Khoá luận tốt nghiệp dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực của học sinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG

DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC
Ở TIỂU HỌC THEO TIẾP CẬN
NĂNG LƯC
CỦA HOC
SINH
•
•

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học toán ở tiểu học

HÀ NỘI - 2016


LỜ I CẢM ƠN
Em xin gửi lòi cảm ơn chân thành tói các thày cô giáo trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học đã tạo điều kiện cho
em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Văn Đệ,
người đã hướng dẫn, động viên, tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận
này.
Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo, các em học sinh
trường Tiểu học Nam Hồng đã giúp đỡ em trong quá trình thực nghiệm sư
phạm.
Do thời gian và trình độ cò hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để

đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xỉn chân thành cảm ơn ỉ
Hà Nội, tháng 04 năm 2016
Người thực hiện

Nguyễn Thị Thu Hương


LỜ I CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp: Dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp
cận năng lực của học sinh là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của ThS. Nguyễn Văn Đệ. Kết quả khóa luận này chưa được công bố
dưới bất kỳ hình thức nào.
Tôi xin cam đoan những điều trên đây là đúng sự thật, nếu sai tôi hoàn
toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 4 năm 2016
Người thực hiện

Nguyễn Thị Thu Hương


DANH M ỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẤT
Từ, cụm từ

Kí hiệu viết tắt

DH

Dạy học

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

GDTH

Giáo dục Tiểu học

NLTH

Năng lực Toán học

pp

Phương pháp

VD

Ví dụ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU............................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu................................................................................. 2
3. Đối tượng nghiên cứ u ............................................................................... 2

4. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................ 2
5. Phạm vi nghiên cứu................................................................................... 2
6. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 3
7. Cấu trúc khóa luận.....................................................................................3
Chương 1: Cơ SỞ LÍ LUẬN VÀ THựC TIỄN............................................... 4
1.1. Dạy học theo tiếp cận năng lực.............................................................. 4
1.1.1. Nguồn gốc của năng lực................................................................. 4
1.1.2. Một số khái niệm............................................................................. 4
1.1.3. Dạy học theo tiếp cận năng lực.................................................... 14
1.2. Một số vấn đề về dạy học khái niệm................................................... 16
1.2.1. Khái niệm.......................................................................................16
1.2.2. Con đường hình thành khái niệm...................................................16
1.2.3. Nội hàm và ngoại diên của khái niệm.......................................... 18
1.2.4. Các yêu cầu của một định nghĩa khái niệm .................................. 19
1.2.5. Vị trí, yêu cầu của dạy học khái niệm.......................................... 20
1.2.6. Phân loại khái niệm....................................................................... 20
Tiểu kết chương 1............................................................................................ 22
Chương 2: DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC Ở TIỂU HỌC THEO TIẾP
CẬN NĂNG L ự c CỦA HỌC SINH............................................................ 23
2.1. Hệ thống khái niệm toán học ở tiểu h ọ c............................................23
2.1.1. Số tự nhiên.................................................................................... 23
2.1.2. Phân số .......................................................................................... 23
2.1.3. Số thập phân.................................................................................. 24


2.1.4. Các khái niệm về hình học......................................................... 25
2.2. Thiết kế tình huống dạy học các khái niệm theo tiếp cận năng lực của
học sinh....................................................................................................... 26
2.2.1. Ví dụ 1........................................................................................... 26
2.2.2. Ví dụ 2 ............................................................................................32

2.2.3. Ví dụ 3 ............................................................................................37
Tiểu kết chưcmg 2 ............................................................................................ 41
Chương 3: THựC NGHIỆM SƯ PHẠM.......................................................42
3.1. Mục đích thực nghiệm......................................................................... 42
3.2. Đối tượng thực nghiệm........................................................................ 42
3.3. Lớp thực nghiệm.................................................................................. 43
3.4. Giáo viên.............................................................................................. 44
3.5. Thòi gian thực nghiệm, khảo sát.......................................................... 44
3.6. Kết quả................................................................................................. 45
KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT............................................................................ 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................50


