Các bài toán thực tế

ÑAÊNG Đăng Khoa
Đầu năm xin chữ Đăng Khoa

KHOA

Chúc trò thắng lợi thật là vẻ vang
Bể học vốn rất gian nan
Nay trắc nghiệm Toán phải càng gắng thêm
Học hành chăm chỉ ngày đêm
Siêng năng ắt bước trên thềm Đăng Khoa

Nguyễn Chiến


MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN TẾT ĐINH DẬU 2017

Biên soạn: Nguyễn Chiến
Câu 1. Ngày 27 giáp tết Đinh Dậu 2017, thầy Quân mua
một cây Bích Đào. Do lo lắng hoa đào chưa kịp nở rộ đẹp
nhất vào ngày tết nên thầy giáo mua thêm thuốc kích thích
hoa nở và bón ngay cho cây. Nồng độ thuốc hấp thụ vào
cây Bích Đào được xác định theo công thức C  t  

log  5 

t

t 2  16

( t : thời gian, đơn vị: ngày) với  0  t  7  .
Biết rằng nồng độ thuốc hấp thụ cao nhất thì hoa sẽ nở rộ đẹp nhất. Hỏi hoa sẽ nở đẹp

nhất vào ngày nào?
A. Ngày 30 tết.

B. Ngày mồng 1 tết.

C. Ngày mồng 2 tết.

D. Ngày mồng 3 tết.
Lời giải

log  5 

Xét hàm C  t  

t 2  16

,với t  0; 7 

 t 2  16 log 5  2t 2 .log 5 16  t 2 log 5
 

2
2
2

t

16
t 2  16




 log  5 t
C  t    2
 t  16

C  t   0 

t














16  t  log 5  0  t  4. Do t  0; 7   t  4 . Vậy sau 4 ngày hoa đào sẽ
 
t  16 
2

2

2

nở rộ đẹp nhất, ngày đó là ngày mồng 1 tết  Chọn đáp án B.
Cách 2: Ta có: t  16  2 t  16  8t  C  t  
2

2

log  5 

t

t  16
2



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t  4  Chọn đáp án B.

t .log 5 log 5

8t
8


Câu 2. Nhà Thầy Hiếu trồng rất nhiều hoa ly để bán
phục vụ tết Đinh Dậu 2017. Trong ngày 29 tết Thầy
Hiếu bán hàng tại vườn từ lúc 6 giờ sáng đến 6 giờ
chiều, cứ sau 1 tiếng Thầy Hiếu lại đếm số cây hoa ly

đã bán thì thấy số cây hoa ly bán được theo thời gian là
f  t   15t 2  t 3 ( t : thời gian, đơn vị giờ). Giả sử f   t  là

số cây bán được trong 1 giờ tại thời điểm t. Hỏi số cây
hoa ly bán được nhiều nhất vào lúc mấy giờ?
A. 9 giờ sáng.

B. 11 giờ trưa.

C. 4 giờ chiều.

D. 6 giờ chiều.
Lời giải

Ta có f  t   15t 2  t 3 , t   0;12  , t 

 f '  t   30t  3t 2

Xét hàm g  t   f   t   30t  3t 2  g  t   30  6t , g  t   0  t  5
Hàm số f   t  đạt giá trị lớn nhất tại t  5 nên số cây hoa ly bán được nhiều nhất vào
lúc 11 giờ trưa  Chọn đáp án B.


Câu 3. Năm đầu tiên nhà Thầy Bảo thử nghiệm gói bánh Tét
niềm Nam để bán trong dịp tết nguyên đán 2017 cho khách
ở Huế. Qua tìm hiểu Thầy Bảo quyết định sẽ làm hai loại
bánh Tét có chi phí sản suất như sau: loại 1: bánh Tét nước
tro nhân đậu ngọt 16k/1bánh và loại 2: bánh Tét nhân đậu
xanh,mỡ: 40k/1bánh. Dự kiến toàn bộ chi phí cho sản xuất
bánh Tét là 32 triệu. Hàm số lợi nhuận thu được từ hai loại

bánh Tét là: L  x; y   3 x y (với x,y lần lượt là số bánh Tét loại
1 và loại 2).
Để doanh thu đạt giá trị lớn nhất thì tỉ lệ x : y là
A. 5 : 3.

