2 = −2.
2
1
f (x) > 0 ⇔ x < −2 hoặc x > .
2

15


2
(b) Tam thức có a = −3 < 0; x1 = 1; x2 = .
3
2
f (x) ≥ 0 ⇔ ≤ x ≤ 1.
3
2
hoặc x ≥ 4
7
(d) Bpt ⇔ (x + 2)2 (x2 + 4x − 5) + 8 ≥ 0 ⇔ (x + 2)2 [(x + 2)2 − 9] + 8 ≥ 0.
Đặt t = (x + 2)2 ≥ 0. Bpt trở thành:
t2 − 9t + 8 ≥ 0 ⇔ t ≤ 1hoặct ≥ 8
⇔ (x + 2)2 ≤ 1 hoặc (x + 2)2√≥ 8
√
⇔ −3 ≤ x ≤ −1hoặc −2 − 2 2 ≤ x ≤ −2 + 2 2
(c) bpt ⇔ (4x − 3)2 − (3x + 1)2 ≥ 0 ⇔ (7x − 2)(x − 4) ≥ 0 ⇔ x ≤

Bài 3(A)
(a) bpt ⇔

−x − 2
< 0. Lập bảng xét dấu:
x(x − 2)

x2 + 3x + 8
<0
(x − 2)(x + 1)

Vì x2 + 3x + 8 có a > 0; ∆ < 0 nên nó luôn dương ∀x.
Bpt ⇔ (x − 2)(x + 1) < 0 ⇔ −1 < x < 2.

(b) bpt ⇔

Bài 4(B)
1
(a) Điều kiện: x ≥ − .
4
Hai vế bpt đều không âm, ta bình phương được:
4x + 1 ≤ 4x2 − 4x + 1 ⇔ 4x2 − 8x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 hoặc x ≥ 2.
1
Kết hợp ĐK được :− ≤ x ≤ 0 hoặc x ≥ 2.
4
x2 − 3x + 2 ≥ 0
x ≥ 2 hoặc x ≤ 1
⇔
⇔ x ≤ 0 hoặc x ≥ 2.
2x2 − 4x ≥ 0
x ≤ 0 hoặc x ≥ 2
Bình phương 2 vế bpt được:
x2 − 3x + 2 ≤ 2x2 − 4x ⇔ x2 − x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 hoặc x ≥ 2(đều thỏa mãn ĐK)

(b) ĐK:

(c) ĐK:x ≥ −1.
+) Nếu 2x − 4 < 0 ⇔ x < 2 : V T > 0, V P < 0 ⇒bpt thỏa.
+) Nếu 2x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 : 2 vế đều không âm, bình phương 2 vế ta được:
5
x + 1 > 4x2 − 17x + 15 < 0 ⇔ (4x − 5)(x − 3) < 0 ⇔ < x < 3.

4
Kết hợp x ≥ 2 được :2 ≤ x < 3. Vậy bpt có nghiệm:−1 ≤ x < 3.
16


(d) ĐK: 4x − x2 > 0 ⇔ 0 < x < 4
Bpt ⇔ (4x − x2 )(x + 2)√≤ 2x + 7 ⇔ (x − 1)(x2 − x − 7) ≥ 0
1 + 29
⇔ 0 ≤ x ≤ 1 hoặc
≥ x < 4.
2
Bài 5(B)
(a) +) Nếu m − 2 = 0 ⇔ m = 2: pt trở thành: 2x + 4 = 0 có nghiệm x = −2.
+) Nếu m = 2: pt trở thành pt bậc hai ẩn x.
pt vô nghiệm ⇔ ∆ = (2m − 3)2 − (m − 2)(5m − 6) < 0 ⇔ m2 − 4m + 3 > 0
⇔ (m − 1)(m − 3) > 0 ⇔ m > 3 hoặc m < 1.
(b) +) Nếu m = 3 pt có nghiệm duy nhất.
+) Nếu m = 3, pt trở thành pt bậc hai ẩn x.
Pt vô nghiệm ⇔ ∆ = (m + 3)2 − (3 − m)(m + 2) < 0 ⇔ 2m2 + 5m + 3 < 0 ⇔
1
3
(2m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ − < m < − .
2
2
3
1
Vậy m = 3 hoặc − < m < −
2
2