MỞ ĐẦU
1. Lí do chon
■ đề tài
Công cuộc đổi mới của đất nước đã và đang đặt ra cho ngành Giáo dục và
Đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề đó là đào tạo nguồn nhân lực chất
lượng cao đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất
nước. Để thực hiện nhiệm vụ này, bên cạnh việc đổi mới mục tiêu, nội dung
chương trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta đã quan tâm nhiều
đến việc đổi mới phương pháp dạy học. Từ các vị lãnh đạo Đảng, Nhà nước,
lãnh đạo các cấp của ngành Giáo dục và Đào tạo đến các nhà nghiên cứu, các
nhà giáo đều khẳng định vai trò quan trọng và sự cần thiết của việc đổi mới
phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện của nhà
trường. Điều này đã được thể chế hóa trong Luật Giáo dục: "Phương pháp
giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của
người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành,
lòng say mê học tập và ỷ chỉ vươn lên ".
Để theo kịp xu thế phát triển chương trình tiểu học của các nước trong khu

vực và các nước phát triển trên thế giới, cũng như góp để đảm bảo nguồn
nhân lực Việt Nam có đủ sức cạnh tranh và họp tác khi hội nhập quốc tế. Nền
giáo dục Việt Nam đã định hướng và thực hiện bước chuyển từ chương trình
giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học - từ chỗ quan
tâm tới việc học sinh “học được gì” đến chỗ quan tâm tới việc học sinh “làm
được gì thông qua việc học” nhằm giúp học sinh thấy được sợi dây gắn kết
giữa việc học vói áp dụng vào thực tế.
Dạy học môn Toán theo hướng tiếp cận năng lực người học là một trong
những vấn đề mới mẻ và đang được quan tâm nhiều, đặc biệt đối vói giai
đoạn giáo dục cơ sở, bắt buộc như GDTH. Với định hướng trên, hiện nay,
việc tổ chức dạy và học môn Toán ở trường tiểu học khiến cho giáo viên gặp
1


nhiều khó khăn trong việc tìm ra phương pháp dạy học phù họp, đặc biệt là
trong dạy học khái niệm toán học. Thực tiễn cho thấy, việc dạy học khái niệm
toán học ở tiểu học hiện nay hàu hết các giáo viên đều chọn cách truyền thụ
tri thức bằng cách giảng giải là chủ yếu, giáo viên đóng vai trò là trung tâm
của quá trình dạy học mà không phát huy được vai trò tích cực của người
học.Vì vậy, trong quá trình học Toán, rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu
kém, hạn chế về phát triển năng lực.
Từ các lý do trên chúng tôi xin mạnh dạn đi sâu nghiên cứu đề tài giáo dục
“Dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực của học sinh”.
Nhằm đề xuất một số biện pháp dạy học môn Toán ở tiểu học, giúp tháo gỡ
một phàn khó khăn trong dạy học môn Toán ở trường tiểu học.
2. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế một số tình huống dạy học khái nệm toán học ở tiểu học nhằm
phát triển các năng lực của học sinh nói chung, năng lực toán học nói riêng,
hình thành kĩ năng giải quyết vấn đề trên cơ sở kiến thức đã học.
3. Đối tượng nghiên cứu

Việc dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực của học
sinh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc dạy học theo tiếp cận năng lực,
nội dung dạy học khái niệm toán học ở tiểu học.
- Thiết kế một số tình huống dạy học khái niệm toán học ở tiểu học
theo tiếp cận năng lực cho học sinh.
- Thực nghiệm khoa học.
5. Phạm vỉ nghiên cứu
- Nội dung dạy học khái niệm toán học ở tiểu học.
- HS trường tiểu học Xuân Hoà, Phúc Yên, Vĩnh Phúc.
2


6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp điều tra, quan sát.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp thống kê toán học.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, phần nội dung của
khoá luận có cấu trúc như sau:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực
của học sinh
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3

Chương 1: c ơ SỞ LÍ LUẬN VÀ THựC TIỄN
1.1. Dạy học theo tiếp cận năng lực
1.1.1. Nguồn gốc của năng lực
Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và
nguồn gốc của năng lực. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số
quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn.
Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện càn thiết ban đầu
cho sự phát triển năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ.
Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Con người
từ khi sinh ra đã có sẵn những tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực
tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển
được. Xã hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn
đó cho các thế hệ sau trong môi trường Văn hóa - Xã hội.
Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động.
Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự
tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích
ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo
ra các kết quả “vật chất” mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực là hiện tượng có bản chất,
nguồn gốc phức tạp. Các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại
với nhau để tạo ra các năng lực.
1.1.2. Môt số khái niêm
•

•

a) Năng lực
Năng lực được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau do sự lựa chọn dấu
hiệu khác nhau.