B. 5 : 4.

C. 3 : 5.

D. 4 : 5.

Lời giải
Ta có 16.000x  40.000 y  32.000.000, x, y  0; 32.000.000
y

32.000.000  16.000 x 4.000  2 x

40.000
5
1

 4.000  2 x  2
Thay vào hàm số lợi nhuận ta được: L  x; y   3 x y  x . 

5


1
3

3

 4.000  2 x 
Xét hàm f  x   L  x; y   f  x   x . 
 trên 0; 32.000.000  .
5


6

2

3

2

2

 4.000  2 x  3.2 2  4.000  2 x 
 4.000  2 x   4.000  2 x 3x 
Ta có: f   x   2 x. 

.x . 
 2x 
 


 
5
5

5
5
5
5 





 
x  0
2
 4.000  2 x   4.000  2 x 3x 

f   x   0  2x 
   0   x  2000


5
5
5 

 
 x  800

Khảo sát hàm số f  x  trên 0; 32.000.000  ta thấy f  x  đạt giá trị lớn nhất tại x  800.
Với x  800  y 

4.000  2 x
 480 . Do vậy x : y  800 : 480  5 : 3

5

 Chọn đáp án A.


Câu 4. Nhân dịp giáp tết Đinh Dậu 2017, Cô Luyến tự làm
bánh THUẨN để bán, thành phần bánh gồm: trứng gà,
đường cát, sữa tươi vinamilk, bơ, nước cam hoặc chanh dây
hoặc sôcôla. Cô đóng bánh vào x gói nhỏ và bán với giá G
ngàn đồng/gói. Phương trình giá theo nhu cầu tiêu thụ là:

G

3600
 x  760. Tổng chi phí cho toàn bộ số bánh là:
x

C  9x2  7440x  446400ln x. Cô Luyến cần đóng bao
nhiêu gói bánh để thu được lợi nhuận cao nhất?
A. 310.

B. 480.

C. 720.

D. 850.

Lời giải
Lợi nhuận thu được khi cô Luyến bán x gói bánh là:

f  x   G.x  C  10x2  8200x  4.464.000 ln x  3600
f   x   20 x  8200 

f  x  0  



4.464.000
1
  20 x2  8.200 x  4.464.000
x
x



 x  720
1
20 x 2  8.200 x  4.464.000  0  
 x  720
x
 x  310





Ta thấy hàm số f  x  đạt giá trị lớn nhất tại x  720 .
Vậy để thu được lợi nhuận cao nhất Cô Luyến sẽ đóng thành 720 gói bánh
 Chọn đáp án C.

Câu 5. Buổi sáng 29 tết Đinh Dậu 2017, Thầy
Khánh ngồi quán cafê ngắm cảnh Đà Lạt và quan
sát người dân đi sắm tết, đồng thời đến số lượng xe
máy di chuyển qua đoạn đường trước quán cafê.
Giả sử lưu lượng xe máy qua đoạn đường trước
quán cafê là: L  v  

24v.log 281
 xe / giây 
v2  80v  324

(với v là vận tốc trung bình của xe máy khi qua đoạn
đường trước quán cafê, đơn vị v là km/giờ).
Để lượng xe máy qua đoạn đường trước quán cafê Thầy Khánh ngồi lớn nhất thì vận
tốc trung bình của xe máy là
A. 18km / h.

C. 30km / h.

B. 25km / h.

D. 36km / h.

Lời giải
Xét hàm số L  v  

24v.log 281
với v  0
v2  80v  324

Ta có L  v   1944.log 2

v

v2  324
2

 80v  324



2

L  v   0  1944.log 2

v

v 2  324
2

 80v  324



2

0

 v  18

 v2  324  0  
. Do v  0  v  18 . Hàm số L  v  đạt giá trị lớn nhất tại
 v  18
v  18  L 18   5,04  xe / giây  . Để lượng xe máy qua đoạn đường trước quán cafê

Thầy Khánh ngồi lớn nhất thì vận tốc trung bình của xe máy là 18km / h.
 Chọn đáp án A.