∆ = (m + 1)(m − 2) > 0
⇔ m > 2.
Bài 6(B) ĐKBT ⇔ S = 2m > 0


P =m+2>0
Bài 7(B)
(a) +) Xét m = 1: bpt trở thành −2x + 4 ≤ 0 ⇔ x ≥ −2.
+) Xét m = 1:
Ta có a = m − 1; ∆ = −2m + 3
a>0
3
-TH1: m > :
⇒ f (x) > 0∀x ⇒bpt vô nghiệm.
2
∆ <0

√
a>0
3
m − 3 − 2m
-TH2:1 < m <
:
⇒ f (x) có 2 nghiệm x1 =
; x2 =
2
m−1
∆ >0
√

m + 3 − 2m
.(x1 < x2 )
m−1
Vậy :f (x) ≤ 0 ⇔ x1 ≤ x ≤ x2
a<0
-TH3:m < 1 :
⇒ f (x) có 2 nghiệm x1 , x2 như trên nhưng x2 > x1 .
∆ >0
BPT f (x) ≤ 0 ⇔ x ≤ x2 hoặcx ≥ x1 .
3
1
9
-TH4:m = . BPT trở thành : x2 − 3x + ≤ 0 ⇔ (x − 3)2 ≤ 0 ⇔ x = 3
2
2
2
4x − m − 3
(b) BPT ⇔
> 0.
−x + 3
17


m+3
; x2 = 3
4
Dấu của VT là dấu của tam thức (4x − m − 3)(−x + 3), a = −4 < 0. -TH1: x1 <
x2 ⇔ m < 9.BPT có nghiệm x1 < x < x2 .
-TH2:x1 > x2 ⇔ m > 9.BPT có nghiệm x2 < x < x1
-TH3:x1 = x2 ⇔ m = 9.BPT vô nghiệm.

x1 =

Bài 8(B)
(a) Vì x2 + 1 > 0, Hệ ⇔

2x2 + 2x + 5 > 0
x2 − 2x − 2 > 0

⇔x<1−

√
√
3 hoặc x > 1 + 3

 2
 2x + 7x
>0
(b) Hệ ⇔
x+2
 2
x + 3x − 4 < 0
2x2 + 7x
> 0. Bảng xét dấu:
+) Giải bpt
x+2

−7
< x < −2 hoặc x > 0.
2
+) Giải bpt x2 + 3x − 4 < 0 ⇔ −4 < x < 1

−7
Kết hợp được
< x < −2 hoặc 0 < x < 1.
2

Vậy

Bài 9(B)
(a) +) x4 > x2 + 12 ⇔ (x2 + 3)(x2 − 4) > 0 ⇔ x2 − 4 > 0 ⇔ x < −2 hoặc x > 2.
2x − m
+) (1) ⇔
<0
x+1
Vì −2 < −1 < 2, hệ vô nghiệm khi −2 ≤ m/2 ≤ 2.
Vậy hệ có nghiệm khi m < −4 hoặc m > 4.
(b) +) giải (2) ⇔ x < −1 hoặc x > 0. +) giải (1) : ∆ = 2m2 − m + 1 > 0∀m ⇒ tam
thức có 2 nghiệm pb x1 < x2 , và bpt có nghiệm x < x1 hoặc x > x2 .
Với x < minx1 ; −1 thỏa mãn hbpt nên hbpt có nghiệm vói mọi m.
Bài 10(C) YCBT ⇔ [−2; 0] nằm trong miền nghiệm S của bpt.
+) m = 0 : bpt⇔ x ≤ 1 thỏa mãn YCBT.
2
+)m = 0: tam thức có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 1 −
m
-Nếu m > 0, S = (−∞; x2 ] ∪ [1; +∞).
YCBT thỏa⇔ x2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2
-Nếu m < 0 : S = [1; x2 ].YCBT không thỏa.
18


Vậy m = 0 hoặc m ≥ 2

Dạng 3: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và bất phương
trình quy về bậc nhất hai ẩn
Bài 1(A)

(a) x+2y−4 < 0. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bpt:
(b)

x + 2y < 3
x + 2y > −3

.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của bpt:
(c)

x + 3y > 0
x−y >0

hoặc

x + 3y < 0
x−y <0

Biểu diễn hình học tập nghiệm của bpt:
Bài 2(A)

19


i.

ii.