Theo tâm lí học: Năng lực là tổng họp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của
cá nhân phù họp vói yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm
4


đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao. Các năng lực hình thành trên cơ
sở của các tư chất tự nhiên của cá nhân, nó đóng vai trò quan ừọng. Năng lực
của con ngưòi không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phàn lớn do công tác,
tập luyện hình thành.
Kết quả nghiên cứu các công trình tâm lí học và giáo dục học cho thấy, từ
nền tảng là các tư chất ban đầu học sinh bước vào hoạt động. Qua quá trình
hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần
thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với
mức độ cao hơn. Đến một lúc nào đó, học sinh đủ khả năng để giải quyết
những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì khi đó học sinh
đã có được một năng lực nhất định. Dưới đây là một số cách hiểu về năng lực:
• Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả năng hoàn
thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao.
• Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người đáp ứng
được yêu cầu của lhoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn
thành có kết quả một hoạt động nào đó. (theo tác giả Phạm Minh Hạc)
• Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu càu
của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất
sắc một loại hoạt động nào đó. (theo tác giả Trần Đình Châu)
Cả ba định nghĩa đều có điểm chung là năng lực chỉ nảy sinh và quan sát
được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền
với tính sáng tạo, tuy có khác nhau về mức độ.
Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa
nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng.
Tức là thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi

cho sự hình thành và phát triển những năng lực khác nhau.
Ngoài ra còn một số quan niệm về năng lực:
5


• Năng lực được xây dựng trên cơ sở tri thức, thiết lập qua giá tri, cấu
trúc như là các khả năng, hình thành qua trải nghiệm/củng cố qua
kinh nghiệm, hiện thực hóa qua ý chí (John Erpenbeck 1998).
• Năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức họp và thực
hiện thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể (OECD, 2002).
• Năng lực là các khả năng và kỹ năng nhận thức vốn có ở cá nhân
hay có thể học được để giải quyết các vấn đề đặt ra trong cuộc sống.
Năng lực cũng hàm chứa trong nó tính sẵn sàng hành động, động cơ,
ý chí và ừách nhiệm xã hội để có thể sử dụng một cách thành công
và có trách nhiệm các giải pháp... ừong những tình huống thay đổi
(Weinert, 2001).
• Năng lực là khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kỹ
năng, thái độ và hứng thú để hành động một cách phù họp và có
hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống (QuébecMinistère de l’Education, 2004).
• Năng lực là khả năng vận dụng đồng bộ các kiến thức, kỹ năng, thái
độ, phẩm chất đã tích lũy được để ứng xử, xử lý tình huống hay để
giải quyết vấn đề một cách có hiệu quả (Lê Đức Ngọc, 2014).
Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết họp một cách linh
hoạt, có tổ chức họp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ,
nhằm đáp ứng những yêu càu phức họp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt
động đó đạt kết quả tốt đẹp ừong một bối cảnh (tình huống) nhất định. Biểu
hiện của năng lực là biết sử dụng các nội dung và các kĩ thuật trong một tình
huống có ý nghĩa, chứ không tiếp thu lượng tri thức rời rạc.
Có rất nhiều những quan niệm khác nhau về năng lực. Tuỳ theo mỗi
góc nhìn, mỗi quan niệm lại có một cách hiểu. Theo chúng tôi: Năng lực là

những thuộc tỉnh độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng
6


của một hoạt động nào đó, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt
trong lĩnh vực hoạt động ẩy.
b) Năng lực Toán học
Theo V.A.Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa, hai
mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo ), tức là năng lực đối với việc
học toán, đối vói việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm một
cách nhanh chóng và tốt các kiến thức, kĩ năng, kỹ xảo tưomg ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mói, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội loài người.
Giữa hai mức độ toán học đó không có sự ngăn cách tuyệt đối. Nói đến
năng lực học tập toán không có nghĩa là không đề cập đến năng lực sáng tạo.
Nhiều học sinh có năng lực đã nắm giáo trình một cách độc lập và sáng tạo,
đã tự đặt ra và giải những bài tập không phức tạp lắm, đã tự tìm ra các con
đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra
các công thức. Sau đây là một số định nghĩa về năng lực toán học:
•

Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước

hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và
giúp cho việc nắm giáo trình toán, kiến thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo tương
đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc.
•

Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân

(trước hết là những đặc diểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt
động toán học và ttong những điều kiện vững chắc như nhau là nguyên nhân
của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư
cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, vững vàng sâu
sắc kiến thức, kỹ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học.
7


Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông
minh trong việc học toán. Tất cả học sinh đều có khả năng và phải nắm được
chương trình toán học, nhưng các khả năng này khác nhau tuỳ vào từng học
sinh. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi; các năng lực này
không phải nhất thành, bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình
học tập, rèn luyện để nắm được hoạt động tương ứng. Vì vậy cần nghiên cứu
để nắm được bản chất của năng lực và con đường hình thành, phát triển, hoàn
thiện của năng lực.
Tuy nhiên, ở mỗi người lại có sự khác nhau về mức độ năng lực toán học.
Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và
phương pháp thích họp để giúp cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng
cao dàn về mặt năng lực toán học. v ề vấn đề này nhà Toán học Xô viết nổi
tiếng, Viện sĩ A.N.Kolmogorov cho rằng: “Năng lực bình thường của học
sinh trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được toán học ừong trường
trung học với sự hướng dẫn tốt của thày giáo hay và sách tốt”.
c) Các quan điểm về cấu trúc năng lực Toán học
Thứ nhất, Quan điểm của V.A.Krutecxki
V.A.Krutecxki - nguyên Phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý học
thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cứu tâm
lí năng lực toán học với công trình độ sộ “Tâm lý năng lực toán” Luận án tiến

sĩ của ông được Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao. Công trình là kết
quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành thực nghiệm hết
sức công phu được tiến hành từ năm 1955 đến 1968. Ông đã nghiên cứu sâu
sắc về mặt lý luận, tham khảo hơn 747 tài liệu ưong và ngoài nước, v ề mặt
thực tiễn, quan sát tự nhiên, theo dõi sự phát triển của học sinh có năng khiếu
Toán học, thực nghiệm trên 157 học sinh giỏi, trung bình và kém, nghiên cứu
tình trạng học tập của học sinh (qua tài liệu) về các bộ môn của khoảng 1000
8


học sinh từ lớp 7 đến lớp 10; toạ đàm với 62 giáo viên dạy Toán, phỏng vấn
bằng giấy đối với 56 giáo viên toán, phỏng vấn bằng giấy đối với 21 nhà toán
học, nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84 nhà Toán học và vật lý học nổi
tiếng trong và ngoài nước... Chính vì độ tin cậy trên về những kết luận khoa
học của V.A.Krutecxki nên khoá luận sẽ kế thừa kết quả và là cơ sở quan
trọng của đề tài.
Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực toán
học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa trên quan điểm lý
thuyết thông tin):
• v ề mặt thu nhận thông tin toán học
Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm cấu
trúc hình thức của bài toán.
• v ề mặt chế biến thông tin toán học
- Năng lực tư duy logic ừong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không
gian, hệ thống kí hiệu số và dấu, năng lực tư duy bằng các kí hiệu toán học.
- Năng lực khái quát hoá nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học
và các phép toán.
- Năng lực rút gọn quá trinh suy luận toán học và hệ thống các phép toán
tương ứng, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn.
- Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học.

- Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời
giải.
- Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư
duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo
(trong suy luận toán học).
• v ề mặt lưu trữ thông tin toán học

9


Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học, đặc điểm về
loại, sơ đồ suy luận và chứng minh, phương pháp giải toán, nguyên tắc,
đường lối giải toán).
• v ề thành phần tổng hợp khái quát
Khuynh hướng toán học của trí tuệ
Các thành phần nêu trên có quan hệ mật thiết với nhau, ảnh hưởng lẫn
nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng lực
toán học.
Sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực toán học có thể được biểu thị bằng
một công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học được đặc trưng bởi tư
duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực quan hệ toán học, hệ thống
kí hiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ.
Cùng với cấu trúc nói trên, V.A.Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý về
phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh.
Nghiên cứu quan diểm của V.A.Krutecxi về năng lực toán học có thể thấy
một số vấn đề quan trọng sau:
* v ề mặt lý luận:
1) Theo V.A.Krutecxki thì nói đến học sinh có năng lực toán học là nói
đến học sinh có trí thông minh trong việc học toán.
2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi nói về năng lực

tức là giả định rằng: có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cá nhân,
chẳng hạn về năng lực toán học. Điều quan trọng năng lực không chỉ là bẩm
sinh mà còn được phát sinh phát triển trong hoạt động, ừong đòi sống của mỗi
cá nhân.
3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt động
nhất định của con người. Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại trong