Câu 6. Ngày 28 tết Đinh Dậu 2017, Thầy Chiến có nhiệm
vụ trông nồi bánh chưng. Trong lúc rảnh rỗi thầy Chiến
thử tìm ra hàm công thức tính độ chín của bánh chưng
theo thời gian. Với điều kiện cung cấp nhiệt lượng bằng
củi, và điều kiện thời tiết ngày 28 tết, giả sử D  t  là chỉ số
báo hiệu độ chín của bánh chưng khi luộc theo thời gian t
(đơn vị giờ). Cho biết D  t   2at  b (với a , b là tham số).
Sau 2 giờ chỉ số D  t   21 , sau 6 giờ chỉ số D  t   183 .
Bánh chưng đảm bảo tiêu chuẩn vớt được khi D  t   600 . Hỏi thầy Chiến cần luộc
bánh chưng tối thiểu trong bao lâu?
A. 10 giờ.

B. 11 giờ.

C. 12 giờ.

D. 13 giờ.

Lời giải
Ta có D  t   2at  b  D  t     2at  b  dt


bt  2
Sau 2 giờ chỉ số D  t   21    2at  b  dt  21   at 2    21  4a  b  21  * 
20

0
2


bt  6
Sau 6 giờ chỉ số D  t   183    2at  b  dt  183   at 2    183  36a  3b  183  * * 
20

0
6

4a  b  21
a  5
Từ  *  và  * *   

36a  3b  183
b  1

t

 D  t     10t  1 dt .
0

Thời gian tối thiểu luộc bánh là số nguyên t * nhỏ nhất thoả mãn


t  t*
t*
D  t *   600   5t 2    600  5t * 2   600  0
2 0
2


1  48001
 10,9
t * 
20

 t *  11  Chọn đáp án B.

1  48001
0
t * 
20



Câu 7. Muốn chặt thịt gà luộc cho dễ cần vớt ra và để
nguội đến 400C. Thầy Trinh vớt gà từ nồi đang sôi ở
1000C ra và để nguội tự nhiên trong 4 phút, với điều
kiện tự nhiên thì độ giảm nhiệt độ con gà trong 4 phút
đầu được tính theo công thức T  2t 2  log 2 t .
(t: thời gian, đơn vị phút).
Sau 4 phút chờ nóng ruột và biết rõ từ phút thứ 5 độ giảm nhiệt độ con gà không theo
công thức trên nữa nên Thầy Trinh quyết định bật quạt để gà nhanh nguội hơn, với

điều kiện quạt quay thì độ giảm nhiệt độ con gà được tính theo công thức

T '  50  47 e 0,12t . Hỏi phải chờ tối thiểu bao lâu kể từ lúc vớt ra thì Thầy Trinh sẽ chặt
được thịt gà?
A. 6 phút.

B. 8 phút.

C. 10 phút.

D. 12 phút.

Lời giải
Sau 4 phút thì độ giảm nhiệt độ con gà luộc là: T  2t 2  log 2 t  2.42  log 2 4  330 C .
Nhiệt độ con gà luộc sau 4 phút là: 1000 C  330 C  67 0 C . Do vậy cần phải giảm thêm:

67 0 C  400 C  27 0 C . Ta có phương trình:

50  47 e

0,12 t

 27  e

0,12 t

23
ln
23
47  5,96  6 phút.


t
47
0,12

Vậy tổng thời gian tối thiểu để chờ chặt thịt gà từ lúc vớt ra là :
4 phút + 6 phút =10 phút  Chọn đáp án C.