2x + 3y − 6 < 0
iii. bpt⇔ 2x − 3y − 3 ≤ 0


x≥0

20


Bài 3(A)
i. x + 3y < 6. Miền nghiệm là nửa mp chứa gốc O, bờ là đường thẳng x + 3y = 6.
ii. (x − 2y)(x + 2y) < 0. Hai đường thẳng ∆1 : x − 2y = 0 và∆2 : x + 2y = 0 chia
mp làm 4 miền, miền nghiệm là 2 miền chứa B(0; 1);D(0; −1).
iii. ∆1 : 2x + y − 4 = 0 và∆2 : x − y = 0 chia mp làm 4 miền. Miền nghiệm là miền
chứa điểm (3; 0) và (0; 1).
Bài 4(B)

i. bpt ⇔

2x + y − 2 ≥ 0
x−2<0

hoặc

2x + y − 2 < 0
3x + 2y − 2 > 0

ii. +) Xét x ≥ 0 vày ≥ 0 , bpt trở thành:x − y ≥ 1 ⇒ Miền nghiệm là góc nhọn tạo
bởi đường thẳng x − y = 1 và tia Ox chứa điểm (2; 0).
+) Xét x ≥ 0 và y < 0, bpt trở thành :x + y ≥ 1 ⇒ miền nghiệm là góc nhọn
tạo bởi đường thẳng x + y = 1 và tia Ox chứa điểm (3; −1).
21


+)Các trường hợp còn lại ta có miền đối xứng với miền đã xét qua gốc tọa độ.
iii. +)Xét x ≥ 0 và y ≥ 0: x + y ≤ 3 ⇒ miền nghiệm là tam giác tạo bởi góc phần
tư thứ nhất và đường thẳng x + y = 3.

+)Tương tự với các trường hợp còn lại.
Bài 5(B)
i.

−2 < x + 2y < 4
−3 < x < 3

ii. Ta đi giải từng pt sau đó kết hợp.
+) giải(1)

x + 2 ≥ 0
-TH1: 2x − y + 4 ≥ 0


x−y+2<0


x + 2 ≥ 0

-TH2: 2x − y + 4 < 0


3x − y + 6 > 0


x + 2 < 0
-TH3: 2x − y + 4 ≥ 0


3x − y + 6 < 0


x + 2 < 0
-TH4: 2x − y + 4 < 0


x−y+2>0
+) giải (2)
x + 2y > 0
x + 2y < 0
hoặc
y>1
y<1
22


iii.
Bài 6(B) +) Tập nghiệm là miền tam giác tạo bởi ∆1 : −2x+y = −2, ∆2 : x−2y = 2
và ∆ : x + y = 5

+) Đường thẳng d : y − x = m có phương không đổi, cắt Oy tại điểm m. m nhỏ nhất
khi d qua A(1; 4) là giao điểm của ∆2 và ∆3 . Khi đó m = 4 − 1 = 3.
Bài 7(B)
i. (i) ⇔ 0 ≤ x ≤ 600 và 0 ≤ y ≤ 500
(ii) ⇔ 400 ≤ x + y ≤ 1000
x − 2y ≤ 0
1
(iii) ⇔ x ≤ y ≤ 3x ⇔
2
3x − y ≥ 0

ii. c = 9x + 12y
iii. Vẽ (t0 ) : 9x + 12y = 7200 qua hai điểm (0; 600) và(800; 0).Phần giao của đường
thẳng t0 và miền nghiệm là đoạn thảng mà mỗi điểm trên đó có tọa độ (x, y)
iv. Đường thẳng t : 9x + 12y = c.Căn cứ vào hình vẽ, c nhỏ nhất ứng với đường
thẳng t qua đỉnh A là giao điểm của x − 2y = 0 và x + y = 400 . Giải hệ này ta
800
400
được : x =
và y =
.
3
3
Bài 8(B) Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II được
nhà máy lập kế hoạch sản xuất. Khi đó số lãi nhà máy nhân được là P = 3x + 5y(
nghìn đồng).
Các đại lượng x, y phải thỏa mãn các điều kiện sau:
23


x ≥ 0; y ≥ 0




y ≤ 5 − x
⇔ y≤2




y ≤ − 1 x + 3
2
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là đa thức OABCD( kể cả biên).