10


hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy
được biểu hiện của năng lực toán học.
4)

Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường

phụ thuộc vào một tổ họp năng lực. Kết quả học tập toán cũng không nằm
ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn
niềm say mê, thái độ học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo viên, của gia
đình và xã hội.
* v ề mặt thực tiễn
1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu năng lực của mỗi
người ừong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồi
dưỡng năng lực đó.
2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái quát,
tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống chúng dựa trên tài liệu toán học. Các năng
lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học sinh giỏi, trung
bình, kém. Ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đó được tạo
thành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì muốn hình
thành các mối liên tưởng cần cả một hệ thống bài tập và phải có sự rèn luyện.

Thứ hai, quan điểm của A.N.Kôlmôgôrôv
Trong cuốn sách v ề nghề nghiệp của nhà Toán học, A.N.Kôlmôgôrôv đã
chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lượng lớn các sự kiện, công
thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không quan hệ
đến năng lực toán học. Trong thành phần các quan hệ toán học ông nêu ra:
- Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
kiếm các cách hay để giải các phương trình không phù họp với qui tắc
giải thông thường, hoặc như các nhà toán học gọi là năng lực tính toán
hay năng lực “ angôrit”;
Trí tưởng tượng hình học hoặc “ trực giác hình học”;
11


Nghệ thuật suy luận lôgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự. Có thể nói
rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic càn thiết cho nhà toán học là
hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một
cách đúng đắn;
- Ông còn nhấn mạnh rằng: Các khía cạnh khác nhau của năng lực toán
học thường gặp trong các tổ họp khác nhau và năng lực này thường bộc
lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục.
Thứ ba, quan điểm của A.I.Marcusevich
Viện sĩ A.I.Marcusevich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ và tính
cách cần được giáo dục cùng vói việc dạy toán:
Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết
không cơ bản (kỹ năng trừu tượng hoá);
- Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ
lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học, đó
chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố không
gian (kỹ năng sơ đồ hoá);
- Kỹ năng rút ra các hệ quả logic từ các tiên đề đã cho (tư duy suy diễn);

- Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ năng
phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào
chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;
- Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra từ những suy luận lý thuyết cho
những vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự
kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến
độ tin cậy của các kết quả;
- Khái quát các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mói ở dạng
khái quát;
Thứ tư, quan điểm của X.L.Svacxbuốc
12


X.L.Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà toán học, đã
nghiên cứu các yếu tố sau đây ừong sự phát triển toán học:
- Các biểu tượng không gian;
- Tư duy trừu tượng;
- Chuyển thành sơ đồ toán học;
- Tư duy suy diễn;
- Phân tích, xem xét các trường hợp riêng;
- Áp dụng các kết luận;
- Tính phê phán;
- Ngôn ngữ toán học;
- Kiên trì khi giải toán;
Thứ năm, quan điểm của B.V.Gơnhedencô
Viện sỹ B.V.Gơnhedencô trong một loạt bài báo đãng trên Tạp chí “Toán
học trong nhà trường” ừong các năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra các tính chất
sau đây của tư duy toán học:
- Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy được sự
thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;

- Có thói quen lý giải logic một cách đầy đủ;
- Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;
- Sự cô đọng;
- Sự chính xác của ký hiệu.
Thứ sáu, quan điểm của UNESCO
Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của NLTH
đó là:
- Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và các
khái niệm;
- Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu;
13


- Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;
- Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;
- Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;
- Năng lực xây dựng một chứng minh;
- Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;
- Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;
- Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng;
- Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học.
1.1.3. Dạy học theo tiếp cận năng lực
Dạy học theo tiếp cận năng lực: nay còn gọi là dạy học định hướng kết
quả đầu ra được bàn đến nhiều từ những năm 90 của thế kỷ 20 và ngày nay đã
trở thành xu hướng giáo dục quốc tế. Giáo dục theo tiếp cận năng lực nhằm
mục tiêu phát triển năng lực người học. Dạy học theo tiếp cận năng lực không
quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra
mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đưa ra những hướng dẫn
chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, tổ chức và đánh giá kết quả
dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học tức là đạt được kết

quả đầu ra mong muốn.
Dạy học tiếp cận năng lực nhằm đảm bảo chất lượng đầu ra của việc
dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú
trọng năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm
chuẩn bị cho con người năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và
nghề nghiệp. Chương trình này nhấn mạnh vai trò của người học với tư cách
chủ thể của quá trình nhận thức.
1.1.4. Đặc trưng phân biệt dạy học theo định hướng nội dung và dạy học
theo tiếp cận năng lực

14


Khác với chương trình định hướng nội dung, chương trình dạy học định
hướng tiếp cận năng lực tập trung vào việc mô tả chất lượng đàu ra, có thể coi
là “sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học. Việc quản lý chất lượng dạy
học chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiển “đầu ra”, tức là kết
quả học tập của HS.
Bảng 1.1: So sánh một số đặc trưng cơ bản của chương trình định hướng
nội dung và chương trình định hướng tiếp cận năng lực
Chương trình định hướng

Chương trình định hướng

nội dung

tiếp cận năng lực

Mục tiêu Mục tiêu dạy học được mô tả Kết quả học tập cần đạt được
giáo dục

không chi tiết và không nhất mô tả chi tiết và có thể quan sát,
thiết phải quan sát, đánh giá đánh giá được; thể hiện được
mức độ tiến bộ của HS một cách

được.

liên tục.
Nội dung Việc lựa chọn nội dung dựa Lựa chọn những nội dung nhằm
giáo dục

vào các khoa học chuyên môn, đạt được kết quả đầu ra đã quy
không gắn với các tình huống định, gắn với các tình huống
thực tiễn. Nội dung được quy thực tiễn. Chương trình chỉ quy
định chi tiết trong chương định những nội dung chính,
trình.

Phương

không quy định chi tiết.

GV là người truyền thụ tri - GV chủ yếu là người tổ chức,

pháp dạy thức, là trung tâm của quá trình hỗ trợ HS tự lực và tích cực lĩnh
học

dạy học. HS tiếp thu thụ động hội tri thức. Chú trọng sự phát
những tri thức được quy định triển khả năng giải quyết vấn đề,
sẵn.

khả năng giao tiếp,...;
- Chú ừọng sử dụng các quan
điểm, phương pháp và kỹ thuật
15


dạy học tích cực; các phương
pháp dạy học thí nghiệm, thực
hành.
Hình thức Chủ yếu dạy học lý thuyết trên Tổ chức hình thức học tập đa
dạy học

lóp học.

dạng; chú ý các hoạt động xã
hội, ngoại khóa, nghiên cứu
khoa học, ừải nghiệm sáng tạo;
đẩy mạnh ứng dụng công nghệ
thông tin và truyền thông trong
dạy và học.

Đánh giá Tiêu chí đánh giá được xây Tiêu chí đánh giá dựa vào năng
kết

quả dựng chủ yếu dựa trên sự ghi lực đàu ra, có tính đến sự tiến bộ

học

tập nhớ và tái hiện nội dung đã trong quá trình học tập, chú

củaHS

học.

trọng khả năng vận dụng trong
các tình huống thực tiễn.

1.2. Môt sổ vấn đề về day hoc khái niêm
1.2.1. Khái niêm
Khái niệm là một hình thức của tư duy phản ánh những thuộc tính chung,
chủ yếu, bản chất của đối tượng. Khái niệm được coi là đúng nếu như nó phản
ánh đúng sự vật, hiện tượng tồn tại trong thực tế. Khái niệm được diễn tả
bằng lời, hoặc bằng kí hiệu theo sự thỏa thuận trong một ý nghĩa nào đó và
được xác định một cách nghiêm ngặt.
1.2.2. Con đường hình thành khái niệm
a) Hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp

16


Hình thành khái niệm theo con đường quy nạp là đi từ VD cụ thể đến tổng
quát hình thành khái niệm. Ở Tiểu học GV chủ yếu hình thành khái niệm
bằng con đường quy nạp.
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp
+ GV đưa ra những VD cụ thể để HS thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một
loạt đối tượng nào đó;
+ GV hướng dẫn HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung
của các đối tượng đang được xem xét. Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối
tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu;
+ GV gọi mở để HS phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc

điểm đặc trưng của khái niệm.
Ví dụ: Hình thành khái niệm phân số xuất phát từ ví dụ sau: “chia hình tròn
thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần. Ta nói đã tô năm phàn sáu hình tròn”
ta viết 5/6(đọc là năm phần sáu, ta gọi 5/6 là phân số, có tử là 5 và mẫu là 6).
Khái quát định nghĩa phân số: “mỗi phân số có tử số và phân số. Tử số là số
tự nhiên viết trên gạch ngang. Mau số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch
ngang”.
b) Hình thành khái niệm theo con đường suy diễn
Hình thành khái niệm bằng con đường suy diễn là nêu khái niệm và đưa ra
ví dụ để minh họa khái niệm. Chẳng hạn GV đưa ra khái niệm số lẻ là số
không chia hết cho 2 rồi nêu ví dụ cho HS 11(11 = 2 x 5 + 1), 13 (13 = 2 x 6
+ 1),..
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn:
- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó
một số đặc điểm mà ta quan tâm;
- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó
nhờ một khái niệm tổng quát hơn;
17


- Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được
định nghĩa.
Các khái niệm được hình thành có hai dạng là khái niệm trừu tượng và
khái niệm cụ thể.
- Khái niệm trừu tượng: Những tính chất chung của đối tượng được tách
ra và không để ý đến các tính chất chung của chúng.
- Trong khái niệm trừu tượng được hình thành bằng cách trên ta không
chỉ giữ lại các tính chất chung để tạo nên khái niệm mà còn chứa trong
nó những dấu hiệu đặc biệt và riêng của nó. Loại này gọi là khái niệm
cụ thể.

•

Ví dụ: Khi tạo ra khái niệm tứ giác ta chỉ giữ lại các tính chất

chung là bốn đoạn thẳng, khép kín không thẳng hàng, còn các tính chất khác
người ta không để ý đến. Tuy nhiên khái niệm trừu tượng “tứ giác” vẫn có
những dấu hiệu riêng chứa trong nó như sự bằng nhau hay không giữa các
cạnh, độ lớn của các góc so với góc vuông...

------ ► từ khái niệm tứ giác

theo con đường cụ thể đi đến các loại tứ giác khác như hình bình hành, hình
chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Đây là những khái niệm cụ thể so với khái
niệm trừu tượng “tứ giác”.
1.2.3. Nôi hàm và ngoai diên cửa khái niêm
Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng, do đó một
khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối tượng
xác định khái niệm được gọi là ngoại diên còn toàn bộ thuộc tính chung của
lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm. Nội hàm của khái niệm
là toàn thể những thuộc tính bản chất được phản ánh trong khái niệm. Ngoại
diên của khái niệm là toàn thể những cá thể có chứa những thuộc tính bản
chất được phản ánh trong khái niệm.

18


Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính qui luật, nội hàm
càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
Ví dụ 1: “Hình bình hành có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng
nhau”. Nội hàm: Hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau; ngoại diên:

Tất cả các hình có cặp cạnh song song và bằng nhau có thể có như hình bình
hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
Ví dụ 2: “Hình chữ nhật có 4 góc vuông, có hai cạnh dài bằng nhau và hai
cạnh ngắn bằng nhau”. Nội hàm: 4 góc vuông, 2 cạnh dài bằng nhau, 2 cạnh
ngắn bằng nhau; ngoại diên: tất cả các hình chữ nhật có thể có (hình chữ nhật,
hình vuông).
Neu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái
niệm A được gọi là khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái niệm B được
gọi là khái niệm loại của khái niệm A.
1.2.4. Các yêu cầu của một định nghĩa khái niệm
Yêu cầu 1: Định nghĩa phải tương xứng
- Định nghĩa theo qui tắc này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa
và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau.
- Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm
quá hẹp hay quá rộng so vói khái niệm được định nghĩa.
Yêu cầu 2: Định nghĩa không được vòng quanh
Định nghĩa theo qui tắc này có nghĩa là phải dựa vào khái niệm đã biết đã
được định nghĩa.
Yêu cầu 3: Định nghĩa phải tối thiểu
Định nghĩa theo qui tắc này tức là trong nội dung khái niệm định nghĩa
không chứa những thuộc tính có thể suy ra từ các thuộc tính còn lại.

19