Câu 8. Bánh chưng bị mốc do nấm mốc và 1 số loại vi
khuẩn gây ra. Trong phòng thí nghiệm Thầy Tuấn lấy ra 1
mẫu bánh chưng bình thường và phân tích có 6.000 con vi
khuẩn. Số con vi khuẩn ngày thứ t là N  t  con và thoả
mãn N   t  

1500
. Khi số lượng vi khuẩn vượt quá 10.000
1 t

con thì mẫu bánh chưng trên sẽ bị mốc. Hỏi sau bao nhiêu
ngày thí nghiệm thì mẫu bánh chưng trên bị mốc?
A. 11 ngày.

B. 12 ngày.

C. 13 ngày.

D. 14 ngày.
Lời giải

N t   

1500
dt  1500 ln 1  t  6000 . Để bánh chưng bị mốc thì N  t   10.000
1 t

8
8
 1500 ln 1  x  6.000  10.000  ln 1  t   t  e 3  1  13, 39  t  14 ngày
3

 Chọn đáp án D.

Câu 9. Trong bữa tất niên, do uống quá chén nên nồng độ cồn
hơi hơi thở Thầy Yên là 0, 3mg /1 lít khí thở. Theo quy định
nồng độ cồn vượt quá 0,25 mg/1 lít khí thở người lái xe sẽ vi
phạm luật giao thông. Độ giảm nồng độ cồn trong hơi thở thầy
Yên theo công thức G  t   e 0,01t  1 ( mg /1 lít khí thở)
(t: thời gian, đơn vị tính giờ). Hỏi tối thiểu sau bao lâu thầy Yên có
thể lái xe mà không vi phạm luật?
A. 4 giờ.

B. 5 giờ.

C. 6 giờ.

D. 7 giờ.

Lời giải
Trong hơi thở thầy Yên nồng độ cồn vượt quá mức cho phép là:

0,3  0,25  0,05mg /1lít khí thở . Thời gian để thầy Chiến lái xe không vi phạm là giá trị
nguyên nhỏ nhất thoả mãn : e 0,01t  1  0,05  e 0,01t  1,05  t 
Vậy t  5 giờ  Chọn đáp án B.

ln1,05
 t  4,87 .
0,01


Câu 10. Sau tết Đinh Dậu 2017, con gái thầy
Dũng được tổng số tiền mừng tuổi là 12 triệu
đồng. Thầy Dũng gửi toàn bộ số tiền mừng tuổi
của con vào ngân hàng với lãi suất ban đầu
5%/năm và tiền lãi hàng năm được nhập vào gốc.
Cứ sau một năm lãi suất tăng thêm 0,2%. Hỏi sau
5 năm tổng số tiền thầy Dũng nhận được gần
nhất với giá trị nào sau đây?
A. 13, 5 triệu.

B. 14, 5 triệu.

C. 16,7 triệu.

D. 15,7 triệu.
Lời giải
12


5% 

Số tiền cuối năm thứ nhất nhận được là A1  12tr.  1 
 12.613.942,77 .
12 

12


5, 2% 
 13.285.728,7 .
Số tiền cuối năm thứ hai nhận được là A2  A1 .  1 
12 

12


5, 4% 
Số tiền cuối năm thứ ba nhận được là A3  A2 .  1 
 14.021.183, 49 .
12 

12


5,6% 
 14.826.839,69 .
Số tiền cuối năm thứ tư nhận được là A4  A3 .  1 
12 

12


5,8% 
Số tiền cuối năm thứ năm nhận được là A5  A4 .  1 
 15.710.029, 25 .
12 

 Chọn đáp án D.

Chú ý: Các bài toán nhằm mục tiêu giúp học sinh rèn luyện cách giải bài toán có nội dung thực
tế . Các công thức trong các số bài toán trên được tôi xây dựng, có cân đối, tính toán theo lý
thuyết nhưng chưa được kiểm nghiệm trong thực tế bằng thực nghiệm, máy đo, có thể 1 số chưa
đúng bản chất hiện tượng.

Nguyễn Chiến 0973.514.674
---Hết Tết---