x ≥ 0, y ≥ 0



2x − 2y ≤ 10

2y ≤ 4



2x + 4y ≤ 12

Biểu thức P = 3x + 5y đạt GTLN khi (x,y) là tọa độ đỉnh C.Tọa độ điểm C thỏa
1

mãn:5 − x = − + 3 ⇔ x = 4 ⇔ C(4; 1).
2
Vậy trong điều kiện cho phép của nhà máy, nếu sản xuất 4 đơn vị sản phẩm I và 1
đơn vị sản phẩm II thì tổng số tiền lãi là lớn nhất và c = 3.4 + 5.1 = 17 (nghìn đồng)
Dạng 4
Bài 1(C):
∀k ∈ N∗ Ta có:
(kx + 1) − 1
kx
=
(x + 1)(2x + 1)...(kx + 1)
(x + 1)(2x + 1)...(kx + 1)
=

1
1
−
(x + 1)(2x + 1)...[(k − 1)x + 1] (x + 1)(2x + 1)...(kx + 1)

Áp dụng cho bài toán ban đầu ta được:
x
2x
kx
+
+ ... +
>1
x + 1 (x + 1)(2x + 1)
(x + 1)(2x + 1)...(kx + 1)
1
>1

(x + 1)(2x + 1)...(2016x + 1)
⇔ (x + 1)(2x + 1)...(2016x + 1) < 0.
−1
−1 −1
−1 −1
Nghiệm của BPT là x ∈ − 1;
∪
;
∪ ... ∪
;
.
2
3 4
2015 2016
⇔1−

24


Bài 2(C):
Từ 0 < x21 + x22 ≤ x2 − x1 ⇒ 0 < x1 < x2 .
CMTT ta được: 0 < x1 < x2 < ... < x2017 .
Mặt khác : x22016 + x22017 ≤ x2017 − x2016 ⇒ x2017 − x22017 ≥ x2016 + x22016 > 0
⇒ 0 < x2017 < 1
Khi đó 0 < x1 < x2 < ... < x2017 < 1.
1
Ta chia đoạn [0, 1] thành 2016 đoạn bằng nhau, độ dài mỗi đoạn con là
.
2016
Như vậy, trong 2017 số đã cho sẽ luôn tồn tại 2 số a và b thuộc cùng một đoạn con.

1
⇒ |a − b| ≤
2016
Bài 3(C):
ĐK: x ≥ √
2014.
Đặt u = x − 2014; v = x − 2016


u ≥ 0
2
2
⇔u=v≥0
BPT trở thành u + v ≥ 2(u + v ) ⇔ u + v ≥ 0


(u + v)2 ≥ 2u2 + 2v 2
Từ đó ta được: x = 2018
Bài 4(C):
√
√
6(x2 − 3x + 1) + x4 + x2 + 1 ≤ 0
⇔ 6(x2 − 3x + 1) + 6(x4 + x2 + 1) ≤ 0
⇔ 12(x2 − x + 1) + 6(x2 − x + 1)(x2 + x + 1) − 6(x2 + x + 1) ≤ 0
x2 − x + 1
x2 − x + 1
⇔ 12 2
+ 6. 2
− 6 ≤ 0 (vì x2 + x + 1 > 0∀x ∈ R)
x +x+1

x +x+1
x2 − x + 1
= t; t > 0
Đặt 6. 2
x +x+1
3
BPT trở thành 2t2 + t − 6 ≤ 0 ⇔ 0 < t ≤
2
√
√
11 − 21
11 + 21
Từ đó ta tìm được
≤x≤
10
10
Bài 5(C):
3
ĐK: x ≥ −
2
√
√
4x + 6 − 3 x3 + 7x2 + 12x + 6 ≥ x2 − 2
⇔ (x + 2)2 − (x2 − 2) − (x + 2) + [(x + 2) − 3 (x + 2)3 + (x2 − 2)] ≥ x2 − 2
Đặt A = (x + 2)2 − (x2 − 2) + (x + 2);
B = (x + 2)2 + (x + 2) 3 (x + 2)3 + (x2 − 2) + ( 3 (x + 2)3 + (x2 − 2))2 ;
1
1
A, B > 0 Khi đó BPT trở thành : (2 − x2 )
+ +1 ≥0

A B
√
√
⇔ 2 − x2 ≥ 0 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn)
Bài 6(C):
bất phương trình đã cho tương đương với

25